Some properties of the moduli of continuity of periodic functions in metric spaces
Let $L_0(T)$) be the set of real-valued periodic measurable functions, let $\Psi : R^{+} \rightarrow R^{+}$ be the modulus of continuity, and let $$L_{\Psi} \equiv L_{\Psi} (T) = \left\{ f \in L_0(T) : \| f\| _{\Psi} := \frac1{2\pi} \int_T \Psi (| f(x)| )dx < \infty \right\}.$$ We stu...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1951 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507848576860160 |
|---|---|
| author | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Pichugov, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:42Z |
| description | Let $L_0(T)$) be the set of real-valued periodic measurable functions, let $\Psi : R^{+} \rightarrow R^{+}$ be the modulus of continuity, and
let
$$L_{\Psi} \equiv L_{\Psi} (T) =
\left\{
f \in L_0(T) : \| f\| _{\Psi} := \frac1{2\pi} \int_T \Psi (| f(x)| )dx < \infty
\right\}.$$
We study the properties of multiple modules of continuity for the functions from $L_{\Psi}$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. А. Пичугов (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. трансп.)
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Let L0(T ) be the set of real-valued periodic measurable functions, let \Psi : R+ \rightarrow R+ be the modulus of continuity, and
let
L\Psi \equiv L\Psi (T ) =
\left\{ f \in L0(T ) : \| f\| \Psi :=
1
2\pi
\int
T
\Psi (| f(x)| )dx < \infty
\right\} .
We study the properties of multiple modules of continuity for the functions from L\Psi .
Нехай L0(T ) — множина дiйснозначних перiодичних вимiрних функцiй, \Psi : R+ \rightarrow R+ — модуль неперервностi,
L\Psi \equiv L\Psi (T ) =
\left\{ f \in L0(T ) : \| f\| \Psi :=
1
2\pi
\int
T
\Psi (| f(x)| )dx < \infty
\right\} .
У статтi дослiджуються властивостi кратних модулiв неперервностi функцiй з L\Psi .
1. Введение. Пусть \Omega — множество функций \Psi : R1
+ \rightarrow R1
+, являющихся функциями ти-
па модуля непрерывности, L\Psi :\equiv L\Psi [0, 2\pi ] — метрические пространства измеримых 2\pi -
периодических функций f таких, что
\rho (f, 0)\Psi := \| f\| \Psi =
1
2\pi
2\pi \int
0
\Psi (| f(x)| )dx < \infty .
Шкала пространств L\Psi содержит, в частности, известные пространства Lp :\equiv Lp[0, 2\pi ], p \in
\in (0, 1] (при \Psi (t) = tp).
Пусть \Delta tf(x) = f(x+ t) - f(x), \Delta k
t = \Delta t(\Delta
k - 1
t ), k \in N,
\omega k(f, h)\Psi = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \leq h
\| \Delta k
t f\| \Psi , h \geq 0, (1)
— модуль непрерывности порядка k функции f в пространстве L\Psi (в случае k = 1 вместо
\omega 1(f, h)\Psi будем писать \omega (f, h)\Psi ).
Мы будем изучать обобщения на случай пространств L\Psi следующих четырех свойств
модулей непрерывности функций, которые ранее были доказаны для пространств Lp, p \in (0, 1].
Для удобства изложения введем нумерацию этих свойств.
Свойство 1 (изометрическое вложение в L2). Для каждого из пространств Lp, 0 < p < 2,
существует отображение A : Lp \rightarrow L2 такое, что:
а) для любого f \in Lp
1
2\pi
2\pi \int
0
| f(x)| pdx =
1
2\pi
2\pi \int
0
| Af(x)| 2dx; (2)
б) для любых f \in Lp и h > 0
c\bigcirc С. А. ПИЧУГОВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12 1657
1658 С. А. ПИЧУГОВ
1
2\pi
2\pi \int
0
| \Delta hf(x)| pdx =
1
2\pi
2\pi \int
0
| \Delta hAf(x)| 2dx. (3)
Соотношение (2) доказано в [1], а соотношение (3) — в [2, 3].
Свойство 2. Наряду с (1) рассмотрим следующие характеристики гладкости функций:
\Lambda k(f, h)\Psi =
1
h
h\int
0
\| \Delta k
t f\| \Psi dt,
\Omega k(f, h)\Psi =
1
hk
h\int
0
. . .
h\int
0
\| \Delta k
t f\| \Psi dt1 . . . dtk,
где t = (t1, . . . , tk), \Delta
k
t
= \Delta t1 \circ . . . \circ \Delta tk .
Для пространств Lp, 0 < p < 1, связь этих характеристик исследовалась в [4], где доказана
их эквивалентность в том смысле, что для любого k \in N и произвольного h > 0 выполняются
неравенства
\omega k(f, h)p \leq C1\Omega k(f, h)p \leq C2\Lambda k(f, h)p \leq C3\omega k(f, h)p
с постоянными Ci, i = 1, 2, 3, не зависящими от f и h.
Свойство 3. Для всех f \in Lp, 0 < p < 1, и k \in N выполняются неравенства [4]
1
2\pi
2\pi \int
0
\| \Delta hf\| pdh \leq C4(k, p)
1
2\pi
2\pi \int
0
\| \Delta k
hf\| pdh.
Свойство 4. Пусть 0 < p < 1, k \in N . Тогда (см., например, [5], гл. 12, § 5) для всех n \in N
\omega k(f, nh)p \leq k1 - pn1+(k - 1)p\omega k(f, h)p.
2. Свойство 1. Изометрические вложения пространств \bfitL \Psi в \bfitL 2 . Пусть \Omega — подмно-
жество из \Omega , состоящее из вогнутых функций \Psi .
Теорема 1. Пусть \Psi \in \Omega , \Psi (\infty ) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \infty \Psi (t) < \infty , g(t) := \Psi (\infty ) - \Psi (t) \in L2(0,\infty ).
Тогда существует отображение A : L\Psi \rightarrow L2 такое, что для любой f \in L\Psi и каждого h > 0
\| f\| \Psi = \| Af\| 22, (4)
\| \Delta hf\| \Psi = \| \Delta hAf\| 22. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1659
Доказательство. В работах [1 – 3] при построении изометрических вложений Lp в L2
использовался аппарат интегральных преобразований. Мы следуем той же идее.
Пусть для функции g(t) \in L2(0,\infty )
\^g(s) =
\sqrt{}
2
\pi
\infty \int
0
g(t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(st)dt
— ее косинус-преобразование Фурье. По условию функция g(t) на [0,\infty ] убывает и выпуклая,
а значит, \^g(s) \geq 0. Далее
g(t) =
\sqrt{}
2
\pi
\infty \int
0
\^g(s) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(st)ds,
g(0) =
\sqrt{}
2
\pi
\infty \int
0
\^g(s)ds = \Psi (\infty ),
\Psi (t) = \Psi (\infty ) - g(t) = g(0) - g(t) =
\sqrt{}
2
\pi
\infty \int
0
\^g(s)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(st))ds =
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)| eist - 1| 2ds,
\Psi (| f(x)| ) = 1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)| eisf(x) - 1| 2ds = 1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)| Ff (s, x)| 2ds, (6)
где ограниченная функция Ff (s, x) := eisf(x) - 1 при каждом фиксированном s \in R+ является
периодической функцией переменной x и принадлежит L2[0, 2\pi ] \equiv : L2(x). Поэтому для ее
разложения в ряд Фурье
Ff (s, x) =
\infty \sum
k= - \infty
ck(s)e
ikx (7)
выполняется равенство Парсеваля
\| Ff (s, x)\| 2L2(x)
=
\infty \sum
k= - \infty
| ck(s)| 2.
Проинтегрируем (6) по переменной x и применим теоремы Фубини и Леви:
\| f\| \Psi =
1
2\pi
2\pi \int
0
\Psi (| f(x)| )dx =
1
2\pi
2\pi \int
0
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)| Ff (s, x)| 2dsdx =
=
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)\| Ff (s, x)\| 2L2(x)
ds =
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)
\infty \sum
k= - \infty
| ck(s)| 2ds =
=
\infty \sum
k= - \infty
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)| ck(s)| 2ds =
\infty \sum
k= - \infty
a2k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1660 С. А. ПИЧУГОВ
где
a2k :=
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)| ck(s)| 2ds.
Определим искомое отображение A равенством
Af(x) :=
\infty \sum
k= - \infty
ake
ikx,
тогда \| f\| \Psi = \| Af\| 22 .
Равенство (5) доказывается аналогично. Пусть \Delta h,xFf (s, x) = Ff (s, x + h) - Ff (s, x) —
приращение с шагом h функции Ff (s, x) по переменной x. Тогда
| \Delta h,xFf (s, x)| = | eisf(x+h) - eisf(x)| = | eis\Delta hf(x) - 1| = | F\Delta hf (s, x)| ,
поэтому (см. (6), (7))
\Psi (| \Delta hf(x)| ) =
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)| \Delta h,xFf (s, x)| 2ds,
\| \Delta hf\| \Psi :=
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)\| \Delta h,xFf (s, x)\| 2L2(x)
ds =
=
\infty \sum
k= - \infty
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^g(s)| ck(s)| 2ds2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kh) = \| \Delta hAf\| 22.
Теорема 1 доказана.
Условия теоремы 1 выполняются, например, для функций \Psi (t) = 1 - e - t, \Psi (t) =
t
1 + t
,
порождающих в соответствующих пространствах L\Psi топологию сходимости по мере.
Если \Psi (\infty ) = \infty , то, используя срезку функции \Psi , можно доказать следующее утвержде-
ние.
Теорема 2. Пусть \Psi \in \Omega и \Psi (\infty ) = \infty . Тогда существует последовательность отобра-
жений An : L\Psi \rightarrow L2, n \in N, таких, что для любой f из L\Psi и всех h > 0
\| f\| \Psi = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| Anf\| 22,
\| \Delta hf\| \Psi = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| \Delta hAnf\| 22. (8)
Доказательство. Для n \in N положим
\Psi (n)(t) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\Psi (t);n), | f(n)(x)| = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(| f(x)| ;n),
gn(t) = \Psi (n) - \Psi (n)(t) = (\Psi (n) - \Psi (t))+,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1661
тогда
\^gn(s) \geq 0,
\Psi (n)(t) =
\sqrt{}
2
\pi
\infty \int
0
\^gn(s)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} st)ds,
\Psi (n)(| f(x)| ) =
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^gn(s)| eisf(x) - 1| 2ds,
1
2\pi
2\pi \int
0
\Psi (n)(| f(x)| )dx =
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^gn(s)\| Ff (s, x)\| 2L2(x)
ds =
=
\infty \sum
k= - \infty
1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^gn(s)| ck(s)| 2ds. (9)
Определим отображение An равенством
Anf(x) :=
\infty \sum
k= - \infty
\left( 1\surd
2\pi
\infty \int
0
\^gn(s)| ck(s)| 2ds
\right) 1/2
eikx,
тогда из (9) следует, что
1
2\pi
2\pi \int
0
\Psi (n)(| f(x)| )dx = \| Anf(x)\| 22.
Осталось учесть, что \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \| f\| \Psi (n)
= \| f\| \Psi .
Заметим, что если функция f существенно ограничена, то при n0 > \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} | f(x)|
\Psi (n0)(| f(x)| ) = \Psi (| f(x)| ) почти всюду. Тогда
\| f\| \Psi = \| An0f\| 22.
Аналогично доказывается и соотношение (8).
Теорема 2 доказана.
3. Теорема 3 (свойство 2). Пусть \Psi \in \Omega , k \in N . Тогда для всех f \in L\Psi и h > 0
выполняются неравенства
\omega k(f, h)\Psi \leq C1\Omega k(f, h)\Psi \leq C2\Lambda k(f, h)\Psi \leq C3\omega k(f, h)\Psi (10)
с постоянными Ci, i = 1, 2, 3, не зависящими от f и h.
Доказательство. Третье неравенство в (10) очевидное. Доказательство второго нера-
венства в случае L\Psi = Lp, 0 < p < 1, в [4] основано на алгебраических тождествах для
суперпозиций приращений, фактически не использует специфических свойств Lp-метрики и с
очевидными изменениями имеет место для произвольных пространств L\Psi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1662 С. А. ПИЧУГОВ
Первое неравенство в (10) достаточно доказать при k = 1. Общий случай получим k-
кратным применением полученного неравенства.
Заметим, что аналогичное неравенство выполняется в L2 [6]:
\omega 2(f, h)2 \leq C4
h\int
0
\| \Delta sf\| 22ds. (11)
Поэтому используем вложение L\Psi в L2 .
Пусть \Psi — наименьшая вогнутая мажоранта модуля непрерывности \Psi . Так как (см., на-
пример, [7], гл. 2, § 1) \Psi (x) \leq \=\Psi (x) \leq 2\Psi (x), то \| f\| \Psi \leq \| f\| \=\Psi \leq 2\| f\| \Psi .
Пусть t \in (0, h] и, например, \Psi (\infty ) = \infty . Тогда, используя теорему 2, неравенство (11) и
теорему Лебега о предельном переходе, получаем искомое неравенство
\| \Delta tf\| \Psi \leq \| \Delta tf\| \=\Psi = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| \Delta tAnf\| 22 \leq C4 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1
h
h\int
0
\| \Delta sAnf\| 22ds =
= C4
1
h
h\int
0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| \Delta sAnf\| 22ds = C4
1
h
h\int
0
\| \Delta sf\| \Psi ds \leq 2C4
1
h
h\int
0
\| \Delta sf\| \Psi ds.
Теорема 3 доказана.
4. Cвойство 3. Пусть для \Psi \in \Omega
M\Psi (t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s>0
\Psi (st)
\Psi (s)
(12)
— ее функция растяжения (см. [7], гл. 2, § 1).
Теорема 4 (свойство 3). Пусть k \in N, функция \Psi из \Omega такова, что M\Psi
\biggl(
1
2k
\biggr)
< 1. Тогда
для любой f \in L\Psi выполняется неравенство
2\pi \int
0
\| \Delta k
hf\| \Psi dh \leq k2
1 - M\Psi
\biggl(
1
2k
\biggr) 2\pi \int
0
\| \Delta k+1
h f\| \Psi dh. (13)
Для нормированных пространств Lp, p \geq 1, неравенство тaкого типа доказано в [8]. Мы
используем ту же идею доказательства, что в [8], а также неравенство \Psi (st) \leq M\Psi (t)\Psi (s),
которое следует из определения (12).
Доказательство. Поскольку ([9], гл. 3, § 3)
\Delta k
2hf(x) - 2k\Delta k
hf(x) =
k\sum
l=1
C l
k
l - 1\sum
m=0
\Delta k+1
h f(x+mh),
то
\Delta k
hf(x) =
1
2k
\Delta k
2hf(x) -
k\sum
l=1
C l
k
2k
l - 1\sum
m=0
\Delta k+1
h f(x+mh),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1663
\Psi (| \Delta k
hf(x)| ) \leq M\Psi
\biggl(
1
2k
\biggr)
\Psi (| \Delta k
2hf(x)| ) +
k\sum
l=1
M\Psi
\biggl(
C l
k
2k
\biggr) l - 1\sum
m=0
\Psi (| \Delta k+1
h f(x+mh)| ),
\| \Delta k
hf\| \Psi \leq M\Psi
\biggl(
1
2k
\biggr)
\| \Delta k
2hf\| \Psi +
\Biggl(
k\sum
l=1
l \cdot M\Psi
\biggl(
C l
k
2k
\biggr) \Biggr)
\| \Delta k+1
h f\| \Psi .
Так как M\Psi
\biggl(
C l
k
2k
\biggr)
\leq 1, то
\| \Delta k
hf\| \Psi - M\Psi
\biggl(
1
2k
\biggr)
\| \Delta k
2hf\| \Psi \leq k2\| \Delta k+1
h f\| \Psi .
Отсюда следует (13).
Теорема 4 доказана.
Следствие. Пусть \Psi \in \Omega , M\Psi
\biggl(
1
2
\biggr)
< 1, k = 2, 3, . . . . Тогда для любой f \in L\Psi
2\pi \int
0
\| \Delta hf\| \Psi dh \leq C(k)
2\pi \int
0
\| \Delta k
hf\| \Psi dh.
5. Теорема 5 (свойство 4). Пусть \Psi \in \Omega , k, n \in N, n \geq 2. Тогда для любой f \in L\Psi и всех
h > 0
\omega k(f, nh)\Psi \leq C(k)nM\Psi (n
k - 1)\omega k(f, h)\Psi . (14)
Доказательство. Поскольку ([9], гл. 3, § 3)
\Delta k
nhf(x) =
n - 1\sum
\nu 1=0
. . .
n - 1\sum
\nu k=0
\Delta k
hf(x+ (\nu 1 + . . .+ \nu k)h),
то
\Delta k
nhf(x) =
(n - 1)k\sum
s=0
rk,n(s)\Delta
k
hf(x+ sh), (15)
где rk,n(s) — число решений уравнения
\sum k
i=1
\nu i = s при условии \nu i \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} .
Заметим, что \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ rk,n(s); s \leq (n - 1)k\} = C5(k)n
k - 1 .
Из (15) следует, что
\| \Delta k
nhf\| \Psi
\| \Delta k
hf\| \Psi
\leq
(n - 1)k\sum
s=0
M\Psi (rk,n(s)) \leq M\Psi (C5(k)n
k - 1)
(n - 1)k\sum
s=0
M\Psi
\biggl(
rk,n(s)
C5(k)nk - 1
\biggr)
\leq
\leq M\Psi (C5(k))M\Psi (n
k - 1)(n - 1)k \leq C(k)M\Psi (n
k - 1)n.
Мы использовали полумультипликативность M\Psi и тот факт, что M\Psi (t) \leq 1 при t \leq 1.
Теорема 5 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1664 С. А. ПИЧУГОВ
Литература
1. Schoenberg I. J. The isometric imbedding of metric spaces into Hilbert space and positive definite functions. – Amer.
Math. Soc., 1932.
2. Конягин С. В. О модулях непрерывности функций // Тезисы докл. Всесоюз. школы по теории функций. –
Кемерово, 1983. – 59 c.
3. Черных Н. И. Неравенство Джексона в Lp[0, 2\pi ] с точной константой // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1992. –
198. – С. 232 – 241.
4. Руновский К. В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp,
0 < p < 1 // Мат. сб. – 1994. – 185, № 8. – С. 81 – 102.
5. DeVor R. A., Lorentz G. G. Constructive approximation. – New York: Springer, 1993.
6. Руновский К. В. Об одной оценке для интегрального модуля гладкости // Изв. вузов. Математика. – 1992. – 1. –
С. 78 – 80.
7. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
8. Стороженко Э. А. Приближение функций интерполяционными в среднем сплайнами // Изв. вузов. Математи-
ка. – 1976. – 12. – С. 82 – 95.
9. Тиман А. Ф. Теория приближений функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
Получено 09.08.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1951 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:50Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/34/3dd56b2b1cee288f6930bdb06feb2634.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19512019-12-05T09:32:42Z Some properties of the moduli of continuity of periodic functions in metric spaces Некоторые свойства модулей непрерывности периодических функций в метрических пространствах Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. Let $L_0(T)$) be the set of real-valued periodic measurable functions, let $\Psi : R^{+} \rightarrow R^{+}$ be the modulus of continuity, and let $$L_{\Psi} \equiv L_{\Psi} (T) = \left\{ f \in L_0(T) : \| f\| _{\Psi} := \frac1{2\pi} \int_T \Psi (| f(x)| )dx < \infty \right\}.$$ We study the properties of multiple modules of continuity for the functions from $L_{\Psi}$. Нехай $L_0(T)$ — множина дiйснозначних перiодичних вимiрних функцiй, $\Psi : R^{+} \rightarrow R^{+}$ — модуль неперервностi, $$L_{\Psi} \equiv L_{\Psi} (T) = \left\{ f \in L_0(T) : \| f\| _{\Psi} := \frac1{2\pi} \int_T \Psi (| f(x)| )dx < \infty \right\}.$$ У статтi дослiджуються властивостi кратних модулiв неперервностi функцiй з $L_{\Psi}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1951 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 12 (2016); 1657-1664 Український математичний журнал; Том 68 № 12 (2016); 1657-1664 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1951/933 Copyright (c) 2016 Pichugov S. A. |
| spellingShingle | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. Some properties of the moduli of continuity of periodic functions in metric spaces |
| title | Some properties of the moduli of continuity of periodic functions in metric spaces |
| title_alt | Некоторые свойства модулей непрерывности периодических функций
в метрических пространствах |
| title_full | Some properties of the moduli of continuity of periodic functions in metric spaces |
| title_fullStr | Some properties of the moduli of continuity of periodic functions in metric spaces |
| title_full_unstemmed | Some properties of the moduli of continuity of periodic functions in metric spaces |
| title_short | Some properties of the moduli of continuity of periodic functions in metric spaces |
| title_sort | some properties of the moduli of continuity of periodic functions in metric spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1951 |
| work_keys_str_mv | AT pichugovsa somepropertiesofthemoduliofcontinuityofperiodicfunctionsinmetricspaces AT pičugovsa somepropertiesofthemoduliofcontinuityofperiodicfunctionsinmetricspaces AT pičugovsa somepropertiesofthemoduliofcontinuityofperiodicfunctionsinmetricspaces AT pichugovsa nekotoryesvojstvamodulejnepreryvnostiperiodičeskihfunkcijvmetričeskihprostranstvah AT pičugovsa nekotoryesvojstvamodulejnepreryvnostiperiodičeskihfunkcijvmetričeskihprostranstvah AT pičugovsa nekotoryesvojstvamodulejnepreryvnostiperiodičeskihfunkcijvmetričeskihprostranstvah |