Kontsevich Integral Invariants for Random Trajectories
In connection with the investigation of the topological properties of stochastic flows, we encounter the problem of description of braids formed by several trajectories of the flow starting from different points. The complete system of invariants for braids is well known. This system is known as the...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1963 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507865716883456 |
|---|---|
| author | Kuznetsov, V. A. Кузнєцов, В. А. |
| author_facet | Kuznetsov, V. A. Кузнєцов, В. А. |
| author_sort | Kuznetsov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:47:39Z |
| description | In connection with the investigation of the topological properties of stochastic flows, we encounter the problem of description of braids formed by several trajectories of the flow starting from different points. The complete system of invariants for braids is well known. This system is known as the system of Vasil’ev invariants and distinguishes braids to within a homotopy. We consider braids formed by the trajectories $Z_k (t) = X_k(t) + iY_k (t)$ such that $X_k, Y_k , 1 ≤ k ≤ n$, are continuous semimartingales with respect to a common filtration. For these braids, we establish a representation of the indicated invariants in the form of iterated Stratonovich integrals. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
В. А. Кузнецов (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ КОНЦЕВИЧА
ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
In view of the investigation of the topological properties of stochastic flows, we encounter the problem of description of
braids formed by several trajectories of the flow starting from different points. A complete system of invariants for braids
is well known. This system is known as the system of Vasil’ev invariants and distinguishes braids up to a homotopy.
We consider braids formed by trajectories Zk(t) = Xk(t) + iYk(t) such that Xk, Yk, 1 ≤ k ≤ n, are continuous
semimartingales with respect to a common filtration. For these braids, we establish a representation of the indicated
invariants in the form of iterated Stratonovich integrals.
У зв’язку з вивченням топологiчних властивостей стохастичних потокiв виникає задача опису коси, що утворена дея-
кими траєкторiями потоку, якi виходять iз рiзних початкових точок. Для кiс є вiдомою система iнварiантiв, що розрiз-
няє їх iз точнiстю до гомотопiї, — система iнварiантiв Васильєва. У данiй статтi розглядаються коси, утворенi траєк-
торiями Zk(t) = Xk(t)+iYk(t) такими, що Xk, Yk, 1 ≤ k ≤ n, — неперервнi семiмартингали вiдносно спiльної фiль-
трацiї. Для цих кiс доведено теорему про подання вказаних iнварiантiв у виглядi повторних iнтегралiв Стратоновича.
1. Введение. Изучение стохастических потоков имеет важные приложения в теории турбу-
лентного движения жидкости [1]. В связи с задачами магнитной гидродинамики в работе [2]
изучается завихренность (инвариант Хопфа) векторного поля, которая оказывается связанной
с числом зацепления траекторий фазового потока этого поля, исходящих из различных точек.
Эта связь позволяет оценить магнитную энергию потока через топологическую структуру маг-
нитного поля. Таким образом, изучение геометрических свойств фазовых потоков векторных
полей, в частности совместного поведения траекторий, исходящих из различных точек, позволя-
ет делать заключения о свойствах соответствующей физической системы. В связи с изучением
поведения солнечных вспышек, перемещающихся по поверхности Солнца случайным образом,
возникла задача об изучении асимптотического распределения взаимных углов обхода траек-
торий нескольких независимых двумерных броуновских движений [3], решенная в статье [4].
Эти углы являются примерами инвариантов, характеризующих топологические свойства ко-
сы, образованной траекториями нескольких независимых броуновских движений на плоскости
(в качестве третьей координаты используется время). В статье [6] предлагается использовать
инварианты кос, образованных траекториями двумерного потока жидкости, для оценки его
топологической энтропии. В связи с этими исследованиями представляет интерес изучение
других гомотопических инвариантов кос из траекторий независимых броуновских движений,
или, более общо, из траекторий комплексных семимартингалов. В настоящей статье рассмат-
риваются инварианты Васильева для кос, образованные траекториями Zk(t) = Xk(t) + iYk(t)
такими, что Xk, Yk, 1 ≤ k ≤ n, — непрерывные семимартингалы относительно общей филь-
трации. Известно, что инварианты Васильева для гладких кос выражаются через интегральные
инварианты Концевича (см. определение 7). Однако инварианты Васильева можно определить
не только для гладких, но и для произвольных непрерывных кос, в частности для рассматривае-
мых нами кос, образованных траекториями непрерывных семимартингалов. Отсюда возникает
вопрос о нахождении интегрального представления для инвариантов Васильева в этом случае.
Мы доказываем теорему о представлении указанных инвариантов в виде повторных интегра-
лов Стратоновича. В пункте 2 излагаются необходимые предварительные сведения о косах,
c© В. А. КУЗНЕЦОВ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1 57
58 В. А. КУЗНЕЦОВ
инвариантах Васильева и интеграле Концевича для кос. В пункте 3 приводятся формулировка
и доказательство основной теоремы о представлении инвариантов Васильева в виде интегралов
Стратоновича (теорема 2).
2. Предварительные сведения.
Определение 1. Конфигурационным пространством n точек комплексной плоскости на-
зывается топологическое пространство
C0,n = {(z1, . . . , zn) ∈ Cn : zi 6= zj , i 6= j}
с топологией, индуцированной из Cn.
Определение 2. Косой из n нитей называется непрерывная кривая
Z(t) = (Z1(t), . . . , Zn(t)), Zi(t) ∈ C, t ∈ [0, T ],
в конфигурационном пространстве C0,n, т. е. непрерывное отображение из отрезка [0, T ] в
пространство C0,n. Траектории Zi(t), t ∈ [0, T ], называются нитями косы.
Таким образом, нити косы не пересекаются, т. е. для произвольных i 6= j ∀t ∈ [0, T ] :
Zi(t) 6= Zj(t).
Определение 3. Коса Z(t) = (Z1(t), . . . , Zn(t)), Zi(t) ∈ C, t ∈ [0, T ], называется гладкой
(кусочно-гладкой), если все Zi() — гладкие (кусочно-гладкие) функции времени t.
Косы различаются с точностью до гомотопии, сохраняющей начальные и конечные точки.
Для гладких кос известна система инвариантов Васильева, являющаяся полной в том смысле,
что две косы являются гомотопными тогда и только тогда, когда все инварианты Васильева
для них совпадают [7]. Для инвариантов Васильева существует интегральное представление,
данное М. Л. Концевичем [8]. Приведем его описание, следуя статье [9].
Обозначим через Pmn набор всех возможных матриц
P =
P11 P12
P21 P22
· · · · · ·
Pm1 Pm2
размера m × 2, где Pi1, Pi2 ∈ {1, . . . , n}, Pi1 < Pi2, i = 1, . . . ,m; очевидно, |Pmn| =
= (n(n − 1)/2)m. Здесь n совпадает с количеством нитей рассматриваемой нами косы. По-
ставим в соответствие каждой матрице P ∈ Pmn некоторый объект D(P ) — „диаграмму”.
Диаграмма D(P ), соответствующая матрице P ∈ Pmn, состоит из n вертикальных отрезков,
соответствующих струнам косы, и соединяющих их m горизонтальных отрезков, представ-
ляющих строки матрицы P . Горизонтальный отрезок, представляющий i-ю строку (Pi1Pi2),
соединяет вертикальные отрезки с номерами Pi1 и Pi2. При i < j отрезок, соответствующий
i-й строке, находится выше отрезка, соответствующего j-й строке.
Пример 1. Пусть n = 4 (коса из 4 струн), m = 3 и матрица P ∈ P34 такова:
P =
1 3
2 3
3 4
.
Тогда диаграмма D(P ) имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ КОНЦЕВИЧА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ 59
1 2 3 4
Натянем на эти диаграммы D(P ) векторное пространство, которое будем называть про-
странством диаграмм порядка m, и отфакторизуем его по следующим соотношениям:
Одночленное соотношение. Пусть матрицы P, P ′ ∈ Pmn таковы:
P =
. . . . .
. . . . .
i j
k l
. . . . .
. . . . .
, P ′ =
. . . . .
. . . . .
k l
i j
. . . . .
. . . . .
,
где i, j, k, l соответствуют четырем попарно различным нитям. Тогда D(P ) = D(P ′).
Четырехчленное соотношение. Пусть матрицы P1, P2, P3, P4, P5, P6 ∈ Pmn таковы:
P1 =
. . . . .
. . . . .
i j
j k
. . . . .
. . . . .
, P2 =
. . . . .
. . . . .
j k
i k
. . . . .
. . . . .
, P3 =
. . . . .
. . . . .
i k
i j
. . . . .
. . . . .
,
P4 =
. . . . .
. . . . .
j k
i j
. . . . .
. . . . .
, P5 =
. . . . .
. . . . .
i k
j k
. . . . .
. . . . .
, P6 =
. . . . .
. . . . .
i j
i k
. . . . .
. . . . .
,
где i, j, k соответствуют трем попарно различным нитям. Тогда
D(P1)−D(P4) = D(P2)−D(P5) = D(P3)−D(P6).
Точнее говоря, введем следующее определение.
Определение 4. Пусть V — комплексное векторное пространство размерности (n(n −
− 1)/2)m с базисом {D(P ), P ∈ Pmn}, т. е. пространство формальных конечных линей-
ных комбинаций диаграмм D(P ), P ∈ Pmn, c коэффициентами из C. Рассмотрим в нем
подпространство U ⊂ V, являющееся линейной оболочкой векторов вида D(P ) − D(P ′),
D(P1)−D(P4)−D(P2)+D(P5), D(P1)−D(P4)−D(P3)+D(P6) для всевозможных матриц P,
P ′, P1, P2, P3, P4 такого вида, как указано выше в определении одно- и четырехчленного соот-
ношений. Тогда пространством диаграмм порядка m будем называть фактор-пространство
пространства V по подпространству U .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
60 В. А. КУЗНЕЦОВ
Определение 5. Каждая линейная функция на пространстве диаграмм порядка m назы-
вается системой весов порядка m.
На диаграммах также можно определить произведение.
Определение 6. Произведением диаграмм D(P ) и D(P ′), где
P =
P11 P12
P21 P22
· · · · · ·
Pm1 Pm2
, P ′ =
Q11 Q12
Q21 Q22
· · · · · ·
Ql1 Ql2
,
называется диаграмма D(P ′′), где
P ′′ =
P11 P12
P21 P22
· · · · · ·
Pm1 Pm2
Q11 Q12
Q21 Q22
· · · · · ·
Ql1 Ql2
.
Мы будем писать D(P ′′) = D(P )×D(P ′).
Теперь мы можем дать определение интегралов Концевича.
Определение 7. Интегралом Концевича порядка m для кусочно-гладкой косы Z(t) =
= (Z1(t), . . . , Zn(t)) называется следующий элемент пространства диаграмм порядка m :
Km =
∑
P∈Pmn
∫
∆m
ωP11P12(t1) . . . ωPm1Pm2(tm)D(P ),
где
∆m = ∆m(T ) =
{
(t1, . . . , tm) | 0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tm ≤ T
}
,
ωkl(t) = ωlk(t) =
1
2πi
dZk(t)− dZl(t)
Zk(t)− Zl(t)
.
Интегральные инварианты Концевича порядка m получаются из интегралов Km и линейных
функций на пространстве диаграмм порядка m с помощью замены диаграмм на соответ-
ствующие веса (таким образом, каждой системе весов соответствует свой интегральный
инвариант).
Пример 2. Инварианты Концевича первого порядка — это всевозможные линейные ком-
бинации величин
λkl(T ) =
1
2πi
T∫
0
dZk(t
′)− dZl(t′)
Zk(t′)− Zl(t′)
=
1
2πi
ln
Rkl(T )
Rkl(0)
+ i(Φkl(T )− Φkl(0)),
где Rkl(t) = |Zk(t) − Zl(t)|, Φkl(t) — непрерывная по t версия аргумента комплексного числа
Zk(t)−Zl(t). Иначе говоря, Φkl(T )−Φkl(0) представляет собой угол, который нить Zk обходит
вокруг нити Zl к моменту T .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ КОНЦЕВИЧА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ 61
Пример 3. Примером интегрального инварианта Концевича второго порядка является сле-
дующий инвариант для гладкой косы (Z1(t), Z2(t), Z3(t)) из трех нитей:
Ψ123 =
1
2
T∫
0
(λ12dλ13 − λ13dλ12) +
1
2
T∫
0
(λ13dλ23 − λ23dλ13) +
1
2
T∫
0
(λ23dλ12 − λ12dλ23),
где
λkl(t) =
1
2πi
t∫
0
dZk(t
′)− dZl(t′)
Zk(t′)− Zl(t′)
.
3. Основные результаты. Инварианты Концевича обычно определяются для гладких (или
кусочно-гладких) кос. Однако, поскольку они являются гомотопическими инвариантами, их
можно определить и для непрерывных кос, — как соответствующие инварианты гомотопных
им гладких кос (рассматриваются гомотопии, сохраняющие начальные и конечные точки кос).
Для так определенных инвариантов выполняется следующая теорема.
Теорема 1. Любой интегральный инвариант Концевича для непрерывной косы является
пределом соответствующих инвариантов для последовательности вписанных в эту косу ло-
маных при стремлении мелкости разбиения к 0.
Доказательство. Пусть Z(t) = (Z1(t), . . . , Zn(t)), t ∈ [0, T ], — коса, т. е. непрерывный путь
в пространстве Cn \ {∃i, j : zi = zj}. Достаточно показать, что при достаточно мелких разбие-
ниях временного отрезка косы, образованные ломаными, построенными по этому разбиению,
гомотопны косе Z(t).
В данном доказательстве применяется следующая известная лемма [10, c. 179].
Лемма 1 (о лебеговом числе). Для любого открытого покрытия секвенциально компакт-
ного метрического пространства X существует такое ε > 0, что для любой точки x ∈ X
шар Bε(x) содержится в одном из множеств покрытия.
Пусть Uα — покрытие Cn \ {∃i, j : zi = zj} открытыми шарами. Тогда множества φ−1(Uα)
образуют открытое покрытие X = [0, T ]. Для этого покрытия выберем ε > 0 из леммы.
Начиная с некоторой мелкости разбиения |ti+1 − ti| < ε для любого i и каждый отрезок
разбиения [ti, ti+1] отображается в фиксированное множество Uα. Тогда замена траектории
Z(t) на каждом отрезке [ti, ti+1] на отрезок с концами Z(ti), Z(ti+1) меняет траекторию на
гомотопную ей. Точнее говоря, гомотопия осуществляется семейством кривых Zµ(t), µ ∈ [0, 1],
t ∈ [0, T ], где Zµ(t) = (1 − µ)Z(t) + µ
(t− ti)Z(ti+1) + (ti+1 − t)Z(ti)
ti+1 − ti
при t ∈ [ti, ti+1]. При
µ = 0 имеем исходную кривую, при µ = 1 — ломаную с концами в точках Z(ti).
Замечание 1. Из доказательства следует, что гомотопными будут не только вся коса и соот-
ветствующая ломаная, но и все косы, соответствующие интервалам времени [0, ti], т. е. косы
Z(t)|t∈[0,ti]
= (Z1(t), . . . , Zn(t)), t ∈ [0, ti],
будут гомотопны соответствующим ломаным. Этот факт будет использоваться в дальнейших
доказательствах.
Для любых двух непрерывных непересекающихся траекторий Z1(t), Z2(t), t ∈ [0, T ], опре-
делена функция λ12(t) =
1
2π
φ12(t) − i
2π
ln
R12(t)
R12(0)
, где R12(t) = |Z1(t) − Z2(t)|, а φ12(t) —
угол обхода до момента t траектории Z2 вокруг траектории Z1, т. е. угол обхода траектории
Z(t) = Z2(t)− Z1(t) вокруг нуля.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
62 В. А. КУЗНЕЦОВ
Предложение 1. Пусть Zi(t), t ∈ [0, T ], i = 0, . . . , k, — непрерывные семимартингалы
относительно общей фильтрации (Ft), t ∈ [0, T ], такие, что с вероятностью 1
Zi(t) 6= Zj(t) ∀t ∈ [0, T ] ∀i 6= j.
Тогда действительная и мнимая части λij , т. е.
1
2π
φij(t) (где φij(t) — угол обхода i-й тра-
ектории вокруг j-й до момента времени t) и − 1
2π
ln
R12(t)
R12(0)
, являются семимартингалами
относительно фильтрации (Ft).
Доказательство. С помощью формулы Ито для интегралов Стратоновича получаем, что с
вероятностью 1
φij(t) =
t∫
0
(Xi −Xj) ◦ d(Yi − Yj)− (Yi − Yj) ◦ d(Xi −Xj)
(Xi −Xj)2 + (Yi − Yj)2
(s),
ln
R12(t)
R12(0)
=
t∫
0
(Xi −Xj) ◦ d(Xi −Xj) + (Yi − Yj) ◦ d(Yi − Yj)
(Xi −Xj)2 + (Yi − Yj)2
(s),
где интегралы понимаются в смысле интегралов Стратоновича. Заметим, что интегралы Стра-
тоновича непрерывных семимартингалов по непрерывным семимартингалам являются непре-
рывными семимартингалами [11, с. 58].
Теорема 2. Для семимартингалов Zi(t), t ∈ [0, T ], i = 0, . . . , k, относительно общей
фильтрации (Ft), t ∈ [0, T ], таких, что с вероятностью 1
Zi(t) 6= Zj(t) ∀t ∈ T ∀i 6= j,
интегральные инварианты Концевича вычисляются как соответствующие кратные интегра-
лы Стратоновича.
Доказательство этой теоремы опирается на следующие утверждения.
Утверждение 1. Любой интегральный инвариант Концевича Lm порядка m для кусочно-
гладкой косы Z(t) представляется суммой вида
∑
i
∫ T
0
Lim−1(t)dλi(t), где Lim−1 — некоторые
интегральные инварианты Концевича порядка m−1 для той же косы, λi = λkl для некоторых
k 6= l, функции λkl введены выше.
Доказательство. Имеем
Km =
∑
P∈Pmn
∫
∆m
ωP11P12(t1) . . . ωPm1Pm2(tm)D(P ) =
=
∑
i 6=j
∑
P∈P(m−1)n
T∫
0
∫
∆m−1(tm)
ωP11P12(t1) . . . ωP(m−1)1P(m−1)2
(tm−1)
×
×ωPm1Pm2(tm)D(P )×D(P ij).
Здесь P ij =
(
i j
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ КОНЦЕВИЧА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ 63
При фиксированной системе весов w, ставя в соответствие каждой диаграмме D число
w(D), получаем для соответствующего интегрального инварианта Концевича Lm = w(Km):
Lm =
∑
i 6=j
∑
P∈P(m−1)n
T∫
0
∫
∆m−1(t)
ωP11P12(t1) . . . ωP(m−1)1P(m−1)2
(tm−1)
ωij(t)w(D(P )×D(P ij)).
Система весов w′(D(P )) = w(D(P ) × D(P ′)) на диаграммах P ∈ P(m−1)n корректно
определена, поскольку выполнение для нее одно- и четырехчленного соотношений следует
из выполнения соответствующих соотношений для весов w(D(P ) ×D(P ′)). Поэтому каждая
сумма ∑
P∈P(m−1)n
∫
∆m−1(tm)
ωP11P12(t1) . . . ωP(m−1)1P(m−1)2
(tm−1)w(D(P )×D(P ij))
является интегральным инвариантом Концевича (порядка m− 1). Это и доказывает утвержде-
ние.
Рассмотрим косу Z, образованную непрерывными кривыми Zk(t), t ∈ [0, T ], k = 0, . . . , n,
и последовательность разбиений τ = {0 = t0 < t1 < . . . < tp = T} интервала [0, T ] с
|τ | → 0. Пусть L(t) — некоторый интегральный инвариант Концевича порядка m для косы
Z(s), 0 ≤ s ≤ t, образованной кривыми Zk(s), 0 ≤ s ≤ t, λ = λkl для некоторых k 6= l.
Рассмотрим вписанные в кривые Zk ломаные Zτk с вершинами Zk(t0), . . . , Zk(tp), и пусть Zτ —
коса, образованная этими ломаными. Обозначим через Lτ (t) значение исследуемого инварианта
Концевича на косе Zτ (s), 0 ≤ s ≤ t, и пусть λτ (t) — соответствующая λ(t) функция для этой
ломаной. Тогда имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Если суммы
∑p−1
i=0
|Zk(ti+1)− Zk(ti)|2 ограничены по τ и k, то имеет место
сходимость
p−1∑
i=0
L(ti) + L(ti+1)
2
(λ(ti+1)− λ(ti))−
T∫
0
Lτ (t)dλτ (t) −−−→
|τ |→0
0. (1)
Замечание 2. Функции Lτ (), λ(t) являются кусочно-гладкими. Точнее говоря, они диффе-
ренцируемы всюду, за исключением точек ti, в которых имеют правые и левые односторонние
производные. Эта дифференцируемость следует из явного представления инвариантов Конце-
вича в виде интегралов, справедливого для кусочно-гладких кос, каковой и является коса Zτ .
Доказательство теоремы 3. Заметим сначала, что за счет гомотопической инвариантности
L(t), λ(t) и замечания к теореме 1 для достаточно мелких разбиений τ при всех i выполнены
равенства
L(ti) = Lτ (ti), λ(ti) = λτ (ti).
Последующие оценки будем проводить именно для таких достаточно мелких разбиений.
Заменим функцию Lτ на кусочно-линейную версию L̃(·) : Lτ (ti) = L̃(ti) при каждом i, L̃(t)
линейна на [ti, ti+1].
Оценим разность:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
64 В. А. КУЗНЕЦОВ∣∣∣∣∣∣
T∫
0
(Lτ (t)− L̃(t))dλτ (t)
∣∣∣∣∣∣ ≤
p−1∑
i=0
max
t∈[ti,ti+1]
∣∣∣Lτ (t)− L̃(t)
∣∣∣ |λ(ti+1)− λ(ti)| ≤
≤
p−1∑
i=0
max
t∈[ti,ti+1]
|L′′τ (t)|(ti+1 − ti)2|λ(ti+1)− λ(ti)|. (2)
Действительно, имеем Lτ (ti) = L̃(ti), Lτ (ti+1) = L̃(ti+1). В силу теоремы Лагранжа,
примененной к дифференцируемой на отрезке [ti, ti+1] функции Lτ (см. замечание 2), сущест-
вует t̃ ∈ [ti, ti+1] такое, что L′τ (t̃) =
Lτ (ti + 1)− Lτ (ti)
ti+1 − ti
= L̃′(t̃), и потому для всех t ∈ [ti, ti+1]
|L′τ (t)− L̃′(t)| = |L′τ (t)− L̃′(t̃)| = |L′τ (t)− L′τ (t̃)| ≤ max
t∈[ti,ti+1]
|L′′τ (t)||t− t̃| ≤
≤ max
t∈[ti,ti+1]
|L′′τ (t)||ti+1 − ti|.
Отсюда для t ∈ [ti, ti+1] имеем
∣∣Lτ (t)− L̃(t)
∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
ti+1∫
ti
(L′τ (t)− L̃′(t))dt
∣∣∣∣∣∣ ≤ max
t∈[ti,ti+1]
|L′τ (t)− L̃′τ (t)||ti+1 − ti| ≤
≤ max
t∈[ti,ti+1]
∣∣L′′τ (t)
∣∣(ti+1 − ti)2.
Тем самым неравенство (2) установлено.
Легко получается следующая оценка на L′′τ (t), t ∈ [ti, ti+1] :
|L′′τ (t)| ≤ C max
k=0,...,p−1
∆Xk(ti)
2 + ∆Yk(ti)
2
∆ti
2 , (3)
где C > 0 — некоторая постоянная, зависящая лишь от исходной косы (но не от разбиения).
Действительно, Lτ (t) представляется в виде суммы интегралов вида
∫ T
0
Lm−1
τ (t)dλτ (t),
где Lm−1
τ (t) — некоторые инварианты Концевича порядка m− 1 (для ломаной, приближающей
данную косу), λτ (t) = λτkl(t) для некоторых k 6= l, 1 ≤ k, l ≤ n, — инварианты Концевича
первого порядка (тоже для ломаных).
Имеем t∫
0
Lm−1
τ (t)dλτ (t)
′′ = (Lm−1
τ (t)λ′τ (t))′ = (Lm−1
τ (t))′λ′τ (t) + Lm−1
τ (t)λ′′τ (t). (4)
Далее,
λ′τ (t) = (λτkl)
′(t) =
1
2π
(
(Xl −Xk)(Yl − Yk)′ − (Yl − Yk)(Xl −Xk)
′
(Xl −Xk)2 + (Yl − Yk)2
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ КОНЦЕВИЧА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ 65
−i(Xl −Xk)(Xl −Xk)
′ + (Yl − Yk)(Yl − Yk)′
(Xl −Xk)2 + (Yl − Yk)2
)
.
Учитывая, что
X ′′l = Y ′′l = X ′′k = Y ′′k = 0,
получаем
2πλ′′τ (t) =
(Xl −Xk)(Yl − Yk)′′ − (Yl − Yk)(Xl −Xk)
′′
(Xl −Xk)2 + (Yl − Yk)2
−
−2
[(Xl −Xk)(Yl − Yk)′ − (Yl − Yk)(Xl −Xk)
′][(Xl −Xk)(Xl −Xk)
′ + (Yl − Yk)(Yl − Yk)′]
((Xl −Xk)2 + (Yl − Yk)2)2
−
−i(Xl −Xk)(Xl −Xk)
′′ + (Yl − Yk)(Yl − Yk)′′ + 2(Xl −Xk)
′(Yl − Yk)′
(Xl −Xk)2 + (Yl − Yk)2
+
+2i
[(Xl −Xk)(Xl −Xk)
′ + (Yl − Yk)(Yl − Yk)′][(Xl −Xk)(Xl −Xk)
′ + (Yl − Yk)(Yl − Yk)′]
((Xl −Xk)2 + (Yl − Yk)2)2
=
=−2
[(Xl −Xk)(Yl − Yk)′ − (Yl − Yk)(Xl −Xk)
′][(Xl −Xk)(Xl −Xk)
′ + (Yl − Yk)(Yl − Yk)′]
((Xl −Xk)2 + (Yl − Yk)2)2
−
−2i
(Xl −Xk)
′(Yl − Yk)′
(Xl −Xk)2 + (Yl − Yk)2
+ 2i
[(Xl −Xk)(Xl −Xk)
′ + (Yl − Yk)(Yl − Yk)′]2
((Xl −Xk)2 + (Yl − Yk)2)2
,
откуда
|λ′′τ (t)| ≤ C1(X ′2l + Y ′2l +X ′2k + Y ′2k ) = C1
∆Xk(ti)
2 + ∆Yk(ti)
2 + ∆Xl(ti)
2 + ∆Yl(ti)
2
∆t2i
≤
≤ C max
k=0,...,p−1
∆Xk(ti)
2 + ∆Yk(ti)
∆t2i
2
.
Аналогично проводится оценка
(
Lm−1
τ (t)
)′
. Из этих оценок и из (4) получается оценка (3).
Из нее и из (2), учитывая кусочную линейность X, Y, имеем∣∣∣∣∣∣
T∫
0
(Lτ (t)− L̃(t))dλτ (t)
∣∣∣∣∣∣ ≤ C
p−1∑
i=0
max
t∈[ti,ti+1]
∣∣L′′τ (t)
∣∣ (ti+1 − ti)2 |λ(ti+1)− λ(ti)| ≤
≤ C ′ max
i=0,...,p−1
|λ(ti+1)− λ(ti)|max
k
p−1∑
i=0
(∆Xk(ti)
2 + ∆Yk(ti)
2) −−−→
p→∞
0.
Далее, заменим λτ (·) на кусочно-линейную версию λ̃(·). Имеем
T∫
0
L̃(t)dλτ (t) = L̃(T )λτ (T )−
T∫
0
λτ (t)dL̃(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
66 В. А. КУЗНЕЦОВ
Разность ∣∣∣∣∣∣
T∫
0
λτ (t)dL̃(t)−
T∫
0
λ̃(t)dL̃(t)
∣∣∣∣∣∣
оценивается полностью аналогично разности∣∣∣∣∣∣
T∫
0
(Lτ (t)− L̃(t))dλτ (t)
∣∣∣∣∣∣ .
Таким образом, получаем
T∫
0
L̃(t)dλ̃(t)−
T∫
0
Lτ (t)dλτ (t) −−−→
|τ |→0
0.
Однако
T∫
0
L̃(t)dλ̃(t) =
p−1∑
i=0
L(ti) + L(ti+1)
2
(λ(ti+1)− λ(ti)),
что и завершает доказательство теоремы 3.
Теорема 2 очевидным образом следует из теоремы 3, предложения 1 и утверждения 1 с
учетом того факта, что для конечного числа непрерывных семимартингалов Ui(t) относительно
общей фильтрации Ft существует (детерминированная) последовательность разбиений
τn : 0 = t
(n)
0 < t
(n)
1 . . . < t
(n)
kn−1 < t
(n)
kn
= T
со стремящейся к 0 мелкостью
(
max0≤i≤kn−1(t
(n)
i+1 − t
(n)
i ) −−−→
n→∞
0
)
, такая, что все последова-
тельности сумм
kn−1∑
j=0
∣∣Ui(t(n)
j+1)− Ui(t(n)
j )
∣∣2
ограничены с вероятностью 1. Действительно, выбирая произвольную последовательность раз-
биений
Λm : 0 = s
(m)
0 < s
(m)
1 . . . < s
(m)
lm−1 < s
(m)
lm
= T
со сходящейся к 0 мелкостью, получаем, что соответствующие суммы
lm−1∑
j=0
∣∣Ui(smj+1)− Ui(smj )
∣∣2
сходятся по вероятности [11, c. 51], а поскольку этих сумм конечное число, можно выбрать
подпоследовательность последовательности Λm, для которой соответствующие суммы будут
сходиться с вероятностью 1.
1. Монин А. С., Яглом И. М. Статистическая гидромеханика: В 2 ч. – М.: Наука, 1967. – Ч. 2. – 720 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ КОНЦЕВИЧА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ 67
2. Arnold V., Khesin B. Topological methods in hydrodynamics. – New York: Springer, 1998. – 393 p.
3. Berger M., Roberts P. On the winding number problem with finite steps // Adv. Appl. Probab. – 1988. – 20, № 2. –
P. 261 – 274.
4. Marc Yor. Etude asymptotique des nombres de tours de plusieurs mouvements browniens complexes correles // Progr.
Probab. – 1991. – 28. – P. 441 – 455.
5. Jim Pitman, Marc Yor. Asymptotic laws of planar Brownian motion // Ann. Probab. – 1986. – 14, № 3. – P. 733 – 779.
6. Jean-Luc Thiffeault. Braids of entangled particle trajectories // Chaos. – 2010. – 20.
7. Dror Bar-Natan. Vassiliev homotopy string link invariants // J. Knot Theory and Ramifications. – 1995. – 4, № 1. –
P. 13 – 32.
8. Kontsevich M. Vassiliev’s knot invariants // Adv. Soviet Math. – 1993. – 16, Pt. 2. – P. 137 – 150.
9. Mitchell A. Berger. Topological invariants in braid theory // Lett. Math. Phys. – 2001. – 55, № 3. – P. 181 – 192.
10. Munkres James R. Topology: a first course. – Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1974. – 413 p.
11. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. – Cambridge: Univ. Press, 1997. – 346 p.
Получено 15.07.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1963 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:06Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f3/bf519275bbfaa6a2dcb8228de7fef8f3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19632019-12-05T09:47:39Z Kontsevich Integral Invariants for Random Trajectories Интегральные инварианты Концевича для случайных траекторий Kuznetsov, V. A. Кузнєцов, В. А. In connection with the investigation of the topological properties of stochastic flows, we encounter the problem of description of braids formed by several trajectories of the flow starting from different points. The complete system of invariants for braids is well known. This system is known as the system of Vasil’ev invariants and distinguishes braids to within a homotopy. We consider braids formed by the trajectories $Z_k (t) = X_k(t) + iY_k (t)$ such that $X_k, Y_k , 1 ≤ k ≤ n$, are continuous semimartingales with respect to a common filtration. For these braids, we establish a representation of the indicated invariants in the form of iterated Stratonovich integrals. У зв'язку з вивченням топологічних властивостей стохастичних потоків виникає задача опису коси, що утворена деякими траєкторiями потоку, які виходять із різних початкових точок. Для кіс є відомою система інваріантів, що розрізняє їх із точністю до гомотопії, — система інваріантів Васильєва. У даній статті розглядаються коси, утворені траєкторіями $Z_k (t) = X_k(t) + iY_k (t)$ такими, що $X_k, Y_k , 1 ≤ k ≤ n$, — неперервні семімартингали відносно спільної фільтрації. Для цих кіс доведено теорему про подання вказаних інваріантів у вигляді повторних інтегралів Стратоновича. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1963 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 1 (2015); 57–67 Український математичний журнал; Том 67 № 1 (2015); 57–67 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1963/949 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1963/950 Copyright (c) 2015 Kuznetsov V. A. |
| spellingShingle | Kuznetsov, V. A. Кузнєцов, В. А. Kontsevich Integral Invariants for Random Trajectories |
| title | Kontsevich Integral Invariants for Random Trajectories |
| title_alt | Интегральные инварианты Концевича для случайных траекторий |
| title_full | Kontsevich Integral Invariants for Random Trajectories |
| title_fullStr | Kontsevich Integral Invariants for Random Trajectories |
| title_full_unstemmed | Kontsevich Integral Invariants for Random Trajectories |
| title_short | Kontsevich Integral Invariants for Random Trajectories |
| title_sort | kontsevich integral invariants for random trajectories |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1963 |
| work_keys_str_mv | AT kuznetsovva kontsevichintegralinvariantsforrandomtrajectories AT kuznêcovva kontsevichintegralinvariantsforrandomtrajectories AT kuznetsovva integralʹnyeinvariantykoncevičadlâslučajnyhtraektorij AT kuznêcovva integralʹnyeinvariantykoncevičadlâslučajnyhtraektorij |