Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups
We obtain a description of locally finite A -groups with complemented non-Abelian subgroups.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1995 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507904135659520 |
|---|---|
| author | Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. |
| author_facet | Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. |
| author_sort | Baryshovets, P. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:26Z |
| description | We obtain a description of locally finite A -groups with complemented non-Abelian subgroups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
© П. П. БАРЫШОВЕЦ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4 447
УДК 519.41/47
П. П. Барышовец (Нац. авиац. ун-т, Киев)
БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ
We obtain a description of locally finite A-groups with complemented non-Abelian subgroups.
Наведено опис локально скінченних A-hrup з доповнюваними неабелевими підгрупами.
1. Введение. Подгруппа A группы G называется дополняемой в G , если в G существу-
ет такая подгруппа B , что G = AB и AB = 1 . Конечные группы с дополняемыми подгруп-
пами изучал Ф. Холл [1]. Произвольные (как конечные, так и бесконечные) группы с таким
свойством, получившие название вполне факторизуемых, были полностью oписаны в [2] (см.
также [3, 4]). Сужение системы дополняемых подгрупп от всех подгрупп группы до системы
абелевых подгрупп не привело к расширению класса вполне факторизуемых групп [5, 6].
Естественно возник вопрос об изучении неабелевых групп с дополняемыми неабелевыми под-
группами, поставленный С. Н. Черниковым в [7].
В разные годы рассматривалось влияние дополняемости систем подгрупп, близких к сис-
теме неабелевых подгрупп, на строение группы, прежде всего нециклических [8], элементар-
ных абелевых нециклических [9] и непримарных [10, 11]. Несмотря на то, что группы ука-
занных классов имели большие различия в строении, некоторые общие подходы при изучении
таких групп сохранялись.
В работах автора [12 – 14] изучались конечные группы с дополняемыми неабелевыми
подгруппами. Оказалось, в частности, что они разрешимы и их ступень разрешимости не пре-
вышает числа 3. Изучены также локально конечные ненильпотентные группы с дополняемы-
ми неабелевыми подгруппами, содержащие неабелевы силовские подгруппы [15]. В настоя-
щей работе рассматриваются локально конечные ненильпотентные группы с дополняемыми
неабелевыми подгруппами, не содержащие неабелевых силовских подгрупп. Их строение
описано до определяющих соотношений. Таким образом, результаты работы [15] и настоящей
статьи дают описание локально конечных неабелевых групп с дополняемыми неабелевыми
подгруппами.
Из полученных результатов следует, что среди новых групп наибольшее сходство с вполне
факторизуемыми группами сохранили группы с бесконечным абелевым коммутантом: для
таких групп необходимым условием дополняемости неабелевых подгрупп является дополняе-
мость цоколя группы и разложимость его в прямое произведение минимальных нормальных
делителей группы. Понятие цоколя введено Р. Ремаком и использовалось С. Н. Черниковым
при рассмотрении новых характеризаций вполне факторизуемых групп [16]. Отметим, что
Б. И. Мищенко [17], не используя строения групп с дополняемыми неабелевыми подгруппами,
показал, что в бесконечной локально ступенчатой неабелевой нечерниковской группе G из
условия дополняемости в ней бесконечных неабелевых подгрупп следует дополняемость в
группе G всех неабелевых подгрупп.
Перспективным в плане дальнейшего исследования влияния дополняемости систем под-
448 П. П. БАРЫШОВЕЦ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
групп на строение группы, по мнению автора, могло бы быть изучение групп с дополняемыми
неметациклическими подгруппами.
2. Предварительные результаты. Пусть G — произвольная неабелева группа, имею-
щая следующее свойство: любая неабелева подгруппа из G дополняема в G . Тогда все не-
абелевы подгруппы и неабелевы фактор-группы группы G , а также все прямые произведения
вида G × H , где H — абелева вполне факторизуемая группа, имеют то же свойство. Кро-
ме того, фактор-группа группы G по ее неабелевому нормальному делителю вполне факто-
ризуема.
Определение. Следуя Ф. Холлу и Тонту, локально конечные разрешимые группы с абе-
левыми силовскими подгруппами будем называть A -группами (как и в конечном случае).
Лемма 1. В A -группе пересечение центра с коммутантом тривиально.
Следует из аналогичного утверждения для конечных групп [18].
Лемма 2 [18]. В конечной A -группе коммутанты нормальных подгрупп дополняемы.
Следующие четыре леммы доказаны в [15].
Лемма 3. Если в неабелевой бесконечной бинарно конечной группе G с дополняемыми
неабелевыми подгруппами коммутант конечен, то G = H × B , где H — конечная группа с
дополняемыми неабелевыми подгруппами, а B — бесконечная вполне факторизуемая
группа.
Лемма 4. Локально конечная неабелева группа G с дополняемыми неабелевыми под-
группами не более, чем трехступенно разрешима. Если G нильпотентна, то ′′G = 1 .
Лемма 5. Если в бесконечной неабелевой локально вполне факторизуемой группе G
дополняемы все неабелевы подгруппы, то она вполне факторизуема.
Лемма 6. Локально конечная не нильпотентная прямо неразложимая не вполне
факторизуемая группа G с бесконечным коммутантом и дополняемыми неабелевыми
подгруппами содержит бесконечную максимальную абелеву нормальную подгруппу конеч-
ного индекса.
3. Бесконечные ненильпотентные A -группы с дополняемыми неабелевыми подгруп-
пами. Строение локально конечных групп такого вида описывает следующая теорема.
Теорема 1. В локально конечной ненильпотентной A -группе G тогда и только тогда
дополняемы все неабелевы подгруппы, когда G = H × B , где B — вполне факторизуемая
абелева группа, а H — группа одного из следующих типов:
1) H — неабелева вполне факторизуемая группа;
2) H = K c , K — абелева нормальная вполне факторизуемая группа, c = qm , cq ∈
∈Z H( ) , K:CK c( ) = ∞ , q — простое число, q ∉π K( ) , m — натуральное;
3) H = K ! b , K разлагается в прямое произведение конечных минимальных нор-
мальных делителей Kα группы H , на множителях которого вполне факторизуемая
группа b и ее собственные подгруппы действуют неприводимо и нетождественно,
причем среди подгрупп Kα по крайней мере одна имеет непростой порядок, а произ-
ведение подгрупп Kα , имеющих одинаковые порядки, является силовской подгруппой
группы H ;
4) H = K ! b ! a( ) , где bq = ar = 1, a−1ba = bα , αr ≡ 1 mod q( ) , K разлагается
БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ 449
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
в прямое произведение конечных минимальных нормальных делителей Kα группы H,
Kα есть либо простое число, и тогда [Kα , b] = 1 , Kα a — неабелева группа, либо r -я
степень простого числа, отличного от q и r ; среди подгрупп Kα по крайней мере одна
имеет непростой порядок; если Kα = pr , то элементы a и b действуют на Kα
следующим образом:
b =
α1 0 ! 0
0 α2 ! 0
!
0 0 ! αt
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
,
a =
0 1 0 ! 0
0 0 1 ! 0
!
0 0 0 ! 1
1 0 0 ! 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
,
α1 = q , α1r = α2,…,αtr = α1 , причем p2 −1 делится на q .
Для доказательства теоремы 1 нам потребуются еще две леммы.
Лемма 7. Пусть H — локально конечная ненильпотентная прямо неразложимая не
вполне факторизуемая группа с бесконечным коммутантом и дополняемыми неабелевыми
подгруппами. Если силовские подгруппы и коммутант ′H группы H абелевы, то H —
бесконечная группа типа 2 или 3 теоремы 1.
Доказательство. Бесконечность группы H следует из бесконечности ее коммутанта
′H .
1. Пусть C = CH ′H( ) . Тогда C ◃ H и ′H ⊆ C. Покажем, что C — абелева группа.
Действительно, ′C ⊆ ′H ⊆ Z CH ′H( )( ) = Z C( ) . В силу леммы 1 ′C = 1 .
Согласно леммe 6 группа H содержит бесконечную максимальную абелеву нормальную
подгруппу K конечного индекса в H . Пусть CK = T . Тогда вследствие абелевости нор-
мальных подгрупп C и K коммутант ′T содержится в их пересечении: ′T ⊆ K ∩C = K1 .
Но K1 = K ∩C( ) ⊆ Z T( ) и, значит, ′T ⊆ Z T( ) . В силу леммы 1 ′T = 1. Итак, централи-
затор C = CH ′H( ) абелев и имеет в группе H конечный индекс.
Пусть x ∉C . Тогда подгруппа C x неабелева, причем x можно считать элементом
примарного порядка, например pα , α ≥ 1 . Если C x = H , то силовские подгруппы
группы C по числам q ≠ p элементарные абелевы, а [C, x p ] = 1 . Следовательно, H —
бесконечная группа типа 2 теоремы 1.
Пусть
C x ≠ H . (1)
Тогда подгруппа C x дополняема в группе H . Если
H = C x( )! L, (2)
450 П. П. БАРЫШОВЕЦ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
то L — вполне факторизуемая абелева группа, [C, L] ≠ 1. Поскольку в предыдущих рас-
суждениях, начиная с (1), элемент x можно заменить элементом из подгруппы L , можно
считать, что x имеет простой порядок. L, x = D — конечная A -группа и в силу леммы 2
D = ′D !M , где M — абелева группа. При этом произведение подгрупп C и D равно
H , ′D ⊆ ′H ⊆ C , значит, H = CD = C ′D M = CM . Но согласно (2) индекс H :C = L x .
Далее, ′D ⊆ C, L ∩C = 1, следовательно, ′D ∩ L = 1 . При этом ′D L ≠ D, значит, D =
= ′D L( ) x и D: ′D = L x . Отсюда следует, что H = C!M .
Если y ∈M , то подгруппа C y неабелева и, значит, дополняема в H . Отсюда выте-
кает, что подгруппа y дополняема в H , а значит, и в M . Таким образом, M — абелева
вполне факторизуемая группа.
Если C — не вполне факторизуемая группа, то пусть R — не элементарная абелева ко-
нечная примарная подгруппа из C , t — такой элемент из M , что R, t[ ] ≠ 1 . Из описания
конечных A -групп с дополняемыми неабелевыми подгруппами [12, 14] следует, что силовские
подгруппы группы R, t элементарные абелевы. Из полученного противоречия следует,
что группа C абелева вполне факторизуемая.
2. Покажем, что если X ◃ H , X ⊂ C , то (XM ′) = X .
Действительно, предположим, что (XM ′) ≠ X . Ясно, что (XM ′) ⊆ X . Если x1 ∈
∈(XM ′) , x2 ∈X , x2 ∉(XM ′) , то в конечной группе x1, x2, M центр нетривиален и со-
держится в C . Тогда и центр Z H( ) группы H нетривиален и содержится в C . Отсюда
в силу леммы 1 следует прямая разложимость группы H . Значит, (XM ′) = X .
В частности, ′H = C .
3. Поскольку группа H предполагается не вполне факторизуемой, она содержит ко-
нечную группу Миллера – Морено W с ′W = pa , где a > 1 . Рассмотрим конечную под-
группу U = ′W , M . Так как NH ′U( ) ⊇ C и NH ′U( ) ⊇ M , то ′U ◃ H . Тогда из ут-
верждения пункта 2 настоящего доказательства следует, что ′U M( )′ = ′U . Пусть Xα —
произвольное конечное множество элементов из C. Подгруппа Uα = Xα , M конечна,
Uα ∩C = Cα ◃ H и, значит, в силу утверждения пункта 2 Cα = Uα( )′ .
Рассмотрим подгруппу
B = Cαα∪ , порожденную всеми подгруппами Cα . Она, оче-
видно, нормальна в H и содержится в C . Поскольку любой элемент из C содержится по
крайней мере в одном множестве Cα , то C ⊆ B . Значит,
C = Cαα∪ . Отсюда с помощью
трансфинитной индукции и утверждения пункта 2 нетрудно получить разложение подгруппы
C в прямое произведение конечных нормальных делителей группы H . Если Cβ — любой
из них, то CβM — конечная неабелева группа с дополняемыми неабелевыми подгруппами.
Применяя ко всем таким подгруппам теорему из [14], получаем, что H — бесконечная груп-
па типа 2 или 3 теоремы 1.
Лемма доказана.
БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ 451
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
Лемма 8. Пусть H — локально конечная ненильпотентная прямо неразложимая не
вполне факторизуемая группа с бесконечным коммутантом и дополняемыми неабелевыми
подгруппами. Если силовские подгруппы группы H абелевы, а коммутант ′H неабелев,
то H — бесконечная группа типа 4 теоремы 1.
Доказательство. Бесконечность группы H следует из бесконечности ее коммутанта
′H .
1. Пусть C = C ′H ′′H( ) . Тогда C ◃ H и ′′H ⊆ C. Покажем, что C — абелева группа.
Действительно, ′C ⊆ ′′H ⊆ Z C ′H ′′H( )( ) = Z C( ) . В силу леммы 1 ′C = 1 , а в силу леммы
6 группа H содержит бесконечную максимальную абелеву нормальную подгруппу K
конечного индекса в H . Пусть CK = T . Тогда вследствие абелевости нормальных подгрупп
C и K коммутант ′T содержится в их пересечении: ′T ⊆ K ∩C = K1 . Но K1 =
= K ∩C( ) ⊆ Z T( ) и, значит, ′T ⊆ Z T( ) . Согласно леммe 1 ′T = 1 . Итак, подгруппа T
абелева, содержит коммутант ′′H и имеет в группе H конечный индекс. Следовательно,
T ⊆ CH ′′H( ) и, значит, централизатор N = CH ′′H( ) имеет в группе H конечный индекс.
Заметим, что в силу леммы 1 N является абелевой группой. Отсюда и из дополняемости в
H неабелевых подгрупп следует, что фактор-группа H /N неабелева вполне факторизуема.
Пусть X1 — нормальная подгруппа простого порядка p в фактор-группе H /N , а X
— ее прообраз в H . Подгруппа X неабелева и дополняема в H . Если H = X!Y , то
подгруппа NY имеет простой индекс в H . Пусть t ∈H , t ∉ NY( ) . Тогда N Y , t ⊇
⊇ NY( ) t = H . Подгруппа R = Y , t конечна и, очевидно, неабелева. Поскольку ′′R ⊆
⊆ ′′H ⊆ C и в силу леммы 2 коммутант ′′R дополняем в R, например, подгруппой U , за-
менив R на U , не теряя общности, можно считать R двуступенно разрешимой группой.
Согласно леммe 2 R = ′R ! D, а из описания конечных A -групп с дополняемыми неабе-
левыми подгруппами [14] следует, что ′R — вполне факторизуемая абелева группа.
Далее, R — дисперсивная группа. Пусть Ri = Pi ! D , где Pi — силовская pi -подгруп-
па группы ′R . Используя результаты работы [14], можно разложить Pi в прямое произве-
дение минимальных нормальных делителей группы R . Если P1 — один из них, то
N ∩ P1( ) ◃ R . Значит, либо P1 ⊂ N , либо P1 ∩ N = 1 . Так как фактор-группа H /N впол-
не факторизуема, отсюда следует, что ′R разлагается в прямое произведение нормальных в
R подгрупп простых порядков. Не теряя общности, можно считать, что N ∩ ′R = 1 .
2. Покажем, что если X ◃ ′H , X ⊂ ′′H , то X ′R( )′ = X .
Действительно, предположим, что X ′R( )′ ≠ X . Ясно, что X ′R( )′ ⊆ X . Если x1 ∈
∈ X ′R( )′ , x2 ∈X , x2 ∉ X ′R( )′ , то в конечной группе x1, x2, ′R центр нетривиален и
содержится в X . Тогда и центр Z ′H( ) группы ′H нетривиален и содержится в ′′H .
Получили противоречие с леммой 1. Значит, X ′R( )′ = X . Утверждение доказано.
Из него, в частности, следует, что ′′H = ′′H ′R( )′ .
3. Пусть y ∈ ′′H , [y, ′R ] ≠ 1 . Тогда W = y, R — неабелева конечная группа. 1 ≠ L =
452 П. П. БАРЫШОВЕЦ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
= ′′H ∩W( ) ◃W , и, значит, NH L( ) ⊇ R . Но L ⊂ N , а N — абелева группа. Поскольку
H = NR , L — конечный нормальный делитель группы H , содержащийся в ′′H . Тогда в
силу утверждения пункта 2 настоящего доказательства L ′R( )′ = L . Вследствие выбора
подгруппы R пересечение L ∩ R = 1 . Рассмотрим подгруппу M = L! R . Нетрудно убе-
диться, что
M = ′′M ! ′R ! D( ) ,
где ′′M = L . Подгруппу L можно считать, без потери общности, минимальным нормаль-
ным делителем группы H ( а значит, и M ).
Тогда на основании результатов работы [19] силовские подгруппы группы M , а значит, и
D элементарные абелевы. Следовательно, R = ′R ! D — вполне факторизуемая группа.
Тогда если пересечение N ∩ R ≠ 1 , то его дополнение в R дополняет N в H . Не теряя
общности, можно считать, что
H = N ! R .
Как показано в [19], ′′M ′R — вполне факторизуемая группа, ′R = q , D = r , ′′M =
= pr , где p , q , r — различные простые числа. Таким образом,
H = N ! b ! c( ) ,
где b = q , c = r .
Пусть Xα — произвольное конечное множество элементов из N . Подгруппа Uα =
= Xα , b, c конечна, Uα ∩ N = Cα ◃ H и, значит, из утверждения пункта 2 доказательства
леммы 7 следует, что Cα = Uα( )′ .
Рассмотрим подгруппу
B = Cαα∪ , порожденную всеми подгруппами Cα . Она, очевид-
но, нормальна в H и содержится в N . Поскольку любой элемент из N содержится по
крайней мере в одном множестве Xα , то N ⊆ B . Значит,
N = Cαα∪ . Отсюда с помощью
трансфинитной индукции и утверждения пункта 2 настоящего доказательства нетрудно полу-
чить разложение подгруппы ′′H в прямое произведение конечных минимальных нормальных
делителей группы H . Если Cβ — любой из них, причем Cβ ⊆ ′′H , то CβR — конечная
неабелева группа с неабелевым коммутантом и дополняемыми неабелевыми подгруппами.
Если же Cβ ⊄ ′′H , то Cβ, b⎡⎣ ⎤⎦ = 1 и, значит, Cβ — простое число. Применяя ко всем та-
ким подгруппам теорему [14], получаем, что H = ′′H R — бесконечная группа типа 4 теоре-
мы 1.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пусть G — локально конечная нениль-
потентная и, значит, неабелева группа с дополняемыми неабелевыми подгруппами. Если
БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ 453
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
G = H × B , (3)
где обе подгруппы H и B неабелевы вполне факторизуемые, то и группа G такая же и,
значит, принадлежит типу 1 доказываемой теоремы. Отсюда вследствие неабелевости группы
G следует, что одна из подгрупп, например B , в разложении (3) является абелевой вполне
факторизуемой, а вторая, H , — прямо неразложимой неабелевой не вполне факторизуемой
группой. Если коммутант ′H подгруппы H конечен, то в силу леммы 3 H можно счи-
тать конечной группой. Применяя к H теорему из [14], получаем, что H — конечная груп-
па одного из типов 2 – 4 теоремы 1. Если же коммутант ′H подгруппы H бесконечен, то
необходимость следует из лемм 7 и 8.
Достаточность. 1. Пусть группа G удовлетворяет условию теоремы 1. В силу разло-
жения (3), где B — вполне факторизуемая абелева группа, а H — неабелева группа, доста-
точно доказать дополняемость в группе H неабелевых подгрупп из H . Действительно,
если F — подгруппа группы G , то
FB = F F ∩ B( )K( ) = FK = F × K ,
где K — дополнение подгруппы F ∩ B в B . С другой стороны, по свойству прямого произ-
ведения [20, c. 104] FB = H ∩ FB( ) × B . Следовательно, если подгруппа H ∩ FB дополняе-
ма в H , то FB , а значит, и F дополняемы в группе G . Осталось заметить, что группы
H ∩ FB и F одновременно абелевы или неабелевы.
2. Дополняемость неабелевых подгрупп в конечной группе H типа 2 – 4 теоремы 1 сле-
дует из результатов работы [14]. В дальнейшем подгруппу H можно считать бесконечной, а
в силу леммы 3 можно считать, что бесконечен и ее коммутант ′H . Дополняемость неабе-
левых подгрупп в бесконечной группе H типа 2 теоремы 1 доказывается аналогично лемме
10 [13].
3. Пусть H — бесконечная группа типа 3 и R — ее неабелева подгруппа. Тогда RL =
= L! RL ∩ P( ) по лемме Черникова [16, c. 151]. Пусть D = RL ∩ P . Единственной недо-
полняемой подгруппой в группе P является ее коммутант ′P . Поскольку CP L( ) ◃ P ,
1 ≠ CP L( ) ≠ P , то ′P ⊆ CP L( ) . Следовательно, подгруппа RL абелева в случае D = ′P
и этот случай невозможен. Таким образом, подгруппа D дополняема в группе P . Пусть
P = D ⋅N , D ∩ N = 1 . Тогда H = LP = L DN( ) = LD( )N = LR( )N , LR ∩ N = 1 . Но
RL = R R ∩ L( )( ) L = R R ∩ L( ) L( ) = R R ∩ L( )T( ) = R R ∩ L( )( )T = RT = T ! R ,
где T — дополнение к подгруппе R ∩ L в L , составленное из множителей некоторого раз-
ложения подгруппы L в прямое произведение нормальных в H подгрупп простых поряд-
ков. Отсюда следует, что подгруппа TN дополняет подгруппу R в группе H .
4. Пусть H — бесконечная группа типа 4 и R — ее неабелева подгруппа. Тогда имеет
место следующее утверждение.
Для любой неабелевой группы R из H и любого минимального нормального делителя
Kα группы H , содержащегося в K , либо Kα ⊂ R , либо Kα ∩ R = 1 .
Действительно, предположим, что K1 — минимальный нормальный делитель группы H ,
454 П. П. БАРЫШОВЕЦ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
содержащийся в K , причем 1 ≠ K1 ∩ R = M ≠ K1 . Ясно, что K1 имеет непростой порядок.
Поскольку подгруппа R неабелева, то R ∩ b = b1 ≠ 1 . Далее, M ◃ R , следовательно,
b1−1Mb1 = M , т. е. подгруппа b1 действует на K1 приводимо. Из полученного противо-
речия следует доказываемое утверждение.
Далее, используя утверждение из пункта 4 настоящего доказательства, рассуждаем, как
при рассмотрении случая группы типа 3.
5. Пусть H — группа типа 4 и R — ее неабелева подгруппа. Нетрудно заметить, что
вместо дополняемости неабелевой подгруппы R в указанной выше группе H достаточно
доказать дополняемость в H подгруппы Z ′H( ) R . Поэтому можно считать, что
Z ′H( ) ⊆ R . Но тогда R = Z ′H( )! L , где L = R ∩ ′′H b, a . Итак, достаточно доказать
дополняемость подгруппы L в группе ′′H b, a .
Поскольку R = Z ′H( )! L и R — неабелева группа, то L /⊆ ′′H . Если π L( ) ⊇
⊇ q, r{ } , то подгруппа L в группе ′′H b, a дополняема, а если π L( )∩ q, r{ } = ∅ , то
подгруппа R абелева вопреки ее выбору. Так как множества π ′′H( ) , q{ } и r{ } попарно
не пересекаются, осталось рассмотреть два случая: либо π L( )∩ q, r{ } = r{ } , либо
π L( )∩ q, r{ } = q{ } . В первом случае в силу полной факторизуемости группы ′′H b
подгруппа L дополняема в группе ′′H b, a . Во втором случае вследствие неабелевости
группы R пересечение L ∩ ′′H нетривиально. Пусть Pi — силовская pi -подгруппа
коммутанта ′′H . Если L ∩ Pi ≠ 1 , то подгруппа L ∩ Pi! ′b , где ′b — силовская q -
подгруппа группы L , непримарна и дополняема в непримарно факторизуемой группе
′′H pi b, a (здесь ′′H pi — силовская pi -подгруппа группы ′′H ). Обозначим это дополнение
через Yi . Если же L ∩ Pi = 1 , то положим Yi = Pi a . Обозначим, далее, через Yi произ-
ведение YiP ′i , где P ′i — силовское pi -дополнение коммутанта ′′H . Очевидно, Yi допол-
няет подгруппу L∩ Pi( )! ′b в группе ′′H b, a . Теперь нетрудно убедиться, что пересе-
чение подгрупп Yi дополняет подгруппу L в группе ′′H b, a . Достаточность доказана.
1. Hall Ph. Complemented groups // J. London Math. Soc. – 1937. – 12. – P. 201–204.
2. Баева Н. В. Вполне факторизуемые группы // Докл. АН CCCP . – 1953. – 92, № 5. – С. 877 – 880.
3. Черникова Н. В. Группы с дополняемыми подгруппами // Мат. сб. – 1956. – 39. – С. 273 – 292.
4. Черникова Н. В. К основной теореме о вполне факторизуемых группах // Группы с системами дополняемых
подгрупп. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1972. – С. 49 – 58.
5. Черников С. Н. Группы с системами дополняемых подгрупп // Мат. сб. – 1954. – 35. – С. 93 – 128.
6. Горчаков Ю. М. Примитивно факторизуемые группы // Учен. зап. Перм. ун-та. – 1960. – 17, вып. 2. – С. 15 –
31.
7. Черников С. Н. Исследование групп с заданными свойствами подгрупп // Укр. мат. журн. – 1969. – 21, № 2. –
С. 193 – 209.
8. 3уб О. Н. Группы, нециклические подгруппы которых дополняемы // Группы с ограничениями для подгрупп. –
Киев: Наук. думка, 1971. – С. 134 – 159.
9. Сысак Я. П. Конечные элементарно факторизуемые группы // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 1. – С. 67 – 76.
10. Алексеева Э. С. Бесконечные непримарно факторизуемые группы // Некоторые вопросы теории групп. –
Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. – С. 123 – 140.
БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ 455
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
11. Сучков Н. М. О некоторых линейных группах с дополняемыми подгруппами // Алгебра и логика. – 1977. – 16,
№ 5. – С. 603 – 620.
12. Барышовец П. П. О конечных неабелевых группах с дополняемыми неабелевыми подгруппами // Укр. мат.
журн. – 1977. – 29, № 6. – С. 733 – 737.
13. Барышовец П. П. Конечные неабелевы 2-группы с дополняемыми неабелевыми подгруппами // Теоретико-
групповые исследования. – Киев: Наук. думка, 1978. – С. 34 – 50.
14. Барышовец П. П. Об одном классе конечных групп с дополняемыми неабелевыми подгруппами // Укр. мат.
журн. – 1981. – 33, № 3. – С. 291 – 296.
15. Барышовец П. П. О бесконечных группах с дополняемыми неабелевыми подгруппами // Укр. мат. журн. –
2013. – 65, № 11. – С. 1443 – 1455.
16. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
17. Мищенко Б. И. Локально ступенчатые группы с дополняемыми бесконечными неабелевыми подгруппами //
Укр. мат. журн. –1991. – 43, № 7-8. – С. 1098 – 1100.
18. Taunt D. On A -groups // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1949. – 45, № 1. – P. 24 – 42.
19. Маланьина Г. А., Хлебутина В. И., Шевцов Г. С. Конечные минимальные не вполне факторизуемые группы //
Мат. заметки. – 1972. – 12, № 2. – С. 157 – 162.
20. Курош А. Г. Теория групп. – 3-е изд. – М.: Наука, 1967.
Получено 13.01.14,
после доработки — 02.12.14
|
| id | umjimathkievua-article-1995 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:43Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ec/757aa702c9e333fef17339379e964aec.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19952019-12-05T09:48:26Z Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups Бесконечные группы с дополняемыми неабелевыми подгруппами Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. We obtain a description of locally finite A -groups with complemented non-Abelian subgroups. Наведено опис локально скінченних A-груп з доповнюваними неабелевими підгрупами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1995 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 4 (2015); 447-455 Український математичний журнал; Том 67 № 4 (2015); 447-455 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1995/1008 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1995/1009 Copyright (c) 2015 Baryshovets P. P. |
| spellingShingle | Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title | Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title_alt | Бесконечные группы с дополняемыми неабелевыми подгруппами |
| title_full | Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title_fullStr | Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title_full_unstemmed | Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title_short | Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title_sort | infinite groups with complemented non-abelian subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1995 |
| work_keys_str_mv | AT baryshovetspp infinitegroupswithcomplementednonabeliansubgroups AT baryšovecpp infinitegroupswithcomplementednonabeliansubgroups AT baryšovecpp infinitegroupswithcomplementednonabeliansubgroups AT baryshovetspp beskonečnyegruppysdopolnâemymineabelevymipodgruppami AT baryšovecpp beskonečnyegruppysdopolnâemymineabelevymipodgruppami AT baryšovecpp beskonečnyegruppysdopolnâemymineabelevymipodgruppami |