Almost Periodic Solutions of Nonlinear Equations that are not Necessarily Almost Periodic in Bochner’s Sense
We introduce a new class of almost periodic operators and establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear equations that are not necessarily almost periodic in Bochner’s sense.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1976 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507878238978048 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:47:54Z |
| description | We introduce a new class of almost periodic operators and establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear equations that are not necessarily almost periodic in Bochner’s sense. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.52
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ,
ЩО МОЖУТЬ НЕ БУТИ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИМИ ЗА БОХНЕРОМ
We introduce a new class of almost periodic operators. We also establish conditions for the existence of almost periodic
solutions of nonlinear equations which are not necessarily almost periodic in Bochner’s sense.
Введен новый класс почти периодических операторов. Также получены условия существования почти периодиче-
ских решений нелинейных уравнений, которые могут не быть почти периодическими по Бохнеру.
1. Основнi позначення й означення. НехайE — банаховий простiр з нормою ‖·‖E i L(X,X) —
банаховий простiр лiнiйних неперервних операторiв A, що дiють у банаховому просторi X, з
нормою ‖A‖L(X,X) = sup‖x‖X=1 ‖Ax‖X . Позначимо через C0 банаховий простiр обмежених i
неперервних на R функцiй x = x(t) зi значеннями в E з нормою ‖x‖C0 = supt∈R ‖x(t)‖E , а
через R(x) множину значень функцiї x ∈ C0, тобто множину {x(t) : t ∈ R}.
У просторi C0 визначимо оператор зсуву Sh, h ∈ R, спiввiдношенням
(Shx)(t) = x(t+ h), t ∈ R. (1)
Означення 1. Елемент y ∈ C0 називається майже перiодичним (за Бохнером) (див. [1, 2]),
якщо замикання множини {Shy : h ∈ R} у просторi C0 є компактною пiдмножиною цього
простору.
Множина B0 майже перiодичних елементiв простору C0 є пiдпростором цього простору з
нормою ‖x‖B0 = ‖x‖C0 .
Означення 2. Оператор A ∈ L(C0, C0) називається майже перiодичним (за Бохнером),
якщо замикання множини {ShAS−h : h ∈ R} у просторi L(C0, C0) є компактним в L(C0, C0).
У подальшому при дослiдженнi нелiнiйних рiвнянь ми будемо використовувати один новий
клас майже перiодичних операторiв, що можуть не бути майже перiодичними за Бохнером.
Визначимо цей клас операторiв таким чином. Зафiксуємо довiльну вiдкриту множину D ⊂
⊂ E, що може збiгатися з E. Позначимо через KD множину всiх непорожнiх компактних
пiдмножин K ⊂ D. Для множини D1 ⊂ D позначимо через DD1 множину всiх елементiв
x ∈ C0, для кожного з яких R(x) ⊂ D1.
Означення 3. Вiдображення F : DD → C0 називається майже перiодичним, якщо для
кожних множини K ∈ KD i послiдовностi (hk)k>1 дiйсних чисел iснує така пiдпослiдовнiсть
(hkl)l>1, що
lim
l1→∞, l2→∞
sup
x∈DK
∥∥∥Shl1FS−hl1x− Shl2FS−hl2x∥∥∥C0
= 0.
Очевидно, що кожний майже перiодичний за Бохнером оператор A ∈ L(C0, C0) є майже
перiодичним i в сенсi означення 3. Також очевидно, що у випадку D = E, скiнченновимiр-
ного простору E i лiнiйного оператора H : DD → C0 означення 2 i 3 рiвносильнi. Однак у
випадку нескiнченновимiрного простору E майже перiодичний у сенсi означення 3 оператор
c© В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2015
230 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ, ЩО МОЖУТЬ НЕ БУТИ . . . 231
H може не бути майже перiодичним у сенсi означення 2 (приклад такого оператора наводиться
в наступному пунктi).
2. Приклад майже перiодичного за означенням 3 оператора, що не є майже перiодич-
ним за Бохнером. Будемо вважати, що множина D (див. пункт 1) збiгається з банаховим
простором E i цей простiр є дiйсним i нескiнченновимiрним. Позначимо через S0 множину
всiх елементiв простору C0, для кожного з яких замикання множини значень у просторi E є
компактною множиною. Очевидно, що B0 ⊂ S0 i x+ y, αx ∈ S0, якщо x, y ∈ S0 i α ∈ R. Тому
S0 є векторним простором.
Покажемо, що
S0 = S0. (2)
Звiдси буде випливати, що векторний простiр S0 є пiдпростором простору C0.
Нехай x — довiльний елемент множини S0. Iснує послiдовнiсть (xm)m≥1 елементiв множи-
ни S0, для якої
lim
m→∞
‖xm − x‖C0 = 0. (3)
Зафiксуємо довiльне число ε > 0. Завдяки (3) для деякого числа m0 ∈ N
‖xm0 − x‖C0 < ε. (4)
Оскiльки xm0 ∈ S0, то множина R(xm0) є компактною в E. Тому для цiєї множини iснує скiн-
ченна ε-сiткаM.На пiдставi (4) множинаM буде (2ε)-сiткою дляR(x). Тодi завдяки довiльностi
вибору числа ε > 0 та теоремi Гаусдорфа (див. [3, c. 47]) множина R(x) є компактною.
Отже, рiвнiсть (2) справджується i векторний простiр S0 є пiдпростором простору C0.
Далi розглянемо множину X = {x1, x2, . . . , xk, . . .} ⊂ E, для елементiв якої виконується
спiввiдношення ∥∥∥∥∥
p∑
l=1
βlxkl
∥∥∥∥∥
E
=
p∑
l=1
|βl| (5)
для довiльних p ∈ N, дiйсних чисел β1, . . . , βp i натуральних чисел k1, . . . , kp, серед яких
немає рiвних мiж собою. Множина X з такою властивiстю iснує, якщо, наприклад, E —
банаховий простiр обмежених i неперервних на R функцiй x = x(t) зi значеннями в R
з нормою ‖x‖C0 = supt∈R |x(t)|; в якостi елементiв x1, x2, . . . , xk, . . . можна взяти функцiї
sinλ1t, sinλ2t, . . . , sinλkt, . . . вiдповiдно, де числа λ1, λ2, . . . , λk, . . . лiнiйно незалежнi, тоб-
то для кожного m ∈ N з рiвностi
n1λ1 + n2λ2 + . . .+ nmλm = 0,
де n1, n2, . . . , nm — цiлi числа, випливає, що n1 = n2 = . . . = nm = 0 [2]. Очевидно, що
замикання множини X у просторi E не є компактним в E.
Pозглянемо суми
Sm =
m∑
k=1
1
k
, m ∈ N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
232 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Оскiльки
lim
m→∞
Sm = +∞,
то
R =
∞⋃
k=1
Ik,
де I1 = (−∞, 1) i Ik = [Sk−1, Sk), k > 2. Визначимо елемент y = y(t) простору C0 рiвнiстю
y =
∞∑
k=1
χIk(t)fk(t)xk, (6)
де
f1(t) ≡ 1,
fk(t) =
1, якщо cos
(
k2k+2π(t− Sk−1)
)
> 4−k,
4k cos
(
k2k+2π(t− Sk−1)
)
, якщо
∣∣cos
(
k2k+2π(t− Sk−1)
)∣∣ < 4−k,
−1, якщо cos
(
k2k+2π(t− Sk−1)
)
6 −4−k,
k > 2,
i
χIk(t) =
1, якщо t ∈ Ik,
0, якщо t ∈ R \ Ik,
k ≥ 1.
Розглянемо множину
Y = {Shy : h ∈ R},
де Sh — оператор зсуву, що визначається формулою (1), та лiнiйну оболонку span (Y ) цiєї
множини, тобто мiнiмальний векторний пiдпростiр простору C0, що мiстить множину Y.
Корисним для подальшого є таке твердження.
Лема. Нехай u =
∑p
l=1
βlShly — довiльний ненульовий елемент векторного простору
span (Y ) (тут p — натуральне число, β1, . . . , βp — дiйснi ненульовi числа i h1, . . . , hp — дiйснi
числа, для яких hi 6= hj , якщо i 6= j). Тодi: 1) для кожного числа ε > 0 iснують такi
число tε i множина Mε ⊂ [tε,+∞), мiра Лебега µ(Mε) якої менша за ε, що справджується
спiввiдношення ∥∥∥∥∥
(
p∑
l=1
βlShly
)
(t)
∥∥∥∥∥
E
=
p∑
l=1
|βl| (7)
для всiх t ∈ [tε,+∞) \Mε; 2) замикання множини значень елемента u = u(t) у просторi E не
є компактною множиною у цьому просторi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ, ЩО МОЖУТЬ НЕ БУТИ . . . 233
Доведення. Зазначимо, що для всiх t ∈ R
u(t) =
(
p∑
l=1
βlShly
)
(t) =
p∑
l=1
βly(t+ hl). (8)
З означень функцiй y = y(t) i fk(t), k ≥ 1, та вимог до чисел h1, . . . , hp випливає, що для
кожного числа ε > 0 iснують такi достатньо велике число tε i множина Mε ⊂ [tε,+∞),
мiра Лебега µ(Mε) якої менша за ε, що кожному t ∈ [tε,+∞) \Mε вiдповiдають елементи
x1,t, . . . , xp,t ∈ {x1, x2, . . . , xk, . . .}, що попарно не збiгаються мiж собою, для яких
y(t+ hl) = ϕ(l, t)xl,t, l = 1, p, (9)
де скалярний множник ϕ(l, t) набуває значень з множини {−1, 1} (в залежностi вiд значень l i
t). Тому на пiдставi (5), (8) i (9) справджується спiввiдношення (7) для всiх t ∈ [tε,+∞) \Mε,
тобто першу частину твердження леми доведено.
Для доведення другої частини твердження леми розглянемо довiльну зростаючу послiдов-
нiсть (tn)n≥1 елементiв множини [tε,+∞) \Mε (тут ε — число, що розглядалося при обґрунту-
ваннi першої частини твердження леми), для якої
tn+1 − tn > max
i 6=j
|hi − hj |, n ≥ 1.
Тодi буде виконуватися спiввiдношення
{x1,ti , . . . , xp,ti} ∩ {x1,tj , . . . , xp,tj} = ∅,
якщо i 6= j. Тому для довiльних натуральних i та j (i 6= j) для ненульового елемента u = u(t)
виконуються спiввiдношення
‖u(ti)− u(tj)‖E =
∥∥∥∥∥
p∑
l=1
βly(ti + hl)−
p∑
l=1
βly(tj + hl)
∥∥∥∥∥
E
=
=
∥∥∥∥∥
p∑
l=1
βlϕ(l, ti)xl,ti −
p∑
l=1
βlϕ(l, tj)xl,tj
∥∥∥∥∥
E
= 2
p∑
l=1
|βl| > 0,
звiдки випливає, що замикання множини значень елемента u = u(t) у просторi E не є компакт-
ною множиною.
Лему доведено.
Продовжимо побудову потрiбного для подальшого прикладу оператора.
Отже, за лемою множина значень кожного ненульового елемента u =
∑p
l=1
βlShly вектор-
ного пiдпростору span (Y ) не є передкомпактною множиною, тобто u 6∈ S0, якщо u 6= 0.
Очевидно, що iснує границя
lim
t→−∞
u(t) =
(
p∑
l=1
βl
)
x1.
Покажемо, що аналогiчнi властивостi мають ненульовi елементи замикання span (Y ) век-
торного пiдпростору span (Y ) у просторi C0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
234 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Нехай z — довiльний елемент з span (Y ) \ span (Y ) i (zk)k>1 — послiдовнiсть елементiв iз
span (Y ), для яких
lim
k→∞
‖zk − z‖C0 = 0. (10)
Покажемо, що для деякого числа α ∈ R виконується спiввiдношення
lim
t→−∞
z(t) = αx1. (11)
Справдi, нехай
lim
t→−∞
zk(t) = αkx1, (12)
де αk ∈ R, k > 1, i послiдовнiсть (αk)k>1 є збiжною (ця вимога не зменшує загальностi
мiркувань), тобто для деякого числа α ∈ R
lim
k→∞
αk = α. (13)
Очевидно, що для всiх t ∈ R i k > 1
z(t) = (z(t)− zk(t)) + (zk(t)− αkx1) + (αka− αx1) + αx1.
Тому
‖z(t)− αx1‖E 6 ‖z(t)− zk(t)‖E + ‖zk(t)− αkx1‖E + ‖αkx1 − αx1‖E , t ∈ R, k > 1.
Звiдси та з (12) випливає
0 6 lim
t→−∞
‖z(t)− αx1‖E 6 lim
t→−∞
‖z(t)− zk(t)‖E+
+ lim
t→−∞
‖zk(t)− αkx1‖E + lim
t→−∞
‖αkx1 − αx1‖E 6 ‖z − zk‖C0 + ‖(αk − α)x1‖E .
Оскiльки цi спiввiдношення справджуються для всiх k > 1, то завдяки (10) та (13) виконується
спiввiдношення (11).
Далi покажемо, що для елемента z ∈ span (Y )\span (Y ) множинаR(z) не є компактною вE.
Нехай (zk)k>1 — послiдовнiсть елементiв iз span (Y ), для якої виконується спiввiдношення (10).
Оскiльки для кожного k > 1 iснують такi числа pk ∈ N, δ1,k, . . . , δpk,k ∈ R i h1,k, . . . , hpk,k ∈ R
(числа h1,k, . . . , hpk,k попарно рiзнi), що елемент zk = zk(t) записується у виглядi
zk(t) =
pk∑
l=1
δl,ky(t+ hl,k),
то завдяки лемi
‖zk‖C0 =
pk∑
l=1
|δl,k|, k > 1.
Як i при доведеннi другої частини твердження леми, для кожного k > 1 iснує зростаюча
послiдовнiсть (tk,n)n>1, для якої limn→∞ tk,n = +∞, така, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ, ЩО МОЖУТЬ НЕ БУТИ . . . 235∥∥zk(tk,i)− zk(tk,j)∥∥E > 2‖zk‖C0
для всiх натуральних чисел i та j, що не збiгаються мiж собою. Iз цих нерiвностей випливає
‖z(tk,i)− z(tk,j)‖E > ‖zk(tk,i)− zk(tk,j)‖E − ‖(z(tk,i)− zk(tk,i))− (z(tk,j)− zk(tk,j))‖E >
> ‖zk(tk,i)− zk(tk,j)‖E − ‖z(tk,i)− zk(tk,i)‖E − ‖z(tk,j)− zk(tk,j)‖E >
> 2‖zk‖C0 − 2‖z − zk‖C0 , k > 1, i 6= j.
Звiдси та з включення z ∈ span (Y ) \ span (Y ) на пiдставi (10) отримуємо, що для деякого
числа γ > 0 та достатньо великого натурального числа k0
‖z(tk0,i)− z(tk0,j)‖E > γ,
що означає некомпактнiсть множини R(z) у просторi E.
Отже, span (Y ) є пiдпростором простору C0.
Далi розглянемо пiдпростiр L = S⊕ span (Y ) простору C0. Зазначимо, що кожний елемент
x ∈ L єдиним чином записується у виглядi x = u+ v, де u ∈ S0 i v ∈ span (Y ). Справдi, якщо
iснують два таких зображення
x = u1 + v1,
x = u2 + v2
(
u1, u2 ∈ S0, v1, v2 ∈ span (Y )
)
,
то u1 + v1 = u2 + v2 i, отже, при u1 = u2 отримуємо v1 = v2, а при u1 6= u2 — рiвнiсть
u1 − u2 = v2 − v1, що суперечить включенню u2 − u1 ∈ S, оскiльки v2 − v1 ∈ span (Y ) \ {0} i
множина S0 ∩
(
span (Y ) \ {0}
)
є порожньою.
Розглянемо лiнiйний неперервний функцiонал ψ : span ({xk : k ∈ N}) → R, для якого
ψ(x1) = 1 i ‖ψ‖ = 1. Такий функцiонал iснує (див., наприклад, [4, с. 176, 177]).
Визначимо лiнiйний функцiонал ϕ : L→ R так: кожному елементу x = u+v ∈ L, де u ∈ S0
i v ∈ span (Y ), поставимо у вiдповiднiсть число
ϕ(x) = ϕ(u) + ϕ(v),
де
ϕ(u) = 0
i
ϕ(u) = ψ
(
lim
t→−∞
u(t)
)
.
Цей функцiонал є неперервним завдяки неперервностi функцiонала ψ.
За теоремою Гана – Банаха про продовження лiнiйного неперервного функцiонала [4] iснує
лiнiйний неперервний функцiонал l : C0 → R, для якого l(x) = ϕ(x) для всiх x ∈ L i ‖l‖ = ‖ϕ‖.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
236 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Зафiксуємо довiльний елемент s ∈ C0 \B0. Визначимо лiнiйний неперервний оператор C :
C0 → C0 формулою
Cx = l(x)s, x ∈ C0. (14)
Покажемо, що цей оператор є майже перiодичним у сенсi означення 3 i не є майже перiо-
дичним у сенсi означення 2.
Зазначимо, що на пiдставi (14)
ShCS−hx = l(S−hx)Shs, h ∈ R, (15)
для кожного x ∈ C0 i
l(S−hx) = 0, h ∈ R,
для кожного x ∈ S0. Тому для будь-якої компактної множини K ⊂ E замикання множини
{ShCS−hx : h ∈ R, x ∈ DK} у просторi C0 є компактним в C0, оскiльки ця множина збiга-
ється до {0}. Це означає, що оператор C є майже перiодичним у сенсi означення 3. Однак
замикання множини {ShCS−h : h ∈ R} у просторi L(C0, C0) не є компактним в L(C0, C0).
Справдi, завдяки (14) та (15) для елемента y, що визначається за допомогою (6), виконується
спiввiдношення
ShCS−hy = Shs, h ∈ R,
i, отже,
{ShCS−h : h ∈ R}y = {Shs : h ∈ R}. (16)
Якщо оператор C є майже перiодичним у сенсi означення 2, тобто {ShCS−h : h ∈ R} є перед-
компактною множиною у просторi L(C0, C0), то множина {ShCS−h : h ∈ R}y є передкомпакт-
ною у просторi C0. Завдяки рiвностi (16) передкомпактною у просторi C0 має бути i множина
{Shs : h ∈ R}. Однак ця властивiсть для {Shs : h ∈ R} не виконується, оскiльки елемент s не
є майже перiодичним (див. означення 1).
Отже, побудову майже перiодичного за означенням 3 оператора, що не є майже перiодичним
за Бохнером, завершено.
Зауваження 1. Нехай банаховий простiр E збiгається з простором l1 = l1(N,R) послiдов-
ностей a = (a1, a2, . . . , ak, . . .), для кожної з яких
∑∞
k=1
|ak| <∞, з нормою
‖a‖l1 =
∞∑
k=1
|ak|. (17)
В якостi множини X = {x1, x2, . . . , xk, . . .} ⊂ E, що використовувалася при побудовi
наведеного вище прикладу, можна взяти множину X̃ послiдовностей
xk = (δk1, δk2, δk3, . . .), k ∈ N,
де δkl — символ Кронекера: δkl = 1, якщо k = l, i δkl = 0, якщо k 6= l.
Тодi завдяки (17) елементи множини X̃, очевидно, будуть задовольняти спiввiдношення (5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ, ЩО МОЖУТЬ НЕ БУТИ . . . 237
3. Основний об’єкт дослiджень. Нехай Ω — довiльна область у просторi E. Розглянемо
вiдображення F : DΩ → C0, для якого для кожного K ∈ KΩ замикання множини {ShFS−hx :
h ∈ R, x ∈ DK} у просторi C0 є компактним в C0, тобто вiдображення F є майже перiодичним
у сенсi означення 3.
Очевидно, що для кожних K ∈ K i послiдовностi (hk)k>1 елементiв множини R iснує така
пiдпослiдовнiсть (hkl)l>1, що послiдовнiсть
(
ShklFS−hklx
)
l>1
збiгається рiвномiрно на DK .
Метою статтi є встановлення умов iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвняння
Fx = 0. (18)
При дослiдженнi цього рiвняння будемо використовувати один функцiонал, визначений на
множинi розв’язкiв рiвняння з передкомпактними множинами значень.
Зазначимо, що окремими випадками рiвняння (18) є нелiнiйнi рiвняння
x(t+ 1) = f(t, x(t)), t ∈ R, (19)
f(t, x(t)) = 0, t ∈ R, (20)
iснування неперервних майже перiодичних на R розв’язкiв яких з’ясовувалося автором у [5, 6].
4. Функцiонал δ. Вiдокремленi та сильно вiдокремленi розв’язки рiвняння (18). За-
фiксуємо довiльну множину K ∈ K. Позначимо через N (F,K) множину всiх розв’язкiв x
рiвняння (18), для кожного з яких R(x) ⊂ K i R(x) 6= K.
Зафiксуємо довiльний елемент x∗ ∈ N (F,K) (вважаємо, що N (F,K) 6= ∅). Покладемо
r(x∗,K) = sup
{
‖u− v‖E : u ∈ R(x∗), v ∈ K
}
. (21)
Завдяки нерiвностi R(x) 6= K
r(x∗,K) > 0.
Також зафiксуємо довiльне число ε ∈ [0, r(x∗,K)]. Позначимо через Ω(x∗,K, ε) множину всiх
елементiв y ∈ C0, для кожного з яких
R(x∗ + y) ⊂ K (22)
i
‖y‖C0 > ε. (23)
Аналогiчним чином можна визначити множину Ω(z,K, ε) для будь-якого iншого елемента
z ∈ C0, для якого R(z) ⊂ K.
Розглянемо функцiонал
δ(x∗,K, ε) = inf
y∈Ω(x∗,K,ε)
‖F (x∗ + y)‖C0 . (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
238 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Означення 4. Розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (18) називається вiдокремленим на множи-
нi R×K, якщо або цей розв’язок єдиний на множинi R×K, або для кожного iншого розв’язку
u = u(t) зi значеннями в K виконується нерiвнiсть
inf
t∈R
‖z(t)− u(t)‖E > ρ,
де ρ — додатна стала, залежна лише вiд z.
Означення 5. Розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (18) називається сильно вiдокремленим на
множинi R×K, якщо
δ(z,K, ε) > 0
для кожного ε ∈ (0, r(z,K)).
Очевидно, що кожний сильно вiдокремлений на множинi R×K розв’язок z ∈ N (F,K) рiв-
няння (18) є вiдокремленим на множинi R×K розв’язком цього рiвняння. Однак вiдокремлений
на множинi R×K розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (18) може не бути сильно вiдокремленим на
множинi R×K розв’язком цього рiвняння (вiдповiдний приклад у випадку рiзницевих рiвнянь
з дискретним аргументом побудовано в [7]).
Застосування функцiонала δ до дослiдження нелiнiйного рiвняння (18) та аналогiчного
лiнiйного рiвняння наведемо в наступних пунктах.
Аналогiчнi функцiонали для дослiдження нелiнiйних рiвнянь (19), (20) i
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), t ∈ R, (25)
з неперервним вiдображенням f : R× Ω → E, де Ω — довiльна область простору E, викорис-
товувалися автором у [5, 6, 8].
5. Основний результат. Наведемо умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвнян-
ня (18), що на вiдмiну вiд вiдомої теореми Амерiо про майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь (див. [9, 10]) не використовують H-клас рiвняння (18).
Нехай Λ — обмежена пiдмножина простору E. Визначимо дiаметр diam Λ множини Λ
рiвнiстю
diam Λ = sup
{
‖x− y‖E : x, y ∈ Λ
}
.
Теорема 1. Якщо для розв’язку z ∈ N (F,K) рiвняння (18), де K ∈ K, diam R(z) 6= 0 i
δ(z,K, ε) > 0 (26)
для кожного ε ∈ (0, r(z,K)), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Зауваження 2. Розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (18), для якого diam R(z) = 0, є сталим
i, отже, майже перiодичним.
Доведення. Припустимо, що розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (18) не є елементом прос-
тору B0. Тодi iснує послiдовнiсть
(
Shpz
)
p>1
, для якої кожна пiдпослiдовнiсть
(
Skpz
)
p>1
буде
розбiжною. Отже, для деяких послiдовностей (pr)r>1, (qr)r>1 натуральних чисел i числа γ ∈
∈ (0,diamR(z))
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ, ЩО МОЖУТЬ НЕ БУТИ . . . 239∥∥Skpr z − Skqr z∥∥C0 > γ, r > 1. (27)
Зазначимо, що diamR(z) 6 r(z,K). Не обмежуючи загальностi можна вважати, що послiдов-
нiсть
(
SkpFS−kpx
)
p>1
збiгається рiвномiрно на DK . Тодi
lim
p,q→∞
sup
x∈DK
∥∥SkpFS−kpx− SkqFS−kqx∥∥C0 = 0. (28)
Розглянемо елементи
yr = Skpr z − Skqr z, r > 1,
простору C0. Очевидно, що
yr ∈ Ω(Skqr z,K, γ), r > 1. (29)
Покажемо, що
δ(z,K, γ) = 0. (30)
Завдяки (24), (29) та тому, що
SkprFz = 0, r > 1,
для кожного r > 1 виконуються спiввiдношення
δ(z,K, γ) = inf
y∈Ω(z,K,γ)
‖F (z + y)‖C0 = inf
y∈Ω(Skqr
z,K,γ)
‖SkqrF (z + S−kqr y)‖C0 =
= inf
y∈Ω(Skqr
z,K,γ)
‖SkqrFS−kqr (Skqr z + y)‖C0 6 ‖SkqrFS−kqr (Skqr z + yr)‖C0 =
= ‖SkqrFS−kqr (Skqr z + (Skpr z − Skqr z))‖C0 = ‖SkqrFS−kqrSkpr z‖C0 6
6 ‖SkprFS−kprSkpr z‖C0 + ‖SkqrFS−kqrSkpr z − SkprFS−kprSkpr z‖C0 =
= ‖SkprFz‖C0 + ‖SkqrFS−kqrSkpr z − SkprFS−kprSkpr z‖C0 =
= ‖SkqrFS−kqrSkpr z − SkprFS−kprSkpr z‖C0 6
6 sup
x∈DK
∥∥SkqrFS−kqrx− SkprFS−kprx∥∥C0 ,
з яких на пiдставi (28) випливає спiввiдношення (30), що суперечить (26).
Отже, припущення, що розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (18) не є майже перiодичним,
хибне.
Теорему 1 доведено.
Зазначимо, що виконання спiввiдношення (26) означає, що розв’язок z ∈ N (F,K) рiвнян-
ня (18) є сильно вiдокремленим на множинi R ×K. Тому формулювання цiєї теореми можна
подати в такому виглядi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
240 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Теорема 2. НехайK ∈ K. Якщо розв’язок z ∈ N (F,K) рiвняння (18) сильно вiдокремлений
на множинi R×K, то цей розв’язок є майже перiодичним.
Зауваження 3. Умова сильної вiдокремленостi обмеженого розв’язку рiвняння (18) не є
необхiдною (а є лише достатньою) умовою належностi цього розв’язку простору B0. Розв’язок
рiвняння (18) може бути майже перiодичним i не бути вiдокремленим на множинi R ×K, що
пiдтверджується рiзницевим рiвнянням
x(t+ 1) = x(t), t ∈ R.
6. Випадок лiнiйного рiвняння (18). Розглянемо рiвняння
Ax = h, (31)
де A : C0 → C0 — лiнiйний неперервний i майже перiодичний у сенсi означення 3 оператор
(цей оператор може не бути майже перiодичним за Бохнером) i h ∈ B0.
Оскiльки рiвняння (31) — окремий випадок рiвняння (18)
(
оператор F визначається форму-
лою Fx = Ax− h, x ∈ C0
)
, то на пiдставi теореми 2 справджується наступне твердження.
Теорема 3. Нехай K ∈ K. Сильно вiдокремлений на множинi R × K розв’язок z рiвнян-
ня (31) є майже перiодичним.
Наведемо умови сильної вiдокремленостi на R×K розв’язку z рiвняння (31).
Розглянемо лiнiйне однорiдне рiвняння
Ax = 0, (32)
що вiдповiдає рiвнянню (31).
Теорема 4. Нехай K ∈ K. Розв’язок z рiвняння (31) зi значеннями в K є сильно вiдокремле-
ним на R×K тодi i тiльки тодi, коли нульовий розв’язок рiвняння (32) є сильно вiдокремленим
на R×K.
Доведення. Оскiльки z — розв’язок рiвняння (31), то кожний елемент u простору C0, для
якого
A(z + u) = h,
є розв’язком рiвняння (32), тобто
Au = 0,
i навпаки. Тому, якщо використати означення множини Ω(x∗,K, ε) (див. (22) i (23)) та означення
функцiонала δ(x∗,K, ε) (див. (24)), то у випадку лiнiйних рiвнянь отримаємо, що для кожного
ε ∈ (0, r(z,K)) (див. (21))
inf
y∈Ω(z,K,ε)
‖A(z + y)− h‖C0 = inf
y∈Ω(0,K,ε)
‖Ay‖C0 > 0,
тобто для всiх ε ∈ (0, r(z,K))
δ(z,K, ε) = δ(0,K, ε) > 0.
Звiдси випливає твердження теореми.
Теорему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ, ЩО МОЖУТЬ НЕ БУТИ . . . 241
Теорема 5. Якщо
inf
x∈S0,‖x‖C0=1
‖Ax‖C0 > 0, (33)
то кожний розв’язок z ∈ S0 рiвняння (31) є майже перiодичним.
Доведення. Оскiльки z ∈ S0, то R(z) ⊂ K для деякого K ∈ K. Тому на пiдставi (33) та
лiнiйностi оператора A
inf
x∈S0, R(x)⊂K, ‖x‖C0=ε
‖Ax‖C0 > 0
для кожного ε ∈ (µ(z,K), r(z,K)], де µ(z,K) = inf
{
‖x− y‖E : x ∈ R(x∗), y ∈ K
}
i, отже,
inf
x∈S0, R(x)⊂K, ‖x‖C0>ε
‖Ax‖C0 > 0
для кожного ε ∈ (0, r(z,K)]. Завдяки останньому спiввiдношенню нульовий розв’язок рiвняння
(32) є сильно вiдокремленим на R×K. Тому на пiдставi теореми 4 розв’язок z ∈ S0 рiвняння
(31) також є сильно вiдокремленим на R×K.
Отже, за теоремою 3 розв’язок z ∈ S0 рiвняння (31) є майже перiодичним.
Теорему 5 доведено.
Зауваження 4. Множина майже перiодичних у сенсi означення 3 рiвнянь, до яких за-
стосовнi теореми з пунктiв 5 та 6, не є порожньою. Елементом цiєї множини є, наприклад,
рiвняння
x+ Cx = h, (34)
де C : C0 → C0 — лiнiйний неперервний оператор, що визначається формулою (14), а h —
майже перiодичний елемент простору C0.
Очевидно, що оператор I+C, де I : C0 → C0 — одиничний оператор, є майже перiодичним
у сенсi означення 3 i не є майже перiодичним за Бохнером.
Оскiльки h ∈ S0 i Cy = 0 для кожного y ∈ S0, то рiвняння (34) у просторi S0 має єдиний
розв’язок x, що збiгається з h i є сильно вiдокремленим (на пiдставi означення 5 та означення
функцiонала ∆ (див. (24))) на кожнiй множинi R×K, де K — довiльна компактна множина в
E, для якої R(h) ⊂ K.
7. Застосування теореми 2. Окремими випадками рiвняння (18) є рiзницевi рiвняння з
неперервним аргументом та деякi класи функцiональних рiвнянь. До цих рiвнянь зводяться i
звичайнi диференцiальнi рiвняння. Тому отриманi вище результати застосовнi до дослiдження
властивостей розв’язкiв цих рiвнянь.
7.1. Рiзницевi рiвняння. Визначимо вiдображення F : C0 → C0, що фiгурує в рiвняннi (18),
формулою
(Fx)(t) = G(t, x(t), x(t−∆1), . . . , x(t−∆m)), t ∈ R, x ∈ C0, (35)
де m ∈ N, ∆1, . . . ,∆m — довiльнi дiйснi числа i G : R × Ωm+1 → E — неперервне вiдобра-
ження (тут Ω — область в E, що й у пунктi 3). Вимагатимемо, щоб визначене формулою (35)
вiдображення F було майже перiодичним у сенсi означення 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
242 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Вiдображенню F вiдповiдає рiзницеве рiвняння
G(t, x(t), x(t−∆1), . . . , x(t−∆m)) = 0, t ∈ R. (36)
Оскiльки це рiвняння є окремим випадком загального рiвняння (18), то на пiдставi теореми 2
справджується таке твердження.
Теорема 6. Нехай K ∈ K. Якщо функцiя z зi значеннями в K є сильно вiдокремленим на
множинi R×K розв’язком рiзницевого рiвняння (36), то цей розв’язок є майже перiодичним.
7.2. Функцiональнi рiвняння. Як i в попередньому пiдпунктi, використаємо вiдображення
F : C0 → C0, за допомогою якого записується рiвняння (18). Це вiдображення визначимо
формулою
(Fx)(t) = G(t, x(t), x(ϕ1(t)), . . . , x(ϕm(t)), t ∈ R, x ∈ C0, (37)
де m ∈ N, ϕ1 : R → R, . . . , ϕm : R → R — неперервнi функцiї i G : R × Ωm+1 → E — непе-
рервне вiдображення (тут Ω — область в E, що й у пунктi 3). Будемо вимагати, щоб визначене
формулою (37) вiдображення F було майже перiодичним у сенсi означення 3
(
необхiдною
умовою виконання цiєї умови є майже перiодичнiсть функцiй ϕ1(t)− t, . . . , ϕm(t)− t
)
.
Вiдображенню F поставимо у вiдповiднiсть функцiональне рiвняння
G
(
t, x(t), x
(
ϕ1(t)
)
, . . . , x
(
ϕm(t)
))
= 0, t ∈ R. (38)
Очевидно, що це рiвняння є окремим випадком загального рiвняння (18).
На пiдставi теореми 2 справджується таке твердження.
Теорема 7. Нехай K ∈ K. Якщо функцiя z зi значеннями в K є сильно вiдокремленим на
множинi R×K розв’язком функцiонального рiвняння (38), то цей розв’язок є майже перiодич-
ним.
7.3. Диференцiальнi рiвняння. Розглянемо диференцiальне рiвняння
dx
dt
= h(t, x), (39)
де h : R× E → E — неперервне вiдображення.
Вважатимемо, що для кожних числа t0 ∈ R i вектора x0 ∈ E диференцiальне рiвняння (39)
має єдиний розв’язок x = x(t), що задовольняє початкову умову
x(t0) = x0. (40)
Умови виконання цiєї вимоги можна знайти в [11].
Розв’язок задачi (39), (40) позначимо через x = x(t, t0, x0).
Далi визначимо вiдображення U : R× E → E за допомогою спiввiдношення
U(t, y) = x(t+ 1, t, y), (t, y) ∈ R× E. (41)
Очевидно, що кожний визначений на R розв’язок y = y(t) диференцiального рiвняння (39)
задовольняє спiввiдношення
y(t+ 1) = x(t+ 1, t, y(t)), t ∈ R,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ, ЩО МОЖУТЬ НЕ БУТИ . . . 243
тобто на пiдставi (41) є розв’язком рiзницевого рiвняння
x(t+ 1) = U(t, x(t)), t ∈ R, (42)
що є окремим випадком рiвняння (18). Тому рiвняння (42) можна використати для дослiдження
обмежених розв’язкiв диференцiального рiвняння (39).
Завдяки теоремi 2 справджується таке твердження.
Теорема 8. Нехай диференцiальне рiвняння (39) має розв’язок z ∈ C0 зi значеннями в
компактнiй множинi K ∈ K i z є сильно вiдокремленим на R × K розв’язком рiзницевого
рiвняння (42).
Якщо вiдображення U : R× E → E майже перiодичне у сенсi означення 3, то розв’язок z
рiвняння (39) є майже перiодичним.
На завершення зазначимо, що наведенi умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiв-
нянь (18) i (31) є новими. На вiдмiну вiд уже згадуваної теореми Амерiо в теоремах 1 i 2 не
використовуєтьсяH-клас рiвняння (18) i банаховий простiр E може бути нескiнченновимiрним.
Аналогiчно в теоремах 3 i 5 також не використовується H-клас рiвняння (31), а оператор A
може не бути майже перiодичним за Бохнером.
Також зауважимо, що дослiдженню майже перiодичностi розв’язкiв рiвнянь присвячено
багато публiкацiй. Вiдмiтимо лише частину з них. Для звичайних лiнiйних диференцiальних
рiвнянь першi теореми про майже перiодичнi розв’язки були доведенi Фаваром у роботi [12],
а для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь — Амерiо в роботi [9]. У цих роботах суттєво
використовуються H-класи дослiджуваних рiвнянь, а в [9] використовується також вимога
вiдокремленостi обмежених розв’язкiв рiвнянь. Результати Фавара були покращенi Е. Муха-
мадiєвим [13, 14]. Узагальненням теорем Мухамадiєва присвячено роботи [15 – 17]. Важливi
результати в цьому напрямку також належать Б. М. Левiтану [2], Амерiо [18] та В. В. Жи-
кову [19].
Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих та диференцiаль-
них рiвнянь, а також рiвняння (20) без використання H-класiв цих рiвнянь отримано автором
у [5 – 8].
1. Bochner S Beitrage zur Theorie der fastperiodischen // Math. Ann. – 1927. – 96. – I Teil. – P. 119 – 147. II Teil. –
P. 383 – 409.
2. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.
3. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 742 с.
4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965. – 520 с.
5. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з непе-
рервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 1. – С. 118 – 124.
6. Слюсарчук В. Ю. Критерiй iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь, що не використовує
H-класи цих рiвнянь // Буковин. мат. журн. – 2013. – 1, № 1-2. – С. 136 – 138.
7. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з дискретним
аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 3. – С. 416 – 425.
8. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь у
банаховому просторi // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 2. – С. 307 – 312.
9. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati // Ann.
mat. pura ed appl. – 1955. – 39. – P. 97 – 119.
10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 c.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
244 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
11. Далецкий Ю. Л., Крейн M. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространст-
ве. – М.: Наука, 1970. – 535 с.
12. Favard J. Sur les équations différentielles à coefficients presquepériodiques // Acta math. – 1927. – 51. – P. 31 – 81.
13. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций //
Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269 – 274.
14. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных урав-
нений // Мат. заметки. – 1981. – 30, № 3. – С. 443 – 460.
15. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. –
1981. – 116(158), № 4(12). – С. 483 – 501.
16. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат. сб. –
1986. – 130(172), № 1(5). – С. 86 – 104.
17. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-дифферен-
циальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 – 267.
18. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. – 1960. – 30. – P. 288 – 301.
19. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в случае произ-
вольного банахова пространства // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – С. 121 – 126.
Одержано 05.11.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1976 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:18Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/12/023e49c6664e35eadf21a2fe356e5912.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19762019-12-05T09:47:54Z Almost Periodic Solutions of Nonlinear Equations that are not Necessarily Almost Periodic in Bochner’s Sense Майже періодичні розв’язки нелінійних рівнянь, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. We introduce a new class of almost periodic operators and establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear equations that are not necessarily almost periodic in Bochner’s sense. Введен новый класс почти периодических операторов. Также получены условия существования почти периодических решений нелинейных уравнений, которые могут не быть почти периодическими по Бохнеру. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1976 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 2 (2015); 230-244 Український математичний журнал; Том 67 № 2 (2015); 230-244 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1976/973 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1976/974 Copyright (c) 2015 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Almost Periodic Solutions of Nonlinear Equations that are not Necessarily Almost Periodic in Bochner’s Sense |
| title | Almost Periodic Solutions of Nonlinear Equations that are not Necessarily Almost Periodic in Bochner’s Sense |
| title_alt | Майже періодичні розв’язки нелінійних рівнянь, що можуть не бути майже періодичними за Бохнером |
| title_full | Almost Periodic Solutions of Nonlinear Equations that are not Necessarily Almost Periodic in Bochner’s Sense |
| title_fullStr | Almost Periodic Solutions of Nonlinear Equations that are not Necessarily Almost Periodic in Bochner’s Sense |
| title_full_unstemmed | Almost Periodic Solutions of Nonlinear Equations that are not Necessarily Almost Periodic in Bochner’s Sense |
| title_short | Almost Periodic Solutions of Nonlinear Equations that are not Necessarily Almost Periodic in Bochner’s Sense |
| title_sort | almost periodic solutions of nonlinear equations that are not necessarily almost periodic in bochner’s sense |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1976 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu almostperiodicsolutionsofnonlinearequationsthatarenotnecessarilyalmostperiodicinbochnerssense AT slûsarčukvû almostperiodicsolutionsofnonlinearequationsthatarenotnecessarilyalmostperiodicinbochnerssense AT slyusarchukvyu majžeperíodičnírozvâzkinelíníjnihrívnânʹŝomožutʹnebutimajžeperíodičnimizabohnerom AT slûsarčukvû majžeperíodičnírozvâzkinelíníjnihrívnânʹŝomožutʹnebutimajžeperíodičnimizabohnerom |