Inequalities of Different Metrics for Differentiable Periodic Functions
We prove the following sharp inequality of different metrics: $$\begin{array}{cc}\hfill {\left\Vert x\right\Vert}_q\le {\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_q{\left(\frac{{\left\Vert x\right\Vert}_p}{{\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_p}\right)}^{\frac{r+1/q}{r+1/p}}{\left\Vert {x}^{(r)}\right\Vert}_...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1974 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507875754901504 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_facet | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_sort | Kofanov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:47:54Z |
| description | We prove the following sharp inequality of different metrics:
$$\begin{array}{cc}\hfill {\left\Vert x\right\Vert}_q\le {\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_q{\left(\frac{{\left\Vert x\right\Vert}_p}{{\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_p}\right)}^{\frac{r+1/q}{r+1/p}}{\left\Vert {x}^{(r)}\right\Vert}_{\infty}^{\frac{1/p-1/q}{r+1/p}},\hfill & \hfill q>p>0,\hfill \end{array}$$
for 2π -periodic functions $x ∈ L_{∞}^r$ satisfying the condition
$$L{(x)}_p\le {2}^{1/p}{\left\Vert x\right\Vert}_p,$$
where
$$L{(x)}_p:= \sup \left\{{\left\Vert x\right\Vert}_{L_p\left[a,b\right]}:a,b\in \left[0,2\pi \right],\kern0.5em \left|x(t)\right|>0,\kern0.5em t\in \left(a,b\right)\right\},$$
and $φ_r$ is the Euler spline of order $r$. As a special case, we establish the Nikol’skii-type sharp inequalities for polynomials and polynomial splines satisfying the condition (A). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. А. Кофанов (Днепропетр. нац. ун-т)
НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
We prove the following sharp inequality of various metrics:
‖x‖q ≤ ‖ϕr‖q
(
‖x‖p
‖ϕr‖p
) r+1/q
r+1/p
‖x(r)‖
1/p−1/q
r+1/p
∞ , q > p > 0,
for 2π-periodic functions x ∈ Lr
∞ satisfying condition
L(x)p ≤ 2
− 1
p ‖x‖p , (А)
where
L(x)p := sup
{
‖x‖Lp[a,b]
: a, b ∈ [0, 2π], |x(t)| > 0, t ∈ (a, b)
}
,
and ϕr is the Euler spline of order r.
As a special case, we establish the Nikolskii-type sharp inequalities for polynomials and polynomial splines satisfying
the condition (А).
Доведено непокращувану нерiвнiсть рiзних метрик
‖x‖q ≤ ‖ϕr‖q
(
‖x‖p
‖ϕr‖p
) r+1/q
r+1/p
‖x(r)‖
1/p−1/q
r+1/p
∞ , q > p > 0,
для 2π-перioдичних функцiй x ∈ Lr
∞, що задовольняють умову
L(x)p ≤ 2
− 1
p ‖x‖p , (А)
де
L(x)p := sup
{
‖x‖Lp[a,b]
: a, b ∈ [0, 2π], |x(t)| > 0, t ∈ (a, b)
}
,
а ϕr− iдеальний сплайн Ейлера порядку r.
Як наслiдок отримано точнi нерiвностi типу Нiкольського для полiномiв i полiномiальних сплайнiв, що задо-
вольняють умову (А).
1. Введение. Пусть G — некоторое измеримое подмножество числовой оси. Через Lp(G),
0 < p ≤ ∞, обозначим пространства измеримых функций x : G→ R таких, что ‖x‖Lp(G) <∞,
где
‖x‖Lp(G) :=
∫
G
|x (t)|p dt
1/p
, если 0 < p <∞,
vrai sup
t∈G
|x (t)| , если p =∞.
В качестве G будем рассматривать отрезок [a, b] или окружность T, реализованную в виде
отрезка [0, 2π] с отождествленными концами. Вместо Lp(T ) и ‖x‖Lp(T ) будем писать для крат-
кости Lp и ‖x‖p соответственно.
Для r ∈ N через Lr∞ обозначим пространство функций x ∈ L∞, имеющих локально абсо-
лютно непрерывные производные до порядка r − 1 включительно, причем x(r) ∈ L∞.
Символом ϕr(t), r ∈ N, обозначим r-й 2π-периодический интеграл с нулевым средним
значением на периоде от функции ϕ0 (t) = sgn sin t.
В работе [1] доказана следующая теорема.
c© В. А. КОФАНОВ, 2015
202 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 203
Теорема А. Пусть r ∈ N, q > p > 0. Тогда для любой функции x ∈ Lr∞, имеющей нули,
выполняется точное на классе Lr∞ неравенство
‖x‖q ≤ sup
c∈[0,Kr]
‖ϕr + c‖q
‖ϕr + c‖αp
‖x‖αp ‖x(r)‖1−α∞ , (1)
где α =
r + 1/q
r + 1/p
, Kr := ‖ϕr‖∞.
При этом в работе [1] показано, что
sup
x∈Lr
∞
‖x‖q
‖x‖αp ‖x(r)‖1−α∞
=∞,
т. е. условие о том, что функция x ∈ Lr∞ имеет нули, существенно в теореме А. В этой же работе
доказано, что на классах функций x ∈ Lr∞, удовлетворяющих некоторым дополнительным
условиям, супремум в определении точной константы в неравенстве (1) достигается при c = 0.
В частности, для функций x ∈ Lr∞, удовлетворяющих одному из следующих условий:
‖x+‖∞ = ‖x−‖∞, ‖x+‖p = ‖x−‖p,
где x± := max{±x, 0}, выполняется точное неравенство
‖x‖q ≤ ‖ϕr‖q
(
‖x‖p
‖ϕr‖p
) r+1/q
r+1/p
‖x(r)‖
1/p−1/q
r+1/p
∞ , q > p > 0. (2)
В работе [2] неравенство (2) доказано на классе функций x ∈ Lr∞, удовлетворяющих усло-
вию
‖x+‖s = ‖x−‖s , p < s <∞.
В настоящей работе продолжено изучение условий на функцию x ∈ Lr∞, обеспечивающих
выполнение неравенства (2). А именно, доказано, что если L(x)p− локальная „норма” [3],
определяемая равенством
L(x)p := sup
{
‖x‖Lp[a,b] : a, b ∈ [0, 2π], |x(t)| > 0, t ∈ (a, b)
}
, (3)
а функция x ∈ Lr∞ удовлетворяет условию
L(x)p ≤ 2
−1
p ‖x‖p , (4)
то для нее выполняется неравенство (2) (теорема 2). С помощью полученного неравенства дока-
заны точные неравенства разных метрик типа Никольского для тригонометрических полиномов
и полиномиальных сплайнов (теоремы 3, 4), удовлетворяющих условию (4).
Отметим, что условию (4) удовлетворяет любая функция x ∈ Lp такая, что
‖x+‖p = ‖x−‖p .
В частности, условию (4) при p = 1 удовлетворяет любая функция x ∈ L1, в среднем равная
нулю на периоде.
Кроме того, нетрудно видеть, что условие (4) выполнено для любой функции x ∈ Lp,
удовлетворяющей равенству
L(x+)p = L(x−)p.
При p =∞ условие (4) превращается в тождество L(x)∞ = ‖x‖∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
204 В. А. КОФАНОВ
2. Неравенства разных метрик для локальных „норм” функций x ∈ Lr
∞. Для функции
x ∈ Lp положим
E0(x)p := inf
c∈R
‖x− c‖p
и через cp(x) обозначим константу наилучшего Lp-приближения функции x, т. е. константу,
реализующую инфимум в этом определении.
В работе [4] доказана следующая теорема.
Теорема В. Пусть k, r ∈ N, k < r, p > 0, q ≥ 1. Тогда для любой функции x ∈ Lr∞
выполняется точное на классе Lr∞ неравенство
L(x(k))q ≤ L(ϕr−k)q
(
‖x‖p
E0(ϕr)p
)α
‖x(r)‖1−α∞ ,
где α =
r − k + 1/q
r + 1/p
.
С помощью теоремы В доказан ряд точных неравенств типа Колмогорова и Бернштейна
[4 – 6]. В приведенной ниже теореме, которая используется при получении основных резуль-
татов работы, утверждается, что при выполнении условия (4) имеет место аналог неравенства
теоремы В для k = 0.
Для λ > 0 положим ϕλ,r(t) = λ−rϕr(λt).
Теорема 1. Пусть r ∈ N, q > p > 0. Тогда для любой функции x ∈ Lr∞, удовлетворяющей
условию
L(x)p ≤ 2
−1
p ‖x‖p , (5)
выполняется неравенство
L(x)q ≤ L(ϕr)q
(
‖x‖p
‖ϕr‖p
)α
‖x(r)‖1−α∞ , (6)
где α =
r + 1/q
r + 1/p
.
Доказательство. Зафиксируем функцию x ∈ Lr∞, удовлетворяющую условию (5), и пусть
Ar := ‖x(r)‖∞ . (7)
Выберем λ > 0 так, чтобы
‖x‖p = Ar‖ϕλ,r‖Lp[0, 2π/λ]. (8)
Тогда в силу (5)
L(x)p ≤ 2
−1
p Ar ‖ϕλ,r‖Lp[0, 2π/λ] = Ar L(ϕλ,r)p .
Отсюда следует неравенство
L(x)q ≤ ArL(ϕλ,r)q
согласно следствию 1 леммы 1 из работы [7]. Учитывая последнее неравенство, равенства (7),
(8) и определение α, а также применяя очевидные соотношения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 205
‖ϕλ,r‖Lp[0, 2π/λ] = λ−(r+1/p)‖ϕr‖p, L(ϕλ,r)q = λ−(r+1/q)L(ϕr)q ,
получаем
L(x)q
‖x‖αp
≤
ArL(ϕλ,r)q
[Ar‖ϕλ,r‖p]α
=
λ−(r+1/q)L(ϕr)q[
λ−(r+1/p)‖ϕr‖p
]α A1−α
r =
L(ϕr)q
‖ϕr‖αp
‖x(r)‖1−α∞ .
Теорема 1 доказана.
Из теоремы 1 в силу равенства L(x)∞ = ‖x‖∞ вытекает такое следствие.
Следствие 1. Пусть r ∈ N, p > 0. Тогда для любой функции x ∈ Lr∞, удовлетворяющей
условию
L(x)p ≤ 2
−1
p ‖x‖p ,
выполняется неравенство
‖x‖∞ ≤ ‖ϕr‖∞
(
‖x‖p
‖ϕr‖p
)α
‖x(r)‖1−α∞ ,
где α =
r
r + 1/p
.
Отметим, что для всех функций x ∈ Lr∞ в работе [8] доказано неравенство
E0(x)∞ ≤ ‖ϕr‖∞
(
‖x‖p
E0(ϕr)p
)α
‖x(r)‖1−α∞ , p > 0 ,
где α =
r
r + 1/p
.
Замечание 1. Без условия (5) теорема 1 перестает быть справедливой. Действительно,
пусть r четно. Известно [9], что тогда для достаточно малых p ∈ (0, 1)
E0(ϕr)p < ‖ϕr‖p .
Поэтому если cp(ϕr) — константа наилучшего приближения сплайна ϕr в пространстве Lp, то
cp(ϕr) 6= 0 для рассматриваемых r и p. Следовательно, для функции x = ϕ̃r := ϕr − cp(ϕr)
выполняется неравенство
L(ϕ̃r)q > L(ϕr)q, q > 0 ,
и для этой функции ни условие (5), ни неравенство (6) не выполняются.
3. Вспомогательные утверждения. Для p, ∆ > 0 и x ∈ Lp(R) положим
‖x‖p,∆ := sup
{
‖x‖Lp[a,b] : a, b ∈ R, 0 < b− a ≤ ∆
}
. (9)
Лемма 1. Если функция x непрерывна на R, а супремум в определении (9) реализуется на
отрезке [a, b], то
|x(a)| = |x(b)|.
Доказательство. Предположим, что утверждение леммы 1 неверно. Пусть для определен-
ности
|x(a)| < |x(b)|.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
206 В. А. КОФАНОВ
Вследствие непрерывности x существует такое ε > 0, что для любых t1, t2 ∈ (0, ε) выполняется
неравенство
|x(a+ t1)| < |x(b+ t2)|.
Тогда
‖x‖Lp[a,a+ε] < ‖x‖Lp[b,b+ε].
Следовательно,
‖x‖Lp[a,b] < ‖x‖Lp[a+ε,b+ε].
Последнее неравенство противоречит предположению о том, что супремум в определении (9)
реализуется на отрезке [a, b].
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть p > 0, а функция x ∈ Lr∞ такова, что
‖x(r)‖∞ = 1 (10)
и
L(x)p ≤ 2
−1
p ‖x‖p . (11)
Если ∆ выбрано так, что
‖x‖p,∆ = 2
−1
p ‖x‖p , (12)
а λ удовлетворяет условию
‖x‖p,∆ = L(ϕλ,r)p , (13)
то
π
λ
≤ ∆ ≤ π. (14)
Доказательство. Заметим, что второе из неравенств (14) ∆ ≤ π непосредственно следует
из условия (12) в силу определения (9) нормы ‖x‖p,∆.
Докажем первое из неравенств (14). Прежде всего отметим некоторые следствия условий
(11) – (13). Поскольку
L(ϕλ,r)p = 2
−1
p ‖ϕλ,r‖Lp[0,2π/λ],
то в силу (12) условие (13) можно записать в виде
‖x‖p = ‖ϕλ,r‖Lp[0,2π/λ] . (15)
Из последнего равенства, условия (10) и следствия теоремы 1 вытекает неравенство
‖x‖∞ ≤ ‖ϕλ,r‖∞ . (16)
Для доказательства неравенства ∆ ≥ π/λ предположим противное. Пусть ∆ < π/λ. Через
[a, b] обозначим отрезок, на котором реализуется супремум в определении (9) нормы ‖x‖p,∆.
Рассмотрим два случая: 1) x(t) 6= 0 для t ∈ [a, b]; 2) существует c ∈ [a, b] такое, что x(c) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 207
В первом случае вследствие непрерывности функции x(t) найдутся такие α и β, что α <
< a < b < β, причем x(t) 6= 0 на отрезке [α, β]. Тогда, принимая во внимание определение (3)
величины L(x)p и равенство (12), получаем
L(x)p ≥ ‖x‖Lp[α,β] > ‖x‖Lp[a,b] = ‖x‖p,∆ = 2
−1
p ‖x‖p ,
что противоречит условию (11).
Рассмотрим теперь второй случай: существует c ∈ [a, b] такое, что x(c) = 0. Если c = a
или c = b, то по лемме 1 x(a) = x(b) = 0. Заметим далее, что в силу (10) и (16) для функции
x выполнены условия теоремы сравнения Колмогорова [10]. Поскольку по предположению
b − a < π/λ, существует такой сдвиг сплайна ϕλ,r(· + τ), что [a, b] ⊂ [α, α + π/λ], где α —
некоторый нуль ϕλ,r(·+ τ). Тогда из теоремы сравнения Колмогорова следует неравенство
|x(t)| ≤ ϕλ,r(t+ τ), t ∈ [a, b] .
Отсюда, так как b− a < π/λ, получаем
‖x‖p,∆ = ‖x‖Lp[a,b] ≤ ‖ϕλ,r(·+ τ)‖Lp[a,b] < L(ϕλ,r(·+ τ))p = L(ϕλ,r)p ,
что противоречит (13).
Пусть теперь в рассматриваемом втором случае c ∈ (a, b). Переходя, если нужно, к сдвигу
сплайна ϕλ,r, можно считать, что ϕλ,r(c) = 0. Через x1 обозначим сужение функции x на
отрезок [a, c], а через x2 — сужение x на отрезок [c, b]. Пусть далее x̃1(t) := x1(t− π/λ). Ясно,
что
‖x‖pLp[a,b] = ‖x1‖pLp[a,c] + ‖x2‖pLp[c,b] (17)
и
‖x1‖pLp[a,c] = ‖x̃1‖pLp[a+π/λ,c+π/λ] . (18)
С другой стороны, из теоремы сравнения Колмогорова следуют неравенства
|x̃1(t)| ≤ |ϕλ,r(t)|, t ∈ [a+ π/λ, c+ π/λ] , (19)
и
|x2(t)| ≤ |ϕλ,r(t)|, t ∈ [c, b] . (20)
Заметим, что b < a + π/λ в силу предположения о противном. Поэтому из (17) – (20) следует,
что
‖x‖pp,∆ = ‖x‖pLp[a,b] ≤ ‖ϕλ,r‖
p
Lp[c,b] + ‖ϕλ,r‖pLp[a+π/λ,c+π/λ] <
< ‖ϕλ,r‖pLp[c,c+π/λ] = L(ϕλ,r)
p
p ,
что противоречит условию (13). Тем самым неравенство ∆ ≥ π/λ, а вместе с ним и лемма 2
доказаны.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
208 В. А. КОФАНОВ
4. Неравенства разных метрик для норм функций x ∈ Lr
∞.
Теорема 2. Пусть r ∈ N, q > p > 0. Тогда для любой функции x ∈ Lr∞, которая удовле-
творяет условию
L(x)p ≤ 2
−1
p ‖x‖p ,
выполняется точное неравенство
‖x‖q ≤ ‖ϕr‖q
(
‖x‖p
‖ϕr‖p
)α
‖x(r)‖1−α∞ , (21)
где α =
r + 1/q
r + 1/p
.
Доказательство. Вследствие однородности неравенства (21) можно считать, что
‖x(r)‖∞ = 1. (22)
Тогда выполнено условие (10). Выберем ∆ > 0 и λ > 0, как в лемме 2, т. е. так, чтобы имели
место равенства
‖x‖p,∆ = 2
−1
p ‖x‖p (23)
и
‖x‖p,∆ = L(ϕλ,r)p . (24)
Тогда выполнены все условия леммы 2 и, следовательно, по лемме 2
π
λ
≤ ∆ ≤ π. (25)
Пусть далее [a, b] — отрезок, на котором реализуется супремум в определении (9) нормы
‖x‖p,∆. Через x1 обозначим сужение функции x на [a, b], а через x2 — сужение функции x
на [b, a + 2π]. Положим a1 = a + 2π. Вследствие леммы 1 и 2π-периодичности функции x
выполнены равенства
|x1(a)| = |x1(b)| = |x2(b)| = |x2(a1)|. (26)
При этом из (25) следует, что
b− a ≥ π
λ
, a1 − b ≥
π
λ
. (27)
Заметим далее, что в силу равенства
L(ϕλ,r)p = 2
−1
p ‖ϕλ,r‖Lp[0,2π/λ]
и условия (23) равенство (24) можно представить в виде
‖x‖p = ‖ϕλ,r‖Lp[0,2π/λ] . (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 209
А так как для любого s > 0
‖x‖ss = ‖x1‖sLs[a,b] + ‖x2‖sLs[b,a1] (29)
и в силу (24)
‖x1‖Lp[a,b] = ‖x‖p,∆ = L(ϕλ,r)p ,
то
‖x1‖Lp[a,b] = ‖x2‖Lp[b,a1] = L(ϕλ,r)p . (30)
Положим для краткости I1 := [a, b], I2 := [b, a1] и докажем, что для любого q > p выполняются
неравенства
‖xk‖Lq(Ik) ≤ L(ϕλ,r)q, k = 1, 2 . (31)
Через r(xk, t), t ∈ [0, µk], обозначим убывающую перестановку функции |xk|, где µ1 = b − a,
µ2 = a1 − b. Положим r(xk, t) = 0 для t > µk, k = 1, 2. Пусть далее ϕ — сужение сплайна ϕλ,r
на [0, π/λ], а r(ϕ, t), t ∈ [0, π/λ], — убывающая перестановка функции |ϕ|. Также положим
r(ϕ, t) = 0 для t > π/λ.
Чтобы доказать (31), достаточно, в силу теоремы Харди – Литллвуда – Полиа (см., например,
[11], теорема 1.3.11), доказать неравенство
ξ∫
0
rp(xk, t)dt ≤
ξ∫
0
rp(ϕ, t)dt, ξ > 0 . (32)
Прежде всего покажем, что разности ∆k(t) := r(xk, t)− r(ϕ, t) меняют знак на [0,∞) не более
одного раза (с минуса на плюс). Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что
r(xk, 0) ≤ r(ϕ, 0), k = 1, 2 . (33)
Это непосредственно следует из неравенства
‖x‖∞ ≤ ‖ϕλ,r‖∞ , (34)
которое, в свою очередь, вытекает из следствия теоремы 1 в силу (28) и (22). Положим далее
для k = 1, 2
mk := min{|xk(t)|, t ∈ Ik}, Mk := max{|xk(t)|, t ∈ Ik}
и докажем, что если для произвольного yk ∈ (mk,Mk) точки Θk ∈ [0, µk] и Θ ∈ [0, π/λ]
выбраны так, что
yk = r(xk,Θk) = r(ϕ,Θ) , (35)
то
|r′(xk,Θk)| ≤ |r′(ϕ,Θ)| . (36)
Действительно, пусть точки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
210 В. А. КОФАНОВ
tki ∈ Ik, i = 1, . . . ,mk, k = 1, 2, zj ∈ [0, π/λ], j = 1, 2 ,
таковы, что
yk = |xk(tki )| = |ϕ(zj)| .
При этом из (26) следует оценка mk ≥ 2. Тогда по теореме сравнения Колмогорова (ее условия
выполнены в силу (22) и (34)) имеют место неравенства
|x′(tki )| ≤ |ϕ′(zj)|, i = 1, . . . ,mk, j = 1, 2 .
Поэтому по теореме о производной перестановки (см., например, [11], предложение 1.3.2)
|r′(xk,Θk)| =
[
mk∑
i=1
|x′k(tki )|−1
]−1
≤
2∑
j=1
|ϕ′(zj)|−1
−1
= |r′(ϕ,Θ)|.
Тем самым импликация (35) ⇒ (36) доказана. Из этой импликации и неравенств (27) и (33)
следует, что разности ∆k(t) := r(xk, t)− r(ϕ, t) меняют знак на [0,∞) не более одного раза (с
минуса на плюс). То же самое справедливо и для разностей
∆k,p(t) := rp(xk, t)− rp(ϕ, t).
Докажем теперь неравенство (31). Положим
Ik(ξ) =
ξ∫
0
∆k,p(t)dt, k = 1, 2.
Из (30) следует, что
Ik(0) = Ik(µk) = 0 .
При этом производная I ′k(t) = ∆k,p(t) меняет знак на [0,∞) не более одного раза (с минуса на
плюс). Отсюда следует неравенство
Ik(ξ) ≤ 0 , ξ > 0,
которое равносильно (32). Тем самым неравенство (31) доказано.
Из (31) и (29) (при s = q) непосредственно следует, что
‖x‖q ≤ ‖ϕλ,r‖Lq [0,2π/λ] .
Применяя последнее неравенство, равенство (28), очевидное соотношение
‖ϕλ,r‖Lp[0, 2π/λ] = λ−(r+1/p)‖ϕr‖p , p > 0 ,
и определение α, получаем неравенство
‖x‖q
‖x‖αp
≤
‖ϕλ,r‖Lq [0, 2π/λ]
‖ϕλ,r‖αp
≤ λ−(r+1/q)‖ϕr‖q[
λ−(r+1/p)‖ϕr‖p
]α =
‖ϕr‖q
‖ϕr‖αp
,
которое в силу (22) равносильно (21). Ясно, что неравенство (21) обращается в равенство для
функции x = ϕr.
Теорема 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 211
Замечание 2. Неравенство (21) было доказано ранее для функций x ∈ Lr∞, в среднем
равных нулю на периоде, при p = 1 [1] и p < 1 [2].
5. Неравенства типа Никольского для полиномов и сплайнов.
Теорема 3. Пусть n ∈ N, q > p > 0. Тогда для любого тригонометрического полинома
Tn порядка не выше n, удовлетворяющего условию
L(Tn)p ≤ 2
−1
p ‖Tn‖p ,
выполняется неравенство
‖Tn‖q ≤ n
1
p−
1
q
‖ cos(·)‖q
‖ cos(·)‖p
‖Tn‖p , (37)
точное на пространстве всех тригонометрических полиномов.
Доказательство. Зафиксируем произвольный тригонометрический полином Tn, удовлетво-
ряющий условию теоремы. Ясно, что Tn ∈ Lr∞ при любом r ∈ N. Применим к полиному Tn
неравенство (21):
‖Tn‖q ≤ ‖ϕr‖q
(
‖Tn‖p
‖ϕr‖p
)α
‖T (r)
n ‖1−α∞ ,
где α =
r + 1/q
r + 1/p
. Оценивая далее ‖T (r)
n ‖∞ с помощью неравенства Бернштейна
‖T (r)
n ‖∞ ≤ nr‖Tn‖∞ ,
имеем
‖Tn‖q ≤ nr(1−α))‖ϕr‖q
(
‖Tn‖p
‖ϕr‖p
)α
‖Tn‖1−α∞ .
Перейдем в последнем неравенстве к пределу при r → ∞. Учитывая, что при этом α → 1,
r(1− α)→ 1/p− 1/q, и применяя соотношение (см., например, [12])
‖ϕr‖p →
4
π
‖ cos(·)‖p , p > 0,
получаем доказываемое неравенство (37). Осталось заметить, что неравенство (37) обращается
в равенство для полинома T1(t) = cos t.
Теорема 3 доказана.
Для n, r ∈ N через Sn,r обозначим пространство 2π-периодических полиномиальных
сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами в точках kπ/n, k ∈ Z.
Теорема 4. Пусть r, n ∈ N, q > p ≥ 1. Тогда для любого сплайна s ∈ Sn,r, удовлетворя-
ющего условию
L(s)p ≤ 2
−1
p ‖s‖p , (38)
выполняется неравенство
‖s‖q ≤ n
1
p−
1
q
‖ϕr‖q
‖ϕr‖p
‖s‖p , (39)
точное на множестве
⋃∞
n=1 Sn,r всех сплайнов порядка r.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
212 В. А. КОФАНОВ
Доказательство. Пусть сплайн s ∈ Sn,r удовлетворяет условию теоремы. Ясно, что s ∈
∈ Lr∞. Применим к сплайну s неравенство (21):
‖s‖q ≤ ‖ϕr‖q
(
‖s‖p
‖ϕr‖p
)α
‖s(r)‖1−α∞ ,
где α =
r + 1/q
r + 1/p
. Оценивая далее ‖s(r)‖∞ с помощью неравенства [12] (лемма 8.5.1)
‖s(r)‖∞ ≤ nr+1/p ‖s‖p
‖ϕr‖p
и замечая, что
(r + 1/p)(1− α) =
1
p
− 1
q
,
получаем доказываемое неравенство (39). Осталось заметить, что неравенство (38) обращается
в равенство для сплайна s = ϕr.
Теорема 4 доказана.
Замечание 3. Неравенства (37) и (39) были доказаны ранее для полиномов и сплайнов, в
среднем равных нулю на периоде, при p = 1 [1] и p < 1 [2].
1. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Comparison of rearrangements and Kolmogorov – Nagy type inequalities
for periodic functions // Approxim. Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov / Ed. B. Bojanov. – Sofia: Darba,
2002. – P. 24 – 53.
2. Kofanov V. A. Comparison of rearrangements and inequalities of various metrics // East. J. Approxim. – 2002. – 8,
№ 3. – P. 311 – 325.
3. Pinkus A., Shisha O. Variations on the Chebyshev and Lq theories of best approximation // J. Approxim. Theory. –
1982. – 35, № 2. – P. 148 – 168.
4. Kofanov V. A. Sharp inequalities of Bernstein and Kolmogorov type // East. J. Approxim. – 2005. – 11, № 2. –
P. 131 – 145.
5. Кофанов В. А. О точных неравенствах типа Бернштейна для сплайнов // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 10. –
С. 1357 – 1367.
6. Kofanov V. A., Miropolskiy V. E. On the best constants in inequalities of Kolmogorov type // East. J. Approxim. –
2007. – 13, № 4. – P. 455 – 466.
7. Кофанов В. А. О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 6. – С. 765 – 776.
8. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Inequalities of Kolmogorov type and some their applications in
approximation theory // Rend. Circ. mat. Palermo. Ser. II. Suppl.– 1998. – 52. – P. 223 – 237.
9. Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Аппроксимация синусоподобных функций константами в про-
странствах Lp, p < 1 // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 6. – С. 745 – 762.
10. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на
бесконечном интервале // Избр. труды. Математика, механика.– М.: Наука, 1985. – С. 252 – 263.
11. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 304 с.
12. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
Получено 23.01.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1974 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:16Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a3/9e5b8f45a13cc7f080aece1a3d18f2a3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19742019-12-05T09:47:54Z Inequalities of Different Metrics for Differentiable Periodic Functions Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. We prove the following sharp inequality of different metrics: $$\begin{array}{cc}\hfill {\left\Vert x\right\Vert}_q\le {\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_q{\left(\frac{{\left\Vert x\right\Vert}_p}{{\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_p}\right)}^{\frac{r+1/q}{r+1/p}}{\left\Vert {x}^{(r)}\right\Vert}_{\infty}^{\frac{1/p-1/q}{r+1/p}},\hfill & \hfill q>p>0,\hfill \end{array}$$ for 2π -periodic functions $x ∈ L_{∞}^r$ satisfying the condition $$L{(x)}_p\le {2}^{1/p}{\left\Vert x\right\Vert}_p,$$ where $$L{(x)}_p:= \sup \left\{{\left\Vert x\right\Vert}_{L_p\left[a,b\right]}:a,b\in \left[0,2\pi \right],\kern0.5em \left|x(t)\right|>0,\kern0.5em t\in \left(a,b\right)\right\},$$ and $φ_r$ is the Euler spline of order $r$. As a special case, we establish the Nikol’skii-type sharp inequalities for polynomials and polynomial splines satisfying the condition (A). Доведено непокращувану нерiвнiсть рiзних метрик $$\begin{array}{cc}\hfill {\left\Vert x\right\Vert}_q\le {\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_q{\left(\frac{{\left\Vert x\right\Vert}_p}{{\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_p}\right)}^{\frac{r+1/q}{r+1/p}}{\left\Vert {x}^{(r)}\right\Vert}_{\infty}^{\frac{1/p-1/q}{r+1/p}},\hfill & \hfill q>p>0,\hfill \end{array}$$ для 2π-перюдичних функцій $x ∈ L_{∞}^r$, що задовольняють умову $$L{(x)}_p\le {2}^{1/p}{\left\Vert x\right\Vert}_p,$$ де $$L{(x)}_p:= \sup \left\{{\left\Vert x\right\Vert}_{L_p\left[a,b\right]}:a,b\in \left[0,2\pi \right],\kern0.5em \left|x(t)\right|>0,\kern0.5em t\in \left(a,b\right)\right\},$$ а $φ_r$ — ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$. Як наслідок отримано точні нєрівності типу Нікольського для поліномів і полiномiальних сплайнiв, що задовольняють умову (А). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1974 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 2 (2015); 202–212 Український математичний журнал; Том 67 № 2 (2015); 202–212 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1974/969 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1974/970 Copyright (c) 2015 Kofanov V. A. |
| spellingShingle | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. Inequalities of Different Metrics for Differentiable Periodic Functions |
| title | Inequalities of Different Metrics for Differentiable Periodic Functions |
| title_alt | Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций |
| title_full | Inequalities of Different Metrics for Differentiable Periodic Functions |
| title_fullStr | Inequalities of Different Metrics for Differentiable Periodic Functions |
| title_full_unstemmed | Inequalities of Different Metrics for Differentiable Periodic Functions |
| title_short | Inequalities of Different Metrics for Differentiable Periodic Functions |
| title_sort | inequalities of different metrics for differentiable periodic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1974 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovva inequalitiesofdifferentmetricsfordifferentiableperiodicfunctions AT kofanovva inequalitiesofdifferentmetricsfordifferentiableperiodicfunctions AT kofanovva inequalitiesofdifferentmetricsfordifferentiableperiodicfunctions AT kofanovva neravenstvaraznyhmetrikdlâdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcij AT kofanovva neravenstvaraznyhmetrikdlâdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcij AT kofanovva neravenstvaraznyhmetrikdlâdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcij |