Skewed-Gentle Algebras are Nodal
We prove that any gentle or skewed-gentle algebra is a nodal algebra of type $A$.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2004 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507913190113280 |
|---|---|
| author | Zembyk, V. V. Зембік, В. В. |
| author_facet | Zembyk, V. V. Зембік, В. В. |
| author_sort | Zembyk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:26Z |
| description | We prove that any gentle or skewed-gentle algebra is a nodal algebra of type $A$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.552
В. В. Зембик (Iн-т математики НАН України, Київ)
СКРУЧЕНО-ЛАГIДНI АЛГЕБРИ Є НОДАЛЬНИМИ
We prove that any gentle or skewed-gentle algebra is a nodal algebra of type A.
Доказано, что каждая мягкая или скрученно-мягкая алгебра является нодальной алгеброй типа A.
Лагiднi та скручено-лагiднi алгебри були введенi в роботах [1, 2] у зв’язку з теорiєю зображень.
Пiзнiше виявилось, що цi алгебри вiдiграють iстотну роль i при дослiдженнi похiдних категорiй.
Тому їх вивченню придiляється значна увага фахiвцiв. У роботах [3, 4] було розглянуто новий
клас алгебр — нодальнi (або вузловi) та вивчено їх будову й зображення. У цiй роботi ми
доводимо, що кожна лагiдна або скручено-лагiдна алгебра є насправдi нодальною алгеброю
типу A.
Нагадаємо вiдповiднi означення. Ми фiксуємо алгебраїчно замкнене поле k i розглядаємо
лише скiнченновимiрнi k-алгебри.
Означення 1. Алгебра A називається нодальною [3, 4], якщо iснує спадкова алгебра H ⊃
⊃ A така, що:
(1) radA = radH;
(2) lengthA(H ⊗A U) ≤ 2 для кожного простого лiвого A-модуля U.
Будемо казати, що нодальна алгебра A пов’язана зi спадковою алгеброю H.
Нагадаємо, що алгебра A називається базовою [5], якщо її фактор-алгебра Ā = A/ radA
iзоморфна прямому добутку тiл. Оскiльки ми розглядаємо алгебри над алгебраїчно замкненим
полем k, то в цьому випадку A/ radA ' km для деякого m.
Як вiдомо [5] (гл. 3), кожна базова спадкова алгебра iзоморфна алгебрi шляхiв деякого
сагайдака Q без орiєнтованих циклiв. У [3, 4] доведено, що кожна базова нодальна алгебра A
iзоморфна алгебрi, яка отримується iз базової спадкової алгебри H iз сагайдаком Q за допо-
могою деякої послiдовностi операцiй склеювання i роздуття вершин цього сагайдака, причому
кожна вершина бере участь щонайбiльше в однiй такiй операцiї. Нагадаємо, як застосовуються
цi операцiї до вершин сагайдака Q :
(1) при склеюваннi вершин i та j
(a) ми ототожнюємо вершини i та j, замiнюючи їх однiєю вершиною i зберiгаючи при
цьому всi стрiлки, якi починаються або закiнчуються в цих вершинах;
(b) якщо стрiлка α починається у вершинi i (або j), а стрiлка β закiнчується у вершинi j
(вiдповiдно i), то ми накладаємо спiввiдношення αβ = 0;
(2) при роздуттi вершини i
(a) ми замiнюємо вершину i двома вершинами i′ та i′′;
(b) кожну стрiлку α, яка закiнчується в i, ми замiнюємо двома стрiлками α′ та α′′, якi
закiнчуються вiдповiдно в i′ та i′′;
(c) кожну стрiлку β, яка починається в i, ми замiнюємо двома стрiлками β′ та β′′, якi
починаються вiдповiдно в i′ та i′′;
c© В. В. ЗЕМБИК, 2015
574 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
СКРУЧЕНО-ЛАГIДНI АЛГЕБРИ Є НОДАЛЬНИМИ 575
(d) якщо стрiлка β починається у вершинi i, а стрiлка α закiнчується в цiй вершинi, ми
накладаємо спiввiдношення β′α′ = β′′α′′.
Зауважимо, що пiсля виконання цих операцiй можуть з’явитись орiєнтованi цикли i навiть
петлi, але у подальшому до вершин, у яких утворилися петлi, цi операцiї вже не застосовуються.
Зауважимо також, що спадкову алгебру H i сагайдак Q визначено неоднозначно.
Означення 2. Базова алгебра A називається лагiдною, якщо вона задається сагайдаком
Q зi спiввiдношеннями R, причому виконуються такi умови:
(1) для кожної вершини i ∈ Q iснує не бiльше двох стрiлок, якi починаються в i, та не
бiльше двох стрiлок, якi закiнчуються в i;
(2) усi спiввiдношення в R мають вигляд αβ для деяких стрiлок α, β;
(3) якщо iснують двi стрiлки α1, α2, якi починаються в i, то для кожної стрiлки β, яка
закiнчується в i, або α1β ∈ R, або α2β ∈ R, але не одночасно;
(4) якщо iснують двi стрiлки β1, β2, якi закiнчуються в i, то для кожної стрiлки α, яка
починається в i, або αβ1 ∈ R, або αβ2 ∈ R, але не одночасно.
Означення 3. Базова алгебраA називається скручено-лагiдною, якщо вона отримується з
лагiдної алгебри B шляхом роздуття деяких вершин її сагайдака, в якi не бiльше однiєї стрiлки
α входить i не бiльше однiєї стрiлки β виходить, причому якщо наявнi обидвi стрiлки, то
βα /∈ R.
Це означення вiдрiзняється вiд означень iз робiт [2, 6] (якi теж рiзнi), але неважко переко-
натися, що воно їм рiвносильне.
Теорема. Кожна лагiдна або скручено-лагiдна алгебра є нодальною, причому сагайдак
вiдповiдної спадкової алгебри є незв’язним об’єднанням сагайдакiв типу A та Ã (тобто лiнiйок
та циклiв).
Зауважимо, що ця теорема є оберненою до теореми 3.1 iз роботи [3]. З цих двох теорем
також випливає, що така алгебра є лагiдною тодi й лише тодi, коли при її побудовi не викорис-
товувались роздуття, а лише склейки.
Доведення. Оскiльки скручено-лагiдна алгебра отримується iз лагiдної роздуттями вершин
вiдповiдного сагайдака, причому цi вершини не беруть участi у спiввiдношеннях, то достатньо
показати, що будь-яка лагiдна алгебра є нодальною.
За означенням лагiдна алгебра A задається сагайдаком Q зi спiввiдношеннями R. В цьому
сагайдаку нас цiкавитимуть лише тi вершини, в яких є спiввiдношення. Вони подiляються на
3 типи:
(1) у вершину i двi стрiлки входять i двi стрiлки iз неї виходять
α
(( i
β 66
δ ((γ
66
та є два спiввiдношення, наприклад βα = 0 i δγ = 0;
(2) у вершину i одна стрiлка входить i двi стрiлки iз неї виходять (або у вершину i двi
стрiлки входять i одна стрiлка iз неї виходить)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
576 В. В. ЗЕМБИК
β
((α // i
β 66
γ ((
або i
α //
γ
66
причому βα = 0 або γα = 0 (вiдповiдно, αβ = 0 або αγ = 0), але не одночасно;
(3) у вершину i одна стрiлка входить i одна стрiлка iз неї виходить
α // i
β //
та є спiввiдношення βα = 0.
Доведення проведемо iндукцiєю по кiлькостi спiввiдношень. Якщо спiввiдношень взагалi
немає, то лагiдна алгебра є спадковою, а її сагайдак є незв’язним об’єднанням сагайдакiв типуA
або Ã. Нехай i — вершина, яка входить у деяке спiввiдношення. Припустимо, що вона належить
до типу (1). Розглянемо сагайдакQ1, який отримується iз сагайдакаQ замiною вершини i двома
вершинами i′ та i′′ :
α // i′
δ //
γ // i′′
β //
Всi iншi вершини в сагайдаку Q1 залишаються незмiнними. Спiввiдношення R1 сагайдака Q1
— це «старi» спiввiдношення R без тих двох, якi були у вершинi i. По сутi ми отримали нову
алгебру A1, яка задається сагайдаком Q1 зi спiввiдношеннями R1. Очевидно, що алгебра A
одержується iз A1 склеюванням компонент i′ та i′′.
Якщо вершина i належить до типу (2), то ми її замiнюємо двома вершинами i′ та i′′ вигляду
α // i′
β //
i′′
γ //
(або iз зворотними напрямками стрiлок), а якщо вершина i належить до типу (3), то будемо
виконувати замiну вигляду
α // i′
i′′
β //
В результатi такого перетворення одержуємо нову алгебру A1, з якої алгебра A одержується
склеюванням вершин i′ та i′′, в яких немає спiввiдношень. Очевидно, ця алгебра також є
лагiдною, але спiввiдношень в нiй менше, нiж в A. Цим iндукцiя завершується.
1. Assem I., Skowrońsky A. Iterated tilted algebras of type An // Math. Z. – 1987. – 195. – S. 269 – 290.
2. Geiß G, de la Peña J. A. Auslander – Reiten components for clans // Bol. Soc. mat. mech. Ser III. – 1999. – 5, № 3.
– P. 307 – 326.
3. Drozd Y. A., Zembyk V. V. Representations of nodal algebras of type A // Algebra and Discrete Math. – 2013. – 15,
№ 2. – P. 179 – 200.
4. Зембик В. В. Будова скiнченновимiрних нодальних алгебр // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 3. – P. 415 – 419.
5. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры. – Киев: Вища шк., 1980.
6. Bekkert V., Marcos E. N., Merklen H. Indecomposables in derived categories of skewed-gentle algebras // Communs
Algebra. – 2003. – 31. – P. 2615 – 2654.
Одержано 13.02.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2004 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:52Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0c/c9223a8c03c9c7e5a5ce6af83c00f20c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20042019-12-05T09:48:26Z Skewed-Gentle Algebras are Nodal Скручено-лагiднi алгебри є нодальними Zembyk, V. V. Зембік, В. В. We prove that any gentle or skewed-gentle algebra is a nodal algebra of type $A$. Доказано, что каждая мягкая или скрученно-мягкая алгебра является нодальной алгеброй типа $A$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2004 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 4 (2015); 574-576 Український математичний журнал; Том 67 № 4 (2015); 574-576 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2004/1026 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2004/1027 Copyright (c) 2015 Zembyk V. V. |
| spellingShingle | Zembyk, V. V. Зембік, В. В. Skewed-Gentle Algebras are Nodal |
| title | Skewed-Gentle Algebras are Nodal |
| title_alt | Скручено-лагiднi алгебри є нодальними |
| title_full | Skewed-Gentle Algebras are Nodal |
| title_fullStr | Skewed-Gentle Algebras are Nodal |
| title_full_unstemmed | Skewed-Gentle Algebras are Nodal |
| title_short | Skewed-Gentle Algebras are Nodal |
| title_sort | skewed-gentle algebras are nodal |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2004 |
| work_keys_str_mv | AT zembykvv skewedgentlealgebrasarenodal AT zembíkvv skewedgentlealgebrasarenodal AT zembykvv skručenolagidnialgebriênodalʹnimi AT zembíkvv skručenolagidnialgebriênodalʹnimi |