Inequalities for the Fractional Derivatives of Trigonometric Polynomials in Spaces with Integral Metrics
We establish necessary and sufficient conditions for the validity of Bernstein-type inequalities for the fractional derivatives of trigonometric polynomials of several variables in spaces with integral metrics. The problem of sharpness of these inequalities is investigated.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1962 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507863822106624 |
|---|---|
| author | Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. |
| author_facet | Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. |
| author_sort | Kolomoitsev, Yu. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:47:39Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions for the validity of Bernstein-type inequalities for the fractional derivatives of trigonometric polynomials of several variables in spaces with integral metrics. The problem of sharpness of these inequalities is investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Ю. С. Коломойцев (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ПОЛИНОМОВ В ПРОСТРАНСТВАХ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ
We establish necessary and sufficient conditions for the validity of Bernstein-type inequalities for the fractional derivatives
of trigonometric polynomials of several variables in spaces with integral metric. The problem of sharpness of these
inequalities is investigated.
Отриманo необхiднi та достатнi умови справедливостi нерiвностей типу Бернштейна для дробових похiдних триго-
нометричних полiномiв багатьох змiнних у просторах з iнтегральною метрикою. Дослiджено питання точностi цих
нерiвностей.
1. Введение. Пусть TN – множество всех тригонометрических полиномов порядка не выше
N, а ‖ · ‖p – p-норма (или квазинорма, если 0 < p < 1) на полуинтервале [0, 2π). Неравенством
Бернштейна для производной тригонометрического полинома называют неравенство вида
‖T ′N‖p ≤ N‖TN‖p, TN ∈ TN , N ∈ N. (1)
Данное неравенство при p = ∞ в частных случаях получил С. Н. Бернштейн [1, с. 26]. В
общем случае с p = ∞ это неравенство было доказано М. Риссом [2]. А. Зигмунд [3] (гл. 10),
используя интерполяционную формулу Рисса, доказал следующее утверждение: если функция
ϕ выпукла (вниз) на [0,∞) и не убывающая, то
2π∫
0
ϕ(|T ′N (t)|)dt ≤
2π∫
0
ϕ(N |TN (t)|)dt, TN ∈ TN , N ∈ N. (2)
Легко видеть, что если ϕ(t) = tp, то из (2) непосредственно следует неравенство (1) при всех
p ∈ [1,∞).
При 0 < p < 1 неравенства вида (1) исследовались в работах [4 – 7]. В частности, в [4, 5]
было получено неравенство
‖T ′N‖p ≤ C(p)N‖TN‖p, TN ∈ TN , N ∈ N,
где C(p) — некоторая константа, зависящая только от p. В работе [7] В. В. Арестов показал, что
данное неравенство, на самом деле, выполняется с константой C(p) = 1. Более того, в этой же
работе было получено неравенство вида (2) с функцией ϕ : [0,∞) 7→ R, которая представима в
виде ϕ(u) = ψ(lnu), где функция ψ не убывает и выпукла на (−∞,∞).
Пусть T (β)
N — дробная производная Вейля полинома TN . Из результатов работы П. И. Ли-
зоркина [8] следует, что при p ≥ 1 и β ≥ 1 (см. также в [9] общий случай β > 0) имеет место
неравенство ∥∥∥T (β)
N
∥∥∥
p
≤ Nβ‖TN‖p, TN ∈ TN , N ∈ N. (3)
В случае пространств Lp, 0 < p < 1, неравенства типа Бернштейна для дробных производ-
ных полинома изучались в работах [10 – 13]. Оказалось, что при 0 < p < 1 неравенство типа
c© Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ, 2015
42 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ . . . 43
Бернштейна выполняется тогда и только тогда, когда β ∈ N или β > 1/p − 1. В частности,
Е. С. Белинским и И. Р. Лифляндом [11] было доказано, что при 0 < p < 1
sup
‖TN‖p≤1
∥∥∥T (β)
N
∥∥∥
p
�
Nβ, β ∈ Z+ или β 6∈ Z+ и β > 1/p− 1,
N1/p−1, β 6∈ Z+ и β < 1/p− 1,
N1/p−1 log1/pN, β = 1/p− 1 6∈ Z+.
(4)
(Знак � обозначает двусторонние неравенства с положительными константами, зависящими
только от p и β.)
Пусть Φ — класс функций ϕ : R+ 7→ R+, являющихся модулем непрерывности, т. е. ϕ — не-
прерывная неубывающая функция, ϕ(0) = 0, ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) для всех x, y ∈ R+. В
работе С. А. Пичугова [13] показано, что если β ≥ 1, а функция ϕ ∈ Φ является выпуклой
вверх и удовлетворяет условию ϕ(t) ∼ t при t→ 0, то
sup
TN∈TN ,TN 6=0
∫ 2π
0
ϕ
(∣∣∣T (β)
N (t)
∣∣∣) dt∫ 2π
0
ϕ(|TN (t)|)dt
= Nβ. (5)
Легко видеть, что соотношение (5), вообще говоря, отличается от обычного неравенства типа
Бернштейна и оценка сверху является более грубой, чем в неравенстве вида (2) для соответ-
ствующих функций ϕ.
В работе автора [14] установлены необходимые и достаточные условия на β 6∈ N и ϕ ∈ Φ,
при которых имеет место неравенство
2π∫
0
ϕ
(∣∣∣T (β)
N (t)
∣∣∣) dt ≤ C 2π∫
0
ϕ
(
Nβ|TN (t)|
)
dt, Tn ∈ TN , N ∈ N.
Оказалось, что неравенство такого вида выполняется уже не для всех функций ϕ ∈ Φ, удовле-
творяющих условию ϕ(t) ∼ t при t→ 0.
Неравенства вида (3) и (4) изучались также в случае нескольких переменных. Далее всюду
мы будем использовать следующие обозначения: ‖ · ‖p — p-норма (или квазинорма, если 0 <
< p < 1) на n-мерном торе Tn, n ∈ N, (x, y) = x1y1 + . . . + xnyn, |x| = (x21 + . . . + x2n)1/2,
T nN = span
{
ei(k,x) : |k| ≤ N
}
.
В работе [12] показано, что если γ 6∈ N, γ > 0, а
∂γ
∂xγj
— дробная производная Вейля по
переменной j, то неравенство вида∥∥∥∥∥∥
n∑
j=1
∂γ
∂xγj
TN
∥∥∥∥∥∥
p
≤ C(γ, n, p)Nγ‖TN‖p, TN ∈ T nN , N ∈ N, (6)
выполняется тогда и только тогда, когда 1/(γ + 1) < p ≤ ∞. С другой стороны, если β 6∈ N,
β > 0, а (−∆)β/2 — дробная степень оператора Лапласа, то неравенство вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
44 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ∥∥∥(−∆)β/2TN
∥∥∥
p
≤ C(β, n, p)Nβ‖TN‖p, TN ∈ T nN , N ∈ N, (7)
выполняется тогда и только тогда, когда n/(β + n) < p ≤ ∞.
Цель настоящей работы — исследовать неравенства вида (6) и (7) в метрических простран-
ствах, которые задаются с помощью интегральной метрики
ρϕ(f, g) =
∫
Tn
ϕ(|f(x)− g(x)|)dx.
Также будут получены обобщения соотношений (4) с заменой квазинормы ‖ · ‖p функционалом∫
Tn
ϕ(| · |)dt, где ϕ ∈ Φ. При этом, в отличие от (5), будем исследовать величины вида
sup
TN∈TN ,TN 6=0
∫ 2π
0
ϕ
(∣∣∣T (β)
N (t)
∣∣∣) dt∫ 2π
0
ϕ
(
Nβ|TN (t)|
)
dt
. (8)
Далее всюду символами C, Cj , j = 1, 2, . . . , будем обозначать положительные константы
(возможно различные даже в одной строке), не зависящие от рассматриваемого полинома TN .
Символ � будет обозначать двусторонние неравенства с положительными константами, не за-
висящими от N .
2. Основные определения и вспомогательные утверждения. Пусть fβ — однородная
функция порядка β ≥ 0, т. е.
fβ(tξ) = tβfβ(ξ), t > 0, ξ ∈ Rn.
Введем оператор „дробного дифференцирования” D(fβ), который на множестве всех тригоно-
метрических полиномов определяется по формуле
D(fβ)T (t) =
∑
k∈Zn
fβ(k)cke
i(k,t), T (t) =
∑
k∈Zn
cke
i(k,t). (9)
Заметим, что если fβ(k) = (ikj)
β = |kj |e
iπβ
2 sign kj , то формула (9) задает дробную произ-
водную Вейля полинома T по переменной j, а при fβ(k) = |k|β — дробную степень оператора
Лапласа.
Далее
f̂(x) = (2π)−n/2
∫
Rn
f(ξ)e−i(ξ,x)dξ
— преобразование Фурье функции f, а X n — множество вещественнозначных радиальных
функций η таких, что η ∈ C∞(Rn) и η(0) = 1.
Для дальнейшего изложения понадобится следующая лемма (см. [12]).
Лемма 1. Пусть fβ ∈ C∞(Rn \{0}) — однородная функция порядка β ≥ 0, не являющаяся
полиномом, а функция η ∈ X n имеет компактный носитель. Тогда
1)
∣∣∣f̂βη(x)
∣∣∣ ≤ C1 (1 + |x|)−β−n , x ∈ Rn;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ . . . 45
2) найдутся ρ > 1, θ > 0 и u0 ∈ Sn−1 такие, что∣∣∣f̂βη(x)
∣∣∣ ≥ C2|x|−β−n, x ∈ Ω,
где
Ω ≡ Ω(ρ, θ, u0) =
{
x = ru : r ≥ ρ, u ∈ Sn−1, cos θ ≤ (u, u0) ≤ 1
}
,
Sn−1 — единичная сфера в Rn, а C1 и C2 — некоторые положительные константы.
Имеет место следующее неравенство типа Бернштейна.
Лемма 2. Пусть функция ϕ принадлежит Φ и fβ ∈ C∞(Rn \ {0}) — однородная функция
порядка β ≥ 0. Тогда∫
Tn
ϕ(|D(fβ)TN (t)|)dt ≤ C
∫
1<|x|<N
∫
Tn
ϕ
(
Nβ
|x|n+β
|TN (t)|
)
dtdx, TN ∈ T nN , N ≥ 1, (10)
где C — некоторая положительная константа, не зависящая от полинома TN .
Доказательство. Введем в рассмотрение полином
KN,β(x) =
∑
k∈Zn
fβ
(
k
N
)
η
(
k
N
)
ei(k,x),
где η ∈ X n, η(ξ) = 1 при |ξ| ≤ 1 и η(ξ) = 0 при |ξ| ≥ 2.
Имеет место равенство
D(fβ)TN (x) =
1
(4N + 1)n
4N∑
ν=0
KN,β(x− xν − t)TN (xν + t)
(
здесь и далее xν =
2πν
4N + 1
, ν ∈ Zn+,
∑4N
ν=0
≡
∑4N
ν1=0
. . .
∑4N
νn=0
)
, используя которое,
получаем
I :=
∫
Tn
ϕ
(
N−β|D(fβ)TN (x)|
)
dx ≤
≤ C
4N∑
ν=0
∫
Tn
ϕ
(
N−n−β|KN,β(x− xν − t)TN (xν + t)|
)
dx =
= C
4N∑
ν=0
∫
Tn
ϕ
(
N−n−β|KN,β(x)TN (xν + t)|
)
dx.
Интегрируя обе части последнего неравенства по t, а также применяя формулу суммирования
Пуассона (см., например, [15])∑
k∈Zn
f̂(N(x+ 2πk)) ∼ (2π)−n/2N−n
∑
k∈Zn
f
(
k
N
)
e−i(k,x), (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
46 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
находим
(2π)nI ≤
4N∑
ν=0
∫
Tn
∫
Tn
ϕ
(
N−n−β|KN,β(x)TN (xν + t)|
)
dxdt ≤
≤ CNn
∫
Tn
∫
Tn
ϕ
(
N−n−β|KN,β(x)TN (t)|
)
dxdt =
= C
∫
Tn
∫
NTn
ϕ
(∣∣∣∣∣ 1
Nn
∑
k
fβ
(
k
N
)
η
(
k
N
)
e
i(k,x)
N
∣∣∣∣∣ |TN (t)|
)
dtdx ≤
≤ C
∫
Tn
∫
NTn
ϕ
(∣∣∣∣∣∑
k
f̂βη(x+ 2πNk)
∣∣∣∣∣ |TN (t)|
)
dtdx ≤
≤ C
∫
Tn
∫
NTn
ϕ
(∣∣∣f̂βη(x)TN (t)
∣∣∣) dtdx+
+C
∫
Tn
∫
NTn
ϕ
(∣∣∣∣∑
k 6=0
f̂βη(x+ 2πNk)
∣∣∣∣ |TN (t)|
)
dtdx := I1 + I2. (12)
Далее, используя лемму 1, получаем
I1 ≤ C
∫
Tn
∫
NTn
ϕ
(
|TN (t)|
(1 + |x|)β+n
)
dtdx ≤ C
∫
Tn
∫
1<|x|<N
ϕ
(
|TN (t)|
|x|β+n
)
dtdx, (13)
а
I2 ≤ C
∫
Tn
∫
NTn
ϕ
∑
k 6=0
|TN (t)|
(1 + |x+ 2πNk|)β+n
dtdx ≤
≤ C
∫
Tn
∫
NTn
ϕ
∑
k 6=0
|TN (t)|
|Nk|β+n
dtdx ≤
≤ C
∫
Tn
∫
1<|x|<N
ϕ
(
|x|−β−n|TN (t)|
)
dtdx. (14)
Таким образом, объединяя (12) – (14), имеем∫
Tn
ϕ
(
N−β|D(fβ)TN (t)|
)
dt ≤ C
∫
Tn
∫
1<|x|<N
ϕ
(
|x|−β−n|TN (t)|
)
dtdx.
Из последнего неравенства непосредственно следует (10).
Лемма 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ . . . 47
Для формулировки и доказательства основных теорем настоящей статьи нам понадобится
понятие функции растяжения. Пусть ϕ — произвольная строго положительная всюду конечная
функция на (0,∞). Ее функцией растяжения называют функцию Mϕ:
Mϕ(s) := sup
λ>0
ϕ(sλ)
ϕ(λ)
.
Приведем некоторые свойства функции Mϕ в случае ϕ ∈ Φ (см. [16], гл. II, § 4):
1) Mϕ — всюду конечная неубывающая на (0,∞) функция и
Mϕ(s1s2) ≤Mϕ(s1)Mϕ(s2), s1, s2 ∈ (0,∞);
2) существует число γϕ (называемое нижним показателем растяжения функции ϕ) такое,
что:
a) γϕ ∈ [0, 1],
б) Mϕ(s) ≥ sγϕ , s ∈ (0, 1],
в) для любого ε > 0 при s ∈ (0, 1) найдется константа Cε такая, что
Mϕ(s) ≤ Cεsγϕ−ε.
При этом
γϕ = lim
s→0
lnMϕ(s)
ln s
= sup
0<s<1
lnMϕ(s)
ln s
.
В частности, если γϕ = 0, то Mϕ(s) ≡ 1, s ∈ [0, 1], если же γϕ > 0, то Mϕ(+0) = 0.
В дальнейшем нам понадобится следующее „техническое” условие на функцию ϕ ∈ Φ.
Будем говорить, что функция ϕ принадлежит классу Φ∗, если ϕ принадлежит Φ и найдется
функция α такая, что
α ∈ C∞(Rn), α(0) = 1, suppα ⊂ {x ∈ Rn : |x| ≤ 1} (15)
и ∫
Rn
ϕ (|α̂(x)|) dx <∞. (16)
Нетрудно заметить, что любая функция ϕ ∈ Φ с γϕ > 0 принадлежит классу Φ∗.
Уточним последнее условие при n = 1. В работе [18] было доказано существование функ-
ции η ∈ L1(R) такой, что η 6= 0, supp η ⊂ (−1, 1) и
|η̂(x)| = O
(
e−u(|x|)|x|
)
, x→ ±∞,
где u — некоторая положительная функция такая, что u(x)→ 0 при x→∞ и
∞∫
1
u(x)
x
dx <∞, (17)
причем последнее условие является также и необходимым для существования такой функ-
ции η.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
48 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
Таким образом, ϕ принадлежит классу Φ∗, n = 1, если найдется убывающая к нулю функция
u(x) > 0 такая, что имеет место (17) и∫
R
ϕ
(
e−u(|x|)|x|
)
dx <∞.
Лемма 3. Пусть функция ϕ принадлежит Φ∗, а функция α удовлетворяет условиям (15)
и (16). Тогда
Nn
∫
Tn
ϕ
(
1
Nn
∣∣∣∣∣∑
k∈Zn
α
(
k
N
)
ei(k,t)
∣∣∣∣∣
)
dt ≤ C
∫
Rn
ϕ(|α̂(x)|)dx, N ≥ 1,
где C — константа, не зависящая от N и α.
Доказательство этой леммы легко вывести из формулы суммирования Пуассона (11) (см.,
например, [17], 4.1.1).
3. Формулировки и доказательства основных результатов. Одним из основных резуль-
татов настоящей статьи является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть функция ϕ принадлежит классу Φ∗ и fβ ∈ C∞(Rn \ {0}) — однородная
функция порядка β ≥ 0, не являющаяся полиномом. Тогда:
1) если γϕ > n/(n+ β), то∫
Tn
ϕ(|D(fβ)TN (t)|)dt ≤ C
∫
Tn
ϕ(Nβ|TN (t)|)dt, TN ∈ T nN , N ≥ 1, (18)
где C — константа, не зависящая от TN ;
2) если γϕ < n/(n+ β), а при γϕ = n/(n+ β) имеет место
sup
t>0
∫
|x|>1
ϕ(t|x|−n/γϕ)
ϕ(t)
dx =∞, (19)
то неравенство (18) не выполняется с константой C, не зависящей от TN .
Доказательство. Первое утверждение легко следует из свойства в) функции Mϕ и лем-
мы 2. Действительно, используя неравенство (10) и выбирая положительное ε < γϕ−n/(n+ β),
находим ∫
Tn
ϕ(|D(fβ)TN (t)|)dt ≤ C
∫
1<|x|<N
Mϕ(|x|−n−β)dx
∫
Tn
ϕ(Nβ|TN (t)|)dt ≤
≤ C
∫
1<|x|<N
dx
|x|(n+β)(γϕ−ε)
∫
Tn
ϕ(Nβ|TN (t)|)dt ≤ C
∫
Tn
ϕ(Nβ|TN (t)|)dt.
Докажем второе утверждение. Пусть A > 0. Предположим, что существует константа C, не
зависящая от полинома TN , такая, что∫
Tn
ϕ(A|D(fβ)TN (t)|)dt ≤ C
∫
Tn
ϕ(ANβ|TN (t)|)dt. (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ . . . 49
Пусть α принадлежит X n и удовлетворяет условиям (15) и (16). Рассмотрим последова-
тельность функций {FN (x)}∞N=1, определенных по формуле
FN (x) =
∣∣∣∣∣ 1
Nn
∑
k
fβ
(
k
N
)
α
(
k
N
)
ei
(k,x)
N
∣∣∣∣∣ , x ∈ [−πN, πN ]n,
0 — в других случаях.
Используя неравенство (20) и лемму 3, последовательно получаем∫
Rn
ϕ(A|FN (x)|)dx = Nn
∫
Tn
ϕ
(
A
∣∣∣∣∣ 1
Nn
∑
k
fβ
(
k
N
)
α
(
k
N
)
ei(k,t)
∣∣∣∣∣
)
dt ≤
≤ CNn
∫
Tn
ϕ
(
A
∣∣∣∣∣ 1
Nn
∑
k
α
(
k
N
)
ei(k,t)
∣∣∣∣∣
)
dt ≤ C
∫
Rn
ϕ(A|α̂(x)|)dx. (21)
Зафиксируем произвольную точку x0 ∈ Tn. По определению интеграла Римана нетрудно
проверить, что
lim
N→∞
FN (x0) = (2π)n/2
∣∣∣f̂βα(−x0)
∣∣∣ . (22)
Таким образом, учитывая (21), (22) и применяя при этом лемму Фату, имеем∫
Rn
ϕ
(
A
∣∣∣f̂βα(x)
∣∣∣) dx ≤ C ∫
Rn
ϕ(A|α̂(x)|)dx.
Отсюда, используя лемму 1 и свойства функции ϕ, после простых преобразований получаем∫
|x|>1
ϕ(A|x|−β−n)dx ≤ C
∫
Rn
ϕ(A|α̂1(x)|)dx,
где α1(x) := α(x)‖α̂‖−1∞ .
Из последнего неравенства после простых оценок и замены переменных x → x/(4C)1/n
находим ∫
|x|>1
ϕ(A|x|−n−β)dx ≤ 1
4
∫
Rn
ϕ
(
A
∣∣∣∣α̂1
(
x
(4C)1/n
)∣∣∣∣) dx. (23)
Далее, выберем m ∈ N настолько большим, что при |x| ≥ m выполняется неравенство∣∣∣∣α̂1
(
x
(4C)1/n
)∣∣∣∣ < 1
|x|n+β
.
Тогда, используя (23) и учитывая при этом оценку∫
|x|>1
ϕ(A|x|−n−β)dx ≥ vn(mn − 1)ϕ(Am−n−β) +
∫
|x|≥m
ϕ(A|x|−n−β)dx,
где vn =
πn/2
Γ(n/2 + 1)
— объем единичного шара в Rn, находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
50 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
vn(mn − 1)ϕ(Am−n−β) <
1
4
∫
|x|<m
ϕ
(
A
∣∣∣∣α̂1
(
x
(4C)1/n
) ∣∣∣∣)dx.
Далее,
vn(mn − 1)
ϕ(Am−n−β)
ϕ(A)
<
1
4
∫
|x|<m
ϕ
(
A
∣∣∣∣α̂1
(
x
(4C)1/n
)∣∣∣∣)
ϕ(A)
dx ≤
≤ 1
4
∫
|x|<m
Mϕ
(∣∣∣∣α̂1
(
x
(4C)1/n
)∣∣∣∣) dx
и, следовательно,
vn(mn − 1)Mϕ(m−n−β) <
1
4
∫
|x|<m
Mϕ
(∣∣∣∣α̂1
(
x
(4C)1/n
) ∣∣∣∣)dx. (24)
Таким образом, если γϕ = 0, то из (24) получаем mn − 1 < mn/4, т. е. противоречие.
Если γϕ > 0, то из (24) при достаточно малом ε следует, что
mn−(n+β)γϕ
2
≤ C
∫
|x|<m
∣∣∣∣α̂1
(
x
(4C)1/n
) ∣∣∣∣γϕ−εdx ≤ C.
Поскольку n− (n+ β)γϕ > 0, снова получаем противоречие.
Если γϕ = n/(n+ β) и выполняется (19), то противоречие легко следует из (23).
Теорема 1 доказана.
Далее для удобства обозначим
ΛN (ϕ, fβ, n) = sup
TN∈T nN ,TN 6=0
∫
Tn
ϕ(|D(fβ)TN (t)|)dt∫
Tn
ϕ(Nβ|TN (t)|)dt
.
Следующая теорема устанавливает оценки величины ΛN (ϕ, fβ, n), а также по существу
уточняет теорему 1 в случае γϕ > 0.
Теорема 2. Пусть функция ϕ принадлежит Φ, γϕ > 0 и fβ ∈ C∞(Rn \ {0}) — однородная
функция порядка β > 0, не являющаяся полиномом. Тогда найдется N0 = N0(β, ϕ, n) такое,
что:
1) если β > n(1/γϕ − 1), то
ΛN (ϕ, fβ, n) � 1, N ≥ 1; (25)
2) если β = n(1/γϕ − 1), то
C1 sup
λ>0
∫
1<|x|<N
ϕ
(
λ|x|−
n
γϕ
)
ϕ(λ)
dx ≤ ΛN (ϕ, fβ, n) ≤ C2
∫
1<|x|<N
Mϕ
(
|x|−
n
γϕ
)
dx, N ≥ N0;
(26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ . . . 51
3) если β < n(1/γϕ − 1), то
ΛN (ϕ, fβ, n) � NnMϕ(N−n−β), N ≥ N0. (27)
Доказательство. 1. Оценка сверху в (25) содержится в теореме 1. Оценка снизу триви-
альна. Достаточно рассмотреть полином вида TN (t) = eiNt1 .
2. Оценка сверху в (26) непосредственно следует из леммы 1.
Докажем оценку снизу.
Пусть A — некоторая положительная константа, α ∈ X n — функция, удовлетворяющая
условиям (15), (16) и
KN (t) =
∑
k
α
(
k
N
)
ei(k,x).
Используя лемму 3, имеем
ΛN (ϕ, fβ, n) ≥
∫
Tn
ϕ(AN−β−n|D(fβ)KN (t)|)dt∫
Tn
ϕ(AN−n|KN (t)|)dt
≥ C
Nn
∫
Tn
ϕ(AN−β−n|D(fβ)KN (t)|)dt∫
Rn
ϕ(A|α̂(x)|)dx
.
(28)
Рассмотрим знаменатель в последней дроби. Используя свойства функции Mϕ и выбирая
при этом ε > 0 достаточно малым, получаем∫
Rn
ϕ(A|α̂(x)|)dx ≤ ϕ(A)
∫
Rn
Mϕ(|α̂(x)|)dx ≤ Cϕ(A)
∫
Rn
|α̂(x)|γϕ−εdx ≤ Cϕ(A). (29)
Теперь рассмотрим числитель. Используя формулу суммирования Пуассона (11), находим
I := Nn
∫
Tn
ϕ(AN−β−n|D(fβ)KN (t)|)dt ≥
≥ CNn
∫
Tn
ϕ
(
A
∣∣∣∣∣∑
k
f̂βα(N(x+ 2πk))
∣∣∣∣∣
)
dx =
= C
∫
NTn
ϕ
(
A
∣∣∣∣∣∑
k
f̂βα(x+ 2πNk)
∣∣∣∣∣
)
dx ≥
≥ C
∫
ρ≤|x|≤δNρ
ϕ
(
A
∣∣∣∣∣∑
k
f̂βα(x+ 2πNk)
∣∣∣∣∣
)
dx ≥
≥ C
∫
ρ≤|x|≤δNρ
ϕ
(
A
∣∣∣f̂βα(x)
∣∣∣) dx−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
52 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
−C
∫
ρ≤|x|≤δNρ
ϕ
A
∣∣∣∣∣∣
∑
k 6=0
f̂βα(x+ 2πNk)
∣∣∣∣∣∣
dx = I1 − I2, (30)
где ρ — число из леммы 1, а δ ∈ (0, ρ−1) будет выбрано позже.
Используя лемму 1, после простых преобразований имеем
I1 ≥ C1
∫
1≤|x|≤δN
ϕ(A|x|−n−β)dx, (31)
где C1 — некоторая положительная константа, не зависящая от N и A.
Снова используя лемму 1 и свойства функции Mϕ, находим
I2 ≤ C2
∫
ρ≤|x|≤δNρ
ϕ
A∑
k 6=0
1
(1 + |x+ 2πNk|)n+β
dx ≤
≤ C3
∫
1≤|x|≤δN
ϕ
A∑
k 6=0
1
|Nk|n+β
dx ≤
≤ C4
∫
1≤|x|≤δN
Mϕ
((
|x|
N
)n+β)
ϕ(A|x|−n−β)dx ≤
≤ C5
∫
1≤|x|≤δN
(
|x|
N
)(γϕ−ε)(n+β)
ϕ(A|x|−n−β)dx, (32)
где ε — достаточно малое положительное число, а C5 — константа, не зависящая от N и A.
Объединяя (30) – (32), получаем
I ≥
∫
1≤|x|≤δN
(
C1 − C5
(
|x|
N
)(γϕ−ε)(n+β)
)
ϕ(A|x|−n−β)dx. (33)
Выбирая в последнем неравенстве δ так, чтобы при |x| ≤ δN
C1 − C5
(
|x|
N
)(γϕ−ε)(n+β)
≥ C6 > 0,
находим
I ≥ C6
∫
1≤|x|≤δN
ϕ(A|x|−n−β)dx. (34)
Оценим последний интеграл. Имеем∫
1≤|x|≤δN
ϕ(A|x|−n−β)dx =
∫
δ≤|x|≤δN
−
∫
δ≤|x|≤1
= S1 − S2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ . . . 53
После простых преобразований получаем
S1 ≥ C7
∫
1≤|x|≤N
ϕ(A|x|−n−β)dx, (35)
где C7 — некоторая положительная константа, не зависящая от A.
Рассмотрим интеграл S2. Выполняя замену x → x/(δN) и применяя неравенство ϕ(tx) ≤
≤ Ctγϕ−εϕ(x), где ε – достаточно малое положительное число, находим, что при N ≥ 1/δ2
S2 ≤
C8
(δN)ε(n+β)
∫
1≤|x|≤δN
ϕ(A|x|−n−β)dx. (36)
Объединяя (34) – (36), имеем∫
1≤|x|≤δN
ϕ(A|x|−n−β)dx ≥
(
C7 −
C8
(δN)ε(n+δ)
) ∫
1<|x|<N
ϕ(A|x|−n−β)dx. (37)
Таким образом, выбирая в последнем неравенстве N достаточно большим и объединяя
неравенства (28), (29), (34) и (37), получаем
ΛN (ϕ, fβ, n) ≥ C
∫
1<|x|<N
ϕ(A|x|−n−β)
ϕ(A)
dx. (38)
Отсюда непосредственно следует нижняя оценка в (26).
3. Оценка снизу в (27) легко следует из (38).
Докажем оценку сверху. Для этого воспользуемся леммой 2 и оценим правую часть нера-
венства (10). Тогда ∫
1<|x|<N
∫
Tn
ϕ(Nβ|x|−n−β|TN (t)|)dtdx =
= Nn
∫
Tn
∫
1/N<|x|<1
ϕ(N−n|x|−n−β|TN (t)|)dtdx ≤
≤ Nn
∫
1/N<|x|<1
Mϕ(|x|−n−β)dx
∫
Tn
ϕ(N−n|TN (t)|)dt ≤
≤ CNn
∫
Tn
ϕ(N−n|TN (t)|)dt ≤
≤ CNnMϕ(N−n−β)
∫
Tn
ϕ(Nβ|TN (t)|)dt. (39)
При выводе неравенств (39) мы воспользовались тем фактом, что при достаточном малом ε > 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
54 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ∫
1/N<|x|<1
Mϕ(|x|−n−β)dx ≤ C
∫
1/N<|x|<1
dx
|x|(n+β)(γϕ−ε)
≤ C.
Таким образом, объединяя неравенства (10) и (39), получаем требуемую оценку.
Теорема 2 доказана.
В предыдущей теореме рассматривался только случай γϕ > 0. В случае γϕ ≥ 0 имеет место
следующий результат.
Предложение 1. Пусть функция ϕ принадлежит классу Φ∗, fβ ∈ C∞(Rn \ {0}) — одно-
родная функция порядка β > 0, не являющаяся полиномом, 0 ≤ γϕ < n/(β + n) и
sup
0<δ<1
1
δn
∫
|x|<δ
ϕ(|x|−n−β)dx =∞.
Тогда найдется N0 = N0(ϕ, β, n) такое, что
sup
TN∈T nN ,TN 6=0
∫
Tn
ϕ(|D(fβ)TN (t)|)dt∫
Tn
ϕ(N−n|TN (t)|)dt
� Nn, N ≥ N0. (40)
Доказательство. Оценка сверху непосредственно следует из (10) и (39).
Докажем оценку снизу. По аналогии с выводом формул (28) и (30) имеем
sup
TN∈T nN ,TN 6=0
∫
Tn
ϕ(|D(fβ)TN (t)|)dt∫
Tn
ϕ(N−n|TN (t)|)dt
≥ CNn
∫
Tn
ϕ(|D(fβ)KN (t)|)dt
и ∫
Tn
ϕ(|D(fβ)KN (t)|)dt =
∫
Tn
ϕ
(
Nβ
∣∣∣∣∣∑
k
fβ
(
k
N
)
α
(
k
N
)
ei(k,t)
∣∣∣∣∣
)
dt ≥
≥ C
Nn
∫
ρ≤|x|≤δNρ
ϕ
(
Nn+β|f̂βα(x)|
)
dx−
− C
Nn
∫
ρ≤|x|≤δNρ
ϕ
Nn+β
∣∣∣∣∣∣
∑
k 6=0
f̂βα(x+ 2πNk)
∣∣∣∣∣∣
dx := I1 − I2, (41)
где ρ — число из леммы 1, а δ ∈ (0, 1) будет выбрано позже.
Используя лемму 1 и свойства функции ϕ, оценим интегралы I1 и I2. Имеем
I1 ≥
C1
Nn
∫
1≤|x|≤δN
ϕ
(
Nn+β
|x|1+β
)
dx = C1
∫
1/N<|x|<δ
ϕ
(
1
|x|n+β
)
dx, (42)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ . . . 55
I2 ≤
C2
Nn
∫
1≤|x|≤δN
ϕ
Nn+β
∑
k 6=0
1
|kN |n+β
dx ≤ C2δ
n. (43)
Таким образом, объединяя оценки (41) – (43) и выбирая при этом N0 и δ так, чтобы
C1
∫
1/N0<|x|<δ
ϕ
(
1
|x|n+β
)
dx− C2δ
n = C3 > 0,
получаем требуемую оценку.
Предложение доказано.
Замечание 1. Если ϕ(t) = tp, 0 < p < 1, а β < n(1/p− 1), β 6∈ 2N, то неравенства (27) и
(40) эквивалентны.
Рассмотрим теперь неравенства вида (6). Используя рассуждения из доказательства теоре-
мы 2 (см. также теоремы 4.2 и 5.2 в [12]), нетрудно получить следующую общую теорему.
Теорема 3. Пусть функция ϕ принадлежит Φ, γϕ > 0 и fβ(x) =
∑n
j=1
fβ,j(xj), где
fβ,j ∈ C∞(R \ {0}) — однородная функция порядка β > 0, fβ,j(0) = 0, j = 1, . . . , n, и хотя бы
одна из функций fβ,j не является полиномом. Тогда найдется N0 = N0(β, ϕ, n) такое, что:
1) если β > (1/γϕ − 1), то
ΛN (ϕ, fβ, n) � 1, N ≥ 1;
2) если β = (1/γϕ − 1), то
C1 sup
λ>0
N∫
1
ϕ(λx
−1/γϕ
1 )
ϕ(λ)
dx1 ≤ ΛN (ϕ, fβ, n) ≤ C2
N∫
1
Mϕ(x
−1/γϕ
1 )dx1, N ≥ N0;
3) если β < (1/γϕ − 1), то
ΛN (ϕ, fβ, n) � NMϕ(N−1−β), N ≥ N0.
Рассмотрим следствия из теорем 2 и 3.
Пусть fβ(k) = |k|β . Тогда в качестве следствия из теоремы 2 мы получаем следующее
уточнение неравенства (7) для пространств Lp(Tn).
Следствие 1. Пусть 0 < p < 1 и β > 0. Тогда
sup
‖TN‖p≤1
‖(−∆)β/2TN‖p �
Nβ, β ∈ 2N или β 6∈ 2N и β > n(1/p− 1),
Nn(1/p−1), β 6∈ 2N и β < n(1/p− 1),
Nn(1/p−1) log1/pN, β = n(1/p− 1) 6∈ 2N.
По аналогии с предыдущем случаем, если в теореме 3 положить fβ(k) =
∑n
j=1
(ikj)
β, то
в качестве следствия получим следующее уточнение неравенства (6) для пространств Lp.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
56 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
Следствие 2. Пусть 0 < p < 1 и β > 0. Тогда
sup
‖TN‖p≤1
∥∥∥∥∥∥
n∑
j=1
∂γ
∂xγj
TN
∥∥∥∥∥∥
p
�
Nβ, β ∈ N или β 6∈ N и β > 1/p− 1,
N1/p−1, β 6∈ N и β < 1/p− 1,
N1/p−1 log1/pN, β = 1/p− 1 6∈ N.
1. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. – М.: АН СССР, 1952. – Т. 1. – 582 c.
2. Riesz M. Formule d’interpolation pour la dérivée d’un polynome trigonométrique // C. r. Acad. sci. – 1914. – 158. –
P. 1152 – 1154.
3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с.
4. Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближения в метрике Lp для 0 < p < 1 // Мат. заметки. –
1975. – 18, № 5. С. 641 – 658.
5. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp,
0 < p < 1 // Мат. сб. – 1975. – 98(140), № 3(11). – С. 395 – 415.
6. Mate A., Nevai P. G. Bernsten’s inequality in Lp for 0 < p < 1 and (C, 1) bounds for ortogonal polynomials // Ann.
Math. – 1980. – 111, № 1. – P. 145 – 154.
7. Арестов В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1981. – 45, № 1. – С. 3 – 22.
8. Лизоркин П. И. Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Бернштейна для дробных производ-
ных // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1965. – 29, № 1. – C. 109 – 126.
9. Görlich E., Nessel R. J., Trebels W. Bernstein-type inequalities for families of multiplier operators in Banach spaces
with Cesáro decompositions. I. General theory // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1973. – 34. – P. 121 – 130.
10. Taberski R. Approximation in the Frechet spaces Lp (0 < p < 1) // Funct. Approxim. – 1979. – 7. – P. 105 – 121.
11. Belinsky E., Liflyand E. Approximation properties in Lp, 0 < p < 1 // Funct. Approxim. – 1993. – 22. – P. 189 – 199.
12. Runovski K., Schmeisser H.-J. On some extensions of Berenstein’s inequality for trigonometric polynomials // Funct.
Approxim. – 2001. – 29. – P. 125 – 142.
13. Пичугов С. А. Неравенства для тригонометрических полиномов в пространствах с интегральной метрикой //
Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1657 – 1671.
14. Коломойцев Ю. С. О неравенствах типа Бернштейна для дробных производных в классах ϕ(L) // Тр. Ин-та
прикл. математики и механики НАН Украины. – 2013. – 26. – С. 95 – 103.
15. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Наука, 1974. – 330 с.
16. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
17. Trigub R. M., Belinsky E. S. Fourier analysis and appoximation of functions. – Kluwer, 2004.
18. Ingham A. E. A note on Fourier transforms // J. London Math. Soc. – 1934. – 1 - 9, № 1. – P. 29 – 32.
Получено 25.12.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1962 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:05Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f1/6a79b5fa964bf6c8556ce1dc5acb26f1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19622019-12-05T09:47:39Z Inequalities for the Fractional Derivatives of Trigonometric Polynomials in Spaces with Integral Metrics Неравенства для дробных производных тригонометрических полиномов в пространствах с интегральной метрикой Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. We establish necessary and sufficient conditions for the validity of Bernstein-type inequalities for the fractional derivatives of trigonometric polynomials of several variables in spaces with integral metrics. The problem of sharpness of these inequalities is investigated. Отримаю нєо6хідні та достатні умови справедливості нєрівностєй типу Бернштейна для дробових похідних тригонометричних поліномів багатьох змінних у просторах з інтегральною метрикою. Досліджено питання точності цих нерівностей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1962 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 1 (2015); 42-56 Український математичний журнал; Том 67 № 1 (2015); 42-56 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1962/947 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1962/948 Copyright (c) 2015 Kolomoitsev Yu. S. |
| spellingShingle | Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. Inequalities for the Fractional Derivatives of Trigonometric Polynomials in Spaces with Integral Metrics |
| title | Inequalities for the Fractional Derivatives of Trigonometric Polynomials in Spaces with Integral Metrics |
| title_alt | Неравенства для дробных производных тригонометрических полиномов в пространствах с интегральной метрикой |
| title_full | Inequalities for the Fractional Derivatives of Trigonometric Polynomials in Spaces with Integral Metrics |
| title_fullStr | Inequalities for the Fractional Derivatives of Trigonometric Polynomials in Spaces with Integral Metrics |
| title_full_unstemmed | Inequalities for the Fractional Derivatives of Trigonometric Polynomials in Spaces with Integral Metrics |
| title_short | Inequalities for the Fractional Derivatives of Trigonometric Polynomials in Spaces with Integral Metrics |
| title_sort | inequalities for the fractional derivatives of trigonometric polynomials in spaces with integral metrics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1962 |
| work_keys_str_mv | AT kolomoitsevyus inequalitiesforthefractionalderivativesoftrigonometricpolynomialsinspaceswithintegralmetrics AT kolomojcevûs inequalitiesforthefractionalderivativesoftrigonometricpolynomialsinspaceswithintegralmetrics AT kolomojcevûs inequalitiesforthefractionalderivativesoftrigonometricpolynomialsinspaceswithintegralmetrics AT kolomoitsevyus neravenstvadlâdrobnyhproizvodnyhtrigonometričeskihpolinomovvprostranstvahsintegralʹnojmetrikoj AT kolomojcevûs neravenstvadlâdrobnyhproizvodnyhtrigonometričeskihpolinomovvprostranstvahsintegralʹnojmetrikoj AT kolomojcevûs neravenstvadlâdrobnyhproizvodnyhtrigonometričeskihpolinomovvprostranstvahsintegralʹnojmetrikoj |