On the Norm of Decomposable Subgroups in Locally Finite Groups
We study the relationships between the norm of decomposable subgroups and the norm of Abelian noncyclic subgroups in the class of locally finite groups. We also describe some properties of periodic locally nilpotent groups in which the norm of decomposable subgroups is a non-Dedekind norm.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1998 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507907519414272 |
|---|---|
| author | Lyman, F. N. Lukashova, T. D. Лиман, Ф. Н. Лукашова, Т. Д. Лиман, Ф. Н. Лукашова, Т. Д. |
| author_facet | Lyman, F. N. Lukashova, T. D. Лиман, Ф. Н. Лукашова, Т. Д. Лиман, Ф. Н. Лукашова, Т. Д. |
| author_sort | Lyman, F. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:26Z |
| description | We study the relationships between the norm of decomposable subgroups and the norm of Abelian noncyclic subgroups in the class of locally finite groups. We also describe some properties of periodic locally nilpotent groups in which the norm of decomposable subgroups is a non-Dedekind norm. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА, 2015
480 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
УДК 512.544
Ф. Н. Лиман, Т. Д. Лукашова (Сум. гос. пед. ун-т им. А. С. Макаренко)
О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП
В ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ
We study the relationships between the norm of decomposable subgroups and the norm of Abelian non-cyclic subgroups in
the class of locally finite groups. We also describe some properties of periodic locally nilpotent groups in which the norm
of decomposable subgroups is a non-Dedekind norm.
Розглядаються взаємозв’язки між нормою розкладних підгруп та нормою абелевих нециклічних підгруп у класі
локально скінченних груп. Також встановлено деякі властивості періодичних локально нільпотентних груп з
недедекіндовою нормою розкладних підгруп.
В теории групп достаточно большое количество результатов связано с изучением свойств
групп с заданными ограничениями на их подгруппы и системы таких подгрупп. С одной
стороны, группа может иметь систему подгрупп с заданными свойствами, но влияние этой
системы подгрупп не является существенным, а с другой — наличие одной (как правило,
характеристической) подгруппы с определенным свойством может быть определяющим
фактором для строения самой группы. В последнее время список таких подгрупп может быть
существенно расширен за счет разнообразных Σ -норм группы.
Напомним, что Σ -нормой группы G называется пересечение нормализаторов всех под-
групп группы, входящих в систему Σ . Очевидно, что в случае совпадения Σ -нормы с груп-
пой в последней нормальными будут все подгруппы, входящие в Σ (при условии, что система Σ
непуста). Впервые группы с таким свойством были рассмотрены еще в конце XIX века
Р. Дедекиндом, который дал полное описание конечных групп, все подгруппы которых
нормальны (теперь их называют дедекиндовыми). Однако систематическое исследование
групп с произвольными нормальными системами подгрупп было продолжено лишь во второй
половине ХХ века, что определенным образом приостановило изучение Σ -норм. В настоящее
время строение групп, совпадающих со своей Σ -нормой, известно для многих систем
подгрупп Σ . Поэтому естественно было бы поставить вопрос об исследовании свойств групп,
имеющих собственную Σ -норму.
Впервые такая задача была поставлена Р. Бером еще в 30-х годах прошлого века (см.,
например, [1]) для системы Σ всех подгрупп данной группы. Соответствующую Σ -норму
он назвал нормой группы и обозначил N (G) . Понятно, что норма N (G) содержится во всех
остальных Σ -нормах, а те в свою очередь, можно считать ее обобщениями.
В настоящей работе рассматривается одно из таких обобщений — норма разложимых
подгрупп группы. Исходя из изложенного выше, так будем называть пересечение
нормализаторов всех разложимых подгрупп группы G ; обозначим эту норму NGd . Напом-
ним, что разложимой подгруппой группы G
называется такая подгруппа, которую можно
представить в виде прямого произведения двух нетривиальных множителей [2].
Из определения нормы NGd следует, что в случае NGd = G в группе G
будут нор-
мальны все разложимые подгруппы (при условии, что система таких подгрупп непуста).
Недедекиндовы группы с таким свойством были изучены в работе [2] и названы там
di -груп-
пами.
О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП В ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ 481
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
Отметим, что в случае, когда группа G не содержит разложимых подгрупп, будем счи-
тать, что NGd = G . Строение локально конечных неабелевых групп, в которых система разло-
жимых подгрупп пуста, описывает следующее утверждение.
Предложение 1 [2]. Неабелева локально конечная группа, не содержащая разложимых
подгрупп, является группой одного из видов:
1) кватернионной 2-группой (конечной или бесконечной);
2) группой Фробениуса G = A! B , где A — локально циклическая p -группа, B —
циклическая q-группа, p и q — простые числа и p −1, q( ) = q .
Группой Фробениуса (см. [3]) будем называть полупрямое произведение G = A! B двух
нетривиальных подгрупп A и B , где B ∩ g
−1Bg = E для любого элемента g ∈G \ B и
A \ E = G \ ∪ g∈G(g−1Bg) .
Очевидно, что группа G
имеет разложимые подгруппы тогда и только тогда, когда она
имеет разложимые абелевы подгруппы. Поэтому дальнейшее исследование естественно
проводить в зависимости от существования в группе тех или иных разложимых абелевых
подгрупп. Поскольку во многих случаях разложимые абелевы подгруппы являются нецикли-
ческими, есть основания предполагать, что норма разложимых подгрупп непосредственно свя-
зана с нормой абелевых нециклических подгрупп NGA . Согласно [4] так будем называть пере-
сечение нормализаторов всех абелевых нециклических подгрупп группы G
при условии, что
система таких подгрупп в G
непуста.
Целью настоящей статьи является установление взаимосвязей между нормами NGd и NGA
в классе локально конечных групп, а также изучение свойств локально нильпотентных
периодических групп, в которых норма разложимых подгрупп недедекиндова. Отметим, что в
случае совпадения нормы NGA с группой G в последней будут нормальными все абелевы
нециклические подгруппы (при условии наличия таких подгрупп в группе).
1. О взаимосвязях между нормами абелевых нециклических и разложимых подгрупп
в локально конечных группах. Все группы в этом пункте будем рассматривать при условии,
что они содержат хотя бы одну нециклическую абелеву подгруппу. Такое ограничение свя-
зано с определением нормы абелевых нециклических подгрупп.
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1.1. Пусть G — группа, содержащая неединичную NGd -допустимую подгруп-
пу H
такую, что H ∩ NG
d = E , где NGd — норма разложимых подгрупп группы G . Тог-
да подгруппа NGd дедекиндова.
Доказательство. Поскольку подгруппа H
является
NGd -допустимой, G1 = HNGd =
= H × NGd . Пусть x — произвольный элемент нормы NGd и 1 ≠ h ∈H . Тогда
〈x, h〉 ◃ 〈h〉NGd , 〈x, h〉 ∩ NG
d = 〈x〉 ◃ NGd .
Следовательно, норма NGd дедекиндова, что и требовалoсь доказать.
482 Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
Взаимосвязи между нормой NGd разложимых подгрупп и нормой NGA абелевых нецик-
лических подгрупп в классе p -групп ( p — простое число) описывает следующее утверж-
дение.
Теорема 1.1. В произвольной локально конечной p -группе
G нормы абелевых нецикли-
ческих подгрупп и разложимых подгрупп совпадают: NGA = NGd .
Доказательство теоремы будет опираться на доказанные ниже леммы 1.2 – 1.4.
Лемма 1.2. В классе конечных p -групп нормы абелевых нециклических подгрупп NGA и
разложимых подгрупп NGd совпадают.
Доказательство. Справедливость леммы следует из того, что в конечной p -группе каж-
дая абелева нециклическая подгруппа является абелевой разложимой подгруппой и наоборот.
Лемма 1.3. В
бесконечной p -группе
G
нормы NGA и NGd совпадают, если выполня-
ется одно из следующих условий:
1) G
не содержит квазициклических подгрупп;
2) G
содержит квазициклические подгруппы, но ни одна из них не является ее макси-
мальной абелевой подгруппой;
3) среди максимальных абелевых подгрупп группы G
есть нормальная в P
квазицик-
лическая подгруппа.
Доказательство. 1. В этом случае множества разложимых абелевых и абелевых нецик-
лических подгрупп совпадают, поэтому NGA = NGd .
2. Пусть P — квазициклическая подгруппа группы G . Так как по условию P не мак-
симальная абелева подгруппа, найдется подгруппа 〈x〉 простого порядка такая, что группа
H = 〈x〉 × P абелева. Поскольку H является NGd -допустимой подгруппой, H p = P так-
же NGd -допустима. Следовательно, все абелевы нециклические подгруппы группы G
будут
NGd -допустимыми и NGA = NGd .
3. Пусть G
— неабелева p -группа и P — нормальная квазициклическая подгруппа,
являющаяся максимальной абелевой подгруппой в G . Покажем, что в этом случае G
не
содержит квазициклических подгрупп, отличных от P . В самом деле, если P1 — такая ква-
зициклическая подгруппа группы G ,
что P ≠ P1 , то из условия [G :CG (P)] < ∞ следует,
что P1 ⊆ CG (P) . Но в таком случае подгруппа G1 = P1 ⋅P абелева, что противоречит макси-
мальности P . Следовательно, P — единственная квазициклическая подгруппа в G .
Поэто-
му норма абелевых нециклических подгрупп совпадает с пересечением нормализаторов реду-
цированных абелевых нециклических подгрупп, каждая из которых разложима, и потому
NGA = NGd .
Лемма доказана.
Следствие 1.1. Неабелева локально конечная p -группа G
тогда и только тогда содер-
жит нормальную квазициклическую подгруппу, являющуюся максимальной в G абелевой
подгруппой, когда p = 2 и G = P〈b〉 , где P — квазициклическая 2-подгруппа,
О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП В ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ 483
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
b ∈ 2, 4{ } , b2 ∈P , b−1ab = a−1 для любого элемента a ∈P . При этом NGA = NGd .
Доказательство. Пусть P — нормальная в G квазициклическая подгруппа, являю-
щаяся максимальной абелевой подгруппой в G .
Если p ≠ 2 , то по следствию 1.13 работы
[5] P ⊆ Z G( ) . Но в таком случае для любого элемента x ∈G \ P подгруппа 〈x, P〉 будет
абелевой, что противоречит условию. Следовательно, p = 2 .
Поскольку P ◃ G , то G :CG P( )[ ] = 2 . Из максимальности P следует, что
CG P( ) = P . Если G содержит только одну инволюцию, то G — бесконечная кватернион-
ная 2-группа и NGd = NGA = G . В противном случае существует инволюция b ∉G \ P и
G = P! 〈b〉 , где b−1ab = a−1 для любого элемента a ∈P . В этом случае NGd = NGA = 〈a2, b〉 ,
где a2 ∈P
и a2 = 4 . Обратное утверждение очевидно.
Следствие доказано.
Далее рассмотрим случай, когда среди максимальных абелевых подгрупп p -группы G
есть квазициклические подгруппы, но ни одна из них
не является нормальной. Если при этом
G — локально конечная p -группа, то из теоремы 1.5 [5] следует, что группа G
не удовлет-
воряет условию минимальности для подгрупп. Но в таком случае G
содержит бесконечную
элементарную абелеву подгруппу и NGA ⊆ NGd .
Лемма 1.4. Если локально конечная p -группа G
содержит ненормальную квазицикли-
ческую подгруппу, являющуюся максимальной абелевой подгруппой в G ,
то NGA = NGd .
Доказательство. Пусть P — ненормальная квазициклическая подгруппа, являющаяся
максимальной абелевой подгруппой группы G .
Учитывая предыдущее замечание, имеем
NGA ⊆ NGd .
Докажем, что имеет место обратное включение. При этом достаточно показать, что
подгруппа P будет NGd -допустимой. Если NGd = E , то NGA = NGd = E , и утверждение
доказано.
В случае 1 < NGd < ∞ из условия NG
d ◃ G следует, что P ⊆ CG NGd( ) . Поскольку P
— максимальная абелева подгруппа группы G , NGd ⊂ P , и поэтому P будет NGd -до-
пустимой подгруппой в G .
Пусть NGd = ∞ и норма NGd недедекиндова. Тогда она либо не содержит разложимых
подгрупп, либо в ней нормальны все разложимые подгруппы. В силу предложения 1 и лем-
мы 2 работы [2] NGd содержит квазициклическую подгруппу P1 , являющуюся
характеристической в NGd . Но в таком случае P1 ◃ G , P1 ≠ P , P ⊂ CG P1( ) и подгруппа
G1 = P1 ⋅P абелева, что невозможно по условию.
Пусть теперь NGd — бесконечная дедекиндова группа. Так как по условию P — макси-
мальная абелева подгруппа и P ≠ G , то NGd не удовлетворяет условию минимальности для
484 Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
подгрупп, и потому нижний слой A нормы NGd является бесконечной элементарной абеле-
вой подгруппой, нормальной в G .
В группе H = AP рассмотрим подгруппы Hk = A〈bk 〉 , k = 1, 2, 3,… , где
P = 〈b1, b2,…, bn ,…〉 , bn+1
p = bn , n = 1, 2, 3,… . В силу леммы 1.9. [5] центр Z Hk( ) каждой
из подгрупп Hk бесконечен. Значит, Z Hk( )∩ A = Ak , Ak = ∞ и Ak = 〈a1〉 × 〈a2 〉 ×… .
Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что 〈bk 〉 ∩ 〈ai , a j 〉 = E для некоторых
i ≠ j . Тогда для любого элемента a ∈A ⊆ NGd получим
a, bk[ ]∈〈ai , bk 〉 ∩ 〈a j , bk 〉 = 〈bk 〉 .
Следовательно, P ◃ H = AP и по следствию 1.15 работы [5] CH P( ) имеет конечный
индекс в H . Но в таком случае P не является максимальной абелевой подгруппой группы G .
Доказанная лемма 1.4 завершает доказательство теоремы 1.1.
Из приведенных выше рассуждений следует, что локально конечная p -группа G
с бес-
конечной нормой NGd не содержит ненормальной квазициклической подгруппы P , явля-
ющейся максимальной абелевой подгруппой в G .
Следствие 1.2. Если локально конечная p -группа G
содержит ненормальную квази-
циклическую подгруппу P , являющуюся максимальной абелевой подгруппой в G ,
то
NGd < ∞ .
Примером такой группы является известная p -группа Шмидта без центра [5, с. 72], в
которой NGd = NGA = E .
Рассмотрим теперь взаимосвязи между нормами разложимых и абелевых нециклических
подгрупп в непримарных локально конечных группах.
Теорема 1.2. Пусть G
— конечная непримарная группа, содержащая абелеву нецикли-
ческую подгруппу. Тогда имеет место включение NGA ⊇ NGd , причем возможен случай
NGA ≠ NGd .
Доказательство. В исследуемой группе множество абелевых нециклических подгрупп
является подмножеством множества абелевых разложимых подгрупп, следовательно,
NGA ⊇ NGd . То обстоятельство, что указанные нормы могут быть различными, подтверждает
следующий пример, завершающий доказательство теоремы.
Пример 1.1. Пусть G = A! B — конечная группа Фробениуса, в которой A —
элементарная абелева группа порядка p2 ( p
—
простое число), B — непримарная подгруп-
па, ( B , p) = 1. Известно (см., например, [6]), что центр Z B( ) ≠ E . Поэтому NGA = G , а
NGd не содержит A .
Аналогичное утверждение справедливо и в классе бесконечных периодических локально
нильпотентных непримарных групп.
О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП В ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ 485
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
Теорема 1.3. Для любой бесконечной периодической локально нильпотентной
непримар-
ной группы G имеет место включение NGA ⊇ NGd , причем случай NGA ≠ NGd достигается.
Доказательство. Пусть F — абелева нециклическая подгруппа группы G . Если
подгруппа F разложима, то она является NGd -допустимой подгруппой. Если подгруппа F
неразложима, то она является квазициклической p -группой. Поскольку группа G локально
нильпотентна и непримарна, найдется подгруппа 〈b〉 простого порядка q ≠ p , перестановоч-
ная с F . Но в таком случае F × 〈b〉 — NGd -допустимая подгруппа, а значит, 〈F, b〉q = F
также является NGd -допустимой подгруппой. Следовательно, NGA ⊇ NGd .
Существование групп, в которых нормы абелевых нециклических и разложимых подгрупп
различны, подтверждает пример, завершающий доказательство теоремы.
Пример 1.2. В группе G = A × 〈b〉( )! 〈c〉( ) × 〈d〉 , где A — квазициклическая p -группа,
b = c = p, d = q, b, c[ ] = a ∈A, a = p ( p и q
—
различные простые числа), норма
абелевых нециклических подгрупп NGA = G , a норма разложимых подгрупп
NGd = A × 〈d〉 = Z G( ) ≠ NGA .
Как показывают следующие примеры, в классе бесконечных локально конечных и не
локально нильпотентных групп возможны случаи, когда NGA ≠ NGd и NGA ⊂ NGd или
NGA ⊃ NGd .
Пример 1.3. Пусть G = A! 〈b〉 — группа Фробениуса, в которой A — бесконечная
элементарная абелева 7-группа, b = 6 и b−1ab = a5 для любого элемента a ∈A .
Поскольку G — группа Фробениуса и NG 〈b〉( ) = 〈b〉 , NG 〈a−1ba〉( ) = 〈a−1ba〉 ,
〈b〉 ∩ 〈a
−1ba〉 = E для 1 ≠ a ∈A , то NGd = E . С другой стороны, NGA = G , следовательно, в
этой группе NGA ⊃ NGd .
Пример 1.4 (см. [6]). Пусть G = A! b — группа Фробениуса, в которой A — бесконеч-
ная элементарная абелева p -группа p ≠ 3( ) , B — квазициклическая 3-группа.
В этой группе NGd = A . Поскольку NG B( ) = B , NG a−1Ba( ) = a−1Ba и a
−1Ba ∩ B = E
для a ≠ 1 , то NGA = E . Следовательно, в этой группе NGA ⊂ NGd .
Теорема 1.4. В произвольной локально конечной группе G , содержащей абелеву нецик-
лическую подгруппу, либо NGA = NGd , либо NGA ⊃ NGd , либо NGA ⊂ NGd .
Доказательство. Достаточно показать, что не существует локально конечной группы G ,
в которой NGA ≠ NGd , NGA ⊃ NGd и NGA ⊂ NGd .
Допустим, что такая группа G
существует. Тогда в силу теорем 1.1 и 1.2 группа G
бесконечна и непримарна. Кроме того, из условия NGA ≠ NGd следует, что она содержит
абелеву нециклическую подгруппу P , не являющуюся NGd -допустимой, и непримарную
486 Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
циклическую подгруппу 〈b〉 , не являющуюся NGA -допустимой. Ясно, что P неразложима, и
потому является квазициклической группой. Покажем, что P — максимальная абелева под-
группа группы G . В самом деле, иначе существует неединичная подгруппа 〈g〉 такая, что
P ∩ 〈g〉 = E . Тогда подгруппа P × 〈g〉 является NGd -допустимой, поэтому NGd -допустимой
будет и подгруппа 〈P, g〉 g = P , что противоречит ее выбору. Таким образом, P — макси-
мальная в G абелева подгруппа.
Предположим, что NGd = ∞ . Тогда G :CG (NGd )⎡⎣ ⎤⎦ < ∞ и P принадлежит централиза-
тору CG (NGd ) . Но это невозможно, так как подгруппа P не является NGd -допустимой.
Таким образом, NGd = ∞ .
Из последнего замечания следует, что NGd содержит бесконечную абелеву подгруппу M .
Поскольку 〈b〉 непримарна, 〈b〉 ◃ G1 = 〈b〉M . Тогда G1 :CG1 (b)⎡⎣ ⎤⎦ < ∞ и C = CG1 b( ) —
бесконечная непримарная абелева группа.
Пусть C не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. Тогда в ней найдутся
такие нециклические подгруппы C1 и C2 , что C1∩ 〈b〉 = C2∩ 〈b〉 = E . В этом случае
подгруппы Ci × 〈b〉, i = 1, 2, являются NGA -допустимыми, а значит, NGA -допустимой будет и
подгруппа 〈b〉 = C1 × 〈b〉( )∩ C2 × 〈b〉( ) , что невозможно вследствие ее выбора.
Следовательно, C — группа с условием минимальности для подгрупп. Но в таком случае
норма NGd также удовлетворяет условию минимальности для подгрупп и по результатам
работы [7] является конечным расширением полной подгруппы !P . По следствию 1.3 [5]
группа H = PNGd также удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. Далее, из то-
го, что P — максимальная абелева подгруппа группы G , делаем вывод, что !P = P . Но
тогда P является нормальной подгруппой в H . Полученное противоречие доказывает, что
рассматриваемый случай невозможен.
Теорема доказана.
2. Локально нильпотентные периодические группы с недедекиндовой нормой разло-
жимых подгрупп. В работе [2] было установлено, что произвольная недедекиндова локально
нильпотентная периодическая di -группа, содержащая хотя бы одну разложимую подгруппу,
является p -группой, в которой нормальны все абелевы нециклические подгруппы. Негамиль-
тоновы группы с таким свойством изучались в работе [8] и были названы HA -группами.
Аналогичное утверждение в классе периодических локально нильпотентных групп имеет
место и для нормы NGd разложимых подгрупп.
Согласно теореме 1.1, описание локально конечных р-групп, имеющих недедекиндову
норму NGd разложимых подгрупп, сводится к описанию групп с недедекиндовой нормой NGA
абелевых нециклических подгрупп. Изучению таких групп были посвящены работы [9, 10].
О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП В ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ 487
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
Опираясь на эти результаты, нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений.
Лемма 2.1. Норма NGd локально конечной р-группы G недедекиндова и не содержит
разложимых подгрупп тогда и только тогда, когда G = NGd и G является кватернионной
2-группой порядка больше 8 (конечной или бесконечной).
Доказательство. Достаточность условий леммы следует из предложения 1. Докажем
их необходимость.
Пусть G
— локально конечная р-группа, а ее норма NGd недедекиндова и не содержит
разложимых подгрупп. Тогда в силу предложения 1 p = 2 и NGd является кватернионной 2-
группой (конечной или бесконечной), причем NGd = A〈b〉 , b2 ∈A , b = 4 , A > 4 , A — цик-
лическая или квазициклическая 2-группа, b−1ab = a−1 для любого элемента a ∈A .
Покажем, что G содержит одну инволюцию. Допустим, что это не так, и x ∈G \ NGd ,
x = 2 . Тогда [x, b2 ] = 1 , где b2 — инволюция нормы NGd . Поскольку подгруппа 〈x, b2 〉
NGd -допустима, то 〈x, b
2 〉 ◃ G1 = 〈x〉NGd и G1 :CG1 (〈x, b
2 〉)⎡⎣ ⎤⎦ ≤ 2 . Если [x, b] ≠ 1 , то
[x, b] = b2 и xb = 2 . Тогда абелева подгруппа 〈xb, b2 〉 будет NGd -допустимой, что невоз-
можно, так как элемент a ∈A , a = 8 , не принадлежит нормализатору NG 〈xb, b2 〉( ) этой
подгруппы. Значит, [x, b] = 1 . Поскольку 〈x, b〉 — разложимая абелева подгруппа, она NGd -
допустима. Но и в этом случае нормализатору подгруппы 〈x, b〉 не принадлежит элемент a ∈A ,
a = 8 .
Таким образом, группа G содержит всего одну инволюцию, а значит, все ее абелевы под-
группы неразложимы. В силу предложения 1 G является кватернионной 2-группой (конеч-
ной или бесконечной). Поскольку по условию норма NGd недедекиндова, G > 8 и
G = NGd .
Лемма доказана.
Следствие 2.1. Локально конечная р-группа G ,
имеющая недедекиндову норму NGd ,
не содержит разложимые подгруппы тогда и только тогда, когда такие подгруппы не
содержит ее норма NGd .
Лемма 2.2. Бесконечная локально конечная р-группа G ,
имеющая недедекиндову норму
NGd разложимых подгрупп, является конечным расширением квазициклической подгруппы.
Доказательство. Пусть G
— бесконечная локально конечная p -группа и NGd — ее
норма разложимых подгрупп. Если норма NGd не содержит разложимые подгруппы, то по
лемме 2.1 G = NGd — бесконечная кватернионная 2-группа. Пусть NGd содержит разложимую
подгруппу. По теореме 1.1 NGd = NGA . Следовательно, G
— бесконечная локально конечная
p -группа, в которой норма NGA абелевых нециклических подгрупп является негамильтоновой
488 Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
HAp -группой. По следствию 4 [10] G
является конечным расширением квазициклической
p -группы, что и требовалось доказать.
Теорема 2.1. Периодическая локально нильпотентная группа G, содержащая абелеву
нециклическую подгруппу, тогда и только тогда имеет недедекиндову норму NGd раз-
ложимых подгрупп, когда G
— локально конечная р-группа с недедекиндовой нормой NGA
абелевых нециклических подгрупп.
Доказательство. Достаточность условий теоремы непосредственно следует из теоре-
мы 1.1.
Докажем их необходимость. Пусть G
— периодическая локально нильпотентная группа
с недедекиндовой нормой NGd разложимых подгрупп. Тогда NGd имеет недедекиндову си-
ловскую p -подгруппу (NGd )p для некоторого простого числа p . По лемме 1.1
NGd = (NGd )p , более того, G
также является р-группой. Используя теперь теорему 1.1, при-
ходим к выводу, что NGA = NGd . Следовательно, G
является p -группой с недедекиндовой
нормой абелевых нециклических подгрупп NGA .
Теорема доказана.
Следствие 2.2. Произвольная бесконечная периодическая локально нильпотентная
группа G , имеющая недедекиндову норму NGd , является конечным расширением квази-
циклической р-подгруппы.
Следствие 2.3. Если норма NGd периодической локально нильпотентной группы G
бесконечна и недедекиндова, то в G нормальны все абелевы нециклические и все разло-
жимые подгруппы.
Доказательство. Справедливость утверждения следует из теоремы 2.1 и следствия 4
работы [10].
1. Baer R. Der Kern, eine charakteristische Untergruppe // Comp. Math. – 1934. – 1. – Р. 254 – 283.
2. Лиман Ф. М. Групи, усі розкладні підгрупи яких інваріантні // Укр. мат. журн. – 1970. – 22, № 6. – С.725 – 733.
3. Блудов В. В. О группах Фробениуса // Сиб. мат. журн. – 1997. – 38, № 6. – С. 1219 – 1221.
4. Лукашова Т. Д. Про норму абелевих нециклічних підгруп нескінченних локально скінченних p -груп (p ≠ 2)
// Вісн. Київ. ун-ту. Фіз.-мат. науки. – 2004. – № 3. – С. 35 – 39.
5. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
6. Бусаркин В. М., Старостин А. И. О расщепляемых локально конечных группах // Мат. сб. – 1963. – 62(104),
№ 3. – С. 275 – 294.
7. Шунков В. П. О локально конечных группах с условием минимальности для абелевых подгрупп // Алгебра и
логика. – 1970. – № 5. – С. 579 – 615.
8. Лиман Ф. Н. Периодические группы, все абелевы нециклические подгруппы которых инвариантны // Группы с
ограничениями для подгрупп. – Киев: Наук. думка, 1971. – С. 65 – 96.
9. Лиман Ф. М., Лукашова Т. Д. Про нескінченні 2-групи з недедекіндовою нормою абелевих нециклічних підгруп
// Вісн. Київ. ун-ту. Фіз.-мат. науки. – 2005. – № 1. – С. 56 – 64.
10. Лиман Ф. Н., Лукашова Т. Д. Бесконечные локально конечные группы с локально нильпотентной
недедекиндовой нормой абелевых нециклических подгрупп // Вестн. Воронеж. гос. ун-та им. П. М. Машерова. –
2012. – № 6 (72). – С. 5 – 12.
Получено 08.05.14
|
| id | umjimathkievua-article-1998 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:46Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/84/cf6df78411180a476e8128d1f14d2d84.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19982019-12-05T09:48:26Z On the Norm of Decomposable Subgroups in Locally Finite Groups O норме разложимых подгрупп в локально конечных группах Lyman, F. N. Lukashova, T. D. Лиман, Ф. Н. Лукашова, Т. Д. Лиман, Ф. Н. Лукашова, Т. Д. We study the relationships between the norm of decomposable subgroups and the norm of Abelian noncyclic subgroups in the class of locally finite groups. We also describe some properties of periodic locally nilpotent groups in which the norm of decomposable subgroups is a non-Dedekind norm. Розглядаються взаємозв'язки між нормою розкладних підгруп та нормою абелевих нециклічних підгруп у класі локально скінченних груп. Також встановлено деякі властивості періодичних локально нільпотентних груп з недедекіндовою нормою розкладних підгруп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1998 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 4 (2015); 480-488 Український математичний журнал; Том 67 № 4 (2015); 480-488 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1998/1014 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1998/1015 Copyright (c) 2015 Lyman F. N.; Lukashova T. D. |
| spellingShingle | Lyman, F. N. Lukashova, T. D. Лиман, Ф. Н. Лукашова, Т. Д. Лиман, Ф. Н. Лукашова, Т. Д. On the Norm of Decomposable Subgroups in Locally Finite Groups |
| title | On the Norm of Decomposable Subgroups in Locally Finite Groups |
| title_alt | O норме разложимых подгрупп в локально конечных группах |
| title_full | On the Norm of Decomposable Subgroups in Locally Finite Groups |
| title_fullStr | On the Norm of Decomposable Subgroups in Locally Finite Groups |
| title_full_unstemmed | On the Norm of Decomposable Subgroups in Locally Finite Groups |
| title_short | On the Norm of Decomposable Subgroups in Locally Finite Groups |
| title_sort | on the norm of decomposable subgroups in locally finite groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1998 |
| work_keys_str_mv | AT lymanfn onthenormofdecomposablesubgroupsinlocallyfinitegroups AT lukashovatd onthenormofdecomposablesubgroupsinlocallyfinitegroups AT limanfn onthenormofdecomposablesubgroupsinlocallyfinitegroups AT lukašovatd onthenormofdecomposablesubgroupsinlocallyfinitegroups AT limanfn onthenormofdecomposablesubgroupsinlocallyfinitegroups AT lukašovatd onthenormofdecomposablesubgroupsinlocallyfinitegroups AT lymanfn onormerazložimyhpodgruppvlokalʹnokonečnyhgruppah AT lukashovatd onormerazložimyhpodgruppvlokalʹnokonečnyhgruppah AT limanfn onormerazložimyhpodgruppvlokalʹnokonečnyhgruppah AT lukašovatd onormerazložimyhpodgruppvlokalʹnokonečnyhgruppah AT limanfn onormerazložimyhpodgruppvlokalʹnokonečnyhgruppah AT lukašovatd onormerazložimyhpodgruppvlokalʹnokonečnyhgruppah |