A Procedure of Complete Averaging for Fuzzy Differential Inclusions on a Finite Segment
We justify the applicability of the method of complete averaging on a finite segment for differential inclusions with fuzzy right-hand sides containing a small parameter.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1989 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507892774338560 |
|---|---|
| author | Plotnikov, A. V. Плотніков, А. В. |
| author_facet | Plotnikov, A. V. Плотніков, А. В. |
| author_sort | Plotnikov, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:08Z |
| description | We justify the applicability of the method of complete averaging on a finite segment for differential inclusions with fuzzy right-hand sides containing a small parameter. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.911
А. В. Плотников (Одес. гос. акад. стр-ва и архитектуры)
СХЕМА ПОЛНОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
We justify the applicability of the method of complete averaging on a finite segment for differential inclusions with fuzzy
right-hand sides containing a small parameter.
Наведено обґрунтування можливостi застосування методу повного усереднення на скiнченному промiжку для ди-
ференцiальних включень iз нечiткою правою частиною, якi мiстять малий параметр.
1. Введение. В 1990 г. J.-P. Aubin [1] и В. А. Байдосов [2, 3] ввели в рассмотрение дифферен-
циальные включения с нечеткою правою частью. Их подход основан на сведении последних
к обычным дифференциальным включениям. В 1995 г. E. Hüllermeier [4 – 6] ввел понятие R-
решения аналогично тому, как это было сделано в работе [7]. В дальнейшем в работах [8 – 17]
рассматривались различные свойства решений нечетких дифференциальных включений, а так-
же их приложения при моделировании различных физических процессов.
В работах [18, 19] была доказана возможность применения схем полного и частичного
усреднения для дифференциальных включений с нечеткой правой частью, содержащих малый
параметр. При доказательстве этих теорем использовался метод доказательства, предложенный
В. А. Плотниковым для обоснования схем усреднения обычных дифференциальных включений
[20 – 25]. В данной работе доказывается возможность применения схемы полного усреднения
для нечетких дифференциальных включений без перехода к рассмотрению отдельных решений,
т. е. все оценки проводятся для R-решений соответствующих нечетких систем.
2. Основные определения и обозначения. Пусть conv(Rn) — пространство непустых
выпуклых компактных подмножеств Rn с метрикой Хаусдорфа
h(F,G) = max
{
sup
f∈F
inf
g∈G
||f − g||, sup
g∈G
inf
f∈F
||f − g||
}
,
где под || · || понимается евклидова норма в пространстве Rn.
Введем в рассмотрение пространство En отображений ζ : Rn → [0, 1], удовлетворяющих
следующим условиям:
1) ζ полунепрерывно сверху, т. е. для любых x′ ∈ Rn и ε > 0 существует δ(x′, ε) > 0 такое,
что для всех ‖x− x′‖ < δ выполняется условие ζ(x) < ζ(x′) + ε;
2) ζ нормально, т. е. существует x0 ∈ Rn такое, что ζ(x0) = 1;
3) ζ нечетко выпукло, т. е. для любых x′, x′′ ∈ Rn и любого λ ∈ [0, 1] выполняется нера-
венство ζ(λx′ + (1− λ)x′′) ≥ min{ζ(x′), ζ(x′′)};
4) замыкание множества {x ∈ Rn : ζ(x) > 0} компактно.
Нулем в пространстве En является отображение 0̂(x) =
{
1, x = 0,
0, x ∈ Rn\0.
Определение 1. α-Срезкой [ζ]α отображения ζ ∈ En при 0 < α ≤ 1 назовем множество
{x ∈ Rn : ζ(x) ≥ α}. Нулевой срезкой отображения ζ ∈ En назовем замыкание множества
{x ∈ Rn : ζ(x) > 0}.
c© А. В. ПЛОТНИКОВ, 2015
366 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
СХЕМА ПОЛНОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 367
Теорема 1 [26]. Если ζ ∈ En, то:
1) [ζ]α ∈ conv(Rn) для всех 0 ≤ α ≤ 1;
2) [ζ]α2 ⊂ [ζ]α1 для всех 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1;
3) если {αk} ⊂ [0, 1] − неубывающая последовательность, сходящаяся к α > 0, то [ζ]α =
=
⋂
k≥1[ζ]αk .
Наоборот, если {Aα : 0 ≤ α ≤ 1} — семейство подмножеств Rn, удовлетворяющих усло-
виям 1 – 3, то существует отображение ζ ∈ En такое, что [ζ]α = Aα для 0 < α ≤ 1 и
[ζ]0 =
⋃
0<α≤1A
α.
Определим в пространстве En метрику D : En × En → [0,+∞), положив
D(ζ, ξ) = sup
0≤α≤1
h([ζ]α, [ξ]α).
Из результатов [27] следует, что:
1) (En, D) является полулинейным полным метрическим пространством;
2) D(ζ + χ, ξ + χ) = D(ζ, ξ), D(kζ, kξ) = kD(ζ, ξ) для всех ζ, ξ, χ ∈ En и k ≥ 0.
3. Нечеткое дифференциальное включение. R-решение. Рассмотрим нечеткое диффе-
ренциальное включение
ẋ ∈ F (t, x), x(0) ∈ X0, (1)
где t ∈ [0, T ] ⊂ R+, x ∈ Rn, F : [0, T ]×Rn → En, X0 ∈ En.
Определение 2 [4]. Функция x(·) : [0, T ] → Rn называется α-решением дифференциаль-
ного включения (1), если она абсолютно непрерывна и удовлетворяет дифференциальному
включению
ẋ ∈ [F (t, x)]α, x(0) ∈ [X0]
α
почти всюду на [0, T ].
Множество α-решений дифференциального включения (1) на отрезке [0, T ] обозначим через
Xα, а его сечение в момент времени t ∈ [0, T ] — через Xα(t).
Как известно [5, 6, 9], семейство {Xα(t) : α ∈ [0, 1]} может не удовлетворять условиям тео-
ремы 1, т. е. сечение множества решений системы (1) может не принадлежать пространству En,
так как Xα(t) может быть компактным множеством в пространстве Rn, но не быть выпуклым.
В связи с этим далее будем рассматривать R-решение X(·) : [0, T ] → En дифференциаль-
ного включения (1).
Определение 3. R-решением дифференциального включения (1) назовем полунепрерывное
сверху нечеткое отображение X(·) : [0, T ]→ En, которое удовлетворяет системе
sup
α∈[0,1]
h
[X(t+ σ)]α,
⋃
x∈[X(t)]α
x+
t+σ∫
t
[F (s, x)]αds
= o(σ), X(0) = X0, (2)
где limσ→0+
o(σ)
σ
= 0.
Теорема 2. Пусть F (t, x) удовлетворяет следующим условиям:
1) F (·, x) измеримо по t на [0, T ];
2) F (t, ·) удовлетворяет условию Липшица по x с постоянной λ на Rn, т. е.
D(F (t, x′), F (t, x′′)) ≤ λ‖x′ − x′′‖;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
368 А. В. ПЛОТНИКОВ
3) существует γ > 0 такое, что для почти всех t ∈ R+ и для всех x ∈ Rn
D(F (t, x), 0̂) ≤ γ;
4) для всех β ∈ [0, 1], x′, x′′ ∈ Rn и почти всех t ∈ [0, T ]
F (t, βx′ + (1− β)x′′) ⊃ βF (t, x′) + (1− β)F (t, x′′).
Тогда на некотором отрезке [0, τ ] ⊂ [0, T ] существует единственное R-решение X(t)
дифференциального включения (1).
Доказательство. Рассмотрим шар Sr(X0) = {X ∈ En : D(X,X0) ≤ r}. Пусть τ =
= min{T, r/γ}. Из результатов [5, 6] следует, что сечение множества решений нечеткого диф-
ференциального включения (1) принадлежит пространству En для всех t ∈ [0, τ ].
Разобьем отрезок [0, τ ] точками tpk = kτ2−p на P = 2p частей и определим обобщенные
ломаные Эйлера XP (t) так, что
[XP (t)]α =
⋃
x∈[XP (tPk )]
α
x+
t∫
tPk
[F (s, x)]αds
, (3)
t ∈ [tPk , t
P
k+1], k = 0, 1, . . . , 2p, XP (0) = X0, α ∈ [0, 1].
Поскольку X0 ∈ En и F (t, x) ∈ En для всех (t, x) ∈ [0, τ ]× Sr([X0]
0), то XP (t) ∈ En для
всех t ∈ [0, τ ].
Известно [7, 25], что каждая последовательность {[XP (·)]α}∞p=1 является равностепенно
непрерывной и фундаментальной, а ее предел — единственным R-решением [X(t)]α соответ-
ствующего дифференциального включения
ẋ ∈ [F (t, x)]α, x(0) ∈ [X0]
α,
которое совпадает с множеством решений данного включения, а также удовлетворяет уравне-
нию
h
[X(t+ σ)]α,
⋃
x∈[X(t)]α
x+
t+σ∫
t
[F (s, x)]αds
= o(σ), [X(0)]α = [X0]
α.
Теорема доказана.
Одновременно с системой (1) рассмотрим систему
ẏ ∈ G(t, y), y(0) ∈ Y0, (4)
где t ∈ R1
+, y ∈ Rn, G : R1 ×Rn → En, Y0 ∈ En.
Лемма 1. Пусть F (t, x) и G(t, x) удовлетворяют условиям теоремы 2 и, кроме того, для
почти всех t ∈ [0, T ] и всех x ∈ Rn
D(F (t, x), G(t, x)) ≤ η, D(X0, Y0) ≤ µ. (5)
Тогда для t ∈ [0, T ] справедлива оценка
D(X(t), Y (t)) ≤ µeλt +
η
λ
(
eλt − 1
)
. (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
СХЕМА ПОЛНОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 369
Доказательство. Разобьем промежуток [0, T ] на m частей точками tmi = i · ∆, ∆ =
= T/m, i = 1,m− 1.
Тогда для t ∈ [tmk , t
m
k+1) ⊂ [0, T ] имеем
D(X(t), Y (t)) = sup
α∈[0,1]
h([X(t)]α, [Y (t)]α) ≤
≤ sup
α∈[0,1]
h
⋃
x∈[X(tk)]α
x+
t∫
tk
[F (s, x)]αds
,
⋃
y∈[Y (tk)]α
y +
t∫
tk
[G(s, y)]αds
+ o(∆) ≤
≤ sup
α∈[0,1]
h
[X(tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [X(tk)]
α)]αds, [Y (tk)]
α +
t∫
tk
[G(s, [Y (tk)]
α)]αds
+ o(∆) ≤
≤ sup
α∈[0,1]
h
[X(tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [X(tk)]
α)]αds, [X(tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds
+
+ sup
α∈[0,1]
h
[X(tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds, [Y (tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds
+
+ sup
α∈[0,1]
h
[Y (tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds), [Y (tk)]
α +
t∫
tk
[G(s, [Y (tk)]
α)]αds
+ o(∆) ≤
≤ sup
α∈[0,1]
h
t∫
tk
[F (s, [X(tk)]
α)]αds,
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds
+ sup
α∈[0,1]
h([X(tk)]
α, [Y (tk)]
α)+
+ sup
α∈[0,1]
h
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds),
t∫
tk
[G(s, [Y (tk)]
α)]αds
+ o(∆) ≤
≤
t∫
tk
λD(X(tk), Y (tk))ds+D(X(tk), Y (tk)) +
t∫
tk
D(F (s, Y (tk)), G(s, Y (tk)))ds+ o(∆) ≤
≤
t∫
tk
λD(X(tk), Y (tk))ds+D(X(tk), Y (tk)) +
t∫
tk
ηds+ o(∆) ≤
≤ ((t− tk)λ+ 1)D(X(tk), Y (tk)) + (t− tk)η + o(∆) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
370 А. В. ПЛОТНИКОВ
≤ µeλt +
η
λ
(eλt − 1).
Теорема доказана.
Замечание 1. Если X0 = Y0, то для всех t ∈ [0, T ]
D(X(t), Y (t)) ≤ η
λ
(
eλt − 1
)
. (7)
4. Схема полного усреднения. Рассмотрим нечеткое дифференциальное включение с ма-
лым параметром стандартного вида
ẋ ∈ εF (t, x), x(0) ∈ X0, (8)
где ε > 0 — малый параметр, t ∈ R+ — время, x ∈ Rn — фазовый вектор, F : R+ × Rn → En
— нечеткое отображение, X0 ∈ En.
Системе (8) поставим в соответствие усредненную систему
dx
dt
∈ εF (x), x(0) ∈ X0, (9)
где
F (x) = lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (t, x)dt. (10)
Теорема 3. Пусть в области Q = {(t, x) : t ≥ 0, x ∈ D ∈ conv(Rn)} выполняются следу-
ющие условия:
1) F (·, x) измеримо по t на R+ для всех x ∈ D;
2) F (t, ·) удовлетворяет условию Липшица по x с постоянной λ для почти всех t ∈ R+,
т. е.
D(F (t, x′), F (t, x′′)) ≤ λ‖x′ − x′′‖;
3) существует γ > 0 такое, что для почти всех t ∈ R+ и для всех x ∈ D
D(F (t, x), 0̂) ≤ γ;
4) для всех β ∈ [0, 1], x′, x′′ ∈ Rn и почти всех t ∈ [0, T ]
F (t, βx′ + (1− β)x′′) ⊃ βF (t, x′) + (1− β)F (t, x′′);
5) равномерно относительно x в области D существует предел (10);
6) для всех X0 таких, что [X0]
0 ⊂ D′ ⊂ D, некоторая ρ-окрестность 0-срезки R-решения
включения (9) лежит в области D.
Тогда для любых 0 < η < ρ и L > 0 можно указать такое ε0(η, L) > 0, что для всех
0 < ε < ε0 на отрезке 0 ≤ t ≤ Lε−1 будет выполняться неравенство
D(X(t), X(t)) < η,
где X(t) и X(t) — соответствующие R-решения включений (8) и (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
СХЕМА ПОЛНОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 371
Доказательство. Из условий 1 – 4 и теоремы 2 следует, что R-решение системы (8)
существует и единственное.
Далее, из условий 1 – 3, 5 следует, что нечеткое отображение F (x) равномерно ограничено
постоянной γ и удовлетворяет условию Липшица с постоянной λ, т. е.
D(F (x), 0̂) ≤ D
F (x),
1
T
T∫
0
F (s, x)ds
+D
1
T
T∫
0
F (s, x)ds, 0̂
≤ δ(T ) + γ,
D(F (x1), F (x2)) ≤ D
F (x1),
1
T
T∫
0
F (s, x1)ds
+D
1
T
T∫
0
F (s, x1)ds,
1
T
T∫
0
F (s, x2)ds
+
+D
1
T
T∫
0
F (s, x2)ds, F (x2)
≤ 2δ(T ) + λ‖x1 − x2‖,
где limT→∞ δ(T ) = 0 согласно предположению 5. Кроме того, легко можно показать, что F (x)
удовлетворяет условию 4, т. е. для всех β ∈ [0, 1], t ∈ R+, x
′, x′′ ∈ D
F (βx′ + (1− β)x′′) = lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (t, βx′ + (1− β)x′′)dt ⊃
⊃ lim
T→∞
1
T
T∫
0
(βF (t, x′) + (1− β)F (t, x′′))dt =
= β lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (t, x′)dt+ (1− β) lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (t, x′′)dt = βF (x′) + (1− β)F (x′′).
Следовательно, R-решение для системы (9) также существует и единственное.
Теперь разобьем отрезок [0, Lε−1] на m частей точками tk =
kL
εm
, k = 0, 1, . . . ,m − 1, и
определим нечеткие отображения Xm(t) и X
m
(t) такие, что для всех α ∈ [0, 1], t ∈ [tk, tk+1],
k = 0, 1, . . . ,m− 1
[Xm(t)]α =
⋃
x∈[Xm(tk)]α
x+ ε
t∫
tk
[F (s, x)]αds
, [Xm(0)]α = [X0]
α, (11)
[X
m
(t)]α =
⋃
x∈[Xm
(tk)]α
x+ ε
t∫
tk
[F (x)]αds
, [X
m
(0)]α = [X0]
α. (12)
Тогда
D(Xm(tk), X(tk)) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
372 А. В. ПЛОТНИКОВ
≤ sup
α∈[0,1]
h
⋃
x∈[Xm(tk−1)]α
x+ ε
tk∫
tk−1
[F (s, x)]αds
,
⋃
x∈[X(tk−1)]α
x+ ε
tk∫
tk−1
[F (s, x)]αds
+
+o(tk − tk−1) ≤ (1 + ε(tk − tk−1)λ)D(Xm(tk−1), X(tk−1))+
+o(tk − tk−1) ≤
o(tk − tk−1)
tk − tk−1
(exp(λL)− 1). (13)
Аналогично получаем
D(X
m
(tk), X(tk)) ≤
o(tk − tk−1)
tk − tk−1
(exp(λL)− 1). (14)
Кроме того, для t ∈ [tk, tk+1] имеем
D(Xm(t), Xm(tk)) ≤ sup
α∈[0,1]
h
⋃
x∈[Xm(tk)]α
x+ ε
t∫
tk
[F (s, x)]αds
, [Xm(tk)]
α
≤
≤ εγ(t− tk) ≤
γL
m
, (15)
D(X
m
(t), X
m
(tk)) ≤ εγ(t− tk) ≤
γL
m
. (16)
Из (13) – (16) следует, что для любого η > 0 существует такое m0, что при m ≥ m0 имеем
D(Xm(t), X(t)) ≤ η
4
, (17)
D(X
m
(t), X(t)) ≤ η
4
. (18)
При t = tk+1 в силу леммы 1 для любого ν > 0 существует такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0]
справедлива оценка
D(Xm(tk+1), X
m
(tk+1)) ≤ (exp(λL)− 1)ν/λ. (19)
Зафиксировав m ≥ max{m0, 8γL/η} и выбрав затем ν <
ηλ
4(exp(λL)− 1)
, из (17) – (19) полу-
чим утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Замечание 2. Если предположить, что F (·, x) непрерывно по t на [0, T ], то вместо урав-
нения (2) можно рассматривать более простое уравнение
sup
α∈[0,1]
h
[X(t+ σ)]α,
⋃
x∈[X(t)]α
{x+ σ[F (t, x)]α}
= o(σ), X(0) = X0,
и аналогично доказать все полученные ранее результаты.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
СХЕМА ПОЛНОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 373
5. Заключение. Полученные результаты дают возможность обосновать возможность при-
менения схемы полного усреднения для систем управления нечеткими R-решениями (нечет-
кими пучками траекторий) [28 – 32], т. е. когда поведение объекта описывается управляемым
дифференциальным включением с нечеткой правой частью, а также для некоторых нечетких
задач управления, например для нечеткой задачи Майера [33 – 35].
1. Aubin J.-P. Fuzzy differential inclusions // Problems of Control and Inform. Theory. – 1990. – 19, № 1. – P. 55 – 67.
2. Байдосов В. А. Дифференциальные включения с нечеткой правой частью // Докл. АН СССР. – 1989. – 309,
№ 4. – С. 781 – 783.
3. Байдосов В. А. Нечеткие дифференциальные включения // Прикл. математика и механика. – 1990. – 54, вып.
1. – С. 12 – 17.
4. Hüllermeier E. Towards modelling of fuzzy functions // EUFIT’95. – 1995. – P. 150 – 154.
5. Hüllermeier E. An approach to modelling and simulation of uncertain dynamical system // Int. J. Uncertain. Fuzziness
Knowl.-Based Syst. – 1997. – 7. – P. 117 – 137.
6. Hüllermeier E. A fuzzy simulation method // First Int. ICSC Symp. on Intelligent Industrial Automation (IIA’96) and
Soft Computing (SOCO’96) March 26 – 28, 1996 (Reading, United Kingdom).
7. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Об одном уравнении, порождаемом дифференциальным включением // Мат.
заметки. – 1980. – 27, № 3. – С. 429 – 437.
8. Abbasbandy S., Viranloo T. A., Lopez-Pouso O., Nieto J. J. Numerical methods for fuzzy differential inclusions //
Comput. and Math. Appl. – 2004. – 48. – P. 1633 – 1641.
9. Agarwal R. P., O’Regan D., Lakshmikantham V. A stacking theorem approach for fuzzy differential equations //
Nonlinear Anal. – 2003. – 55. – P. 299 – 312.
10. Agarwal R. P., O’Regan D., Lakshmikantham V. Maximal solutions and existence theory for fuzzy differential and
integral equations // J. Appl. Anal. – 2005. – 11, № 2. – P. 171 – 186.
11. Antonelli P. L., Krivan V. Fuzzy differential inclusions as substitutes for stochastic differential equations in population
biology // Open Systems and Inform. Dynamics. – 1992. – 1, № 2. – P. 217 – 232.
12. Colombo G., Krivan V. Fuzzy differential inclusions and nonprobabilistic likelihood // S.I.S.S.A preprint 88/91/M.
13. Guo M., Xue X., Li R. Impulsive functional differential inclusions and fuzzy population models // Fuzzy Sets and
Systems. – 2003. – 138. – P. 601 – 615.
14. Lakshmikantham V. Set differential equations versus fuzzy differential equations // Appl. Math. and Comput. – 2005. –
164. – P. 277 – 294.
15. Lakshmikantham V., Granna Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of set differential equations in metric spaces. –
Cambridge Sci. Publ., 2006.
16. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. – London: Taylor &
Francis, 2003.
17. Majumdar K. K., Majumder D. D. Fuzzy differential inclusions in atmospheric and medical cybernetics // IEEE
Trans. Syst., Man, and Cybern. B. – 2004. – 34, № 2. – P. 877 – 887.
18. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Plotnikova L. I. The partial averaging of differential inclusions with fuzzy right-hand
side // J. Adv. Res. Dynam. Control Syst. – 2010. – 2, № 2. – P. 26 – 34.
19. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Plotnikova L. I. On the averaging of differential inclusions with fuzzy right-hand side
when the average of the right-hand side is absent // Iran. J. Optim. – 2010. – 2, № 3. – P. 506 – 517.
20. Klymchuk S., Plotnikov A., Skripnik N. Overview of V.A. Plotnikov’s research on averaging of differential inclusions.
// Physica D: Nonlinear Phenomena. – 2012. – 241, № 22. – P. 1932 – 1947.
21. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциальные урав-
нения с многозначной и разрывной правой частью. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2007.
22. Плотников В. А. Усреднение дифференциальных включений // Укр. мат. журн. – 1979. – 31, № 5. – С. 573 – 576.
23. Плотников В. А. Частичное усреднение дифференциальных включений // Мат. заметки. – 1980. – 27, № 6. –
С. 947 – 952.
24. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. – Киев; Одесса: Лыбидь, 1992.
25. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью.
Асимптотические методы. – Одесса: АстроПринт, 1999.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
374 А. В. ПЛОТНИКОВ
26. Negoita C. V., Ralescu D. A. Application of fuzzy sets to systems analysis. – New York: Wiley, 1975.
27. Puri M. L., Ralescu D. A. Fuzzy random variables // J. Math. Anal. and Appl. – 1986. – 114. – P. 409 – 422.
28. Diamond P., Kloeden P. E. Metric space of fuzzy sets, theory and applications. – World Sci. Publ., 1994.
29. Молчанюк И. В., Плотников А. В. Линейные системы управления с нечетким параметром // Нелiнiйнi коли-
вання. – 2006. – 9, № 1. – С. 63 – 73.
30. Молчанюк И. В., Плотников А. В. Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления
с нечетким параметром // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3. – С. 384 – 390.
31. Najariyan M., Farahi M. H. A new approach for the optimal fuzzy linear time invariant controlled system with fuzzy
coefficients // J. Comput. and Appl. Math. – 2014. – 259. – P. 682 – 694.
32. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Molchanyuk I. V. Linear control differential inclusions with fuzzy right-hand side and
some optimal problems // J. Adv. Res. Dynam. Control Syst. – 2011. – 3, № 2. – P. 34 – 46.
33. Plotnikov A. V., Komleva T. A. The averaging of control linear fuzzy 2π-periodic differential equations // Dynam.
Contin. Discrete Impulsive Syst. Ser. B: Applications & Algorithms. – 2011. – 18, № 6. – P. 833 – 847.
34. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Molchanyuk I. V. Linear control differential inclusions with fuzzy right-hand side and
some optimal problems // J. Adv. Res. Dynam. Control Syst. – 2011. – 3, № 2. – P. 34 – 46.
35. Плотников А. В. Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным крите-
рием качества // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 1. – C. 105 – 110.
Получено 04.02.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1989 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:32Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/90/e3e85faf7679e685d98cf1d53d9eb290.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19892019-12-05T09:48:08Z A Procedure of Complete Averaging for Fuzzy Differential Inclusions on a Finite Segment Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке Plotnikov, A. V. Плотніков, А. В. We justify the applicability of the method of complete averaging on a finite segment for differential inclusions with fuzzy right-hand sides containing a small parameter. Наведено обґрунтування можливості застосування методу повного усереднення на скінченному проміжку для диференціальних включень із нечіткою правою частиною, які містять малий параметр. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1989 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 3 (2015); 366-374 Український математичний журнал; Том 67 № 3 (2015); 366-374 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1989/997 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1989/998 Copyright (c) 2015 Plotnikov A. V. |
| spellingShingle | Plotnikov, A. V. Плотніков, А. В. A Procedure of Complete Averaging for Fuzzy Differential Inclusions on a Finite Segment |
| title | A Procedure of Complete Averaging for Fuzzy Differential Inclusions on a Finite Segment |
| title_alt | Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке |
| title_full | A Procedure of Complete Averaging for Fuzzy Differential Inclusions on a Finite Segment |
| title_fullStr | A Procedure of Complete Averaging for Fuzzy Differential Inclusions on a Finite Segment |
| title_full_unstemmed | A Procedure of Complete Averaging for Fuzzy Differential Inclusions on a Finite Segment |
| title_short | A Procedure of Complete Averaging for Fuzzy Differential Inclusions on a Finite Segment |
| title_sort | procedure of complete averaging for fuzzy differential inclusions on a finite segment |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1989 |
| work_keys_str_mv | AT plotnikovav aprocedureofcompleteaveragingforfuzzydifferentialinclusionsonafinitesegment AT plotníkovav aprocedureofcompleteaveragingforfuzzydifferentialinclusionsonafinitesegment AT plotnikovav shemapolnogousredneniâdlânečetkihdifferencialʹnyhvklûčenijnakonečnompromežutke AT plotníkovav shemapolnogousredneniâdlânečetkihdifferencialʹnyhvklûčenijnakonečnompromežutke AT plotnikovav procedureofcompleteaveragingforfuzzydifferentialinclusionsonafinitesegment AT plotníkovav procedureofcompleteaveragingforfuzzydifferentialinclusionsonafinitesegment |