Realization of exact three-point difference schemes for nonlinear boundary-value problems on the semiaxis
New algorithmic realization of exact three-point difference schemes via the three-point difference schemes of high order of accuracy is proposed for the numerical solution of boundary-value problems for systems of nonlinear ordinary differential equations on the semiaxis. We study the existence and...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1950 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507846245875712 |
|---|---|
| author | Król, M. Kutniv, M. V. Круль, М. Кутнів, М. В. |
| author_facet | Król, M. Kutniv, M. V. Круль, М. Кутнів, М. В. |
| author_sort | Król, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:42Z |
| description | New algorithmic realization of exact three-point difference schemes via the three-point difference schemes of high order of
accuracy is proposed for the numerical solution of boundary-value problems for systems of nonlinear ordinary differential
equations on the semiaxis. We study the existence and uniqueness of the solution of three-point difference schemes and
estimatie the rate of convergence. The results of numerical experiments are also presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.62
М. В. Кутнiв (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”, Україна; Жешув. технол. ун-т, Польща),
М. Круль (Жешув. технол. ун-т, Польща)
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ
ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ НА ПIВПРЯМIЙ
New algorithmic realization of exact three-point difference schemes via the three-point difference schemes of high order of
accuracy is proposed for the numerical solution of boundary-value problems for systems of nonlinear ordinary differential
equations on the semiaxis. We study the existence and uniqueness of the solution of three-point difference schemes and
estimatie the rate of convergence. The results of numerical experiments are also presented.
Для численного решения краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на
полупрямой разработана новая алгоритмическая реализация точных трехточечных разностных схем через трехточеч-
ные разностные схемы высокого порядка точности. Исследуются существование и единственность решения трехто-
чечных разностных схем, получена оценка скорости сходимости. Приведены результаты численных экспериментов.
1. Вступ. Для чисельного розв’язування крайових задач на нескiнченному iнтервалi часто кра-
йовi умови замiнюють такими ж крайовими умовами в деяких скiнченних точках, якi знаходять
методом проб (див., наприклад, [1]). Однак такий спосiб не дозволяє встановити апрiорнi оцiнки
точностi. Iнколи крайову задачу на нескiнченному iнтервалi можна замiнити крайовою задачею
на скiнченному iнтервалi з вiльною межею [2]. Суть iншого пiдходу полягає у дослiдженнi
асимптотичної поведiнки розв’язку на нескiнченностi та замiнi крайових умов асимптотични-
ми умовами у скiнченнiй точцi (див., наприклад, [3 – 5]). Цей спосiб дає можливiсть встановити
апрiорнi оцiнки точностi. Ще один пiдхiд полягає у замiнi змiнних, яка дозволяє звести крайову
задачу на нескiнченному iнтервалi до сингулярної крайової задачi другого роду на скiнченному
iнтервалi. Для розв’язування таких сингулярних крайових задач у роботах [6, 7] використано
метод колокацiй.
У роботi [8] на основi теорiї точних триточкових рiзницевих схем (див. [10 – 12]) побудовано
усiченi триточковi рiзницевi схеми рангу \=n = 2[(n + 1)/2] (n \in \BbbN , [\cdot ] — цiла частина виразу в
дужках) на скiнченнiй нерiвномiрнiй сiтцi для розв’язування скалярних нелiнiйних крайових
задач на пiвпрямiй вигляду
d2u(x)
dx2
- m2u(x) = - f(x, u), x \in (0,\infty ),
u(0) = \mu 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
u(x) = 0,
де m \not = 0 — дiйсна стала. Встановлено апрiорну оцiнку точностi таких схем, а також доведено,
що рiзницева схема рангу \=n має порядок точностi \=n. У статтi [9] розроблено адаптивний
алгоритм, який дозволяє розв’язати задачу з заданою точнiстю за допомогою триточкових
рiзницевих схем високого порядку точностi.
У данiй статтi на вiдмiну вiд [8, 9] розроблено нову ефективну алгоритмiчну реалiзацiю
точної триточкової рiзницевої схеми для випадку систем нелiнiйних звичайних диференцiаль-
них рiвнянь, яка не вимагає розв’язування додаткової рекурентної системи рiвнянь. Крiм того,
запропоновано усiченi триточковi рiзницевi схеми, обґрунтованi за слабших умов, нiж у [8].
c\bigcirc М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12 1641
1642 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
2. Iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi. Розглянемо нелiнiйну крайову задачу
для системи звичайних диференцiальних рiвнянь
d2u(x)
dx2
- m2u(x) = - f(x, u), x \in (0,\infty ),
u(0) = \mu 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
u(x) = 0,
u : \BbbR 1
+ \rightarrow \BbbR s, f(x, u) : \BbbR 1
+ \rightarrow \BbbR s, \mu 1 \in \BbbR s,
(1)
де \BbbR s — простiр s-вимiрних векторiв.
Достатнi умови iснування розв’язку задачi (1) наведено у [13, c. 101].
Введемо функцiю u(0) (x) = \mu 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mx) i множину
\Omega (D,\beta ) =
\Bigl\{
u (x) : u \in C1 [0,\infty ) ,
\bigm\| \bigm\| u - u(0)
\bigm\| \bigm\|
1,\infty ,D
\leq \beta , D \subseteq [0,\infty )
\Bigr\}
,
\| u\| 1,\infty ,D = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
\| u\| 0,\infty ,D ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dudx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0,\infty ,D
\Biggr\}
, \| u\| 0,\infty ,D = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in D
\| u(x)\| ,
де (u, v) — скалярний добуток векторiв u, v \in \BbbR s, \| u\| = (u, u)1/2, u \in \BbbR s — норма вектора.
Достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку задачi (1), якi випливають з методу лiнеа-
ризацiї та принципу стискаючих вiдображень, наведено в такiй теоремi.
Теорема 1. Нехай виконуються умови
f (x, u) = [fi(x, u)]
s
i=1, fi(x, \cdot ) \in Q0 [0,\infty ) ,
\| f (x, u)\| \leq K (x) \leq K1 \forall x \in [0,\infty ) , u \in \Omega ([0,\infty ) , r) ,
r = K1\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
1/m2, 1/m
\bigr\}
,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mx)
x\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (m\xi )K (\xi ) d\xi = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (mx)
\infty \int
x
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - m\xi )K (\xi ) d\xi = 0,
\| f (x, u) - f (x, v)\| \leq L1 \| u - v\| \forall x \in [0,\infty ) \forall u, v \in \Omega ([0,\infty ) , r) ,
q = L1\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
1/m2, 1/m
\bigr\}
< 1.
Тодi задача (1) в \Omega ([0,\infty ) , r) має єдиний розв’язок u(x), який можна знайти методом послi-
довних наближень
d2u(k)
dx2
- m2u(k) = - f
\Bigl(
x, u(k - 1)
\Bigr)
, x \in (0,\infty ) ,
u(k) (0) = \mu 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
u(k) (x) = 0, k = 1, 2, . . . ,
з оцiнкою похибки \bigm\| \bigm\| \bigm\| u(k) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\infty ,[0,\infty )
\leq qk
1 - q
r.
Тут Q0 [0,\infty ) — клас кусково-неперервних функцiй зi скiнченною кiлькiстю точок розриву
першого роду.
Доведення аналогiчне скалярному випадку (див. [8]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1643
3. Триточковi рiзницевi схеми високого порядку точностi. На iнтервалi [0,\infty ) введемо
нерiвномiрну сiтку
\^\=\omega N =
\left\{ xj \in [0,\infty ), j = 0, 1, . . . , N : x0 = 0, hj = xj - xj - 1 > 0,
N\sum
j=1
hj = xN
\right\}
так, щоб точки розриву функцiї f(x, u) збiгалися з вузлами сiтки. Множину всiх точок розриву
позначимо через \rho i будемо вважати N таким, що \rho \subseteq \^\omega N .
Згiдно з [8] накладемо на кроки сiтки такi обмеження:
c1 \leq
hmax
hmin
\leq c2, (2)
де | h| = hmax i hmin позначають максимальну i мiнiмальну величину кроку вiдповiдно, c1, c2
— дiйснi сталi. Для досягнення максимального порядку збiжностi рiзницевої схеми (див. тео-
рему 2) потрiбно, щоб
1
hmax
\leq xN \leq 1
hmin
. (3)
З нерiвностей hminN \leq xN = h1 + h2 + . . .+ hN \leq hmaxN i (3) випливають спiввiдношення
hmax \leq c2\surd
N
, hmin \geq 1
c2
\surd
N
,
\surd
N
c2
\leq hminN \leq xN \leq hmaxN \leq c2
\surd
N. (4)
Таким чином, hmax \rightarrow 0, xN \rightarrow \infty при N \rightarrow \infty .
Для задачi (1) iснує точна триточкова рiзницева схема (ТТРС) вигляду
(au\=x)\^x,j - d (xj)uj = - \varphi (xj , u), j = 1, 2, . . . , N - 1,
u0 = \mu 1, - a(xN )u\=x,N = \beta 2uN - \mu 2(xN , u),
(5)
де
u\=x,j =
uj - uj - 1
hj
, u\^x,j =
uj+1 - uj
\hbar j
, \hbar j =
hj + hj+1
2
,
a (xj) =
mhj
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
, j = 1, 2, . . . , N, \beta 2 = m
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (mhN ) - 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhN )
,
d (xj) =
m
\hbar j
\biggl\{
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj) - 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
+
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj+1) - 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj+1)
\biggr\}
, j = 1, 2, . . . , N - 1,
(6)
\varphi (xj , u) =
1
\hbar j
\left[ Zj
2 (xj , u) - Zj
1 (xj , u) +
m
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)Y
j
1 (xj , u) - uj - 1
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
+
+
m
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj+1)Y
j
2 (xj , u) - uj+1
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj+1)
\right] , j = 1, 2, . . . , N - 1, (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1644 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
\mu 2 (xN , u) = ZN
2 (xN , u) +mY N
2 (xN , u) - ZN
1 (xN , u)+
+
m
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhN )Y N
1 (xN , u) - uN - 1
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhN )
, (8)
Y j
\alpha (x, u), Z
j
\alpha (x, u) \in \BbbR s, j = 2 - \alpha , 3 - \alpha , . . . , N + 1 - \alpha , \alpha = 1, 2, є розв’язками задач Кошi
dY j
\alpha (x, u)
dx
= Zj
\alpha (x, u),
dZj
\alpha (x, u)
dx
- m2Y j
\alpha (x, u) = - f
\bigl(
x, Y j
\alpha (x, u)
\bigr)
, xj+\alpha - 2 < x < xj+\alpha - 1, (9)
Y j
\alpha
\bigl(
xj+( - 1)\alpha , u
\bigr)
= u
\bigl(
xj+( - 1)\alpha
\bigr)
, Zj
\alpha
\bigl(
xj+( - 1)\alpha , u
\bigr)
=
du
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+( - 1)\alpha
,
а Y N
2 (x, u), ZN
2 (x, u) \in \BbbR s — розв’язком задачi Кошi
dY N
2 (x, u)
dx
= ZN
2 (x, u),
dZN
2 (x, u)
dx
- m2Y N
2 (x, u) = - f
\bigl(
x, Y N
2 (x, u)
\bigr)
, x > xN ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
Y N
2 (x, u) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
ZN
2 (x, u) = 0.
(10)
Для розв’язування задач (9) використаємо однокроковi методи (наприклад, метод рядiв
Тейлора або метод Рунге – Кутта) порядку точностi \=n = 2[(n+1)/2] (n \in \BbbN , [\cdot ] — цiла частина)
з вiдповiдними функцiями приросту \Phi 1 (x, u, y, h) ,\Phi 2 (x, u, y, h):
Y (\=n)j
\alpha (xj , u) = uj+( - 1)\alpha + ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha \Phi 1
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha , ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha
\Bigr)
,
(11)
Z(n)j
\alpha (xj , u) = u\prime j+( - 1)\alpha + ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha \Phi 2
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha , ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha
\Bigr)
.
Значення наближеного розв’язку Z
(n)j
\alpha (xj , u) апроксимує значення Zj
\alpha (xj , u) з порядком точ-
ностi не менше n, Y (\=n)j
\alpha (xj , u) апроксимує Y j
\alpha (xj , u) з порядком точностi \=n. Тодi, якщо права
частина диференцiального рiвняння диференцiйовна достатню кiлькiсть разiв, iснують розви-
нення
Y j
\alpha (xj , u) = Y (\=n)j
\alpha (xj , u) + [( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha ]
\=n+1\psi j
\alpha (xj+( - 1)\alpha , u) +O(h\=n+2
j - 1+\alpha ), (12)
Zj
\alpha (xj , u) = Z(n)j
\alpha (xj , u) + [( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha ]
n+1 \~\psi j
\alpha (xj+( - 1)\alpha , u) +O(hn+2
j - 1+\alpha ). (13)
Знайдемо наближений розв’язок задачi (10). Використавши пiдстановку x = 1/t, зведемо
систему рiвнянь (10) до вигляду
t2
dY N
2 (1/t, u)
dt
= - ZN
2 (1/t, u),
t2
dZN
2 (1/t, u)
dt
+m2Y N
2 (1/t, u) = f
\bigl(
1/t, Y N
2
\bigr)
, 0 < t < 1/xN , (14)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
Y N
2 (1/t, u) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
ZN
2 (1/t, u) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1645
Зауважимо, що з другого рiвняння системи (14) випливає рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
f
\bigl(
1/t, Y N
2
\bigr)
= 0.
Задачу Кошi (14) будемо розв’язувати чисельно методом рядiв Тейлора
Y
(\=n - 1)N
2 (xN , u) =
\=n - 1\sum
p=1
\biggl(
1
xN
\biggr) p 1
p!
dpY N
2
dtp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
,
Z
(\=n - 1)N
2 (xN , u) =
\=n - 1\sum
p=1
\biggl(
1
xN
\biggr) p 1
p!
dpZN
2
dtp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
,
(15)
де
dpY N
2
dtp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
=
1
m2
\Biggl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
dpf
\bigl(
1/t, Y N
2
\bigr)
dtp
- (p - 1)p
dp - 1ZN
2
dtp - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\Biggr]
, (16)
dpZN
2
dtp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= - (p - 1)p
dp - 1Y N
2
dtp - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
, p = 1, 2, . . . , \=n - 1. (17)
Для частинних похiдних вектор-функцiї f(1/t, u) по першому i другому аргументах введе-
мо позначення ft(1/t, u), fu(1/t, u) i подiбнi позначення для вищих похiдних. Пiд їх значенням
у точцi (\infty , 0) будемо розумiти границю при t\rightarrow 0 та u = 0. Використавши правило диферен-
цiювання складної функцiї (див., наприклад, [14, c. 248]) та елементарнi диференцiали (див.
[15, c. 135]), знайдемо похiднi dpf/dtp, p = 1, 2, . . . . Тодi з рiвностей (16), (17) випливають
спiввiдношення \biggl[
I - 1
m2
fu(\infty , 0)
\biggr]
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
=
1
m2
ft(\infty , 0), (18)\biggl[
I - 1
m2
fu(\infty , 0)
\biggr]
d2Y N
2
dt2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
=
1
m2
\biggl[
ftt(\infty , 0) + 2ftu(\infty , 0)
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+
+fuu(\infty , 0)
\biggl(
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
,
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\biggr) \biggr]
, (19)\biggl[
I - 1
m2
fu(\infty , 0)
\biggr]
d3Y N
2
dt3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
=
1
m2
\biggl[
fttt(\infty , 0) + 3fttu(\infty , 0)
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+
+3ftuu(\infty , 0)
\biggl(
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
,
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\biggr)
+ 3ftu(\infty , 0)
d2Y N
2
dt2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+
+3fuu(\infty , 0)
\biggl(
d2Y N
2
dt2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
,
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\biggr)
+
+fuuu(\infty , 0)
\biggl(
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
,
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
,
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\biggr)
+ 12
dY N
2
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\biggr]
, (20)
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1646 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
з яких за умови, що матриця I - 1
m2
fu(\infty , 0) не вироджена, можна послiдовно обчислити
похiднi
dpY N
2
dtp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
,
dpZN
2
dtp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
, p = 1, 2, . . . , \=n - 1.
Зауважимо, що якщо система рiвнянь (1) автономна, то згiдно з (17) – (20)
dpY N
2
dtp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= 0,
dpZN
2
dtp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= 0, p = 1, 2, . . . , \=n - 1.
Справджується така лема.
Лема 1. Нехай
f (x, u) \in
N\bigcup
j=1
Cn+1 ([xj - 1, xj ]\times \Omega ([0,\infty ), r +\Delta ))\cup Cn+1 ([xN ,\infty )\times \Omega ([0,\infty ), r +\Delta )) ,
матриця I - 1
m2
fu(\infty , 0) не вироджена i для чисельного методу (11) iснують розвинення (12),
(13). Тодi справджуються спiввiдношення
Y j
\alpha (xj , u) = Y (\=n)j
\alpha (xj , u) + ( - 1)\alpha +1h\=n+1
j - 1+\alpha \psi
j - 1+\alpha
1 (xj+( - 1)\alpha , u) +O(h\=n+2
j - 1+\alpha ), (21)
Zj
\alpha (xj , u) = Z(n)j
\alpha (xj , u) +
\bigl[
( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha
\bigr] n+1 \~\psi j - 1+\alpha
1 (xj+( - 1)\alpha , u) +O(hn+2
j - 1+\alpha ), (22)
Y N
2 (xN , u) = Y
(\=n - 1)N
2 (xN , u) +O (1/xN )\=n , (23)
ZN
2 (xN , u) = Z
(\=n - 1)N
2 (xN , u) +O (1/xN )\=n . (24)
Доведення аналогiчне скалярному випадку (див. [8]).
Замiсть ТТРС (5) – (8) тепер можна скористатися усiченою ТРС рангу \=n вигляду\Bigl(
ay
(\=n)
\=x
\Bigr)
\^x,j
- d (xj) y
(\=n)
j = - \varphi (\=n)
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
, j = 1, 2, . . . , N - 1,
y
(\=n)
0 = \mu 1, - a (xN ) y
(\=n)
\=x,N = \beta 2y
(\=n)
N - \mu
(\=n)
2
\Bigl(
xN , y
(\=n)
\Bigr)
,
(25)
де
\varphi (\=n) (xj , u) =
1
\hbar j
\biggl[
Z
(n)j
2 (xj , u) - Z
(n)j
1 (xj , u) +
m
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)Y
(\=n)j
1 (xj , u) - uj - 1
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
+
+
m
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhj+1)Y
(\=n)j
2 (xj , u) - uj+1
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj+1)
\biggr]
, (26)
\mu
(\=n)
2 (xN , u) = Z
(\=n - 1)N
2 (xN , u) +mY
(\=n - 1)N
2 (xN , u) -
- Z(n)N
1 (xN , u) +
m
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhN )Y
(\=n)N
1 (xN , u) - uN - 1
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhN )
. (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1647
Введемо множину сiткових функцiй
\Omega (\^\=\omega N , \beta ) =
\Bigl\{
v(x), x \in \^\=\omega N :
\bigm\| \bigm\| v - u(0)
\bigm\| \bigm\|
1,\infty ,\^\omega +
N
\leq \beta
\Bigr\}
,
де
\| v\| 0,\infty ,\^\=\omega N
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq j\leq N
\| vj\| , \| v\| 0,\infty ,\^\omega +
N
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
\| vj\| ,
\| v\| 1,\infty ,\^\omega +
N
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
\| v\| 0,\infty ,\^\omega +
N
, \| v\=x\| 0,\infty ,\^\omega +
N
\Bigr\}
.
Для доведення iснування та єдиностi розв’язку ТРС (25), а також для встановлення її
точностi потрiбна така лема.
Лема 2. Нехай виконано умови леми 1, тодi будуть мати мiсце спiввiдношення
\varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (xj , u) =
=
\biggl\{
hn+1
j
\biggl[
mhj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
\psi j
1(x, u)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+0
- \~\psi j
1(x, u)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+0
\biggr] \biggr\}
\^x
+O
\Biggl(
hn+2
j + hn+2
j+1
\hbar j
\Biggr)
, (28)
якщо n є непарним, i
\varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (xj , u) =
=
\biggl\{
hnj
mhj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
\psi j
1(x, u)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+0
\biggr\}
\^x
+O
\Biggl(
hn+1
j + hn+1
j+1
\hbar j
\Biggr)
, (29)
якщо n є парним, а також оцiнки\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu (\=n)2 (xN , u) - \mu 2 (xN , u)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq M
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| \=n ,
\biggl(
1
xN
\biggr) \=n\biggr\} \biggr)
, (30)\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi (\=n) (xj , u)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq K1 +M | h| \forall u \in \Omega
\bigl(
\^\=\omega N , r +\Delta
\bigr)
, N \rightarrow \infty , (31)\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (\=n) (xj , v)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq (L1 +M | h| ) \| u - v\| 0,\infty ,\^\omega +
N
\forall u, v \in \Omega
\bigl(
\^\=\omega N , r +\Delta
\bigr)
, N \rightarrow \infty ,
(32)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu (\=n)2 (xN , u)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq hN
2
K1 +M
\biggl(
h2N +
1
xN
\biggr)
\forall u \in \Omega
\bigl(
\^\=\omega N , r +\Delta
\bigr)
, N \rightarrow \infty , (33)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu (\=n)2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2 (xN , v)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\biggl(
hN
2
L1 +M
\biggl(
h2N +
1
xN
\biggr) \biggr)
\| u - v\| 0,\infty ,\^\omega +
N
\forall u, v \in \Omega
\bigl(
\^\=\omega N , r +\Delta
\bigr)
, N \rightarrow \infty ,
(34)
де стала M не залежить вiд | h| i 1/xN .
Доведення. Доведемо спiввiдношення (28) – (30). Зауважимо, що
\varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (xj , u) = \hbar - 1
j
2\sum
\alpha =1
( - 1)\alpha
\left[ Z(n)j
\alpha (xj , u) - Zj
\alpha (xj , u)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1648 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
+ ( - 1)\alpha
m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj - 1+\alpha )
\Bigl(
Y
(\=n)j
\alpha (xj , u) - Y j
\alpha (xj , u)
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj - 1+\alpha )
\right] , (35)
\mu
(\=n)
2 (xN , u) - \mu 2 (xN , u) = Z
(\=n - 1)N
2 (xN , u) - ZN
2 (xN , u)+
+m
\Bigl(
Y
(\=n - 1)N
2 (xN , u) - Y N
2 (xN , u)
\Bigr)
- Z
(n)N
1 (xN , u)+
+ZN
1 (xN , u) +
m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhN )
\Bigl[
Y
(\=n)N
1 (xN , u) - Y N
1 (xN , u)
\Bigr]
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhN )
. (36)
Спiввiдношення (35) при непарних n зводяться до
\varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (xj , u) =
1
\hbar j
\biggl[
hn+2
j+1
m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj+1)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj+1)
\psi j+1
1 (xj+1, u) -
- hn+2
j
m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
\psi j
1(xj - 1, u) - hn+1
j+1
\~\psi j+1
1 (xj+1, u)+
+hn+1
j
\~\psi j
1(xj - 1, u)
\biggr]
+O
\Biggl(
hn+2
j + hn+2
j+1
\hbar j
\Biggr)
, (37)
а при парних
\varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (xj , u) =
1
\hbar j
\biggl[
hn+1
j+1
m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj+1)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj+1)
\psi j+1
1 (xj+1, u) -
- hn+1
j
m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
\psi j
1(xj - 1, u)
\biggr]
+O
\Biggl(
hn+1
j + hn+1
j+1
\hbar j
\Biggr)
. (38)
Оскiльки \psi j
1(xj - 1, u) = \psi j
1(xj , u)+O(hj), \~\psi j
1(xj - 1, u) = \~\psi j
1(xj , u)+O(hj), то з рiвностей (37)
i (38) випливають (28), (29).
Нерiвнiсть (30) випливає з (36) та оцiнок (21) – (24).
Доведемо нерiвностi (31) – (34). Iз умови iснування розвинень (12), (13) випливають спiв-
вiдношення
\Phi 1 (x, u, y, 0) = y,
\partial \Phi 1 (x, u, y, 0)
\partial h
=
1
2
\bigl(
m2u - f(x, u)
\bigr)
,
\Phi 2 (x, u, y, 0) = m2u - f(x, u).
Отже, справджуються рiвностi
Y (\=n)j
\alpha (xj , u) = uj+( - 1)\alpha + ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha u
\prime
j+( - 1)\alpha +
+
h2j - 1+\alpha
2
\bigl[
m2uj+( - 1)\alpha - f
\bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha
\bigr) \bigr]
+
+
( - 1)\alpha +1h3j - 1+\alpha
2
\partial 2\Phi 1
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha ,
\=h
\Bigr)
\partial h2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1649
Z(n)j
\alpha (xj , u) = u\prime j+( - 1)\alpha + ( - 1)\alpha +1hj - 1+\alpha
\bigl[
m2uj+( - 1)\alpha - f
\bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha
\bigr) \bigr]
+
+h2j - 1+\alpha
\partial \Phi 2
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha ,
\~h
\Bigr)
\partial h
.
Тодi
\varphi (\=n) (xj , u) = \hbar - 1
j
2\sum
\alpha =1
\left\{ ( - 1)\alpha
\biggl[
1 - mhj - 1+\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\biggr]
u\prime j+( - 1)\alpha +
+
\biggl[
1 - mhj - 1+\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\biggr]
hj - 1+\alpha f
\bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha
\bigr)
+
+
m
\Biggl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\Biggl(
1 +
m2h2j - 1+\alpha
2
\Biggr)
- 1 - mhj - 1+\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\Biggr]
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
uj+( - 1)\alpha +
+h2j - 1+\alpha
\partial \Phi 2
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha ,
\~h
\Bigr)
\partial h
+
+
mh3j - 1+\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\partial 2\Phi 1
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha ,
\=h
\Bigr)
\partial h2
\right\} =
=
1
\hbar j
2\sum
\alpha =1
\biggl\{
hj - 1+\alpha
2
f
\bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha
\bigr) \biggr\}
+O
\Biggl(
h2j + h2j+1
\hbar j
\Biggr)
i
\mu
(\=n)
2 (xN , u) =
hN
2
f(xN - 1, uN - 1) +O
\biggl(
h2N +
1
xN
\biggr)
.
Звiдси випливають оцiнки (31), (33).
Доведемо оцiнку (32). Оскiльки\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (\=n) (xj , v)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq 1
\hbar j
2\sum
\alpha =1
\left\{ hj - 1+\alpha
2
\bigm\| \bigm\| f \bigl( xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha
\bigr)
- f
\bigl(
xj+( - 1)\alpha , vj+( - 1)\alpha
\bigr) \bigm\| \bigm\| \times
\times
\biggl[
1 +
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj - 1+\alpha ) - mhj - 1+\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj - 1 - \alpha )|
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj - 1+\alpha )
\biggr]
+
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - mhj - 1+\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| \bigm\| u\prime j+( - 1)\alpha - v\prime j+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
m
\biggl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\biggl(
1 +
m2h2
j - 1+\alpha
2
\biggr)
- 1 - mhj - 1+\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\biggr]
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1650 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
\times
\bigm\| \bigm\| uj+( - 1)\alpha - vj+( - 1)\alpha
\bigm\| \bigm\| +
+h2j - 1+\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\partial \Phi 2
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha ,
\~h
\Bigr)
\partial h
-
-
\partial \Phi 2
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , vj+( - 1)\alpha , v
\prime
j+( - 1)\alpha ,
\~h
\Bigr)
\partial h
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
mh3j - 1+\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhj - 1+\alpha )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\partial 2\Phi 1
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , u
\prime
j+( - 1)\alpha ,
\=h
\Bigr)
\partial h2
-
-
\partial 2\Phi 1
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , vj+( - 1)\alpha , v
\prime
j+( - 1)\alpha ,
\=h
\Bigr)
\partial h2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\right\} ,
то згiдно з формулою скiнченних приростiв знайдуться \=u, \=u\prime , \~u, \~u\prime такi, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (\=n) (xj , v)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq (L1 +M | h| ) \| u - v\| 0,\infty ,\^\omega +
N
+
+M2| h|
\left\{
\left[ 1 +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\partial 2\Phi 2
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , \=u, u
\prime
j+( - 1)\alpha ,
\~h
\Bigr)
\partial h\partial u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\partial 3\Phi 1
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , \~u, u
\prime
j+( - 1)\alpha ,
\=h
\Bigr)
\partial h2\partial u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\right] \| u - v\| 0,\infty ,\^\omega +
N
+
+
\left[ 1 +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\partial 2\Phi 2
\Bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , \=u
\prime , \~h
\Bigr)
\partial h\partial y
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial 3\Phi 1
\bigl(
xj+( - 1)\alpha , uj+( - 1)\alpha , \~u
\prime , \=h
\bigr)
\partial h2\partial u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\right] \| u - v\| 0,\infty ,\^\omega +
N
\right\} .
Звiдси отримаємо оцiнку (32).
Оцiнка (34) випливає з\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu (\=n)2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2 (xN , v)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq hN
2
\| f (xN - 1, uN - 1) - f (xN - 1, vN - 1)\| +
+M1
\biggl(
h2N +
1
xN
\biggr)
\| u - v\| 0,\infty ,\^\omega +
N
\leq
\biggl(
hN
2
L1 +M
\biggl(
h2N +
1
xN
\biggr) \biggr)
\| u - v\| 0,\infty ,\^\omega +
N
.
Лему 2 доведено.
На пiдставi попереднiх тверджень доведемо таку теорему.
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1 i леми 1. Тодi iснує таке N0 > 0, що для
будь-якого N \geq N0 ТРС (25) – (27) має єдиний розв’язок, точнiсть якого характеризується
оцiнкою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1651
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y(\=n) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,\infty ,\^\=\omega N
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\left\{ \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(\=n) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
0,\infty ,\^\omega +
N
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dy(\=n)dx
- du
dx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0,\infty ,\^\=\omega N
\right\} \leq
\leq M \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| \=n ,
\biggl(
1
xN
\biggr) \=n\biggr\}
\leq M | h| \=n \leq M N - \=n/2,
де
dy(\=n) (x0)
dx
= Z
(n)0
2
\Bigl(
x0, y
(\=n)
\Bigr)
+
m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mh1)
\Bigl(
Y
(\=n)0
2
\bigl(
x0, y
(\=n)
\bigr)
- y
(\=n)
0
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mh1)
,
dy(\=n) (xj)
dx
= Z
(n)j
1
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
+
m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)
\Bigl(
y
(\=n)
j - Y
(\=n)j
1
\bigl(
xj , y
(\=n)
\bigr) \Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
,
j = 1, 2, . . . , N,
стала M не залежить вiд | h| i 1/xN .
Доведення. Покажемо, що за умов теореми ТРС (25) – (27) рангу \=n має єдиний розв’язок
y
(\=n)
i , i = 1, 2, . . . , N . Використаємо принцип стискаючих вiдображень. Розглянемо операторне
рiвняння
y
(\=n)
i = \Re h
\Bigl(
xi, y
(\=n)
\Bigr)
=
N - 1\sum
j=1
\hbar jG (xi, xj)\varphi
(\=n)
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
+
+\mu (\=n)
\Bigl(
xN , y
(\=n)
\Bigr)
G (xi, xN ) + u(0) (xi) , i = 1, 2, . . . , N,
де
G (x, \xi ) =
\left\{
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mx) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - m\xi )
m
, 0 \leq x \leq \xi ,
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mx) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (m\xi )
m
, x \geq \xi ,
— функцiя Грiна задачi (1).
Мажоруючи рiмановi суми iнтегралами, отримуємо
N - 1\sum
j=1
\hbar jG (xi, xj) +
hN
2
G (xi, xN ) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxi)
2m
i\sum
j=1
hj \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mxj)+
+
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxi)
2m
i\sum
j=1
hj+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mxj) +
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mxi)
2m
N - 1\sum
j=i+1
hj \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxj)+
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mxi)
2m
N - 1\sum
j=i+1
hj+1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxj) +
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mxi)
2m
hN \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxN ) \leq
\leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxi)
2m
xi\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (m (\eta + | h| )) d\eta + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxi)
2m
xi\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (m\eta ) d\eta +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1652 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mxi)
2m
xN\int
xi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - m\eta ) d\eta + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxi)
2m
xN\int
xi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - m (\eta - | h| )) d\eta +
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mxi)
2m
\infty \int
xN
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - m\eta ) d\eta \leq
xN\int
0
G (xi, \xi ) d\xi +M1 | h| +
+
\infty \int
xN
G (xi, \xi ) d\xi \leq
\infty \int
0
G (xi, \xi ) d\xi +M1 | h| =
1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxi)
m2
+M1 | h| ,
N - 1\sum
j=1
\hbar jG\=x (xi, xj) +G\=x (xi, xN ) \leq
\infty \int
0
G\=x (xi, \xi ) d\xi +M1 | h| \leq
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxi)
m
+M1 | h| .
Тодi на пiдставi (31) маємо \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Re h (x, v) - u(0)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\infty ,\^\omega +
N
\leq
\leq
\biggl(
K1 +M \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| , 1
xN
\biggr\} \biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
N - 1\sum
j=1
\hbar jG (x, xj) +
hN
2
G (x, xN )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\infty ,\^\omega +
N
+M1| h| \leq
\leq r +M2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| , 1
xN
\biggr\}
\leq r +\Delta \forall v \in \Omega
\bigl(
\^\=\omega N , r +\Delta
\bigr)
,
тобто оператор \Re h (x, v) переводить \Omega
\bigl(
\^\=\omega N , r +\Delta
\bigr)
в себе.
Крiм того, враховуючи нерiвностi (32), отримуємо
\| \Re h(x, u) - \Re h(x, v)\| 1,\infty ,\^\omega +
N
\leq
\leq
\biggl(
L1 +M \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| , 1
xN
\biggr\} \biggr)
\| u - v\| 1,\infty ,\^\omega +
N
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
N - 1\sum
j=1
\hbar jG (x, xj) +
hN
2
G (x, xN )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\infty ,\^\omega +
N
\leq
\leq q2 \| u - v\| 1,\infty ,\^\=\omega +
N
\forall u, v \in \Omega
\bigl(
\^\=\omega N , r
\bigr)
.
Якщо вибрати N0 так, що
q2 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1
m
,
1
m2
\biggr\} \biggl(
L1 +M \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| , 1
xN
\biggr\} \biggr)
< 1,
то вiдображення \Re h(x, u) буде стискаючим.
Для похибки zj = y
(\=n)
j - u (xj) , j = 0, 1, . . . , N, отримаємо задачу
(az\=x)\^x,j - d (xj) zj = \varphi (xj , u) - \varphi (\=n)
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
, j = 1, 2, . . . , N - 1,
z0 = 0, - a (xN ) z\=x,N = \beta 2zN + \mu 2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2
\Bigl(
xN , y
(\=n)
\Bigr)
,
(39)
розв’язок якої i його рiзницеву похiдну за допомогою функцiї Грiна можна подати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1653
zi =
N - 1\sum
j=1
\hbar jG (xi, xj)
\Bigl\{
\varphi (xj , u) - \varphi (\=n)
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr) \Bigr\}
+
+G (xi, xN )
\Bigl[
\mu 2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2
\Bigl(
xN , y
(\=n)
\Bigr) \Bigr]
, i = 1, 2, . . . , N, (40)
z\=x,i =
N - 1\sum
j=1
\hbar jG\=x (xi, xj)
\Bigl\{
\varphi (xj , u) - \varphi (\=n)
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr) \Bigr\}
+
+G\=x (xi, xN )
\Bigl[
\mu 2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2
\Bigl(
xN , y
(\=n)
\Bigr) \Bigr]
, i = 1, 2, . . . , N. (41)
Для непарного n з урахуванням (28) з (40), (41) отримуємо
zi = -
N\sum
j=1
hjG\=\xi (xi, xj)
\biggl\{
hn+1
j
\biggl[
mhj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
\psi j
1(x, u)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+0
- \~\psi j
1(x, u)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+0
\biggr] \biggr\}
+
+
N - 1\sum
j=1
\hbar jG (xi, xj)
\Bigl[
\varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (\=n)
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
+O
\Bigl(
| h| n+1
\Bigr) \Bigr]
+
+G (xi, xN )
\Bigl[
\mu 2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2 (xN , u)
\Bigr]
+
+G (xi, xN )
\Bigl[
\mu
(\=n)
2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2
\Bigl(
xN , y
(\=n)
\Bigr) \Bigr]
,
z\=x,i = -
N\sum
j=1
hjG\=x\=\xi (xi, xj)\times
\times
\biggl\{
hn+1
j
\biggl[
mhj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
\psi j
1(x, u)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+0
- \~\psi j
1(x, u)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+0
\biggr] \biggr\}
+
+
hn+1
i
a (xi)
\biggl[
mhi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhi)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhi)
\psi i
1(x, u)
\bigm| \bigm|
x=xi
- \~\psi i
1(x, u)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=xi
\biggr]
+
+
N - 1\sum
j=1
\hbar jG\=x (xi, xj)
\Bigl[
\varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (\=n)
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
+O
\Bigl(
| h| n+1
\Bigr) \Bigr]
+
+G\=x (xi, xN )
\Bigl[
\mu 2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2 (xN , u)
\Bigr]
+
+G\=x (xi, xN )
\Bigl[
\mu
(\=n)
2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2
\Bigl(
xN , y
(\=n)
\Bigr) \Bigr]
.
Звiдси, оскiльки виконуються нерiвностi
N\sum
j=1
hjG\=\xi (xi, xj) =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mxi) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxN )
m
\leq M3,
N\sum
j=1
hjG\=x\=\xi (xi, xj) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - mxN )
hi
xi\int
xi - 1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (m\eta ) d\eta - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhi)
mhi
\leq M4,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1654 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
випливають оцiнки
\| zi\| \leq M \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
| h| n+1 ,
\biggl(
1
xN
\biggr) n+1
\Biggr\}
+ q2 \| z\| 1,\infty ,\^\omega +
N
,
\| z\=x,i\| \leq M1\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
| h| n+1 ,
\biggl(
1
xN
\biggr) n+1
\Biggr\}
+ q2 \| z\| 1,\infty ,\^\omega +
N
.
Якщо n є парним, то, враховуючи (29), рiвностi (40), (41) записуємо у виглядi
zi = -
N\sum
j=1
hjG\=\xi (xi, xj)
\biggl\{
hnj
mhj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
\psi j
1(x, u)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+0
\biggr\}
+
+
N - 1\sum
j=1
\hbar jG (xi, xj)
\Bigl[
\varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (\=n)
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
+O (| h| n)
\Bigr]
+
+G (xi, xN )
\Bigl[
\mu 2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2 (xN , u)
\Bigr]
+
+G (xi, xN )
\Bigl[
\mu
(\=n)
2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2
\Bigl(
xN , y
(\=n)
\Bigr) \Bigr]
,
z\=x,i = -
N\sum
j=1
hjG\=x\=\xi (xi, xj)
\biggl\{
hnj
mhj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhj)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhj)
\psi j
1(x, u)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=xj+0
\biggr\}
+
+
hni
a (xi)
mhi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} (mhi)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} (mhi)
\psi i
1(x, u)
\bigm| \bigm|
x=xi
+
+
N - 1\sum
j=1
\hbar jG\=x (xi, xj)
\Bigl[
\varphi (\=n) (xj , u) - \varphi (\=n)
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
+O (| h| n)
\Bigr]
+
+G\=x (xi, xN )
\Bigl[
\mu 2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2 (xN , u)
\Bigr]
+
+G\=x (xi, xN )
\Bigl[
\mu
(\=n)
2 (xN , u) - \mu
(\=n)
2
\Bigl(
xN , y
(\=n)
\Bigr) \Bigr]
.
Звiдси
\| zi\| \leq M \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| n ,
\biggl(
1
xN
\biggr) n\biggr\}
+ q2 \| z\| 1,\infty ,\^\omega +
N
,
\| z\=x,i\| \leq M \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| n ,
\biggl(
1
xN
\biggr) n\biggr\}
+ q2 \| z\| 1,\infty ,\^\omega +
N
.
Отже, отримуємо оцiнку
\| z\| 1,\infty ,\^\omega +
N
\leq
M \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| \=n ,
\biggl(
1
xN
\biggr) \=n\biggr\}
1 - q2
,
з якої внаслiдок того, що q2 < 1 для будь-якого N \geq N0, випливає
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
РЕАЛIЗАЦIЯ ТОЧНИХ ТРИТОЧКОВИХ РIЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1655
\| z\| 1,\infty ,\^\omega +
N
\leq M1\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| \=n ,
\biggl(
1
xN
\biggr) \=n\biggr\}
.
Оскiльки y(\=n)0 = Y 0
2
\bigl(
x0, y
(\=n)
\bigr)
, y
(\=n)
j = Y j
1
\bigl(
xj , y
(\=n)
\bigr)
, то\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dz (x0)dx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Z(n)0
2
\Bigl(
x0, y
(\=n)
\Bigr)
- Z0
2
\Bigl(
x0, y
(\=n)
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| + \bigm\| \bigm\| \bigm\| Z0
2
\Bigl(
x0, y
(\=n)
\Bigr)
- Z0
2 (x0, u)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mh1)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mh1)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Y 0
2
\Bigl(
x0, y
(\=n)
\Bigr)
- Y
(\=n)0
2
\Bigl(
x0, y
(\=n)
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq M1 | h| \=n +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial u
Z0
2 (x0, u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u=\~u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| z\| 0,\infty ,\^\omega +
N
\leq M | h| \=n ,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dz (xj)dx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Z(n)j
1
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
- Zj
1
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| + \bigm\| \bigm\| \bigm\| Zj
1
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
- Zj
1 (xj , u)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
m \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhj)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Y j
1
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr)
- Y
(\=n)j
1
\Bigl(
xj , y
(\=n)
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq M1 | h| \=n +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial u
Zj
1 (xj , u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
u=\~u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| z\| 0,\infty ,\^\omega +
N
\leq M | h| \=n , j = 1, 2, . . . , N.
Звiдси одержуємо \| z\| \ast 1,\infty ,\^\=\omega N
\leq M \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| h| \=n ,
\biggl(
1
xN
\biggr) \=n\biggr\}
.
Теорему 2 доведено.
Приклад. Розглянемо крайову задачу
d2u
dx2
- 4u = - 1 + 2x
(1 + x)2
- 2x2 + 4x
(1 + x)2
u - u2, x \in (0,\infty ) ,
u(0) = 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
u(x) = 0
з точним розв’язком u(x) = 1/(1 + x).
Для чисельного розв’язування задачi застосуємо рiзницеву схему (25) – (27) з n = \=n = 4.
Зауважимо, що оскiльки fu(\infty , 0) = 2 \not = 0, то використати рiзницевi схеми, запропонованi у [8,
9], не можна. Функцiї Y (4)j
\alpha (xj , u), Z
(4)j
\alpha (xj , u), \alpha = 1, 2, — чисельнi розв’язки задач Кошi (9),
одержанi методом Рунге – Кутта – Ньюстрьома четвертого порядку точностi (див., наприклад,
[16, c. 285]). Застосовуючи метод рядiв Тейлора (15) – (20) для знаходження розв’язку задачi
Кошi (10), отримуємо
\mu
(4)
2 (xN , u) =
2
xN
- 3
x2N
+
4
x3N
- Z
(4)N
1 (xN , u) +
m
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(mhN )Y
(4)N
1 (xN , u) - uN - 1
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(mhN )
.
Розв’язок y(4)j , j = 1, 2, . . . , N, рiзницевої схеми знаходився методом послiдовних наближень.
Результати розрахункiв задачi на рiвномiрнiй сiтцi \=\omega N = \{ xj = jh, j = 0, 1, . . . , N,
h = 1/
\surd
N\} наведено в таблицi, де для практичної оцiнки швидкостi збiжностi введено вели-
чини
er = \| z\| \ast 1,\infty ,\=\omega N
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y(4) - u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \ast
1,\infty ,\=\omega N
, p = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2
\| z\| \ast 1,\infty ,\=\omega N
\| z\| \ast 1,\infty ,\=\omega 4N
.
Отже, ця рiзницева схема має четвертий порядок точностi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1656 М. В. КУТНIВ, М. КРУЛЬ
N er p
64 0, 4256 \cdot 10 - 3
256 0, 2889 \cdot 10 - 4 3.9
1024 0, 1887 \cdot 10 - 5 3.9
4096 0, 1206 \cdot 10 - 6 4.0
16384 0, 7626 \cdot 10 - 8 4.0
65536 0, 4795 \cdot 10 - 9 4.0
Лiтература
1. Collatz L. The numerical treatment of differential equations. – Berlin: Springer-Verlag, 1960.
2. Fazio R. A novel approach to the numerical solution of boundary value problems on infinite intervals // SIAM J.
Numer. Anal. – 1996. – 33, № 4. – P. 1473 – 1483.
3. Hoog F. R., Weiss R. An approximation theory for boundary value problems on infinite intervals // Computing. –
1980. – 24. – P. 227 – 239.
4. Lentini M., Keller H. B. Boundary value problems on semi-infinite intervals and their numerical solution // SIAM J.
Numer. Anal. – 1980. – 17, № 4. – P. 577 – 604.
5. Markowich P. A., Ringhofer C. A. Collocation metods for boundary value problems on long intervals // Math.
Comput. – 1983. – 40, № 174. – P. 123 – 150.
6. Hoog F. R., Weiss R. The numerical solution of boundary value problems with an essential singularity // SIAM J.
Numer. Anal. – 1979. – 16, № 4. – P. 637 – 669.
7. Auzinger W., Kneisl G., Koch O., Weinmüller E. A collocation code for singular boundary value problems in ordinary
differential equations // Numer. Algorithms. – 2003. – 33, № 1. – P. 27 – 39.
8. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V., Makarov V. L. Difference schemes for nonlinear BVPs on the semiaxis //
Comput. Methods Appl. Math. – 2007. – 7, № 1. – P. 25 – 47.
9. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V., Makarov V. L. Adaptive algorithms based on exact difference schemes
for nonlinear BVPs on the half-axis // Appl. Numer. Math. – 2009. – 59. – P. 1529 – 1536.
10. Makarov V. L., Samarskii A. A. Exact three-point difference schemes for nonlinear ordinary differential equations of
second order, and their implementation // Soviet Math. Dokl. – 1990. – 41, № 3. – P. 495 – 500.
11. Kutniv M. V., Makarov V. L., Samarskii A. A. Accurate three-point difference schemes for second-order nonlinear
ordinary differential equations and their implementation // Comput. Math. and Math. Phys. – 1999. – 39, № 1. –
P. 45 – 60.
12. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Makarov V. L., Kutniv M. V. Exact and truncated difference schemes for boundary value
ODEs. – Basel: Springer AG, 2011.
13. Agarwal R. P., O’Regan D. Infinite interval problems for differential, difference and integral equations. – Dordrecht
etc.: Kluwer Acad. Publ., 2001.
14. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. – М.: Наука, 1957. – Т. 1.
15. Butcher J. C. Numerical methods for ordinary differential equations. – Chichester, West Sussex: John Wiley & Sons,
Ltd., 2003.
16. Hairer E., Norsett S. P., Wanner G. Solving ordinary differential equations. I. Nonstiff problems. – Berlin etc.:
Springer-Verlag, 1993.
Одержано 21.03.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1950 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:48Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/79/fb02884be5bc304893ae1d8b357b4f79.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19502019-12-05T09:32:42Z Realization of exact three-point difference schemes for nonlinear boundary-value problems on the semiaxis Про резольвенту процесу Леві з матрично-експоненціальним розподілом стрибків Król, M. Kutniv, M. V. Круль, М. Кутнів, М. В. New algorithmic realization of exact three-point difference schemes via the three-point difference schemes of high order of accuracy is proposed for the numerical solution of boundary-value problems for systems of nonlinear ordinary differential equations on the semiaxis. We study the existence and uniqueness of the solution of three-point difference schemes and estimatie the rate of convergence. The results of numerical experiments are also presented. Для численного решения краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на полупрямой разработана новая алгоритмическая реализация точных трехточечных разностных схем через трехточечные разностные схемы высокого порядка точности. Исследуются существование и единственность решения трехточечных разностных схем, получена оценка скорости сходимости. Приведены результаты численных экспериментов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1950 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 12 (2016); 1641-1656 Український математичний журнал; Том 68 № 12 (2016); 1641-1656 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1950/932 Copyright (c) 2016 Król M.; Kutniv M. V. |
| spellingShingle | Król, M. Kutniv, M. V. Круль, М. Кутнів, М. В. Realization of exact three-point difference schemes for nonlinear boundary-value problems on the semiaxis |
| title | Realization of exact three-point difference schemes for nonlinear
boundary-value problems on the semiaxis |
| title_alt | Про резольвенту процесу Леві з матрично-експоненціальним розподілом стрибків |
| title_full | Realization of exact three-point difference schemes for nonlinear
boundary-value problems on the semiaxis |
| title_fullStr | Realization of exact three-point difference schemes for nonlinear
boundary-value problems on the semiaxis |
| title_full_unstemmed | Realization of exact three-point difference schemes for nonlinear
boundary-value problems on the semiaxis |
| title_short | Realization of exact three-point difference schemes for nonlinear
boundary-value problems on the semiaxis |
| title_sort | realization of exact three-point difference schemes for nonlinear
boundary-value problems on the semiaxis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1950 |
| work_keys_str_mv | AT krolm realizationofexactthreepointdifferenceschemesfornonlinearboundaryvalueproblemsonthesemiaxis AT kutnivmv realizationofexactthreepointdifferenceschemesfornonlinearboundaryvalueproblemsonthesemiaxis AT krulʹm realizationofexactthreepointdifferenceschemesfornonlinearboundaryvalueproblemsonthesemiaxis AT kutnívmv realizationofexactthreepointdifferenceschemesfornonlinearboundaryvalueproblemsonthesemiaxis AT krolm prorezolʹventuprocesulevízmatričnoeksponencíalʹnimrozpodílomstribkív AT kutnivmv prorezolʹventuprocesulevízmatričnoeksponencíalʹnimrozpodílomstribkív AT krulʹm prorezolʹventuprocesulevízmatričnoeksponencíalʹnimrozpodílomstribkív AT kutnívmv prorezolʹventuprocesulevízmatričnoeksponencíalʹnimrozpodílomstribkív |