Smoothing of the Singularities of Functions Whose Integrals over the Balls on a Sphere are Zero
We study functions defined on a sphere with prickled point whose integrals over all admissible “hemispheres” are equal to zero. A condition is established under which the point is a removable set for this class of functions. It is shown that this condition cannot be omitted or noticeably weakened....
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1979 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507881068036096 |
|---|---|
| author | Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. |
| author_facet | Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. |
| author_sort | Volchkov, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:47:54Z |
| description | We study functions defined on a sphere with prickled point whose integrals over all admissible “hemispheres” are equal to zero. A condition is established under which the point is a removable set for this class of functions. It is shown that this condition cannot be omitted or noticeably weakened. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
Вит. В. Волчков, И. М. Савостьянова (Донец. нац. ун-т)
О СТИРАНИИ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИЙ
С НУЛЕВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ПО ШАРАМ НА СФЕРЕ
We study functions on a sphere with pricked point whose integrals over all admissible “hemispheres” are equal to zero. A
condition is established under which the point is a removable set for this class of functions. It is shown that this condition
cannot be omitted or substantially weakened.
Вивчаються функцiї на сферi з виколотою точкою, що мають нульовi iнтеграли по всiх припустимих „пiвсферах”.
Знайдено умову, за якої точка є усувною множиною для такого класу функцiй. Показано, що цю умову не можна
вiдкинути або суттєво полiпшити.
1. Введение. Одной из интересных проблем теории отображений, привлекающей внимание
широкого круга специалистов, является проблема „устранимости”, которая состоит в следую-
щем. ПустьM и N — многообразия, D — область вM и E ⊂ D — замкнутое относительно D
множество. Возникает вопрос: в каком случае любое отображение f : D \E → N из заданного
класса можно продолжить до отображения f : D → N с сохранением класса? Если указанное
продолжение существует, то множество E называют устранимым множеством в рассматрива-
емом классе отображений.
Проблема устранимости исследовалась многими авторами в различных постановках. На-
пример, известны соответствующие результаты в многомерном комплексном анализе, теории
квазиконформных отображений и их обобщений, теории гармонических функций и других
областях (см. [1 – 5]). В последние годы активно развиваются геометрические аспекты теории
периодичности в среднем на однородных пространствах (см. [6 – 9]). Однако результатов по
проблеме устранимости здесь получено мало. Все известные случаи относятся, в основном, к
евклидову пространству и касаются лишь функций специального профиля (радиальные функ-
ции и их обобщения) (см. [7], гл. 3.2, [10], теорема 4).
В данной работе изучаются функции на сфере с выколотой точкой, имеющие нулевые
интегралы по всем допустимым „полусферам”. Найдено условие, при котором точка является
устранимым множеством для такого класса функций. Показано также, что это условие нельзя
опустить или существенно улучшить.
2. Формулировка основного результата. Пусть S2 = {ξ ∈ R3 : |ξ| = 1}, ξ1, ξ2, ξ3 —
декартовы координаты точки ξ ∈ S2, S = S2 \ (0, 0,−1), S ′ = S \ (0, 0, 1). Положим
Ceven(S ′) =
{
f ∈ C(S ′) : f(−ξ) = f(ξ) ∀ξ ∈ S ′
}
.
Обозначим через SO(3) группу вращений пространства R3. Определим класс F равенством
F =
f ∈ C(S) :
∫
τH
f(ξ)dξ = 0 ∀τ ∈ SO(3) : τH ⊂ S
,
где H = {ξ ∈ S2 : ξ3 ≥ 0}, dξ — элемент площади на сфере.
c© ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА, 2015
272 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
О СТИРАНИИ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИЙ С НУЛЕВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ПО ШАРАМ НА СФЕРЕ 273
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 1. (i) Пусть f ∈ F и
f(ξ) = o
(
1
(1 + ξ3)3/2
)
при ξ → (0, 0,−1). (1)
Тогда f ∈ Ceven(S ′).
(ii) Существует функция f ∈ F \ Ceven(S ′) такая, что
f(ξ) = O
(
1
(1 + ξ3)3/2
)
при ξ → (0, 0,−1).
Теорема 1 показывает, что точка (0, 0,−1) является устранимым множеством для функций
класса F при выполнении условия (1). Таким образом, любая функция f ∈ F , удовлетворяю-
щая (1), имеет нулевые интегралы по всем полусферам на S2. Интегральное преобразование,
ставящее в соответствие функции f ∈ C(S2) ее интегралы по всевозможным полусферам, вве-
дено П. Функом в [11]. Вопросы, связанные с обращением преобразования Функа, изучались в
[11 – 13]. Отметим также, что в [12] найдены образы различных функциональных пространств
под действием указанного преобразования.
3. Вспомогательные утверждения. Будем использовать следующие стандартные обозна-
чения (см. [14]): N, Z, Z+ — множества натуральных, целых и целых неотрицательных чисел
соответственно,
(m
n
)
— биномиальные коэффициенты, Γ — гамма-функция, (z)j =
Γ(z + j)
Γ(z)
,
j ∈ Z+, — символ Похгаммера, F (a, b; c; z) — гипергеометрическая функция Гаусса, Pµν —
функция Лежандра первого рода на (−1, 1), т. е.
Pµν (x) =
2µ
√
π
(1− x2)µ/2
F
(
−ν + µ
2
,
1 + ν − µ
2
;
1
2
;x2
)
Γ
(
1− ν − µ
2
)
Γ
(
1 +
ν − µ
2
) − 2xF
(
1− ν − µ
2
, 1 +
ν − µ
2
;
3
2
;x2
)
Γ
(
1 + ν − µ
2
)
Γ
(
−ν + µ
2
)
.
Из этого определения Pµν следует формула
Pµν (x) cos(π(ν + µ))− Pµν (−x) =
=
2µ+2√π cos2
(π
2
(ν + µ)
)
Γ
(
1 + ν − µ
2
)
Γ
(
−ν + µ
2
) xF
(
1− ν − µ
2
,
ν − µ
2
+ 1;
3
2
;x2
)
(1− x2)µ/2
−
−
2µ+1√π sin2
(π
2
(ν + µ)
)
Γ
(
1− ν − µ
2
)
Γ
(
1 +
ν − µ
2
) F
(
−ν + µ
2
,
1 + ν − µ
2
;
1
2
;x2
)
(1− x2)µ/2
. (2)
В частности,
Pµν (x)(−1)ν+µ = Pµν (−x) при ν + µ ∈ Z+. (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
274 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
Лемма 1. Пусть k, n ∈ Z+, k > 2n. Тогда
P−k2n (x) = (1− x)k/2
2n∑
p=0
γk,n,p(1 + x)p−k/2, (4)
где
γk,n,p =
(k − 2n)2n(−2n)p(2n+ 1)p
(k + 2n)!(1− k)pp!2p
.
Доказательство. Согласно [14] (гл. 3, п. 3.4 (6)) имеем
P−k2n (x) =
1
k!
(
1− x
1 + x
)k/2
F
(
−2n, 2n+ 1; k + 1;
1− x
2
)
=
=
1
k!
(
1− x
1 + x
)k/2 2n∑
j=0
(−1)j(−2n)j(2n+ 1)j
(1 + k)jj!2j
(x− 1)j =
=
1
k!
(1− x)k/2
2n∑
p=0
2n∑
j=p
(−2n)j(2n+ 1)j
(1 + k)jj!
(
j
p
) (−1)p
2p
(1 + x)p−k/2. (5)
Поскольку (z)p+q = (z)p(z + p)q, внутренняя сумма в (5) преобразуется к виду
2n∑
j=p
(−2n)j(2n+ 1)j
(1 + k)jj!
(
j
p
)
=
2n−p∑
q=0
(−2n)p+q(2n+ 1)p+q
(1 + k)p+qp!q!
=
=
(−2n)p(2n+ 1)p
(1 + k)pp!
2n−p∑
q=0
(−2n+ p)q(2n+ 1 + p)q
(1 + k + p)qq!
. (6)
Усеченный гипергеометрический ряд Гаусса в (6) выражается через обобщенную гипергеомет-
рическую функцию 3F2 по формуле
2n−p∑
q=0
(−2n+ p)q(2n+ 1 + p)q
(1 + k + p)qq!
=
=
(4n+ 1)!
(2n− p)!(2n+ p+ 1)!
3F2
p− 2n, 2n+ 1 + p, k + 2n+ 1; 1
k + p+ 1, 2n+ p+ 2
(см. [14], гл. 4, п. 4.5). Тогда, используя равенство
3F2
−N, a, b; 1
c, 1 + a+ b− c−N
=
(c− a)N (c− b)N
(c)N (c− a− b)N
(см. [15], гл. 7, п. 7.4.4 (88)), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
О СТИРАНИИ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИЙ С НУЛЕВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ПО ШАРАМ НА СФЕРЕ 275
2n−p∑
q=0
(−2n+ p)q(2n+ 1 + p)q
(1 + k + p)qq!
=
(4n+ 1)!
(2n− p)!(2n+ p+ 1)!
(k − 2n)2n−p(p− 2n)2n−p
(1 + k + p)2n−p(−4n− 1)2n−p
.
Учитывая, что
(−z)j(−1)j =
Γ(z + 1)
Γ(z + 1− j)
,
отсюда находим
2n−p∑
q=0
(−2n+ p)q(2n+ 1 + p)q
(1 + k + p)qq!
=
(k − p− 1)!(k + p)!
(k + 2n)!(k − 2n− 1)!
. (7)
Комбинируя (5), (6) и (7), приходим к (4).
Лемма 2. Пусть
am,n(x) = (x+ 2n−m)m−1(x+ 2n− 1)m−1, m, n = 1, . . . , p, p ≥ 2,
4p(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1,1(x) a1,2(x) . . . a1,p(x)
a2,1(x) a2,2(x) . . . a2,p(x)
. . . . . . . . . . . .
ap,1(x) ap,2(x) . . . ap,p(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Тогда
4p(x) =
p−1∏
j=1
(
p−j+1∏
n=2
γn(x+ 2j − 2)
)
, (8)
где
γn(x) = 2(n− 1)(2x+ 2n− 1).
Доказательство. Вычтем из (j+1)-й строки определителя4p(x) j-ю строку, умноженную
на (x− j + 1)(x+ j), где j = p− 1, p− 2, . . . , 1. Учитывая, что
aj+1,n(x)− aj,n(x)(x− j + 1)(x+ j) = aj,n(x)γn(x),
имеем
4p(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 . . . 1
0 γ2(x) γ3(x) . . . γp(x)
0 a2,2(x)γ2(x) a2,3(x)γ3(x) . . . a2,p(x)γp(x)
0 a3,2(x)γ2(x) a3,3(x)γ3(x) . . . a3,p(x)γp(x)
. . . . . . . . . . . . . . .
0 ap−1,2(x)γ2(x) ap−1,3(x)γ3(x) . . . ap−1,p(x)γp(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
276 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 . . . 1
a2,2(x) a2,3(x) . . . a2,p(x)
a3,2(x) a3,3(x) . . . a3,p(x)
. . . . . . . . . . . .
ap−1,2(x) ap−1,3(x) . . . ap−1,p(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
p∏
n=2
γn(x).
Поскольку am,n(x+ 2) = am,n+1(x), отсюда получаем соотношение
4p(x) = 4p−1(x+ 2)
p∏
n=2
γn(x),
которое влечет равенство (8).
Обозначим через [x] целую часть числа x ∈ R.
Лемма 3. Пусть k ∈ N, k ≥ 3 и
lim
x→−1+0
(1 + x)3/2
[(k−1)/2]∑
n=1
cnP
−k
2n (x) = 0 (9)
для некоторых констант cn ∈ C. Тогда все cn равны нулю.
Доказательство. По лемме 1 имеем
(1 + x)3/2
[(k−1)/2]∑
n=1
cnP
−k
2n (x) = (1− x)k/2
[(k−1)/2]∑
n=1
2n∑
p=0
cnγk,n,p(1 + x)p+(3−k)/2 =
= (1− x)k/2
(
2[(k−1)/2]∑
p=1
(
[(k−1)/2]∑
n≥p/2
cnγk,n,p
)
1
(1 + x)(k−3)/2−p
+
1
(1 + x)(k−3)/2
(k−3)/2∑
n=1
cnγk,n,0
)
.
Тогда из условия (9) заключаем, что числа cn удовлетворяют системе линейных уравнений
(k−3)/2∑
n=1
cnγk,n,0 = 0,
(k−3)/2∑
n≥p/2
cnγk,n,p = 0, 1 ≤ p ≤
[
k − 3
2
]
.
Полагая
ηk,p =
(−1)p
(1− k)pp!2p
,
видим, что определитель этой системы равен
γk,1,0 γk,2,0 . . . γk,[(k−1)/2],0 ηk,0 ηk,1 . . . ηk,[(k−3)/2] 4[(k−1)/2](2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
О СТИРАНИИ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИЙ С НУЛЕВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ПО ШАРАМ НА СФЕРЕ 277
Указанное произведение отлично от нуля на основании леммы 2. Отсюда cn = 0 для любого
n = 1, . . . ,
[
k − 1
2
]
.
Введем сферические координаты ϕ, θ на S2 следующим образом:
ξ1 = sin θ sinϕ, ξ2 = sin θ cosϕ, ξ3 = cos θ, ϕ ∈ (0, 2π), θ ∈ (0, π).
Поставим в соответствие функции f ∈ C(S) ряд Фурье
f(ξ) ∼
∑
k∈Z
fk(ξ),
где
fk(ξ) = fk(θ)e
ikϕ,
fk(θ) =
1
2π
2π∫
0
f(sin θ sinϕ, sin θ cosϕ, cos θ)e−ikϕdϕ.
Лемма 4. Пусть функция f принадлежит C(S). Тогда для того чтобы функция f при-
надлежала F , необходимо и достаточно, чтобы для любого k ∈ Z имело место равенство
fk(ξ) =
∞∑
n=1
cn,kP
−k
2n (cos θ)eikϕ, cn,k ∈ C, (10)
где ряд (10) сходится в пространстве распределений D′(S).
Доказательство. Из [7] (теорема 2.3.3) следует, что функция f принадлежит F в том и
только в том случае, когда для любого k ∈ Z
fk(ξ) =
∑
ν∈Z
cν,kP
−|k|
ν (cos θ)eikϕ, cn,k ∈ C, (11)
где Z = {ν > 1 : P−1ν (0) = 0} и ряд (11) сходится в D′(S). Учитывая, что
P−1ν (0) =
1
2
√
π
sin
(π
2
ν
) Γ
(ν
2
)
Γ
(
ν + 3
2
)
(см. [14], гл. 3, п. 3.4 (20)), получаем требуемое.
4. Доказательство теоремы 1. Из (2), леммы 4 и асимптотического равенства
P−32 (x) ∼
√
2
30(1 + x)3/2
, x→ −1 + 0
(см. [14], гл. 3, п. 3.9.2 (14)) следует, что всем требованиям утверждения (ii) удовлетворяет
функция
ξ → P−32 (ξ3)
(ξ2 + iξ1)
3
(1− ξ23)3/2
, ξ ∈ S.
Докажем первое утверждение. Пусть f принадлежит F и выполнено условие (2). Положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
278 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
ταξ = (ξ1 cosα− ξ2 sinα, ξ1 sinα+ ξ2 cosα, ξ3).
Используя формулу
fk(ξ) =
1
2π
2π∫
0
f(ταξ)e
ikαdα, k ∈ Z, (12)
получаем
(1 + ξ3)
3/2|fk(ξ)| ≤ sup
α∈[0,2π]
(1 + (ταξ)3)
3/2|f(ταξ)|,
откуда
lim
ξ3→−1
(1 + ξ3)
3/2fk(ξ) = 0. (13)
Далее, лемма 4 и равенства (3), (12) показывают, что fk ∈ Ceven(S ′) при |k| ≤ 2. Аналогично,
если |k| ≥ 3, то для некоторых констант cn функция
Φ(ξ) = fk(ξ)−
[(|k|−1)/2]∑
n=1
cnP
−|k|
2n (cos θ)eikϕ
является четной в S ′. Тогда
lim
ξ3→−1
Φ(ξ)(1− ξ23)3/2 = lim
ξ3→1
Φ(ξ)(1− ξ23)3/2 = 0
(см. [12], [14], гл. 3, п. 3.9.2 (8)). Отсюда и из (13) делаем вывод, что
lim
ξ3→−1
(1 + ξ3)
3/2
[(|k|−1)/2]∑
n=1
cnP
−|k|
2n (ξ3) = 0.
Теперь по лемме 3 все cn равны нулю и fk ∈ Ceven(S ′) для любого k ∈ Z. Это влечет
утверждение (i). Таким образом, теорема 1 доказана.
1. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. – М.: Наука, 1985. – Т. 2. – 464 с.
2. Сычев А. В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. – Новосибирск: Наука, 1983. – 152 с.
3. Axler S., Bourdon P., Ramey W. Harmonic function theory. – New York: Springer, 1992. – 234 p.
4. Маркушевич А. И. Избранные главы теории аналитических функций. – М.: Наука, 1976. – 192 с.
5. Трохимчук Ю. Ю. Непрерывные отображения и условия моногенности. – М.: Физматгиз, 1963. – 212 с.
6. Helgason S. Integral geometry and Radon transforms. – New York: Springer, 2010. – 301 p.
7. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2003. – 454 p.
8. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg
group. – London: Springer, 2009. – 671 p.
9. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Offbeat integral geometry on symmetric spaces. – Basel: Birkhäuser, 2013. – 592 p.
10. Волчков В. В. Решение проблемы носителя для некоторых классов функций // Мат. сб. – 1997. – 188, № 9. –
С. 13 – 30.
11. Funk P. Über eine geometrische Anwendung der Abelschen Integralgleichung // Math. Ann. – 1916. – 77. –
P. 129 – 135.
12. Rubin B. Inversion and characterization of the hemispherical transform // J. D’Analyse Math. – 1999. – 77. –
P. 105 – 128.
13. Campi S. On the reconstruction of a star-shaped body from its “half-volumes” // J. Austral. Math. Soc. (Ser. A). –
1984. – 37. – P. 243 – 257.
14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие транcцендентные функции. – М.: Наука, 1973. – Т. 1. – 296 с.
15. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – М.: Наука,
1986. – 800 c.
Получено 16.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1979 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:21Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fd/a5a61b84374d757dce3c58a311beb3fd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19792019-12-05T09:47:54Z Smoothing of the Singularities of Functions Whose Integrals over the Balls on a Sphere are Zero O стирании особенностей функций с нулевыми интегралами по шарам на сфере Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. We study functions defined on a sphere with prickled point whose integrals over all admissible “hemispheres” are equal to zero. A condition is established under which the point is a removable set for this class of functions. It is shown that this condition cannot be omitted or noticeably weakened. Вивчаються Функції на сФєрі з виколотою точкою, що мають нульові інтеграли по всіх припустимих „півсферах". Знайдено умову, за якої точка є усувною множиною для такого класу функцій. Показано, що цю умову не можна відкинути або суттєво поліпшити. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1979 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 2 (2015); 272-278 Український математичний журнал; Том 67 № 2 (2015); 272-278 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1979/978 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1979/979 Copyright (c) 2015 Volchkov V. V.; Savost’yanova I. M. |
| spellingShingle | Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Smoothing of the Singularities of Functions Whose Integrals over the Balls on a Sphere are Zero |
| title | Smoothing of the Singularities of Functions Whose Integrals over the Balls on a Sphere are Zero |
| title_alt | O стирании особенностей функций с нулевыми интегралами по шарам на сфере |
| title_full | Smoothing of the Singularities of Functions Whose Integrals over the Balls on a Sphere are Zero |
| title_fullStr | Smoothing of the Singularities of Functions Whose Integrals over the Balls on a Sphere are Zero |
| title_full_unstemmed | Smoothing of the Singularities of Functions Whose Integrals over the Balls on a Sphere are Zero |
| title_short | Smoothing of the Singularities of Functions Whose Integrals over the Balls on a Sphere are Zero |
| title_sort | smoothing of the singularities of functions whose integrals over the balls on a sphere are zero |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1979 |
| work_keys_str_mv | AT volchkovvv smoothingofthesingularitiesoffunctionswhoseintegralsovertheballsonaspherearezero AT savostyanovaim smoothingofthesingularitiesoffunctionswhoseintegralsovertheballsonaspherearezero AT volčkovvitv smoothingofthesingularitiesoffunctionswhoseintegralsovertheballsonaspherearezero AT savostʹânovaim smoothingofthesingularitiesoffunctionswhoseintegralsovertheballsonaspherearezero AT volčkovvitv smoothingofthesingularitiesoffunctionswhoseintegralsovertheballsonaspherearezero AT savostʹânovaim smoothingofthesingularitiesoffunctionswhoseintegralsovertheballsonaspherearezero AT volchkovvv ostiraniiosobennostejfunkcijsnulevymiintegralamipošaramnasfere AT savostyanovaim ostiraniiosobennostejfunkcijsnulevymiintegralamipošaramnasfere AT volčkovvitv ostiraniiosobennostejfunkcijsnulevymiintegralamipošaramnasfere AT savostʹânovaim ostiraniiosobennostejfunkcijsnulevymiintegralamipošaramnasfere AT volčkovvitv ostiraniiosobennostejfunkcijsnulevymiintegralamipošaramnasfere AT savostʹânovaim ostiraniiosobennostejfunkcijsnulevymiintegralamipošaramnasfere |