On One Uniqueness Theorem for a Weighted Hardy Space
A uniqueness theorem is proved for the space of functions analytic in the right half plane and satisfying the condition $$\underset{\left|\upvarphi \right|
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1985 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507888126001152 |
|---|---|
| author | Hishchak, T. I. Гіщак, Т. І. |
| author_facet | Hishchak, T. I. Гіщак, Т. І. |
| author_sort | Hishchak, T. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:08Z |
| description | A uniqueness theorem is proved for the space of functions analytic in the right half plane and satisfying the condition
$$\underset{\left|\upvarphi \right| |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. I. Гiщак (Дрогобиц. держ. пед. ун-т iм. I. Франка)
ПРО ОДНУ ТЕОРЕМУ ЄДИНОСТI ДЛЯ ВАГОВОГО ПРОСТОРУ ГАРДI
We prove the uniqueness theorem for the space of functions analytic in the right half plane and satisfying the condition
sup
|ϕ|<π
2
+∞∫
0
|f(reiϕ)|pe−pσr| sinϕ|dr
< +∞.
Доказана теорема единственности для пространства функций, аналитических в правой полуплоскости, которые
удовлетворяют условию
sup
|ϕ|<π
2
+∞∫
0
|f(reiϕ)|pe−pσr| sinϕ|dr
< +∞.
1. Вступ. Допомiжнi твердження. Нехай Hp(C+), 1 ≤ p < +∞, — простiр Гардi у пiвплощинi
C+ = {z : Rez > 0}, тобто простiр функцiй G, аналiтичних у пiвплощинi C+, для яких
‖G‖pHp(C+) := sup
+∞∫
−∞
∣∣G(x+ iy)
∣∣pdy : x ∈ (0; +∞)
< +∞.
Функцiї G ∈ Hp(C+) мають [1 – 4] майже скрiзь на ∂C+ кутовi граничнi значення G0(iy) =
= G(iy), G ∈ Lp(∂C+) i ‖G‖pHp(C+) =
∫ +∞
−∞
∣∣G(iy)
∣∣pdy. Кожнiй функцiї G ∈ Hp(C+) вiдпо-
вiдає [5, 6] сингулярна гранична функцiя h , яка в точках неперервностi визначається рiвнiстю
h(t2)− h(t1) = lim
x→0+
t2∫
t1
ln
∣∣G(x+ iy)
∣∣dy − t2∫
t1
ln
∣∣G(iy)
∣∣dy, t1 < t2. (1)
Сингулярна гранична функцiя h є незростаючою, i її похiдна дорiвнює нулевi майже скрiзь
на R.
У статтi [7] розглянуто простiр Hp
σ(C+), 0 ≤ σ < +∞, функцiй G, аналiтичних у C+, для
яких
∥∥G∥∥
Hp
σ(C+)
:= sup
+∞∫
0
∣∣G(reiϕ)
∣∣pe−σpr|sinϕ|dr : ϕ ∈
(
−π
2
;
π
2
) < +∞.
Сингулярна гранична функцiя h функцiї G ∈ Hp
σ(C+) також визначається рiвнiстю (1), вона
є незростаючою i її похiдна дорiвнює нулевi майже скрiзь. Окрiм цього, кожна функцiя G ∈
∈ Hp
σ(C+) має майже скрiзь на ∂C+ кутовi граничнi значення G0(iy) = G(iy) i G(iy)e−σ|y| ∈
∈ Lp(R). Функцiя G належить до Hp
σ(C+) тодi i тiльки тодi, коли функцiї G+(z) = G(z)eiσz i
G−(z) = G(z)e−iσz задовольняють вiдповiдно умови
sup
+∞∫
0
∣∣G+(reiϕ)
∣∣p dr : ϕ ∈
(
0;
ϕ
2
) < +∞
c© Т. I. ГIЩАК, 2015
326 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ПРО ОДНУ ТЕОРЕМУ ЄДИНОСТI ДЛЯ ВАГОВОГО ПРОСТОРУ ГАРДI 327
i
sup
+∞∫
0
∣∣G−(reiϕ)
∣∣p dr : ϕ ∈
(
−ϕ
2
; 0
) < +∞.
При цьому [8] Hp
0 (C+) = Hp(C+), норми ‖G‖Hp
0 (C+) та ‖G‖Hp(C+) є еквiвалентними на
Hp(C+).
Вiдомим є наступне твердження з [1 – 4].
Теорема А. Якщо G ∈ Hp(C+), 1 ≤ p < +∞ i limx→+∞ |G(x)|1/x = 0, то G ≡ 0.
Метою статтi є пошук аналога теореми А для простору Hp
σ(C+). Основними результатами
статтi є теореми 1 та 2. При цьому ми отримаємо наступне доповнення до теореми А.
Наслiдок. Якщо функцiя G ∈ Hp(C+), 1 ≤ p < +∞, не має нулiв у C+ i
lim
x→+∞
|G(x)|1/x = 0,
то G ≡ 0.
Цей наслiдок можна також отримати з оцiнок, наведених у [9].
Через cj позначимо додатнi сталi. Нехай z = x+ iy = reiϕ,
Q1(t; z) =
(tz + i)2
(1 + t2)2(t+ iz)
i
K0(r) := 2
∑
1<|λk|≤r
(
1
|λk|2
− 1
r2
)
Reλk −
1
π
∫
1≤|t|≤r
(
1
t2
− 1
r2
)
dh(t)−
− 1
π
∫
1≤|t|≤r
(
1
t2
− 1
r2
)
log
∣∣G(it)
∣∣dt.
Для подальшого нам знадобиться наступне факторизацiйне твердження, яке випливає з
результатiв [10] та формули Карлемана [7] (у потрiбнiй формi її наведено в [5, 11]).
Лема 1. Якщо G ∈ Hp
σ(C+) i G 6≡ 0, то
G(z) = eia0+a1z exp
1
πi
+∞∫
−∞
Q1(t; z) (ln |G(it)|dt+ dh(t))
×
×
∏
|λn|≤1
z − λn
z + λn
∏
|λn|>1
Wn(z), (2)
де a0 ∈ R i a1 ∈ R — сталi, λn — нулi функцiї G i Wn(z) =
1− z/λn
1 + z/λn
exp
(
z
λn
+
z
λn
)
. При
цьому добутки i iнтеграли у (2) збiгаються рiвномiрно i абсолютно на кожному компактi з
C+, ln
∣∣G(it)
∣∣ ∈ L1,loc(R) i
lim
x→+∞
K0(r) < +∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
328 Т. I. ГIЩАК
2. Основнi результати.
Теорема 1. Нехай 0 ≤ σ < +∞, 1 ≤ p < +∞, функцiя G ∈ Hp
σ(C+) не має нулiв в C+ i
lim
x→+∞
(∣∣G(x)
∣∣1/xx2σ/π) = 0. (3)
Тодi G ≡ 0.
Доведення. Припустимо, що G 6≡ 0. Покажемо, що
lim
x→+∞
(
ln |G(x)|
x
+
2σ
π
lnx
)
> −∞. (4)
Оскiльки
Re
Q1(t;x)
i
= x
1 + 2t2 − x2t2
(t2 + x2)(1 + t2)2
i
1
π
+∞∫
−∞
|t|Re
Q1(t;x)
i
dt =
x
π
− 2x
π
lnx, x > 0,
то згiдно з лемою 1
ln |G(x)|
x
+
2σ
π
lnx− σ
π
=
1
π
+∞∫
−∞
1 + 2t2 − x2t2
(t2 + x2)(1 + t2)2
(
ln
(
e−σ|t||G(it)|
)
dt+ dh(t)
)
=
= −Ξ1(x)− Ξ2(x) + Ξ3(x) + Ξ4(x),
де
Ξ1(x) =
1
π
+∞∫
−∞
x2t2
(t2 + x2)(1 + t2)2
(
ln e−σ|t||G(it)|dt+ dh(t)
)
,
Ξ2(x) =
1
π
+∞∫
−∞
1 + 2t2
(t2 + x2)(1 + t2)2
σ|t|dt,
Ξ3(x) =
1
π
+∞∫
−∞
1 + 2t2
(t2 + x2)(1 + t2)2
ln+ (|G(it)|) dt,
Ξ4(x) =
1
π
+∞∫
−∞
1 + 2t2
(t2 + x2)(1 + t2)2
(
− ln+
(
1
|G(it)|
)
dt+ dh(t)
)
.
Оскiльки
x2t2
(t2 + x2)(1 + t2)2
≤ 1, якщо x ∈ R i t ∈ R, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ПРО ОДНУ ТЕОРЕМУ ЄДИНОСТI ДЛЯ ВАГОВОГО ПРОСТОРУ ГАРДI 329
Ξ1(x) ≤ 1
π
+∞∫
−∞
x2t2
(t2 + x2)(1 + t2)2
ln
(
e−σ|t||G(it)|
)
dt ≤ 1
pπ
+∞∫
−∞
ln
(
e−pσ|t||G(it)|p
)
dt ≤
≤ 1
pπ
+∞∫
−∞
e−σp|t| |G(it)|p dt ≤ c1, x ∈ (0; +∞).
Окрiм цього, Ξ3(x) ≥ 0, якщо x ∈ (0; +∞), i
Ξ2(x) ≤ 1
π
+∞∫
−∞
1 + 2t2
(t2 + 1)(1 + t2)2
σ|t|dt ≤ 2
π
+∞∫
−∞
1
(1 + t2)2
σ|t|dt = c2 < +∞,
якщо x ∈ (1; +∞). Далi,
Ξ4(x) ≥ c3 +
1
π
∫
|t|≥1
1 + 2t2
(t2 + x2)(1 + t2)2
(
− ln+
(
1
|G(it)|
)
dt+ dh(t)
)
≥
≥ c3 +
2
π
∫
|t|≥1
1
(1 + t2)2
(
−ln+
(
1
|G(it)|
)
dt+ dh(t)
)
≥
≥ c4 +
2
π
∫
|t|≥1
1
t4
(
− ln+
(
1
|G(it)|
)
dt+ dh(t)
)
,
якщо x ∈ (1; +∞). До того ж, згiдно з лемою 1,
r∫
1
(
1
t2
− 1
r2
)(
ln+
(
1
|G(it)|
)
dt− dh(t)
)
≤ c5 +
r∫
1
(
1
t2
− 1
r2
)
ln+ |G(it)| dt
i
r∫
1
(
1
t2
− 1
r2
)
ln+ |G(it)| dt ≤
r∫
1
(
1
t2
− 1
r2
)(
ln+ |G(it)| e−σ|t|dt
)
+
r∫
1
(
1
t2
− 1
r2
)
σ |t| dt ≤
≤ 1
p
r∫
1
(
1
t2
− 1
r2
)(
ln+
(
|G(it)| e−σ|t|
)p
dt
)
+ c6 + σ ln r ≤
≤ 1
p
r∫
1
(
1
t2
− 1
r2
)
|G(it)|p e−pσ|t|dt+ c6 + σ ln r ≤
≤ 1
p
r∫
1
|G(it)|p e−pσ|t|dt+ c6 + σ ln r ≤ c7 + σ ln r, r ∈ (1; +∞).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
330 Т. I. ГIЩАК
Далi,
1
t2
≤ 4
3
(
1
t2
− 1
4r2
)
, якщо |t| ≤ |r|. Тому
r∫
1
1
t2
(
ln+
(
1
|G(it)|
)
dt− dh(t)
)
≤
r∫
1
4
3
(
1
t2
− 1
(2r)2
)(
ln+
(
1
|G(it)|
)
dt− dh(t)
)
≤
≤
2r∫
1
4
3
(
1
t2
− 1
(2r)2
)(
ln+
(
1
|G(it)|
)
dt− dh(t)
)
≤ c7 + σ ln r.
Аналогiчно,
−1∫
−r
1
t2
(
ln+
(
1
|G(it)|
)
dt− dh(t)
)
≤ c7 + σ ln r, r ∈ [1; +∞).
Отже, ∫
1≤|t|≤r
1
t2
(
ln+
(
1
|G(it)|
)
dt− dh(t)
)
≤ c7 + σ ln r, r ∈ [1; +∞).
Тому
+∞∫
1
1
t4
(
− ln+
(
1
|G(it)|
)
dt+ dh(t)
)
=
1
t2
t∫
1
1
τ2
(
− ln+
(
1
|G(iτ)|
dτ
)
+ dh(τ)
)∣∣∣∣∣∣
+∞
1
−
−2
+∞∫
1
1
t3
t∫
1
1
τ2
(
− ln+
(
1
|G(iτ)|
)
dτ + dh(τ)
) ≥ −c8.
Аналогiчно,
−1∫
−∞
1
t4
(
− ln+
(
1
|G(it)|
)
dt+ dh(t)
)
≥ −c8.
Таким чином, ∫
|t|≥1
1
t4
(
− ln+
(
1
|G(it)|
)
dt+ dh(t)
)
≥ −c9.
Тому Ξ4(x) ≥ −c9, якщо x ∈ [1; +∞). Отже, виконується (4), що суперечить умовi (3).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Якщо G ∈ Hp
σ(C+) i
lim
x→+∞
(∣∣G(x)
∣∣1/xx2σ/π) = 0, (5)
то G ≡ 0.
Для доведення теореми 2 нам буде потрiбне наступне твердження з [12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ПРО ОДНУ ТЕОРЕМУ ЄДИНОСТI ДЛЯ ВАГОВОГО ПРОСТОРУ ГАРДI 331
Лема 2. Нехай G — функцiя, голоморфна в кутi Λ(π/2) = {z : 0 < arg < π/2}, i для
деякого p ∈ (0; +∞) виконуються такi умови:
a) iснує гранична функцiя G̃ : ∂Λ(π/2) → C така, що G̃ ∈ Lp(∂Λ(π/2)), i для кожного
промiжку (δ;R), 0 < δ < R < +∞, G̃(reiπ/2) = lim
(p)
ϕ→π/2−G(reiϕ) i G̃(r) = lim
(p)
ϕ→0+G(reiϕ);
б) sup
{∫ +∞
0
∣∣G(reiϕ)
∣∣p e−εr2dt : ϕ ∈ (0;π/2)
}
= Af (ε) < +∞ для кожного ε > 0.
Тодi sup
{∫ +∞
0
∣∣G(reiϕ)
∣∣p dt : ϕ ∈ (0;π/2)
}
≤ max
{∫ +∞
0
∣∣G(reiϕ)
∣∣p dt : ϕ ∈ {0;π/2}
}
.
Доведення теореми 2. Справдi, з умов теореми 2 випливає, що
∫ +∞
0
∣∣∣∣G(x)e
2σ
π x lnxeBx
∣∣∣∣p dx <
< +∞ для кожного B ∈ (0; +∞). Нехай ln z — гiлка логарифма в C+, для якої ln 1 = 0 i
FB(z) = G(z)e
2σ
π z ln zeBz. Тодi
+∞∫
0
∣∣FB(reiϕ)
∣∣p e−εr2dr =
+∞∫
0
∣∣G(reiϕ)
∣∣p e2pσπ (r cosϕ ln r−rϕ sinϕ)eBpr cosϕe−εr
2
dr.
Тому sup
{∫ +∞
0
∣∣FB(reiϕ)
∣∣p e−εr2dr : ϕ ∈ (−π/2;π/2)
}
< +∞ для кожного ε > 0. Iснує [13]
гранична функцiя G0 : ∂Λ(π/2) → C така, що G0(z)e
iσz ∈ Lp(∂Λ(π/2)) i для кожного про-
мiжку (δ;R), 0 < δ < R < +∞, G(reiπ/2)e−σr = lim
(p)
ϕ→π/2−G(reiϕ)eσre
iϕ
i G(r)eiσr =
= lim
(p)
ϕ→0+G(reiϕ)eiσre
iϕ
. Водночас
FB(reiπ/2)− FB(reiϕ) = G(reiπ/2)e
2σ
π (ir)(ln r+iπ/2)eBir−
−G(reiϕ)e
2σ
π (r cosϕ+ir sinϕ)(ln r+iϕ)eB(r cosϕ+ir sinϕ) =
= G(reiπ/2)e−σre
2σ
π ir ln reBir −G(reiϕ)e
2σ
π (r cosϕ+ir sinϕ)(ln r+iϕ)eB(r cosϕ+ir sinϕ) =
=
(
G(reiπ/2)e−σr −G(reiϕ)eiσre
iϕ
)
e
2σ
π ir ln reBir +G(reiϕ)eiσre
iϕ
e
2σ
π ir ln reBir−
−G(reiϕ)e
2σ
π (r cosϕ+ir sinϕ)(ln r+iϕ)eB(r cosϕ+ir sinϕ).
Тому FB(reiπ/2) − FB(reiϕ) = lim
(p)
ϕ→π/2− FB(reiϕ) i FB(r) = lim
(p)
ϕ→0+ FB(reiϕ) для кожного
промiжку (δ;R), 0 < δ < R < +∞. Отже, за лемою 2
sup
+∞∫
0
∣∣FB(reiϕ)
∣∣p dr : ϕ ∈ (0;π/2)
≤ max
+∞∫
0
∣∣FB(reiϕ)
∣∣p dr : ϕ ∈ {0;π/2}
=
= max
+∞∫
0
∣∣∣G(reiπ/2)e−σr
∣∣∣p dr; +∞∫
0
∣∣∣∣G(x)e
2σ
π x lnxeBx
∣∣∣∣p dx
< +∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
332 Т. I. ГIЩАК
Аналогiчнi мiркування застосовнi i до кута Λ(−π/2) = {z : − π/2 < arg < 0}. Тому
sup
+∞∫
0
∣∣FB(reiϕ)
∣∣p dr : ϕ ∈ (−π/2; 0)
=
= max
+∞∫
0
∣∣∣G(re−iπ/2)e−σr
∣∣∣p dr; +∞∫
0
∣∣∣∣G(x)e
2σ
π x lnxeBx
∣∣∣∣p dx
< +∞.
Отже [14], FB ∈ Hp(C+) i ‖FB‖p =
∫ +∞
−∞
|FB(iy)|pdy =
∫ +∞
−∞
∣∣∣G(iy)e−σ|y|
∣∣∣p dy ≤ ‖G‖Hp
σ(C+) .
Тому [ 1 – 4] |FB(z)| ≤ ‖G‖Hp
σ(C+) /x
1/p, якщо z = x+ iy = reiϕ ∈ C+. Таким чином,
∣∣G(x)
∣∣ ≤
≤ ‖G‖Hp
σ(C+)e
−2σ
π x lnxe−Bx/x1/p для кожного x > 0. Спрямувавши B до +∞, отримаємо
G ≡ 0.
Теорему 2 доведено.
Зауваження. Функцiя G(z) = (1 + z)−2/p exp
(
−2σ
π
z ln z
)
належить до Hp
σ(C+) i вказує
на точнiсть теорем 1 та 2 в тому сенсi, що замiнити сталу σ на меншу в рiвностях (3) i (5) не
можна. Iншi приклади дає теорема з [15].
1. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. – 306 с.
2. Duren O. Theory of Hp space. – New York, 1970. – 251 p.
3. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. – М.: Наука, 1984. – 368 с.
4. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984. – 470 с.
5. Винницький Б. В., Дiльний В. М. Про необхiднi умови iснування розв’язкiв одного рiвняння типу згортки //
Мат. студ. – 2001. – 16, № 1. – С. 61 – 70.
6. Fedorov M. A., Grishin A. F. Some questions of the Nevanlinna theory for the complex half-plane // Math. Phys.,
Anal. and Geom. – 1998. – 1, № 3. – P. 223 – 271.
7. Винницький Б. В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент // Укр. мат.
журн. – 1994. – 46, № 5. – С. 484 – 500.
8. Седлецкий А. М. Эквивалентное определение пространств Hp в полуплоскости и некоторые приложения //
Мат. сб. – 1975. – 96, № 1. – С. 75 – 82.
9. Гурарий В. П. Гармонический анализ в пространствах с весом // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1976. – 35. – С. 21 – 76.
10. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. – М.: Наука, 1986. – 240 с.
11. Vynnytskyi B., Sharan V. On the factorization of one class of functions analytic in the half-plane // Mat. Stud. –
2000. – 14, № 1. – P. 41 – 48.
12. Martirosian V. M. On a theorem of Djrbasian of the Phraugmen – Lindelof type // Math. Nachr. – 1997. – 144. –
P. 21 – 27.
13. Мартиросян В. М. Замыкание и базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерпо-
ляционной задачи в угловых областях // Изв. АН АрмССР. Математика. – 1978. – 12, № 5-6.
14. Любарский Ю. И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных
классов // Изв. АН СССР. – 1988. – 52, № 3. – С. 559 – 580.
15. Дiльний В. М. Про еквiвалентнiсть деяких умов для вагових просторiв Гардi // Укр. мат. журн. – 2006. – 58,
№ 9. – С. 1257 – 1263.
Одержано 12.03.14,
пiсля доопрацювання — 22.07.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1985 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:28Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6d/bb993e996f0f6f97ec4cec46b7207a6d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19852019-12-05T09:48:08Z On One Uniqueness Theorem for a Weighted Hardy Space Про одну теорему єдиності для вагового простору Гарді Hishchak, T. I. Гіщак, Т. І. A uniqueness theorem is proved for the space of functions analytic in the right half plane and satisfying the condition $$\underset{\left|\upvarphi \right| Доказана теорема единственности для пространства функций, аналитических в правой полуплоскости, которые удовлетворяют условию $$\underset{\left|\upvarphi \right| Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1985 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 3 (2015); 326–332 Український математичний журнал; Том 67 № 3 (2015); 326–332 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1985/989 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1985/990 Copyright (c) 2015 Hishchak T. I. |
| spellingShingle | Hishchak, T. I. Гіщак, Т. І. On One Uniqueness Theorem for a Weighted Hardy Space |
| title | On One Uniqueness Theorem for a Weighted Hardy Space |
| title_alt | Про одну теорему єдиності для вагового простору Гарді |
| title_full | On One Uniqueness Theorem for a Weighted Hardy Space |
| title_fullStr | On One Uniqueness Theorem for a Weighted Hardy Space |
| title_full_unstemmed | On One Uniqueness Theorem for a Weighted Hardy Space |
| title_short | On One Uniqueness Theorem for a Weighted Hardy Space |
| title_sort | on one uniqueness theorem for a weighted hardy space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1985 |
| work_keys_str_mv | AT hishchakti ononeuniquenesstheoremforaweightedhardyspace AT gíŝaktí ononeuniquenesstheoremforaweightedhardyspace AT hishchakti proodnuteoremuêdinostídlâvagovogoprostorugardí AT gíŝaktí proodnuteoremuêdinostídlâvagovogoprostorugardí |