Solvability of the Nonlocal Boundary-Value Problem for a System of Differential-Operator Equations in the Sobolev Scale of Spaces and in a Refined Scale
We study the solvability of the nonlocal boundary-value problem with one parameter for a system of differential-operator equations in the Sobolev scale of spaces of functions of many complex variables and in the scale of Hörmander spaces which form a refined Sobolev scale. By using the metric approa...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2009 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507919483666432 |
|---|---|
| author | Il'kiv, V. S. Strap, N. I. Ільків, В. С. Страп, Н. І. |
| author_facet | Il'kiv, V. S. Strap, N. I. Ільків, В. С. Страп, Н. І. |
| author_sort | Il'kiv, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:42Z |
| description | We study the solvability of the nonlocal boundary-value problem with one parameter for a system of differential-operator equations in the Sobolev scale of spaces of functions of many complex variables and in the scale of Hörmander spaces which form a refined Sobolev scale. By using the metric approach, we prove the theorems on lower estimates of small denominators appearing in the construction of solutions of the analyzed problem. They imply the unique solvability of the problem for almost all vectors formed by the coefficients of the equation and the parameter of nonlocal conditions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946+511.37
В. С. Iлькiв, Н. I. Страп (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”)
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI
ДЛЯ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ
У ШКАЛI ПРОСТОРIВ СОБОЛЄВА ТА УТОЧНЕНIЙ ШКАЛI
The paper is devoted to the investigation of the solvability of nonlocal boundary-value problem with one parameter for a
system of differential-operator equations in the Sobolev scale of spaces of functions of many complex variables and in the
scale of Hörmander of spaces which form a refined Sobolev scale. By using the metric approach, we prove the theorems
on lower estimates of small denominators appearing in the construction of solutions of the analyzed problem. They imply
the unique solvability of the problem for almost all vectors formed by the coefficients of the equation and the parameter of
nonlocal conditions.
Изучена разрешимость нелокальной краевой задачи с одним параметром для системы дифференциально-оператор-
ных уравнений в шкале пространств Соболева функций многих комплексных переменных и в шкале пространств
Хермандера, которые образуют уточненную шкалу Соболева. Доказаны теоремы метрического характера об оценках
снизу малых знаменателей, появившихся при построении решения исследуемой задачи, из которых следуют условия
ее однозначной разрешимости для почти всех векторов, составленных из коэффициентов уравнения и параметра
нелокальных условий.
1. Вступ. В теорiї рiвнянь з частинними похiдними важливим є питання про розв’язнiсть неко-
ректних задач, зокрема нелокальних крайових задач для рiзних типiв рiвнянь та систем рiвнянь
з частинними похiдними у соболєвських просторах [1, 2]. В останнi роки посилився iнтерес до
розгляду задач для таких рiвнянь та систем у просторах, показником гладкостi елементiв яких
є функцiональний параметр [3, 4], а не число, як у просторах Соболєва. Такими просторами є
простори Хермандера [5], якi займають центральне мiсце серед просторiв узагальненої глад-
костi. Отже, значний науковий iнтерес має поширення теорiї нелокальних крайових задач для
рiвнянь та систем рiвнянь з частинними похiдними на клас гiльбертових просторiв Хермандера,
якi утворюють уточнену шкалу соболєвських просторiв. Цю шкалу введено i проаналiзовано в
роботах [6, 7], також застосовано до елiптичних задач [3, 6 – 8].
Особливiстю даної роботи є дослiдження та порiвняння умов однозначної розв’язностi
нелокальної задачi для системи диференцiально-операторних рiвнянь у шкалi соболєвських
просторiв функцiй багатьох комплексних змiнних та у шкалi просторiв Хермандера, що утво-
рюють уточнену соболєвську шкалу. Гладкiсть функцiй у соболєвських просторах визначається
лише числовим параметром, а в уточненiй соболєвськiй шкалi — двома параметрами: число-
вим та функцiональним (повiльно змiнною на нескiнченностi функцiєю). Цей функцiональний
параметр може задавати додатну або вiд’ємну гладкiсть i дозволяє бiльш тонко охарактеризу-
вати гладкiсть функцiй простору. У роботi встановлено необхiднi та достатнi умови єдиностi
розв’язку розглядуваної задачi у шкалi просторiв Соболєва та в уточненiй шкалi, а також до-
статнi умови iснування розв’язку у даних шкалах просторiв. Аналогiчнi дослiдження ранiше
були проведенi i для одного диференцiально-операторного рiвняння.
2. Основнi позначення та постановка задачi. Нехай S — однозв’язна область проколотої
у нулi комплексної площини, Dp = [0, T ]× Sp, де T > 0, p ≥ 2.
Введемо лiнiйний простiр W кратних скiнченних сум (основних функцiй) вигляду P (z) =
=
∑
k
Pkz
k =
∑
k1
. . .
∑
kp
Pk1,...,kpz
k1
1 . . .z
kp
p , де z = (z1, . . . , zp) ∈ Sp, Pk — комплекснi
c© В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5 611
612 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП
коефiцiєнти, k = (k1, . . . , kp) ∈ Zp. Елементи цього простору є многочленами 2p комплексних
змiнних z1, . . . , zp, z
−1
1 , . . . , z−1
p , а також дробово-рацiональними функцiями векторної змiн-
ної z.
Простiр W′ спряжений iз простором W; це простiр узагальнених функцiй (лiнiйних непе-
рервних функцiоналiв), якi є формальними рядами Лорана Q(z) =
∑
k∈Zp
Qkz
k, що дiють на
основну функцiю P ∈W за правилом 〈Q,P 〉 =
∑
k
QkP k.
Позначимо через M1 множину всiх повiльно змiнних на ∞ за Караматою функцiй, тобто
множину таких функцiй ψ, для яких limt→∞
ψ(λt)
ψ(t)
= 1 для кожного λ > 0, а черезM множину
всiх вимiрних за Борелем на пiвосi [1,∞) функцiй ψ : [1,∞)→ (0,∞) зM1 таких, що функцiї
ψ i 1/ψ обмеженi на кожному вiдрiзку [1; b], де 1 < b <∞.
Введемо шкалу просторiв
{
Hψ
q (Sp)
}
q∈R,ψ∈M, де Hψ
q (Sp), q∈R, ψ∈M, — гiльбертiв простiр
функцiй v = v(z) iз заданим в ньому скалярним добутком (v, w)
Hψ
q (Sp)
=
∑
k∈Zp
k̃2qψ2(k̃)vkw̄k,
де k̃ =
√
1 + k2
1 + . . .+ k2
p, v =
∑
k∈Zp
vkz
k, w =
∑
k∈Zp
wkz
k, який стандартним чином по-
роджує норму ‖v‖2
Hψ
q (Sp)
= (v, v)
Hψ
q (Sp)
. У шкалi
{
Hψ
q (Sp)
}
q∈R,ψ∈M числовий параметр q
визначає основну (степеневу) гладкiсть, а функцiональний параметр ψ — допомiжну, тобто па-
раметр ψ уточнює основну q-гладкiсть. Сiм’ю функцiональних просторiв
{
Hψ
q (Sp)
}
q∈R,ψ∈M
назвемо уточненою шкалою в Sp. При ψ ≡ 1 простiр Hψ
q (Sp) збiгається з соболєвським просто-
ром, зокрема, позначаємо через H1
q(Sp) 6= Hq(Sp) гiльбертiв простiр функцiй v =
∑
k∈Zp
vkz
k
iз заданим скалярним добутком (v, w)Hq(Sp) =
∑
k∈Zp
k̃2qvkwk i квадратом норми ‖v‖2Hq(Sp) =
= (v, v)Hq(Sp). Для будь-якого ε > 0 справедливими є вкладення W⊂Hq+ε(Sp) ↪→Hψ
q (Sp) ↪→
↪→Hq−ε(Sp)⊂W′.
Введемо шкали просторiв
{
Hnψ
q (Dp)
}
q∈R,ψ∈M i
{
Hn
q (Dp)
}
q∈R, де Hnψ
q (Dp) i Hn
q (Dp), n ∈
∈ Z+, — банаховi простори функцiй u = u(t, z) таких, що похiднi
∂ru(t, z)
∂tr
=
∑
k∈Zp
u
(r)
k (t)zk,
r = 0, 1, . . . , n, для кожного t ∈ [0, T ] належать до просторiв Hψ
q−r(Sp) i Hq−r(Sp) вiдповiдно
i неперервнi по t у цих просторах. Норми у даних просторах задають формули ‖u‖2Hn
q (Dp) =
=
∑n
r=0
max[0,T ]
∥∥∥∥∂ru(t, ·)
∂tr
∥∥∥∥2
Hq−r(Sp)
та ‖u‖2
Hnψ
q (Dp)
=
∑n
r=0
max[0,T ]
∥∥∥∥∂ru(t, ·)
∂tr
∥∥∥∥2
Hψ
q−r(Sp)
.
Нехай H̄ψ
q (Sp) i H̄q(Sp) — простори вектор-функцiй v = v(z) = col
(
v1(z), . . . , vm(z)
)
, де
vj = vj(z), j = 1, . . . ,m, належать до просторiв Hψ
q (Sp) i Hq(Sp) вiдповiдно. Норми в даних
просторах задаються формулами ‖v‖2
H̄ψ
q (Sp)
=
∑m
j=1
‖vj‖2Hψ
q (Sp)
i ‖v‖2
H̄q(Sp)
=
∑m
j=1
‖vj‖2Hq(Sp).
Простори H̄n
q (Dp) i H̄nψ
q (Dp) є просторами функцiй u = u(t, z) = col
(
u1(t, z), . . . , um(t, z)
)
iз складовими uj = uj(t, z), j = 1, . . . ,m, вiдповiдно з просторiв Hnψ
q (Dp) i Hn
q (Dp) та
квадратами норм ‖u‖2
H̄nψ
q (Dp)
=
∑m
j=1
‖uj‖2Hnψ
q (Dp)
i ‖u‖2
H̄n
q (Dp)
=
∑m
j=1
‖uj‖2Hn
q (Dp).
Введемо функцiю ζ(z) =
∑
k∈Zp
k̃−z, яка iснує у пiвплощинi Re z > p, та функцiї ωj(r) =
=
∑
k∈Zp
k̃−pψ−rj (k̃), j = 1, 2, де ψj ∈ M, r ∈ R i ω1(ν) < ∞ для ν =
2
m(mn− 1)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ . . . 613
ω2(2) <∞. Функцiї ψ1 та ψ2 з такими властивостями iснують (зокрема, степенi логарифма), i
якщо справджується ψ1ψ
m
2 = ψm
2n
2 , то умови ω1(ν)<∞, ω2(2)<∞ виконуються одночасно.
Позначимо через OR круг радiуса R iз центром у початку координат комплексної площини.
Розглянемо в областi Dp задачу з двоточковими нелокальними умовами для системи одно-
рiдних диференцiально-операторних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами∑
s0+|s|≤n
As0,sB
s∂
s0u
∂ts0
= 0, (1)
µ
∂ju
∂tj
∣∣∣∣
t=0
− ∂ju
∂tj
∣∣∣∣
t=T
= ϕj , j = 0, 1, . . . , n− 1, (2)
де s = (s1, . . . , sp) ∈ Zp+, |s| = s1 + . . .+ sp, µ ∈ C \ {0}, As0,s — квадратнi матрицi розмiру m,
An,0,...,0 = Im — одинична матриця; ϕj = ϕj(z) = col
(
ϕj1(z), . . . , ϕjm(z)
)
, j = 0, 1, . . . , n − 1,
— заданi вектор-функцiї, u = u(t, z) = col
(
u1(t, z), . . . , um(t, z)
)
— шукана вектор-функцiя,
n,m ≥ 1. Оператор B = (B1, B2, . . . , Bp) складено з операторiв Bj ≡ zj
∂
∂zj
узагальненого
диференцiювання, Bs = Bs1
1 . . . B
sp
p — степенi оператора B. З рiвностей Bj(z
k) = kjz
k, де
j = 1, . . . , p, k ∈ Zp, випливає, що Bj для довiльного s ∈ R дiють неперервно з Hψ
q (Sp) у
Hψ
q−1(Sp). Знайдемо умови розв’язностi задачi (1), (2) у просторах H̄nψ
q (Dp) i H̄n
q (Dp).
Означення. Пiд розв’язком задачi (1), (2) у просторi H̄nψ
q (Dp) розумiємо вектор-функцiю
u = u(t, z) = col
(
u1(t, z), . . . , um(t, z)
)
у просторi (W′)m для всiх t ∈ [0, T ], яка задовольняє
систему (1) i умови (2) та належить до простору H̄nψ
q (Dp).
Вважаємо, що елементи матриць As0,s з системи (1) розглядаються у крузi OA, параметр µ
з умов (2) — у крузi OM , де A та M — додатнi фiксованi радiуси кругiв.
3. Побудова формального розв’язку. Теорема єдиностi. Для побудови розв’язку задачi (1),
(2) введемо псевдодиференцiальнi оператори F (B) на основi довiльних послiдовностей комп-
лексних матриць F (k), k ∈ Zp. Кожна така послiдовнiсть породжує псевдодиференцiальний
оператор F (B) = F (B1, . . . , Bp) = F
(
z1
∂
∂z1
, . . . , zp
∂
∂zp
)
, який дiє на ϕ(z)=
∑
k∈Zp
φ(k)zk
за формулою F (B)ϕ(z) =
∑
k∈Zp
F (k)φ(k)zk.
Послiдовнiсть φ(k) коефiцiєнтiв розвинення функцiї ϕ(z) у ряд Фур’є також породжує
вiдповiдний оператор φ(B). Таким чином, кожну функцiю ϕ з простору Hψ
q (Sp) або Hq(Sp)
пов’яжемо з псевдодиференцiальним оператором φ(B) формулою ϕ(z) = φ(B)δ(z), де δ(z) =
=
∑
k∈Zp
zk. Послiдовнiсть функцiй F (t, k), t ∈ [0, T ], породжує оператор-функцiю F (t, B),
а функцiя v(t, z)=
∑
k∈Zp
V (t, k)zk з простору H̄nψ
q (Dp) або H̄n
q (Dp) — оператор-функцiю
V (t, B), причому v(t, z) = V (t, B)δ(z).
Нелокальна задача (1), (2) еквiвалентна задачi з нелокальними умовами для системи дифе-
ренцiальних рiвнянь з частинними похiдними першого порядку за часовою змiнною
∂v(t, z)
∂t
= L(B)v(t, z), (3)
µv(0, z)− v(T, z) = ϕ(z), (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
614 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП
де v(t, z)=col
(
u,
∂u
∂t
, . . .,
∂n−1u
∂tn−1
)
=col(v0, v1, . . . , vn−1), ϕ(z)=col
(
ϕ0(z), ϕ1(z), . . . , ϕn−1(z)
)
,
L(B) =
(
0 I(n−1)m
−Ln(B) −Ln−1(B) . . . −L1(B)
)
,
Lr(B) =
∑
|s|≤r
An−r,sB
s, Lr(B) = (Lijr (B))i,j=1,...,m, r = 1, . . . , n.
Врахувавши введенi псевдодиференцiальнi оператори, запишемо рiвностi
v(t, z) ≡ V (t, B)δ(z) ≡ col
(
V0(t, B), V1(t, B), . . . , Vn−1(t, B)
)
δ(z), (5)
ϕ(z) ≡ φ(B)δ(z) ≡ col
(
φ0(B), φ1(B), . . . , φn−1(B)
)
δ(z). (6)
Тодi задача (3), (4) еквiвалентна множинi нелокальних крайових задач на промiжку [0, T ] для
систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку
dV (t, k)
dt
= L(k)V (t, k), k ∈ Zp, (7)
µV (0, k)− V (T, k) = φ(k). (8)
Нехай Z=diag(k̃nIm, . . . , k̃
2Im, k̃Im), ZV (t, k)=Ṽ (t, k) i Zφ(k)=φ̃(k), тодi систему (7), (8)
запишемо у виглядi
dṼ (t, k)
dt
= k̃L̃(k)Ṽ (t, k), (9)
µṼ (0, k)− Ṽ (T, k) = φ̃(k), (10)
де
L̃(k)=
(
0 I(n−1)m
−L̃n(k) −L̃n−1(k) . . . −L̃1(k)
)
,
а L̃j(k)=k̃−jLj(k) =
∑
|s|≤j
An−j,s
(
k
k̃
)s
k̃|s|−j .
Якщо величини λj(k), j = 1, . . . , nm, є коренями характеристичного рiвняння f(λ, k) =
= det
(
λInm − L̃(k)
)
= 0, то γj(k) = k̃λj(k) є коренями рiвняння det
(
γInm − L(k)
)
=0, тобто
власними значеннями матрицi L(k). Визначник f(λ, k) можна записати у виглядi формули
f(λ, k) =
∑mn
j=0
fj(k)λmn−j = λmn + . . .+ (−1)mn det L̃(k).
З оцiнки Кошi [9] для коренiв λj(k) маємо нерiвностi |λj(k)|≤1+max
{
|f1(k)|, . . . , |fmn(k)|
}
,
j = 1, . . . , nm. Отже, величини λ1(k), . . . , λmn(k) є рiвномiрно обмеженими по k разом iз кое-
фiцiєнтами f1(k), . . . , fmn(k) многочлена f(λ, k).
Загальний розв’язок рiвняння (9) запишемо у виглядi
Ṽ (t, k) = ek̃L̃(k)tC(k), (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ . . . 615
де C(k) — довiльний вектор iз констант. Пiдставимо рiвнiсть (11) в умови (10) i отримаємо
систему алгебраїчних рiвнянь (µInm − ek̃L̃(k)T )C(k) = φ̃(k) невiдомого вектора C(k). Якщо
матриця (µInm − ek̃L̃(k)T ) невироджена, то C(k) = (µInm − ek̃L̃(k)T )−1φ̃(k) i
Ṽ (t, k) = ek̃L̃(k)t(µInm − ek̃L̃(k)T )−1φ̃(k). (12)
Оскiльки визначник матрицi дорiвнює добутку її власних значень, а власними значеннями
матрицi
(
µInm − ek̃L̃(k)T
)
є числа µ− ek̃λj(k)T , то
det(µInm − ek̃L̃(k)T ) =
nm∏
j=1
(µ− ek̃λj(k)T ). (13)
Сформулюємо теорему єдиностi розв’язку задачi (1), (2) у просторах H̄n
q (Dp) i H̄nψ
q (Dp).
Теорема 1. Для єдиностi розв’язку задачi (1), (2) у просторах H̄nψ
q (Dp) i H̄n
q (Dp) необхiдно
i достатньо, щоб рiвняння
det
(
lnµ− i2πk0
k̃T
Inm − L̃(k)
)
= 0 (14)
не мало розв’язкiв у цiлих числах k0, k1, . . . , kp.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай розв’язок задачi (1), (2) є єдиним. Тодi задача (9), (10)
має єдиний розв’язок для всiх k ∈ Zp, що зображується у виглядi (12). Отже, матриця
(µInm − ek̃L̃(k)T ) є невиродженою. Таким чином, з урахуванням рiвностi (13) µ 6= ek̃λj(k)T ,
де числа λj(k), j = 1, . . . , nm, є коренями характеристичного рiвняння det
(
λInm− L̃(k)
)
= 0.
Логарифмуючи, отримуємо, що рiвняння (14) не має розв’язкiв у цiлих числах k0, k1, . . . , kp.
Достатнiсть доведемо методом вiд супротивного. Нехай числа k∗0, k
∗
1, . . . , k
∗
p є розв’язком
рiвняння (14). Тодi, вважаючи λ1(k∗) = (lnµ − i2πk∗0)/(k̃∗T ) для k∗ = (k∗1, . . . , k
∗
p), робимо
висновок, що однорiдна задача (9), (10) має безлiч розв’язкiв Ṽ (t, k∗),що утворюють пiдпростiр
та визначаються формулою (11), у якiй C(k) є загальним розв’язком виродженої однорiдної
системи алгебраїчних рiвнянь (µInm − ek̃L̃(k)T )C(k) = 0 для k = k∗. Таким чином, розв’язок
задачi (1), (2) не є єдиним.
Теорему доведено.
Якщо коренi λ1(k), . . . , λmn(k) многочлена f=f(λ, k) є рiзними, то позначимо через Ω(t, k)
вектор значень функцiї ρ(t, λ) =
ek̃λt
µ−ek̃λT
на цих коренях, W (k) — матриця Вандермонда,
побудована за коренями λ1(k), . . . , λnm(k), i R(k) =
(
φ̃(k), L̃(k)φ̃(k), . . . , L̃nm−1(k)φ̃(k)
)
. У
таких позначеннях розв’язок (12) задачi (9), (10) записується у виглядi [10]
Ṽ (t, k) = R(k)W−T (k)Ω(t, k), (15)
де W−T (k) =
(
W−1(k)
)T
=
(
W T (k)
)−1
— матриця, обернена до транспонованої матрицi
Вандермонда, для обчислення якої використовуємо формулу
W−T (k) =
(
fmn+1−i−j(k)
)mn
i,j=1
W (k)
(
diag
(
f ′(λj(k), k)
)mn
j=1
)−1
, f ′ =
∂f
∂λ
. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
616 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП
Тут fj(k) — коефiцiєнти многочлена f(·, k), зокрема f0(k) = 1, fj(k) = 0 при j < 0.
Вирази
(
f ′(λj(k), k)
)−2
перетворимо до дробiв
1
Res (f, f ′)
∏
1≤α<β≤mn
α,β 6=j
(λα(k) − λβ(k))2, де
Res (f, f ′) =
∏mn
j=1
f ′(λj(k), k) — результант [11] многочленiв f та f ′ i Res (f, f ′) = detS(f),
а S(f) — матриця Сильвестра многочлена f = f(λ, k), яка є блочно-теплiцевою матрицею
S(f) =
(
fj−i(k)
)mn−1,2mn−1
i,j=1(
(mn− j + i)fj−i(k)
)mn,2mn−1
i,j=1
, fj(k) = 0 при j > mn.
4. Дослiдження умов розв’язностi задачi в уточненiй шкалi. Встановимо умови, за яких
розв’язок задачi (1), (2) iснує у просторi H̄nψ
q (Dp). Оскiльки
∂nu
∂tn
= −Ln(B)u− Ln−1(B)
∂u
∂t
− . . .− L1(B)
∂n−1u
∂tn−1
для розв’язку u, то iснує таке число C1 = C1(n,m, p,A) > 0, що∥∥∥∂nu
∂tn
∥∥∥
H̄ψ
q−n(Sp)
≤ C1
(
‖u‖2
H̄ψ
q (Sp)
+
∥∥∥∂u
∂t
∥∥∥2
H̄ψ
q−1(Sp)
+ . . .+
∥∥∥∂n−1u
∂tn−1
∥∥∥2
H̄ψ
q−n+1(Sp)
)
.
Тобто у просторi H̄nψ
q (Dp) виконується нерiвнiсть
‖u‖2
H̄nψ
q (Dp)
≤ (C1 + 1)
n−1∑
j=0
max
[0,T ]
∥∥∥∂ju
∂tj
∥∥∥
H̄ψ
q−j(Sp)
=
= (C1 + 1)
n−1∑
j=0
max
[0,T ]
‖vj‖H̄ψ
q−j(Sp)
=
= (C1 + 1)
n−1∑
j=0
∑
k∈Zp
max
[0,T ]
|k̃q−jψ(k̃)Vj(t, k)|2 =
= (C1 + 1)
n−1∑
j=0
∑
k∈Zp
max
[0,T ]
|k̃q−nψ(k̃)Ṽj(t, k)|2. (17)
Запишемо оцiнку
|k̃q−nψ(k̃)Ṽj(t, k)|2 ≤ C2‖Ω(t, k)‖2‖W−T (k)‖2
n−1∑
j=0
|k̃q−nψ(k̃)φ̃j(k)|2 =
= C2‖Ω(t, k)‖2‖W−T (k)‖2
n−1∑
j=0
|k̃q−jψ(k̃)φj(k)|2, (18)
де C2 > 0 — величина, яка залежить вiд n, m, p та коефiцiєнтiв системи (1).
Сформулюємо та доведемо теорему iснування розв’язку задачi (1), (2) у H̄nψ
q (Dp).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ . . . 617
Теорема 2. Нехай η1, η2 ∈ R, ψ̃1, ψ̃2 ∈M, виконуються умови теореми 1 та для всiх (крiм
скiнченного числа) векторiв k ∈ Zp та всiх t ∈ [0, T ] виконуються нерiвностi
|detS(f)| ≥ ψ̃−1
1 (k̃)k̃−η1 , (19)∣∣ρ(t, λl(k)
)∣∣ ≤ ψ̃2(k̃)k̃η2 , l = 1, . . . ,mn. (20)
Якщо ϕj ∈ H̄ψ̂
q−j+γ1(Sp), де γ1 = η1 + η2, ψ̂ = ψψ̃1ψ̃2, то iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2)
з простору H̄nψ
q (Dp), який неперервно залежить вiд правих частин умов (2).
Доведення. З урахуванням оцiнок (18) – (20), формули (16) для обчисленняW−T (k), а також
обмеженостi зверху величини |detS(f)|‖W−T (k)‖ нерiвнiсть (17) набере вигляду ‖u‖2
H̄nψ
q (Dp)
≤
≤ C3
∑n−1
j=0
‖ϕj‖2
H̄ψ̂
q−j+γ1
(Sp)
, де величина C3 > 0 залежить вiд параметрiв задачi (1), (2), а iз
властивостей множини M випливає, що ψ̂ ∈M.
Теорему доведено.
Встановимо умови, за яких виконується (19), для чого використаємо такi леми [12].
Лема 1. Нехай многочлен g(λ) має вигляд g(λ) =
∑n
j=0
gjλ
n−j , тодi
detS(g) =
n−1∑
α=0
(−1)α+nααα(n− α)n−αgα0 g
n−α−1
n gnα + . . . ,
де три крапки означають доданки, що не мiстять n-х степенiв коефiцiєнтiв gα.
Лема 2. Якщо f(λ) = h(λ) + ag(λ), де f(λ), h(λ), g(λ) — комплекснi многочлени i f(λ) =
= f0λ
t + f1λ
t−1 + . . . + ft, h(λ) = h0λ
t + h1λ
t−1 + . . . + ht, g(λ) = g0λ
s + g1λ
s−1 + . . . + gs,
де s < t, а S(f), S(h), S(g) — матрицi Сильвестра цих многочленiв, то визначник detS(f)
матрицi S(f) є многочленом за змiнною a степеня не вищого за t+ s− 1, причому
detS(f) =
(
(s− t)h0g0
)t−s
detS(g)at+s−1 + . . .+ detS(h).
Доведення леми 1 i часткове (при t = 2s) доведення леми 2 наведено у роботi [12].
Позначимо через b1, . . . , bp коефiцiєнти при степенях Bn
1 , . . . , B
n
p оператора L̃11
n (B), через
bp+1, . . . , b2p вiдповiднi коефiцiєнти оператора L̃22
n (B) i т. д., через b(m−1)p+1, . . . , bmp вiдповiднi
коефiцiєнти оператора L̃mmn (B), де L̃n = (L̃ijn )i,j=1,...,m, i нехай b = (b1, b2, . . . , bmp).
Многочлен f(λ, k) можна записати у виглядi f(λ, k) = bj
(
kj
k̃
)n
g1(λ, k) + h1(λ, k), j =
= 1, . . . , p, де g1(λ, k) та h1(λ, k) залежать вiд j, але не залежать вiд bj . Аналогiчно многочлен
g1(λ, k) можна записати так: g1(λ, k) = bp+j
(
kj
k̃
)n
g2(λ, k) +h2(λ, k), j = 1, . . . , p, де g2(λ, k)
та h2(λ, k) не залежать вiд bp+j . Многочлени gi(λ, k) для кожного i = 1, . . . ,m − 2 мають
вигляд gi(λ, k) = bip+j
(
kj
k̃
)n
gi+1(λ, k) + hi+1(λ, k), j = 1, . . . , p, де gi+1(λ, k) та hi+1(λ, k)
не залежать вiд bip+j . Застосувавши для f(λ, k) i gi(λ, k), i = 1, . . . ,m − 2, лему 2 при a =
= bj
(
kj
k̃
)n
у розкладi многочлена f(λ, k) i a = bip+j
(
kj
k̃
)n
у розкладi многочленiв gi(λ, k)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
618 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП
та при gl0 = hl0 = 1, де gl0 i hl0 — старшi коефiцiєнти многочленiв gl(λ, k) i hl(λ, k), l =
= 1, 2, . . . ,m− 1, отримаємо
detS
(
f(λ, k)
)
= (−1)nnn
(
kj
k̃
)n(2mn−n−1)
(bj)
2mn−n−1 detS(g1) + . . . , (21)
detS
(
gi(λ, k)
)
= (−1)nnn
(
kj
k̃
)n(2mn−(2i+1)n−1)
(bip+j)
2mn−(2i+1)n−1 detS(gi+1) + . . . . (22)
Тут три крапки означають доданки зi степенями bαip+j , якщо 0 ≤ α ≤ 2mn − (2i + 1)n − 2.
Використаємо лему 1 при g = gm−1=L̃mmn для знаходження визначника матрицi S
(
gm−1(λ, k)
)
:
detS
(
gm−1(λ, k)
)
= nnbn−1
(m−1)p+j
(
kj
k̃
)n(n−1)
+ . . . , j = 1, . . . , p, (23)
де три крапки означають доданки зi степенями bα(m−1)p+j , якщо 0 ≤ α ≤ n− 2.
Теорема 3. Нехай 0 < δ < 1, ν =
2
m(mn− 1)
, η1 =
p
ν
, коефiцiєнти системи (1) фiксованi
(за винятком коефiцiєнтiв b1, . . . , bmp), функцiя ψ1 ∈ M задовольняє умову ω1(ν) < ∞. Тодi
iснує множина WΨδ ⊂ OmpR така, що meas WΨδ ≤ δmeasOmpR i для всiх векторiв b ∈ OmpR \
WΨδ та k 6= 0 справджується оцiнка∣∣detS
(
f(λ, k)
)∣∣ ≥ ν
√
δC4ψ
−1
1 (k̃)k̃−η1 , (24)
де C4 = nmn ν
√
measOmpR
ω1(ν)m(p+ 1)nπmpR2mp−2
> 0.
Доведення. Використавши рiвностi (22) i (23), формулу (21) запишемо так:
detS
(
f(λ, k)
)
= (−1)n(m−1)nmn
(
kj
k̃
)n((2mn−n−1)+(2mn−3n−1)+...+(3n−1)+(n−1)
)
×
×(bj)
2mn−n−1(bp+j)
2mn−3n−1 . . . (b(m−2)p+j)
3n−1(b(m−1)p+j)
n−1 + . . . =
= (−1)n(m−1)nmn
(
kj
k̃
)mn(mn−1)
Bj(k)Bp+j(k) . . . B(m−1)p+j(k),
де Bip+j(k), i = 0, 1, . . . ,m − 1, — унiтальний степеня 2(m − i)n − n − 1 многочлен змiнної
bip+j , коефiцiєнти якого не залежать вiд b1, . . . , bip+j−p, j = 1, . . . , p, i знайдемо
∣∣detS
(
f(λ, k)
)∣∣ = nmn
(
|kj |
k̃
)mn(mn−1)
|Bj(k)||Bp+j(k)| . . . |B(m−1)p+j(k)|. (25)
Для рiвностi (25) виберемо найменший iндекс j = j(k) так, щоб kj = max{k1, . . . , kp}.
Позначимо через WΨi
δ(k), i = 0, 1, . . . ,m−1, множину тих векторiв b ∈ OmpR , для яких при
фiксованому k виконується оцiнка
|Bip+j(k)| <
(
δmeasOmpR
(
ψ1(k̃)
)−ν
k̃−p
mω1(ν)πmpR2mp−2
)(m−i)n−(n+1)/2
, j = 1, . . . , p. (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ . . . 619
Знайдемо оцiнки мiр множин WΨi
δ(k), i = 0, 1, . . . ,m − 1. Нехай W̃Ψ
i
δ(k) ⊂ O(m−i)p
R —
множина тих векторiв bip+1, . . . , bmp, а W̃Ψ
i
δ(k, b̃ip+j) — множина тих значень змiнної bip+j для
фiксованого b̃ip+j iз останнiми (m− i−1)p компонентами з множини W̃Ψ
i+1
δ (k), де b̃ip+j — век-
тор з компонентами bip+1, . . . , bmp без компоненти bip+j , для яких виконується нерiвнiсть (26).
Оскiльки WΨi
δ(k) = OipR × W̃Ψ
i
δ(k), то meas WΨi
δ(k) = (πR2)ipmeas W̃Ψ
i
δ(k). Використаємо
лему Картана [13] та знайдемо meas W̃Ψ
i
δ(k, b̃ip+j) ≤
δmeasOmpR
(
ψ1(k̃)
)−ν
k̃−p
mω1(ν)(πR2)mp−1
. Iнтегруючи по
областiOip−1
R ×
(
O(m−i−1)p
R \W̃Ψ
i+1
δ (k)
)
, отримуємо meas W̃Ψ
i
δ(k) ≤
δmeasOmpR
(
ψ1(k̃)
)−ν
k̃−p
mω1(ν)(πR2)ip
.
Таким чином, для мiри множини WΨi
δ(k) маємо нерiвнiсть
meas WΨi
δ(k) ≤
δmeasOmpR
(
ψ1(k̃)
)−ν
k̃−p
mω1(ν)
.
Множини WΨi
δ(k), i = 0, 1, . . . ,m−1, об’єднаємо у множину WΨδ(k) з мiрою meas WΨδ(k) ≤
≤
∑m−1
i=0
meas WΨi
δ(k) ≤
δmeasOmpR
(
ψ1(k̃)
)−ν
k̃−p
ω1(ν)
. В свою чергу множини WΨδ(k) об’єднає-
мо в одну виняткову множину
WΨδ =
⋃
k∈Zp\{0}
WΨδ(k) (27)
i оцiнимо її мiру meas WΨδ ≤
∑
k∈Zp\{0}
meas WΨδ(k) = δmeasOmpR . Вектор b вважатимемо
елементом множини OmpR \WΨδ, для мiри якої справджується оцiнка
meas(OmpR \WΨδ) ≥ (1− δ) measOmpR . (28)
На множинi OmpR \WΨδ iз рiвностi (25) та нерiвностей (26) – (28) випливає нерiвнiсть
∣∣detS
(
f(λ, k)
)∣∣ ≥ nmn ν
√
δmeasOmpR
mω1(ν)(p+ 1)nπmpR2mp−2
ψ−1
1 (k̃)k̃−p/ν =
ν
√
δC4ψ
−1
1 (k̃)k̃−η1
для фiксованого вектора k ∈ Zp \ {0}. Отже, поза множиною WΨδ нерiвнiсть (24) виконується
для всiх k 6= 0.
Теорему доведено.
Розглянемо умови виконання нерiвностей (20). Для оцiнювання ρ(t, λl(k)) побудуємо винят-
ковi множини малої мiри на комплекснiй площинi для параметра µ ∈ OM , використання яких
є варiантом метричного пiдходу до оцiнювання малих знаменникiв [12, 14].
Використаємо ранiше введену функцiю ψ2 ∈ M та виберемо додатнi числа η2 та χψ з
умов η2 > p/2, 32nT 2ω2(2)χ2
ψ = π. Нехай 0 < ε < 1 i, додатково,
√
ε < ln 2/(2χψT ), якщо
n = 1. Тодi для n > 1 виконується нерiвнiсть ln 2/(2χψT ) = ln 2
√
8nω2(2)/π >
√
8n/π/2 =
=
√
2n/π > 1, тобто також
√
ε < ln 2/(2χψT ).
Позначимо χ1ψ = χ1ψ(k) =
√
εχψψ
−1
2 (k̃)k̃−η2 та µl(k) = ek̃λl(k)T , µ(k) = ek̃λT . Враховуючи
данi позначення, отримуємо χ1ψ > 0, а ρ(t, λ) =
ek̃λt
µ− µ(k)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
620 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП
Виберемо множини VΨl(k) для тих l = 1, . . . , n та k ∈ Zp, що задовольняють умову
|µl(k)| < 2M, за формулою VΨl(k) =
{
λ ∈ C : |Re (λ−λl(k))| <
χ1ψ
2
, |Im (λ−λl(k))| <
χ1ψ
2
}
.
Множина VΨl(k) — це квадрат зi стороною χ1ψ, центром λl(k) i вершинами M−−, M−+,
M++, M+− у комплекснiй площинi змiнної λ. Точки M−−, M−+, M++, M+− зображують
вiдповiдно комплекснi числа λl(k)− (1 + i)χ1ψ/2, λl(k)− (1− i)χ1ψ/2, λl(k) + (1 + i)χ1ψ/2,
λl(k) + (1− i)χ1ψ/2.
Нехай VΨl,2(k) =
{
µ∈C : e−χ1ψT/2≤
∣∣∣ µ
µl(k)
∣∣∣≤eχ1ψT/2,
∣∣∣ arg
µ
µl(k)
∣∣∣≤χ1ψT/2
}
— образ квад-
рата VΨl(k) при вiдображеннi λ → ek̃λT , а множина VΨl,1(k) є образом концентричного до
VΨl(k) квадрата зi стороною 2χ1ψ : VΨl,1(k) =
{
µ∈C : e−χ1ψT≤
∣∣∣ µ
µl(k)
∣∣∣≤eχ1ψT ,
∣∣∣ arg
µ
µl(k)
∣∣∣ ≤
≤ χ1ψT
}
. Мiра множини VΨl,1(k), яку назвемо винятковою множиною для заданого k, обчис-
люється так:
meas VΨl,1(k) =
2χ1ψT
2π
(
π|µl(k)|2e2χ1ψT−π|µl(k)|2e−2χ1ψT
)
= χ1ψT |µl(k)|2
(
e2χ1ψT−e−2χ1ψT
)
.
Оскiльки e2χ1ψT < 2 i
ey2χ1ψT − ey1χ1ψT
y2 − y1
= χ1ψTe
y3χ1ψT ≤ χ1ψTe
y2χ1ψT , де y3 ∈ (y1, y2) ⊂ R,
то для мiри множини VΨl,1(k) виконується нерiвнiсть
meas VΨl,1(k) = 4χ1ψT |µl(k)|2 e
2χ1ψT − e−2χ1ψT
4
≤ 4
(
χ1ψT |µl(k)|
)2
e2χ1ψT < 32(χ1ψTM)2.
Об’єднаємо множини VΨl,1(k) в одну виняткову множину
VΨε =
⋃
k∈Zp
|µl(k)|<2M
n⋃
l=1
VΨl,1(k) (29)
i знайдемо meas VΨε =
∑
k∈Zp; |µl(k)|<2M
∑n
l=1
meas VΨl,1(k) ≤ 30(TM)2
∑
k∈Zp
χ2
1ψ. Вра-
ховуючи позначення χ1ψ та χψ, отримуємо meas VΨε ≤ 30nT 2ω2(2)χ2
ψεM
2 = εmeas OM .
Параметр µ вважатимемо елементом множини OM \VΨε, для мiри якої запишемо оцiнку
meas (OM \VΨε) ≥ (1− ε) meas OM . (30)
Теорема 4. Якщо η2 = p/2, функцiя ψ2 ∈ M задовольняє умову ω2(2) < ∞, то для всiх
векторiв µ ∈ OM \VΨε i k ∈ Zp функцiя ρ(t, λ) в областi VΨl(k)× [0, T ] має оцiнку зверху
|ρ(t, λ)| ≤
θψ√
ε
ψ2(k̃)k̃η2 , θψ = 8 max{2, 1/|µ|}
√
2πnω2(2) > 0. (31)
Доведення. Розглянемо випадок таких l i k, що |µl(k)| ≥ 2M. У кожному такому квад-
ратi VΨl(k) виконуються нерiвностi |µl(k)|e−χ1ψT/2 ≤ |µ(k)| ≤ |µl(k)|eχ1ψT/2, де e2χ1ψT =
= e2
√
εχψTψ
−1
2 (k̃)k̃−η2 < 2ψ
−1
2 (k̃)k̃−η2 ≤ 2, тому 3M/2<23/4M≤2−1/4|µl(k)|≤|µ(k)|≤21/4|µl(k)|.
Для функцiї ρ(t, λ) маємо
|ρ(t, λ)| = |µ(k)|
t
T
|µ− µ(k)|
=
|µ(k)|
t
T −1
|µ/µ(k)− 1|
≤ 3 max
{
1,
1
|µ(k)|
}
< max
{
3,
2
M
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ . . . 621
а також, враховуючи, що ψ2(k̃)k̃η2 >
√
ε, отримуємо
|ρ(t, λ)| < ψ2(k̃)k̃η2√
ε
max
{
3,
2
M
}
. (32)
Розглянемо випадок |µl(k)| < 2M. Тодi для числа µ(k) маємо лише три можливостi: |µ(k)| ≤
≤ |µ|
2
, |µ(k)| ≥ 2|µ| та |µ|
2
< |µ(k)| < 2|µ|.
Розглянемо першу з даних можливостей, а саме, |µ(k)| ≤ |µ|
2
. Тодi |µ − µ(k)| ≥ |µ|
2
i |ρ(t, λ)|t =
|µ(k)|t/T
|µ− µ(k)|
≤2|µ(k)|t/T
|µ|
≤ 2
|µ|
max{1, |µ(k)|}≤ 2
|µ|
max
{
1,
|µ|
2
}
= max
{
1,
2
|µ|
}
, а
також
|ρ(t, λ)| ≤ ψ2(k̃)k̃η2√
ε
max
{
1,
2
|µ|
}
. (33)
Нехай |µ(k)| ≥ 2|µ|, тодi виконуються нерiвностi |µ− µ(k)| = |µ(k)|
∣∣∣∣ µ
µ(k)
− 1
∣∣∣∣ ≥ |µ(k)|
2
i
|ρ(t, λ)| = |µ(k)|
t
T
|µ− µ(k)|
≤ |µ(k)|
t
T
|µ(k)|/2
= 2|µ(k)|
t−T
T ≤ 2 max
{
1,
1
|µ(k)|
}
≤ max
{
2,
1
|µ|
}
, а отже,
|ρ(t, λ)| ≤ ψ2(k̃)k̃η2√
ε
max
{
2,
1
|µ|
}
. (34)
Розглянемо випадок
|µ|
2
< |µ(k)| < 2|µ|. Оскiльки µ 6∈ VΨε, то знаменник |µ − µ(k)|
не менший, нiж min |z1 − z2|, де z1 i z2 належать межам областей VΨl,1(k) i VΨl,2(k) вiд-
повiдно. Даний мiнiмум досягається, якщо z2 = ek̃(λl(k)−(i+1)χ1ψ/2)T , а z1 — проекцiя z2 на
промiнь z=arg λl(k)−χ1ψT, i дорiвнює |µl(k)|e−χ1ψT/2 sin(χ1ψT/2). Оскiльки справджуються
оцiнки χ1ψT/2 < ln 2/4 < 1/4 < π/4 i sinx > 2
√
2x/π при x ∈ [0, π/4], то sinχ1ψT/2 ≥
≥ 2
√
2χ1ψT/2π =
√
2χ1ψT/π. Тому з нерiвностi |µl(k)| ≥ |µ(k)|e−χ1ψT/2 випливає, що |µ −
−µ(k)|≥|µl(k)|e−χ1ψT/2 sin(χ1ψT/2)≥|µ(k)|e−χ1ψT
√
2χ1ψT/π>|µ|χ1ψT/2π. Звiдси отримуємо
|ρ(t, λ)|= |µ(k)|
t
T
|µ− µ(k)|
≤max{1, |µ(k)|}
|µ− µ(k)|
<
2πmax{1, 2|µ|}
|µ|χ1ψT
≤ 2π
√
εχψψ
−1
2 (k̃)k̃−η2T
max
{
2,
1
|µ|
}
=
=
2πψ2(k̃)k̃η2√
εχψT
max
{
2,
1
|µ|
}
≤ ψ2(k̃)k̃η2√
ε
8
√
2nπω2(2) max
{
2,
1
|µ|
}
. (35)
Правi частини у формулах (32) – (35) оцiнюються числом
θψψ2(k̃)k̃η2√
ε
. Це означає, що не-
рiвнiсть (31) виконується для всiх µ ∈ OM \VΨε.
Теорему доведено.
Наслiдок. Оцiнка (20) виконується для всiх векторiв µ з множини OM \VΨε.
Це твердження випливає з належностi величин λl(k), l = 1, . . . ,mn, до множини VΨl(k) i
рiвностi
∣∣∣∣∣ ek̃λl(k)t
µ− ek̃λl(k)T
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ ek̃λl(k)t
µ− µl(k)
∣∣∣∣∣ = |ρ(t, λl(k))|.
Сформулюємо та доведемо теорему iснування та єдиностi розв’язку задачi (1), (2) у просторi
H̄nψ
q (Dp) з урахуванням метричних теорем 3 та 4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
622 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП
Теорема 5. Нехай множини WΨδ i VΨε задаються формулами (27) i (29), а оцiнки мiр
множин OmpR \WΨδ та OM \ VΨε визначаються рiвностями (28) та (30) вiдповiдно, ν =
=
2
m(mn− 1)
, γ1 = p(1/2 + 1/ν), ψ̂ = ψψ1ψ2, де ψ1, ψ2 з множиниM задовольняють умови
ω1(ν) < ∞ та ω2(2) < ∞. Тодi у випадку ϕj ∈ H̄ψ̂
q−j+γ1(Sp), j = 0, 1, . . . , n − 1, для всiх
векторiв (b, µ) з множини (OmpR \WΨδ) × (OM \ VΨε) iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2) з
простору H̄nψ
q (Dp), який неперервно залежить вiд правих частин умов (2).
Доведення. За теоремою 3 для всiх векторiв b ∈ OmpR \WΨδ i k ∈ Zp \ {0} виконуєть-
ся оцiнка (19) при η1 = p/ν та для всiх функцiй ψ1 ∈ M таких, що ω1(ν) < ∞. Згiд-
но з теоремою 4 для довiльного µ ∈ OM \ VΨε виконується оцiнка (20) при η2 = p/2
для всiх функцiй ψ2 ∈ M таких, що ω2(2) < ∞. Таким чином, виконується нерiвнiсть
‖u‖2
H̄nψ
q (Dp)
≤ C5
εδm(mn−1)
∑n−1
j=0
‖ϕj‖2
H̄ψ̂
q−j+γ1
(Sp)
, де величина C5 > 0 залежить вiд m, n, p
та коефiцiєнтiв системи (1). Тодi з теореми 2 випливає як iснування розв’язку задачi (1),
(2) з простору H̄nψ
q (Dp), так i його неперервна залежнiсть вiд функцiй ϕj ∈ H̄ψ̂
q−j+γ1(Sp),
j = 0, 1, . . . , n− 1.
Оскiльки до VΨε належать всi розв’язки рiвняння (14), то з умови µ ∈ OM \ VΨε, згiдно з
теоремою 1, випливає єдинiсть розв’язку задачi (1), (2) у Hnψ
q (Dp). Тому для всiх µ ∈ OM \VΨε
з iснування розв’язку у Hnψ
q (Dp) випливає його єдинiсть на OM \VΨε.
Теорему доведено.
5. Умови iснування розв’язку задачi у соболєвськiй шкалi. У просторi H̄n
q (Dp) викону-
ються аналогiчнi до (17) i (18) нерiвностi
‖u‖2H̄n
q (Dp) ≤ (C6 + 1)
n−1∑
j=0
∑
k∈Zp
max
[0,T ]
|k̃q−nṼj(t, k)|2, (36)
|k̃q−nṼj(t, k)|2 ≤ C7‖Ω(t, k)‖2‖W−T (k)‖2
n−1∑
j=0
|k̃q−jφj(k)|2, (37)
де C6, C7 > 0 залежать вiд параметрiв задачi (1), (2), i справджується теорема iснування
та єдиностi розв’язку цiєї задачi, доведення якої випливає з цих оцiнок та означення шкали
{H̄q(Sp)}q∈R.
Теорема 6. Нехай виконуються умови теореми 1 та для деяких дiйсних чисел η3, η4 для
всiх (крiм скiнченного числа) векторiв k ∈ Zp виконуються нерiвностi
|detS(f)| ≥ k̃−η3 , (38)∣∣ρ(t, λl(k)
)∣∣ ≤ k̃η4 , l = 1, . . . ,mn. (39)
Якщо ϕj ∈ H̄q−j+γ2(Sp), де γ2 > η3 + η4, j = 0, 1, . . . , n − 1, то iснує єдиний розв’язок
задачi (1), (2) з простору H̄n
q (Dp), який неперервно залежить вiд правих частин умов (2).
Встановимо умови виконання нерiвностей (38) та (39). Введемо множини Wδ та Vε (за
схемою введення множин WΨδ i VΨε при ψ1 ≡ 1, ψ2 ≡ 1). Множина Wδ задається рiвнiстю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ . . . 623
Wδ =
⋃
k∈Zp\{0}
Wδ(k) (40)
з мiрою meas Wδ≤δ measOmpR , де Wδ(k) =
⋃m−1
i=0 Wi
δ(k), а Wi
δ(k), i = 0, 1, . . . ,m − 1, —
множина тих b∈OmpR , для яких виконується |Bip+j(k)|<
(
δk̃−r
mζ(r)πmpR2mp−2
)(m−i)n−(n+1)/2
,
r > p, при фiксованому k та кожному j = 1, . . . , p. Вектор b вважатимемо елементом множини
OmpR \Wδ з мiрою
meas(OmpR \Wδ) ≥ (1− δ) measOmpR . (41)
Нехай Vl,1(k) =
{
µ ∈ C : e−χ1T ≤
∣∣∣ µ
µl(k)
∣∣∣ ≤ eχ1T ,
∣∣∣ arg
µ
µl(k)
∣∣∣ ≤ χ1T
}
, χ1 =
√
εχk̃−η4 ,
η4 > p/2, величина χ визначається з рiвностi 32nT 2ζ(2η4)χ2 = π. Тодi, аналогiчно до форму-
ли (29), множина Vε задається рiвнiстю
Vε =
⋃
k∈Zp
|µl(k)|<2M
n⋃
l=1
Vl,1(k). (42)
Мiра множини Vε не перевищує величини εmeas OM . Параметр µ вважатимемо елементом
множини OM \Vε з мiрою
meas (OM \Vε) ≥ (1− ε) meas OM . (43)
Остаточно, справедливими є наступнi метричнi теореми 7 i 8, доведення яких проводиться
аналогiчно до доведення теорем 3 i 4.
Теорема 7. Нехай 0 < δ < 1, ν =
2
m(mn− 1)
, η3 >
p
ν
, коефiцiєнти системи (1) фiксованi
(за винятком b1, . . . , bmp). Тодi для всiх векторiв b ∈ OmpR \Wδ та k 6= 0 справджується оцiнка
|detS
(
f(λ, k)
)
| ≥ ν
√
δC8k̃
−η3 , де C8 = nmn ν
√
measOmpR
mζ(η3ν)(p+ 1)nπmpR2mp−2
> 0.
Теорема 8. Якщо η4 > p/2, то для всiх µ ∈ OM \Vε функцiя ρ(t, λ) в областi Vl(k)× [0, T ]
має оцiнку зверху |ρ(t, λ)| ≤ θ√
ε
k̃η4 , де θ = 8 max{2, 1/|µ|}
√
2πnζ(2η4).
На основi теорем 7 i 8 доведено наступну теорему.
Теорема 9. Нехай множини Wδ i Vε задаються формулами (40) i (42), а оцiнки мiр множин
OmpR \Wδ та OM \ Vε визначаються рiвностями (41) та (43) вiдповiдно, γ2 > p(1/2 + 1/ν),
ν =
2
m(mn− 1)
. Тодi у випадку ϕj ∈ H̄q−j+γ2(Sp), j = 0, 1, . . . , n− 1, для всiх векторiв (b, µ)
з множини (OmpR \Wδ)× (OM \Vε) iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2) з простору H̄n
q (Dp),
який неперервно залежить вiд правих частин умов (2).
6. Висновки. У роботi встановлено, що майже будь-яка нелокальна задача (1), (2) розв’язна
в (уточненiй) шкалi просторiв Соболєва. З теореми 5 випливає, що для векторiв (b, µ) ∈ (OmpR \
WΨδ) × (OM \ VΨε), мiра якої не менша, нiж (1 − δ)(1 − ε)measOmpR measOM , оператор,
який є оберненим до оператора задачi (1), (2), вiдображує вектор ϕ0, ϕ1, . . . , ϕm−1 у розв’язок
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
624 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП
задачi u i є обмеженим оператором з
∏n−1
j=0
H̄ψ̂
q−j+γ1(Sp) в H̄nψ
q (Dp), де
ψ̂
ψ
= ψ1ψ2,
γ1
p
=
=
1
2
+
1
ν
, ν =
2
m(mn− 1)
, функцiї ψ1 i ψ2 з множиниM задовольняють умови ω1(ν) <∞ та
ω2(2) <∞. Оператор аналогiчно дiє i у шкалi просторiв Соболєва, а саме, з
∏n−1
j=0
H̄q−j+γ2(Sp)
в H̄n
q (Dp), причому на вiдмiну вiд уточненої соболєвської шкали, для якої
γ1
p
=
1
2
+
1
ν
,
величина
γ2
p
не дорiвнює
1
2
+
1
ν
, а дорiвнює
1
2
+
1
ν
+ σ, де σ — довiльне додатне число.
Тобто допомiжний функцiональний показник в уточненiй соболєвськiй шкалi усталює основний
степеневий показник гладкостi розв’язку задачi (1), (2), що вiдповiдно покращує його гладкiсть.
Мiра множини (OmpR \WΨδ)×(OM \VΨε) прямує до мiри πmp+1M2R2mp множини OmpR ×OM ,
якщо ε+ δ → 0, причому квадрат норми розв’язку може зростати не швидше, нiж
const
εδm(mn−1)
.
1. Пташник Б. Й. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производ-
ными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
2. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь з частинними
похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
3. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin; Boston: De Gruyter,
2014. –xii + 297 p. (Росiйськомовна версiя доступна як arXiv:1106.3214.)
4. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
5. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.: Мир, 1965. – 380 с.
6. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
7. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
8. Mikhailets V. A., Murach A. A. Extended Sobolev scale and elliptic operators // Ukr. Math. J. – 2013. – 65, № 3. –
P. 435 – 447.
9. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – М.: Мир, 1989. – 655 с.
10. Илькив В. С., Пташник Б. Й. Задачi з нелокальними умовами для рiвнянь iз частинними похiдними. Метричний
пiдхiд до проблеми малих знаменникiв // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 12. – С. 1624 – 1650.
11. Прасолов В. В. Многочлены. – М.: МЦНМО, 2001. – 336 с.
12. Магеровська Т. В. Дослiдження гладкостi розв’язку задачi Кошi для систем рiвнянь iз частинними похiдними
за допомогою метричного пiдходу // Наук. вiсн. Чернiв. нац. ун-ту. Математика. – 2011. – 1, № 1-2. – С. 84 – 93.
13. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. – М.: Мир, 1986. – 502 с.
14. Iлькiв В. С., Страп Н. I. Нелокальна крайова задача для рiвняння з частинними похiдними у багатовимiрнiй
комплекснiй областi // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. Математика i iнформатика. – 2013. – 24, № 1. – С. 60 – 72.
Одержано 05.05.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2009 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:58Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5b/58d6aac0a778b8ac28c7abe74510d85b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20092019-12-05T09:48:42Z Solvability of the Nonlocal Boundary-Value Problem for a System of Differential-Operator Equations in the Sobolev Scale of Spaces and in a Refined Scale Розв’язність нелокальної крайової задачі для системи диференціально-операторних рівнянь у шкалі просторів Соболєва та уточненій шкалі Il'kiv, V. S. Strap, N. I. Ільків, В. С. Страп, Н. І. We study the solvability of the nonlocal boundary-value problem with one parameter for a system of differential-operator equations in the Sobolev scale of spaces of functions of many complex variables and in the scale of Hörmander spaces which form a refined Sobolev scale. By using the metric approach, we prove the theorems on lower estimates of small denominators appearing in the construction of solutions of the analyzed problem. They imply the unique solvability of the problem for almost all vectors formed by the coefficients of the equation and the parameter of nonlocal conditions. Изучена разрешимость нелокальной краевой задачи с одним параметром для системы дифференциально-операторных уравнений в шкале пространств Соболева функций многих комплексных переменных и в шкале пространств Хермандера, которые образуют уточненную шкалу Соболева. Доказаны теоремы метрического характера об оценках снизу малых знаменателей, появившихся при построении решения исследуемой задачи, из которых следуют условия ее однозначной разрешимости для почти всех векторов, составленных из коэффициентов уравнения и параметра нелокальных условий. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2009 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 5 (2015); 611-624 Український математичний журнал; Том 67 № 5 (2015); 611-624 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2009/1036 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2009/1037 Copyright (c) 2015 Il'kiv V. S.; Strap N. I. |
| spellingShingle | Il'kiv, V. S. Strap, N. I. Ільків, В. С. Страп, Н. І. Solvability of the Nonlocal Boundary-Value Problem for a System of Differential-Operator Equations in the Sobolev Scale of Spaces and in a Refined Scale |
| title | Solvability of the Nonlocal Boundary-Value Problem for a System of Differential-Operator Equations in the Sobolev Scale of Spaces and in a Refined Scale |
| title_alt | Розв’язність нелокальної крайової задачі для системи диференціально-операторних рівнянь у шкалі просторів Соболєва та уточненій шкалі |
| title_full | Solvability of the Nonlocal Boundary-Value Problem for a System of Differential-Operator Equations in the Sobolev Scale of Spaces and in a Refined Scale |
| title_fullStr | Solvability of the Nonlocal Boundary-Value Problem for a System of Differential-Operator Equations in the Sobolev Scale of Spaces and in a Refined Scale |
| title_full_unstemmed | Solvability of the Nonlocal Boundary-Value Problem for a System of Differential-Operator Equations in the Sobolev Scale of Spaces and in a Refined Scale |
| title_short | Solvability of the Nonlocal Boundary-Value Problem for a System of Differential-Operator Equations in the Sobolev Scale of Spaces and in a Refined Scale |
| title_sort | solvability of the nonlocal boundary-value problem for a system of differential-operator equations in the sobolev scale of spaces and in a refined scale |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2009 |
| work_keys_str_mv | AT il039kivvs solvabilityofthenonlocalboundaryvalueproblemforasystemofdifferentialoperatorequationsinthesobolevscaleofspacesandinarefinedscale AT strapni solvabilityofthenonlocalboundaryvalueproblemforasystemofdifferentialoperatorequationsinthesobolevscaleofspacesandinarefinedscale AT ílʹkívvs solvabilityofthenonlocalboundaryvalueproblemforasystemofdifferentialoperatorequationsinthesobolevscaleofspacesandinarefinedscale AT strapní solvabilityofthenonlocalboundaryvalueproblemforasystemofdifferentialoperatorequationsinthesobolevscaleofspacesandinarefinedscale AT il039kivvs rozvâznístʹnelokalʹnoíkrajovoízadačídlâsistemidiferencíalʹnooperatornihrívnânʹuškalíprostorívsobolêvatautočneníjškalí AT strapni rozvâznístʹnelokalʹnoíkrajovoízadačídlâsistemidiferencíalʹnooperatornihrívnânʹuškalíprostorívsobolêvatautočneníjškalí AT ílʹkívvs rozvâznístʹnelokalʹnoíkrajovoízadačídlâsistemidiferencíalʹnooperatornihrívnânʹuškalíprostorívsobolêvatautočneníjškalí AT strapní rozvâznístʹnelokalʹnoíkrajovoízadačídlâsistemidiferencíalʹnooperatornihrívnânʹuškalíprostorívsobolêvatautočneníjškalí |