Order estimates for the approximative characteristics of functions from the classes $S_{p,θ}^{Ω} B(R^d)$ with a given majorant of generalized mixed modules of smoothness in the uniform metric
We establish the exact-order estimates of approximation for the classes $S_{p,θ}^{Ω} B$ of functions of several variables defined on $R^d$ in the norm of $L_{\infty} (R^d)$ by entire functions of exponential type with supports of their Fourier transforms in the sets generated by the level surfaces o...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1955 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507855598125056 |
|---|---|
| author | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_facet | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_sort | Yanchenko, S. Ya. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:42Z |
| description | We establish the exact-order estimates of approximation for the classes $S_{p,θ}^{Ω} B$ of functions of several variables defined on
$R^d$ in the norm of $L_{\infty} (R^d)$ by entire functions of exponential type with supports of their Fourier transforms in the sets
generated by the level surfaces of a function $\Omega$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
С. Я. Янченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ФУНКЦIЙ
IЗ КЛАСIВ \bfitS \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta \bfitB (\BbbR \bfitd ) IЗ ЗАДАНОЮ МАЖОРАНТОЮ МIШАНИХ
МОДУЛIВ НЕПЕРЕРВНОСТI У РIВНОМIРНIЙ МЕТРИЦI
We establish the exact-order estimates of approximation for the classes S\Omega
p,\theta B of functions of several variables defined on
\BbbR d in the norm of L\infty (\BbbR d) by entire functions of exponential type with supports of their Fourier transforms in the sets
generated by the level surfaces of a function \Omega .
Установлены точные по порядку оценки приближения функций из классов S\Omega
p,\theta B, определенных на \BbbR d, в метрике
пространства L\infty (\BbbR d) с помощью целых функций экспоненциального типа с носителями их преобразований Фурье
на множествах, которые порождаются поверхностями уровня функции \Omega .
1. Означення класiв функцiй та апроксимативних характеристик. У цiй статтi продов-
жено дослiдження апроксимативних характеристик функцiй iз класiв Нiкольського – Бєсова
S\Omega
p,\theta B(\BbbR d) у просторах Lq(\BbbR d) [1]. Встановлено точнi за порядком оцiнки наближення функцiй
iз даних класiв за допомогою цiлих функцiй експоненцiального типу з носiями їх перетворень
Фур’є на множинах, якi породжуються поверхнями рiвня функцiї \Omega у випадку, коли похибка
наближення оцiнюється у метрицi простору L\infty (\BbbR d).
Для зручностi означення просторiв Нiкольського – Бєсова S\Omega
p,\theta B(\BbbR d) дамо опосередковано
через так зване декомпозицiйне зображення елементiв цих просторiв. Зазначимо, що для про-
сторiв Нiкольського – Бєсова функцiй мiшаної гладкостi вперше декомпозицiйне зображення та
вiдповiдне йому нормування з’явились у роботi С. М. Нiкольського та П. I. Лiзоркiна [2] i, як
з’ясувалося пiзнiше, вiдiграли ключову роль у дослiдженнях, якi пов’язанi з апроксимацiєю
класiв функцiй. Наведемо спочатку необхiднi означення та позначення.
Нехай \BbbR d — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами \bfitx = (x1, . . . , xd) i (\bfitx ,\bfity ) = x1y1+. . .
. . .+xdyd. Через Lq(\BbbR d), 1 \leq q \leq \infty , позначимо простiр вимiрних на \BbbR d функцiй зi скiнченною
нормою
\| f\| Lq := \| f\| q :=
\left( \int
\BbbR d
| f(\bfitx )| qd\bfitx
\right) 1/q
, 1 \leq q < \infty ,
\| f\| L\infty := \| f\| \infty := \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \BbbR d
| f(\bfitx )| .
Для функцiї f \in Lq(\BbbR d) розглянемо рiзницю l-го порядку, l \in \BbbN , за змiнною xj з кроком
hj , яка визначається таким чином:
\Delta l
hj
f(\bfitx ) :=
l\sum
n=0
( - 1)l - nCn
l f(x1, . . . , xj - 1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Також означимо кратну рiзницю l-го порядку функцiї f з векторним кроком \bfith = (h1, . . . , hd):
c\bigcirc С. Я. ЯНЧЕНКО, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12 1705
1706 С. Я. ЯНЧЕНКО
\Delta l
\bfith f(\bfitx ) = \Delta l
hd
\Bigl(
\Delta l
hd - 1
. . . (\Delta l
h1
f(\bfitx ))
\Bigr)
.
Мiшаний модуль неперервностi порядку l функцiї f \in Lq(\BbbR d) визначається згiдно з фор-
мулою
\Omega l(f, \bfitt )q := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| \bfith | \leq \bfitt
\| \Delta l
\bfith f(\cdot )\| q,
де | \bfith | = (| h1| , . . . , | hd| ), а нерiвностi типу \bfita \leq \bfitb (\bfita > \bfitb ) для векторiв \bfita = (a1, . . . , ad) та
\bfitb = (b1, . . . , bd) тут i далi розумiємо покоординатно, тобто aj \leq bj (aj > bj), j = 1, d. Також
будемо використовувати запис \bfitt \geq 0, якщо tj \geq 0, j = 1, d.
Нехай \Omega (\bfitt ), \bfitt = (t1, . . . , td), — функцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку l,
тобто функцiя, яка визначена i неперервна на \BbbR d
+, що задовольняє такi умови:
1) \Omega (\bfitt ) > 0, \bfitt > 0, i \Omega (\bfitt ) = 0, якщо
\prod d
j=1
tj = 0;
2) \Omega (\bfitt ) неспадна за кожною змiнною;
3) \Omega (m1t1, . . . ,mdtd) \leq
\biggl( \prod d
j=1
mj
\biggr) l
\Omega (\bfitt ), mj \in \BbbN , j = 1, d.
Множину таких функцiй \Omega позначимо через \Psi l.
Додатково будемо вимагати, щоб функцiя \Omega задовольняла умови (S\alpha ) та (Sl), якi називають
умовами Барi – Стєчкiна [3]. Сформулюємо їх:
а) функцiя однiєї змiнної \varphi (\tau ) \geq 0 задовольняє умову (S\alpha ), якщо iснує таке \alpha > 0, що
\varphi (\tau )/\tau \alpha майже зростає, тобто iснує така незалежна вiд \tau 1 i \tau 2 стала C1 > 0, що
\varphi (\tau 1)
\tau \alpha 1
\leq C1
\varphi (\tau 2)
\tau \alpha 2
, 0 < \tau 1 \leq \tau 2 \leq 1;
б) функцiя однiєї змiнної \varphi (\tau ) \geq 0 задовольняє умову (Sl), якщо iснує таке \gamma , 0 < \gamma < l,
що \varphi (\tau )/\tau l - \gamma майже спадає, тобто iснує така незалежна вiд \tau 1 i \tau 2 стала C2 > 0, що
\varphi (\tau 1)
\tau l - \gamma
1
\geq C2
\varphi (\tau 2)
\tau l - \gamma
2
, 0 < \tau 1 \leq \tau 2 \leq 1.
Будемо вважати, що \Omega задовольняє умови (S\alpha ) та (Sl), якщо \Omega задовольняє цi умови за
кожною змiнною tj при всiх фiксованих значеннях змiнних ti, i \not = j. У випадку, коли для \Omega
виконано умову (S\alpha ), будемо говорити, що \Omega належить множинi S\alpha , а якщо умову (Sl), то —
множинi Sl. Стверджуючи це (також i для функцiї \omega однiєї змiнної), використовуватимемо запис
\Omega \in \Phi \alpha ,l, (\omega \in \Phi \alpha ,l ), l \in \BbbN , де множина \Phi \alpha ,l визначається спiввiдношенням \Phi \alpha ,l = \Psi l\cap S\alpha \cap Sl.
Далi, нехай S = S(\BbbR d) — простiр Л. Шварца основних нескiнченно диференцiйовних на
\BbbR d комплекснозначних функцiй \varphi , що спадають на нескiнченностi разом зi своїми похiдними
швидше за будь-який степiнь функцiї
\bigl(
x21 + . . .+ x2d
\bigr) - 1
2 (див., наприклад, [4]). Через S\prime позна-
чимо простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв над S. Зазначимо, що елементами простору
S\prime є узагальненi функцiї.
Через \frakF \varphi та \frakF - 1\varphi будемо позначати вiдповiдно пряме та обернене перетворення Фур’є
функцiй iз просторiв S та S\prime .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ \bfitS \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta \bfitB (\BbbR \bfitd ) . . . 1707
Носiєм узагальненої функцiї f будемо називати замикання \frakN такої множини точок \frakN \subset \BbbR d,
що для довiльної \varphi \in S, яка дорiвнює нулю в \frakN , виконується рiвнiсть \langle f, \varphi \rangle = 0. Носiй
узагальненої функцiї f будемо позначати через \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f.
Зазначимо, що для 1 \leq p \leq \infty iснує природне неперервне вкладення Lp(\BbbR d) в S\prime i в цьому
сенсi функцiї з Lp(\BbbR d) ототожнюються з елементами з S\prime .
Далi, для кожного вектора \bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbZ +, j = 1, d, розглянемо множину
Q\ast
2\bfits := Q\ast (\bfits ) :=
\bigl\{
\bfitlambda = (\lambda 1, . . . , \lambda d) : \eta (sj)2
sj - 1 \leq | \lambda j | < 2sj , \lambda j \in \BbbR , j = 1, d
\bigr\}
,
де \eta (0) = 0 i \eta (t) = 1, t > 0.
Нехай \scrA \subset \BbbR d — деяка вимiрна множина. Позначимо через \chi \scrA характеристичну функцiю
множини \scrA i для f \in Lp(\BbbR d) покладемо
\delta \ast \bfits (f,\bfitx ) = \frakF - 1
\Bigl(
\chi Q\ast
2\bfits
\cdot \frakF f
\Bigr)
.
Простори S\Omega
p,\theta B(\BbbR d) для 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty i \Omega \in \Phi \alpha ,l означаються таким чином
(див., наприклад, [1]):
S\Omega
p,\theta B(\BbbR d) :=
\Bigl\{
f \in Lp(\BbbR d) : \| f\| S\Omega
p,\theta B(\BbbR d) < \infty
\Bigr\}
,
де
\| f\| S\Omega
p,\theta B
\asymp
\left\{ \sum
\bfits \geq 0
\bigl(
\Omega (2 - \bfits )
\bigr) - \theta \| \delta \ast \bfits (f, \cdot )\| \theta p
\right\}
1
\theta
(1)
при 1 \leq \theta < \infty i
\| f\| S\Omega
p,\infty B \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \geq 0
\| \delta \ast \bfits (f, \cdot )\| p
\Omega (2 - \bfits )
(2)
при \theta = \infty , де \Omega (2 - \bfits ) = \Omega (2 - s1 , . . . , 2 - sd).
Зауважимо, що простори функцiй S\Omega
p,\theta B(\BbbR d) є узагальненням вiдомих просторiв S\bfitr
p,\theta B(\BbbR d),
що визначаються при явному заданнi функцiї \Omega , а саме \Omega (\bfitt ) = \bfitt \bfitr = tr11 . . . trdd , 0 < rj < l,
j = 1, d. Нагадаємо також, що простори S\bfitr
pH(\BbbR d) = S\bfitr
p,\infty B(\BbbR d) уперше були розглянутi
С. М. Нiкольським [5], а простори S\bfitr
p,\theta B(\BbbR d) при 1 \leq \theta < \infty були введенi Т. I. Амановим [6].
Далi часто будемо використовувати скороченi позначення S\Omega
p,\theta B, S\bfitr
p,\theta B i S\bfitr
pH вiдповiдно для
S\Omega
p,\theta B(\BbbR d), S\bfitr
p,\theta B(\BbbR d) та S\bfitr
pH(\BbbR d).
Пiд класом S\Omega
p,\theta B будемо розумiти множину функцiй f \in Lp(\BbbR d), для яких \| f\| S\Omega
p,\theta B
\leq 1, i
при цьому збережемо для класiв S\Omega
p,\theta B тi самi позначення, що i для просторiв S\Omega
p,\theta B.
Тут i далi по тексту для додатних величин A i B використовуємо запис A \asymp B, який означає,
що iснують такi додатнi сталi C3 та C4, якi не залежать вiд одного iстотного параметра у
величинах A i B (наприклад, у спiввiдношеннях (1) i (2) — вiд функцiї f ), що C3A \leq B \leq C4A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1708 С. Я. ЯНЧЕНКО
Якщо тiльки B \leq C4A (B \geq C3A), то пишемо B \ll A (B \gg A). Всi сталi Ci, i = 1, 2, . . . ,
якi зустрiчаються у роботi, залежать, можливо, лише вiд параметрiв, що входять в означення
класу, метрики, в якiй оцiнюється похибка наближення, та розмiрностi простору \BbbR d.
Перейдемо до означення апроксимативних характеристик.
Нехай \scrL \subset \BbbZ d
+ — деяка обмежена множина. Розглянемо множину Q(\scrL ) =
\bigcup
\bfits \in \scrL Q\ast (\bfits ). Далi
для f \in Lq(\BbbR d), 1 \leq q \leq \infty , покладемо
SQ(\scrL )f(\bfitx ) = SQ(\scrL )(f,\bfitx ) =
\sum
\bfits \in \scrL
\delta \ast \bfits (f,\bfitx ), \bfitx \in \BbbR d,
i позначимо
\scrE Q(\scrL )(f)q = \| f(\cdot ) - SQ(\scrL )f(\cdot )\| q
та
\scrE Q(\scrL )(F )q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\scrE Q(\scrL )(f)q. (3)
Зауважимо, що SQ(\scrL )(f,\bfitx ) — цiла функцiя з носiєм її перетворення Фур’є на множинi
Q(\scrL ).
Дослiдження величини (3) будемо проводити у випадку, коли F = S\Omega
p,\theta B(\BbbR d), а множина \scrL
певним чином пов’язана з функцiєю \Omega .
Для будь-якого N \in \BbbN i 1 < p < \infty покладемо
\kappa (\Omega , N) := \kappa (N) :=
\biggl\{
\bfits = (s1, . . . , sd) \in \BbbZ d
+ : \Omega (2 - \bfits )2
\| \bfits \| 1
p \geq 1
N
\biggr\}
,
Q(\kappa (N)) := Q(N) =:
\bigcup
\bfits \in \kappa (N)
Q\ast (\bfits ),
де \| \bfits \| 1 = s1 + . . .+ sd.
Зазначимо, що множини Q(N) породжуються поверхнями рiвня функцiї \Omega (\bfitt )\bfitt -
1
p , \Omega (\bfitt ) \in
\in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
. Якщо \Omega (\bfitt ) = \Omega 1(\bfitt )/
\prod d
j=1
t
- 1
p
j i \Omega 1(\bfitt ) =
\prod d
j=1
t
rj
j , 0 < rj < l, j = 1, d, то
одержимо множини Q(N), якi називаються схiдчастими гiперболiчними хрестами.
Наближення класiв Нiкольського – Бєсова перiодичних функцiй мiшаної гладкостi триго-
нометричними полiномами зi спектром у схiдчастому гiперболiчному хрестi та на множинах
Q(N) розглядалися, зокрема, у роботах [7 – 11].
Формулювання допомiжних результатiв та доведення основних потребує означення ще де-
яких множин в \BbbZ d
+.
Покладемо
\kappa \bot (\Omega , N) := \kappa \bot (N) :=
\biggl\{
\bfits = (s1, . . . , sd) \in \BbbZ d
+ : \Omega (2 - \bfits )2
\| \bfits \| 1
p <
1
N
\biggr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ \bfitS \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta \bfitB (\BbbR \bfitd ) . . . 1709
Q\bot (\kappa \bot (N)) := Q\bot (N) :=
\bigcup
\bfits \in \kappa \bot (N)
Q\ast (\bfits ),
\Theta (N) := \kappa \bot (N)\setminus \kappa \bot (2lN),
тобто
\Theta (N) =
\biggl\{
\bfits = (s1, . . . , sd) \in \BbbZ d
+ :
1
2lN
\leq \Omega (2 - \bfits )2
\| \bfits \| 1
p <
1
N
\biggr\}
. (4)
В [9] показано, що має мiсце спiввiдношення
| \Theta (N)| \asymp (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2N)d - 1 , (5)
де через | A| позначено кiлькiсть елементiв скiнченної множини A.
Мають мiсце такi твердження.
Лема А [9]. Нехай \Omega — функцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, яка за-
довольняє умову (S\alpha ) при \alpha > \beta > 0. Тодi для 0 < \mu < \infty \sum
\bfits \in \kappa \bot (N)
\Bigl(
\Omega (2 - \bfits )2\| s\| 1\beta
\Bigr) \mu
\ll
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Bigl(
\Omega (2 - \bfits )2\| s\| 1\beta
\Bigr) \mu
. (6)
Як наслiдок з (4) – (6) для 0 < \mu < \infty маємо
\sum
\bfits \in \kappa \bot (N)
\biggl(
\Omega (2 - \bfits )2
\| \bfits \| 1
p
\biggr) \mu
\ll
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\biggl(
\Omega (2 - \bfits )2
\| \bfits \| 1
p
\biggr) \mu
<
<
\biggl(
1
N
\biggr) \mu \sum
\bfits \in \Theta (N)
1 =
\biggl(
1
N
\biggr) \mu
| \Theta (N)| \asymp
\biggl(
1
N
\biggr) \mu
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2N)d - 1 . (7)
Теорема А [12, c. 150]. Якщо 1 \leq p \leq p\prime \leq \infty , то для цiлої функцiї експоненцiального
типу g\bfitnu \in Lp(\BbbR d) має мiсце нерiвнiсть (рiзних метрик)
\| g\bfitnu \| Lp\prime (\BbbR d) \leq 2d
\left( d\prod
j=1
\nu k
\right) 1
p
- 1
p\prime
\| g\bfitnu \| Lp(\BbbR d).
2. Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик класiв \bfitS \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta \bfitB (\BbbR \bfitd ) у рiвномiрнiй
метрицi. Встановимо порядковi за параметром N оцiнки величини \scrE Q(\scrL )(F )q для F = S\Omega
p,\theta B
у випадку, коли \scrL = \kappa (N), тобто розглядається наближення на множинi Q(N) при певних
обмеженнях на параметри p, q, \theta та \Omega .
Теорема. Нехай 1 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , \Omega (\bfitt ) \in \Phi \alpha ,l з деяким \alpha >
1
p
, тодi справедливою
є порядкова оцiнка
\scrE Q(N)(S
\Omega
p,\theta B)\infty \asymp 1
N
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2N)(d - 1)(1 - 1
\theta ) . (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1710 С. Я. ЯНЧЕНКО
Доведення. Спочатку встановимо у (8) оцiнку зверху. Використавши нерiвнiсть Мiнковсько-
го та теорему А, одержимо
\scrE Q(N)(f)\infty =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(\cdot ) -
\sum
\bfits \in \kappa (N)
\delta \ast \bfits (f, \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfits \in \kappa \bot (N)
\delta \ast \bfits (f, \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\ll
\ll
\sum
\bfits \in \kappa \bot (N)
2
\| \bfits \| 1
p \| \delta \ast \bfits (f, \cdot )\| p. (9)
Далi, щоб продовжити оцiнку (9), розглянемо два випадки.
Нехай 1 \leq \theta < \infty . Тодi, застосувавши до (9) нерiвнiсть Гельдера (з вiдповiдною модифiка-
цiєю при \theta = 1), а також врахувавши спiввiдношення (7), отримаємо
\scrE Q(N)(f)\infty \ll
\left( \sum
\bfits \in \kappa \bot (N)
\| \delta \ast \bfits (f, \cdot )\| \theta p
\bigl(
\Omega (2 - \bfits )
\bigr) - \theta
\right) 1
\theta
\times
\times
\left( \sum
\bfits \in \kappa \bot (N)
\biggl(
2
\| \bfits \| 1
p \Omega (2 - \bfits )
\biggr) \theta
\theta - 1
\right) 1 - 1
\theta
\ll
\ll \| f\| S\Omega
p,\theta B
1
N
| \Theta (N)| 1 -
1
\theta \asymp 1
N
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2N)(d - 1)(1 - 1
\theta ).
Якщо ж \theta = \infty , то для f \in S\Omega
p,\infty B, згiдно з (2), має мiсце спiввiдношення \| \delta \ast \bfits (f, \cdot )\| p \ll
\ll \Omega (2 - \bfits ). Тому, використавши (7), будемо мати
\scrE Q(N)(f)\infty \ll
\sum
\bfits \in \kappa \bot (N)
2
\| \bfits \| 1
p \Omega (2 - \bfits ) \ll 1
N
| \Theta (N)| \asymp 1
N
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2N)d - 1.
Оцiнку зверху в теоремi встановлено.
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу. Для цього розглянемо кiлька випадкiв у залежнос-
тi вiд значень параметра \theta та побудуємо функцiї f \in S\Omega
p,\theta B, для яких оцiнки знизу величин
\scrE Q(N)(f)\infty збiгаються за порядком з оцiнками знизу величин \scrE Q(N)(S
\Omega
p,\theta B)\infty в (8). Спочатку
означимо функцiю, на основi якої буде здiйснюватися їх побудова.
Для \bfitx = (x1, . . . , xd) покладемо
D\bfitk (\bfitx ) =
d\prod
j=1
Dkj (xj), \bfitk \in \BbbZ d
+,
де
Dkj (xj) =
\sqrt{}
2
\pi
\biggl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
xj
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2kj + 1
2
xj
\biggr)
\cdot x - 1
j .
Зауважимо, що для перетворення Фур’є функцiї D\bfitk (\bfitx ) справджується рiвнiсть (див., на-
приклад, [13])
\frakF D\bfitk (\bfitx ) = \chi \bfitk (\bfitx ) =
d\prod
j=1
\chi kj (xj),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ \bfitS \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta \bfitB (\BbbR \bfitd ) . . . 1711
де
\chi kj (xj) =
\left\{
1, kj < | xj | < kj + 1,
1
2
, | xj | = kj або | xj | = kj + 1,
0 — в iнших випадках,
\chi 0(xj) =
\left\{
1, | xj | < 1,
1
2
, | xj | = 1,
0, | xj | > 1.
Вiдповiдно для оберненого перетворення будемо мати
\frakF - 1\chi \bfitk (\bfitt ) = D\bfitk (\bfitx ).
Зазначимо, що при 1 < p \leq \infty має мiсце оцiнка (див., наприклад, [13, 14])\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfitk \in \rho +(\bfits )
D\bfitk (\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\asymp 2
\| \bfits \| 1
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
, (10)
де
\rho +(\bfits ) :=
\Bigl\{
\bfitk = (k1, . . . , kd) : \eta (sj)2
sj - 1 \leq kj < 2sj , kj \in \BbbZ d
+, j = 1, d
\Bigr\}
.
Розглянемо функцiю
f1(\bfitx ) = C5| \Theta (N)| -
1
\theta
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Omega (2 - \bfits )2
- \| \bfits \| 1
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) \sum
\bfitk \in \rho +(\bfits )
D\bfitk (\bfitx )
при 1 \leq \theta < \infty та
f2(\bfitx ) = C6
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Omega (2 - \bfits )2
- \| \bfits \| 1
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) \sum
\bfitk \in \rho +(\bfits )
D\bfitk (\bfitx )
при \theta = \infty .
Покажемо, що для певного вибору сталих C5 > 0 та C6 > 0 данi функцiї належать до класу
S\Omega
p,\theta B та S\Omega
p,\infty B вiдповiдно.
Для f1, використавши спiввiдношення (10), отримаємо
\| f1(\cdot )\| S\Omega
p,\theta B
\asymp
\left( \sum
\bfits \in \Theta (N)
\bigl(
\Omega (2 - \bfits )
\bigr) - \theta \| \delta \ast \bfits (f1, \cdot )\| \theta p
\right) 1
\theta
\asymp
\asymp | \Theta (N)| -
1
\theta
\left( \sum
\bfits \in \Theta (N)
\bigl(
\Omega (2 - \bfits )
\bigr) - \theta \bigl(
\Omega (2 - \bfits )
\bigr) \theta
2
- \| \bfits \| 1\theta
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfitk \in \rho +(\bfits )
Dk(\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\theta
p
\right)
1
\theta
\ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1712 С. Я. ЯНЧЕНКО
\ll | \Theta (N)| -
1
\theta
\left( \sum
\bfits \in \Theta (N)
2
- \| \bfits \| 1\theta
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
2
\| \bfits \| 1\theta
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) \right) 1
\theta
= 1.
Отже, f1 \in S\Omega
p,\theta B.
Для f2, використовуючи оцiнку (10), можемо записати
\| f2(\cdot )\| S\Omega
p,\infty B = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \Theta (N)
\| \delta \ast \bfits (f2, \cdot )\| p
\Omega (2 - \bfits )
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \Theta (N)
C6
\Omega (2 - \bfits )2
\| \bfits \| 1\theta
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum \bfitk \in \rho +(\bfits )D\bfitk (\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\Omega (2 - \bfits )
\leq C7, C7 > 0,
i тому f2 \in S\Omega
p,\infty B.
Враховуючи, що SQ(N)(f1, \cdot ) = 0, одержуємо
\scrE Q(N)(S
\Omega
p,\theta B)\infty \geq \scrE Q(N)(f1)p = \| f1(\cdot )\| \infty . (11)
Перш нiж продовжити оцiнку (11), покажемо, що
\scrI =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Omega (2 - \bfits )2
- \| \bfits \| 1
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) \sum
\bfitk \in \rho +(\bfits )
D\bfitk (\bfitx )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\asymp 1
N
| \Theta (N)| . (12)
Встановимо спочатку оцiнку зверху. Згiдно з нерiвнiстю Мiнковського, (10) та (7) отримуємо
\scrI \leq
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Omega (2 - \bfits )2
- \| \bfits \| 1
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfitk \in \rho +(\bfits )
D\bfitk (\bfitx )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\ll
\ll
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Omega (2 - \bfits )2
- \| \bfits \| 1
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
2\| \bfits \| 1 \ll
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Omega (2 - \bfits )2
\| \bfits \| 1
p \asymp 1
N
| \Theta (N)| .
Вiдповiдно для оцiнки знизу маємо
\scrI = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Omega (2 - \bfits )2
- \| \bfits \| 1
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) \sum
\bfitk \in \rho +(\bfits )
D\bfitk (\bfitx )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Omega (2 - \bfits )2
- \| \bfits \| 1
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2sjxj - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \eta (sj)2
sj - 1xj
xj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq
\geq
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Omega (2 - \bfits )2
- \| \bfits \| 1
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) d\prod
j=1
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\eta (sj)
2
2 - sj
\gg
\gg
\sum
\bfits \in \Theta (N)
\Omega (2 - \bfits )2
- \| \bfits \| 1
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
2\| s\| 1 \asymp 1
N
| \Theta (N)| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ АПРОКСИМАТИВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ \bfitS \bfOmega
\bfitp ,\bfittheta \bfitB (\BbbR \bfitd ) . . . 1713
З урахуванням оцiнки (12) для (11) можемо записати
\scrE Q(N)(S
\Omega
p,\theta B)\infty \geq | \Theta (N)| -
1
\theta
1
N
| \Theta (N)| \asymp 1
N
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2N)(d - 1)(1 - 1
\theta ).
Оскiльки SQ(N)(f2, \cdot ) = 0, то, беручи до уваги оцiнку (12), одержуємо
\scrE Q(N)(S
\Omega
p,\theta B)\infty \geq \scrE Q(N)(f2)\infty = \| f2(\cdot )\| \infty \asymp 1
N
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2N)d - 1.
Оцiнки знизу встановлено. Теорему доведено.
Насамкiнець наведемо деякi коментарi. Нехай \omega (\tau ) — функцiя однiєї змiнної, \omega \in \Phi \alpha ,l,
\alpha >
1
p
, i мiшаний модуль неперервностi порядку l задається таким чином:
\Omega (\bfitt ) = \Omega (t1, . . . , td) = \omega
\left( d\prod
j=1
tj
\right) , \Omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
.
При такому виглядi функцiонального параметра \Omega оцiнки величини \scrE \=Qn
\Bigl(
S\Omega
p,\theta B
\Bigr)
\infty
, 1 < p <
< \infty , де \=Qn =
\bigcup
\| \bfits \| 1<n
Q\ast
2\bfits , встановлено у роботi [15] i, зокрема, у випадку \Omega (\bfitt ) =
\prod d
j=1
trj ,
1
p
< r < l, — у роботах [14, 16]. Зазначимо, що у роботi [14] розглядався також випадок, коли
\bfitr = (r1, . . . , rd), rj >
1
p
, j = 1, d.
Для класiв Нiкольського – Бєсова перiодичних функцiй багатьох змiнних наближення полi-
номами з „номерами” гармонiк iз схiдчастого гiперболiчного хреста у просторi L\infty розгляда-
лось у [17].
Лiтература
1. Stasyuk S. А., Yanchenko S. Ya. Approximation of functions from Nikolskii – Besov type classes of generalized mixed
smoothness // Anal. Math. – 2015. – 41. – P. 311 – 334.
2. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – C. 143 – 161.
3. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функ-
ций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – C. 483 – 522.
4. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений
классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1969. – 105. – C. 89 – 167.
5. Никольский С. М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию
Гельдера // Сиб. мат. журн. – 1963. – 4, № 6. – C. 1342 – 1364.
6. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,\theta B(\BbbR n) и S
(r)\ast
p,\theta B
(0 \leq xj \leq 2\pi ; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 77. – С. 5 – 34.
7. Романюк А. С. Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в пространстве
Lq // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 10. — С. 1398 – 1408.
8. Романюк А. С. О приближении классов периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. –
1992. – 44, № 5. – C. 662 – 672.
9. Пустовойтов Н. Н. Приближение многомерных функций с заданной мажорантой смешанных модулей непре-
рывности // Мат. заметки. – 1999. – 65, № 1. – C. 107 – 117.
10. Стасюк C. А. Наилучшие приближения периодических функций многих переменных из классов B\Omega
p,\theta // Мат.
заметки. – 2010. – 87, № 1. – C. 108 – 121.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1714 С. Я. ЯНЧЕНКО
11. Стасюк C. А. Приближение классов \bfM \bfB \Omega
p,\theta суммами Валле Пуссена в равномерной метрике // Математичнi
проблеми механiки та обчислювальної математики: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11,
№ 4. – С. 308 – 317.
12. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
13. Wang Heping, Sun Yongsheng. Approximation of multivariate functions with certain mixed smoothness by entire
functions // Northeast. Math. J. – 1995. – 11, № 4. – P. 454 – 466.
14. Янченко С. Я. Оцiнки апроксимативних характеристик класiв функцiй Sr
p,\theta B(\BbbR d) у рiвномiрнiй метрицi //
Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, № 1. –
С. 328 – 340.
15. Янченко С. Я. Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик функцiй з узагальнених класiв мiшаної глад-
костi типу Нiкольського – Бєсова // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2014. – 11, № 3. – С. 330 – 343.
16. Янченко С. Я. Наближення функцiй з класiв Sr
p,\theta B у рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 5. –
С. 698 – 705.
17. Романюк А. С. Приближение классов Br
p,\theta периодических функций многих переменных линейными методами
и наилучшие приближения // Мат. сб. – 2004. – 195, № 2. – С. 91 – 116.
Одержано 21.04.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1955 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:57Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d6/6d8c624946e63aa1ae601af3ef8829d6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19552019-12-05T09:32:42Z Order estimates for the approximative characteristics of functions from the classes $S_{p,θ}^{Ω} B(R^d)$ with a given majorant of generalized mixed modules of smoothness in the uniform metric Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій із класів $S_{p,θ}^{Ω} B(R^d)$ із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у рівномірній метриці Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. We establish the exact-order estimates of approximation for the classes $S_{p,θ}^{Ω} B$ of functions of several variables defined on $R^d$ in the norm of $L_{\infty} (R^d)$ by entire functions of exponential type with supports of their Fourier transforms in the sets generated by the level surfaces of a function $\Omega$. Установлены точные по порядку оценки приближения функций из классов $S_{p,θ}^{Ω} B$, определенных на $R^d$, в метрике пространства $L_{\infty} (R^d)$ с помощью целых функций экспоненциального типа с носителями их преобразований Фурье на множествах, которые порождаются поверхностями уровня функции $\Omega$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1955 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 12 (2016); 1705-1714 Український математичний журнал; Том 68 № 12 (2016); 1705-1714 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1955/937 Copyright (c) 2016 Yanchenko S. Ya. |
| spellingShingle | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. Order estimates for the approximative characteristics of functions from the classes $S_{p,θ}^{Ω} B(R^d)$ with a given majorant of generalized mixed modules of smoothness in the uniform metric |
| title | Order estimates for the approximative characteristics of functions from the
classes $S_{p,θ}^{Ω} B(R^d)$ with a given majorant of generalized mixed modules of smoothness in the uniform metric |
| title_alt | Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій із класів $S_{p,θ}^{Ω} B(R^d)$ із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у рівномірній метриці |
| title_full | Order estimates for the approximative characteristics of functions from the
classes $S_{p,θ}^{Ω} B(R^d)$ with a given majorant of generalized mixed modules of smoothness in the uniform metric |
| title_fullStr | Order estimates for the approximative characteristics of functions from the
classes $S_{p,θ}^{Ω} B(R^d)$ with a given majorant of generalized mixed modules of smoothness in the uniform metric |
| title_full_unstemmed | Order estimates for the approximative characteristics of functions from the
classes $S_{p,θ}^{Ω} B(R^d)$ with a given majorant of generalized mixed modules of smoothness in the uniform metric |
| title_short | Order estimates for the approximative characteristics of functions from the
classes $S_{p,θ}^{Ω} B(R^d)$ with a given majorant of generalized mixed modules of smoothness in the uniform metric |
| title_sort | order estimates for the approximative characteristics of functions from the
classes $s_{p,θ}^{ω} b(r^d)$ with a given majorant of generalized mixed modules of smoothness in the uniform metric |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1955 |
| work_keys_str_mv | AT yanchenkosya orderestimatesfortheapproximativecharacteristicsoffunctionsfromtheclassesspthōbrdwithagivenmajorantofgeneralizedmixedmodulesofsmoothnessintheuniformmetric AT ânčenkosâ orderestimatesfortheapproximativecharacteristicsoffunctionsfromtheclassesspthōbrdwithagivenmajorantofgeneralizedmixedmodulesofsmoothnessintheuniformmetric AT yanchenkosya porâdkovíocínkiaproksimativnihharakteristikfunkcíjízklasívspthōbrdízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervnostíurívnomírníjmetricí AT ânčenkosâ porâdkovíocínkiaproksimativnihharakteristikfunkcíjízklasívspthōbrdízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervnostíurívnomírníjmetricí |