Problem of Optimal Control for a Semilinear Hyperbolic System of Equations of the First Order with Infinite Horizon Planning
We establish necessary conditions for the optimality of smooth boundary and initial controls in a semilinear hyperbolic system of the first order. The problem adjoint to the original problem is a semilinear hyperbolic system without initial conditions. The suggested approach is based on the use of s...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1973 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507874835300352 |
|---|---|
| author | Derev’yanko, N. V. Kirilich, V. M. Дерев'янко, Н. В. Кирилич, В. М. |
| author_facet | Derev’yanko, N. V. Kirilich, V. M. Дерев'янко, Н. В. Кирилич, В. М. |
| author_sort | Derev’yanko, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:47:54Z |
| description | We establish necessary conditions for the optimality of smooth boundary and initial controls in a semilinear hyperbolic system of the first order. The problem adjoint to the original problem is a semilinear hyperbolic system without initial conditions. The suggested approach is based on the use of special variations of continuously differentiable controls. The existence of global generalized solutions for a semilinear first-order hyperbolic system in a domain unbounded in time is proved. The proof is based on the use of the Banach fixed-point theorem and a space metric with weight functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
Т. О. Дерев’янко, В. М. Кирилич (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЮ СИСТЕМОЮ
НАПIВЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
З НЕСКIНЧЕННИМ ГОРИЗОНТОМ ПЛАНУВАННЯ
We establish necessary conditions for the optimality of smooth boundary and initial controls over a semilinear first-order
hyperbolic system. The problem adjoint to the original problem is a semilinear hyperbolic system without initial conditions.
The suggested approach is based on the use of a special variation of the continuously differentiable control. The existence
of global generalized solution of a semilinear first-order hyperbolic system in a domain unbounded in time is proved. The
proof is based on the use of the principle of contractive mappings and a space metric with weight functions.
Установлены необходимые условия для задачи оптимального управления полулинейной гиперболической системой.
Сопряженная задача к исходной является полулинейной гиперболической задачей без начальных условий. Предло-
женный подход основан на использовании специальной вариации непрерывно дифференцированного управления.
Доказано существование глобального решения смешанной задачи для полулинейной гиперболической системы в не-
ограниченной по времени полосе. При доказательстве соответствующих теорем использован принцип сжимающих
отображений и метрики с весовыми функциями.
1. Вступ. Задачi оптимального керування гiперболiчними системами рiвнянь першого порядку
моделюють рiзноманiтнi процеси природознавства та технiки [1 – 3]. В роботi [1] динамiчнi
процеси, що описанi напiвлiнiйними системами гiперболiчних рiвнянь першого порядку, роз-
глядалися в обмеженiй областi. Обмеженiсть просторової змiнної зумовлена реальними iнтер-
претацiями, наприклад вiком у математичнiй моделi керування популяцiєю з вiковою структу-
рою та профiлем гравiтацiйної хвилi [1, 2]. Однак керування довготривалими процесами також
становлять науковий iнтерес i частково були розглянутi, зокрема, в роботах [2, 3].
Метою даної статтi є встановлення необхiдних умов оптимальностi для задачi оптималь-
ного керування гiперболiчною системою рiвнянь першого порядку з нескiнченним горизонтом
планування (необмеженiсть процесу в часi).
За допомогою теореми Банаха про нерухому точку з використанням метрики з ваговими
функцiями [4] встановлено iснування узагальненого розв’язку мiшаної гiперболiчної задачi на
необмеженому часовому промiжку. Зазначимо, що для спряженої системи задачi оптимального
керування початкову умову не задано, а задано лише поведiнку її розв’язку на нескiнченностi.
Задачi подiбного типу дослiджувалися в роботах [5, 6]. Використану тут методику застосовано
в роботi [7] для оптимального керування системами звичайних диференцiальних рiвнянь.
2. Формулювання задачi. В областi (x, t) ∈ Π = (0, l)×(0,+∞) розглянемо деякий процес
y = y(x, t), еволюцiю якого в часi та просторi описуємо напiвлiнiйною системою гiперболiчних
рiвнянь першого порядку
∂y(x, t)
∂t
+ λ(x, t)
∂y(x, t)
∂x
= f(y(x, t), x, t), (1)
де y : Π → Rn — вектор-функцiя розв’язку, λ — вiдображення з Π на простiр дiагональних
дiйснозначних (n× n)-матриць
λ(x, t) = diag(λ1(x, t), λ2(x, t), . . . , λn(x, t))
c© Т. О. ДЕРЕВ’ЯНКО, В. М. КИРИЛИЧ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2 185
186 Т. О. ДЕРЕВ’ЯНКО, В. М. КИРИЛИЧ
i f : Rn ×Π→ Rn — задана нелiнiйна вектор-функцiя.
Зауважимо, що в одновимiрному випадку довiльну напiвлiнiйну гiперболiчну систему пер-
шого порядку з не дiагональною характеристичною матрицею можна завжди звести до напiв-
лiнiйної гiперболiчної системи з дiагональною характеристичною матрицею [8, c. 22].
Розглянемо множини
I = {1, 2, . . . , n},
I0 = {i ∈ I|λi(x, t) > 0, (x, t) ∈ Π},
Il = {i ∈ I|λi(x, t) < 0, (x, t) ∈ Π},
для яких m1 = card(I0), m2 = card(I\Il). Тобто без обмеження загальностi будемо вважати,
що першi m1 власних значень є додатними, наступнi m2−m1 — нульовими, а решта n−m2 —
вiд’ємними.
Для системи (1) задамо початковi та крайовi умови:
y(x, 0) = y0(u(x), x), x ∈ [0, l], (2)
y+(0, t) = γ0(y−(0, t), u(1)(t), t), t ∈ R+, (3)
y−(l, t) = γl(y+(l, t), u(2)(t), t), t ∈ R+. (4)
Тут u, u(1), u(2) — керуючi впливи такi, що для компактiв U, U1, U2, u : [0, l] → U, U ⊂
⊂ Rr(r ∈ N), u(1) : R+ → U1, U1 ⊂ Rr1 , r1 ∈ N, u(2) : R+ → U2, U2 ⊂ Rr2 , r2 ∈ N,
y0 : U × [0, l] → Rn; y+ : Π → Rm1 , y− : Π → Rn−m2 — пiдвектори вектора y, що вiдповi-
дають вiдповiдним додатним та вiд’ємним власним значенням характеристичної матрицi сис-
теми (1) (аналогiчнi позначення використовуватимемо далi для iнших функцiй); γ0 : Rn−m2 ×
× U1 × R+ → Rm1 , γl : Rm1 × U2 × R+ → Rn−m2 .
Нехай цiльовий функцiонал має вигляд
J(u, u(1), u(2)) =
+∞∫
0
G0(y−(0, t), y+(l, t), t)dt+
∫∫
Π
G(y(x, t), x, t)dxdt, (5)
де G0 : Rm1+n−m2 × R+ → R+, G : Rn × Π→ Π, причому цi функцiї є вимiрними на [0,+∞)
для довiльної функцiї y з простору Q, який введено нижче.
Зауваження 1. Пiдiнтегральнi функцiї G,G0 в цiльовому функцiоналi (5), зазвичай, в при-
кладних задачах, наприклад для G, мають один iз виглядiв [7]:
1) G(y, x, t) =
1
2
e−ρGt
∑n
i=1
(yi − yi)
2 , де y : Π → Rn — задана функцiя, ρG — норма
дисконтування;
2) G(y, x, t) = e−ρGtg(y, x, t), де g : Rn × Π → Π — задана обмежена функцiя.
Перелiченi класи функцiй не вичерпують усi можливi варiанти пiдiнтегральних функцiй цiльо-
вого функцiоналa (5). Однак пiдiнтегральнi функцiї цiльового функцiоналa повиннi бути поданi
у виглядi добутку iнтегровної функцiї на вiдповiднiй областi, яка не залежить вiд розв’язку за-
дачi (1) – (4), та нелiнiйної функцiї вiд розв’язку тiєї ж задачi, рiст якого не перевищує рiст
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЮ СИСТЕМОЮ НАПIВЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 187
iнтегровної функцiї для всiх допустимих наборiв керувань та вiдповiдних розв’язкiв задачi
(1) – (4) при t→∞.
Отже, потрiбно дослiдити задачу
min
u,u(1),u(2)
J(u, u(1), u(2)), (6)
де мiнiмум береться по тих u, u(1), u(2), для яких iснує єдиний розв’язок задачi (1) – (4) в сенсi
означення 1.
3. Коректна розв’язнiсть гiперболiчної задачi. Розглянемо простiр Uad, елементами якого
є набори керувань (u, u(1), u(2)), що задовольняють умови
u ∈ (C[0, l])r , u(1) ∈ (C(R+))r1 , u(2) ∈ (C(R+))r2 ,
y0
+(0, u(0)) = γ0(y0
−(0), u(1)(0), 0), y0
−(l, u(l)) = γl(y0
+(l), u(2)(0), 0),
∀x ∈ [0, l] : u(x) ∈ U, ∀t ∈ R+ : u(1)(t) ∈ U1, u(2)(t) ∈ U2.
Для довiльного елемента (u, u(1), u(2)) ∈ Uad керування u, u(1), u(2) є неперервними, тому
можна позначити
y0(u(x), x) = ỹ0(x),
γ0(y−(0, t), u(1)(t), t) = γ̃0(y−(0, t), t),
γl(y+(l, t), u(2)(t), t) = γ̃l(y+(l, t), t).
Нехай L — спiльна стала Лiпшиця для функцiї y, тобто
|fi(y1, x, t)− fi(y2, x, t)| 6 Lmax
j∈I
|y1
j − y2
j |,
а Λ — стала, що обмежує власнi значення характеристичної матрицi системи (1) за модулем:
Λ = sup
i∈I
(x,t)∈Π
|λi(x, t)| .
На множинi Π для i ∈ I визначимо функцiї
αi(x, t; a, p) =
epx(l−x)−at, i ∈ I0, i ∈ Il,
epx−at, i ∈ I0, i /∈ Il,
ep(l−x)−at, i /∈ I0, i ∈ Il,
epl−at, i /∈ I0, i /∈ Il,
з вибраними параметрами a та p:
p = max {ln (4L)/l, 0}+ p0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
188 Т. О. ДЕРЕВ’ЯНКО, В. М. КИРИЛИЧ
a = max
{
pΛ, plΛ, 4Lmax{epl, epl2/4}
}
+ a0,
у яких a0, p0 > 0 — довiльно фiксованi величини.
Позначимо через ξ = ϕi(τ ;x, t), i ∈ I, розв’язок задачi Кошi
dξ
dτ
= λi(ξ, τ), ξ
∣∣
τ=t
= x,
який називатимемо характеристикою системи (1). Для всiх (x, t) ∈ Π та для довiльного i ∈
∈ I iснує єдина пара точок (ϕi(χi(x, t);x, t), χi(x, t)), (ϕi(νi(x, t);x, t), νi(x, t)) ∈ ∂Π, причому
(ϕi(χi(x, t);x, t), χi(x, t)) — точка перетину характеристики в напрямку спадання аргумента τ,
а (ϕi(νi(x, t);x, t), νi(x, t)) — в напрямку його зростання. Зауважимо, що для нульових власних
значень νi може набувати значення +∞.
Введемо областi
Πi =
{
(x, t) ∈ Π| χi(x, t) = 0
}
, i ∈ I,
Πi
0 =
{
(x, t) ∈ Π| ϕi(χi(x, t);x, t) = 0
}
, i ∈ I0,
Πi
l =
{
(x, t) ∈ Π| ϕi(χi(x, t);x, t) = l
}
, i ∈ Il.
Зiнтегрувавши (1) вздовж характеристик, одержимо для всiх i ∈ I систему iнтегро-опера-
торних рiвнянь
yi(x, t) = Ri[y](x, t) +
t∫
χi(x,t)
fi(y(ϕi(τ ;x, t), τ), ϕi(τ ;x, t), τ)dτ, (7)
де
Ri[y](x, t) =
ỹ0
i (ϕi(0;x, t)), (x, t) ∈ Πi,
γ̃0
i (y−(0, χi(x, t)), χi(x, t)), (x, t) ∈ Πi
0,
γ̃li(y+(l, χi(x, t)), χi(x, t)), (x, t) ∈ Πi
l.
Розглянемо метричний простiр
Q =
{
y ∈
(
C(Π)
)n ∩ (B(Π)
)n
: yi(ϕi(·;x, t), ·) ∈ AC [χi(x, t), νi(x, t)] , i ∈ I, (x, t) ∈ Π
}
,
де B(Π) — простiр обмежених функцiй на множинi Π, a AC [χi(x, t), νi(x, t)] — простiр аб-
солютно неперервних функцiй на множинi [χi(x, t), νi(x, t)〉 (тут пiд 〉 розумiтимемо ) або ]
вiдповiдно до того, набуває чи не набуває νi значення +∞).
Означення 1. Пiд узагальненим розв’язком задачi (1) – (4), що вiдповiдає набору керувань
u, u(1), u(2), будемо розумiти вектор-функцiю y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Q, компоненти якої
задовольняють систему iнтегро-операторних рiвнянь (7) в Π.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) λ ∈
(
C(Π) ∩ Lipx(Π)
)n
, sup
i∈I
(x,t)∈Π
|λi(x, t)| < +∞, inf
i∈I
(x,t)∈Π
|λi(x, t)| < +∞;
2) f ∈
(
C(Rn ×Π) ∩ Lipy(Π)
)n
, sup
i∈I
(y,x,t)∈Rn×Π
|fi(y, x, t)| e−at < +∞;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЮ СИСТЕМОЮ НАПIВЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 189
3) y0 ∈ (C(U × [0, l]))n ;
4) γ0 ∈
(
C(Rn−m2 × U1 × R+) ∩ Lipy(Rn−m2 × U1 × R+)
)m1 ,
sup
i∈I0
(y−,u(1),t)∈Rn−m2×U1×R+
∣∣γ0
i (y−, u(1), t)
∣∣ e−at < +∞,
γl ∈
(
C(Rm1 × U2 × R+) ∩ Lipy(Rm1 × U2 × R+)
)n−m2 ,
sup
i∈Il
(y+,u(2),t)∈Rm1×U2×R+
∣∣γli(y+, u(2), t)
∣∣ e−at < +∞;
5) u ∈ (C[0, l])r , u1 ∈ (C(R+))r1 , u2 ∈ (C(R+))r2 ;
6) y0
+(0, u(0)) = γ0(y0
−(0), u1(0), 0), y0
−(0, u(0)) = γl(y0
+(l), u2(0), 0) (умови погодження
нульового порядку).
Тодi iснує єдиний узагальнений розв’язок задачi (1) – (4).
Доведення. На елементах простору Q визначимо метрику
ρα(y1, y2) = ‖y1 − y2‖α, (8)
породжену нормою
‖y‖α = sup
i∈I
(x,t)∈Π
|yi(x, t)|αi(x, t; a, p)
та вектор-оператор A = (A1,A2, . . . ,An) такий, що
Ai[y](x, t) = Ri[y](x, t) +
t∫
χi(x,t)
fi(y(ϕi(τ ;x, t), τ), ϕi(τ ;x, t), τ)dτ, i ∈ I.
Зазначимо, що введений простiр Q є повним, доведення повноти якого з незначними змiна-
ми повторює доведення повноти простору неперервних i обмежених функцiй на необмеженiй
множинi з рiвномiрною метрикою [9, c. 504]. З припущень 2 та 4 отримаємо обмеженiсть опе-
ратора A, тому вiдшукання узагальненого розв’язку задачi (1) – (4) зводиться до вiдшукання
нерухомої точки оператора A в просторi Q.
Використавши теорему Банаха про стискуюче вiдображення, встановимо iснування та єди-
нiсть нерухомої точки оператора A.
Вiзьмемо два довiльнi рiзнi елементи y1, y2 з простору Q. Тодi в цьому просторi для всiх
допустимих i, x, t виконується нерiвнiсть∣∣y1
i (x, t)− y2
i (x, t)
∣∣ 6 ρα(y1, y2)α−1
i (x, t; a, p).
З визначення χi(x, t) легко отримати такi оцiнки:
χi(x, t) 6 t− x/Λ, i ∈ I0,
χi(x, t) 6 t− (l − x)/Λ, i ∈ Il.
Справджуються також оцiнки∣∣Ri[y
1](x, t)−Ri[y
2](x, t)
∣∣αi(x, t; a, p) 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
190 Т. О. ДЕРЕВ’ЯНКО, В. М. КИРИЛИЧ
6 Lmax
max
i∈I0
j /∈I0
αi(x, t; a, p)
αj(0, χi(x, t); a, p)
,max
i∈Il
j /∈Il
αi(x, t; a, p)
αj(l, χi(x, t); a, p)
ρα(y1, y2);
аналогiчно∣∣Ai[y1](x, t)−Ai[y2](x, t)
∣∣αi(x, t; a, p) =
∣∣∆Ri[y
1](x, t)−∆Ri[y
2](x, t)
∣∣αi(x, t; a, p)+
+
∣∣∣∣∣∣∣
t∫
χi(x,t)
∆kfi(y
k(ϕi(τ ;x, t), τ), ϕi(τ ;x, t), τ)αi(x, t; a, p)dτ
∣∣∣∣∣∣∣ 6
6
Lmax
max
i∈I0
j /∈I0
αi(x, t; a, p)
αj(0, χi(x, t); a, p)
,max
i∈Il
j /∈Il
αi(x, t; a, p)
αj(l, χi(x, t); a, p)
+
+L
t∫
0
max
i,j∈I
s,x∈[0,l]
αi(x, t; a, p)
αj(s, σ; a, p)
dσ
ρα(y1, y2).
Дослiдимо на максимум функцiї в коефiцiєнтi стиску оператора A. Для параметрiв a та p
виконується нерiвнiсть
pΛ max{1, l} < a,
з якої випливає, що
sup
(x,t)∈Π
max
i∈I0
j /∈I0
αi(x, t; a, p)
αj(0, χi(x, t); a, p)
= sup
(x,t)∈Π
max
i∈Il
j /∈Il
αi(x, t; a, p)
αj(l, χi(x, t); a, p)
= e−pl <
1
4L
та
t∫
0
max
i,j∈I
s,x∈[0,l]
αi(x, t; a, p)
αj(s, σ; a, p)
dσ 6
1
a
max
{
epl, epl
2/4
}
<
1
4L
.
Звiдси отримуємо
ρ(A[y1],A[y2]) 6
1
2
ρα(y1, y2).
Отже, операторA є стискуючим на елементах повного метричного просторуQ з вибраними
функцiями αi = αi(x, t; a, p) та параметрами a, p.
Тому за теоремою Банаха iснує єдина нерухома точка оператораA в метричному просторiQ.
Ця нерухома точка i є узагальненим розв’язком задачi (1) – (4) при довiльних u, u(1), u(2) ∈ Uad.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 2. Має мiсце зображення
zT (x, t)λ(x, t)y(x, t) = zT+(x, t)λ+(x, t)y+(x, t) + zT−(x, t)λ−(x, t)y−(x, t),
де y, z ∈ Q, λ — характеристична матриця системи (1), λ+, λ− — дiагональнi матрицi, що
складаються з додатних та вiд’ємних власних значень матрицi λ вiдповiдно, а T — символ
транспонування.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЮ СИСТЕМОЮ НАПIВЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 191
4. Задача лiнеаризацiї. Додатково вимагатимемо, щоб
λ ∈
(
C1,0
x,t (Π)
)n
, f ∈
(
C1,0,0
y,x,t (R
n ×Π)
)n
, y0 ∈
(
C1,0
u,x(U × [0, l])
)n
,
γ0 ∈
(
C1,1,0
y,u(1),t
(Rn−m2 × U1 × R+)
)m1
, γl ∈
(
C1,1,0
y,u(2),t
(Rm1 × U2 × R+)
)n−m2
,
G0 ∈ C1,1,0
y−,y+,t(R
n−m2 × Rm1 × R+), G ∈ C1,0,0
y,x,t (R
n ×Π).
Розглянемо випадок, коли керування системою (1) здiйснюємо тiльки за допомогою керу-
ючого впливу в початкових умовах.
Нехай маємо два допустимих процеси {y, u} та {ỹ, ũ}, де ỹ = y + ∆y, ũ = u + ∆u. Тодi
∆y = ỹ − y та ∆u = ũ− u задовольняють таку крайову задачу для гiперболiчної системи:
∂∆y(x, t)
∂t
+ λ(x, t)
∂∆y(x, t)
∂x
= ∆yf(y(x, t), x, t),
∆y(x, 0) = ∆uy
0(u(x), x), x ∈ [0, l],
∆y+(0, t) = ∆yγ̃
0(y−(0, t), t), t ∈ R+,
∆y−(l, t) = ∆yγ̃
l(y+(l, t), t), t ∈ R+,
(9)
де, наприклад, ∆yf(y(x, t), x, t) = f(ỹ(x, t), x, t)− f(y(x, t), x, t).
Прирiст цiльового функцiоналa (6) має вигляд
∆J(u) = J(ũ)− J(u) =
+∞∫
0
∆yG0(y−(0, t), y+(l, t), t)dt+
∫∫
Π
∆yG(y(x, t), x, t)dxdt,
або з урахуванням (9)
∆J(u) =
+∞∫
0
∆yG0(y−(0, t), y+(l, t), t)dt+
∫∫
Π
∆yG(y(x, t), x, t)dxdt+
+
∫∫
Π
ψT (x, t)
(
∂∆y(x, t)
∂t
+ λ(x, t)
∂∆y(x, t)
∂x
−∆yf(y(x, t), x, t)
)
dxdt, (10)
де ψ = ψ(x, t) — вектор-функцiя з простору Q.
Введемо функцiї
H(ψ, y, x, t) = ψT (x, t)f(y, x, t)−G(y, x, t),
h(ψ(x, 0), u, x) = ψT (x, 0)y0(u(x), x),
h1(ψ+(0, t), y−(0, t), u(1)(t), t) = ψT+(0, t)λ+(0, t)γ0(y−(0, t), u(1)(t), t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
192 Т. О. ДЕРЕВ’ЯНКО, В. М. КИРИЛИЧ
h2(ψ−(l, t), y+(l, t), u(2)(t), t) = ψT−(l, t)λ−(l, t)γl(y+(l, t), u(2)(t), t).
Використавши формулу Тейлора [11, с. 364] для функцiй G0, G та f, iз застосуванням
зауваження 2 та наведеної нижче леми до останнього доданка в (10), i лiнеаризувавши крайовi
умови для (9), одержимо
∆J(u) =
=
+∞∫
0
(
∂G0(y−(0, t), y+(l, t), t)
∂y−
)T
∆y−(0, t)dt+
+∞∫
0
(
∂G0(y−(0, t), y+(l, t), t)
∂y+
)T
∆y+(l, t)dt+
+
∫∫
Π
(
∂G(y(x, t), x, t)
∂y
)T
∆y(x, t) +
+∞∫
0
oG0(‖∆y−(0, t)‖)dt+
+∞∫
0
oG0(‖∆y+(l, t)‖)dt+
+
∫∫
Π
oG(‖∆y(x, t)‖)dxdt+
l∫
0
lim
t→+∞
ψT (x, t)∆y(x, t)dx−
l∫
0
∆uh(ψ(x, 0), u(x), x)dx+
+
+∞∫
0
(
ψT+(l, t)λ+(l, t) + ψT−(l, t)λ−(l, t)
(
∂γ̃l(y+(l, t), t)
∂y+
)T)
∆y+(l, t)dt−
−
+∞∫
0
(
ψT−(0, t)λ−(0, t) + ψT+(0, t)λ+(0, t)
(
∂γ̃0(y−(0, t), t)
∂y−
)T)
∆y−(0, t)dt+
+
+∞∫
0
ψT−(l, t)λ−(l, t)oγl(||∆y+(l, t)||)dt−
+∞∫
0
ψT+(0, t)λ+(0, t)oγ0(||∆y−(0, t)||)dt−
−
∫∫
Π
(
∂ψ(x, t)
∂t
+ λ(x, t)
∂ψ(x, t)
∂x
+
∂λ(x, t)
∂x
ψ(x, t)
)T
∆y(x, t)dxdt−
−
∫∫
Π
ψT (x, t)
(
∂f(y(x, t), x, t)
∂y
)T
∆y(x, t)dxdt−
∫∫
Π
ψT (x, t)of (‖∆y(x, t)‖)dxdt,
де, наприклад, ‖∆y(x, t)‖ = maxi∈I |yi(x, t)|αi(x, t; a, p).
Виконанi перетворення дозволяють сформулювати спряжену задачу для задачi оптималь-
ного керування (1) – (6):
∂ψ(x, t)
∂t
+ λ(x, t)
∂ψ(x, t)
∂x
+
∂λ(x, t)
∂x
ψ(x, t) = −Hy(ψ, y, x, t), (x, t) ∈ Π, (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЮ СИСТЕМОЮ НАПIВЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 193
lim
t→+∞
ψ(x, t)eat = 0, x ∈ [0, l], (12)
i для всiх t ∈ R+
ψ+(l, t) = − (λ+(l, t))−1
(
∂γ̃l(y+(l, t), t)
∂y+
λ−(l, t)ψ−(l, t) +
∂G0(y−(0, t), y+(l, t), t)
∂y+
)
,
ψ−(0, t) = − (λ−(0, t))−1
(
∂γ̃0(y−(0, t), t)
∂y−
λ+(0, t)ψ+(0, t)− ∂G0(y−(0, t), y+(l, t), t)
∂y−
)
,
(13)
для якої повинен iснувати узагальнений розв’язок, означення якого буде наведено нижче.
Для задачi (11) – (13) прирiст цiльового функцiоналa набере вигляду
∆J(u) = −
l∫
0
∆uh(ψ(x, 0), u(x), x)dx+
+∞∫
0
oG0(‖∆y−(0, t)‖)dt+
+∞∫
0
oG0(‖∆y+(l, t)‖)dt+
+
∫∫
Π
oG(‖∆y(x, t)‖)dxdt−
∫∫
Π
ψT (x, t)of (‖∆y(x, t)‖)dxdt+
+
+∞∫
0
ψT−(l, t)λ−(l, t)oγl(‖∆y+(l, t)‖)dt−
+∞∫
0
ψT+(0, t)λ+(0, t)oγ0(‖∆y−(0, t)‖)dt. (14)
Перейдемо тепер до випадку, коли керований вплив на систему здiйснюється тiльки в кра-
йових умовах. Оскiльки керуючi впливи в сформульованiй задачi не взаємопов’язанi, то умови
оптимальностi для них можна виводити незалежно один вiд одного, а результуючi умови опти-
мальностi будуть враховувати умови оптимальностi кожного окремого керування. Однотипнiсть
крайових умов дозволяє розглядати лише випадок наявностi керуючого впливу в крайовiй умовi
(13).
Задача лiнеаризацiї в такому випадку, з незначними змiнами, повторює описаний вище
процес. Основнi його вiдмiнностi полягають у наступному:
a) початково-крайовi умови для задачi на прирiст ∆y наберуть вигляду
∆y(x, 0) = 0, x ∈ [0, l],
∆y+(0, t) = ∆y,u(1)γ
0(y−(0, t), u(1)(t), t), t ∈ R+,
∆y−(l, t) = ∆yγ
l(y+(l, t), t), t ∈ R+;
b) замiсть доданка −
∫ l
0
ψT (x, 0)∆y(x, 0)dx з’явиться доданок
−
+∞∫
0
ψT+(0, t)λ+(0, t)
∂γ0(y−(0, t), u(1)(t), t)
∂u(1)
∆u(1)(t)dt−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
194 Т. О. ДЕРЕВ’ЯНКО, В. М. КИРИЛИЧ
−
+∞∫
0
ψT+(0, t)λ+(0, t)oγ0(||∆u(1)(t)||)dt;
c) змiниться крайова умова для спряженої системи
ψ−(0, t) = − (λ−(0, t))−1
(
∂γ0(y−(0, t), u(1)(t), t)
∂y−
λ+(0, t)ψ+(0, t)−
−∂G0(y−(0, t), y+(l, t), t)
∂y−
)
, t ∈ [0,+∞).
За припущення, що ψ(x, t) — розв’язок спряженої задачi (11) – (13), прирiст цiльового функ-
цiонала набере вигляду
∆J(u(1)) = −
+∞∫
0
∆u(1)h
1(ψ+(0, t), y−(0, t), u(1)(t), t)dt+
+∞∫
0
oG0(‖∆y−(0, t)‖)dt+
+
+∞∫
0
oG0(‖∆y+(l, t)‖)dt+
∫∫
Π
oG(‖∆y(x, t)‖)dxdt−
∫∫
Π
ψT (x, t)of (‖∆y(x, t)‖)dxdt+
+
+∞∫
0
ψT−(l, t)λ−(l, t)oγl(‖∆y+(l, t)‖)dt−
+∞∫
0
ψT+(0, t)λ+(0, t)oγ0(‖∆y−(0, t)‖)dt−
−
+∞∫
0
ψT+(0, t)λ+(0, t)oγ0(||∆u(1)(t)||)dt.
Для керуючого впливу на правiй межi одержимо вiдповiдний прирiст функцiоналa:
∆J(u(2)) = −
+∞∫
0
∆u(2)h
2(ψ−(l, t), y+(l, t), u(2)(t), t)dt+
+∞∫
0
oG0(‖∆y−(0, t)‖)dt+
+
+∞∫
0
oG0(‖∆y+(l, t)‖)dt+
∫∫
Π
oG(‖∆y(x, t)‖)dxdt−
∫∫
Π
ψT (x, t)of (‖∆y(x, t)‖)dxdt+
+
+∞∫
0
ψT−(l, t)λ−(l, t)oγl(‖∆y+(l, t)‖)dt−
+∞∫
0
ψT+(0, t)λ+(0, t)oγ0(‖∆y−(0, t)‖)dt−
−
+∞∫
0
ψT−(l, t)λ−(l, t)oγl(||∆u(2)(t)||)dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЮ СИСТЕМОЮ НАПIВЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 195
Наслiдок. При виконаннi припущень цього пункту справджується оцiнка
∃K > 0 : sup
i∈I
(x,t)∈Π
|∆yi(x, t)|αi(x, t; a, p) 6 K max
x∈[0,l]
‖∆u(x)‖, (15)
де
‖∆u(x)‖ = max
i∈{1,2,...,r}
|∆ui(x)|.
Доведення. Використаємо iнтегральне зображення розв’язку задачi (1) – (4), тобто для всiх
i ∈ I маємо
∆yi(x, t) = ∆yR̃i[y](x, t) +
t∫
χi(x,t)
∆yfi(y(ϕi(τ ;x, t), τ), ϕi(τ ;x, t), τ)dτ,
де
∆yR̃i[y](x, t) =
∆uy
0
i (u(ϕi(0;x, t)), ϕi(0;x, t)), (x, t) ∈ Πi,
∆yγ̃
0
i (y−(0, χi(x, t)), χi(x, t)), (x, t) ∈ Πi
0,
∆yγ̃
l
i(y+(l, χi(x, t)), χi(x, t)), (x, t) ∈ Πi
l.
Справджується така оцiнка:
|∆yi(x, t)|αi(x, t; a, p) 6 |∆yR̃i[y](x, t)|αi(x, t; a, p)+
+
t∫
χi(x,t)
|∆yfi(y(ϕi(τ ;x, t), τ), ϕi(τ ;x, t), τ)|αi(x, t; a, p)dτ 6 K‖∆u(x)‖+
+L‖∆y‖α
sup
(x,t)∈Π
max
i∈I0
j /∈I0
αi(x, t; a, p)
αj(0, χi(x, t); a, p)
+ sup
(x,t)∈Π
max
i∈Il
j /∈Il
αi(x, t; a, p)
αj(l, χi(x, t); a, p)
+
+L‖∆y‖α
t∫
0
max
i,j∈I
s,x∈[0,l]
αi(x, τ ; a, p)
αj(s, t; a, p)
dτ,
де K — стала Лiпшиця для всiх керуючих впливiв.
Враховуючи вибiр параметрiв a та p, одержуємо
‖∆y‖α = sup
i∈I
(x,t)∈Π
|∆yi(x, t)|αi(x, t; a, p) 6 K max
x∈[0,l]
‖∆u(x)‖+
(
2Le−pl+
+
Lmax{epl, epl2/4}
a
)
‖∆y‖α 6 K max
x∈[0,l]
‖∆u(x)‖+
3
4
‖∆y‖α,
звiдки отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
196 Т. О. ДЕРЕВ’ЯНКО, В. М. КИРИЛИЧ
sup
i∈I
(x,t)∈Π
|∆yi(x, t)|αi(x, t; a, p) 6 K max
x∈[0,l]
‖∆u(x)‖,
де K = 4K.
Наслiдок доведено.
Зауваження 3. Аналогiчнi оцiнки можна одержати для крайових керуючих впливiв:
∃Kj
> 0 : sup
i∈I
(x,t)∈Π
|∆yi(x, t)|αi(x, t; a, p) 6 K
j
max
t∈[0,+∞)
‖∆u(j)(t)‖, j ∈ {1, 2}.
5. Розв’язнiсть спряженої задачi. Для справедливостi процесу лiнеаризацiї приросту цi-
льового функцiоналa потрiбно вимагати iснування розв’язку спряженої задачi (11) – (13).
Введемо областi
πi =
{
(x, t) ∈ Π| νi(x, t) = +∞
}
, i ∈ I,
πil =
{
(x, t) ∈ Π| ϕi(νi(x, t);x, t) = l
}
, i ∈ I0,
πi0 =
{
(x, t) ∈ Π| ϕi(νi(x, t);x, t) = 0
}
, i ∈ Il.
На множинi Π для i ∈ I визначимо функцiї
βi(x, t; b, q) =
eqx(l−x)+bt, i ∈ I0, i ∈ Il,
eq(l−x)+bt, i ∈ I0, i /∈ Il,
eqx+bt, i /∈ I0, i ∈ Il,
eql+bt, i /∈ I0, i /∈ Il,
для яких виберемо параметри
b = max
{
a, qΛ, qlΛ, 2(n+ 1) max{eql, eql2/4}
}
+ b0,
q = max {ln (2 max{n−m2,m1}C)/l, 0}+ q0
з довiльно фiксованими додатними величинами b0, q0. Стала C обмежує за модулем функцiї
∂λi(x, t)
∂x
, i ∈ I;
∂fj(y, x, t)
∂yi
, i, j ∈ I,
(detλ+(l, t))−1λi(l, t)
∂γlj
∂yi
(y+(l, t), u(2)(t), t)λj(l, t), i ∈ Il, j ∈ I0,
(detλ−(0, t))−1λi(0, t)
∂γ0
j
∂yi
(y+(0, t), u(1)(t), t)λj(l, t), i ∈ I0, j ∈ Il,
на вiдповiдних множинах визначення.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЮ СИСТЕМОЮ НАПIВЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 197
Зiнтегрувавши (11) вздовж характеристик та використавши крайовi умови (13), для всiх
i ∈ I отримаємо систему iнтегро-операторних рiвнянь
ψi(x, t) = Di[ψ](x, t) +
νi(x,t)∫
t
∂λi
∂x
(ϕi(τ ;x, t), τ)ψi(τ ;x, t), τ)−
−
∑
j∈I
∂fj
∂yi
(y(ϕi(τ ;x, t), τ), ϕi(τ ;x, t), τ)ψj(ϕi(τ ;x, t), τ)+
+
∂G
∂yi
(y(ϕi(τ ;x, t), τ), ϕi(τ ;x, t), τ)dτ, (16)
де
Di[ψ](x, t) =
0, (x, t) ∈ πi,
−(detλ+(l, νi(x, t)))
−1λi(l, νi(x, t))×
×
∑
j∈Il
∂γlj
∂yi
(y+(l, νi(x, t)), u
(2)(νi(x, t)), νi(x, t))λj(l, νi(x, t))×
×ψj(l, νi(x, t))−
∂G0
∂yi
(y−(0, νi(x, t)), y+(l, νi(x, t)), νi(x, t)), (x, t) ∈ πil ,
−(detλ−(0, νi(x, t)))
−1λi(0, νi(x, t))×
×
∑
j∈I0
∂γ0
j
∂yi
(y+(0, νi(x, t)), u
(1)(νi(x, t)), νi(x, t))λj(l, νi(x, t))×
×ψj(0, νi(x, t))−
∂G0
∂yi
(y−(0, νi(x, t)), y+(l, νi(x, t)), νi(x, t)), (x, t) ∈ πi0.
З простору Q виберемо пiдпростiр W, елементи якого мають властивiсть
lim
t→+∞
ψ(x, t)eat = 0 для будь-якого x ∈ [0, l], ψ ∈ W.
Означення 2. Узагальненим розв’язком спряженої задачi (11) – (13), що вiдповiдає набору
керувань u, u(1), u(2), будемо називати набiр неперервних функцiй (ψ1, ψ2, . . . , ψn) ∈ W, якi
задовольняють систему iнтегро-операторних рiвнянь (16) в Π.
Теорема 2. Нехай виконуються умови:
1) λ ∈
(
C1
x(Π)
)n
, sup
i∈I
(x,t)∈Π
{
|λi(x, t)| ,
∣∣∣∣∂λi(x, t)∂x
∣∣∣∣} < +∞, inf
i∈I
(x,t)∈Π
|λi(x, t)| < +∞;
2) y ∈ Q — розв’язок задачi (1) – (4);
3) f ∈
(
C1
y (Rn ×Π)
)n
, має обмежену на Rn ×Π та iнтегровну похiдну по t;
4) G0 ∈ C1,1
y−,y+(Rn−m2 × Rm1 × R+), ∀i ∈ I0 ∪ Il : lim
t→+∞
∂G0(y−(0, t), y+(l, t), t)
∂yi
eat = 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
198 Т. О. ДЕРЕВ’ЯНКО, В. М. КИРИЛИЧ
5) G ∈ C1
y (Rn ×Π), ∀i ∈ I : lim
t→+∞
∂G(y(x, t), x, t)
∂yi
eat = 0;
6) γ0 ∈
(
C1
y (Rn−m2 × U1 × R+)
)m1 , sup
i∈Il,j∈I0
(y−,u(1),t)∈Rn−m2×U1×R+
∣∣∣∣∣∂γ0
j (y−, u
(1), t)
∂yi
∣∣∣∣∣ < +∞,
γl ∈
(
C1
y (Rm1 × U2 × R+)
)n−m2 , sup
i∈I0,j∈Il
(y+,u(2),t)∈Rm1×U2×R+
∣∣∣∣∣∂γlj(y+, u
(2), t)
∂yi
∣∣∣∣∣ < +∞.
Тодi iснує єдиний узагальнений розв’язок задачi (11) – (13).
Доведення. Для знаходження розв’язку задачi (11) – (13) також використаємо метод стиску-
ючих вiдображень. Розглянемо простiр W з метрикою
ρβ(ψ1, ψ2) = max
i∈I
(x,t)∈Π
∣∣ψ1(x, t)− ψ2(x, t)
∣∣βi(x, t; b, q).
Нехай оператор B визначений правою частиною (16), тобто для i ∈ I маємо
Bi[ψ](x, t) = Di[ψ](x, t) +
νi(x,t)∫
t
∂λi
∂x
(ϕi(τ ;x, t), τ)ψi(τ ;x, t), τ)−
−
∑
j∈I
∂fj
∂yi
(y(ϕi(τ ;x, t), τ), ϕi(τ ;x, t), τ)ψj(ϕi(τ ;x, t), τ)+
+
∂G
∂yi
(y(ϕi(τ ;x, t), τ), ϕi(τ ;x, t), τ)dτ.
Для всiх i ∈ I0 ∪ Il справджуються оцiнки
νi(x, t) > t+ (l − x)/Λ, i ∈ I0,
νi(x, t) > t+ x/Λ, i ∈ Il.
Враховуючи оцiнку ∣∣∣∆kDi[ψ
k](x, t)
∣∣∣βi(x, t; b, q) 6
6 C max
(n−m2) max
i∈I0
j /∈I0
βi(x, t; b, q)
βj(l, νi(x, t); b, q)
,m1 max
i∈Il
j /∈Il
βi(x, t; b, q)
βj(0, νi(x, t); b, q)
ρβ(ψ1, ψ2),
для оператора B одержуємо ∣∣∣∆kBi[ψk]
∣∣∣βi(x, t; b, q) 6
6 C max
(n−m2) max
i∈I0
j /∈I0
βi(x, t; b, q)
βj(l, νi(x, t); b, q)
,m1 max
i∈Il
j /∈Il
βi(x, t; b, q)
βj(0, νi(x, t); b, q)
ρβ(ψ1, ψ2)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЮ СИСТЕМОЮ НАПIВЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 199
+(n+ 1)C
νi(x,t)∫
t
max
i,j∈I
s,x∈[0,l]
βi(x, t; b, q)
βj(s, σ; b, q)
dσρβ(ψ1, ψ2).
Вибiр параметрiв b, q у функцiях βi = βi(x, t; b, q) дозволяє отримати оцiнки
max
i∈I0
j /∈I0
βi(x, t; b, q)
βj(l, νi(x, t); b, q)
= max
i∈Il
j /∈Il
βi(x, t; b, q)
βj(0, νi(x, t); b, q)
= e−ql <
1
2nC
i
νi(x,t)∫
t
max
i,j,s
βi(x, t; b, q)
βj(s, σ; b, q)
dσ <
max{eql, eql2/4}
b
<
1
2(n+ 1)C
.
Звiдси випливає, що
ρβ(B[ψ1],B[ψ2]) < ρβ(ψ1, ψ2).
Отже, оператор B є стискуючим на елементах просторуW . Тому за теоремою Банаха iснує
єдина нерухома точка оператора B у просторiW . Ця нерухома точка i є узагальненим розв’язком
задачi (11) – (13).
Теорему 2 доведено.
Лема. Для довiльних вектор-функцiй y ∈ Q, ψ ∈ W виконується спiввiдношення∫∫
Π
ψT (x, t)
(
∂y(x, t)
∂t
+ λ(x, t)
∂y(x, t)
∂x
)
dxdt =
=
l∫
0
n∑
i=1
ψT (x, t)y(x, t)
∣∣∣+∞
t=0
dx−
+∞∫
0
ψT (x, t)λ(x, t)y(x, t)
∣∣∣l
x=0
dt−
−
∫∫
Π
(
∂ψ(x, t)
∂t
+ λ(x, t)
∂ψ(x, t)
∂x
+
∂λ(x, t)
∂x
ψ(x, t)
)T
y(x, t)dxdt.
Доведення цiєї леми випливає iз подiбного факту в [10, с. 459].
6. Необхiднi умови оптимальностi. Варiацiйний аналiз дослiджуваної задачi ґрунтується
на використаннi варiацiй, якi забезпечують гладкiсть допустимих керувань. Варiацiя керування
будується за правилом
uε,δ(x) = u(x+ εδ(x)), x ∈ [0, l], (17)
де ε ∈ [0, 1] — параметр, який характеризує мализну варiацiї, δ(x) — неперервно диференцiйовна
функцiя, яка задовольняє умову
0 6 x+ δ(x) 6 l, x ∈ [0, l], δ(0) = δ(l) = 0. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
200 Т. О. ДЕРЕВ’ЯНКО, В. М. КИРИЛИЧ
Вiдмiтимо деякi властивостi варiацiї (17). Насамперед, керування є гладким, а область
значень функцiї uε,δ(x) визначено областю значень початкового керування u(x). Тому керування
uε,δ(x) є допустимим. Крiм того, має мiсце поточкова (i рiвномiрна) збiжнiсть: uε,δ(x)→ u(x)
при ε → 0 в кожнiй точцi вiдрiзка [0, l] для будь-якого δ(x), що задовольняє нерiвнiсть (18).
Остання властивiсть характеризує вiдповiдну варiацiю керування ∆uε,δ(x) = uε,δ(x)− u(x) як
варiацiю гладкої функцiї u(x), при якiй рiвномiрно мала деформацiя вiдрiзка [0, l] „перемiшує”
значення початкового керування, зберiгаючи рiвномiрну близькiсть до нуля функцiї ∆uε,δ(x)
та її похiдної
d
dx
∆uε,δ(x).
Вибираючи варiацiю керування за правилом (17) i використовуючи зображення
∆u(x) = u̇(x)εδ(x) + o(ε),
записуємо формулу приросту цiльового функцiонала (14) так:
∆J(u) = −
l∫
0
hu(ψ(x, 0), u(x), x)u̇(x)εδ(x)dx−
l∫
0
o(ε)dx+
+∞∫
0
oG0(‖∆y−(0, t)‖)dt+
+
+∞∫
0
oG0(‖∆y+(l, t)‖)dt+
∫∫
Π
oG(‖∆y(x, t)‖)dxdt−
∫∫
Π
ψT (x, t)of (‖∆y(x, t)‖)dxdt+
+
+∞∫
0
ψT−(l, t)λ−(l, t)oγl(‖∆y+(l, t)‖)dt−
+∞∫
0
ψT+(0, t)λ+(0, t)oγ0(‖∆y−(0, t)‖)dt. (19)
Враховуючи справедливiсть оцiнки (15) для рiвностi (19), маємо
lim
ε→0+
J(u+ εδ)− J(u)
ε
= −
l∫
0
hu(ψ(x, 0), u(x), x)u̇(x)δ(x)dx,
оскiльки всi доданки у (19) мають вигляд iнтеграла по вiдповiднiй областi вiд пiдiнтегральної
функцiї, яка є добутком величини порядку o(ε) та iнтегровної функцiї на цiй областi.
Аналогiчно до (17), (18) побудуємо прирiст крайових керувань за правилом
∆u(k)(t) = u̇(k)(t)εδ(k)(t) + o(ε), k ∈ {1, 2}.
Для функцiонала J одержимо значення похiдної за напрямком, коли крайовi умови допу-
скають iснування неперервної похiдної за вiдповiдним параметром керування, тобто
lim
ε→0+
J(u(1) + εδ(1))− J(u(1))
ε
= −
∫
R+
h1
u(1)
(ψ+(0, t), y−(0, t), u(1)(t), t)u̇(1)(t)δ(1)(t)dt,
lim
ε→0+
J(u(2) + εδ(2))− J(u(2))
ε
= −
∫
R+
h2
u(2)
(ψ−(l, t), y+(l, t), u(2)(t), t)u̇(2)(t)δ(2)(t)dt.
Оскiльки δ = δ(x), δ(1) = δ(1)(t), δ(2) = δ(2)(t) — довiльнi функцiї, використовуючи теорему
Ферма [12, с. 55], можна сформулювати таку теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЮ СИСТЕМОЮ НАПIВЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 201
Теорема 3. Якщо процес {y, u, u(1), u(2)} є оптимальним у задачi (6), то виконуються
умови
hu(ψ(x, 0), u(x), x)ux(x) = 0, x ∈ [0, l],
h1
u(1)
(ψ+(0, t), y−(0, t), u(1)(t), t)u
(1)
t (t) = 0, t ∈ R+,
h2
u(2)
(ψ−(l, t), y+(l, t), u(2)(t), t)u
(2)
t (t) = 0, t ∈ R+,
де y = y(x, t) — узагальнений розв’язок задачi (1) – (4), ψ = ψ(x, t) — узагальнений розв’язок
спряженої задачi при y = y(x, t), u = u(x), u(1) = u(1)(t), u(2) = u(2)(t).
1. Аргучинцев А. В. Оптимальное управление гиперболическими системами. – М.: Физматлит, 2007. – 168 с.
2. Chan W. L., Guo B. Z. Optimal birth control of population dynamics // J. Math. Anal. and Appl. – 1989. – 144. –
P. 532 – 552.
3. Chan W. L., Guo B. Z. Overtaking optimal control problem of age-dependent populations with infinite horizon // J.
Math. Anal. and Appl. – 1990. – 150. – P. 41 – 53.
4. Пелюшкевич О. В. Про одну задачу для навантаженої гiперболiчної системи напiвлiнiйних рiвнянь з горизон-
тальними характеристиками // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2012. – Вип. 76. – C. 109 – 118.
5. Кирилич В. М., Мышкис А. Д. Краевая задача без начальных условий для линейной одномерной системы
уравнений гиперболического типа // Дифференц. уравнения. – 1992. – 28, № 3. – C. 463 – 469.
6. Kmit I., Recke L., Tkachenko V. Robustness of exponential dichotomies of boundary-value problems for general
first-order hyperbolic systems // Ukr. Math. J. – 2013. – 65, № 2. – P. 236 – 251.
7. Асеев С. М., Кряжимский А. В. Об одном классе задач оптимального управления, возникающих в математи-
ческой экономике // Труды Mат. ин-та РАН. – 2008. – 262. – С. 16 – 31.
8. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динами-
ке. – М.: Наука, 1978. – 592 с.
9. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Гостехтеориздат, 1957. – 552 с.
10. Матвеев Г. И., Якубович В. А. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные урав-
нения. Специальные задачи. – С.-Петербург, 2003. – 540 с.
11. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1969. – Т. II. – 800 с.
12. Моклячук М. П. Варiацiйне числення. Екстремальнi задачi. – Київ: TBIMC, 2004. – 384 с.
Одержано 26.11.13,
пiсля доопрацювання — 24.10.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1973 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:15Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/48/fe89a803eb704878e0f3030fa8b29d48.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19732019-12-05T09:47:54Z Problem of Optimal Control for a Semilinear Hyperbolic System of Equations of the First Order with Infinite Horizon Planning Оптимальне керування гіперболічною системою напівлінійних рівнянь першого порядку з нескінченним горизонтом планування Derev’yanko, N. V. Kirilich, V. M. Дерев'янко, Н. В. Кирилич, В. М. We establish necessary conditions for the optimality of smooth boundary and initial controls in a semilinear hyperbolic system of the first order. The problem adjoint to the original problem is a semilinear hyperbolic system without initial conditions. The suggested approach is based on the use of special variations of continuously differentiable controls. The existence of global generalized solutions for a semilinear first-order hyperbolic system in a domain unbounded in time is proved. The proof is based on the use of the Banach fixed-point theorem and a space metric with weight functions. Установлены необходимые условия для задачи оптимального управления полулинейной гиперболической системой. Сопряженная задача к исходной является полулинейной гиперболической задачей без начальных условий. Предложенный подход основан на использовании специальной вариации непрерывно дифференцированного управления. Доказано существование глобального решения смешанной задачи для полулинейной гиперболической системы в неограниченной по времени полосе. При доказательстве соответствующих теорем использован принцип сжимающих отображений и метрики с весовыми функциями. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1973 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 2 (2015); 185–201 Український математичний журнал; Том 67 № 2 (2015); 185–201 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1973/967 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1973/968 Copyright (c) 2015 Derev’yanko N. V.; Kirilich V. M. |
| spellingShingle | Derev’yanko, N. V. Kirilich, V. M. Дерев'янко, Н. В. Кирилич, В. М. Problem of Optimal Control for a Semilinear Hyperbolic System of Equations of the First Order with Infinite Horizon Planning |
| title | Problem of Optimal Control for a Semilinear Hyperbolic System of Equations of the First Order with Infinite Horizon Planning |
| title_alt | Оптимальне керування гіперболічною системою напівлінійних рівнянь першого порядку з нескінченним горизонтом планування |
| title_full | Problem of Optimal Control for a Semilinear Hyperbolic System of Equations of the First Order with Infinite Horizon Planning |
| title_fullStr | Problem of Optimal Control for a Semilinear Hyperbolic System of Equations of the First Order with Infinite Horizon Planning |
| title_full_unstemmed | Problem of Optimal Control for a Semilinear Hyperbolic System of Equations of the First Order with Infinite Horizon Planning |
| title_short | Problem of Optimal Control for a Semilinear Hyperbolic System of Equations of the First Order with Infinite Horizon Planning |
| title_sort | problem of optimal control for a semilinear hyperbolic system of equations of the first order with infinite horizon planning |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1973 |
| work_keys_str_mv | AT derevyankonv problemofoptimalcontrolforasemilinearhyperbolicsystemofequationsofthefirstorderwithinfinitehorizonplanning AT kirilichvm problemofoptimalcontrolforasemilinearhyperbolicsystemofequationsofthefirstorderwithinfinitehorizonplanning AT derev039ânkonv problemofoptimalcontrolforasemilinearhyperbolicsystemofequationsofthefirstorderwithinfinitehorizonplanning AT kiriličvm problemofoptimalcontrolforasemilinearhyperbolicsystemofequationsofthefirstorderwithinfinitehorizonplanning AT derevyankonv optimalʹnekeruvannâgíperbolíčnoûsistemoûnapívlíníjnihrívnânʹperšogoporâdkuzneskínčennimgorizontomplanuvannâ AT kirilichvm optimalʹnekeruvannâgíperbolíčnoûsistemoûnapívlíníjnihrívnânʹperšogoporâdkuzneskínčennimgorizontomplanuvannâ AT derev039ânkonv optimalʹnekeruvannâgíperbolíčnoûsistemoûnapívlíníjnihrívnânʹperšogoporâdkuzneskínčennimgorizontomplanuvannâ AT kiriličvm optimalʹnekeruvannâgíperbolíčnoûsistemoûnapívlíníjnihrívnânʹperšogoporâdkuzneskínčennimgorizontomplanuvannâ |