Representations of a Group of Linear Operators in a Banach Space on the Set of Entire Vectors of its Generator
For a strongly continuous one-parameter group $\{U(t)\} t ∈(−∞,∞)$ of linear operators in a Banach space $\mathfrak{B}$ with generator $A$, we prove the existence of a set $\mathfrak{B}_1$ dense in $\mathfrak{B}_1$ on the elements $x$ of which the function $U(t)x$ admits an extension to an entire B$...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2007 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507916737445888 |
|---|---|
| author | Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. |
| author_facet | Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. |
| author_sort | Gorbachuk, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:42Z |
| description | For a strongly continuous one-parameter group $\{U(t)\} t ∈(−∞,∞)$ of linear operators in a Banach space $\mathfrak{B}$ with generator $A$, we prove the existence of a set $\mathfrak{B}_1$ dense in $\mathfrak{B}_1$ on the elements $x$ of which the function $U(t)x$ admits an extension to an entire B$\mathfrak{B}$-valued vector function. The description of the vectors from $\mathfrak{B}_1$ for which this extension has a finite order of growth and a finite type is presented. It is also established that the inclusion $x ∈ \mathfrak{B}_1$ is a necessary and sufficient condition for the existence of the limit ${ \lim}_{n\to 1}{\left(I+\frac{tA}{n}\right)}^nx$ and this limit is equal to $U(t)x$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. М. Горбачук (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ),
М. Л. Горбачук (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЗОБРАЖЕННЯ ГРУПИ ЛIНIЙНИХ ОПЕРАТОРIВ У БАНАХОВОМУ
ПРОСТОРI НА МНОЖИНI ЦIЛИХ ВЕКТОРIВ ЇЇ ГЕНЕРАТОРА
For a strongly continuous one-parameter group {U(t)}t∈(−∞,∞) of linear operators in a Banach space B, with generator
A, we prove the existence of a set B1 dense in B on the elements of which x the function U(t)x admits an extension to
an entire B-valued vector function. The description of the vectors from B1 for which this extension has a finite order of
growth and a finite type is presented. It is also established that the inclusion x ∈ B1 is a necessary and sufficient condition
for the existence of the limit limn→∞
(
I +
tA
n
)n
x and this limit is equal to U(t)x.
Для сильно непрерывной однопараметрической группы {U(t)}t∈(−∞,∞) линейных операторов в банаховом про-
странстве B с генератором A доказано существование плотного в B множества B1, на элементах x которого U(t)x
допускает продолжение до целой B-значной вектор-функции. Приведено описание тех векторов из B1, для кото-
рых это продолжение имеет конечный порядок роста и конечный тип. Установлено также, что включение x ∈ B1
является необходимым и достаточным условием для существования limn→∞
(
I +
tA
n
)n
x и этот предел совпадает
с U(t)x.
1. Нехай {U(t)}t∈R — C0-група лiнiйних операторiв у банаховому просторi B з нормою ‖ · ‖
над полем C комплексних чисел, тобто
(i) U(0) = I (I — одиничний оператор в B);
(ii) ∀t, s ∈ (−∞,∞) : U(t+ s) = U(t)U(s);
(iii) ∀x ∈ B : limt→0 ‖U(t)x− x‖ = 0.
Позначимо через A генератор групи {U(t)}t∈R :
Ax = lim
t→0
U(t)x− x
t
, D(A) =
{
x ∈ B : lim
t→0
U(t)x− x
t
iснує
}
(
D(·) — область визначення оператора
)
. Як вiдомо (див. [1]), операторA замкнений iD(A) = B.
Вiн є неперервним тодi i тiльки тодi, коли U(t)→ I, t→ 0, в рiвномiрнiй операторнiй топологiї.
У випадку, коли B = C, а U(t) — неперервна скалярна функцiя, що задовольняє (i) — (iii),
О. Кошi показав (див. [2]), що U(t) = eAt. Зауважимо, що функцiя eAt, A ∈ C, була визначена
ще Л. Ейлером у 1728 р. [3] двома способами:
eAt =
∞∑
k=0
tkAk
k!
(1)
i
eAt = lim
n→∞
(
1 +
tA
n
)n
. (2)
Цей результат був поширений у 1920 р. С. Банахом [4] i В. Серпiнським [5] на вимiрнi U(t),
а в 1887 р. Ж. Пеано [6] довiв, що у випадку скiнченновимiрного B ряд в (1) збiгається в
операторнiй нормi i для його суми U(t) виконуються спiввiдношення (i) – (iii); бiльш того, для
будь-якого x ∈ B вектор-функцiя U(t)x є єдиним розв’язком задачi Кошi
c© В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК, 2015
592 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ГРУПИ ЛIНIЙНИХ ОПЕРАТОРIВ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 593
dy(t)
dt
= Ay(t), t ∈ (−∞,∞),
(3)
y(0) = x.
У подальшому це твердження було узагальнено (див. [7 – 10]) на випадок довiльного неперерв-
ного оператора A у нескiнченновимiрному B, а саме, було показано, що для такого оператора
ряд в (1) збiгається в рiвномiрнiй операторнiй топологiї i його сума U(t) є неперервною в цiй
топологiї оператор-функцiєю, що задовольняє спiввiдношення (i) – (iii). Навпаки, якщо непе-
рервна в рiвномiрнiй операторнiй топологiї оператор-функцiя U(t) задовольняє спiввiдношен-
ня (i) – (iii), то iснує єдиний неперервний лiнiйний оператор A, за допомогою якого U(t) можна
подати як у виглядi (1), так i у виглядi (2). Що стосується C0-груп з необмеженим генератором
(а саме вони найчастiше виникають у задачах математичної фiзики), то ряд
∑∞
k=0
tkAkx
k!
збi-
гається не для всiх x ∈ B, а отже, зображення (1), взагалi кажучи, не має мiсця. Проте ще у
1772 р. Ж. Л. Лангранж (див. [11]) навiв формулу
∀x ∈ L2(R) ∀t ∈ (−∞,∞) : x(t+ s) = exp
(
t
d
ds
)
x(s) =
∞∑
n=0
tnx(n)(s)
n!
, (4)
в якiй, як бачимо, група зсувiв U(t)x(s) = x(t + s) у просторi L2(R) зображується у виглядi
експоненти вiд її генератора — оператора диференцiювання. Що ж до надання їй сенсу для до-
вiльноїC0-групи, тобто усвiдомлення того, а що ж саме треба розумiти пiд eAt, деA — генератор
цiєї групи, то для цього знадобилось майже два столiття, i це стало одним iз найважливiших
досягнень математичного аналiзу середини 20-го ст.
Якщо розглядати формулу (4) у рiзних функцiональних банахових просторах, наприклад
у Lp(R), Cb(R) тощо, то можна побачити, що її лiва частина x(t + s) визначена на всьому
просторi, а ряд справа — лише на певних класах цiлих функцiй, щiльних у цих просторах. Тому
постає питання: чи iснують для довiльної C0-групи {U(t)}t∈R у банаховому просторi B щiльнi
в ньому пiдпростори B1 i B2 такi, що
∀x ∈ B1 : U(t)x =
∞∑
n=0
tn
n!
Anx, (5)
∀x ∈ B2 : U(t)x = lim
n→∞
(
I +
tA
n
)n
x ? (6)
Якщо {U(t)}t∈R — унiтарна група у гiльбертовому просторi, то вiдповiдь на (5) дає теорема
Стоуна [12] про її спектральне зображення. Для довiльної C0-групи у банаховому просторi
проблема (5) була поставлена А. М. Колмогоровим i розв’язана I. М. Гельфандом [13] у 1939 р.
у випадку, коли розглядувана група є обмеженою. В данiй роботi ця проблема розв’язується у
загальному випадку. Очевидно тодi, що iз збiжностi ряду (5) випливає можливiсть продовження
U(t)x до цiлої вектор-функцiї U(z)x, z ∈ C, i, якщо оператор A неперервний в B, то U(z)x
є експоненцiального типу для будь-якого x ∈ B1 = B. Це, взагалi кажучи, не так у випадку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
594 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
необмеженого A. Ми наводимо умови на вектор x ∈ B1, за яких U(z)x має скiнченний тип i
скiнченний порядок росту.
Що стосується проблеми iснування щiльної в B множини B2, на елементах якої iснує
границя (6), то вона була поставлена у 1946 р. Е. Хiлле для сильно неперервних пiвгруп.
Як було зазначено ним (див. [1, с. 285]), „поширити формулу (6) на сильний випадок мабуть
надзвичайно важко; iмовiрно, що навiть при x ∈
⋂
n∈N0={0}∪N
D(An) границя (6) не завжди
iснує”. Справдi, неважко навести приклад C0-пiвгрупи, для якої ця границя iснує лише для
x = 0. Ми доводимо, що для C0-групи {U(t)}t∈R границя (6) iснує тодi i тiльки тодi, коли
x ∈ B1 (таким чином, B2 = B1), i ця границя збiгається з сумою ряду (5).
2. Нехай A — довiльний замкнений, щiльно заданий в B лiнiйний оператор. Множину
таких операторiв позначимо через E(B), а множину всiх обмежених на B лiнiйних операторiв
— через L(B). Вектор x ∈ C∞(A) =
∞⋂
n=1
D(An) називається цiлим вектором оператора A,
якщо ряд у правiй частинi (1), застосований до цього вектора, збiгається в C. Очевидно, що
x ∈ C∞(A) є цiлим вектором оператора A ∈ E(B) тодi i тiльки тодi, коли
∀α > 0 ∃c = c(x) > 0 : ‖Anx‖ ≤ cαnnn (∀n ∈ N).
(Скрiзь у подальшому пiд c розумiтимемо сталу, вiдповiдну до розглядуваного випадку.) Для
оператора A ∈ L(B) будь-який вектор x ∈ B є цiлим. Що ж до необмежених операторiв, то
серед них є такi, для яких жоден вектор, вiдмiнний вiд нульового, не є цiлим.
Будемо говорити, що цiлий вектор x оператора A ∈ E(B) має скiнченний порядок, якщо
iснує число γ ∈ (−∞, 1) таке, що, починаючи з деякого номера n0 = n0(x),
∀n ≥ n0 : ‖Anx‖ ≤ nnγ .
Точну нижню межу p(x) таких γ назвемо порядком вектора x вiдносно оператора A. Неважко
переконатись, що
p(x) = lim
n→∞
ln ‖Anx‖
n lnn
.
Тип s(x) вектора x порядку p(x) визначається як
s(x) = inf
{
α > 0 : ‖Anx‖ ≤ αnnp(x) (n ≥ n0)
}
.
Вважатимемо, що цiлий вектор x оператора A порядку p(x) має мiнiмальний тип, якщо s(x) =
= 0, i нормальний — за умови, що 0 < s(x) <∞. Зрозумiло, що
s(x) = lim
n→∞
n
√
‖Anx‖
np(x)
.
Для числа β ∈ [0, 1] покладемо
G{β}(A) =
⋃
α>0
Gα
β(A) при 0 ≤ β < 1, G(β)(A) =
⋂
α>0
Gα
β(A) при 0 < β ≤ 1,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ГРУПИ ЛIНIЙНИХ ОПЕРАТОРIВ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 595
Gα
β(A) =
{
x ∈ C∞(A)
∣∣∃c = c(x) > 0 : ‖Anx‖ ≤ cαnnnβ (n ∈ N0)
}
— банахiв простiр вiдносно норми
‖x‖Gαβ (A) = sup
n∈N0
‖Anx‖
αnnnβ
.
Неважко переконатись, що множина цiлих векторiв оператора A скiнченного порядку p ∈ [0, 1)
i нормального типу збiгається з G{p}(A), а множина його цiлих векторiв порядку p ∈ (0, 1]
мiнiмального типу — з G(p)(A). Елементи простору G{0}(A) називаються цiлими векторами
експоненцiального типу оператора A.
У просторах G{β}(A) i G(β)(A) вводиться топологiя iндуктивної та, вiдповiдно, проективної
границi просторiв Gα
β(A) (див. [14]):
G{β}(A) = ind lim
α→∞
Gα
β(A), G(β)(A) = proj lim
α→0
Gα
β(A).
Зауважимо, що простiр G{β}(A) є регулярною iндуктивною границею, а тому послiдовнiсть
xn ∈ G{β}(A) збiгається до x у цьому просторi тодi i тiльки тодi, коли iснує α > 0 таке,
що xn ∈ Gα
β(A) i xn → x (n → ∞) у цьому банаховому просторi. Збiжнiсть у просторi
G(β)(A) рiвносильна збiжностi в Gα
β(A) для довiльного α > 0. B-значна вектор-функцiя f(z)
називається цiлою в G{β}(A) (G(β)(A)), якщо вона є цiлою у банаховому просторi Gα
β(A) з
деяким (будь-яким) α. Як показано в [15], має мiсце таке твердження.
Твердження 1. Нехай A ∈ E(B). Тодi для кожного x ∈ G(γ)(A) з γ ≤ 1 вектор-функцiя
exp(Az)x =
∞∑
n=0
tnAnx
k!
є цiлою у просторi G(γ)(A).
У конкретному випадку, коли B = C([a, b]), −∞ < a < b <∞, а
Ax(t) =
dx(t)
dt
, D(A) = C1([a, b]),
C∞(A) є не що iнше, як множина всiх нескiнченно диференцiйовних на [a, b] функцiй,
G(1)(A) (G{0}(A)) — простiр усiх неперервних на [a, b] функцiй, що допускають продовження
до цiлих (цiлих експоненцiального типу) функцiй.
3. У наведеному вище прикладi простiр G{0}(A) є щiльним в C([a, b]). Оскiльки для довiль-
ного β ∈ (0, 1) має мiсце включення G{β}(A) ⊇ G(β)(A) ⊇ G{0}(A), то G{β}(A) = C([a, b]).
Але це, взагалi кажучи, не так у випадку довiльного замкненого A. Неважко навести приклад
оператора A ∈ E(B), для якого G(1)(A) = {0}. Проте якщо A — генератор C0-групи, то, як
показано в [16, 17], справджується таке твердження.
Твердження 2. Нехай A — генератор C0-групи {U(t)}t∈R в B. Тодi
∀β ∈ (0, 1) : G{β}(A) = G(β)(A) = B.
За умови, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
596 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
∞∫
−∞
ln
∥∥U(t)
∥∥
1 + t2
dt <∞, (7)
маємо також G{0}(A) = B.
Зазначимо, що умова (7) є близькою до необхiдної. Це пiдтверджує наступний приклад.
Приклад 1. Нехай B = L2(R, τ2(t)dt), де вимiрна локально обмежена функцiя τ(t) ≥ 1,
t ∈ R, задовольняє умови:
1) ∀t, s ∈ R : τ(t+ s) ≤ τ(t) · τ(s);
2)
∫ ∞
−∞
ln τ(t)
1 + t2
dt =∞.
Тодi оператор
(Ax)(t) = −x′(t),
D(A) =
{
x(t) ∈ C(R)
∣∣x(t) абсолютно неперервна i x(t), x′(t) ∈ L2(R, τ2(t)dt)
}
породжує C0-групу (U(t)x)(s) = x(s−t), для якої
∥∥U(t)
∥∥ ≤ τ(t). Покажемо, що для будь-якого
α > 0 Gα
0 (A) = {0}.
Припустимо, що це не так. Тодi iснують α > 0 та x(t) 6≡ 0 iз простору L2(R, τ2(t)dt) такi,
що x ∈ Gα
0 (A), тобто
∞∫
−∞
∣∣x(n)(t)∣∣2 dt ≤ ∞∫
−∞
∣∣x(n)(t)∣∣2τ2(t) dt < (cαn)2 , n ∈ N0,
а отже, x(t) ∈ L2(R) допускає продовження до цiлої функцiї експоненцiального типу. З нерiв-
ностi 2 ln+
∣∣x(t)∣∣ < ∣∣x(t)∣∣2 випливає, що
∞∫
−∞
ln+
∣∣x(t)∣∣
1 + t2
dt <∞,
звiдки (див. [18, c. 315])
∞∫
−∞
| ln |x(t)||
1 + t2
dt <∞.
Покладемо тепер y(t) = τ(t)x(t). Оскiльки
|y(t)|2 = exp
(
2(1 + t2)
1 + t2
ln |y(t)|
)
>
2(1 + t2)
1 + t2
ln |y(t)| ≥ ln |y(t)|
1 + t2
=
ln |x(t)|
1 + t2
+
ln |τ(t)|
1 + t2
,
то
∫ ∞
−∞
|y(t)|2 dt =∞, що суперечить включенню x(t) ∈ L2
(
R, τ2(t)dt
)
.
Нагадаємо, що цiла B-значна вектор-функцiя f(z) має скiнченний порядок росту, якщо для
достатньо великих |z| виконується нерiвнiсть ‖f(z)‖ ≤ exp (|z|γ) з деяким γ > 0. Точна нижня
межа ρ = ρ(f) таких γ називається порядком f(z). Пiд типом вектор-функцiї f(z) порядку ρ
розумiється число
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ГРУПИ ЛIНIЙНИХ ОПЕРАТОРIВ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 597
σ(f) = inf
{
a > 0 : ‖f(z)‖ ≤ exp (a|z|ρ)
}
.
Якщо σ(f) = 0, то тип f(z) вважається мiнiмальним, а при 0 < σ(f) < ∞ — нормальним.
Якщо ж ρ(f) ≤ 1, то f(z) називається цiлою вектор-функцiєю експоненцiального типу. Як i в
скалярному випадку (див. [18]), порядок росту ρ = ρ(f) i тип σ = σ(f) вектор-функцiї
f(z) =
∞∑
n=0
cnz
n, cn ∈ B,
визначаються як
ρ = lim
n→∞
n lnn
ln
(
‖cn‖−1
) , (eσρ)1/ρ = lim
n→∞
n1/ρ n
√
‖cn‖. (8)
4. Нехай {U(t)}t∈R — C0-група лiнiйних операторiв в B, а A — її генератор. Вектор-функцiя
U(t)x, x ∈ B, називається орбiтою цiєї групи, породженою вектором x. Якщо A ∈ L(B), то
для будь-якого x ∈ B орбiта U(t)x може бути продовжена до цiлої B-значної вектор-функцiї
U(z)x експоненцiального типу i
‖U(z)x‖ ≤ e‖A‖|z|‖x‖.
Якщо ж A ∈ E(B), то це, взагалi кажучи, не так. Природно постає питання: за яких умов на
вектор x орбiта U(t)x, породжена ним, допускає продовження до цiлої вектор-функцiї, i якщо
це так, то для яких x продовження буде мати скiнченний порядок росту i скiнченний тип?
Вiдповiдь дає наступна теорема.
Теорема 1. Нехай {U(t)}t∈R — C0-група лiнiйних операторiв у B з генератором A. Для
того щоб орбiта U(t)x допускала продовження до цiлої B-значної вектор-функцiї U(z)x,
необхiдно i достатньо, щоб x ∈ G(1)(A). Це продовження має скiнченний порядок росту ρ
i нормальний (мiнiмальний) тип σ тодi i тiльки тодi, коли x є цiлим вектором оператора A
порядку p i нормального (мiнiмального) типу s, пов’язаних з ρ i σ спiввiдношеннями
ρ =
1
1− p
, σ =
(se)ρ
ρe
.
Бiльш того, якщо x ∈ G(β)(A) з β ∈ (0, 1]
(
x ∈ G{β}(A) з β ∈ (0, 1)
)
, то ряд∑∞
k=0
zk
k!
Akx збiгається у просторi G(β)(A) (G{β}(A)) до U(z)x в усiй комплекснiй площинi.
Доведення. Нехай x ∈ G(1)(A). Тодi неважко переконатись, що вектор-функцiя
exp(At)x =
∞∑
k=0
tk
k!
Akx
є розв’язком задачi Кошi
dy(t)
dt
= Ay(t) (t ∈ (−∞,∞)), y(0) = x.
Оскiльки A — генератор C0-групи {U(t)}t∈R, то, як вiдомо, її розв’язок єдиний i має вигляд
y(t) = U(t)x. Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
598 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
U(t)x = exp(At)x =
∞∑
k=0
tk
k!
Akx.
За твердженням 1 U(t)x допускає продовження до цiлої вектор-функцiї iз значеннями в B.
Припустимо тепер, що орбiта y(t) = U(t)x може бути продовжена до цiлої вектор-функцiї
U(z)x порядку ρ i типу σ. Тодi
∀ε > 0 ∃cε = const : ‖U(z)x‖ ≤ cεe(σ+ε)|z|
ρ
,
звiдки, завдяки тотожностi
∀n ∈ N : y(n)(t) = Any(t),
маємо
∀r > 0 : ‖Anx‖ = ‖AnU(0)x‖ ≤ n!
2π
∫
|z|=r
‖y(z)‖
|z|n+1
dz ≤ cεn!
e(σ+ε)r
ρ
rn
.
Враховуючи, що мiнiмум функцiї
ear
ρ
rn
досягається в точцi r =
(
n
aρ
)1
ρ
, а ε можна вибрати як
завгодно малим, за допомогою формули Стiрлiнга
n! = nne−n
√
2πn
(
1 +O
(
1
n
))
(9)
одержуємо нерiвнiсть
‖Anx‖ ≤ c
(
e1−ρσρ
)n
ρ n
ρ−1
ρ n
, (10)
яка показує, що x — цiлий вектор оператора A скiнченного порядку
p ≤ ρ− 1
ρ
⇐⇒ ρ ≥ 1
1− p
. (11)
Нехай тепер цiлий вектор x оператора A має скiнченнi порядок p i тип s. Тодi формула (8),
застосована до вектор-функцiї U(z)x =
∑∞
k=0
zkAkx
k!
, та формула Стiрлiнга (9) обумовлюють
спiввiдношення
ρ = lim
n→∞
n lnn
ln n!
‖Anx‖
≤ lim
n→∞
n lnn
c(ρ+ ε)nnnp
=
1
1− p
. (12)
З (11) i (12) випливає, що
ρ =
1
1− p
.
Для типу тiєї самої вектор-функцiї U(z)x, виходячи з (8), одержуємо нерiвнiсть
(eσρ)
1
ρ = lim
n→∞
(
n
1
ρ n
√
‖Anx‖
n!
)
≤ lim
n→∞
n1
ρ
n
√√√√(s+ ε)nn
n
(
1−1
ρ
)
n!
< e(s+ ε).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ГРУПИ ЛIНIЙНИХ ОПЕРАТОРIВ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 599
Беручи до уваги, що ε > 0 може бути як завгодно малим, робимо висновок, що
(eσρ)
1
ρ ≤ es.
Тодi з нерiвностi (10) випливає, що
σ =
(se)ρ
ρe
,
що й потрiбно було довести.
З теореми 1 i твердження 2 випливає, що для довiльної C0-групи {U(t)}t∈R лiнiйних опе-
раторiв в B з генератором A проблема (5) завжди має розв’язок, а простiр B1 = G(1)(A) є
максимальним пiдпростором з B, на якому ця проблема розв’язна. Це означає, що якщо ряд у
правiй частинi (5) збiгається для довiльного t ∈ R, то x ∈ G(1)(A), а сума цього ряду дорiвнює
U(t)x. Що ж до множини векторiв x, для яких U(z)x має порядок росту ρ > 1 i скiнченний
тип, то вона збiгається зi щiльним у B пiдпростором G{p}(A), де p =
ρ− 1
ρ
; множина ж цiлих
векторiв x оператора A, що породжують орбiти порядку ρ i мiнiмального типу, є не що iнше,
як G(p)(A), i G(p)(A) = B. Множина векторiв x, для яких U(z)x є цiлою експоненцiального
типу, збiгається з G{0}(A), але, як показує наведений вище приклад, не завжди щiльна в B.
Вона буде щiльною лише тодi, коли пiвгрупа {U(t)}t∈R є квазiаналiтичною, тобто виконується
умова (7).
5. Перейдемо до другої проблеми, поставленої в п. 2, про iснування для C0-групи {U(t)}t∈R
границi (6). Вiдповiдь на це питання дає наступна теорема.
Теорема 2. Нехай x ∈ G(1)(A). Тодi послiдовнiсть
(
I +
zA
n
)n
x, n ∈ N, збiгається рiв-
номiрно до U(z)x на кожному компактi K ⊂ C. Навпаки, якщо послiдовнiсть
(
I +
tA
n
)n
x,
x ∈ C∞(A), збiгається для довiльного t ∈ R, то x ∈ G(1)(A) i
lim
n→∞
(
I +
tA
n
)n
x = U(t)x.
Доведення. Припустимо, що x ∈ G(1)(A). Для k ∈ N покладемо
cj(k) =
k(k − 1) . . . (k − j + 1)
kj
, якщо 1 ≤ j ≤ k, c0(k) = 1,
0, якщо k < j.
Неважко переконатись, що для будь-якого j ∈ N cj(k) ≤ 1, cj(k)→ 1, k →∞, i
∞∑
j=0
cj(k)z
j
j!
Ajx =
(
I +
zA
k
)k
x. (13)
Позначимо через Sn(k, z)x частинну суму ряду в (13), тобто
Sn(k, z)x =
n∑
j=0
cj(k)z
j
j!
Ajx.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
600 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Тодi
∥∥Sn+m(k, z)x−Sn(k, z)x∥∥ =
∥∥∥∥∥∥
n+m∑
j=n+1
cj(k)z
j
j!
Ajx
∥∥∥∥∥∥ ≤
n+m∑
j=n+1
cj(k)|z|j
j!
‖Ajx‖ ≤
n+m∑
j=n+1
|z|j
j!
‖Ajx‖.
Оскiльки x — цiлий вектор оператора A, то∥∥Sn+m(k, z)x− Sn(k, z)x∥∥→ 0 при m→∞.
Тому ряд
∑∞
j=0
cj(k)z
j
j!
Ajx збiгається рiвномiрно по k ∈ N i z ∈ K. Отже, в нерiвностi (13)
можна перейти до границi пiд знаком суми при k →∞, звiдки
lim
k→∞
(
I +
zA
k
)k
x =
∞∑
n=0
zn
n!
Anx = U(z)x.
Бiльш того, збiжнiсть послiдовностi
(
I +
zA
k
)k
x є рiвномiрною на K.
Навпаки, припустимо, що послiдовнiсть
(
I +
tA
n
)n
x, n ∈ N, збiгається для кожного t ∈ R.
Тодi (
tA
n
)n
x =
(
I +
tA
n
− I
)n
x =
n∑
k=0
Ckn
(
I +
tA
n
)k
(−1)n−kx.
Беручи до уваги, що внаслiдок збiжностi послiдовнiсть
(
I +
tA
n
)n
x є обмеженою, тобто∥∥∥∥∥
(
I +
tA
k
)k∥∥∥∥∥ ≤Mt
(t є довiльним фiксованим), одержуємо∥∥∥∥∥
(
tA
n
)k
x
∥∥∥∥∥ ≤
n∑
k=0
CknMt =Mt · 2n,
звiдки
‖Anx‖ ≤Mt
(
2
t
)n
nn.
Це дозволяє зробити висновок, що
∀α > 0 ∃c = c(α) : ‖Anx‖ ≤ cαnnn (∀n ∈ N),
а це й означає, що x — цiлий вектор оператора A.
6. З огляду на застосування до теорiї груп одержаний вище результат — це фактично спосiб
побудови C0-групи {U(t)}t∈R у банаховому просторi за її генератором A, оскiльки розв’язок
задачi Кошi (3) записується у виглядi y(t) = U(t)x, якщо ця задача, за висловом Ж. Адамара
(див. [19]), поставлена коректно. Є кiлька пiдходiв до такої побудови, серед яких, наприклад,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ГРУПИ ЛIНIЙНИХ ОПЕРАТОРIВ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 601
а) U(t)x = limn→∞ (1− tA/n)−n x, x ∈ B (Ейлера – Хiлле);
б) U(t)x = limλ→∞ e
tAλx, etAλx =
∑∞
k=0
tk
k!
Akλx, x ∈ B, де Aλ = λ2Rλ(A) − λI —
обмежений оператор, i Aλ → A при λ→∞ (Iосiди).
У всiх цих пiдходах C0-група {U(t)}t∈R вiдновлюється не безпосередньо за її генератором
A, а за допомогою деяких функцiй вiд нього (резольвенти Rλ(A) в а) i наближень Aλ в б)),
знаходження яких часто-густо не є тривiальним. Спосiб вiдновлення {U(t)}t∈R, запропонова-
ний в теоремах 1 i 2, має ту перевагу, що розв’язок задачi Кошi (3) з початковими даними,
якi є цiлими векторами оператора A, зображується за допомогою його степенiв. Оскiльки за
теоремою 2 множина G(1)(A) цiлих векторiв оператора A є щiльною в B, то
∀x ∈ B ∃{xn ∈ G(1)(A)}n∈N, lim
n→∞
xn = x : U(t)xn → U(t)x при n→∞ (∀t ∈ R).
(14)
Бiльш того, збiжнiсть в (14) є рiвномiрною на будь-якому компактi з R i
U(t)x = lim
n→∞
∞∑
k=0
tk
k!
Akxn.
1. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: Изд-во иностр. лит., 1951. – 619 с.
2. Cauchy A. L. Cours d’Analise de l’Ecole Royale Polytechnique // Première Partie Analyse Algébrique. – 1821.
3. Euler L. Nova methodus innumerabiles aequationes differentiales secundi gradus reducendi ad aequationes differenti-
ales primi gradus // Comment. Acad. Sci. Petropolit. – 1728. – 3. – P. 124 – 137.
4. Banach S. Sur l’équation fonctionelle f(x+ y) = f(x) + f(y) // Fund. Math. – 1920. – 1. – P. 123 – 124.
5. Sierpiński W. Sur l’équation fonctionelle f(x+ y) = f(x) + f(y) // Fund. Math. – 1920. – 1. – P. 116 – 122.
6. Peano G. Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari // Atti Reale Acad. Sci.Torino. – 1887. – 22. –
P. 293 – 302.
7. Gramegna M. Serie di equazioni differenziali lineari edequazioni integro-differenziali // Atti Reale Acad. Sci.Torino. –
1910. – 45. – P. 291 – 313.
8. Nathan D. S. One-parameter groups of transformations in abstract vector spaces // Duke Math. J. – 1935. – 1. –
P. 518 – 526.
9. Nagumo M. Einige analitische Untersuchungen in linearen, metrischen Ringen // Jap. J. Math. – 1936. – 13. –
P. 59 – 80.
10. Yosida K. On the group embedded in the metrical complete ring // Jap. J. Math. – 1936. – 13. – P. 7 – 26.
11. Lagrange J. L. Nouvelle espèce de calcul // Nouv. Mém. l’Acad. Rouale Sci. ét Belles-Lettres. – 1772. – 3. –
P. 185 – 218.
12. Stone M. H. On one-parameter unitary groups in Hilbert space // Ann. Math. – 1932. – 33. – P. 643 – 648.
13. Гельфанд И. М. Об однопараметрических группах операторов в нормированном пространстве // Докл. АН
СССР. – 1939. – 25, № 9. – С. 713 – 718.
14. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. – М.: Физматгиз,
1959. – 684 с.
15. Gorbachuk M., Gorbachuk V. On extensions and restrictions of semigroups of linear operators in a Banach space and
their applications // Math. Nachr. – 2012. – 285, № 14-15. – S. 1860 – 1879.
16. Горбачук М. Л. Про аналiтичнi розв’язки диференцiально-операторних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2000. – 52,
№ 5. – С. 596 – 607.
17. Gorbachuk M. L., Mokrousov Yu. G. On density of some sets of infinitely differentiable vectors of a closed operator
on a Banach space // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2002. – 8, № 1. – P. 23 – 29.
18. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехтеориздат., 1956. – 632 с.
19. Hadamard J. Le principe de Huygens // Bull. Soc. Math. France. – 1924. – 52. – P. 610 – 640.
Одержано 19.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2007 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:55Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e2/fe7f9fe358fa94f6220b0aa331df36e2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20072019-12-05T09:48:42Z Representations of a Group of Linear Operators in a Banach Space on the Set of Entire Vectors of its Generator Зображення групи лінійних операторів у банаховому просторі на множині цілих векторів її генератора Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. For a strongly continuous one-parameter group $\{U(t)\} t ∈(−∞,∞)$ of linear operators in a Banach space $\mathfrak{B}$ with generator $A$, we prove the existence of a set $\mathfrak{B}_1$ dense in $\mathfrak{B}_1$ on the elements $x$ of which the function $U(t)x$ admits an extension to an entire B$\mathfrak{B}$-valued vector function. The description of the vectors from $\mathfrak{B}_1$ for which this extension has a finite order of growth and a finite type is presented. It is also established that the inclusion $x ∈ \mathfrak{B}_1$ is a necessary and sufficient condition for the existence of the limit ${ \lim}_{n\to 1}{\left(I+\frac{tA}{n}\right)}^nx$ and this limit is equal to $U(t)x$. Для сильно непрерывной однопараметрической группы $\{U(t)\} t ∈(−∞,∞)$ линейных операторов в банаховом пространстве $\mathfrak{B}$ с генератором $A$ доказано существование плотного в $\mathfrak{B}$ множества $\mathfrak{B}_1$, на элементах $x$ которого $U(t)x$ допускает продолжение до целой $\mathfrak{B}$-значной вектор-функции. Приведено описание тех векторов из $\mathfrak{B}_1$, для которых это продолжение имеет конечный порядок роста и конечный тип. Установлено также, что включение $x ∈ \mathfrak{B}_1$ является необходимым и достаточным условием для существования ${ \lim}_{n\to 1}{\left(I+\frac{tA}{n}\right)}^nx$ и этот предел совпадает с $U(t)x$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2007 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 5 (2015); 592-601 Український математичний журнал; Том 67 № 5 (2015); 592-601 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2007/1032 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2007/1033 Copyright (c) 2015 Gorbachuk V. M.; Gorbachuk M. L. |
| spellingShingle | Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. Representations of a Group of Linear Operators in a Banach Space on the Set of Entire Vectors of its Generator |
| title | Representations of a Group of Linear Operators in a Banach Space on the Set of Entire Vectors of its Generator |
| title_alt | Зображення групи лінійних операторів у банаховому просторі на множині цілих векторів її генератора |
| title_full | Representations of a Group of Linear Operators in a Banach Space on the Set of Entire Vectors of its Generator |
| title_fullStr | Representations of a Group of Linear Operators in a Banach Space on the Set of Entire Vectors of its Generator |
| title_full_unstemmed | Representations of a Group of Linear Operators in a Banach Space on the Set of Entire Vectors of its Generator |
| title_short | Representations of a Group of Linear Operators in a Banach Space on the Set of Entire Vectors of its Generator |
| title_sort | representations of a group of linear operators in a banach space on the set of entire vectors of its generator |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2007 |
| work_keys_str_mv | AT gorbachukvm representationsofagroupoflinearoperatorsinabanachspaceonthesetofentirevectorsofitsgenerator AT gorbachukml representationsofagroupoflinearoperatorsinabanachspaceonthesetofentirevectorsofitsgenerator AT gorbačukvm representationsofagroupoflinearoperatorsinabanachspaceonthesetofentirevectorsofitsgenerator AT gorbačukml representationsofagroupoflinearoperatorsinabanachspaceonthesetofentirevectorsofitsgenerator AT gorbachukvm zobražennâgrupilíníjnihoperatorívubanahovomuprostorínamnožinícílihvektorívíígeneratora AT gorbachukml zobražennâgrupilíníjnihoperatorívubanahovomuprostorínamnožinícílihvektorívíígeneratora AT gorbačukvm zobražennâgrupilíníjnihoperatorívubanahovomuprostorínamnožinícílihvektorívíígeneratora AT gorbačukml zobražennâgrupilíníjnihoperatorívubanahovomuprostorínamnožinícílihvektorívíígeneratora |