Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of Weighted Singular-Valued Decompositions of Matrices with Singular Weights
A weighted singular-valued decomposition of matrices with singular weights is obtained by using orthogonal matrices. The necessary and sufficient conditions for the existence of the constructed weighted singular-valued decomposition are established. The indicated singular-valued decomposition of mat...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1992 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507903513853952 |
|---|---|
| author | Galba, E. F. Deineka, V. S. Sergienko, I. V. Галба, Е. Ф. Дейнека, В. С. Сергиенко, И. В. Галба, Е. Ф. Дейнека, В. С. Сергиенко, И. В. |
| author_facet | Galba, E. F. Deineka, V. S. Sergienko, I. V. Галба, Е. Ф. Дейнека, В. С. Сергиенко, И. В. Галба, Е. Ф. Дейнека, В. С. Сергиенко, И. В. |
| author_sort | Galba, E. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:08Z |
| description | A weighted singular-valued decomposition of matrices with singular weights is obtained by using orthogonal matrices. The necessary and sufficient conditions for the existence of the constructed weighted singular-valued decomposition are established. The indicated singular-valued decomposition of matrices is used to obtain a decomposition of their weighted pseudoinverse matrices and decompose them into matrix power series and products. The applications of these decompositions are discussed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА, 2015
406 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
УДК 512.61
И. В. Сергиенко, Е. Ф. Галба, В. С. Дейнека (Ин-т кибернетики НАН Украины, Киев)
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ВЗВЕШЕННОГО СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ
С ВЫРОЖДЕННЫМИ ВЕСАМИ
A weighted singular-valued decomposition of matrices with singular weights is obtained by using orthogonal matrices.
Necessary and sufficient conditions for the existence of the constructed weighted singular-valued decomposition are found.
The indicated singular-valued decomposition of matrices is used to obtain a decomposition of their weighted
pseudoinverse martrices and decompose them into matrix power series and products. The applications of these decomposi-
tions are discussed.
Одержано зважене сингулярне розвинення матриць з виродженими вагами при використанні ортогональних мат-
риць. Визначено необхідні та достатні умови, при яких існує побудоване зважене сингулярне розвинення матриць.
На основі цього сингулярного розвинення матриць отримано розвинення зважених псевдообернених до них матриць
з виродженими вагами та розвинення цих матриць в матричні степеневі ряди і добутки. Визначено застосування цих
розвинень.
Введение. Впервые сингулярное разложение квадратных матриц получено в работе [1]. В ра-
ботах [2, 3] получено взвешенное сингулярное разложение произвольных матриц с положи-
тельно определенными весами. Сингулярное разложение матриц широко применяется при
теоретических исследованиях и многочисленных приложениях (см., например, [4]). В работе
[5] получено взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе
взвешенных ортогональных матриц и взвешенных псевдоортогональных матриц. Определены
достаточные условия существования предложенного варианта взвешенного сингулярного раз-
ложения матриц. В [5] приведен обзор литературы по использованию взвешенного сингу-
лярного разложения матриц с положительно определенными весами для теоретических иссле-
дований взвешенных псевдообратных матриц и построения методов вычисления взвешенных
псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с положительно определен-
ными весами.
В настоящей работе получено взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденны-
ми весами с использованием ортогональных матриц. На основании построенного взвешенного
сингулярного разложения матриц дано представление взвешенных псевдообратных матриц с
положительно полуопределенными матрицами-весами. Определены необходимые и достаточ-
ные условия, при которых существует построенное взвешенное сингулярное разложение мат-
риц. Показано, что полученное сингулярное разложение матриц можно использовать при
обосновании разложения взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные ряды и
матричные степенные произведения с отрицательными показателями степеней. Определено
применение этих разложений. Отметим, что основные результаты, изложенные и доказанные
в данной статье, опубликованы в [6] без доказательства утверждений.
Работа состоит из пяти пунктов. В первом пункте приводятся и исследуются необходимые
для дальнейшего изложения свойства взвешенных псевдообратных матриц. Во втором пункте
получено взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами и на основании
взвешенного сингулярного разложения матриц дано представление взвешенных псевдообрат-
ных матриц с вырожденными весами. В третьем пункте получены и исследованы разложения
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ … 407
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные ряды и матричные степенные
произведения с отрицательными показателями степеней. В четвертом и пятом пунктах на ос-
новании результатов третьего пункта строятся и исследуются соответственно регуляризован-
ные задачи для вычисления взвешенных нормальных псевдорешений и регуляризованные ите-
рационные процессы для вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нор-
мальных псевдорешений с вырожденными весами.
1. Обозначения, определения, известные факты и вспомогательные утверждения.
Отметим, что в дальнейшем везде предполагается вещественность используемых скаляров,
векторов, матриц и пространств. Введем необходимые для дальнейшего изложения обозна-
чения и определения. Пусть A ∈!m×n , X ∈!n×m , а B ∈!m×m и C ∈!n×n — симметрич-
ные положительно полуопределенные матрицы. Тогда взвешенная псевдообратная матрица с
вырожденными весами для матрицы A в [7] определяется как матрица X = ABC+ , удовлетво-
ряющая четырем условиям
AXA = A , XAX = X , (BAX)T = BAX , (CXA)T = CXA , (1)
т. е. рассматривается случай, когда обе матрицы AX и XA симметризуемы слева вырож-
денными симметризаторами B и C .
В указанной работе установлено, что для существования единственного решения системы
матричных уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условий
rk (BA) = rk (A), ACEE+ C = A , (2)
где CEE+ — псевдообратная матрица Мура – Пенроуза [8, 9], rk (A) — ранг матрицы A .
В настоящей работе ограничимся рассмотрением взвешенной псевдообратной матрицы,
определенной условиями (1), (2). Другие определения взвешенных псевдообратных матриц с
вырожденными весами и их исследование можно найти в работах [10 – 12].
Обозначим через !n n -мерное векторное пространство над полем действительных чи-
сел, где векторы — это матрицы размера n ×1 . Пусть H — симметричная положительно
определенная или же положительно полуопределенная матрица. Через !
n (H ) будем обозна-
чать евклидово пространство в случае положительно определенной метрики или же псевдо-
евклидово в случае неотрицательной метрики, введенной скалярным произведением (u, v)H =
= (Hu, v)E , где (u, v)E = uT v , E — единичная матрица. Норму (полунорму) в !
n (H ) вве-
дем соотношением u H = (u, u)H
1/2 . В случае положительно полуопределенной матрицы H
через !
n (H ) ⊂ !n (H ) и !
n (HEE
+ ) ⊂ !n (HEE
+ ) будем обозначать подпространство векторов
u , удовлетворяющих условию
HHEE
+ u = H 1/2HEE
+1/2u = u , (3)
где обозначено HEE
+1/2 = (H 1/2 )EE+ .
408 И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
В дальнейшем для положительно полуопределенных матриц H будем использовать обоз-
начение HEE
+ p = (H p )EE+ , где p — целое или дробное число. Поскольку нуль-пространства
матриц H , HEE
+ , HHEE
+ и H 1/2HEE
+1/2 совпадают [13], полунормы ⋅ H , ⋅ HEE
+ для век-
торов в !
n (H ) , !
n (HEE
+ ) становятся нормами в !
n (H ) , !
n (HEE
+ ) .
Определим норму прямоугольной матрицы [14]. Пусть A ∈!m×n , а H ∈!m×m и V ∈
∈!n×n — симметричные положительно определенные или положительно полуопределенные
матрицы. Предполагаем выполнение условий
rk (HA) = rk (A) , rk(AV ) = rk(A) . (4)
Если H и V — положительно определенные матрицы, то условия в (4) заведомо выпол-
няются.
Для множества матриц A , удовлетворяющих (4), норму введем соотношением
A HV = sup
x≠0
H 1/2AVx
Em
x En
, (5)
где x ∈!n , а нижний индекс при единичной матрице означает ее размерность.
При таком определении норма матрицы A
A HV = [λmax(VATHAV )]1/2 , (6)
где λmax(L) — максимальное собственное значение матрицы L .
В [14] показано, что функция ⋅ HV , определенная формулой (5), при выполнении усло-
вий (4) является аддитивной матричной нормой. Если условия (или одно из условий) (4) не вы-
полняются, то формула (5) определяет полунорму матрицы A . При H = V = E функция (5)
определяет спектральную норму матрицы A .
Пусть A ∈!m× p , B ∈! p×n , а H ∈!m×m , V ∈!n×n и M ∈! p× p — симметричные
положительно определенные или положительно полуопределенные матрицы, причем выполня-
ется одно из условий
AMMEE
+ = AMEE
+ M = A , MMEE
+ B = MEE
+ MB = B . (7)
Тогда (см. [14, 15]) из определения нормы матриц (5) следует, что
AB HV ≤ A HM B MEE
+2V . (8)
Теперь определим матричную норму для квадратной матрицы [16]. Пусть A ∈!n×n —
произвольная квадратная матрица, а H ∈!n×n — симметричная положительно полуопреде-
ленная матрица, которые удовлетворяют условиям
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ … 409
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
rk (HA) = rk (AH ) = rk (A) . (9)
Норму матрицы A определим соотношением
A H = sup
x≠0
Ax H
x H
= sup
x≠0
H 1/2AHEE
+1/2H 1/2x
E
H 1/2x
E
, (10)
где x — произвольный вектор из !
n (H ) .
При таком определении норма матрицы A
A H = [λmax(HEE
+1/2ATHAHEE
+1/2 )]1/2 . (11)
Пусть A и B — квадратные матрицы одного порядка, причем выполняется одно из ус-
ловий
AHHEE
+ = A , HHEE
+ B = B , (12)
где H — симметричная положительно полуопределенная матрица. Тогда
AB H ≤ A H B H , (13)
т. е. функция ⋅ H , определенная формулой (10), при выполнении условий (9) и одного из ус-
ловий (12) является мультипликативной матричной нормой.
Определим симметризуемые матрицы с положительно полуопределенными симметризато-
рами [16].
Определение 1. Квадратную матрицу U будем называть симметризуемой слева или
справа с помощью симметричных положительно полуопределенных матриц M и N , если
выполняются соответственно условия
MU = UTM , rk (MU ) = rk (U ) , UN = NUT , rk (UN ) = rk (U ) . (14)
Используя первое и второе условия в (2) и первое условие в (1), можно показать, что
rk (BAX) = rk (AX) и rk (CXA) = rk (XA) . Тогда третье условие в (1) вместе с первым усло-
вием в (2) и четвертое условие в (1) вместе со вторым условием в (2) будут соответственно оз-
начать, что матрицы AX и XA симметризуемы слева соответственно симметризаторами B
и C .
В ряде работ определялись симметризуемые матрицы и изучались их свойства. В качестве
симметризаторов, в основном, используются положительно определенные матрицы, а в рабо-
тах [17, 18] изучались H -симметричные матрицы, причем предполагалось, что H — сим-
метричная невырожденная знаконеопределенная матрица.
Определение 2. Матрицу Q , определенную равенством QTHQ = I (H ) , где H —
симметричная положительно определенная (положительно полуопределенная) матрица,
410 И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
I (H ) — матрица инерции для H, будем называть H-vzveßennoj ортогональной (псевдо-
ортогональной).
Замечание 1. Различным видам обобщенной симметрии матриц посвящена диссертация
[19], где изложены результаты исследований автора и приведена библиография известных пуб-
ликаций на время написания работы.
Лемма 1. Пусть A ∈!m×n , а B ∈!m×m и C ∈!n×n — симметричные положительно
полуопределенные матрицы, UT ∈!m×m — невырожденная матрица. Тогда:
1) при выполнении условий
BEE+ BA = A, ACEE+ C = A (15)
ранги матриц CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 , B1/2ACEE+ AT B1/2 , UT B1/2ACEE
+1/2 и A совпадают;
2) собственные значения матриц CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 и B1/2ACEE+ AT B1/2 вещественные и
неотрицательные.
Доказательство. Нетрудно убедиться, что из (15) следует rk (B1/2A) = rk (A) ,
rk (ACEE
+1/2 ) = rk (A) . В силу первого равенства из этих двух, второго равенства из (15) и легко
проверяемого равенства CEE+ C = CEE
+1/2C1/2 получаем rk (A) = rk (B1/2A) =
= rk{(B1/2A)T B1/2A} = rk(AT BA) = rk(C1/2CEE
+1/2AT BAC1/2CEE
+1/2 ) ≤ rk(CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 ) ≤
≤ rk(A) , откуда rk(A) = rk(CEE
+1 2AT BACEE
+1 2 ) . Аналогично, в силу второго равенства из от-
меченных выше двух и первого равенства из (15) получаем rk(A) = rk(B1 2ACEE+ AT B1 2 ) .
Поскольку ранг не изменяется при умножении на невырожденную матрицу, учитывая (15) и
соотношение для рангов матриц-произведения и матриц-сомножителей, имеем
rk(A) = rk(BEE+ BACEE+ C) = rk(B1/2ACEE
+1/2 ) ≤ rk(UT B1/2ACEE
+1/2 ) ≤ rk(A) ,
т. е. rk(A) = rk UT B1/2ACEE
+1/2( ) .
Второе утверждение леммы 1 вытекает из того обстоятельства, что рассматриваемые мат-
рицы являются симметричными положительно полуопределенными [20].
Лемма 1 доказана.
При исследовании разложений взвешенных псевдообратных матриц будем использовать
следующие утверждения [21].
Лемма 2. Для любых матриц P ∈!n×n , W ∈!n×m и действительного числа 0 < δ < ∞
имеет место тождество
k=0
n−1
∏ E + δ2
k
(P + δE)−(2
k ){ } (P + δE)−1W = δk−1
k=1
2n
∑ (P + δE)−kW , n = 1, 2,… . (16)
Лемма 3. Для любых матриц L ∈!m×m , M ∈!n×m и действительного числа 0 < δ <
< ∞ имеет место тождество
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ … 411
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
M (L + δE)−1
k=0
n−1
∏ E + δ2
k
(L + δE)−(2
k ){ } = M δk−1
k=1
2n
∑ (L + δE)−k , n = 1, 2,…. (17)
Пусть
Ax = f , x ∈!n , f ∈!m (18)
— система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с произвольной матрицей A ∈!m×n .
Определение 3. Вектор x+ , который является решением задачи: найти
min
x∈!n (C )∩Ω
x C , Ω = Arg min
x∈!n
Ax − f B , (19)
где B и C — симметричные положительно полуопределенные матрицы, будем называть
взвешенным нормальным псевдорешением с вырожденными весами B и C системы (18).
Замечание 2. В [7] показано, что задача (19) имеет единственное решение, которое опре-
деляется взвешенной псевдообратной матрицей с вырожденными весами, определенной усло-
виями (1), (2) и правой частью системы (18) согласно формуле x+ = ABC+ f .
В дальнейшем вместо взвешенной псевдообратной матрицы ABC+ , определенной условия-
ми (1), (2), будем рассматривать взвешенную псевдообратную матрицу ABC+ , определенную
условиями (1), (15), т. е. первое условие rk(BA) = rk(A) в (2) заменим более жестким услови-
ем BEE+ BA = A . Легко убедиться, что из первого условия в (15) следует первое условие в (2),
поэтому все свойства взвешенной псевдообратной матрицы, определенной условиями (1), (2),
будут иметь место для матрицы, определенной условиями (1), (15), в том числе для последней
будет иметь место замечание 2. Такая замена условия в определении взвешенной псевдообрат-
ной матрицы обусловлена тем обстоятельством, что рассмотренный вариант взвешенного син-
гулярного разложения матрицы A получен при выполнении условий (15). Кроме того, пока-
зано, что эти условия являются необходимыми и достаточными для существования рассмот-
ренного варианта сингулярного разложения матриц.
2. Взвешенное сингулярное разложение и взвешенное псевдообращение матриц.
Теорема 1. Пусть A ∈!m×n и выполняются равенства (15). Тогда:
1) для матрицы A существуют ортогональные матрицы U ∈!m×m и V ∈!n×n та-
кие, что
UT B1/2ACEE
+1/2V = Σ =
diag (σ1,σ2,…,σr , 0,…, 0)Om
n−m , esly m ≤ n,
diag (σ1,σ2,…,σr , 0,…, 0)
Om−n
n
, esly m ≥ n,
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
(20)
412 И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
и
A = BEE
+1/2UΣVTC1/2 , (21)
где r — ранг матрицы A , столбцы матрицы U — ортонормированные в !
m (E) соб-
ственные векторы матрицы B1/2ACEE+ AT B1/2 , столбцы матрицы V — ортонормирован-
ные в !
n (E) собственные векторы матрицы CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 , σ i , i = 1,…, r , — квад-
ратные корни из ненулевых собственных значений матрицы B1/2ACEE+ AT B1/2 или
CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 , Ok
l ∈!k×l — нулевая матрица;
2) условия (15) являются необходимыми и достаточными для существования взвешен-
ного сингулярного разложения матрицы A вида (21).
Доказательство. Прежде всего отметим, что BEE+ B = BEE
+1/2B1/2 , CEE+ C = CEE
+1/2C1/2 .
Следовательно, при необходимости вместо условий (15) можно использовать условия
BEE
+1/2B1/2A = A , ACEE
+1/2C1/2 = A . Не ограничивая общности, будем считать, что m ≤ n (в
противном случае нужно заменить A на AT ). Обозначим L = B1/2ACEE+ AT B1/2 . В лемме 1
отмечено, что собственные значения матрицы L вещественные и неотрицательные. Обозна-
чим их через σ i2 , где σ1 ≥ σ2 ≥… ≥ σr > 0 , σr+1,…,σm = 0 , r = rk(L) , а согласно лем-
ме 1 r = rk(A) . Поскольку матрица L симметричная, она ортогонально диагонализуемая, т. е.
UT B1/2ACEE+ AT B1/2U = Σ12 , UTU = E , Σ12 = diag (σ i2 ) . (22)
Определим матрицу Z ∈!m×n
Z = UT B1/2ACEE
+1/2 . (23)
Тогда на основании (22)
ZZT = UT B1/2ACEE
+1/2CEE
+1/2AT B1/2U = Σ12 . (24)
Следовательно, матрица ZZT ∈!m×m является диагональной. При этом i -й диагональный
элемент в (24) указывает, что норма ⋅ E i -й строки ziT матрицы Z равна σ i , т. е.
zi E = σ i , i = 1,…,m . Равенство нулю недиагональных элементов в (24) показывает, что
различные строки матрицы Z в !
n (E) попарно ортогональны. Ранг матрицы Z согласно
лемме 1 равен рангу матрицы A , и если r < m , то первые r строк матрицы Z — нену-
левые попарно ортогональные в !
n (E) векторы z1T ,…, zrT , а остальные строки zr+1T ,…, zmT
являются нулевыми векторами.
Построим взвешенную ортонормальную в !
n (E) систему векторов-строк v1T ,…, vnT .
Обозначим
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ … 413
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
viT = σ i−1ziT , i = 1,…, r . (25)
Поскольку zi E = σ i , то vi E = 1 , i = 1,…, r . При этом, очевидно, что векторы viT по-
парно ортогональны в !
n (E) , поскольку попарно ортогональны векторы ziT в !
n (E) . Та-
ким образом, имеем в !
n (E) взвешенную ортонормированную систему векторов-строк viT ,
i = 1,…, r .
Для i = r +1,…, n выберем в качестве viT такие векторы с единичной нормой, чтобы
векторы v1T ,…, vnT были ортонормальны в !
n (E) . Для этого воспользуемся системой ли-
нейно независимых собственных векторов wr+1T ,…,wnT , соответствующих нулевому соб-
ственному значению симметричной матрицы K = CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 для процесса ортонорми-
рования Грама – Шмидта. Положим yr+1T = wr+1T + αii=1
r∑ viT , где wr+1T — собственный век-
тор матрицы K , соответствующий (r +1) -му собственному значению этой матрицы. Подбе-
рем числа αi так, чтобы вектор yr+1T был ортогонален в !
n (E) к v1T ,…, vrT . Для этого
нужно, чтобы выполнялось равенство
(yr+1, vi )E = (wr+1, vi )E + αi vi E
2 = 0, i = 1, 2,…, r . (26)
Отсюда αi = − (wr+1, vi )E и vr+1T = yr+1T
yr+1 E
, так как векторы viT , i = 1,…, r , имеют в
!
n (E) единичную норму.
Если yr+1T — нулевой вектор, то положим yr+1T = wr+1T + wj
T + αii=1
r∑ viT , где wj
T — лю-
бой собственный вектор матрицы K . Вместо (26) будем иметь
(yr+1, vi )E = (wr+1, vi )E + (wj , vi )E + αi vi E
2 = 0, i = 1, 2,…, r ,
откуда αi = (wr+1, vi )E − (wj , vi )E и vr+1T = yr+1T
yr+1 E
. Далее строим векторы yr+2T = wr+2T +
+ αii=1
r+1∑ viT , yr+3T ,…, ynT по предыдущей схеме.
Пусть VT — матрица, строками которой являются векторы v1T ,…, vnT , тогда VTV = E ,
т. е. V — ортогональная матрица. Из (25) имеем ziT = σ iviT , и матрицу Z можно предста-
вить в виде
Z = ΣVT , (27)
414 И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
где Σ ∈!m×n — матрица вида Σ = Σ1 O , а матрица Σ1 ∈!
m×m определена форму-
лой (22), O ∈!m×(n−m) — нулевая матрица.
Из (23) и (27) следует
UT B1/2ACEE
+1/2 = ΣVT . (28)
Умножим справа левую и правую части равенства (28) на V . Учитывая ортогональность
матрицы V , имеем UT B1/2ACEE
+1/2V = Σ , т. е. получили формулу (20) приведения матрицы
A к диагональному виду при m ≤ n . Умножая (28) слева на BEE
+1/2U , а справа на C1/2 ,
учитывая равенства (15) и ортогональность матрицы U , получаем A = BEE
+1/2UΣVTC1/2 , т. е.
формулу (21).
Теперь для доказательства теоремы 1 осталось показать, что столбцы ортогональной мат-
рицы V являются собственными векторами матрицы CEE
+1 2AT BACEE
+1 2 . Для этого сначала
покажем, что vi ∈!
n (CEE+ C) .
Учитывая второе равенство в (15), которое означает, что векторы-строки матрицы A
принадлежат !
n (CEE+ C) , имеем UT B1/2AUΣVTCEE
+1/2CEE+ C =UT B1/2ACEE
+1/2 = Z , откуда сле-
дует ziTCEE+ C = ziT и в силу (25) vi ∈!
n (CEE+ C) , i = 1,…, r . В качестве vi при i = r +
+ 1,…, n взяты собственные векторы матрицы K = CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 , соответствующие
нулевому собственному значению этой матрицы. Легко убедиться, что CEE+ CK = K и, следо-
вательно, Kvi = λvi , CEE+ CKvi = λCEE+ Cvi = λvi , так что среди векторов vi нет принадле-
жащих нуль-пространству проекционной матрицы CEE+ C , в силу чего vi ∈!
n (CEE+ C) , i =
= r +1,…, n . Тогда на основании изложенного выше vi ∈!
n (CEE+ C) , i = 1,…, n . Учитывая
последнее обстоятельство и равенства (21), CEE+ C = CEE
+1/2C1/2 , получаем
K = CEE
+1/2C1/2VΣTUT BEE
+1/2BBEE
+1/2UΣVTC1/2CEE
+1/2 = VΣT PΣVT ,
т. е.
CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 = VΣT PΣVT , (29)
где P =UT BEE+ BU .
Легко убедиться, что P — проекционная матрица. Рассмотрим матрицу PΣ . Очевидно,
что rk(P) ≥ rk(Σ) . Тогда в силу леммы 1 и равенства (22) имеем rk(Σ) = rk UT B1/2ACEE
+1/2( ) =
= rk CEE
+1/2AT BACEE
+1/2( ) = rk(A) и очевидно, что rk(P) ≥ rk(Σ) . В силу (29) ненулевые столб-
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ … 415
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
цы матрицы Σ не могут принадлежать нуль-пространству проекционной матрицы P , сле-
довательно, PΣ = Σ и равенство (29) принимает вид
CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 = VΣ22VT , (30)
где Σ2
2 ∈!n×n и Σ22 = diag (σ12,…,σr2, 0,…, 0) .
Ненулевые собственные значения матриц B1/2ACEE+ AT B1/2 и CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 совпада-
ют, так как эти матрицы получены в результате перестановки матриц-сомножителей [22].
Тогда диагональные элементы матрицы Σ22 являются собственными значениями матрицы
CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 . После умножения равенства (30) справа на V в силу ортогональности мат-
рицы V получаем CEE
+1/2AT BACEE
+1/2V = VΣ22 , откуда следует, что столбцы матрицы V яв-
ляются собственными векторами матрицы CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 .
Таким образом, установлено, что условия (15) являются достаточными для существования
взвешенного сингулярного разложения матрицы A вида (21). Чтобы показать, что эти усло-
вия являются необходимыми для существования взвешенного сингулярного разложения мат-
рицы A вида (21), достаточно воспользоваться равенствами BEE+ BBEE
+1/2=BEE
+1/2 , C1/2CEE+ C =
= C1/2 , в силу которых для разложения матрицы A вида (21) имеем BEE+ BA = A , ACEE+ C =
= A , т. е. для матрицы A выполняются условия (15).
Теорема 1 доказана.
Пусть ΣEE
+ ∈!n×m — матрица, полученная из матрицы Σ , определенной формулой (20),
транспонированием и заменой положительных диагональных элементов обратными величина-
ми. Непосредственной проверкой можно убедиться, что матрица ΣEE+ является псевдообрат-
ной матрицей Мура – Пенроуза к матрице Σ , т. е. удовлетворяет условиям
ΣΣEE+ Σ = Σ, ΣEE+ ΣΣEE+ = ΣEE+ , (ΣΣEE+ )T = ΣΣEE+ , (ΣEE+ Σ)T = ΣEE+ Σ . (31)
Теорема 2. Взвешенная псевдообратная матрица для матрицы A при выполнении ус-
ловий (15) имеет разложение
ABC+ = CEE
+1/2VΣEE+ UT B1/2 , (32)
где матрицы V , U , B , C определены в теореме 1, а матрица ΣEE+ определена условия-
ми (31).
Доказательство. Достаточно показать, что матрица ABC+ , определенная формулой (32),
удовлетворяет системе (1) при выполнении условий (15).
Учитывая разложения матриц A и ABC+ , представленные соответственно формулами
(21) и (32), и то обстоятельство, что столбцы матрицы V принадлежат !
n (CEE+ C) , полу-
чаем
416 И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
AABC+ A = BEE
+1/2UΣVTC1/2CEE
+1/2VΣEE+ UT B1/2BEE
+1/2UΣVTC1/2 = BEE
+1/2UΣΣEE+ PΣVTC1/2 ,
где P =UT BEE+ BU =UT BEE
+1/2B1/2U — проекционная матрица. При доказательстве теоремы 1
установлено, что PΣ = Σ . Тогда, учитывая первое равенство в (31), из последнего равенства
имеем AABC+ A = BEE
+1/2UΣΣEE+ ΣVTC1/2 = BEE
+1/2UΣVTC1/2 = A , т. е. матрица ABC+ удовлетво-
ряет первому условию в (1).
В силу второго равенства в (31), отмеченных выше свойств и разложений матриц A и
ABC+ имеем
ABC+ AABC+ = CEE
+1/2VΣEE+ UT B1/2BEE
+1/2UΣVTC1/2CEE
+1/2VΣEE+ UT B1/2 =
= CEE
+1/2VΣEE+ PΣΣEE+ UT B1/2 = CEE
+1/2VΣEE+ UT B1/2 = ABC+ ,
так что матрица ABC+ удовлетворяет и второму условию в (1).
Осталось показать, что матрицы BAABC+ и CABC+ A симметричные. Учитывая ортого-
нальность матрицы V , принадлежность ее столбцов !
n (CEE+ C) и равенство BBEE
+1 2 = B1 2 ,
получаем
BAABC+ = BBEE
+1/2UΣVTC1/2CEE
+1/2VΣEE+ UT B1/2 = B1/2UΣΣEE+ UT B1/2 = B1/2UΣΣEE+ UT B1/2 ,
откуда следует, что BAABC+ — симметричная матрица. Наконец, с учетом равенств
CCEE
+1/2 = C1/2 , UT B1/2BEE
+1/2UΣ = PΣ = Σ имеем
CABC+ A = CCEE
+1/2VΣEE+ UT B1/2BEE
+1/2UΣVTC1/2 = C1/2VΣEE+ ΣVTC1/2 ,
т. е. мы установили, что CABC+ A — симметричная матрица.
Кроме того, из первого условия в (15) следует первое условие в (2), так что для матрицы,
определенной формулой (32), выполняются условия (1), (2).
Теорема 2 доказана.
Замечание 3. Полученные взвешенные сингулярные разложения матриц и псевдообрат-
ных к ним являются обобщением соответствующих разложений для случая положительно
определенных весов. Например, в случае положительно определенных весов условия (15)
заведомо выполняются, столбцы матрицы U — ортонормированные в !
m (E) собственные
векторы матрицы B1/2AC−1AT B1/2 , столбцы матрицы V состоят из ортонормированных в
!
n (E) собственных векторов матрицы C−1/2AT BAC−1/2 .
3. Разложения в ряды и произведения взвешенных псевдообратных матриц с вырож-
денными весами. Для взвешенных псевдообратных матриц, определенных условиями (1), (2),
в работе [5] получены разложения в матричные степенные ряды и произведения с положитель-
ными показателями степеней на основе представления взвешенных псевдообратных матриц в
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ … 417
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
терминах коэффициентов характеристических многочленов симметризуемых и симметричных
матриц. В этом пункте на основании взвешенного сингулярного разложения взвешенных псев-
дообратных матриц с вырожденными весами, предложенного в настоящей работе, получены и
исследованы разложения в матричные степенные ряды и произведения взвешенных псевдооб-
ратных матриц, определенных условиями (1), (15), с отрицательными показателями степеней.
Теорема 3. Для произвольной матрицы A ≠ 0 ∈!m×n , симметричных положительно
полуопределенных матриц B ∈!m×m и C ∈!n×n , удовлетворяющих условиям (15), и для
действительного числа 0 < δ < ∞ имеют место следующие разложения взвешенных псев-
дообратных матриц в матричные степенные ряды:
ABC+ = δk−1CEE+ AT B1/2
k=1
∞
∑ B1/2ACEE+ AT B1/2 + δE( )−k B1/2 , (33)
ABC+ = δk−1
k=1
∞
∑ CEE+ AT BA + δE( )−k CEE+ AT B , (34)
ABC+ = δk−1CEE+ AT B
k=1
∞
∑ ACEE+ AT B + δE( )−k , (35)
ABC+ = δk−1CEE+
k=1
∞
∑ AT BACEE+ + δE( )−k AT B , (36)
ABC+ = δk−1CEE
+1/2
k=1
∞
∑ CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 + δE( )−k CEE+1/2AT B , (37)
ABC+ = δk−1CEE+ AT
k=1
∞
∑ BACEE+ AT + δE( )−k B , (38)
причем
ABC+ − Aδ, p+
CBEE
+1/2 ≤ σ*
−1δ p (δ + σ*
2 )− p , (39)
где Aδ, p+ = δk−1CEE+ AT B1/2k=1
p∑ B1/2ACEE+ AT B1/2 + δE( )−k B1/2 , p = 1, 2,… , σ* — минималь-
ный ненулевой диагональный элемент матрицы Σ , определенной в (20).
Доказательство. Сначала докажем соотношение (33). Обозначим L =
= B1/2ACEE+ AT B1/2 . Матрица L симметричная и положительно полуопределенная, так что
ее собственные значения действительные и неотрицательные. Обозначим Λ = diag (λi ) , где
λi — собственные значения матрицы L . Рассмотрим одно из слагаемых ряда (33). Посколь-
ку матрицы Lk , (L + δE)−k , k = 1, 2,… , симметричные, для них имеет место спектральное
разложение с одной и той же ортогональной матрицей U , определенной в теореме 1. Ис-
418 И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
пользуя это обстоятельство, сингулярное разложение матрицы A , равенство CEE+ C1/2 =
= CEE
+1/2 , получаем
δk−1CEE+ AT B1/2 (L + δE)−k B1/2 = δk−1CEE+ C1/2VΣTUT BEE
+1/2B1/2U(ΣΣT + δE)−kUT B1/2 =
= δk−1CEE
+1/2VΣT P(ΣΣT + δE)−kUT B1/2 , (40)
где P =UT BEE
+1/2B1/2U .
Легко убедиться, что P — проекционная матрица. Рассмотрим матрицу ΣT P . Очевид-
но, что rk(P) ≥ rk(ΣT ) = rk(Σ) , так как в силу леммы 1 и равенств (20), (22) имеем
rk(ΣT ) = rk(Σ) = rk(B1/2ACEE+ AT B1/2 ) = rk(A) . Тогда ненулевые столбцы матриц ΣT и Σ
не могут принадлежать нуль-пространству матрицы P , следовательно, PΣ = Σ , ΣT P = ΣT
и в силу (40) можем записать
δk−1CEE+ AT B1/2 (
k=1
∞
∑ L + δE)−k B1/2 = δ−1CEE
+1/2V δkΣT (ΣΣT + δE)−kUT B1/2
k=1
∞
∑ . (41)
Поскольку δk (ΣΣT + δE)−k = diag δk (σ i2 + δ)−k⎡⎣ ⎤⎦ и δ(σ i2 + δ)−1 < 1 при σ i > 0 , а
δ(ΣΣT + δE)−1⎡⎣ ⎤⎦
k
k=1
∞∑ = δσ i−2 , i = 1,…, r , ряд δkΣT (ΣΣT + δE)−kk=1
∞∑ вследствие струк-
туры матрицы ΣT сходится, причем имеем
δkΣT (ΣΣT + δE)−k =
k=1
∞
∑ δΣEE+ , (42)
где ΣEE+ — псевдообратная матрица Мура – Пенроуза, определенная условиями (31).
Учитывая (32) и (42), из (41) получаем δk−1CEE+ AT B1/2 (k=1
∞∑ L + δE)−k B1/2 =
= CEE
+1/2VΣEE+ UT B1/2 = ABC+ , т. е. разложение (33) взвешенной псевдообратной матрицы с вы-
рожденными весами в матричный степенной ряд с отрицательными показателями степеней.
Аналогично, используя спектральное разложение матрицы CEE
+1/2AT BACEE
+1/2 + δE и взве-
шенное сингулярное разложение матрицы ABC+ согласно формуле (32), можно получить раз-
ложение (37) взвешенной псевдообратной матрицы с вырожденными весами в матричный сте-
пенной ряд.
Рассмотрим разложение (35) взвешенной псевдообратной матрицы с вырожденными веса-
ми в матричный степенной ряд. Для доказательства соотношения (35) будем использовать раз-
ложение взвешенных псевдообратных матриц в матричный степенной ряд (33) и свойство
псевдообращения по Муру – Пенроузу для произведения двух матриц. Известно (см., напри-
мер, [13]), что для произведения двух произвольных прямоугольных матриц равенство
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ … 419
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
(MN )EE+ = NEE
+ MEE
+ (43)
в общем случае не является справедливым. В монографии [13] указаны необходимые и доста-
точные условия, при которых равенство имеет место. Для этого должны выполняться соотно-
шения
MEE
+ MNNTMT = NNTMT , NNEE
+ MTMN = MTMN . (44)
Рассмотрим матрицу W = (L + δE)−1B1/2 , где, как и выше, L = B1/2ACEE+ AT B1/2 . Учитывая
равенство (AEE+ )EE+ = A , справедливое для произвольной матрицы A [13], матрицу W за-
писываем в виде W = (L + δE)−1 BEE
+1 2( )EE
+
. В формуле (43) положим N = L + δE , M =
= BEE
+1/2 . Нетрудно убедиться, что такие матрицы M и N удовлетворяют условиям (44).
Тогда, учитывая первое равенство в (15), равенство B1/2 = B1/2B1/2BEE
+1/2 , на основании (43)
получаем W = BEE
+1/2L + δBEE
+1/2( )EE
+
= ACEE+ AT BBEE
+1/2 + δBEE
+1/2( )EE
+
. В формуле (43) положим
N = BEE
+1/2 , M = ACEE+ AT B + δE . Нетрудно убедиться, что и в этом случае матрицы M и
N удовлетворяют условиям (44) и матрица W принимает вид W = B1/2 (ACEE+ AT B + δE)−1 .
Легко проверить, что для любого k = 2, 3,… получаем
(L + δE)−k B1/2 = B1/2 (ACEE+ AT B + δE)−k . (45)
Тогда в силу (33), (45)
ABC+ = δk−1CEE+ AT B1/2 (
k=1
∞
∑ L + δE)−k B1/2 = δk−1CEE+ AT B(
k=1
∞
∑ ACEE+ AT B + δE)−k ,
что и требовалось показать. Аналогично, используя равенство (43), можно убедиться в спра-
ведливости остальных разложений взвешенной псевдообратной матрицы, которые приведены
в теореме 3.
Перейдем к доказательству оценки (39). На основании (41) с учетом вида Aδ, p+ , опреде-
ленного в теореме 3, получаем
ABC+ − Aδ, p+ = δ−1CEE
+1/2V δkΣT (ΣΣT + δE)−kUT B1/2
k= p+1
∞
∑ . (46)
Оценивать погрешность приближения Z = ABC+ − Aδ, p+ к взвешенной псевдообратной матрице
будем в норме ⋅ CBEE
+1/2 . Необходимо показать, что для матрицы Z выполняется аксиомa
матричной нормы Z CBEE
+1/2 > 0 , т. е. это будет норма, а не полунорма. Для этого достаточно
показать, что для матриц Z и C выполняется первое условие из (4), а для матриц Z и
420 И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
BEE
+1 2 — второе условие. Из вида матрицы Z , определенной формулой (46), следует
CEE+ CZ = Z . Тогда rk(Z ) = rk(CEE+ CZ ) ≤ rk(CZ ) ≤ rk(Z ) , откуда и следует выполнение перво-
го условия из (4) для матриц Z и C . Поскольку нуль-пространства матрицы B1/2 и проек-
ционной матрицы B1/2BEE
+1/2 совпадают и rk(BEE
+1/2 ) ≥ rk(Z ) , то rk(ZBEE
+1/2 )T = rk(ZBEE
+1/2 ) =
= rk(Z ) , т. е. второе условие из (4) для матриц Z и BEE
+1/2 также выполняется.
Положим в (8) M = En , тогда (7) выполняется и из (46) имеем
ABC+ − Aδ, p+
CBEE
+1/2 ≤ δ−1 CEE
+1/2V
CEn
δkΣT (ΣΣT + δE)−kUT B1/2
k= p+1
∞
∑
EnBEE
+1/2
.
При доказательстве теоремы 1 установлено, что vi ∈!
n (CEE+ C) , так что матрица V взве-
шенная псевдоортогональная с весом CEE+ C , т. е. VTCEE+ CV = I (CEE+ C) . Тогда согласно оп-
ределению величины нормы равенством (6) имеем CEE
+1/2V
CEn
= 1 , а для оценки второй нор-
мы в правой части последнего неравенства опять используем (8), где положим M = Em . По-
лучим
ABC+ − Aδ, p+
CBEE
+1/2 ≤ δ−1 δkΣT (ΣTΣ + δE)−k
k= p+1
∞
∑
EnEm
UT B1/2
EmBEE
+1/2 . (47)
Поскольку U — ортогональная матрица, а собственные значения матрицы-произведения
двух квадратных матриц при их перестановке не изменяются [22], в силу определения вели-
чины матричной нормы согласно формуле (6) имеем UT B1/2
EmBEE
+1/2 = 1 и (47) принимает
вид
ABC+ − Aδ, p+
CBEE
+1/2 ≤ δ−1 δkΣT (ΣTΣ + δE)−k
k= p+1
∞
∑
EnEm
. (48)
Нетрудно убедиться, что сумма δkσ i (σ i2 + δ)−k =k= p+1
∞∑ δ p+1σ i−1(σ i2 + δ)− p при σ i ≠ 0 и
равна нулю при σ i = 0 . Тогда, учитывая то обстоятельство, что δkσ i (ΣTΣ + δE)−kΣT =
= diag δkσ i (σ i2 + δ)−k⎡⎣ ⎤⎦ , и формулу для величины матричной нормы (6), из неравенства (48)
получаем оценку (39), что и завершает доказательство теоремы 3.
Замечание 4. Аналогично оценке (39) получим такую же оценку, если в качестве матрицы
Aδ, p+ возьмем другие матрицы, определенные согласно формулaм (34) – (38).
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ … 421
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
При выполнении предположений теоремы 3 на основании (16) и (34) имеем следующее раз-
ложение взвешенной псевдообратной матрицы с вырожденными весами в матричное степенное
произведение:
ABC+ = E + δ2
k
(CEE+ AT BA + δE)−(2
k ){ }
k=0
∞
∏ CEE+ AT BA + δE( )−1CEE+ AT B . (49)
Обозначим Aδ,n+ = E + δ2
k
(CEE+ AT BA + δE)−(2
k ){ }k=0
n−1∏ (CEE+ AT BA + δE)−1CEE+ AT B , n = 1 ,
2,… . Тогда в силу тождества (16) и замечания 4 получаем
ABC+ − Aδ,n+ CBEE
+1/2 ≤ σ*
−1δ2
n
(δ + σ*
2 )−(2
n ) . (50)
При выполнении предположений теоремы 3 в силу (17) и (35) имеем следующее разложе-
ние взвешенной псевдообратной матрицы с вырожденными весами в матричное степенное про-
изведение:
ABC+ = CEE+ AT B(ACEE+ AT B + δE)−1 {E +
k=0
∞
∏ δ2
k
(ACEE+ AT B + δE)−(2
k )} . (51)
Обозначим Aδ,n+ = CEE+ AT B(ACEE+ AT B + δE)−1 {E +k=0
n−1∏ δ2
k
(ACEE+ AT B + δE)−(2
k )} , n = 1 ,
2,… . Тогда в силу тождества (17), соотношения (39) и замечания 4 получаем
ABC+ − Aδ,n+ CBEE
+1/2 ≤ σ*
−1δ2
n
(δ + σ*
2 )−(2
n ) . (52)
4. Регуляризация задач. Из оценки (39) и замечания 4 следует, что для любого p =
= 1, 2,… имеем следующее предельное представление взвешенной псевдообратной матрицы:
ABC+ = lim
δ→+0
δk−1(
k=1
p
∑ CEE+ AT BA + δE)−kCEE+ AT B , (53)
а из оценки (50) для любого n = 1, 2,… —
ABC+ = lim
δ→+0
E + δ2
k
(CEE+ AT BA + δE)−(2
k ){ }
k=0
n−1
∏ (CEE+ AT BA + δE)−1CEE+ AT B . (54)
Из предельных представлений (53), (54) взвешенных псевдообратных матриц следует, что
при достаточно малом параметре δ матрицы ABC+ и Aδ, p+ , Aδ,n+ могут как угодно мало от-
личаться одна от другoй и на основании предложенных предельных представлений можно вы-
числять приближения к взвешенным псевдообратным матрицам. Оценки близости взвешен-
ных псевдообратных матриц и их приближенных значений даны формулами (39), (50), (52).
422 И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
На основе предельных представлений взвешенных псевдообратных матриц можно также
предложить регуляризованные задачи для вычисления взвешенных нормальных псевдореше-
ний. Сначала рассмотрим регуляризованную задачу для нахождения взвешенного нормального
псевдорешения СЛАУ (18) на основе формулы (53). Согласно (53) приближение к взвешен-
ному нормальному псевдорешению при достаточно малом δ можно получить по формуле
xδ, p = Aδ, p+ f = δk−1(k=1
p∑ CEE+ AT BA + δE)−kCEE+ AT Bf . Умножив слева обе части этого равен-
ства на (CEE+ AT BA + δE)p−m , где m = 0,1,…, p −1 , получим СЛАУ для вычисления прибли-
жения к взвешенному нормальному псевдорешению системы (18):
(CEE+ AT BA + δE)p−m x = δk−1(
k=1
p
∑ CEE+ AT BA + δE)p−m−kCEE+ AT Bf . (55)
В частности, при m = 0
(CEE+ AT BA + δE)p x = δk−1(
k=1
p
∑ CEE+ AT BA + δE)p−kCEE+ AT Bf , (56)
а при m = p −1
(CEE+ AT BA + δE)x = δk−1(
k=1
p
∑ CEE+ AT BA + δE)1−kCEE+ AT Bf . (57)
Поскольку матрица CEE+ AT BA — произведение двух симметричных положительно полу-
определенных матриц, ее собственные значения неотрицательные и вещественные [20]. Тогда
матрица (CEE+ AT BA + δE)p , p = 1, 2,… , при δ > 0 невырождена и, следовательно, сущест-
вует единственное решение систем (55) − (57).
При p ≥ 2 для решения СЛАУ (57) необходимо вычислять обратную матрицу к матрице
CEE+ AT BA + δE . При решении СЛАУ (56) обратную матрицу не нужно вычислять, но может
ухудшаться обусловленность матрицы (CEE+ AT BA + δE)p . Вопрос выбора СЛАУ для вычис-
ления xδ, p , по-видимому, будет зависеть не столько от объема вычислительной работы,
сколько от величины погрешности, вносимой вычислительным процессом.
Пусть x+ — взвешенное нормальное псевдорешение системы (18), а xδ, p — решение од-
ной из систем (55) − (57). Тогда
x+ − xδ, p = ABC+ f − Aδ, p+ f = (ABC+ − Aδ, p+ ) f . (58)
Оценивать погрешность z = x+ − xδ, p будем в векторной норме ⋅ C . Тогда нужно пока-
зать, что для вектора z выполняется первая аксиома векторной нормы ⋅ C > 0 , т. е. это
будет норма, а не полунорма. Для этого достаточно показать, что z ∈!
n (C) . Поскольку
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ … 423
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
z = (ABC+ − Aδ, p+ ) f = Z f и при доказательстве теоремы 3 установлено, что CEE+ CZ = Z , то
очевидно, что z ∈!
n (C) .
На основании определения нормы прямоугольной матрицы формулой (5), равенств
B1/2BEE
+1/2B1/2 = B1/2 , BBEE
+1/2B1/2 = B , вида матриц ABC+ , Aδ, p+ , определенных в теореме 3,
из (58) имеем x+ − xδ, p C
= (ABC+ − Aδ, p+ )BEE
+1/2B1/2 f
C
≤ ABC+ − Aδ, p+
CBEE
+1/2 f B . В силу
(39) из последнего соотношения получаем
x+ − xδ, p C
≤ σ*
−1δ p (δ + σ*
2 )− p f B . (59)
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть x+ — взвешенное нормальное псевдорешение с положительно полу-
определенными весами системы (18), а xδ, p — решение одной из систем (55) − (57). Тогда
справедлива оценка (59).
Теперь для получения регуляризованной задачи нахождения приближения к взвешенному
нормальному псевдорешению СЛАУ (18) используем формулу (54), согласно которой можно
положить
xδ,n = E + δ2
k
(CEE+ AT BA + δE)−(2
k ){ }
k=0
n−1
∏ (CEE+ AT BA + δE)−1CEE+ AT Bf , n = 1, 2,… .
Умножив слева обе части этого равенства на (CEE+ AT BA + δE)n−m , где m = 0,1,…, n −1 , по-
лучим СЛАУ для вычисления приближения xδ,n к взвешенному нормальному псевдоре-
шению системы (18)
(CEE+ AT BA + δE)n−m x =
= (CEE+ AT BA + δE)n−m−1 + δ2
k
(CEE+ AT BA + δE)n−m−(2k )−1{ }CEE+ AT B
k=0
n−1
∏ f . (60)
Используя оценку (50), как и при установлении оценки (59), для погрешности z = x+ − xδ,n
имеем
x+ − xδ,n C
≤ σ*−1δ2
n
(δ + σ*2 )−(2
n ) f B . (61)
Следовательно, справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Пусть x+ — взвешенное нормальное псевдорешение с положительно полу-
определенными весами системы (18), а xδ,n — решение одной из систем (60). Тогда спра-
ведлива оценка (61).
Замечание 5. Если матрицы B и C положительно определенные, то в теореме 3 вмес-
то псевдообратных матриц к этим матрицам необходимо брать обратные. Тогда будем иметь
представления взвешенных псевдообратных матриц с положительно определенными весами,
424 И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
полученные в [23], где математическим аппаратом исследования служит взвешенное сингуляр-
ное разложение матриц с невырожденными весами.
Отметим, что метод регуляризации для нахождения нормальных псевдорешений СЛАУ
предложен и исследован в [24, 25], а для вычисления L -псевдорешений — в [26].
5. Построение итерационных процессов. Рассмотрим методику построения итерацион-
ных процессов для вычисления взвешенных псевдообратных матриц. Сначала для построения
итерационного процесса используем разложение (34) взвешенной псевдообратной матрицы с
вырожденными весами в матричный степенной ряд. Положим
Xk = δi−1(
i=1
k
∑ CEE+ AT BA + δE)−iCEE+ AT B .
Тогда для вычисления ABC+ получим итерационный процесс
X0 = 0, Xk = δ(CEE+ AT BA + δE)−1Xk−1 + (CEE+ AT BA + δE)−1CEE+ AT B =
= (CEE+ AT BA + δE)−1(δXk−1 + CEE+ AT B), k = 1, 2,… . (62)
Оценка близости k -го приближения по формулам (62) к ABC+ определяется формулой (39),
где следует положить p = k . Из оценки (39) следует, что погрешность приближения зависит
от количества итераций и параметра δ . Очевидно, что параметр δ необходимо выбирать, по
возможности, наименьшим. Но его величина ограничивается в сторону уменьшения необходи-
мой точностью вычисления обратной матрицы к матрице CEE+ AT BA + δE .
Теперь для построения итерационного процесса используем разложение (49) взвешенной
псевдообратной матрицы с вырожденными весами в матричное степенное произведение. По-
ложим
Xk = E + δ2
i
(CEE+ AT BA + δE)−(2
i ){ }
i=0
k−1
∏ (CEE+ AT BA + δE)−1CEE+ AT B .
Тогда для вычисления ABC+ получим итерационный процесс
X0 = (CEE+ AT BA + δE)−1CEE+ AT B ,
Xk = E + δ2
k−1
(CEE+ AT BA + δE)−(2
k−1){ } Xk−1 =
= Xk−1 + δ2
k−1
(CEE+ AT BA + δE)−(2
k−1)Xk−1, k = 1, 2,… . (63)
Оценка близости k -го приближения по формулам (63) к ABC+ определяется формулой (50),
где следует положить n = k .
Рассмотрим методику построения итерационных процессов для вычисления взвешенных
нормальных псевдорешений. Положим xk = Xk f , где матрицы Xk определены форму-
лой (62). Тогда для вычисления приближения к x+ = ABC+ f получим итерационный процесс
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ … 425
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
x0 = 0, xk = δ(CEE+ AT BA + δE)−1xk−1 + (CEE+ AT BA + δE)−1CEE+ AT Bf =
= (CEE+ AT BA + δE)−1(δxk−1 + CEE+ AT Bf ), k = 1, 2,… . (64)
Оценка близости k -го приближения по формулам (64) к x+ определяется формулой (59),
где следует положить p = k .
Итерационный процесс (64) можно представить в виде
x0 = 0, δxk + CEE+ AT BAxk = δxk−1 + CEE+ AT Bf , k = 1, 2,…. (65)
При реализации итерационного процесса (64) необходимо один раз вычислить обратную
матрицу к матрице CEE+ AT BA + δE , а при реализации итерационного процесса (65) необходи-
мо на каждой итерации решать систему линейных алгебраических уравнений. Вопрос выбора
итерационного метода, по-видимому, будет зависеть не столько от объема вычислительной
работы, сколько от величины погрешности, вносимой вычислительным процессом.
Отметим, что, положив в (65) B = C = E , получим итерационный процесс, предложенный
и исследованный в монографии [27] для решения некорректных задач для операторных уравне-
ний и названный авторами итерационным методом регуляризации. В работе [28] предложены
и исследованы итерационные методы регуляризации для решения задач связанного псевдообра-
щения. Отметим также, что в работе [29] построены итерационные процессы для вычисления
взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений, которые мо-
гут быть альтернативой предложенным выше.
Для построения следующего итерационного процесса с более высокой скоростью сходи-
мости опять положим xk = Xk f , где матрицы Xk теперь определены формулой (63). Тогда
для вычисления приближения к x+ = ABC+ f получим итерационный процесс
x0 = (CEE+ AT BA + δE)−1CEE+ AT Bf ,
xk = E + δ2
k−1
(CEE+ AT BA + δE)−(2
k−1){ } xk−1 =
= xk−1 + δ2
k−1
(CEE+ AT BA + δE)−(2
k−1)xk−1, k = 1, 2,… . (66)
Оценка близости k -го приближения по формулам (66) к x+ определяется формулой (61),
где следует положить n = k .
1. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. – М.: Мир, 1969. –
168 с.
2. Van Loan C. F. Generalizing the singular value decomposition // SIAM J. Numer. Anal. – 1976. – 13, № 1. – P. 76 −
83.
3. Галба Е. Ф. Взвешенное сингулярное разложение и взвешенное псевдообращение матриц // Укр. мат. журн. –
1996. – 48, № 10. – С. 1426 − 1430.
4. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. – М.: Наука, 1986. – 232 с.
426 И. В. СЕРГИЕНКО, Е. Ф. ГАЛБА, В. С. ДЕЙНЕКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
5. Галба Е. Ф., Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Взвешенное сингулярное разложение и взвешенное псевдообра-
щение матриц с вырожденными весами // Журн. вычислит. математики и мат. физики. − 2012. − 52, № 12. −
С. 2115 − 2132.
6. Галба Е. Ф., Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Необходимые и достаточные условия существования одного из
вариантов взвешенного сингулярного разложения матриц с вырожденными весами // Докл. РАН. − 2014. − 455,
№ 3. − С. 261 − 264.
7. Галба Е. Ф., Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Взвешенные псевдообратные матрицы и взвешенные нормальные
псевдорешения с вырожденными весами // Журн. вычислит. математики и мат. физики. − 2009. − 49, № 8. −
С. 1347 − 1363.
8. Moore E. H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Abstrs Bull. Amer. Math. Soc. − 1920. − 26. −
P. 394 − 395.
9. Penrose R. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. − 1955. − 51, № 3. − P. 406 − 413.
10. Ward J. F., Boullion T. L., Lewis T. O. Weighted pseudoinverses with singular weights // SIAM J. Appl. Math. −
1971. − 21, № 3. − P. 480 − 482.
11. Сергиенко И. В., Галба Е. Ф., Дейнека В. С. Существование и единственность взвешенных псевдообратных
матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами // Укр. мат. журн. − 2011. − 63,
№ 1. − С. 80 − 101.
12. Сергиенко И. В., Галба Е. Ф., Дейнека В. С. Теоремы существования и единственности в теории взвешенной
псевдоинверсии с вырожденными весами // Кибернетика и систем. анализ. − 2011. − № 1. − С. 14 − 33.
13. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. – М.: Наука, 1975. − 223 с.
14. Галба Е. Ф., Молчанов И. Н., Скопецкий В. В. Итерационные методы для вычисления взвешенной псевдооб-
ратной матрицы с вырожденными весами // Кибернетика и систем. анализ. − 1999. − № 5. − С. 150 − 169.
15. Галба Е. Ф., Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Предельные представления взвешенных псевдообратных матриц с
вырожденными весами и регуляризация задач // Журн. вычислит. математики и мат. физики. − 2004. − 44,
№ 11. − С. 1928 − 1946.
16. Галба Е. Ф. Итерационные методы для вычисления взвешенного нормального псевдорешения с вырожденны-
ми весами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. − 1999. − 39, № 6. − С. 882 − 896.
17. Lancaster P., Rozsa P. Eigenvectors of H-self-adjoint matrices // Z. angew. Math. und Mech. − 1984. − 64, № 9. −
S. 439 − 441.
18. Икрамов Х. Д. Об алгебраических свойствах классов псевдоперестановочных и H-самоспряженных матриц //
Журн. вычислит. математики и мат. физики. − 1992. − 32, № 8. − С. 155 − 169.
19. Икрамов Х. Д. Задачи линейной алгебры с обобщенными симметриями и численные алгоритмы их решения:
Дис. … д-ра физ.-мат. наук. – М., 1991.
20. Ланкастер П. Теория матриц. − М.: Наука, 1982. − 270 с.
21. Галба Е. Ф., Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Разложения и многочленные предельные представления взвешен-
ных псевдообратных матриц // Журн. вычислит. математики и мат. физики. − 2007. − 47, № 5. − С. 747 − 766.
22. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. − М.: Мир, 1989. − 656 с.
23. Сергиенко И. В., Галба Е. Ф., Дейнека В. С. Разложение взвешенных псевдообратных матриц в матричные
степенные произведения // Укр. мат. журн. − 2004. − 56, № 11. − С. 1539 − 1556.
24. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. − М.: Наука, 1986. − 288 с.
25. Жданов А. И. Метод расширенных регуляризованных нормальных уравнений // Журн. вычислит. математики и
мат. физики. − 2012. − 52, № 2. − С. 205 − 208.
26. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. − М.: Наука, 1987. − 240 с.
27. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. – М.: Наука, 1986. −
183 с.
28. Архаров Е. В., Шафиев Р. А. Методы регуляризации задачи связанного псевдообращения с приближенными
данными // Журн. вычислит. математики и мат. физики. − 2003. − 43, № 3. − С. 347 − 353.
29. Сергиенко И. В., Галба Е. Ф., Дейнека В. С. Разложения взвешенных псевдообратных матриц с вырожден-
ными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы // Укр. мат. журн. − 2007. − 59,
№ 9. − С. 1269 − 1290.
Получено 17.04.14
|
| id | umjimathkievua-article-1992 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:42Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0f/f584417d8650290ef16075931e99680f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19922019-12-05T09:48:08Z Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of Weighted Singular-Valued Decompositions of Matrices with Singular Weights Необходимые и достаточные условия существования взвешенного сингулярного разложения матриц с вырожденными весами Galba, E. F. Deineka, V. S. Sergienko, I. V. Галба, Е. Ф. Дейнека, В. С. Сергиенко, И. В. Галба, Е. Ф. Дейнека, В. С. Сергиенко, И. В. A weighted singular-valued decomposition of matrices with singular weights is obtained by using orthogonal matrices. The necessary and sufficient conditions for the existence of the constructed weighted singular-valued decomposition are established. The indicated singular-valued decomposition of matrices is used to obtain a decomposition of their weighted pseudoinverse matrices and decompose them into matrix power series and products. The applications of these decompositions are discussed. Одержано зважене сингулярне розвинення матриць з виродженими вагами при використанні ортогональних матриць. Визначено необхідні та достатні умови, при яких існує побудоване зважене сингулярне розвинення матриць. На основі цього сингулярного розвинення матриць отримано розвинення зважених псевдообернених до них матриць з виродженими вагами та розвинення цих матриць в матричні степеневі ряди і добутки. Визначено застосування цих розвинень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1992 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 3 (2015); 406–426 Український математичний журнал; Том 67 № 3 (2015); 406–426 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1992/1002 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1992/1003 Copyright (c) 2015 Galba E. F.; Deineka V. S.; Sergienko I. V. |
| spellingShingle | Galba, E. F. Deineka, V. S. Sergienko, I. V. Галба, Е. Ф. Дейнека, В. С. Сергиенко, И. В. Галба, Е. Ф. Дейнека, В. С. Сергиенко, И. В. Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of Weighted Singular-Valued Decompositions of Matrices with Singular Weights |
| title | Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of Weighted Singular-Valued Decompositions of Matrices with Singular Weights |
| title_alt | Необходимые и достаточные условия существования взвешенного сингулярного разложения матриц с вырожденными весами |
| title_full | Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of Weighted Singular-Valued Decompositions of Matrices with Singular Weights |
| title_fullStr | Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of Weighted Singular-Valued Decompositions of Matrices with Singular Weights |
| title_full_unstemmed | Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of Weighted Singular-Valued Decompositions of Matrices with Singular Weights |
| title_short | Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of Weighted Singular-Valued Decompositions of Matrices with Singular Weights |
| title_sort | necessary and sufficient conditions for the existence of weighted singular-valued decompositions of matrices with singular weights |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1992 |
| work_keys_str_mv | AT galbaef necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofweightedsingularvalueddecompositionsofmatriceswithsingularweights AT deinekavs necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofweightedsingularvalueddecompositionsofmatriceswithsingularweights AT sergienkoiv necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofweightedsingularvalueddecompositionsofmatriceswithsingularweights AT galbaef necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofweightedsingularvalueddecompositionsofmatriceswithsingularweights AT dejnekavs necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofweightedsingularvalueddecompositionsofmatriceswithsingularweights AT sergienkoiv necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofweightedsingularvalueddecompositionsofmatriceswithsingularweights AT galbaef necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofweightedsingularvalueddecompositionsofmatriceswithsingularweights AT dejnekavs necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofweightedsingularvalueddecompositionsofmatriceswithsingularweights AT sergienkoiv necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofweightedsingularvalueddecompositionsofmatriceswithsingularweights AT galbaef neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâvzvešennogosingulârnogorazloženiâmatricsvyroždennymivesami AT deinekavs neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâvzvešennogosingulârnogorazloženiâmatricsvyroždennymivesami AT sergienkoiv neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâvzvešennogosingulârnogorazloženiâmatricsvyroždennymivesami AT galbaef neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâvzvešennogosingulârnogorazloženiâmatricsvyroždennymivesami AT dejnekavs neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâvzvešennogosingulârnogorazloženiâmatricsvyroždennymivesami AT sergienkoiv neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâvzvešennogosingulârnogorazloženiâmatricsvyroždennymivesami AT galbaef neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâvzvešennogosingulârnogorazloženiâmatricsvyroždennymivesami AT dejnekavs neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâvzvešennogosingulârnogorazloženiâmatricsvyroždennymivesami AT sergienkoiv neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâvzvešennogosingulârnogorazloženiâmatricsvyroždennymivesami |