Convergence and Approximation of the Sturm–Liouville Operators with Potentials-Distributions
We study the operators $L_n y = −(p_n y′)′+q_n y, n ∈ ℤ_{+}$, given on a finite interval with various boundary conditions. It is assumed that the function $q_n$ is a derivative (in a sense of distributions) of $Q_n$ and $1/p_n , Q_n /p_n$, and $Q^2_n/p_n $ are integrable complex-valued functions. Th...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2008 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507916932481024 |
|---|---|
| author | Goryunov, A. S. Горюнов, А. С. |
| author_facet | Goryunov, A. S. Горюнов, А. С. |
| author_sort | Goryunov, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:42Z |
| description | We study the operators $L_n y = −(p_n y′)′+q_n y, n ∈ ℤ_{+}$, given on a finite interval with various boundary conditions. It is assumed that the function $q_n$ is a derivative (in a sense of distributions) of $Q_n$ and $1/p_n , Q_n /p_n$, and $Q^2_n/p_n $ are integrable complex-valued functions. The sufficient conditions for the uniform convergence of Green functions $G_n$ of the operators $L_n$ on the square as $n → ∞$ to $G_0$ are established. It is proved that every $G_0$ is the limit of Green functions of the operators $L_n$ with smooth coefficients. If $p_0 > 0$ and $Q_0(t) ∈ ℝ$, then they can be chosen so that $p_n > 0$ and $q_n$ are real-valued and have compact supports. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.984.5
А. С. Горюнов (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЗБIЖНIСТЬ I АПРОКСИМАЦIЯ ОПЕРАТОРIВ ШТУРМА — ЛIУВIЛЛЯ
З ПОТЕНЦIАЛАМИ-РОЗПОДIЛАМИ
The paper investigates the operators Lny = −(pny′)′ + qny, n ∈ Z+, given on the finite interval by various boundary
conditions. We assume that the function qn is a derivative (in the sense of distributions) of Qn and complex-valued
functions 1/pn, Qn/pn, Q
2
n/pn are integrable. The sufficient conditions for the Green functions Gn of the operators Ln
to converge uniformly on the square for n→∞ to G0 are found. Every G0 is proved to be a limit of the Green functions
of operators Ln with smooth coefficients. If p0 > 0, Q0(t) ∈ R, then they can be chosen so that pn > 0 and qn are
real-valued and have compact support.
Исследуются заданные на конечном интервале операторы Lny = −(pny′)′ + qny, n ∈ Z+, с различными краевыми
условиями. Предполагается, что qn является производной (в смысле распределений) от Qn, а комплекснозначные
функции 1/pn, Qn/pn, Q
2
n/pn суммируемы. Найдены достаточные условия равномерной на квадрате сходимости
при n → ∞ функций Грина Gn операторов Ln к G0. Доказано, что каждая G0 является пределом функций Грина
операторов Ln с гладкими коэффициентами. Если p0 > 0, Q0(t) ∈ R, то их можно выбрать так, что pn > 0, а qn
вещественнозначны и финитны.
1. Вступ. Теорiя операторiв Штурма — Лiувiлля є одним iз найбiльш розвинених напрямкiв
теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь (див., наприклад, монографiю [1] i наведену там
бiблiографiю).
Основним об’єктом цiєї теорiї є заданий на скiнченному iнтервалi [a, b] вираз
l(y) = −
(
p(t)y′(t)
)′
+ q(t)y(t) (1)
i пов’язанi з ним оператори. Стандартним припущенням щодо регулярностi коефiцiєнтiв (1) є
таке:
1/p, q ∈ L1
(
[a, b];C
)
.
Разом з тим у зв’язку з роботами фiзикiв виник iнтерес до ситуацiї, коли в диференцiально-
му виразi (1) функцiя q є мiрою або ще бiльш сингулярною узагальненою функцiєю (див.,
наприклад, монографiї [2, 3] i наведену там бiблiографiю).
У роботах [4, 5] (див. також [6]) запропоновано пiдхiд, який дозволяє коректно визначити
диференцiальний вираз (1) при значно ширших умовах на коефiцiєнти
q = Q′, 1/p, Q/p, Q2/p ∈ L1
(
[a, b];C
)
, (2)
де похiдна Q′ розумiється в сенсi узагальнених функцiй. Цей пiдхiд спирається на теорiю
квазiдиференцiальних операторiв Шина — Цеттла [7, 8] i дозволяє дослiдити диференцiальнi
оператори високого порядку [5, 9]. При цьому природним чином виникає питання про мо-
жливiсть зображення диференцiального оператора, породженого виразом (1) i однорiдними
двоточковими крайовими умовами, у виглядi рiвномiрної резольвентної границi (див. [10]) ана-
логiчних операторiв з гладкими коефiцiєнтами. Для випадку p(t) ≡ 1 позитивну вiдповiдь на
нього дано в роботах [11, 12]. Випадок p(t) > 0 майже скрiзь на [a, b] i дiйснозначної функцiї
Q вивчався у [13]. У данiй роботi наведено узагальнення i посилення цього результату, яке
формулюється у термiнах рiвномiрної апроксимацiї функцiї Грiна.
c© А. С. ГОРЮНОВ, 2015
602 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗБIЖНIСТЬ I АПРОКСИМАЦIЯ ОПЕРАТОРIВ ШТУРМА — ЛIУВIЛЛЯ . . . 603
2. Попереднi результати. Спочатку наведемо необхiднi результати з [4]. Введемо для зада-
ної на iнтервалi [a, b] функцiї квазiпохiднi:
D[0]y = y,
D[1]y = py′ −Qy,
D[2]y = (D[1]y)′ +
Q
p
D[1]y +
Q2
p
y.
Позначимо
ŷ(t) =
(
D[0]y(t), D[1]y(t)
)
∈ C2.
У припущеннях (2) вирази D[0]y(t), D[1]y(t), D[2]y(t) є квазiпохiдними Шина — Цеттла
(див. [8], роздiл 1). Також легко перевiрити, що для достатньо гладких функцiй p i Q (випадок
класичного виразу Штурма — Лiувiлля) справджується рiвнiсть l(y) = −D[2]y.
Тому формальний вираз (1) можна коректно визначити як квазiдиференцiальний вираз Ши-
на — Цеттла
l[y] = −D[2]y.
Вiдповiдна йому матриця Шина — Цеттла має вигляд
A(t) =
Q
p
1
p
−Q
2
p
−Q
p
∈ L1
(
[a, b];C2×2). (3)
Розглянемо двоточкову квазiдиференцiальну крайову задачу
l[y] = f(t) ∈ L1
(
[a, b],C
)
, (4)
αŷ(a) + βŷ(b) = 0, (5)
де матрицi α, β ∈ Cm×m.
Наступне твердження пов’язує квазiдиференцiальну крайову задачу (4), (5) iз системами
диференцiальних рiвнянь першого порядку.
Лема 1. Функцiя y(t) є розв’язком крайової задачi (4), (5) тодi i тiльки тодi, коли вектор-
функцiя w(t) = ŷ(t) є розв’язком крайової задачi
w′(t) = A(t)w(t) + ϕ(t), (6)
αw(a) + βw(b) = 0, (7)
де квадратну матрицю-функцiю A(t) задано формулою (3), а ϕ(t) = (0,−f(t)) ∈ L1
(
[a, b];C2
)
.
Нехай однорiдна крайова задача
w′(t) = A(t)w(t), αw(a) + βw(b) = 0
має лише тривiальний розв’язок. Тодi, як вiдомо, iснує матриця Грiна цiєї задачi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
604 А. С. ГОРЮНОВ
G(t, s) =
(
g11(t, s) g12(t, s)
g21(t, s) g22(t, s)
)
∈ L∞
(
[a, b];C2×2),
що має вигляд
G(t, s) =
−Y (t)(α+ βY (b))−1βY (b)Y −1(s), a ≤ t < s,
Y (t)
[
I2 − (α+ βY (b))−1βY (b)
]
Y −1(s), s < t ≤ b,
(8)
де I2 — одинична (2× 2)-матриця, а Y (t) — матрицант, тобто розв’язок матричної задачi Кошi
Y ′(t) = A(t)Y (t), Y (a) = I2.
Матриця Грiна дозволяє подати єдиний розв’язок задачi (6), (7) у виглядi
w(t) =
b∫
a
G(t, s)ϕ(s)ds, t ∈ [a, b]. (9)
Введемо аналогiчний об’єкт для квазiдиференцiальної крайової задачi (4), (5).
Означення 1. Пiд функцiєю Грiна напiводнорiдної крайової задачi (4), (5) будемо розумi-
ти неперервну функцiю Γ(t, s) ∈ C
(
[a, b] × [a, b],C
)
, за допомогою якої розв’язок цiєї задачi
записується у виглядi
y(t) =
b∫
a
Γ(t, s)f(s)ds.
Теорема 1. Нехай однорiдна крайова задача
D[2]y(t) = 0, αŷ(a) + βŷ(b) = 0
має лише тривiальний розв’язок.
Тодi iснує i єдина функцiя Грiна Γ(t, s) крайової задачi (4), (5) i
Γ(t, s) = −g12(t, s).
Доведення. За лемою 1 iз припущення теореми випливає, що однорiдна крайова задача
w′(t) = A(t)w(t), αw(a) + βw(b) = 0
також має лише тривiальний розв’язок, отже, для задачi (6), (7) iснує матриця Грiна G(t, s) i
справджується рiвнiсть (9).
Знову скористаємось лемою 1 i запишемо (9) у виглядi
D[0]y(t) = −
b∫
a
g12(t, s)f(s)ds,
D[1]y(t) = −
b∫
a
g22(t, s)f(s)ds,
де y(t) — єдиний розв’язок задачi (4), (5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗБIЖНIСТЬ I АПРОКСИМАЦIЯ ОПЕРАТОРIВ ШТУРМА — ЛIУВIЛЛЯ . . . 605
З формули (8) видно, що всi елементи матрицi G(t, s) поза головною дiагоналлю є непе-
рервними функцiями внаслiдок неперервностi матрицанта Y (t) i Y −1(t).
Звiдси випливає iснування функцiї Грiна.
Тепер нехай Γ′(t, s) — iнша функцiя Грiна крайової задачi (4), (5).
Тодi для довiльної функцiї f ∈ L1([a, b],C) єдиний розв’язок цiєї задачi можна записати
так:
y(t) =
b∫
a
Γ(t, s)f(s)ds =
b∫
a
Γ′(t, s)f(s)ds,
тобто
b∫
a
(
Γ′(t, s)− Γ(t, s)
)
f(s)ds = 0,
отже, обмежене ядро Γ′(t, s)− Γ(t, s) породжує нульовий iнтегральний оператор.
Тодi, як вiдомо, Γ′(t, s)− Γ(t, s) = 0 майже скрiзь на [a, b], звiдки внаслiдок неперервностi
функцiй Γ(t, s) i Γ′(t, s) випливає єдинiсть функцiї Грiна.
Теорему 1 доведено.
3. Збiжнiсть функцiй Грiна. Розглянемо поряд з виразом l(y) сiм’ю виразiв Штурма —
Лiувiлля ln(y) вигляду (1) з коефiцiєнтами
pn, qn = Q′n, n ∈ N,
що задовольняють умови (2). Вiдповiднi їм квазiпохiднi позначимо через D[0]
n y, D
[1]
n y, D
[2]
n y,
вектор iз квазiпохiдних — через
ŷn(t) :=
(
D[0]
n y(t), D[1]
n y(t)
)
∈ C2,
вiдповiднi матрицi Шина — Цеттла — через An(t), а квазiдиференцiальнi вирази — через ln[y].
Розглянемо поряд iз задачею (4), (5) при кожному n крайовi задачi
ln[y](t) = fn(t) ∈ L2([a, b];C), (10)
αnŷn(a) + βnŷn(b) = 0. (11)
Вони, згiдно з лемою 1, еквiвалентнi крайовим задачам
w′(t) = An(t)w(t) + ϕn(t), (12)
αnw(a) + βnw(b) = 0, (13)
де w(t) = ŷn(t) i ϕn(t) =
(
0,−fn(t)
)
∈ L1
(
[a, b];C2
)
.
Теорема 2. Нехай виконано такi умови:
1) однорiдна крайова задача
D[2]y(t) = 0, αŷ(a) + βŷ(b) = 0
має лише тривiальний розв’язок;
2) для коефiцiєнтiв виразiв справджуються граничнi спiввiдношення при n→∞:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
606 А. С. ГОРЮНОВ
a) ‖1/pn‖1 = O(1), ‖Qn/pn‖1 = O(1), ‖Q2
n/pn‖1 = O(1),
b)
∥∥∥∥∫ t
a
(1/pn − 1/p)ds
∥∥∥∥
∞
→ 0,
c)
∥∥∥∥∫ t
a
(Qn/pn −Q/p)ds
∥∥∥∥
∞
→ 0,
d)
∥∥∥∥∫ t
a
(Q2
n/pn −Q2/p)ds
∥∥∥∥
∞
→ 0;
3) матрицi, що визначають крайовi умови, задовольняють граничнi спiввiдношення αn →
→ α, βn → β, n→∞.
Тодi при достатньо великих n iснують функцiї Грiна Γn(t, s) напiводнорiдних крайових
задач (10), (11) i справджується граничне спiввiдношення∥∥Γn(t, s)− Γ(t, s)
∥∥
∞ → 0, n→∞. (14)
Тут i далi ‖ · ‖∞ — sup-норма, а ‖ · ‖p — норма у просторi Лебега Lp, p ≥ 1.
Зауваження 1. Умови 2, очевидно, будуть виконанi, якщо при n→∞
‖1/pn − 1/p‖1 → 0, ‖Qn/pn −Q/p‖1 → 0, ‖Q2
n/pn −Q2/p‖1 → 0.
Доведення цiєї теореми ґрунтується на наступному допомiжному результатi з [15]. Зазна-
чимо, що цей результат було посилено в наступних роботах (див. [14] i наведену там бiблiо-
графiю).
Позначимо через Yn(·) матрицанти, що вiдповiдають задачам (12), (13), тобто розв’язки
матричних задач Кошi
Y ′n(t) = An(t)Yn(t), Yn(a) =
(
1 0
0 1
)
.
Лема 2. Якщо при n→∞ виконано одну з чотирьох (нееквiвалентних мiж собою) умов:
α) ‖An −A‖1 = O(1),
β)
∥∥∥∥∫ t
a
(
An(s)−A(s)
)
ds ·
(
An(t)−A(t)
)∥∥∥∥
1
→ 0,
γ)
∥∥∥∥(An(t)−A(t)
)
·
∫ t
a
(
An(s)−A(s)
)
ds
∥∥∥∥
1
→ 0,
δ)
∥∥∥∥∫ t
a
(
An(s)−A(s)
)
ds
(
An(t)−A(t)
)
−
(
An(t)−A(t)
) ∫ t
a
(
An(s)−A(s)
)
ds
∥∥∥∥
1
→ 0,
то умова
∥∥∥∥∫ t
a
(
An(s)−A(s)
)
ds
∥∥∥∥
∞
→ 0 рiвносильна тому, що при n→∞
‖Yn − Y ‖∞ → 0, ‖Y −1n − Y −1‖∞ → 0. (15)
Доведення теореми 2. На пiдставi леми 1 iз припущення 1 теореми 2 випливає, що одно-
рiднi крайовi задачi
w′(t) = An(t)w(t), αnw(a) + βnw(b) = 0
також мають лише тривiальнi розв’язки при досить великих n. Звiдси за теоремою 1 випливає
iснування функцiй Грiна задач (10), (11).
Доведемо тепер спiввiдношення (14).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗБIЖНIСТЬ I АПРОКСИМАЦIЯ ОПЕРАТОРIВ ШТУРМА — ЛIУВIЛЛЯ . . . 607
Легко бачити, що з умови 1 теореми 2 випливає, що виконано умову α) леми 2, а з умови 2
— що виконується умова
∥∥∥∥∫ t
a
(
An(s)−A(s)
)
ds
∥∥∥∥
∞
→ 0.
Тому з леми 2 випливає граничне спiввiдношення (15). Iз урахуванням формули (8) це
означає, що виконується гранична рiвнiсть (14).
Теорему 2 доведено.
4. Апроксимацiя функцiй Грiна. Тепер перейдемо до питання апроксимацiї. Розглянемо
знову вираз l(y) вигляду (1), коефiцiєнти якого задовольняють умови (2), i породжену ним
крайову задачу (4), (5).
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi iснують pn, Qn, n ∈ N такi, що
pn ∈ C∞
(
[a, b],C
)
, Qn ∈ C∞0
(
[a, b],C
)
i виконується умова 2 теореми 2, тобто для задачi
(4), (5) можна побудувати послiдовнiсть задач Штурма — Лiувiлля з гладкими коефiцiєнтами
виразу pn i qn, таких, що справджується граничне спiввiдношення (14).
Якщо додатково функцiї p i Q є дiйснозначними i p > 0 майже скрiзь на [a, b], то i гладкi
функцiї pn, Qn (i, отже, qn) можна вибрати такими самими.
Доведення. Оскiльки
1
p
∈ L1
(
[a, b],C
)
, то p(t) 6= 0 майже скрiзь на [a, b]. Позначимо через
p̃n усереднення Соболєва функцiї
1
√
p
∈ L2
(
[a, b],C
)
i вiзьмемо в якостi pn :=
1
p̃2n
.
Тодi
pn ∈ C∞
(
[a, b],C
)
,
∥∥∥∥ 1
√
pn
− 1
√
p
∥∥∥∥
2
→ 0, n→∞.
Також з умови теореми випливає, що
Q
√
p
∈ L2
(
[a, b],C
)
. Оскiльки множина C∞0
(
[a, b],C
)
є
щiльною у просторi L2
(
[a, b],C
)
, можна вибрати Q̃n ∈ C∞0
(
[a, b],C
)
так, що
∥∥∥∥Q̃n − Q
√
p
∥∥∥∥
2
→ 0,
n→∞. Взявши Qn := Q̃n
√
pn, отримаємо
Qn ∈ C∞0
(
[a, b],C
)
,
∥∥∥∥ Qn√pn − Q
√
p
∥∥∥∥
2
→ 0, n→∞.
Далi ∥∥∥∥Qnpn − Q
p
∥∥∥∥
1
=
∥∥∥∥Qnpn − Q
√
pn
√
p
+
Q
√
pn
√
p
− Q
p
∥∥∥∥
1
≤
≤
∥∥∥∥ 1
√
pn
∥∥∥∥
2
∥∥∥∥ Qn√pn − Q
√
p
∥∥∥∥
2
+
∥∥∥∥ Q√p
∥∥∥∥
2
∥∥∥∥ 1
√
pn
− 1
√
p
∥∥∥∥
2
,
∥∥∥∥ 1
pn
− 1
p
∥∥∥∥
1
=
∥∥∥∥( 1
√
pn
− 1
√
p
)(
1
√
pn
+
1
√
p
)∥∥∥∥
1
≤
≤
∥∥∥∥ 1
√
pn
− 1
√
p
∥∥∥∥
2
∥∥∥∥ 1
√
pn
+
1
√
p
∥∥∥∥
2
,
∥∥∥∥Q2
n
pn
− Q2
p
∥∥∥∥
1
=
∥∥∥∥( Qn√
pn
− Q
√
p
)(
Qn√
pn
+
Q
√
p
)∥∥∥∥
1
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
608 А. С. ГОРЮНОВ
≤
∥∥∥∥ Qn√pn − Q
√
p
∥∥∥∥
2
∥∥∥∥ Qn√pn +
Q
√
p
∥∥∥∥
2
,
i таким чином отримуємо, що виконуються умови зауваження 1.
Теорему 3 доведено.
5. Збiжнiсть i апроксимацiя операторiв. Знову наведемо необхiднi результати з [4].
Квазiдиференцiальний вираз l[y] породжує в гiльбертовому просторi L2
(
[a, b];C
)
(див. [7,
8]) максимальний квазiдиференцiальний оператор
Lmax : y → l[y],
Dom(Lmax) =
{
y
∣∣∣D[k]y ∈ AC
(
[a, b];C
)
, k = 0,m− 1, D[m]y ∈ L2
(
[a, b];C
) }
.
Мiнiмальний квазiдиференцiальний оператор визначається як звуження оператора Lmax на лi-
нiйний многовид
Dom(Lmin) :=
{
y ∈ Dom(Lmax) |ŷ(a) = ŷ(b) = 0
}
.
Зауваження 2. Очевидно, квазiпохiднi D[1]y, D[2]y залежать вiд вибору первiсної Q з
точнiстю до сталої. Однак, як неважко перевiрити, самi оператори Lmin, Lmax при цьому не
змiнюються.
Розглянемо поряд з (1) формально спряжений диференцiальний вираз
l+(y) = (−p(t)y′(t))′ + q(t)y(t),
де риска позначає комплексне спряження. Позначимо через L+
max i L+
min пов’язанi з ним макси-
мальний та мiнiмальний квазiдиференцiальнi оператори у просторi L2
(
[a, b];C
)
. Тодi з резуль-
татiв монографiї [8] для загальних квазiдиференцiальних виразiв Шина — Цеттла i вищенаве-
деного випливає, що оператори Lmin, L
+
min, Lmax, L
+
max щiльно заданi i замкненi у просторi
L2
(
[a, b];C
)
,
L∗min = L+
max, L∗max = L+
min.
Аналогiчно, вирази ln[y] при кожному n породжують у гiльбертовому просторi L2
(
[a, b];C
)
оператори Lnmin, L
n
max.
У роботi [5] описано деякi класи розширень мiнiмального квазiдиференцiального оператора
Lmin за умови його симетричностi. Тут ми розглянемо довiльне розширення мiнiмального
(взагалi кажучи, не симетричного) оператора, задане двоточковими крайовими умовами. А
саме, розглянемо оператор
Ly = l[y],
Dom(L) =
{
y ∈ Dom (Lmax)|αŷ(a) + βŷ(b) = 0
}
,
який вiдповiдає задачi (4), (5), i оператори
Lny = ln[y],
Dom(Ln) =
{
y ∈ Dom (Lnmax)|αnŷn(a) + βnŷn(b) = 0
}
,
що вiдповiдають крайовим задачам (10), (11).
Очевидно, що Lmin ⊂ L ⊂ Lmax i Lnmin ⊂ Ln ⊂ Lnmax.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗБIЖНIСТЬ I АПРОКСИМАЦIЯ ОПЕРАТОРIВ ШТУРМА — ЛIУВIЛЛЯ . . . 609
Теорема 4. Нехай резольвентна множина граничного оператора ρ(L) не порожня i при
n→∞ виконуються умови 2, 3 теореми 2.
Тодi для будь-якого λ ∈ ρ(L) λ ∈ ρ(Ln) для достатньо великих n i∥∥(Ln − λ)−1 − (L− λ)−1
∥∥
HS
→ 0, n→∞, (16)
де ‖ · ‖HS — норма Гiльберта — Шмiдта.
Доведення. Припустимо спочатку, що 0 ∈ ρ(L). Це означає, що оператор L є оборотним,
тобто задача Ly = f еквiвалентна задачi (4), (5), має при будь-якому f ∈ L2
(
[a, b],C
)
єдиний
розв’язок, що рiвносильно умовi 1 теореми 2.
Цей розв’язок y(t) можна записати у виглядi y(t) =
∫ b
a
Γ(t, s)f(s)ds.
За теоремою 2 оператори Ln також є оборотними, iснують функцiї Грiна вiдповiдних крайо-
вих задач (10), (11), i їх розв’язки мають вигляд yn(t) =
∫ b
a
Γn(t, s)f(s)ds.
Таким чином,
∥∥L−1n − L−1∥∥HS =
b∫
a
b∫
a
|Γn(t, s)− Γ(t, s)|2 dtds
1/2
≤
≤ ‖Γn(t, s)− Γ(t, s)‖∞ · (b− a)→ 0, n→∞.
Розглянемо тепер загальний випадок. Отже, iснує деяке λ ∈ ρ(L). Тодi, очевидно, 0 ∈
∈ ρ(L− λ).
Розглянемо оператор L− λ. Задача (L− λ)y = f еквiвалентна крайовiй задачi
l[y]− λy = f(t) ∈ L1
(
[a, b],C
)
,
αŷ(a) + βŷ(b) = 0.
Для неї справедливою є лема 1 з матрицею A = Aλ. Проте легко бачити, що матрицi A, An
задовольняють умовами теореми 2 разом з матрицями Aλ, Anλ.
Повторюючи вищенаведенi мiркування, переконуємося, що 0 ∈ ρ(Ln − λ) для достатньо
великих n, iснують функцiї Грiна вiдповiдних крайових задач i виконується граничне спiввiд-
ношення (16).
Зауваження 3. З теореми 4 випливає рiвномiрна резольвентна збiжнiсть операторiв Ln до
L, встановлена ранiше в [4].
Зауваження 4. Аналогiчно зауваженню 1, для збiжностi резольвент операторiв (16) достат-
нiми є наступнi умови на коефiцiєнти виразу при n→∞ :
‖1/pn − 1/p‖1 → 0, ‖Qn/pn −Q/p‖1 → 0, ‖Q2
n/pn −Q2/p‖1 → 0.
З теорем 3 i 4 випливає наступний результат.
Теорема 5. Нехай квазiдиференцiальний оператор L, який вiдповiдає формальному виразу
Штурма — Лiувiлля l(y), що задовольняє умови (2), має непорожню резольвентну множину
ρ(L).
Тодi iснує послiдовнiсть класичних операторiв Штурма — Лiувiлля з гладкими коефiцiєн-
тами така, що їх резольвенти апроксимують резольвенту оператора L за нормою Гiльберта
— Шмiдта, тобто виконується спiввiдношення (16).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
610 А. С. ГОРЮНОВ
1. Zettl A. Sturm — Liouville theory. – Providence: Amer. Math. Soc., 2005. – xii + 328 p.
2. Albeverio S., Gestezy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Solvable models in quantum mechanics. – New York: Springer-
Verlag, 1988. – xiv + 452 p.
3. Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential operators. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000. –
xiv + 429 p.
4. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of singular Sturm — Liouville equations // Meth. Funct. Anal. and
Top. – 2010. – 16, № 2. – P. 120 – 130.
5. Goriunov A. S., Mikhailets V. A., Pankrashkin K. Formally self-adjoint quasi-differential operators and boundary-value
problems // Electron. J. Different. Equat. – 2013. – № 101. – P. 1 – 16.
6. Eckhardt J., Gesztesy F., Nichols R., Teschl G. Weyl – Titchmarsh theory for Sturm — Liouville operators with
distributional coefficients // Opusc. Math. – 2013. – 33, № 3. – P. 467 – 563.
7. Zettl A. Formally self-adjoint quasi-differential operators // Rocky Mountain J. Math. – 1975. – 5, № 3. – P. 453 – 474.
8. Everitt W. N., Markus L. Boundary value problems and symplectic algebra for ordinary differential and quasi-
differential operators. – Providence: Amer. Math. Soc., 1999. – xii + 187 p.
9. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by
quasiderivatives // Ukr. Math. J. – 2011. – 63, № 9. – P. 1190 – 1205.
10. Kato T. Perturbation theory for linear operators. – Berlin: Springer-Verlag, 1995. – xxii + 619 p.
11. Savchuk A., Shkalikov A. Sturm — Liouville operators with singular potentials // Math. Notes. – 1999. – 66, № 5-6. –
P. 741 – 753.
12. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Resolvent convergence of Sturm — Liouville operators with singular potentials //
Math. Notes. – 2010. – 87, № 1-2. – P. 287 – 292.
13. Yan J., Shi G. Inequalities among eigenvalues of Sturm – Liouville problems with distribution potentials // J. Math.
Anal. and Appl. – 2014. – 409, № 1. – P. 509 – 520.
14. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems // Ukr.
Math. J. – 2013. – 65, № 1. – P. 77 – 90.
15. Левин А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем Ẋ = An(t)X // Докл. АН СССР. – 1967. – 176,
№ 4. – С. 774 – 777.
Одержано 23.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2008 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:55Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/75/3ed150e11747eed588e17a3750a99175.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20082019-12-05T09:48:42Z Convergence and Approximation of the Sturm–Liouville Operators with Potentials-Distributions Збіжність і апроксимація операторів Штурма – Ліувілля з потенціалами-розподілами Goryunov, A. S. Горюнов, А. С. We study the operators $L_n y = −(p_n y′)′+q_n y, n ∈ ℤ_{+}$, given on a finite interval with various boundary conditions. It is assumed that the function $q_n$ is a derivative (in a sense of distributions) of $Q_n$ and $1/p_n , Q_n /p_n$, and $Q^2_n/p_n $ are integrable complex-valued functions. The sufficient conditions for the uniform convergence of Green functions $G_n$ of the operators $L_n$ on the square as $n → ∞$ to $G_0$ are established. It is proved that every $G_0$ is the limit of Green functions of the operators $L_n$ with smooth coefficients. If $p_0 > 0$ and $Q_0(t) ∈ ℝ$, then they can be chosen so that $p_n > 0$ and $q_n$ are real-valued and have compact supports. Исследуются заданные на конечном интервале операторы $L_n y = −(p_n y′)′+q_n y, n ∈ ℤ_{+}$ с различными краевыми условиями. Предполагается, что qn является производной (в смысле распределений) от $Q_n$, а комплекснозначные функции $1/p_n , Q_n /p_n$, and $Q^2_n/p_n $ суммируемы. Найдены достаточные условия равномерной на квадрате сходимости при n ^ то функций Грина $G_n$ операторов $L_n$ к $G_0$ . Доказано, что каждая $G_0$ является пределом функций Грина операторов Ln с гладкими коэффициентами. Если $p_0 > 0$, $Q_0(t) ∈ ℝ$, то их можно выбрать так, что $p_n > 0$, а $q_n$ вещественнозначны и финитны. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2008 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 5 (2015); 602–610 Український математичний журнал; Том 67 № 5 (2015); 602–610 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2008/1034 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2008/1035 Copyright (c) 2015 Goryunov A. S. |
| spellingShingle | Goryunov, A. S. Горюнов, А. С. Convergence and Approximation of the Sturm–Liouville Operators with Potentials-Distributions |
| title | Convergence and Approximation of the Sturm–Liouville Operators with Potentials-Distributions |
| title_alt | Збіжність і апроксимація операторів Штурма – Ліувілля з потенціалами-розподілами |
| title_full | Convergence and Approximation of the Sturm–Liouville Operators with Potentials-Distributions |
| title_fullStr | Convergence and Approximation of the Sturm–Liouville Operators with Potentials-Distributions |
| title_full_unstemmed | Convergence and Approximation of the Sturm–Liouville Operators with Potentials-Distributions |
| title_short | Convergence and Approximation of the Sturm–Liouville Operators with Potentials-Distributions |
| title_sort | convergence and approximation of the sturm–liouville operators with potentials-distributions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2008 |
| work_keys_str_mv | AT goryunovas convergenceandapproximationofthesturmliouvilleoperatorswithpotentialsdistributions AT gorûnovas convergenceandapproximationofthesturmliouvilleoperatorswithpotentialsdistributions AT goryunovas zbížnístʹíaproksimacíâoperatorívšturmalíuvíllâzpotencíalamirozpodílami AT gorûnovas zbížnístʹíaproksimacíâoperatorívšturmalíuvíllâzpotencíalamirozpodílami |