On the Solvability of One Class of Nonlinear Integral Equations with a Noncompact Hammerstein–Stieltjes-Type Operator on the Semiaxis
We study a class of nonlinear integral equations with a noncompact operator of the Hammerstein–Stieltjes-type on the semiaxis. The existence of positive solutions is proved in various function spaces by using the factorization methods and specially chosen successive approximations.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1966 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507867886387200 |
|---|---|
| author | Petrosyan, A. Khachatryan, Kh. A. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. |
| author_facet | Petrosyan, A. Khachatryan, Kh. A. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. |
| author_sort | Petrosyan, A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:47:39Z |
| description | We study a class of nonlinear integral equations with a noncompact operator of the Hammerstein–Stieltjes-type on the semiaxis. The existence of positive solutions is proved in various function spaces by using the factorization methods and specially chosen successive approximations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.968.4+517.988.63
Х. А. Хачатрян (Ин-т математики НАН Армении, Ереван),
А. С. Петросян (Армян. нац. аграр. ун-т, Ереван)
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ
С НЕКОМПАКТНЫМ ОПЕРАТОРОМ
ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА – СТИЛЬТЬЕСА*
We study one class of nonlinear integral equations with a noncompact operator of the Hammerstein – Stieltjes-type on the
semiaxis. The existence of positive solutions is proved in various function spaces by using the factorization methods and
specially chosen successive approximations.
Дослiджується клас нелiнiйних iнтегральних рiвнянь на пiвосi з некомпактним оператором типу Гаммерштейна –
Стiльтьєса. З використанням факторизацiйних методiв i спецiально вибраних послiдовних наближень доведено
iснування додатних розв’язкiв у рiзних функцiональних просторах.
1. Введение. Нелинейными интегральными уравнениями вида
ϕ(x) = −
∞∫
0
F0(t, ϕ(t))dtF (x− t) + F1(x, ϕ(x)), x ≥ 0, (1)
описываются ряд задач современного математического естествознания. В частности, такие
уравнения встречаются в теории марковских процессов, в кинетической теории газов, в эконо-
метрике и т. д. (см. [1 – 3]). Существенной особенностью таких уравнений является тот факт, что
соответствующий нелинейный оператор Гаммерштейна – Стильтьеса не является компактным
в естественных банаховых пространствах и, следовательно, классические методы нелинейного
анализа о нахождении неподвижных точек для операторов либо не пригодны, либо их можно
применить при весьма жестких условиях на функции F0,F1 и F. Другим немаловажным за-
труднением исследования вышеуказанных уравнений является тот факт, что искомое решение
ϕ(x) определено на неограниченном множестве [0,+∞).
В уравнении (1) функция F задана на множестве (−∞,+∞) и удовлетворяет следующим
условиям:
a) F непрерывна слева на (−∞,+∞),
b) F (−∞) = 0, F (+∞) = 1,
c) F монотонно возрастает на множестве (−∞,+∞),
т. е. функцию F можно рассматривать как функцию распределения некоторой случайной вели-
чины ξ. Согласно теореме Лебега функция F допускает представление
F = FA + FD + FS , (2)
где FA — абсолютно непрерывная компонента функции F, FD — ее дискретная компонента,
являющаяся функцией скачков с конечной суммой модулей скачков, а FS — непрерывная функ-
ция ограниченной вариации, имеющая почти всюду равную нулю производную. Поскольку
*Выполнена при финансовой поддержке ГКН МОН РА в рамках научного проекта SCS 13YR-1A0003.
c© Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН, 2015
106 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 107
F — монотонно неубывающая (возрастающая) функция, из теоремы Лебега следует, что ее
компоненты FA, FD и FS также неубывающие (возрастающие).
Интеграл в правой части (1) понимается в смысле Лебега – Стильтьеса.
F0 и F1 — определенные на множестве (0,+∞)× (−∞,+∞) измеримые функции, удовле-
творяющие условию критичности (см. [4])
F0(t, 0) ≡ 0, F1(x, 0) ≡ 0, t, x ∈ (0,+∞) (3)
(т. е. тождественно нулевая функция удовлетворяет уравнению (1)).
В случае, когда F = FA, F0(t, z) = z, F1(x, z) = g(x) ∈ L1(0,+∞), уравнение (1) превра-
щается в интегральное уравнение Винера – Хопфа второго рода
ϕ(x) = g(x) +
∞∫
0
K(x− t)ϕ(t)dt, x ≥ 0, (4)
где K(x) = F ′A(x). Изучению уравнения (4) посвящено большое количество работ (см., на-
пример, [5 – 9] и библиографию в них). Благодаря своей специфике, для уравнений вида (4)
разработаны математические теории, сочетающие тонкие аналитические построения и эффек-
тивные приближенные методы. Отметим также, что уравнение (4) применяется в различных
областях математической физики (см., например, [10 – 12]).
В частном случае, когда F1 ≡ 0, F0(t, z) = z, уравнение (1) достаточно подробно было
исследовано в работе [13] в связи с его важным применением в известной задаче теории веро-
ятностей: для заданной случайной величины ξ найти независимо распределенную случайную
величину ζ такую, чтобы имело место соотношение
ζ v (ξ + ζ)+ =
ξ + ζ при ξ + ζ ≥ 0,
0 при ξ + ζ < 0.
(5)
Эквивалентность этих случайных величин понимается в смысле совпадения их функций рас-
пределения. Соотношение (5) сводится к следующему частному случаю уравнения (1):
ϕ(x) = −
∞∫
0
ϕ(t)dtF (x− t), x ≥ 0,
где F играет роль функции распределения случайной величины ξ, а ϕ — искомая функция
распределения ζ.
В случае, когда F1 ≡ 0, F0(t, z) = G(z), G — непрерывная функция на некотором отрезке
[0, η], причем G(z) ≥ z, z ∈ [0, η], G(η) = η, G ↑ на [0, η], уравнение (1) исследовалось в
работе [14]. При этом было доказано существование положительного монотонно неубываю-
щего и ограниченного решения ϕ(x). Более того, было установлено предельное соотношение
limx→+∞ ϕ(x) = η.
В недавней работе одного из авторов (см. [15]) уравнение (1) изучалось в частном случае,
когда F1 ≡ 0, F0(t, z) = z − ω(t, z), F = FA, где ω — монотонно убывающая по z (начиная с
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
108 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
некоторого числа δ > 0) функция, удовлетворяющая следующему условию Красносельского –
Ганкеля: существует измеримая функция
◦
ω :
◦
ω ∈ L1(R+) ∩ C0(R+),
◦
ω ↓ по z на [δ,+∞), m1(
◦
ω) ≡
∞∫
0
x
◦
ω(x)dx < +∞,
такая, что
0 ≤ ω(t, z) ≤ ◦ω(t+ z), (t, z) ∈ R+ × [δ,+∞).
В статье [15] был предложен новый подход, который позволяет построить однопараметриче-
ское семейство положительных и ограниченных решений, а также вычислить предел каждого
решения из этого семейства в бесконечности.
Настоящая работа посвящена исследованию уравнения (1) и его некоторым частным слу-
чаям, когда функция F непрерывна и имеет сингулярную компоненту: F ≡ FC = FA + FS .
В последнем случае, когда F1 ≡ 0, при некоторых условиях на функцию F0(t, z) строится
однопараметрическое семейство положительных и ограниченных решений для уравнения (1).
Что касается общего случая (2), то здесь при существенно иных условиях относительно F0
и F1 доказывается существование положительных и интегрируемых решений. В завершение
работы приведено несколько примеров функций Fj(t, z), j = 0, 1.
2. Обозначения и вспомогательные факты. Пусть E — одно из следующих банаховых
пространств: C[0,+∞), Cl[0,+∞), Vc[0,+∞), где Cl[0,+∞) — банахово пространство непре-
рывных на [0,+∞) функций, имеющих конечный предел в∞, с нормой ‖f‖ = supx≥0 |f(x)|, а
Vc[0,+∞) — банахово пространство непрерывных функций ограниченной вариации на [0,+∞)
с нормой
‖f‖ = |f(a)|+
b∨
a
f (6)
(из сходимости по норме (6) следует равномерная сходимость).
Рассмотрим интегральный оператор
(F̂ f)(x) = −
∞∫
0
f(t)dtF (x− t), x ≥ 0,
где F удовлетворяет условиям a) – c) (см. введение), а f ∈ E.
Как известно, оператор F̂ действует в каждом из банаховых пространствE, причем в случае
F ≡ FC = FA + FS оператор I − F̂ допускает следующую факторизацию (см. [13]):
I − F̂ = (I − Û−)(I − Û+), (7)
где I — единичный оператор, Û± — вольтерровы операторы,
(Û−f)(x) =
∞∫
x
f(t)dtu−(t− x), (Û+f)(x) = −
x∫
0
f(t)dtu+(x− t),
f принадлежит E,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 109
u±(x) = w±(0)− w±(x), (8)
w± ∈ Vc[0,+∞), w± ↓ по x, lim
x→+∞
w±(x) = 0, причем
(1− w−(0))(1− w+(0)) = 0.
Обозначим через
m(F ) =
+∞∫
−∞
xdF (x) (9)
первый момент функции F (т. е. математическое ожидание случайной величины ξ). В дальней-
шем, если не будет оговорено противное, будем считать, что интеграл (9) абсолютно сходится
в смысле Лебега – Стильтьеса и
m(F ) < 0. (10)
При выполнении условия (10) из результатов работы [13] следует, что
w+(0) < 1, w−(0) = 1. (11)
В [13] с использованием условий a)− c), (10) и факторизации (7) доказано, что при F ≡ FC =
= FA + FS уравнение
S(x) = −
∞∫
0
S(t)dtF (x− t), x ≥ 0, (12)
с условием
S(0) = 1
имеет положительное монотонно неубывающее и ограниченное решение, причем
1 = S(0) ≤ S(x) ≤ (1− w+(0))−1, x ≥ 0, (13)
lim
x→+∞
S(x) = (1− w+(0))−1,
1
1− w+(0)
− S ∈ L1(R+). (14)
Рассмотрим теперь соответствующее неоднородное уравнение
ρ(x) = g(x)−
∞∫
0
ρ(t)dtF (x− t), x ≥ 0, (15)
относительно искомой измеримой функции ρ(x), где g(x) ≥ 0, x ∈ R+ и g ∈ L1(R+). С исполь-
зованием факторизации (7) решение уравнения (15) сводится к последовательному решению
следующих связанных уравнений:
(I − U−)Q = g, (16)
(I − U+)ρ = Q. (17)
Запишем уравнение (16) в раскрытом виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
110 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
Q(x) = g(x) +
∞∫
x
Q(t)du−(t− x), x ≥ 0. (18)
В работе [14] доказано, что уравнение (18) имеет неотрицательное локально интегрируемое
решение с асимптотикой
x∫
0
Q(t)dt = o(x), x→ +∞,
являющееся пределом следующих последовательных приближений:
Q(n+1)(x) = g(x) +
∞∫
x
Q(n)(t)du−(t− x), Q(0)(x) = g(x), n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0. (19)
В этой же работе установлено следующее неравенство для решения Q : при любом r > 0 имеет
место неравенство
r+1∫
r
Q(τ)dτ ≤
∞∫
1
du−(τ)
−1 ∞∫
r
g(τ)dτ. (20)
Ниже при дополнительных условиях на функцию g мы установим новые свойства функции
Q, а именно, докажем следующую лемму, которая будет играть важную роль в дальнейших
рассуждениях.
Лемма (основная). Пусть функция g имеет следующие свойства:
0 ≤ g ∈ L1(R+) ∩ L∞(R+), g(x) ↓ по x на R+ и m1(g) ≡
∞∫
0
xg(x)dx < +∞,
а u− задается согласно (8) и (11), где L∞(R+) — пространство почти всюду ограниченных
функций на R+. Тогда решение Q(x) уравнения (18) имеет следующие свойства:
1) Q(x) ↓ по x на R+,
2) Q ∈ L0
∞(R+)∩L1(R+), где L0
∞(R+) — пространство почти всюду ограниченных на R+
функций, имеющих нулевой предел на бесконечности.
Доказательство. Сначала убедимся, что Q(n)(τ) ↓ по τ на R+, n = 0, 1, 2, . . . . В случае
n = 0 это очевидно, ибо g(x) ↓ по x на R+. Пусть Q(n)(τ) ↓ по τ при некотором n ∈ N. Тогда,
записывая итерации (19) в виде
Q(n+1)(τ) = g(τ) +
∞∫
0
Q(n)(τ + t)du−(t),
Q(0)(τ) = g(τ), n = 0, 1, 2, . . . , τ ≥ 0,
(21)
и учитывая монотонность функции g, из (21) получаем, что Q(n+1)(τ) ↓ по τ на R+. Сле-
довательно предельная функция Q(τ) = limn→∞Q
(n)(τ) также монотонно убывает. Из (20) с
учетом монотонности Q следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 111
0 ≤ Q(r + 1) ≤
∞∫
1
du−(τ)
−1 ∞∫
r
g(t)dt −→
r→+∞
0.
Отсюда, в свою очередь, следует, чтоQ ограничена на множестве [1,+∞) и limτ→+∞Q(τ) = 0.
Теперь докажем, что Q принадлежит L0
∞(R+). Из (18) имеем
Q(x) = g(x) +
1∫
x
Q(t)dtu−(t− x) +
∞∫
1
Q(t)dtu−(t− x) ≤
≤ sup
x∈R+
g(x) +Q(x)
1∫
x
dtu−(t− x) + sup
t≥1
Q(t)
∞∫
1
du−(t− x) ≤
≤ sup
x∈R+
g(x) +Q(x)u−(1− x) + sup
t≥1
Q(t) ≤
≤ sup
x∈R+
g(x) + sup
t≥1
Q(t) +Q(x)u−(1) при x ∈ [0, 1]. (22)
Заметим, что u−(1) < 1, ибо u−(0) = 0, u−(+∞) = 1, и u−(x) — строго возрастающая
функция из Vc[0,+∞) (см. [13, 14]). Следовательно, из (22) получaем
Q(x) ≤ C(1− u−(1))−1,
где
C ≡ sup
x∈R+
g(x) + sup
t≥1
Q(t).
Таким образом, мы получили, что Q принадлежит L0
∞(R+). Для завершения доказательства
нам осталось убедиться, что Q принадлежит L1(R+).
Проинтегрируем обе части (20) по r в пределах от нуля до некоторого числа δ > 0. В
результате получим
δ∫
0
r+1∫
r
Q(τ)dτdr ≤
∞∫
1
du−(τ)
−1 δ∫
0
∞∫
r
g(τ)dτdr =
=
∞∫
1
du−(τ)
−1 δ∫
0
δ∫
r
g(τ)dτdr +
δ∫
0
∞∫
δ
g(τ)dτdr
.
Изменяя порядок интегрирования в последних двух слагаемах с учетом теоремы Фубини,
находим
δ∫
0
r+1∫
r
Q(τ)dτdr ≤
∞∫
1
du−(τ)
−1 δ∫
0
τg(τ)dτ + δ
∞∫
δ
g(τ)dτ
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
112 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
≤
∞∫
1
du−(τ)
−1 ∞∫
0
τg(τ)dτ ≤
∞∫
1
du−(τ)
−1
m1(g) < +∞.
С учетом монотонности Q из полученного неравенства следует, что
δ∫
0
Q(r + 1)dr ≤
∞∫
1
du−(τ)
−1
m1(g) < +∞
или
δ+1∫
1
Q(z)dz ≤
∞∫
1
du−(τ)
−1
m1(g),
откуда, устремляя δ к +∞, получаем
∞∫
1
Q(z)dz ≤
∞∫
1
du−(τ)
−1
m1(g). (23)
Но, с другой стороны, подставляя в (20) r = 0, имеем
1∫
0
Q(z)dz ≤
∞∫
1
du−(τ)
−1 ∞∫
0
g(τ)dτ. (24)
Складывая (23) и (24), приходим к неравенству
∞∫
0
Q(z)dz ≤
∞∫
1
du−(τ)
−1 ∞∫
0
(τ + 1)g(τ)dτ.
Таким образом, лемма полностью доказана.
Перейдем теперь к решению уравнения (17):
ρ(x) = Q(x)−
x∫
0
ρ(t)dtu+(x− t), x ≥ 0. (25)
Рассмотрим итерации
ρn+1(x) = Q(x)−
x∫
0
ρn(t)dtu+(x− t),
ρ0 ≡ 0, n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0.
С использованием того факта, что w+(0) < 1, в силу представления (8) индукцией по n
нетрудно убедиться в достоверности следующих фактов:
a) ρn ↑ по n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 113
b) ρn ∈ L1(R+), n = 0, 1, 2, . . . ,
c) ρn(τ) ≤ (1− w+(0))−1 supτ≥0Q(τ), τ ≥ 0,
d)
∫ ∞
0
ρn(τ)dτ ≤ (1− w+(0))−1
∫ ∞
0
Q(τ)dτ, n = 0, 1, 2, . . . .
Следовательно, последовательность функций {ρn(τ)}∞n=0 имеет поточечный предел при
n → +∞ : limn→∞ ρn(τ) = ρ(τ), причем предельная функция по теореме Б. Леви (см. [16])
удовлетворяет уравнению (25) и неравенствам
ρ(τ) ≥ Q(τ), τ ≥ 0,
ρ(τ) ≤ (1− w+(0))−1 sup
τ≥0
Q(τ) ≡ C0,
(26)
∞∫
0
ρ(τ)dτ ≤ (1− w+(0))−1
∞∫
0
Q(τ)dτ ≤
≤ (1− w+(0))−1
∞∫
1
du−(τ)
−1 ∞∫
0
(x+ 1)g(x)dx. (27)
Поскольку g(x) ↓ 0 при x → +∞ и w+(0) < 1, из леммы 3.3 работы [13] непосредственно
следует, что
lim
x→+∞
ρ(x) = 0. (28)
Соотношения (26) – (28) понадобятся нам в дальнейших рассуждениях.
3. Разрешимость уравнения (1) с функцией распределения F, имеющей сингулярную
и дискретную компоненты. В настоящем пункте будем рассматривать уравнение (1) в случае,
когда F допускает представление (2).
Пусть определенная на множестве R измеримая функция G(x) удовлетворяет следующим
условиям:
1) существует положительное число η > 0 такое, что G ∈ C[0, η], G ↑ [0, η],
2) G(0) = 0, G(η) = η, причем число η > 0 является первым положительным корнем
уравнения G(x) = x,
3) функцияG(x) удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0, η] с некоторой постоянной
L > 0, т. е. существует число L > 0 такое, что
|G(x1)−G(x2)| ≤ L|x1 − x2|, x1, x2 ∈ [0, η].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть функция распределения F удовлетворяет условиям a) – c) и 1 − F ∈
∈ L1(R+), а также существуют числа η0 ∈ (0, η) и α ∈ (0,min (1, 1/L)) такие, что:
1) F1(x, µη0(x)) ≥ µη0(x), F1(x, η) ≤ µη(x), (29)
где
µδ(x) ≡ δ(1− F (x)), x ∈ R+; (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
114 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
2) функцииF0(x, z) иF1(x, z) при каждом фиксированном x ∈ R+ монотонно возрастают
по аргументу z на отрезке [0, η];
3) 0 ≤ F0(x, z) ≤ αG(z), x ∈ R+, z ∈ [0, η]; (31)
4) F0 и F1 на множестве R+×[0, η] удовлетворяют условию Каратеодори по аргументу z,
т. е. при каждом фиксированном z ∈ [0, η] функции {Fj(x, z)}j=0,1 измеримы по x ∈ R+ и
почти при всех x ∈ R+ непрерывны по z на отрезке [0, η].
Тогда уравнение (1) имеет ненулевое неотрицательное решение в пространстве L1(R+)∩
∩ L0
∞(R+), где L0
∞(R+) =
{
f ∈ L∞(R+) : limx→∞ f(x) = 0
}
.
Доказательство. Наряду с уравнением (1) рассмотрим вспомогательное уравнение
ϕ̃(x) = −
∞∫
0
Gα(ϕ̃(t))dtF (x− t), x ≥ 0, (32)
относительно искомой измеримой и вещественной функции ϕ̃(x), где
Gα(z) = η − αG(η − z). (33)
Введем следующие итерации:
ϕ̃n+1(x) = −
∞∫
0
Gα(ϕ̃n(t))dtF (x− t),
ϕ̃0(x) ≡ 0, n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0.
С использованием свойств функции G и с учетом условий a) – c) индукцией по n нетрудно
убедиться в справедливости следующих фактов:
j1) ϕ̃n(x) ↑ по n,
j2) ϕ̃n(x) 6≡ 0, n = 1, 2, 3, . . . ,
j3) ϕ̃n(x) ↑ по x, n = 0, 1, 2, . . . ,
j4) ϕ̃n(x) ≤ η, n = 0, 1, 2, . . . , x ∈ R+.
Следовательно, последовательность функций {ϕ̃n(x)}∞n=0 имеет поточечный предел при
n → ∞ : ϕ̃(x) = limn→∞ ϕ̃n(x), причем предельная функция по теореме Б. Леви удовлетво-
ряет уравнению (32), является монотонно возрастающей и при всех x ∈ R+ удовлетворяет
неравенствам
η(1− α)
x∨
−∞
F ≤ ϕ̃(x) ≤ η.
Ниже убедимся, что
η − ϕ̃ ∈ L1(R+) ∩ L0
∞(R+).
С этой целью рассмотрим вспомогательное уравнение
ρ̃(x) = η(1− F (x))−
∞∫
0
(η −Gα(η − ρ̃(t)))dtF (x− t), x ≥ 0, (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 115
относительно искомой функции ρ̃(x) и следующие последовательные приближения для него:
ρn+1(x) = η(1− F (x))−
∞∫
0
(η −Gα(η − ρ̃n(t)))dtF (x− t),
ρ̃0(x) = η(1− F (x)), n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0.
(35)
Индукцией можно убедиться, что:
i1) ρ̃n(x) ↑ по n,
i2) ρ̃n(x) ∈ L1(R+), n = 0, 1, 2, . . . ,
i3)
∫ ∞
0
ρn(x)dx ≤ η(1− αL)−1‖1− F‖L1(R+), n = 0, 1, 2, . . . ,
i4) ρ̃n(x) ≤ η, n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0.
Докажем, например, свойство i3). Остальные свойства последовательности {ρ̃n(τ)}∞n=0 до-
казываются легче. В случае n = 0 свойство i3) непосредственно следует из (35) с учетом того,
что α ∈ (0,min (1, 1/L)) . Пусть i3) выполняется при некотором натуральном n. Тогда из (35)
с учетом условий, накладываемых на F и G, имеем
∞∫
0
ρ̃n+1(x)dx = η
∞∫
0
(1− F (x))dx−
∞∫
0
∞∫
0
(η −Gα(η − ρ̃n(t)))dtF (x− t)dx ≤
≤ η‖1− F‖L1(R+) − αL
∞∫
0
∞∫
0
ρ̃n(t)dtF (x− t)dx =
= η‖1− F‖L1(R+) + αL
∞∫
0
x∫
−∞
ρ̃n(x− t)dtF (t)dx =
= η‖1− F‖L1(R+) + αL
∞∫
0
0∫
−∞
ρ̃n(x− t)dtF (t)dx+
+αL
∞∫
0
x∫
0
ρ̃n(x− t)dtF (t)dx =
= η‖1− F‖L1(R+) + αL
0∫
−∞
∞∫
0
ρ̃n(x− t)dxdtF (t)+
+αL
∞∫
0
+∞∫
t
ρ̃n(x− t)dxdtF (t) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
116 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
= η‖1− F‖L1(R+) + αL
0∫
−∞
+∞∫
−t
ρ̃n(y)dydtF (t) + αL
∞∫
0
∞∫
0
ρ̃n(y)dydtF (t) ≤
≤ η‖1− F‖L1(R+) + αL
∞∫
0
ρ̃n(y)dy
+∞∫
−∞
dtF (t) ≤
≤ η‖1− F‖L1(R+)
(
1 +
αL
1− αL
)
= η(1− αL)−1‖1− F‖L1(R+).
Следовательно, последовательность функций {ρ̃n(τ)}∞n=0 имеет поточечный предел при n →
→ ∞ : ρ̃(τ) = limn→∞ ρ̃n(τ), причем этот предел по теореме Лебега удовлетворяет уравне-
нию (34) и соотношениям
η(1− F (x)) ≤ ρ̃(x) ≤ η, x ∈ R+,
∞∫
0
ρ̃(x)dx ≤ η(1− αL)−1‖1− F‖L1(R+).
С использованием условий, накладываемых на функцию G, и того, что α ∈ (0,min (1, 1/L)) ,
нетрудно убедиться в единственности решения уравнения (34) в следующем классе измеримых
функций:
Ωη ≡ {ϕ : 0 ≤ ϕ(x) ≤ η, x ∈ R+}.
С другой стороны, непосредственной проверкой можно убедиться, что функция
ρ̃∗(x) ≡ η − ϕ̃(x) ∈ Ωη
удовлетворяет уравнению (34). Тогда из изложенного следует, что
ρ̃∗(x) ∈ L1(R+).
Теперь докажем, что
lim
x→+∞
ρ̃∗(x) = 0.
Поскольку 0 ≤ ϕ̃(x) ≤ η, x ∈ R+ и ϕ̃(x) ↑ по x на R+, существует предел
lim
x→+∞
ϕ̃(x) = c0 ≤ η.
Ниже убедимся, что c0 = η. С этой целью сначала докажем, что
lim
x→+∞
− ∞∫
0
Gα(ϕ̃(t))dtF (x− t)
= Gα(c0). (36)
Имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 117∣∣∣∣∣∣Gα(c0) +
∞∫
0
Gα(ϕ̃(t))dtF (x− t)
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ Gα(c0)(1− F (x)) +
∞∫
0
|Gα(c0)−Gα(ϕ̃(t))||dtF (x− t)| = I1(x) + I2(x).
Очевидно, что I1(x) → 0 при x → +∞. Докажем, что I2(x) → 0 при x → +∞. Учитывая
формулу (33), имеем
I2(x) ≤ αL
∞∫
0
|c0 − ϕ̃(t)||dtF (x− t)| =
= αL
x∫
0
|c0 − ϕ̃(t)||dtF (x− t)|+
∞∫
x
|c0 − ϕ̃(t)||dtF (x− t)|
=
= αL(J1(x) + J2(x)).
Поскольку ϕ̃(t) → c0 при t → +∞, для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что если t > δ,
то
|ϕ̃(t)− c0| < ε.
Пусть x > 2δ, тогда для второго интеграла J2(x) получаем
J2(x) ≤ ε
∞∫
x
|dtF (x− t)| ≤ ε.
Далее, преобразуя первый интеграл для J1(x), имеем следующую оценку:
J1(x) =
x/2∫
0
|c0 − ϕ̃(t)||dtF (x− t)|+
x∫
x/2
|c0 − ϕ̃(t)||dtF (x− t)| ≤
≤ 2c0
x∫
x/2
|dtF (τ)|+ ε
x∫
x/2
|dtF (x− t)| ≤ 2c0
x∫
x/2
|dtF (τ)|+ ε.
Поскольку
∫ x
x/2
|dtF (t)| → 0 при x → +∞, для любого ε > 0 существует δ1 > 0 такое, что
при x > δ1
x∫
x/2
|dtF (t)| < ε.
Выбирая x > max(2δ, δ1), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
118 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
J1(x) ≤ ε(1 + 2c0).
Таким образом, при x > max(2δ, δ1)
I2(x) ≤ αL(2ε+ 2εc0).
Итак, справедливость формулы (36) доказана.
Переходя к пределу в обеих частях уравнения (32) при x→ +∞, получаем
c0 = Gα(c0), 0 < c0 ≤ η.
Ниже убедимся, что η является первым положительным корнем уравнения Gα(x) = x.
Предположим обратное: пусть существует число η1 ∈ (0, η) такое, что
Gα(η1) = η1, т. е. η − αG(η − η1) = η1.
Тогда имеем
η − η1 = Gα(η)−Gα(η1) ≤ αL(η − η1),
откуда непосредственно следует, что η ≤ η1, ибо αL < 1. Из полученного противоречия, в
свою очередь, следует, что c0 = η.
Итак, мы доказали, что уравнение (32) имеет ненулевое неотрицательное монотонно воз-
растающее и ограниченное решение ϕ̃(x), причем limx→+∞ ϕ̃(x) = η и η − ϕ̃ ∈ L1(R+).
Теперь, использовав эти факты, перейдем к построению положительного решения уравне-
ния (1) в пространстве L1(R+) ∩ L0
∞(R+). Введем следующие итерации:
ϕn+1(x) = −
∞∫
0
F0(t, ϕn(t))dtF (x− t) + F1(x, ϕn(x)),
ϕ0(x) = µη0(x), n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0.
(37)
Индукцией можно проверить достоверность следующих фактов:
ϕn(x) ↑ по n, (38)
ϕn(x) ≤ η − ϕ̃(x), n = 0, 1, 2, . . . , (39)
Докажем неравенства (39). Пусть n = 0, тогда
ϕ0(x) = µη0(x) ≤ µη(x) = η(1− F (x)) ≤
≤ η(1− F (x)) +
− ∞∫
0
(η −Gα(η − ρ̃∗(t)))dtF (x− t)
= ρ̃∗(x) ≡ η − ϕ̃(x).
Предположим, что неравенства (39) выполняются при некотором n ∈ N. Тогда из (37) с учетом
(29) – (31) будем иметь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 119
ϕn+1(x) ≤ −
∞∫
0
F0(t, η − ϕ̃(t))dtF (x− t) + F1(x, η − ϕ̃(x)) ≤
≤ −
∞∫
0
F0(t, η − ϕ̃(t))dtF (x− t) + F1(x, η) ≤
≤ −α
∞∫
0
G(η − ϕ̃(t))dtF (x− t) + F1(x, η) ≤
≤ −
∞∫
0
(η −Gα(ϕ̃(t)))dtF (x− t) + µη(x) =
= ηF (x) +
∞∫
0
Gα(ϕ̃(t))dtF (x− t) + µη(x) = η − ϕ̃(x).
Монотонность последовательности {ϕn(x)}∞n=0 по n доказывается с использованием усло-
вий 1, 2 теоремы 1. Следовательно, последовательность функций {ϕn(x)}∞n=0 имеет поточеч-
ный предел при n → ∞ : ϕ(x) = limn→∞ ϕn(x), причем ϕ(x) удовлетворяет уравнению (1),
что следует из условия 4 теоремы 1 с учетом теоремы Б. Леви. Из (39) следует также, что
µη0(x) ≤ ϕ(x) ≤ η − ϕ̃(x), x ∈ R+. (40)
Поскольку µη0(x) ≥ 0, x ∈ R+, η − ϕ̃ ∈ L1(R+) ∩ L0
∞(R+), из (40) заключаем, что ϕ ∈
∈ L1(R+) ∩ L0
∞(R+).
Теорема доказана.
Приведем несколько примеров функций F0 и F1, для которых выполняются все условия
теоремы 1.
Примеры функции F0(x, z) :
10) F0(x, z) = αpq0(x, z)
Qp(z)
ηp−1
, x ∈ R+, z ∈ [0, η], где q0(x, z) — определенная на R+ × R
вещественная функция, удовлетворяющая следующим условиям:
A) 0 ≤ q0(x, z) ≤ 1, x ∈ R+, z ∈ [0, η],
B) q0 ↑ по z на отрезке [0, η] при каждом фиксированном x ∈ R+,
C) q0(x, z) удовлетворяет условию Каратеодори по аргументу z на множестве R+ × [0, η].
20) F(x, z) = q0(x, z) ln(αQ(z) + 1), x ∈ R+, z ∈ [0, η].
Примерами q0(x, z) и Q(z) могут служить следующие функции:
q0(x, z) = e−γx(1− e−βz), γ, β > 0,
Q(z) =
zp
ηp−1
, p > 1, z ∈ [0, η].
Примеры функции F1(x, z) :
30) F1(x, z) = µη0+η1(x)
z
z + µη1(x)
, где x ∈ R+, z ∈ [0, η], η0, η1 > 0, η ≥ η0 + η1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
120 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
40) F1(x, z) = µη0+η1(x)
λz2
(z + µη1(x))2
, где x ∈ R+, z ∈ [0, η], λ ≥ 1 +
η1
η0
, η ≥ λ(η0 + η1),
η0, η1 > 0.
4. Однопараметрическое семейство положительных и ограниченных решений для
уравнения (1) в случае, когда F1 ≡ 0, а F ≡ FC = FA + FS . В настоящем пункте
мы займемся построением однопараметрического семейства положительных и ограниченных
решений для уравнения (1) в частном случае, когда F1(x, z) ≡ 0, а функция распределения F
удовлетворяет условиям а) – c) и имеет только абсолютно непрерывную и сингулярную компо-
ненты, т. e. допускает представление F ≡ FC = FA+FS . В доказательстве следующей теоремы
существенным образом применяется основная лемма из п. 2.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть F1(x, z) ≡ 0, а функция F удовлетворяет условиям (10) и a) − c),
причем F ≡ FC = FA + FS . Предположим далее, что F0(t, z) имеет следующую структуру:
F0(t, z) = z − ω(t, z),
где ω(t, z) — измеримая вещественная функция, определенная на множестве R+×R и удовле-
творяющая следующим условиям:
γ1) существует число A > 0 такое, что при каждом фиксированном t ∈ R+ функция
ω(t, z) ↓ по z на множестве [A,+∞);
γ2) существует измеримая функция
◦
ω(z), определенная на R, со свойствами 0 ≤ ◦
ω(z) ↓
на [A,+∞),
◦
ω ∈ L1(R+) ∩ C0(R+), m1(
◦
ω) ≡
∞∫
0
x
◦
ω(x)dx < +∞,
причем
0 ≤ ω(t, z) ≤ ◦ω(t+ z), t ∈ R+, z ∈ [A,+∞); (41)
γ3) ω удовлетворяет условию Каратеодори по аргументу z на множестве R+× [A,+∞).
Тогда уравнение (1) имеет однопараметрическое семейство положительных и ограничен-
ных решений {ϕβ(x)}β∈∆, причем каждая функция этого семейства обладает следующими
свойствами:
lim
x→∞
ϕβ(x) = 2β(1− w+(0))−1, β ∈ ∆,
если β1, β2 ∈ ∆, β1 > β2, то
ϕβ1(x)− ϕβ2(x) ≥ 2(β1 − β2), x ∈ R+.
Здесь ∆ = [max(κ, β0),+∞), где β0 (β0 ≥ A) — некоторое фиксированное число, для которого
◦
ω(β0) < β0, а κ = supx≥0Q(x), Q(x) — ограниченное и положительное решение неоднородного
интегрального уравнения
Q(x) = 2
◦
ω(x+A)−
∞∫
0
Q(t)dtF (x− t), x ≥ 0. (42)
Замечание 1. Существование положительного и ограниченного решения уравнения (42)
не предполагается, а следует из основной леммы, доказанной в п. 2, а существование числа
β0 ≥ A непосредственно следует из свойств функции
◦
ω .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 121
Доказательство разобьем на несколько шагов.
I шаг (исследование одного вспомогательного неоднородного линейного интегрального
уравнения). Наряду с уравнением (1) рассмотрим вспомогательное уравнение
Q̃(x) = 2
◦
ω(x+ Sβ(x))− λβ(x)
∞∫
0
Q̃(t)dtF (x− t), x ≥ 0, (43)
относительно искомой измеримой функции Q̃(x), где
Sβ(x) = βS(x), β ∈ ∆,
λβ(x) = 1−
◦
ω(x+ Sβ(x))
Sβ(x)
,
(44)
а S(x) — решение уравнения (12), имеющее свойства (13), (14).
Введем следующие итерации:
Q̃n+1(x) = 2
◦
ω(x+ Sβ(x))− λβ(x)
∞∫
0
Q̃n(t)dtF (x− t),
Q̃0(x) = 2
◦
ω(x+ Sβ(x)), n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0.
(45)
Индукцией по n можно доказать, что
θ1) Q̃n(x) ↑ по n,
θ2) Q̃n(x) ≤ Q(x), n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0.
Действительно, докажем, например, θ2). Поскольку Sβ(x) ≥ β ≥ β0 ≥ A, в силу монотон-
ности
◦
ω на [A,+∞) имеем
◦
ω(x+ Sβ(x)) ≤ ◦ω(x+A),
откуда следует, что
Q0(x) = 2
◦
ω(x+ Sβ(x)) ≤ 2
◦
ω(x+A) ≤ Q(x).
Предположим, что θ2) выполняется при некотором n ∈ N, и докажем его при n + 1. Сначала
заметим, что функция λβ(x) имеет следующие свойства:
существует число δ = δβ > 0 такое, что
0 < δ ≤ λβ(x) ≤ 1, x ∈ R+, (46)
1− λβ ∈ L1(R+), β ∈ ∆, (47)
lim
x→∞
λβ(x) = 1 при любом β ∈ ∆. (48)
Действительно, выбирая в качестве δ > 0 число
δ = (β0 −
◦
ω(β0))
(1− w+(0))
β
> 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
122 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
и учитывая монотонность функции
◦
ω, приходим к (46). Свойства (47) и (48) непосредственно
следуют из включения
◦
ω ∈ L1(R+) ∩ C0(R+).
Теперь с использованием (46) и с учетом неравенства Q0(x) ≤ ◦ω(x+A) из (45) получаем
Q̃n+1(x) ≤ 2
◦
ω(x+A)−
∞∫
0
Q̃n(t)dtF (x− t) ≤ 2
◦
ω(x+A)−
∞∫
0
Q(t)dtF (x− t) = Q(x).
Монотонность последовательности {Q̃n}∞0 доказывается более просто. Тогда последователь-
ность функций {Q̃n}∞n=0 имеет поточечный предел при n → ∞ : limn→∞ Q̃n(x) = Q̃β(x),
причем предельная функция удовлетворяет уравнению (43) и неравенствам
2
◦
ω(x+ Sβ(x)) ≤ Q̃β(x) ≤ Q(x).
Ниже убедимся также, что при любом β ∈ ∆ имеет место неравенство
Sβ(x) ≥ Q̃β(x), x ∈ R+. (49)
Действительно, из определения множества ∆ следует, что
Sβ(x) ≥ β ≥ κ ≥ Q(x) ≥ Q̃β(x), x ∈ R+. (50)
II шаг (построение нетривиального решения соответствующего однородного линейно-
го уравнения, априорные оценки). Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее (43):
Eβ(x) = −λβ(x)
∞∫
0
Eβ(t)dtF (x− t), x ≥ 0, (51)
относительно искомой измеримой функции Eβ(x), β ∈ ∆. Непосредственной проверкой можно
убедиться, что функция Ẽβ(x) ≡ 2Sβ(x) − Q̃β(x) удовлетворяет уравнению (51). Поскольку
Sβ(x) ≥ Q̃β(x) (см. (49) и (50)), то
Ẽβ(x) ≥ Sβ(x), x ∈ R+, β ∈ ∆.
Рассмотрим для уравнения (51) следующие итерации:
E
(n+1)
β (x) = −λβ(x)
∞∫
0
E
(n)
β (t)dtF (x− t), x ≥ 0,
E
(0)
β (x) = 2Sβ(x), n = 0, 1, 2, . . . .
Индукцией по n нетрудно убедиться в справедливости следующих фактов:
E
(n)
β (x) ↓ по n, β ∈ ∆, x ∈ R+,
E
(n)
β (x) ≤ 2λβ(x)Sβ(x), n = 1, 2, 3, . . . , x ≥ 0,
E
(n)
β (x) ≥ Ẽβ(x), n = 0, 1, 2, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 123
Следовательно, последовательность функций {E(n)
β (x)}∞n=0 имеет поточечный предел при
n → ∞ : limn→∞E
(n)
β (x) = Eβ(x), причем этот предел удовлетворяет уравнению (51) и це-
почке неравенств
2λβ(x)Sβ(x) ≥ Eβ(x) ≥ Ẽβ(x) ≥ Sβ(x), x ∈ R+. (52)
Рассмотрим теперь „основное” вспомогательное однородное уравнение
Pβ(x) = −
∞∫
0
λβ(t)Pβ(t)dtF (x− t), x ≥ 0, (53)
относительно искомой функции Pβ(x), β ∈ ∆.
В силу (51) и (52) функция Pβ(x) =
Eβ(x)
λβ(x)
удовлетворяет уравнению (53) и неравенствам
Sβ(x) ≤ Ẽβ(x) ≤ Eβ(x) ≤ Pβ(x) ≤ 2Sβ(x), x ≥ 0, β ∈ ∆. (54)
На последнем шаге, с учетом свойств построенного решения Pβ(x) и специально вы-
бранного итерационного процесса, докажем существование однопараметрического семейства
положительных решений для (1) в случае, когда F1 ≡ 0.
III шаг (специальный итерационный процесс для решения уравнения (1)). Рассмотрим
следующие последовательные приближения:
ϕβn+1(x) = −
∞∫
0
(ϕβn(t)− ω(t, ϕβn(t)))dtF (x− t),
ϕβ0 (x) = 2Sβ(x), n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0.
(55)
Индукцией по n нетрудно убедиться, что
ϕβn(x) ↓ по n, (56)
ϕβn(x) ≥ Pβ(x), n = 0, 1, 2, . . . , (57)
если β1, β2 ∈ ∆, β1 > β2 — произвольные числа, то
ϕβ1n (x)− ϕβ2n (x) ≥ 2(Sβ1(x)− Sβ2(x)) ≥ 2(β1 − β2), n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0. (58)
Докажем, например, неравенство (57). Остальные свойства последовательности {ϕβn(x)}∞n=0
проверяются легче. В случае n = 0 неравенство (57) непосредственно следует из цепочки
неравенств (54). Пусть (57) выполняется при некотором n ∈ N. Тогда в силу (41), (44) и (54) из
(55) получaeм
ϕβn+1(x) ≥ −
∞∫
0
(Pβ(t)− ω(t, Pβ(t)))dtF (x− t) ≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
124 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
≥ −
∞∫
0
(Pβ(t)− ω(t, Sβ(t)))dtF (x− t) ≥
≥ −
∞∫
0
(Pβ(t)− ω(t+ Sβ(t)))dtF (x− t) =
= −
∞∫
0
(Pβ(t)− (1− λβ(t))Sβ(t))dtF (x− t) ≥
≥ −
∞∫
0
λβ(t)Pβ(t)dtF (x− t) = Pβ(x).
Из (56), (57) и (58) следует, что последовательность функций {ϕβn(x)}∞n=0 имеет поточечный
предел при n → ∞ : limn→∞ ϕ
β
n(x) = ϕβ(x), причем предельная функция по предельной
теореме Б. Леви удовлетворяет уравнению (1) и соотношениям
Ẽβ(x) ≤ Pβ(x) ≤ ϕβ(x) ≤ 2Sβ(x), x ∈ R+, (59)
ϕβ1(x)− ϕβ2(x) ≥ 2(Sβ1(x)− Sβ2(x)) ≥ 2(β1 − β2), x ∈ R+. (60)
Из (60) непосредственно следует, что ϕβ(x) ↑ по β на ∆.
Поскольку Ẽβ(x) = 2Sβ(x)−Q̃β(x), а 0 ≤ Q̃β(x) ≤ Q(x), limx→∞Q(x) = 0 (см. основную
лемму из п. 2) и limx→∞ Sβ(x) = β(1 − w+(0))−1, из (59) получаем существование конечного
предела
lim
x→∞
ϕβ(x) = 2β(1− w+(0))−1.
Таким образом, теорема доказана.
Замечание 2. В частном случае, когда F = FA, этот результат был получен в работе [15].
5. Построение суммируемого решения уравнения (1) с функцией F0(t, z), для которой
мажорантой служит функция вида z + ω(t, ξ). Справедлива следующая теорема.
Теорема 3 (основная). Пусть функция распределения F удовлетворяет условиям теоремы
2, причем 1 − F ∈ L1(R+), а F0(x, z) и F1(x, z) — заданные измеримые и вещественные
функции, определенные на R+ × R. Предположим, что существуют числа
ξ ≥ 2 max(κ, β0)
1− w+(0)
и ξ0 ∈ (0, ξ)
такие, что F0(x, z) и F1(x, z) удовлетворяют следующим условиям:
A) F1(x, µξ0(x)) ≥ µξ0(x), F1(x, ξ) ≤ µξ(x), x ∈ R+,
B) 0 ≤ F0(t, z) ≤ z + ω(t, ξ), t ∈ R+, z ∈ [0, ξ], где ω удовлетворяет условиям теоремы 2,
C) функции {Fj(x, z)}j=0,1 при каждом фиксированном x ∈ R+ монотонно возрастают
по z на отрезке [0, ξ],
D) функции {Fj(x, z)}j=0,1 удовлетворяют условию Каратеодори по аргументу z на мно-
жестве R+ × [0, ξ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 125
Тогда уравнение (1) имеет ненулевое неотрицательное решение в пространстве L1(R+)∩
∩ L0
∞(R+).
Доказательство. Из определения множества ∆ следует, что
β∗ =
ξ(1− w+(0))
2
∈ ∆.
Следовательно, учитывая теорему 2, можем утверждать, что уравнение
ϕ̃(x) = −
∞∫
0
(ϕ̃(t)− ω(t, ϕ̃(t)))dtF (x− t), x ≥ 0,
имеет положительное и ограниченное решение ϕ̃β∗(x), обладающее следующими свойствами:
lim
x→∞
ϕ̃β∗(x) = 2β∗(1− w+(0))−1 = ξ (61)
и
Sβ∗(x) ≤ 2Sβ∗(x)− Q̃β∗(x) ≤ ϕ̃β∗(x) ≤ 2Sβ∗(x). (62)
Убедимся, что
ξ − ϕ̃β∗(x) ∈ L1(R+) ∩ L0
∞(R+). (63)
Включение ξ− ϕ̃β∗ ∈ L0
∞(R+) непосредственно следует из (61) и (62). Докажем, что ξ− ϕ̃β∗ ∈
∈ L1(R+). В силу (62) с учетом того факта, что limx→∞ Q̃β∗(x) = 0, будем иметь
0 ≤ ξ − ϕ̃β∗(x) ≤ ξ − 2Sβ∗(x) + Q̃β∗(x), x ∈ R+. (64)
Поскольку
ξ − 2Sβ∗(x) = 2β∗
(
1
1− w+(0)
− S(x)
)
∈ L1(R+)
(см. формулу (14)) и Q̃β∗ ∈ L1(R+), из (64) получаем (63).
С другой стороны, убедимся в достоверности неравенства
ξ − ϕ̃β∗(x) ≥ µξ0(x).
Учитывая цепочку неравенств (62) и используя формулы (13), (14), имеем
ξ − ϕ̃β∗(x) ≥ ξ − 2Sβ∗(x) = 2β∗
(
1
1− w+(0)
− S(x)
)
=
= 2β∗
(
1
1− w+(0)
∞∨
x
F +
1
1− w+(0)
x∨
−∞
F − S(x)
)
=
= 2β∗
1
1− w+(0)
∞∨
x
F +
x∫
−∞
(
1
1− w+(0)
− S(x− t)
)
dF (t)
≥
≥ 2β∗
1− w+(0)
(1− F (x)) = ξ(1− F (x)) ≥ ξ0(1− F (x)) = µξ0(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
126 Х. А. ХАЧАТРЯН, А. С. ПЕТРОСЯН
Теперь рассмотрим следующие итерации:
ϕn+1(x) = −
∞∫
0
F0(t, ϕn(t))dtF (x− t) + F1(x, ϕn(x)),
ϕ0(x) = ξ − ϕ̃β∗(x), n = 0, 1, 2, . . . , x ≥ 0.
(65)
Индукцией по n убедимся, что
ϕn(x) ↓ по , n, (66)
ϕn(x) ≥ µξ0(x), n = 0, 1, 2, . . . . (67)
Сначала докажем, что
ϕ1(x) ≥ µξ0(x), ϕ1(x) ≤ ϕ0(x), x ∈ R+.
С учетом неравенства из условия A) и свойств функции F0 из (65) получаем
ϕ1(x) ≥ F1(x, µξ0(x)) ≥ µξ0(x), x ∈ R+,
ϕ1(x) = F1(x, ξ − ϕ̃β∗(x))−
∞∫
0
F0(t, ξ − ϕ̃β∗(t))dtF (x− t) ≤
≤ F1(x, ξ)−
∞∫
0
(ξ − ϕ̃β∗(t) + ω(t, ξ))dtF (x− t) ≤
≤ µξ(x) + ξF (x)−
∞∫
0
(−ϕ̃β∗(t) + ω(t, ξ))dtF (x− t) ≤
≤ ξ −
∞∫
0
(−ϕ̃β∗(t) + ω(t, ϕ̃β∗(t)))dtF (x− t) = ξ − ϕ̃β∗(x) = ϕ0(x),
ибо ω(t, ξ) ≤ ω(t, ϕ̃β∗(t)) в силу ϕ̃β∗(t) ≤ ξ, ϕ̃β∗(t) ≥ A.
Предполагая, что ϕn(x) ≤ ϕn−1(x) и ϕn(x) ≥ µξ0(x) при некотором n ∈ N, и учитывая
монотонность функций F0 и F1 по z, из (65) имеем
ϕn+1(x) ≤ ϕn(x) и ϕn+1(x) ≥ µξ0(x).
Следовательно, последовательность функций {ϕn(x)}∞n=0 имеет поточечный предел при n →
→ ∞ : limn→∞ ϕn(x) = ϕ(x), причем этот предел в силу условия D) и с учетом теоремы
Б. Леви удовлетворяет уравнению (1). Из (66) и (67) следует также, что
µξ0(x) ≤ ϕ(x) ≤ ξ − ϕ̃β∗(x), x ∈ R+,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ . . . 127
откуда получаем, что ϕ ∈ L1(R+) ∩ L0
∞(R+).
Теорема доказана.
Заметим, что для теоремы 3 в качестве функции F1 можно выбрать примеры из п. 3 в случае
η0 = ξ0 и η = ξ.
Приведем один пример функции F0, для которой выполняются все условия теоремы 3:
F0(t, z) = z + ω(t, ξ) sin
z
ω(t, ξ)
, t ∈ R+, z ∈ [0, ξ].
Замечание 3. В отличие от утверждения теоремы 2, в теоремах 1 и 3 построенное решение
ϕ(x) не может быть функцией распределения, так как ϕ ∈ L1(R+) ∩ L0
∞(R+).
1. Cercignani C. Theory and application of the Boltzman equation. – Edinburgh; London: Scot. Acad. Press, 1975. –
415 p.
2. Sargan I. D. The distribution of wealth // Econometrics. – 1957. – 25, № 4. – P. 568 – 590.
3. Феллер Ф. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – M.: Мир, 1967. – Т. 2.
4. Хачатрян Х. А. Вопросы разрешимости некоторых нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных
уравнений с некомпактными операторами в критическом случае: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Ереван, 2011. –
231 с.
5. Lindley D. V. The theory of queue whith a single sever // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1952. – № 48. – P. 277 – 289.
6. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. – М.: Наука, 1978.
7. Spitzer F. The Wiener – Hopf equation whose kernel is probability density // Duke Math. J. – 1957. – 24, № 3. –
P. 323 – 343.
8. Енгибарян Н. Б., Арутюнян А. А. Интегральные уравнения на полупрямой с разностными ядрами и нелинейные
функциональные уравнения // Мат. сб. – 1975. – 97, № 1. – C. 35 – 58.
9. Арабаджян Л. Г., Енгибарян Н. Б. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения // Мат.
анализ / Итоги науки и техники. – 1984. – 22. – C. 175 – 240.
10. Амбарцумян В. А. Научные труды. – Ереван, 1960. – Т. 1.
11. Маслеников М. В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1968. – 97.
12. Енгибарян Н. Б., Хачатрян А. Х. Вопросы нелинейной теории динамики разреженного газа // Мат. моделиро-
вание. – 2004. – 16, № 1. – С. 67 – 74.
13. Енгибарян Н. Б. Уравнения в свертках, содержащие сингулярные вероятностные распределения // Изв. РАН.
Сер. мат. – 1996. – 60, № 2. – С. 21 – 48.
14. Khachatryan A. Kh., Khachatryan Kh. A. On convolution type nonlinear integral equations, containing singular and
discrete probability distributions // Adv. and Appl. Math. Sci. (India). – 2010. – 5, № 1. – P. 1 – 15.
15. Khachatryan Kh. A. On a class of nonlinear integral equation with a noncompact operator // J. Contemp. Math.
Anal. – 2011. – 46, № 2. – P. 89 – 100.
16. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1981.
Получено 28.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1966 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:09Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1b/f6646a31100a5af4479f68dc7c67051b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19662019-12-05T09:47:39Z On the Solvability of One Class of Nonlinear Integral Equations with a Noncompact Hammerstein–Stieltjes-Type Operator on the Semiaxis О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений на полуоси с некомпактным оператором типа Гаммерштейна – Стильтьеса Petrosyan, A. Khachatryan, Kh. A. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. We study a class of nonlinear integral equations with a noncompact operator of the Hammerstein–Stieltjes-type on the semiaxis. The existence of positive solutions is proved in various function spaces by using the factorization methods and specially chosen successive approximations. Досліджується клас нелінійних інтегральних рівнянь на півосі з некомпактним оператором типу Гаммерштейна-Стільтьєса. З використанням факторизаційних методів i спеціально вибраних послідовних наближень доведено існування додатних розв'язків у різних функціональних просторах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1966 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 1 (2015); 106–127 Український математичний журнал; Том 67 № 1 (2015); 106–127 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1966/955 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1966/956 Copyright (c) 2015 Petrosyan A.; Khachatryan Kh. A. |
| spellingShingle | Petrosyan, A. Khachatryan, Kh. A. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. Петросян, А. С. Хачатрян, Х. А. On the Solvability of One Class of Nonlinear Integral Equations with a Noncompact Hammerstein–Stieltjes-Type Operator on the Semiaxis |
| title | On the Solvability of One Class of Nonlinear Integral Equations with a Noncompact Hammerstein–Stieltjes-Type Operator on the Semiaxis |
| title_alt | О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений на полуоси с некомпактным оператором типа Гаммерштейна – Стильтьеса |
| title_full | On the Solvability of One Class of Nonlinear Integral Equations with a Noncompact Hammerstein–Stieltjes-Type Operator on the Semiaxis |
| title_fullStr | On the Solvability of One Class of Nonlinear Integral Equations with a Noncompact Hammerstein–Stieltjes-Type Operator on the Semiaxis |
| title_full_unstemmed | On the Solvability of One Class of Nonlinear Integral Equations with a Noncompact Hammerstein–Stieltjes-Type Operator on the Semiaxis |
| title_short | On the Solvability of One Class of Nonlinear Integral Equations with a Noncompact Hammerstein–Stieltjes-Type Operator on the Semiaxis |
| title_sort | on the solvability of one class of nonlinear integral equations with a noncompact hammerstein–stieltjes-type operator on the semiaxis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1966 |
| work_keys_str_mv | AT petrosyana onthesolvabilityofoneclassofnonlinearintegralequationswithanoncompacthammersteinstieltjestypeoperatoronthesemiaxis AT khachatryankha onthesolvabilityofoneclassofnonlinearintegralequationswithanoncompacthammersteinstieltjestypeoperatoronthesemiaxis AT petrosânas onthesolvabilityofoneclassofnonlinearintegralequationswithanoncompacthammersteinstieltjestypeoperatoronthesemiaxis AT hačatrânha onthesolvabilityofoneclassofnonlinearintegralequationswithanoncompacthammersteinstieltjestypeoperatoronthesemiaxis AT petrosânas onthesolvabilityofoneclassofnonlinearintegralequationswithanoncompacthammersteinstieltjestypeoperatoronthesemiaxis AT hačatrânha onthesolvabilityofoneclassofnonlinearintegralequationswithanoncompacthammersteinstieltjestypeoperatoronthesemiaxis AT petrosyana orazrešimostiodnogoklassanelinejnyhintegralʹnyhuravnenijnapoluosisnekompaktnymoperatoromtipagammerštejnastilʹtʹesa AT khachatryankha orazrešimostiodnogoklassanelinejnyhintegralʹnyhuravnenijnapoluosisnekompaktnymoperatoromtipagammerštejnastilʹtʹesa AT petrosânas orazrešimostiodnogoklassanelinejnyhintegralʹnyhuravnenijnapoluosisnekompaktnymoperatoromtipagammerštejnastilʹtʹesa AT hačatrânha orazrešimostiodnogoklassanelinejnyhintegralʹnyhuravnenijnapoluosisnekompaktnymoperatoromtipagammerštejnastilʹtʹesa AT petrosânas orazrešimostiodnogoklassanelinejnyhintegralʹnyhuravnenijnapoluosisnekompaktnymoperatoromtipagammerštejnastilʹtʹesa AT hačatrânha orazrešimostiodnogoklassanelinejnyhintegralʹnyhuravnenijnapoluosisnekompaktnymoperatoromtipagammerštejnastilʹtʹesa |