Well-Posed Solvability of a Nonlocal Boundary-Value Problem for the Systems of Hyperbolic Equations with Impulsive Effects
We consider a nonlocal boundary-value problem for a system of hyperbolic equations with impulsive effects. The relationship is established between the well-posed solvability of the nonlocal boundary-value problem for a system of hyperbolic equations with impulsive effects and the well-posed solvabil...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1982 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507886328741888 |
|---|---|
| author | Assanova, A. T. Асанова, А. Т. Асанова, А. Т. |
| author_facet | Assanova, A. T. Асанова, А. Т. Асанова, А. Т. |
| author_sort | Assanova, A. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:08Z |
| description | We consider a nonlocal boundary-value problem for a system of hyperbolic equations with impulsive effects. The relationship is established between the well-posed solvability of the nonlocal boundary-value problem for a system of hyperbolic equations with impulsive effects and the well-posed solvability of a family of two-point boundary-value problems for a system of ordinary differential equations with impulsive effects. Sufficient conditions for the existence of a unique solution of the family of two-point boundary-value problems for a system of ordinary differential equations with impulsive effects are obtained by method of introduction of functional parameters. The algorithms are proposed for finding the solutions. The necessary and sufficient conditions of the well-posed solvability of a nonlocal boundary-value problem for a system of hyperbolic equations with impulsive effects are established in the terms of the initial data. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
А. Т. Асанова
(Ин-т математики и мат. моделирования М-ва образования и науки Республики Казахстан, Алматы)
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
We consider a nonlocal boundary-value problem for a system of hyperbolic equations with impulsive effects. The relationship
between the well-posed solvability of the nonlocal boundary-value problem with impulsive effects for a system of hyperbolic
equations and the well-posed solvability of a family of two-point boundary-value problems with impulsive effects for a
system of ordinary differential equations is established. Sufficient conditions for the existence of a unique solution of a
family of two-point boundary-value problems with impulsive effects for a system of ordinary differential equations are
obtained by method of introduction of functional parameters. The algorithms for finding its solutions are proposed. The
necessary and sufficient conditions of the well-posed solvability of a nonlocal boundary-value problem for a system of
hyperbolic equations with impulsive effects are established in the terms of the initial data.
Встановлено взаємозв’язок мiж коректною розв’язнiстю нелокальної крайової задачi з iмпульсним впливом для
системи гiперболiчних рiвнянь i коректною розв’язнiстю сiм’ї двоточкових крайових задач з iмпульсним впливом
для системи звичайних диференцiальних рiвнянь. На основi методу введення функцiональних параметрiв отримано
достатнi умови iснування єдиного розв’язку сiм’ї двоточкових крайових задач з iмпульсним впливом для системи
звичайних диференцiальних рiвнянь i запропоновано алгоритми знаходження її розв’язкiв. Одержано необхiднi
та достатнi умови коректної розв’язностi нелокальної крайової задачi для системи гiперболiчних рiвнянь другого
порядку с iмпульсним впливом в термiнах вихiдних даних.
Рассматривается нелокальная краевая задача для системы гиперболических уравнений второго
порядка с импульсными воздействиями в фиксированные моменты времени на прямоугольнике
Ω̄ = [0, T ]× [0, ω]
∂2u
∂t∂x
= A(t, x)
∂u
∂x
+B(t, x)
∂u
∂t
+ C(t, x)u+ f(t, x), t 6= ti, (1)
u(t, 0) = ψ(t), t ∈ [0, T ], (2)
P (x)u(0, x) + S(x)u(T, x) = ϕ0(x), x ∈ [0, ω], (3)
∂u(ti + 0, x)
∂x
− ∂u(ti − 0, x)
∂x
= Ui(x)
∂u(ti + 0, x)
∂x
+ Vi(x)
∂u(ti − 0, x)
∂x
+ ϕi(x), i = 1, k,
(4)
где u = col(u1, u2, . . . , un), (n×n)-матрицы A(t, x), B(t, x), C(t, x) и n-вектор-функция f(t, x)
непрерывны на Ω̄, (n×n)-матрицы Vj(x), Uj(x) и n-вектор-функции ϕj(x), j = 1, k, непрерыв-
ны на [0, ω], n-вектор-функция ψ(t) непрерывно дифференцируема на [0, T ], (n× n)-матрицы
P (x), S(x) и n-вектор-функция ϕ0(x) непрерывно дифференцируемы на [0, ω], 0 < t1 < t2 <
. . . < tk < T,
c© А. Т. АСАНОВА, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3 291
292 А. Т. АСАНОВА
‖u(t, x)‖ = max
i=1,n
|ui(t, x)|, ‖A(t, x)‖ = max
i=1,n
n∑
j=1
|aij(t, x)|.
Данные задачи удовлетворяют условию согласования: P (0)ψ(0) + S(0)ψ(T ) = ϕ0(0).
Обозначим t0 = 0, tk+1 = T, Ωi = [ti−1, ti)× [0, ω], i = 1, k + 1, т. е. Ω̄ =
⋃k+1
i=1
Ωi.
Пусть PC(Ω̄, {ti}ki=1, R
n) — пространство кусочно-непрерывных на Ω̄ вектор-функций
u(t, x) с возможными разрывами на линиях t = ti, i = 1, k, и нормой
‖u‖1 = max
i=1,k+1
sup
(t,x)∈Ωi
‖u(t, x)‖.
Функция u(t, x) ∈ PC(Ω̄, {ti}ki=1, R
n), имеющая частные производные
∂u(t, x)
∂x
∈ PC(Ω̄, {ti}ki=1, R
n),
∂u(t, x)
∂t
∈ PC(Ω̄, {ti}ki=1, R
n),
∂2u(t, x)
∂t∂x
∈ PC(Ω̄, {ti}ki=1, R
n),
называется решением задачи (1) – (4), если она удовлетворяет системе (1) для всех (t, x) ∈ Ω̄,
кроме линий t = ti, i = 1, k, краевым условиям (2), (3) и условиям импульсного воздействия в
фиксированные моменты (4).
Задача (1) – (4) является нелокальной краевой задачей: задается значение решения на харак-
теристике x = 0, дается линейная комбинация значений искомой функции на характеристиках
t = 0, t = T, а также условие возможных разрывов производной по x решения в фиксиро-
ванные моменты времени на характеристиках t = ti, i = 1, k. Нелокальная краевая задача в
такой постановке рассматривается впервые. Некоторые классы нелокальных краевых задач с
импульсными воздействиями для гиперболических уравнений изучались в работах [1 – 5].
Для исследования и решения задачи применяется метод введения функциональных парамет-
ров [5 – 12], являющийся обобщением метода параметризации [13 – 14] на уравнения в частных
производных. Сначала нелокальная краевая задача для системы гиперболических уравнений
с импульсными воздействиями (1) – (4) путем введения новых неизвестных функций сводится
к эквивалентной задаче, состоящей из семейства двухточечных краевых задач с импульсными
воздействиями и функциональных соотношений. Устанавливается взаимосвязь между коррект-
ной разрешимостью нелокальной краевой задачи с импульсными воздействиями для системы
гиперболических уравнений и корректной разрешимостью семейства двухточечных краевых
задач с импульсными воздействиями для системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. На основе метода введения функциональных параметров получены достаточные условия
существования единственного решения семейства двухточечных краевых задач с импульсны-
ми воздействиями для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и предложены
алгоритмы нахождения его решений. Результаты применены к нелокальной краевой задаче для
системы гиперболических уравнений второго порядка с импульсными воздействиями. Установ-
лены необходимые и достаточные условия существования единственного решения нелокальной
краевой задачи для системы гиперболических уравнений второго порядка с импульсными воз-
действиями в терминах исходных данных.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ . . . 293
Результаты в случае, когда Ui = 0, i = 1, k, докладывались на международной конференции
„Боголюбовские чтения-2013” в Севастополе.
Введем новые неизвестные функции v(t, x) =
∂u(t, x)
∂x
, w(t, x) =
∂u(t, x)
∂t
и задачу (1) – (4)
сведем к эквивалентной задаче
∂v
∂t
= A(t, x)v + F (t, x, w(t, x), u(t, x)), t 6= ti, x ∈ [0, ω], (5)
P (x)v(0, x) + S(x)v(T, x) = Φ(x, u), x ∈ [0, ω], (6)
v(ti + 0, x)− v(ti − 0, x) = Ui(x)v(ti + 0, x) + Vi(x)v(ti − 0, x) + ϕi(x), i = 1, k, (7)
u(t, x) = ψ(t) +
x∫
0
v(t, ξ)dξ, w(t, x) = ψ̇(t) +
x∫
0
∂v(t, ξ)
∂t
dξ, (t, x) ∈ Ω̄, (8)
где
F (t, x, w(t, x), u(t, x)) = B(t, x)w(t, x) + C(t, x)u(t, x) + f(t, x),
Φ(x, u) = ϕ′0(x)− P ′(x)u(0, x)− S′(x)u(T, x).
В задаче (5) – (8) условие u(t, 0) = ψ(t) учтено в соотношениях (8). Условие (6) эквивалент-
но условию (3) и условию согласования.
Тройка {v(t, x), u(t, x), w(t, x)} кусочно-непрерывных на Ω̄ функций называется решением
задачи (5) – (8), если функция v(t, x) имеет кусочно-непрерывную производную относительно
t на Ω̄ и удовлетворяет однопараметрическому семейству краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями (5) – (7), где функции u(t, x) и
w(t, x) связаны с v(t, x) и
∂v(t, x)
∂t
функциональными соотношениями (8).
Задача (5) – (7) при фиксированных u(t, x), w(t, x) требует специального изучения. Поэтому
рассмотрим семейство краевых задач для системы дифференциальных уравнений с импульс-
ными воздействиями
∂v
∂t
= A(t, x)v + F (t, x), t 6= ti, x ∈ [0, ω], (9)
P (x)v(0, x) + S(x)v(T, x) = Φ(x), x ∈ [0, ω], (10)
v(ti + 0, x)− v(ti − 0, x) = Ui(x)v(ti + 0, x) + Vi(x)v(ti − 0, x) + ϕi(x), i = 1, k, (11)
где v = col(v1, v2, . . . , vn), n-вектор-функция F (t, x) непрерывна на Ω̄, n-вектор-функция Φ(x)
непрерывна на [0, ω], t0 < t1 < t2 < . . . < tk < tk+1.
Функция v(t, x)∈PC(Ω̄, {ti}ki=1, R
n), имеющая производную
∂v(t, x)
∂t
∈PC(Ω, {ti}ki=1, R
n),
называется решением семейства краевых задач с импульсными воздействиями (9) – (11), если
она удовлетворяет системе (9) при всех (t, x) ∈ Ω̄, кроме линий t = ti, i = 1, k, краевому
условию (10) и условиям импульсного воздействия (11) при всех x ∈ [0, ω].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
294 А. Т. АСАНОВА
При фиксированном x ∈ [0, ω] задача (9) – (11) является линейной двухточечной краевой
задачей для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсными воздей-
ствиями. Меняя переменную x на [0, ω], получаем семейство двухточечных краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями.
Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения с импульсными воздей-
ствиями исследована многими авторами. Различными методами и подходами были получены
условия существования решения рассматриваемых задач в различных терминах [15 – 18]. Об-
зор, библиографию и подробный анализ применяемых методов см. в [15].
Определение 1. Семейство краевых задач с импульсными воздействиями (9) – (11) называ-
ется корректно разрешимым, если для произвольных F (t, x) ∈ C(Ω̄, Rn), Φ(x) ∈ C([0, ω], Rn),
ϕi(x), i = 1, k, существует единственное решение v(t, x) и справедлива оценка
max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖v(t, x)‖ ≤ K(x) max
(
max
t∈[0,T ]
‖F (t, x)‖, ‖Φ(x)‖,max
i=0,k
‖ϕi(x)‖
)
, (12)
где положительная функция K(x) не зависит от F (t, x), Φ(x) и ti, i = 0, k + 1.
Введем обозначения Ω̄η = [0, T ]×[0, η], Ω̄η =
⋃k+1
i=1
Ωi,η,Ωi,η = [ti−1, ti)×[0, η], i = 1, k + 1,
‖u‖1,η = maxi=1,k+1 sup(t,x)∈Ωi,η ‖u(t, x)‖.
Определение 2. Нелокальная краевая задача с импульсными воздействиями (1) – (4) на-
зывается корректно разрешимой, если для любых заданных f(t, x), ψ(t), ϕi(x), i = 0, k, она
имеет единственное решение u(t, x), которое для любого η ∈ [0, ω] на Ω̄η удовлетворяет
неравенству
max
(
‖u‖1,η,
∣∣∣∣∣∣∣∣∂u∂x
∣∣∣∣∣∣∣∣
1,η
,
∣∣∣∣∣∣∣∣∂u∂t
∣∣∣∣∣∣∣∣
1,η
)
≤ K̃ max
(
‖f‖1,η, max
t∈[0,T ]
‖ψ(t)‖,max
i=0,k
max
x∈[0,η]
‖ϕi(x)‖
)
, (13)
где постоянная K̃ не зависит от f(t, x), ψ(t), ϕi(x), i = 0, k, и η ∈ [0, ω].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Нелокальная краевая задача с импульсными воздействиями (1) – (4) корректно
разрешима тогда и только тогда, когда корректно разрешимо семейство краевых задач с
импульсными воздействиями (9) – (11).
Доказательство. Пусть семейство краевых задач с импульсными воздействиями (9) – (11)
корректно разрешимо. Покажем корректную разрешимость задачи (1) – (4). Из эквивалентности
задач (1) – (4) и (5) – (8) достаточно доказать корректную разрешимость задачи (5) – (8). Решение
задачи (5) – (8) — тройку функций {v(t, x), u(t, x), w(t, x)} — найдем методом последовательных
приближений. За нулевое приближение по u(t, x), w(t, x) возьмем соответственно ψ(t), ψ̇(t),
а v(0)(t, x) найдем как решение задачи
∂v
∂t
= A(t, x)v +B(t, x)ψ̇(t) + C(t, x)ψ(t) + f(t, x), (t, x) ∈ Ω̄, (14)
P (x)v(0, x) + S(x)v(T, x) = ϕ′0(x)− P ′(x)ψ(0)− S′(x)ψ(T ), x ∈ [0, ω], (15)
v(ti + 0, x)− v(ti − 0, x) = Ui(x)v(ti + 0, x) + Vi(x)v(ti − 0, x) + ϕi(x), i = 1, k. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ . . . 295
По предположению задача (14) – (16) имеет единственное решение v(0)(t, x) и
max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖v(0)(t, x)‖ ≤ K(x) max
(
max
t∈[0,T ]
‖B(t, x)ψ̇(t) + C(t, x)ψ(t) + f(t, x)‖,
‖ϕ′0(x)− P ′(x)ψ(0)− S′(x)ψ(T )‖,max
i=0,k
‖ϕi(x)‖
)
,
max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
∣∣∣∣∣∣∂v(0)(t, x)
∂t
∣∣∣∣∣∣ ≤ ( max
t∈[0,T ]
‖A(t, x)‖K(x) + 1
)
max
(
max
t∈[0,T ]
‖B(t, x)ψ̇(t)+
+C(t, x)ψ(t) + f(t, x)‖, ‖ϕ′0(x)− P ′(x)ψ(0)− S′(x)ψ(T )‖,max
i=0,k
‖ϕi(x)‖
)
.
Пусть известны u(m−1)(t, x), w(m−1)(t, x). Тогда v(m)(t, x) найдем, решая задачу (5) – (7), где
w(t, x) = w(m−1)(t, x), u(t, x) = u(m−1)(t, x), m = 1, 2, . . . .
При найденном v(m)(t, x) следующие приближения по u(t, x), w(t, x) определим из соот-
ношений (8):
u(m)(t, x) = ψ(t) +
x∫
0
v(m)(t, ξ)dξ, w(m)(t, x) = ψ̇(t) +
x∫
0
∂v(m)(t, ξ)
∂t
dξ.
Составим разности ∆v(m)(t, x) = v(m)(t, x)−v(m−1)(t, x),∆u(m)(t, x) = u(m)(t, x)−u(m−1)(t, x),
∆w(m)(t, x) = w(m)(t, x) − w(m−1)(t, x) и для них, использовав корректную разрешимость за-
дачи (9) – (11), установим оценки
max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖∆v(m+1)(t, x)‖, max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
∥∥∥∥∥∂∆v(m+1)(t, x)
∂t
∥∥∥∥∥ ≤
≤ K1(x)K2(x) max
(
max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖∆w(m)(t, x)‖, max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖∆u(m)(t, x)‖
)
, (17)
max
(
max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖∆w(m)(t, x)‖, max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖∆u(m)(t, x)‖
)
≤
≤
x∫
0
max
(
max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖∆v(m)(t, ξ)‖, max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
∣∣∣∣∣∣∂∆v(m)(t, ξ)
∂t
∣∣∣∣∣∣) dξ, (18)
где
K1(x) = max
(
K(x), max
t∈[0,T ]
‖A(t, x)‖K(x) + 1
)
,
K2(x) = max
(
max
t∈[0,T ]
‖B(t, x)‖+ max
t∈[0,T ]
‖C(t, x)‖, ‖P ′(x)‖+ ‖S′(x)‖
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
296 А. Т. АСАНОВА
Отсюда следует основное неравенство
max
(
max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖∆v(m+1)(t, x)‖, max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
∣∣∣∣∣∣∂∆v(m+1)(t, x)
∂t
∣∣∣∣∣∣) ≤
≤ K1(x)K2(x)
x∫
0
max
(
max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖∆v(m)(t, ξ)‖, max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
∣∣∣∣∣∣∂∆v(m)(t, ξ)
∂t
∣∣∣∣∣∣) dξ.
(19)
Из (19) следует равномерная сходимость последовательностей {v(m)(t, x)},
{
∂v(m)(t, x)
∂t
}
в пространстве PC
(
Ω̄, {ti}ki=1, R
n
)
при m → ∞. Тогда равномерная сходимость на Ω̄ по-
следовательностей {u(m)(t, x)}, {w(m)(t, x)} вытекает из (19). При этом предельные функции
v∗(t, x) ∈ PC(Ω̄, {ti}ki=1, R
n),
∂v∗(t, x)
∂t
∈ PC(Ω̄, {ti}ki=1, R
n), u∗(t, x) ∈ PC(Ω̄, {ti}ki=1, R
n),
w∗(t, x) ∈ PC(Ω̄, {ti}ki=1, R
n) и тройка функций {v∗(t, x), u∗(t, x), w∗(t, x)} является решением
задачи (5) – (8). Используя оценки (17) – (19), для η ∈ [0, ω] получаем
max (‖v∗‖1,η, ‖u∗‖1,η, ‖w∗‖1,η) ≤
≤ K̂ max
(
‖f‖1,η, max
t∈[0,T ]
‖ψ(t)‖, max
t∈[0,T ]
‖ψ̇(t)‖, max
x∈[0,η]
‖ϕ′0(x)‖max
i=1,k
max
x∈[0,η]
‖ϕi(x)‖
)
, (20)
где
K̂ = max
(
eK̂1[1+K̂2]ωK̂1[1 + K̂2], 1 + eK̂1[1+K̂2]ωK̂1[1 + K̂2]
)
,
K̂1 = max
x∈[0,ω]
K1(x), K̂2 = max
x∈[0,ω]
K2(x)
и не зависят от f, ψ, ϕi, i = 0, k.
Пусть теперь тройка {ṽ(t, x), ũ(t, x), w̃(t, x)} — решение задачи (4) – (6), где f(t, x) = 0,
ψ(t) = 0, ϕi(x) = 0, i = 0, k, для всех (t, x) ∈ Ω̄. Тогда из корректной разрешимости задачи (9) –
(11) и соотношений (8) вытекают равенства ṽ(t, x) = 0, ũ(t, x) = 0, w̃(t, x) = 0 для всех
(t, x) ∈ Ω̄. Отсюда и из оценки (20) следует корректная разрешимость задачи (1) – (3).
Доказательство корректной разрешимости семейства краевых задач с импульсными воздей-
ствиями (9) – (11) в случае, когда корректно разрешима задача (1) – (4), проводится по схеме
доказательства теоремы 1 из [18] с учетом условия импульсного воздействия (4).
Теорема 1 доказана.
Из теоремы 1 следует эквивалентность корректных разрешимостей задач (1) – (4) и (9) – (11).
Поэтому далее будем исследовать вопросы существования, единственности решения семейства
краевых задач с импульсными воздействиями для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений (9) – (11).
Отметим, что из существования только тривиального решения соответствующей системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (9) – (11) семейства однородных краевых задач
не следует существование единственного решения задачи (9) – (11). Приведем пример.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ . . . 297
Пример. Рассмотрим на [0, 1]× [0, 1] семейство периодических краевых задач для обыкно-
венного дифференциального уравнения с импульсным воздействием
∂v
∂t
= (x− 1/2)v + 1, t 6= 1/2, (9′)
v(0, x) = v(1, x), x ∈ [0, 1], (10′)
v(1/2 + 0, x)− v(1/2− 0, x) = (2− x)v(1/2− 0, x), x ∈ [0, 1]. (11′)
Общее решение соответствующего (9′) однородного уравнения записывается в виде v(t, x) =
= e(x−1/2)tC(x). Из условия (10′) получаем C(x) = ex−1/2C(x). Из условия (11′) имеем
e(x−1/2){1/2+0}C(x)− (3− x)e(x−1/2){1/2−0}C(x) = 0.
Отсюда следует, что C(x) = 0 для всех x ∈ [0, 1], т. е. однородная краевая задача имеет только
тривиальное решение v(t, x) = 0. Задача (9′) – (11′) не имеет решения.
Для исследования и решения семейства краевых задач с импульсными воздействиями при-
меняется метод функциональной параметризации. Суть метода заключается во введении до-
полнительных параметров как значений искомой функции на линиях разбиения области по
переменной t. Исходная задача путем замены переходит к эквивалентной задаче с функцио-
нальными параметрами. Свойства решений переходят в свойства параметров. Разбиение об-
ласти может проводиться равномерно с некоторым шагом h > 0 : Nh = T или неравномерно
путем деления области определенными линиями.
В данной работе разбиение области Ω будет неравномерным, дополнительные параметры
вводятся как значения искомой функции на линиях t = ti, i = 0, k, t0 = 0, tk+1 = T .
С помощью прямых t = ti, i = 1, k, область Ω разбиваем на подобласти Ωi, i = 1, k + 1.
Через vr(t, x) обозначим сужение функции v(t, x) на Ωr, r = 1, k + 1. Введем параметры
µr(x) = vr(tr−1, x), r = 1, k + 1, тогда задача (9) – (11) путем замены неизвестной функции
v(t, x) = ṽr(t, x) + µr(x), (t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1, сводится к следующей эквивалентной
краевой задаче с параметрами:
∂ṽr
∂t
= A(t, x)ṽr +A(t, x)µr(x) + F (t, x), (t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1, (21)
ṽr(tr−1, x) = 0, r = 1, k + 1, (22)
P (x)µ1(x) + S(x)µk+1(x) + S(x) lim
t→T−0
ṽk+1(t, x) = Φ(x), x ∈ [0, ω], (23)
[I − Ui(x)]µi+1(x)− [I + Vi(x)]µi(x) = [I + Vi(x)] lim
t→ti−0
ṽi(t, x) + ϕi(x), i = 1, k. (24)
Решением задачи (21) – (24) является система пар (µ(x), ṽ([t], x)) с элементами µ(x) =
= (µ1(x), µ2(x), . . . , µk+1(x))′, ṽ([t], x) = (ṽ1(t, x), ṽ2(t, x), . . . , ṽk+1(t, x))′, где функции ṽr(t, x)
непрерывны на Ωr, имеют непрерывные частные производные
∂ṽr(t, x)
∂t
на Ωr, r = 1, k + 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
298 А. Т. АСАНОВА
конечный левосторонний предел limt→tr−0 ṽr(t, x), r = 1, k + 1 и при µr(x) = µ∗r(x) удовле-
творяют системе дифференциальных уравнений (21) и условиям (22) – (24).
Задачи (9) – (11) и (21) – (24) эквивалентны в том смысле, что если функция v(t, x) явля-
ется решением задачи (9) – (11), то система пар (µ(x), ṽ([t], x)), где µ(x) = (µ1(x), µ2(x), . . .
. . . , µk+1(x))′, ṽ([t], x) = (ṽ1(t, x), ṽ2(t, x), . . . , ṽk+1(t, x))′, vr(t, x) = v(t, x), (t, x) ∈ Ωr, r =
= 1, k + 1, limt→T−0 vk+1(t, x) = v(T, x), µr(x) = vr(tr−1, x), ṽr(t, x) = vr(t, x) − vr(tr−1, x),
r = 1, k + 1, будет решением задачи (14) – (18), и наоборот, если (µr(x), ṽr(t, x)), r = 1, k + 1, —
решение задачи (21) – (24), то функция v(t, x), определяемая равенствами
v(t, x) = µr(x) + ṽr(t, x), (t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1,
v(T, x) = µk+1(x) + lim
t→T−0
ṽk+1(t, x),
будет решением задачи (9) – (11).
В отличие от задачи (9) – (11) здесь появились начальные условия (22) как значения неиз-
вестной функции на линиях t = tr−1, r = 1, k + 1. При фиксированных µr(x) r = 1, k + 1,
функции ṽr(t, x), r = 1, k + 1, являются решениями задачи Коши на Ωr c условием (22).
Задача Коши (21), (22) эквивалентна интегральному уравнению
ṽr(t, x) =
t∫
tr−1
[
A(τ, x)ṽr(τ, x) +A(τ, x)µr(x) + F (τ, x)
]
dτ. (25)
Вместо ṽr(τ, x) подставим соответствующую правую часть (25) и, повторив этот процесс m
(m = 1, 2, . . .) раз, получим представление функции ṽr(t, x):
ṽr(t, x) = Gm,r(t, x, ṽr) + Fm,r(t, x) +Dm,r(t, x)µr(x), (26)
где
Gm,r(t, x, ṽr) =
t∫
tr−1
A(τ1, x) . . .
τν−2∫
tr−1
A(τm−1, x)
τm−1∫
tr−1
A(τm, x)ṽr(τm, x)dτm . . . dτ1,
Fm,r(t, x) =
t∫
tr−1
F (τ1, x)dτ1 + . . .+
t∫
tr−1
A(τ1, x) . . .
τm−2∫
tr−1
A(τm−1, x)
τm−1∫
tr−1
F (τm, x)dτm . . . dτ1,
Dm,r(t, x) =
t∫
tr−1
A(τ1, x)dτ1 +
t∫
tr−1
A(τ1, x)
τ1∫
tr−1
A(τ2, x)dτ2dτ1 + . . .
. . .+
t∫
tr−1
A(τ1, x) . . .
τm−1∫
tr−1
A(τm, x)dτm . . . dτ1, m = 1, 2, . . . , r = 1, k + 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ . . . 299
Переходя в правой части (26) к пределу при t → tr − 0, находим limt→tr−0 ṽr(t, x), r =
= 1, k + 1, x ∈ [0, ω]. Подставляя их в (23), (24), для неизвестных вектор-функций µr(x),
r = 1, k + 1, получаем систему, состоящую из (k + 1)-го функционального уравнения:
Qm(x)µ(x) = −Fm(x)−Gm(x, ṽ), (27)
где
Qm(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
P (x) 0 0 . . . 0 S(x)[I+Dm,(k+1)(T, x)]
−Ṽm,1(x) I − U1(x) 0 . . . 0 0
0 −Ṽm,2(x) I − U2(x) . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . −Ṽm,k(x) I − Uk(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
I — единичная матрица размерности n× n,
Ṽm,i(x) = [I + Vi(x)] · [I +Dm,i(ti, x)], i = 1, k,
Fm(x) =
(
S(x)Fm,k+1(T, x)− Φ(x),−[I + V1(x)]Fm,1(t1, x)− ϕ1(x), . . . ,
−[I + Vk(x)]Fm,k(tk, x)− ϕk(x)
)′
, Gm(x, ṽ) =
=
(
S(x)Gm,k+1(T, x, ṽk+1),−[I + V1(x)]Gm,1(t1, x, ṽ1), . . . ,−[I + Vk(x)]Gm,k(tk, x, ṽk)
)′
.
Если известны функции µr(x), r = 1, k + 1, то, решая интегральное уравнение (25), нахо-
дим функцию ṽr(t, x) и из системы функций (µr(x) + ṽr(t, x)) получаем решение исходной
задачи. Если известны функции ṽr(t, x), то, решая уравнение (27), находим µr(x) и снова из
системы функций (µr(x) + ṽr(t, x)) получаем решение задачи (9) – (11). Здесь неизвестными
являются как функции µr(x), так и функции ṽr(t, x). Поэтому применяется итерационный
метод и решение функциональных соотношений (25), (27) находится как пределы последова-
тельностей {µ(p)
r (x)}}, {ṽ(p)
r (t, x)}, определяемых по следующему алгоритму:
Шаг 0. Предполагая в правой части (27) ṽr(t, x) = 0 и считая, что матрицаQm(x) обратима
при всех x ∈ [0, ω], из уравнения (27) находим функции µ
(0)
r (x), x ∈ [0, ω], r = 1, k + 1. Из
интегрального уравнения (25), где µr(x) = µ
(0)
r (x), определяем функции ṽ
(0)
r (t, x), (t, x) ∈ Ωr,
r = 1, k + 1.
Шаг 1. Из системы (27), где в правой части ṽr(t, x) = ṽ
(0)
r (t, x), r = 1, k + 1, в силу
обратимости Qm(x) при x ∈ [0, ω] находим µ
(1)
r (x), x ∈ [0, ω], r = 1, k + 1. Из интегрального
уравнения (25), где µr(x) = µ
(1)
r (x), определяем функции ṽ(1)
r (t, x), (t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1.
И т. д.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
300 А. Т. АСАНОВА
Шаг p. Из системы (27), где в правой части ṽr(t, x) = ṽ
(p−1)
r (t, x), r = 1, k + 1, в силу
обратимости Qm(x) при x ∈ [0, ω] находим µ
(p)
r (x), x ∈ [0, ω], r = 1, k + 1. Из интегрального
уравнения (25), где µr(x) = µ
(p)
r (x), определяем функции ṽ(p)
r (t, x), (t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1,
p = 1, 2, . . . .
Применяемый метод делит на две части процесс нахождения неизвестных функций:
1) нахождение введенных функциональных параметров µr(x) из функционального уравне-
ния (27);
2) нахождение неизвестной функции ṽr(t, x) из интегрального уравнения (25).
Возникает вопрос: при каких условиях будет осуществлен и сходиться построенный алго-
ритм, а также будет существовать единственное решение исследуемой задачи (9) – (11)? Ответ
на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 2. Пусть (n(k+ 1)× n(k+ 1))-матрица Qm(x) при некотором m, m ∈ N, обра-
тима для всех x ∈ [0, ω] и выполняются неравенства:
1)
∥∥[Qm(x)]−1
∥∥ ≤ γm(x), γm(x) — положительная непрерывная по x ∈ [0, ω] функция;
2) qm(x) = γm(x) max
(
‖S(x)‖
[
eα(x)(T−tk) − 1 −
m∑
j=1
[α(x)(T − tk)]j
j!
]
,max
i=1,k
‖I + Vi(x)‖ ×
×
[
eα(x)(ti−ti−1) − 1 −
m∑
j=1
[α(x)(ti − ti−1)]j
j!
])
≤ χ < 1, где α(x) = maxt∈[0,T ] ‖A(t, x)‖, χ —
постоянная.
Тогда семейство краевых задач с импульсными воздействиями (9) – (11) имеет единствен-
ное решение v∗(t, x) и справедлива оценка
max
i=1,k+1
sup
t∈[ti−1,ti)
‖v∗(t, x)‖ ≤ [k1(x,m) + k2(x,m)] max
(
max
t∈[0,T ]
‖F (t, x)‖, ‖Φ(x)‖,max
i=0,k
‖ϕi(x)‖
)
,
(28)
где
k1(x,m) =
γm(x)
1− qm(x)
max
(
‖S(x)‖ [α(x)(T − tk)]m
m!
,max
i=1,k
‖I + Vi(x)‖ [α(x)(ti − ti−1)]m
m!
)
×
×k0(x,m) + γm(x) max
{
1 + max
(
‖S(x)‖
m−1∑
j=0
[α(x)(T − tk)]j
j!
(T − tk),
max
i=1,k
‖I + Vi(x)‖
m−1∑
j=0
[α(x)(ti − ti−1)]j
j!
(ti − ti−1)
)}
,
k2(x,m) =
{
max
r=1,k+1
[eα(x)(tr−tr−1) − 1]
γm(x)
1− qm(x)
max
(
‖S(x)‖ [α(x)(T − tk)]m
m!
,
max
i=1,k
‖I + Vi(x)‖ [α(x)(ti − ti−1)]m
m!
)
+ 1
}
k0(x,m),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ . . . 301
k0(x,m) = max
r=1,k+1
[eα(x)(tr−tr−1) − 1]γm(x) max
{
1 + max
(
‖S(x)‖
m−1∑
j=0
[α(x)(T − tk)]j
j!
(T − tk),
max
i=1,k
‖I + Vi(x)‖
m−1∑
j=0
[α(x)(ti − ti−1)]j
j!
(ti − ti−1)
)
+ max
r=1,k+1
eα(x)(tr−tr−1)(tr − tr−1)
}
.
Доказательство теоремы 2 проводится по схеме вышеприведенного алгоритма.
Таким образом, теорема 2 дает достаточные условия существования единственного решения
задачи (9) – (11) в терминах исходных данных: коэффициентной матрицы A(t, x), граничных
матриц S(x), P (x), матриц импульсного воздействия Ui(x), Vi(x) и линий возможных разрывов
t = ti, i = 1, k.
Из теорем 1 и 2 вытекает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть (n(k + 1) × n(k + 1))-матрица Qm(x) при некотором m, m ∈ N, об-
ратима для всех x ∈ [0, ω] и выполняются неравенства из пп. 1, 2 теоремы 2.
Тогда нелокальная краевая задача с импульсными воздействиями (1) – (4) имеет единствен-
ное решение.
Основным условием однозначной разрешимости исследуемых задач является существова-
ние числа m ∈ N, при котором матрица Qm(x) обратима для всех x ∈ [0, ω]. Поскольку
(n(k + 1)× n(k + 1))-матрица Qm(x) имеет специальную блочно-ленточную структуру, спра-
ведливы следующие утверждения.
Лемма 1. Пусть (n × n)-матрицы I − Ui(x)
(
[I + Vi(x)] [I + Dm,i(ti, x)]
)
, i = 1, k,
обратимы для x ∈ [0, ω].
(
n(k + 1) × n(k + 1)
)
-Матрица Qm(x) при некотором m, m ∈ N,
обратима для всех x ∈ [0, ω] тогда и только тогда, когда обратима (n× n)-матрица
Mm(x) = P (x) + S(x)[I +Dm,(k+1)(T, x)]
1∏
s=k
[I − Us(x)]−1[I + Vs(x)] [I +Dm,s(ts, x)]
(
Lm(x) = P (x)
k∏
s=1
{[I + Vs(x)] [I +Dm,s(ts, x)]}−1[I − Us(x)] + S(x)[I +Dm,(k+1)(T, x)]
)
для всех x ∈ [0, ω].
Лемма 2. Если матрицы I − Ui(x) ([I + Vi(x)][I +Dm,i(ti, x)]) , i = 1, k, Mm(x) (Lm(x))
обратимы для всех x ∈ [0, ω], то [Qm(x)]−1 = {gi,j(x)}, i, j = 1, k + 1, где
g1,1(x) = [Mm(x)]−1,
g1,j(x) = −[Mm(x)]−1S(x)[I +Dm,(k+1)(T, x)]×
×
j∏
s=k
[I − Us(x)]−1[I + Vs(x)] [I +Dm,s(ts, x)][I − Uj−1]−1, 1 < j ≤ k + 1,
gr,j(x) = [I − Ur−1(x)]−1 [I + Vr−1(x)] [I +Dm,r−1(tr−1, x)]gr−1,j(x), j 6= r,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
302 А. Т. АСАНОВА
gr,r(x) = [I − Ur−1(x)]−1 [I + Vr−1(x)] [I +Dm,r−1(tr−1, x)]gr−1,r(x)+
+[I − Ur−1(x)]−1, j, r = 2, 3, . . . , k + 1(
gk+1,1(x) = [Lm(x)]−1,
gk+1,2(x) = [Lm(x)]−1P (x){[I + V1(x)] [I +Dm,1(t1, x)]}−1,
gk+1,j(x) = [Lm(x)]−1P (x)
k−1∏
s=1
{[I + Vs(x)] [I +Dm,s(ts, x)]}−1[I − Us(x)], 2 < j ≤ k + 1,
gr,j(x) = {[I + Vr(x)] [I +Dm,r−1(tr, x)]}−1[I − Ur(x)]gr+1,j(x), j 6= r + 1,
gr,r+1(x) = {[I + Vr(x)] [I +Dm,r−1(tr, x)]}−1[I − Ur(x)]gr,r(x)−
−{[I + Vr(x)] [I +Dm,r−1(tr, x)]}−1, j, r = 1, 2, . . . , k
)
.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 4. Если семейство краевых задач с импульсными воздействиями (9) – (11) кор-
ректно разрешимо, то существует m = m(t0, t1, . . . , tk, tk+1), при котором матрица Qm(x) :
Rn(k+1) → Rn(k+1) обратима для всех x ∈ [0, ω] и выполняются неравенства из пп. 1, 2 теоре-
мы 2.
Теорема 5. Нелокальная краевая задача с импульсными воздействиями (1) – (4) корректно
разрешима тогда и только тогда, когда существует такое m = m(t0, t1, . . . , tk, tk+1), при
котором матрица Qm(x) : Rn(k+1) → Rn(k+1) обратима для всех x ∈ [0, ω] и выполняются
неравенства из пп. 1, 2 теоремы 2.
Доказательства лемм 1, 2 и теорем 4, 5 проводятся аналогично схеме доказательства со-
ответствующих лемм и теорем из [6, 9] с учетом неравномерности разбиения области Ω и
импульсных воздействий на решение.
1. Rogovchenko S. P. Periodic Solutions for hyperbolic impulsive systems (in Russian). – Kiev, 1988. – 20 p. – (Preprint /
Ukr. Acad. Sci. Inst. Math.; № 88.3).
2. Perestyuk N. A., Tkach A. B. Periodic solutions for weakly nonlinear partial system with pulse influense // Ukr.
Math. J. – 1997. – 49, № 4. – P. 601 – 605.
3. Bainov D. D., Minchev E., Myshkis A. Periodic boundary-value problems for impulsive hyperbolic systems // Commun.
Appl. Anal. – 1997. – 1, № 4. – P. 1 – 14.
4. Tkach A. B. Numerical-analytic method of finding periodic solutions for systems of partial differential equations with
pulse influence // Nonlinear Oscillations. – 2001. – 4, № 2. – P. 278 – 288.
5. Асанова А. Т. О нелокальной краевой задаче для систем гиперболических уравнений с импульсными воздей-
ствиями // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 3. – С. 315 – 328.
6. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи для систем гипербо-
лических уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 10. – С. 1343 – 1354.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ . . . 303
7. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. О корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для систем гипер-
болических уравнений // Докл. РАН. – 2003. – 391, № 3. – С. 295 – 297.
8. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Периодические и ограниченные на плоскости решения систем гиперболических
уравнений // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 4. – С. 562 – 572.
9. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Корректная разрешимость нелокальных краевых задач для систем гиперболи-
ческих уравнений // Дифференц. уравнения. – 2005. – 41, № 3. – С. 337 – 446.
10. Джумабаев Д. С., Асанова А. Т. Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи
для систем гиперболических уравнений // Доп. НАН України. – 2010. – № 4. – С. 7 – 11.
11. Асанова А. Т. О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем
гиперболических уравнений со смешанной производной // Нелiнiйнi коливання. – 2012. – 15, № 1. – С. 3 – 12.
12. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S. Well-posedness of nonlocal boundary-value problems with integral condition for
the system of hyperbolic equations // J. Math. Anal. and Appl. – 2013. – 402, № 1. – P. 167 – 178.
13. Джумабаев Д. С. Метод параметризации решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений // Вестн. АН КазССР. – 1988. – № 1. – С. 48 – 52.
14. Джумабаев Д. С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного диффе-
ренциального уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1989. – 29, № 1. – С. 50 – 66.
15. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. – Киев:
Вища шк., 1987. – 287 с.
16. Bainov D. D., Simeonov P. S. Systems with impulse effect: stability, theory and applications. – New York etc.: Halsted
Press, 1989. – 345 p.
17. Hu S., Lakshmikantham V. Periodic boundary-value problems for second order impulsive differential systems //
Nonlinear Anal. – 1989. – 13, № 1. – P. 75 – 85.
18. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore: World
Sci., 1989. – 434 p.
Получено 27.12.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1982 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:26Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9c/67e779af2d928134d9de96c59609359c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19822019-12-05T09:48:08Z Well-Posed Solvability of a Nonlocal Boundary-Value Problem for the Systems of Hyperbolic Equations with Impulsive Effects О корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений с импульсными воздействиями Assanova, A. T. Асанова, А. Т. Асанова, А. Т. We consider a nonlocal boundary-value problem for a system of hyperbolic equations with impulsive effects. The relationship is established between the well-posed solvability of the nonlocal boundary-value problem for a system of hyperbolic equations with impulsive effects and the well-posed solvability of a family of two-point boundary-value problems for a system of ordinary differential equations with impulsive effects. Sufficient conditions for the existence of a unique solution of the family of two-point boundary-value problems for a system of ordinary differential equations with impulsive effects are obtained by method of introduction of functional parameters. The algorithms are proposed for finding the solutions. The necessary and sufficient conditions of the well-posed solvability of a nonlocal boundary-value problem for a system of hyperbolic equations with impulsive effects are established in the terms of the initial data. Встановлено взаємозв'язок між коректною розв'язністю нелокальної крайової задачi з імпульсним впливом для системи гіперболічних рівнянь і коректною розв'язністю сім'ї двоточкових крайових задач з імпульсним впливом для системи звичайних диференціальних рівнянь. На основі методу введення функціональних параметрів отримано достатні умови існування єдиного розв'язку сім'ї двоточкових крайових задач з імпульсним впливом для системи звичайних диференціальних рівнянь i запропоновано алгоритми знаходження її розв'язків. Одержано необхідні та достатні умови коректної розв'язності нелокальної крайової задачі для системи гіперболічних рівнянь другого порядку с імпульсним впливом в термінах вихідних даних. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1982 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 3 (2015); 291-303 Український математичний журнал; Том 67 № 3 (2015); 291-303 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1982/983 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1982/984 Copyright (c) 2015 Assanova A. T. |
| spellingShingle | Assanova, A. T. Асанова, А. Т. Асанова, А. Т. Well-Posed Solvability of a Nonlocal Boundary-Value Problem for the Systems of Hyperbolic Equations with Impulsive Effects |
| title | Well-Posed Solvability of a Nonlocal Boundary-Value Problem for the Systems of Hyperbolic Equations with Impulsive Effects |
| title_alt | О корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений с импульсными воздействиями |
| title_full | Well-Posed Solvability of a Nonlocal Boundary-Value Problem for the Systems of Hyperbolic Equations with Impulsive Effects |
| title_fullStr | Well-Posed Solvability of a Nonlocal Boundary-Value Problem for the Systems of Hyperbolic Equations with Impulsive Effects |
| title_full_unstemmed | Well-Posed Solvability of a Nonlocal Boundary-Value Problem for the Systems of Hyperbolic Equations with Impulsive Effects |
| title_short | Well-Posed Solvability of a Nonlocal Boundary-Value Problem for the Systems of Hyperbolic Equations with Impulsive Effects |
| title_sort | well-posed solvability of a nonlocal boundary-value problem for the systems of hyperbolic equations with impulsive effects |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1982 |
| work_keys_str_mv | AT assanovaat wellposedsolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforthesystemsofhyperbolicequationswithimpulsiveeffects AT asanovaat wellposedsolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforthesystemsofhyperbolicequationswithimpulsiveeffects AT asanovaat wellposedsolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforthesystemsofhyperbolicequationswithimpulsiveeffects AT assanovaat okorrektnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT asanovaat okorrektnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT asanovaat okorrektnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi |