On The Boundary Behavior of Regular Solutions of the Degenerate Beltrami Equations
We study the boundary behavior of regular solutions to the degenerate Beltrami equations with constraints of the integral type imposed on the coefficient.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1999 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507906173042688 |
|---|---|
| author | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. |
| author_facet | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. |
| author_sort | Lomako, T.V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:26Z |
| description | We study the boundary behavior of regular solutions to the degenerate Beltrami equations with constraints of the integral type imposed on the coefficient. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. В. Ломако
(Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк; Ин-т математики НАН Украины, Киев)
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ
ВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ*
We study the boundary behavior of regular solutions of the degenerate Beltrami equations with integral-type constraints
imposed on the coefficient.
Дослiджується поведiнка на межi регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями iнтеграль-
ного типу на коефiцiєнт.
1. Введение. В данной статье продолжается изучение свойств классов регулярных решений
вырожденных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа, начатое в работах
[1, 2]. Отметим, что исследования в данном направлении имеют приложения к теории экстре-
мальных задач и уравнениям математической физики (см. [2, 3]). В настоящей статье получены
необходимые и достаточные условия асимптотической однородности в точке и на этой осно-
ве исследовано граничное поведение указанных отображений. Аналоги этих результатов для
квазиконформных отображений можно найти в работах [4 – 6] (см. также работы [7, 8]).
Пусть D — область в комплексной плоскости C. Уравнениями Бельтрами называются урав-
нения вида
fz = µ(z) · fz (1)
с измеримым коэффициентом µ : D → C, удовлетворяющим условию |µ(z)| < 1 почти всюду
(п.в.); fz = ∂f = (fx + ify) /2, fz = ∂f = (fx − ify) /2, z = x+iy, fx и fy — частные производ-
ные отображения f по x и y соответственно. Функция Kµ(z) = (1 + |µ(z)|)/(1− |µ(z)|) назы-
вается дилатационным отношением уравнения (1). Регулярным решением уравнения Бельтрами
(1) в области D называется гомеоморфизм f класса Соболева W 1, 1
loc c Jf (z) = |fz|2 − |fz|2 > 0
п.в., который удовлетворяет (1) п.в. в D. Уравнение (1) называется вырожденным, если Kµ /∈
/∈ L∞. Отметим, что недавно был доказан ряд новых теорем существования для вырожденных
уравнений Бельтрами (см., например, монографию [9] и обзор [10]).
Далее dm(z) соответствует мере Лебега в C, а через dS(z) =
(
1 + |z|2
)−2
dm(z) обо-
значается элемент сферической площади в C := C ∪ {∞}, C∗ := C \ {0}. В дальнейшем
непрерывность функции Φ : R+ → R+ понимается относительно топологии R+ := [0, ∞].
Функция Φ : R+ → R+ называется строго выпуклой, если она является выпуклой, неубываю-
щей и limt→∞Φ(t)/t =∞ (см. [11, c. 37]). Далее B(0, r) := {z ∈ C : |z| < r}, D := B(0, 1).
2. Об асимптотической однородности. Пусть 0 ∈ D. Следуя работе [5], отображение
f : D → C, f(0) = 0, будем называть асимптотически однородным в точке 0, если
lim
z→0
z∈C∗
f(zζ)
f(z)
= ζ ∀ ζ ∈ C . (2)
* Выполнена при поддержке гранта FP7-People-2011-IRSES Project number 295164 (EUMLS: EU-Ukrainian
Mathematicians for Life Sciences).
c© Т. В. ЛОМАКО, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4 489
490 Т. В. ЛОМАКО
Если семейство функций fη(z) = f(z + η) − f(η) удовлетворяет условию (2) равномерно
относительно параметра η из некоторого заданного множества, то такое семейство называется
равномерно асимптотически однородным на этом множестве.
Пусть f : C→ C — регулярное решение уравнения Бельтрами (1), f(0) = 0 и
lim
r→0
1
|B(0, r)|
∫
B(0, r)
Φ (Kµ(z)) dm(z) <∞ (3)
для строго выпуклой функции Φ : R+ → R+ такой, что
∞∫
σ
dτ
τΦ−1(τ)
=∞ (4)
при некотором σ > Φ(0). В теореме 6.1 работы [2] утверждается, что асимптотическая одно-
родность в нуле указанных отображений f эквивалентна условиям
f(z) = A(|z|)(z + o(|z|)) , (5)
lim
ρ→0
A(tρ)
A(ρ)
= 1 ∀t > 0 , (6)
где o(|z|)/|z| → 0 при |z| → 0. Отметим, что дифференцируемость отображения f в смысле
(5), (6) восходит к П. П. Белинскому [12, c. 41]. Кроме того, асимптотически однородное в нуле
отображение f сохраняет:
1) инфинитезимальные окружности
lim
r→0
max|z|=r |f(z)|
min|z|=r |f(z)|
= 1;
2) углы между лучами, исходящими из начала в направлении соответствующих точек,
lim
z→0
[arg f(z ζ)− arg f(z)] = arg ζ;
3) модули инфинитезимальных колец
lim
|z|→0
|f(z ζ)|
|f(z)|
= |ζ|
для любого ζ ∈ C∗.
Следующий результат раскрывает геометрическую природу введенного понятия.
Пусть M — произвольное подмножество комплексной плоскости C с z = 0 в качестве точки
накопления. Полагаем
ϕM (ρ) =
inf |m|≥ρ,m∈M |m|
sup|m|≤ρ,m∈M |m|
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 491
Теорема 1. Пусть f : C→ C, f(0) = 0, — регулярное решение уравнения Бельтрами (1) с
условием (3) на коэффициент µ и M — подмножество C, для которого
lim
ρ→0
ϕM (ρ) <∞ . (7)
Если существует предел
lim
m→0
m∈M
f(ζm)
f(m)
= ζ ∀ ζ ∈ C , (8)
то f является асимптотически однородным в нуле.
Доказательство. По условию (8) имеем, что
lim
m→0
m∈M
F (ζ, m) = ζ ∀ ζ ∈ C , (9)
где функции F (ζ, z) = f(ζz)/f(z), ζ ∈ C, z ∈ C∗, являются по переменной ζ регулярны-
ми решениями уравнения Бельтрами (1) с комплексным коэффициентом µ(ζ, z) =
z
z
µ(zζ) и
дилатационным отношением Kµ(ζ, z) = Kµ(zζ) в C. Таким образом,
Iz, r :=
∫
B(0, r)
Φ (Kµ(ζ, z)) dS(ζ) ≤ 1
|z|2
∫
B(0, |z|r)
Φ (Kµ(ζ)) dm(ζ)
и по условию (3) Iz, r ≤ Mz, r < ∞ для малых z ∈ C∗. Заметим также, что F (0, z) = 0,
F (1, z) = 1. Поэтому отображения F (ζ, z), z ∈ C∗, образуют нормальное семейство относи-
тельно ζ ∈ C по теореме 2 в [1]. Итак, F (ζ, z), z ∈ C∗, — равностепенно непрерывное семейство
относительно ζ ∈ C по предложению 1 в [13] (см. также предложение 7.1 в [14]) и условие
(9) влечет локально равномерную сходимость в (9) относительно ζ ∈ C по теореме 1 из [13]
(см. также теорему 7.1 в [14]).
Предположим, что условие (2) не выполнено для f . Тогда найдутся ζ ∈ C, ε > 0 и после-
довательность zn → 0, zn ∈ C∗, n = 1, 2, ..., такие, что
|F (ζ, zn)− ζ| ≥ ε . (10)
С другой стороны, по условию (7) найдется последовательность mn ∈M для n > N такая, что
0 < δ ≤ |τn| ≤ 1 <∞ ,
где
τn =
zn
mn
, δ =
1
2lim
ρ→0
ϕM (ρ)
.
Действительно, выберем элемент l1 ∈M такой, что для всех n > N |zn| ≤ |l1| и для некоторых
n > N δ|l1| ≤ |zn| ≤ |l1|. Согласно (7) можно выбрать элемент l2 ∈M такой, что δ|l1| ≤ |l2| ≤
≤ |l1|. Полагаем mn := l1 для всех n > N таких, что |l2| < |zn| ≤ |l1|. Далее продолжаем по
аналогии выбор следующего элемента для l2 ∈M и так далее.
Заметим, что
F (ζ, zn) =
F (ζτn, mn)
F (τn, mn)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
492 Т. В. ЛОМАКО
В силу равномерной сходимости в (9) относительно параметра ζ на любом компакте
F (ζτn,mn) ∼ ζτn и F (τn,mn) ∼ τn. Поскольку же |τn| ≥ δ > 0, то F (ζ, zn) ∼ ζ при zn → 0.
Последнее противоречит (10) и, следовательно, сделанное выше предположение неверно.
Теорема доказана.
Отметим, что для выполнения заключения теоремы 1 условие (7) на множество M является
не только достаточным, но и необходимым (см., например, предложение 2.1 в [5]).
Для дальнейших исследований нам понадобится лемма о равномерной асимптотической
однородности семейства регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами с ограниче-
ниями интегрального типа на коэффициент. Эта лемма является обобщением теоремы 6.1 из
работы [2] и леммы из работы [4].
Лемма 1. Пусть fj : C→ C, j ∈ J, — семейство регулярных решений уравнения Бельтра-
ми с коэффициентами µj , fj(0) = 0, и
lim
r→0
1
|B(0, r)|
sup
j∈J
∫
B(0, r)
Φ
(
Kµj (z)
)
dm(z) ≤ c <∞ (11)
для строго выпуклой функции Φ : R+ → R+, удовлетворяющей условию (4). Тогда эквивалент-
ны следующие утверждения:
1) существует предел
lim
z→0
fj(zζ)
fj(z)
= ζ ∀ ζ ∈ C, (12)
равномерный относительно параметра j ∈ J ;
2) существует предел (12), равномерный относительно (ζ, j) ∈ K × J для любого ком-
пакта K ⊂ C;
3) все функции семейства fj могут быть представлены в виде
fj(z) = Aj(ρ)(1 + oj(ρ)), (13)
где oj(ρ)→ 0 при ρ→ 0 и
lim
ρ→0
Aj(tρ)
Aj(ρ)
= 1 ∀ t > 0 (14)
равномерно относительно j ∈ J ;
4) существует предел
lim
z→0
{
fj(z
′)
fj(z)
− z′
z
}
= 0, (15)
равномерный относительно параметра j ∈ J при |z′| ≤ δ|z|, δ > 0, и z ∈ C∗.
Доказательство. Придерживаемся схемы 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4) ⇒ 1). Полагаем fz,j(ζ) ≡
≡ fj(ζ z)/fj(z), z ∈ C∗, f0,j(ζ) ≡ ζ для всех ζ ∈ C, j ∈ J .
1)⇒ 2). Обозначим
r(g, h) =
∞∑
m=1
2−m
|g(zm)− h(zm)|
1 + |g(zm)− h(zm)|
,
где {zm}∞m=1 — счетное всюду плотное подмножество C. Согласно (12) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 493
r(fz,j , f0,j) =
∞∑
m=1
2−m
|fz,j(ζm)− f0,j(ζm)|
1 + |fz,j(ζm)− f0,j(ζm)|
=
=
∞∑
m=1
2−m
|fj(ζmz)fj(z)
− ζm|
1 + |fj(ζmz)fj(z)
− ζm|
≤
N∑
m=1
2−mε+
∞∑
m=N+1
2−m ≤ ε+ 2−N
для ε > 0 и достаточно большого N ∈ N. В силу выбора ε и N получаем, что r(fz,j , f0,j)→ 0
при z → 0 равномерно относительно j ∈ J .
По условию fz,j является регулярным решением уравнения Бельтрами (1) с µz,j(ζ) =
=
z
z
µj(zζ) и Kµz,j (ζ) = Kµj (zζ) в C. Таким образом,
Iz,j,R :=
∫
B(0, R)
Φ
(
Kµz,j (ζ)
)
dS(ζ) ≤ R2
|z|2R2
∫
B(0, |z|R)
Φ
(
Kµj (ζ)
)
dm(ζ)
и по условию (11) Iz,j,R ≤ πR2C <∞ для малых z ∈ C∗, где C = c+ 1 и величина c в (11) не
зависит от j ∈ J. Заметим также, что fz,j(0) = 0, fz,j(1) = 1. Поэтому fz,j , z ∈ C∗, образуют
нормальное семейство (см. теорему 2 в [1]). Итак, {fz,j}, z ∈ C∗, — равностепенно непре-
рывное семейство по предложению 1 из [13] (см. также предложение 7.1 в [14]) и согласно
условию (12) fz,j → f0,j локально равномерно в C по теореме 1 из [13] (см. также теорему 7.1
в [14]). Заметим, что семейство отображений {f0,j} также равностепенно непрерывно по пред-
ложению 7.2 из [14]. Отметим, что пространство всех непрерывных функций f : C→ C можно
метризовать с помощью метрики
ρ(g, h) =
∞∑
m=1
2−m
ρm(g, h)
1 + ρm(g, h)
,
где
ρm(g, h) = max
|z|≤m
|g(z)− h(z)| ,
которая порождает локально равномерную сходимость в C [15, c. 243].
Покажем, что ρ(fz,j , f0,j)→ 0 при z → 0 равномерно относительно j ∈ J .
Предположим, что наше утверждение не верно. Тогда найдутся число ε > 0 и последова-
тельности zn → 0, zn ∈ C∗, jn ∈ J, такие, что ρ(gn, hn) ≥ ε, где gn = fzn,jn , hn = f0,jn ,
n = 1, 2, .... С другой стороны, в нормальных подклассах {fz,j} сходимость r(gn, hn) → 0
влечет ρ(gn, hn) → 0 при n → ∞ (см., например, предложение 7.2 в [14]). Действительно, в
силу равностепенной непрерывности без ограничения общности можно считать, что gn → g0
и hn → h0 при n →∞ локально равномерно в C. Но тогда ρ(gn, g0)→ 0 и ρ(hn, h0) → 0 при
n→∞, а по неравенству треугольника
ρ(gn, hn) ≤ ρ(gn, g0) + ρ(g0, h0) + ρ(h0, hn).
Таким образом, ρ(gn, hn) → 0 при n → ∞, если g0 = h0. Однако опять по неравенству
треугольника
r(g0, h0) ≤ r(g0, gn) + r(gn, hn) + r(hn, h0).
Поэтому r(gn, hn)→ 0 влечет ρ(gn, hn)→ 0 при n→∞. Последнее противоречит сделанному
выше предположению.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
494 Т. В. ЛОМАКО
2) ⇒ 3). Выбирая z = ρ > 0, ζ = eiϑ, ϑ ∈ R, и w = ζz = ρ eiϑ, получаем fj(w) =
= fj(ρ)(ζ + αj(ρ)), где αj(ρ)→ 0 при ρ→ 0 равномерно относительно j ∈ J. Таким образом,
fj(w) =
fj(ρ)
ρ
(w + oj(ρ)),
где oj(ρ)/ρ → 0 при ρ → 0 равномерно относительно j ∈ J, т. е. для функции fj имеет место
(13) c Aj(ρ) = fj(ρ)/ρ. Кроме того, из (12) с учетом z = ρ > 0 и ζ = t > 0 следует, что предел
(14) является равномерным относительно j ∈ J .
3) ⇒ 4). Из (13) и (14) следует, что ft,j(ζ) → f0,j(ζ) ≡ ζ при t → 0, t > 0, для любого
фиксированного ζ ∈ C равномерно относительно j ∈ J .
Отметим, что по условию fτ,j , τ > 0, является регулярным решением уравнения Бельтрами
(1) с µτ,j(ζ) = µj(τζ) и Kµτ,j (ζ) = Kµj (τζ) в C. Таким образом,
Iτ,j,R :=
∫
B(0, R)
Φ
(
Kµτ,j (ζ)
)
dS(ζ) ≤ R2
τ2R2
∫
B(0, τR)
Φ
(
Kµj (z)
)
dm(z)
и по условию (11) Iτ,j,R ≤ πR2C < ∞ для малых τ > 0, где C = c + 1 и величина c
в (11) не зависит от j ∈ J. Далее, проводя рассуждения, аналогичные таковым в первой
части доказательства, заключаем, что ft,j(ζ) → f0,j(ζ) ≡ ζ при t → 0, t > 0, равномерно
относительно (ζ, j) ∈ K × J .
Заметим, что
fz,j(ζ) =
f|z|,j(ζz/|z|)
f|z|,j(z/|z|)
=
fj(z
′)
fj(z)
при ζ = z′/z.
Покажем, что fz,j(ζ)− ζ → 0 при z → 0, z ∈ C∗, равномерно относительно (ζ, j) ∈ Dδ×J,
где Dδ = {ζ ∈ C : |ζ| ≤ δ} для любого δ > 0.
Предположим, что наше утверждение не верно. Тогда найдутся число ε > 0 и последо-
вательности ζn ∈ Dδ, zn → 0, zn ∈ C∗, jn ∈ J, такие, что |fzn,jn(ζn) − ζn| ≥ ε. В силу
компактности замкнутого круга Dδ и окружности ∂D можно считать, что ζn → ζ0 ∈ Dδ и
ηn = zn/|zn| → η0 ∈ ∂D.
Обозначим через ϕn(ζ) отображение fτn,jn(ζ), ζ ∈ C, где τn = |zn|, n = 1, 2, . . . . Согласно
приведенным выше рассуждениям, ϕn(ζ) → ζ при n → ∞ равномерно на Dδ ∪ ∂D и, кроме
того, fzn,jn(ζ) = ϕn(ηnζ)/ϕn(ηn). Следовательно, fzn,jn(ζ) → ζ при n → ∞ равномерно в
круге Dδ и поэтому fzn,jn(ζn) → ζ0 при n → ∞. Последнее противоречит сделанному выше
предположению.
4)⇒ 1). Полагая z′ = zζ и δ = |ζ| в выражении (15), получаем соотношение (12).
Лемма доказана.
3. Об асимптотической конформности. Следуя работе [16], кривую Γ будем называть
асимптотически конформной, если для любых двух точек w1, w2 ∈ Γ и любой точки w на
подкривой Γ(w1, w2) кривой Γ, лежащей между w1 и w2 с наименьшим диаметром,
lim
|w1−w2|→0
|w1 − w| − |w − w2|
|w1 − w2|
= 1 (16)
равномерно относительно w ∈ Γ(w1, w2). Данное понятие возникло в связи с изучением
свойств квазиконформных отображений (см., например, соответствующие ссылки в работах
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 495
[4, 6]). В данной работе получены условия, при которых регулярное решение уравнения Бель-
трами (1) с ограничениями типа (3) на коэффициент отображает границу единичного круга
(замыкание круга) на асимптотически конформную кривую (область, ограниченную асимпто-
тически конформной кривой).
Теорема 2. Пусть f : C→ C, f(0) = 0, — регулярное решение уравнения Бельтрами (1) c
коэффициентом µ таким, что
lim
r→0
1
|B(η, r)|
sup
η∈∂D
∫
B(η, r)
Φ (Kµ(z)) dm(z) ≤ c′ <∞ (17)
для строго выпуклой функции Φ : R+ → R+, удовлетворяющей условию (4). Кривая Γ = f(∂D)
является асимптотически конформной, если выполнено одно из следующих условий:
1) отображение f является равномерно асимптотически однородным относительно η ∈
∈ ∂D;
2) в предположении, что |(z′ − η)/(z − η)| ≤ δ,
lim
z′, z→η
{
f(z′)− f(η)
f(z)− f(η)
− z′ − η
z − η
}
= 0
равномерно относительно η ∈ ∂D для любого фиксированного δ > 0.
Доказательство. Согласно лемме 1, условия 1 и 2 эквивалентны. Докажем, что из условия
1 следует асимптотическая конформность кривой Γ = f(∂D). Доказательство проведем от
противного. Пусть для кривой Γ не выполнено условие (16), тогда найдутся w(n)
1 , w
(n)
2 ∈ Γ,
w(n) ∈ Γ(w
(n)
1 , w
(n)
2 ) и ε > 0 такие, что |w(n)
1 − w(n)
2 | → 0 при n→∞ и
|w(n)
1 − w(n)|+ |w(n)
2 − w(n)|
|w(n)
1 − w(n)
2 |
≥ 1 + ε . (18)
Пусть ηn, η
(1)
n и η(2)n — прообразы точек w(n), w
(n)
1 и w(n)
2 на единичной окружности при отобра-
жении f : C→ C. Введем следующие обозначения: zn = η
(2)
n − ηn, ζn = (η
(1)
n − ηn)/(η
(2)
n − ηn).
Без ограничения общности предположим, что |ζn| ≤ 1 и zn 6= 0. Пусть
Φ(η, ζ, z) =
fη(ζz)
fη(z)
,
где fη(z) = f(z + η)− f(η) и z ∈ C∗, ζ ∈ C, η ∈ ∂D. Тогда (18) можно записать в виде
1 + |Φn|
|1− Φn|
≥ 1 + ε ,
где Φn = Φ(ηn, ζn, zn).
С другой стороны, согласно лемме 1 из предположения 1 о равномерной асимптотической
однородности отображения f следует, что Φ(η, ζ, z)→ ζ при z → 0 равномерно относительно
(η, ζ) ∈ ∂D× D. Поскольку круг D является компактом, можно предполагать без ограничения
общности, что ζn → ζ0 ∈ D при n → ∞. Тогда Φn → −t, где t ∈ [0, 1]. Следовательно,
(1 + |Φn|)/|1− Φn| → 1 при n→∞. Это противоречит условию (18). Таким образом, доказано,
что Γ = f(∂D) — асимптотически конформная кривая.
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
496 Т. В. ЛОМАКО
Теорема 3. Пусть f : C→ C, f(0) = 0, — регулярное решение уравнения Бельтрами (1) c
коэффициентом µ таким, что
lim
r→0
1
|B(η, r)|
sup
η∈D
∫
B(η, r)
Φ (Kµ(z)) dm(z) ≤ c′ <∞
для строго выпуклой функции Φ : R+ → R+, удовлетворяющей условию (4), и G = f(D).
Граница ∂G является асимптотически конформной кривой, если выполнено одно из следующих
условий:
1) отображение f является равномерно асимптотически однородным относительно η ∈
∈ D;
2) в предположении, что |(z′ − η)/(z − η)| ≤ δ,
lim
z′, z→η
{
f(z′)− f(η)
f(z)− f(η)
− z′ − η
z − η
}
= 0 (19)
при z′, z ∈ D равномерно относительно η ∈ D для любого фиксированного δ > 0;
3) в предположении, что |(z′ − η)/(z − η)| ≤ δ, существует предел (19) при z′, z ∈ D
равномерно относительно η ∈ D для любого фиксированного δ > 0.
Доказательство. 1)⇔ 2). Согласно лемме 1 условие 1 эквивалентно выполнению (15) для
семейства функций
fη(z) = f(z + η)− f(η)
равномерно относительно η ∈ D.
Следовательно, при условии |(z′ − η)/(z − η)| ≤ δ
Ψ(η, z, z′) =
{
f(z′)− f(η)
f(z)− f(η)
− z′ − η
z − η
}
→ 0
при z′, z → 0 равномерно относительно η ∈ D для любого δ > 0.
2) ⇒ 3). Пусть λn ∈ (0, 1), n = 1, 2, ..., и λn → 1 при n → ∞. Для любых η, z и z′ ∈ D,
z 6= η, полагаем
Ψn(η, z, z′) = Ψ(ηλn, zλn, z
′λn) .
Заметим, что
|z′λn − ηλn| ≤ |z′ − η|, |zλn − ηλn| ≤ |z − η|,
|(z′λn − ηλn)/(zλn − ηλn)| = |(z′ − η)/(z − η)|
и ηλn, zλn, z′λn ∈ D. Согласно предположению 2 теоремы при условии |(z′ − η)/(z − η)| ≤ δ
lim
z′, z→η
Ψn(η, z, z′) = 0 (20)
при z, z′ ∈ D равномерно относительно n и η ∈ D для любого фиксированного δ > 0.
Предположим, что предел (19) не является равномерным относительно η ∈ D. Тогда най-
дутся δ > 0, ε > 0, ηk, zk и z′k ∈ D, |(z′k − ηk)/(zk − ηk)| ≤ δ, k = 1, 2, ..., z′k − ηk → 0 и
zk − ηk → 0, такие, что
|Ψ(ηk, zk, z
′
k)| ≥ ε . (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 497
С другой стороны,
|Ψ(ηk, zk, z
′
k)−Ψnk(ηk, zk, z
′
k)| < ε/2 (22)
для любого фиксированного k и некоторого nk. Из неравенств (21) и (22) заключаем, что
|Ψnk(ηk, zk, z
′
k)| > ε/2 ∀ k = 1, 2, . . . .
Последнее противоречит (20) и, следовательно, предел (19) является равномерным относитель-
но η ∈ D.
3) ⇒ граница ∂G является асимптотически конформной кривой. Доказательство этого
утверждения аналогично доказательству теоремы 2.
Теорема доказана.
4. О гладкости некоторых кривых. Пусть Γ — жорданова кривая в C. Будем говорить,
что Γ является гладкой, если существует параметризация Γ : w(τ), 0 ≤ τ ≤ 2π, такая, что w′(τ)
непрерывна и не равна 0; для удобства выберем диапазон для параметра [0, 2π]. Продолжим
w(τ) на −∞ < τ < +∞ как 2π-периодическую функцию.
Кривая Γ является гладкой тогда и только тогда, когда она имеет непрерывно меняющуюся
касательную, т. е. существует непрерывная функция β такая, что
arg[w(τ)− w(t)]→
{
β(t), τ → t+ ,
β(t) + π, τ → t− ,
для всех t. Будем называть β(τ) углом направления касательной к кривой Γ в w(t).
Следующий результат является обобщением одного из утверждений классической теоремы
Линделефа (см. [17], а также [18], теорема 1).
Теорема 4. Пусть f : C→ C, f(0) = 0, — регулярное решение уравнения Бельтрами (1) с
условием (17) на коэффициент µ. Если кривая Γ = f(∂D) является гладкой и выполнено одно
из условий 1, 2 теоремы 2, то
arg f ′(eit) = β(t)− t− π
2
для следующей параметризации кривой Γ : w(t) = f(eit), 0 ≤ t ≤ 2π.
Доказательство. Поскольку Γ — гладкая жорданова кривая, существует непрерывная
функция β(t), заданная на отрезке [0, 2π], такая, что
arg[f(τ)− f(t)]→
{
β(t), τ → t+ ,
β(t) + π, τ → t− .
Согласно одному из условий 1, 2 теоремы 2 для f имеет место
lim
z, ζ→0
{
f(z + η)− f(η)
f(ζ + η)− f(η)
− z
ζ
}
= 0 (23)
равномерно относительно η ∈ ∂D при z, ζ ∈ C, |z/ζ| ≤ δ, для любого фиксированного δ > 0.
Выполняя замену z на zζ в (23), получаем
lim
ζ→0
f(zζ + η)− f(η)
f(ζ + η)− f(η)
= z
локально равномерно относительно z ∈ C и равномерно относительно η ∈ ∂D. В частности,
полагая ζ = reiθ1 и z = rei(θ2−θ1), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
498 Т. В. ЛОМАКО
lim
r→0
[
arg
f(η + reiθ2)− f(η)
reiθ2
− arg
f(η + reiθ1)− f(η)
reiθ1
]
= 0 (24)
для соответствующей ветви аргумента равномерно по θ1, θ2 ∈ [0, 2π] и η ∈ ∂D. Пусть Σ —
дуга единичной окружности ∂D с концом в точке η = eit. Поскольку
lim
z→eit
z∈Σ
[
arg
f(z)− f(eit)
z − eit
]
= β(t)− t− π
2
,
из (24) следует существование предела
arg f ′(eit) = lim
z→eit
[
arg
f(z)− f(eit)
z − eit
]
= β(t)− t− π
2
,
равномерного по параметру t.
Теорема доказана.
1. Ломако Т. В. К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами // Укр. мат. журн. – 2011. – 63,
№ 3. – C. 341 – 349.
2. Гутлянский В. Я., Ломако Т. В., Рязанов В. И. К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами // Укр.
мат. вестн. – 2011. – 8, № 4. – C. 513 – 536.
3. Lomako T., Ryazanov V. On a variational method for the Beltrami equations // Ann. Univ. Bucharest. Ser. Math. –
2011. – 60, № 2. – P. 3 – 14.
4. Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I. On asymptotically conformal curves // Complex Variables. – 1994. – 25. –
P. 357 – 366.
5. Гутлянский В. Я., Рязанов В. И. К теории локального поведения квазиконформных отображений // Изв. РАН.
Cер. мат. – 1995. – 59, № 3. – C. 31 – 58.
6. Гутлянский В. Я., Рязанов В. И. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений. – Киев:
Наук. думка, 2011. – 425 с.
7. Севостьянов Е. А. О граничном поведении открытых дискретных отображений с неограниченной характе-
ристикой // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 6. – С. 855 – 859.
8. Севостьянов Е. А. О равностепенно непрерывных семействах отображений, не принимающих значения из
переменного множества // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 3. – С. 361 – 370.
9. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach // Develop. Math. –
New York: Springer, 2012. – 26. – 301 p.
10. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On recent advances in the degenerate Beltrami equations // Укр.
мат. вестн. – 2010. – 7, № 4. – С. 467 – 515.
11. Рудин У. Теория функций в поликруге. – М.: Мир, 1974. – 160 c.
12. Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. – Новосибирск: Наука, 1974. – 98 с.
13. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Нормальные семейства пространственных отображений // Сиб. эл. мат. изв. –
2006. – 3. – C. 216 – 231.
14. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory // Springer Monographs Math. –
New York: Springer, 2009. – 367 p.
15. Куратовский К. Топология. – М.: Мир, 1966. – Т. 1. – 594 с.
16. Becker J., Pommerenke Chr. Uber die quasikonforme Fortsetzung schlichten Funktionen // Math. Z. – 1978. – 161,
№ 1. – S. 69 – 80.
17. Lindelöf E. Sur la repre’sentation conforme d’une aire simplement connexe sur l’aire d’un cercle // Quatr. Congr.
Math. Scandinaves, Stockholm, 1916. – P. 59 – 90.
18. Gutlyanskii V., Martio O., Ryazanov V. On a theorem of Lindelöf // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. –
2011. – 65, № 2. – P. 45 – 51.
Получено 10.12.13,
после доработки — 05.02.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1999 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:45Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2a/0d215b20907e8edc7e6f2deeccb9552a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19992019-12-05T09:48:26Z On The Boundary Behavior of Regular Solutions of the Degenerate Beltrami Equations О граничном поведении регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. We study the boundary behavior of regular solutions to the degenerate Beltrami equations with constraints of the integral type imposed on the coefficient. Досліджується поведінка на мєжі регулярних розв'язків вироджених рівнянь Бельтрамi з обмеженнями інтегрального типу на коефіцієнт. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1999 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 4 (2015); 489-498 Український математичний журнал; Том 67 № 4 (2015); 489-498 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1999/1016 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1999/1017 Copyright (c) 2015 Lomako T.V. |
| spellingShingle | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. On The Boundary Behavior of Regular Solutions of the Degenerate Beltrami Equations |
| title | On The Boundary Behavior of Regular Solutions of the Degenerate Beltrami Equations |
| title_alt | О граничном поведении регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами |
| title_full | On The Boundary Behavior of Regular Solutions of the Degenerate Beltrami Equations |
| title_fullStr | On The Boundary Behavior of Regular Solutions of the Degenerate Beltrami Equations |
| title_full_unstemmed | On The Boundary Behavior of Regular Solutions of the Degenerate Beltrami Equations |
| title_short | On The Boundary Behavior of Regular Solutions of the Degenerate Beltrami Equations |
| title_sort | on the boundary behavior of regular solutions of the degenerate beltrami equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1999 |
| work_keys_str_mv | AT lomakotv ontheboundarybehaviorofregularsolutionsofthedegeneratebeltramiequations AT lomakotv ontheboundarybehaviorofregularsolutionsofthedegeneratebeltramiequations AT lomakotv ontheboundarybehaviorofregularsolutionsofthedegeneratebeltramiequations AT lomakotv ograničnompovedeniiregulârnyhrešenijvyroždennyhuravnenijbelʹtrami AT lomakotv ograničnompovedeniiregulârnyhrešenijvyroždennyhuravnenijbelʹtrami AT lomakotv ograničnompovedeniiregulârnyhrešenijvyroždennyhuravnenijbelʹtrami |