A Problem with Condition Containing an Integral Term for a Parabolic-Hyperbolic Equation
In a layer obtained as the Cartesian product of an interval $[−T_1 ,T_2], T_1 ,T_2 > 0$, and a space $ℝ_p, p ≥ 1$, we study a problem with nonlocal condition in the time variable containing an integral term for a mixed parabolic-hyperbolic equation in the class of functions almost periodic in...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2011 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507920969498624 |
|---|---|
| author | Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. |
| author_facet | Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. |
| author_sort | Kuz, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:42Z |
| description | In a layer obtained as the Cartesian product of an interval $[−T_1 ,T_2], T_1 ,T_2 > 0$, and a space $ℝ_p, p ≥ 1$, we study a problem with nonlocal condition in the time variable containing an integral term for a mixed parabolic-hyperbolic equation in the class of functions almost periodic in the space variables. For this problem, we establish a criterion of uniqueness and sufficient conditions for the existence of solutions. To solve the problem of small denominators encountered in the construction of the solution, we use the metric approach. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:16:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
А. М. Кузь, Б. Й. Пташник (Iн-т прикл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ЗАДАЧА З УМОВОЮ, ЩО МIСТИТЬ IНТЕГРАЛЬНИЙ ДОДАНОК,
ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ
In a layer obtained as the Cartesian product of an interval [−T1, T2], T1, T2 > 0, and a space R
p, p > 1, we study a
problem with nonlocal condition in the time variable containing an integral term for a mixed parabolic-hyperbolic equation
in a class of functions almost periodic in space variables. For this problem, we establish a criterion of uniqueness and
sufficient conditions for the existence of the solution. To solve the problem of small denominators encountered in the
construction of the solution, we use the metric approach.
В слое, являющемся декартовым произведением отрезка [−T1, T2], T1, T2 > 0, и пространства R
p, p > 1, для
смешанного параболо-гиперболического уравнения исследована корректность задачи с нелокальным условием по
временной переменной, содержащим интегральное слагаемое, в классе почти периодических по пространственным
переменным функций. Найдены критерий единственности и достаточные условия существования в различных
функциональных пространствах решения задачи. Для решения проблемы малых знаменателей, которые возникли
при построении решения задачи, использован метрический подход.
1. Вступ. В останнi роки значна увага математикiв спрямована на дослiдження задач з iн-
тегральними умовами, якi є узагальненням дискретних нелокальних умов. Такi умови часто
виникають при моделюваннi фiзичних процесiв, коли межа областi є недоступною для прове-
дення вимiрювань або коли неможливо безпосередньо знайти певнi фiзичнi величини, однак
вiдомi їхнi усереднення.
Задачi з iнтегральними умовами за однiєю зi змiнних для гiперболiчних, параболiчних та
безтипних рiвнянь вивчалися у рiзних аспектах багатьма авторами (див. [1 – 6] та наведену там
бiблiографiю).
Однак для некласичних рiвнянь, зокрема, для рiвнянь параболо-гiперболiчного типу, та-
кi задачi дослiдженi мало. Багато процесiв газової динамiки, магнiтної гiдродинамiки, теорiї
електричних кiл тощо моделюються рiвняннями параболо-гiперболiчного типу (див., напри-
клад, [7, 8]). Задачi з нелокальними (в тому числi iнтегральними) умовами для таких рiвнянь
розглядались у багатьох роботах (див., наприклад, [9 – 13]). Такi задачi, взагалi, є умовно корект-
ними, а їх розв’язнiсть часто пов’язана з проблемою малих знаменникiв [14].
У данiй статтi розглядається задача про знаходження розв’язку мiшаного параболо-гiпербо-
лiчного рiвняння з нелокальною умовою за часовою змiнною, що мiстить iнтегральний доданок,
у класi функцiй, майже перiодичних за просторовими координатами.
2. Основнi позначення. Нехай Z+ — множина цiлих невiд’ємних чисел,
x = (x1, . . . , xp) ∈ R
p, dx = dx1 . . . dxp; ∂t = ∂/∂t, ∆ =
p∑
j=1
∂2
∂x2j
,
k = (k1, . . . , kp) ∈ Z
p, |k| = |k1|+ . . . + |kp|,
µk = (µk1 , . . . , µkp) ∈ R
p, ‖µk‖ =
√
µ2k1 + . . .+ µ2kp , (µk, x) = µk1x1 + . . .+ µkpxp,
Dp =
{
(t, x) : t ∈ (−T1, T2), x ∈ R
p
}
, T1, T2 > 0,
c© А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5 635
636 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
Dp
− = Dp ∩ {t < 0}, Dp
+ = Dp ∩ {t > 0},
mesRA — мiра Лебега в R вимiрної множини A ⊂ R, cj, j = 1, 2, . . . , — додатнi величини, що
не залежать вiд k та µk.
3. Функцiональнi простори. Позначимо
V :=
{
µn ∈ R : µ−n = −µn, d1|n|θ1 6 |µn| 6 d2|n|θ2 , n ∈ Z
}
,
0 < d1 6 d2, 0 < θ1 6 θ2;
(1)
M :=
{
µk ∈ R
p : µkj ∈ V, j ∈ {1, . . . , p}, k ∈ Z
p
}
;
W q,s
M , q ∈ R, s > 0, — простiр майже перiодичних функцiй iз заданим спектром M, отриманий
шляхом поповнення простору скiнченних сум v(x) =
∑
|k|6N
vk exp(iµk, x), N ∈ N, µk ∈ M,
за нормою [15]
∥∥v;W q,s
M
∥∥ =
(
∑
k∈Zp
|vk|2(1 + ‖µk‖)2q exp(2s‖µk‖2)
)1/2
;
Cn([c, d],W q,s
M ), n ∈ Z+, c, d ∈ R, c < d, — простiр функцiй u(t, x) =
∑
k∈Zp
uk(t) exp(iµk, x),
uk(t) ∈ Cn[c, d], µk ∈ M, таких, що для кожного фiксованого t ∈ [c, d] похiднi ∂jt u(t, x) =
=
∑
k∈Zp
u
(j)
k (t) exp(iµk, x), j ∈ {0, 1, . . . , n}, належать простору W q,s
M i є неперервними по t
на [c, d] в нормi цього простору,
∥∥u;Cn([c, d],W q,s
M )
∥∥ =
n∑
j=0
max
t∈[c,d]
∥∥∥∂jt u(t, x);W
q,s
M
∥∥∥ .
Зауважимо, що W q2,s
M ⊂W q1,s
M , q2 > q1, причому
∥∥v;W q1,s
M
∥∥ <
∥∥v;W q2,s
M
∥∥ . (2)
Iз (1) випливає, що для всiх µk ∈ M виконуються оцiнки
D1|k|θ1 6 ‖µk‖ 6 D2|k|θ2 , D1 = d1 min{1, p1−θ1}, D2 = p1/2d2 max{1, p1−θ2}. (3)
4. Постановка задачi. В областi Dp розглядаємо задачу про знаходження функцiї u :=
:= u(t, x), яка є майже перiодичною по x зi спектром M i задовольняє умови
∂tu− a∆u = 0, (t, x) ∈ Dp
+,
∂2t u− b2∆u = 0, (t, x) ∈ Dp
−,
(4)
αu(−T1, x) + βu(T2, x) + γ
T2∫
−T1
u(t, x)dt = ϕ(x), x ∈ R
p, (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗАДАЧА З УМОВОЮ, ЩО МIСТИТЬ IНТЕГРАЛЬНИЙ ДОДАНОК, ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО . . . 637
u ∈ C1([−T1, T2];W q,s
M ) ∩ C2([−T1, 0],W q,s
M ), q ∈ R, s > 0, (6)
де a > 0, b > 0, α, β, γ ∈ R, α2 + β2 + γ2 6= 0, α+ β + γ(T1 + T2) 6= 0, функцiя ϕ(x) є майже
перiодичною зi спектром M,
ϕ(x) =
∑
k∈Zp
ϕjk exp(iµk, x), ϕjk = lim
H→∞
1
Hp
∫
[0,H]p
ϕ(x) exp(−iµk, x)dx, k ∈ Z
p. (7)
5. Єдинiсть розв’язку задачi. Розв’язок задачi (4) – (6) шукатимемо у виглядi ряду
u(t, x) =
∑
k∈Zp
uk(t) exp(iµk, x), µk ∈ M. (8)
Iз означення простору C1([−T1, T2],W q,s
M ) випливає, що кожна з функцiй uk(t), k ∈ Z
p, iз (8)
належить простору C1[−T1, T2], тобто задовольняє умови спряження
uk(0− 0) = uk(0 + 0), u′k(0− 0) = u′k(0 + 0). (9)
Пiдставляючи ряди (7), (8) у рiвняння (4) та умову (5), отримуємо, що коефiцiєнти uk(t), k ∈ Z
p,
крiм умов (9), повиннi задовольняти такi умови:
u′k(t)− a‖µk‖2uk(t) = 0, 0 < t < T2,
u′′k(t)− b2‖µk‖2uk(t) = 0, −T1 < t < 0,
(10)
αuk(−T1) + βuk(T2) + γ
T2∫
−T1
uk(t)dt = ϕk. (11)
Якщо k = ~0
(
µ~0 =
~0
)
, то задача (9) – (11) має єдиний розв’язок
u~0 =
ϕ~0
α+ β + γ(T1 + T2)
. (12)
Якщо k 6= ~0
(
µk ∈ M \ {~0}
)
, то загальний розв’язок рiвняння (10) є таким:
uk(t) =
C1k exp(−a‖µk‖2t), 0 < t 6 T2,
C2k cos(b‖µk‖t) + C3k sin(b‖µk‖t), −T1 6 t < 0.
(13)
Пiдставляючи (13) в умови (9), (11), отримуємо для знаходження коефiцiєнтiв C1k, C2k, C3k
систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
C1k − C2k = 0,
a
b
‖µk‖C1k + C3k = 0, (14)
(
γ + (βa‖µk‖2 − γ) exp(−a‖µk‖2T2)
a‖µk‖2
)
C1k +
(
α cos(b‖µk‖T1) +
γ sin(b‖µk‖T1)
b‖µk‖
)
C2k+
+
(
γ(cos(b‖µk‖T1)− 1)
b‖µk‖
− α sin(b‖µk‖T1)
)
C3k = ϕk,
визначник якої зображується формулою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
638 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
∆(µk, T1, T2) =
1
ab2‖µk‖2
(
a2γ‖µk‖2 + b2
(
γ + (aβ‖µk‖2 − γ) exp(−a‖µk‖2T2)
)
+
+a
(
αb2 − aγ
)
‖µk‖2 cos(b‖µk‖T1) + ab(aα‖µk‖2 + γ)‖µk‖ sin(b‖µk‖T1)
)
, (15)
де µk ∈ M \ {~0}.
Cистема (14) має єдиний розв’язок тодi i лише тодi, коли ∆(µk, T1, T2) 6= 0, µk ∈ M \ {~0}.
Легко показати (методом вiд супротивного), що задача (9) – (11) не може мати двох рiзних
розв’язкiв для тих i лише для тих µk ∈ M \ {~0}, для яких ∆(µk, T1, T2) 6= 0.
Теорема 1. Для єдиностi розв’язку задачi (4), (5) у шкалi просторiв C1([−T1, T2];W q,s
M ) ∩
∩ C2([−T1, 0],W q,s
M ) необхiдно i достатньо, щоб виконувалась умова
∆(µk, T1, T2) 6= 0 ∀µk ∈ M \ {~0}. (16)
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 1 iз [3] з урахуванням (12).
6. Iснування розв’язку задачi. За умови (16) для кожного µk ∈ M \ {~0} розв’язок задачi
(9) – (11) визначається формулою
uk(t) =
ϕk exp(−a‖µk‖2t)
∆(µk, T1, T2)
, 0 6 t 6 T2,
ϕk
(
cos(b‖µk‖t)−
a
b
‖µk‖ sin(b‖µk‖t)
)
∆(µk, T1, T2)
, −T1 6 t 6 0.
(17)
Враховуючи (12), отримуємо, що формальний розв’язок задачi (4) – (6) зображується рядом
u(t, x) =
ϕ~0
α+ β + γ(T1 + T2)
+
∑
k∈Zp\{~0}
uk(t) exp(iµk, x), (18)
де uk(t), k ∈ Z
p \ {~0}, визначено формулами (17).
Ряд (18), взагалi, є розбiжним, оскiльки вираз |∆(µk, T1, T2)|, будучи вiдмiнним вiд нуля,
може набувати як завгодно малих значень для нескiнченної кiлькостi векторiв µk ∈ M.
Теорема 2. Нехай виконується умова (16) та iснують сталi η, ν ∈ R такi, що для всiх
(крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈ M виконується оцiнка
|∆(µk, T1, T2)| > (1 + ‖µk‖)−η exp(−ν‖µk‖2). (19)
Якщо ϕ(x) ∈ W q+η+3,s+ν
M , то iснує єдиний розв’язок задачi (4) – (6). Цей розв’язок зображу-
ється рядом (18), причому
max{‖u;C1([−T1, T2];W q,s
M )‖, ‖u;C2([−T1, 0];W q,s
M )‖} 6 3c1‖ϕ;W q+η+3,s+ν
M ‖,
де c1 = max
{
1, b, b2, a, ab, a/b, |α + β + γ(T1 + T2)|−1
}
.
Доведення. З (12), (17) та (19) випливають такi оцiнки:
max
t∈[−T1,T2]
∣∣∣u(j)k (t)
∣∣∣ 6 c1(1 + ‖µk‖)η+2j exp(ν‖µk‖2)|ϕk|, j ∈ {0, 1}, (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗАДАЧА З УМОВОЮ, ЩО МIСТИТЬ IНТЕГРАЛЬНИЙ ДОДАНОК, ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО . . . 639
max
t∈[−T1,0]
∣∣∣u(j)k (t)
∣∣∣ 6 c1(1 + ‖µk‖)η+j+1 exp(ν‖µk‖2)|ϕk|, j ∈ {0, 1, 2}. (21)
На пiдставi (18), (20) отримуємо
∥∥u;C1([−T1, T2];W q,s
M )
∥∥ 6 c1
1∑
j=0
(
∑
k∈Zp
max
t∈[−T1,T2]
|u(j)k (t)|2(1 + ‖µk‖)2q exp(2s‖µk‖2)
)1/2
6
6 2c1
(
∑
k∈Zp
|ϕk|2(1 + ‖µk‖)2q+2η+4 exp(2(s + ν)‖µk‖2)
)1/2
= 2c1
∥∥ϕ;W q+η+2,s+ν
M
∥∥. (22)
Аналогiчно, на пiдставi (18), (21) одержуємо оцiнку
∥∥u;C2([−T1, 0];W q,s
M )‖ 6 3c1‖ϕ;W q+η+3,s+ν
M
∥∥. (23)
З оцiнок (2), (22) та (23) випливає оцiнка
max
{
‖u;C1([−T1, T2];W q,s
M )‖, ‖u;C2([−T1, 0];W q,s
M )‖
}
6 3c1
∥∥ϕ;W q+η+3,s+ν
M
∥∥.
Отримана нерiвнiсть завершує доведення теореми.
З’ясуємо можливiсть виконання нерiвностi (19).
Теорема 3. Нехай в умовi (5) α = 0 i γ 6= 0. Тодi для довiльних фiксованих a, b, T1, T2, β
та для довiльного m ∈ R, m > 2, нерiвнiсть
|∆(µk, T1, T2)| >
|γ|(m− 2)
2ma
(1 + ‖µk‖)−2
виконується для всiх векторiв µk ∈ M таких, що ‖µk‖2 > K(m), де
K(m) = max
{
1,
2m (1 + |aβ/γ|)
a2T 2
2
}
.
Доведення. Формула (15) при α = 0 набирає вигляду
∆(µk, T1, T2) =
γ
ab2‖µk‖2
(
∆1(µk, T1) + ∆2(µk, T2)
)
, µk ∈ M \ {~0}, (24)
де
∆1(µk, T1) = a2‖µk‖2 (1− cos(b‖µk‖T1)) + ab‖µk‖ sin(b‖µk‖T1), (25)
∆2(µk, T2) = b2
(
1 +
aβγ−1‖µk‖2 − 1
exp(a‖µk‖2T2)
)
. (26)
Виконавши елементарнi перетворення, вираз (25) запишемо у такiй формi:
∆1(µk, T1) = a2‖µk‖2 + a‖µk‖
√
b2 + a2‖µk‖2 sin(b‖µk‖T1 − ψk), (27)
де ψk = arctan
(
ab−1‖µk‖
)
, µk ∈ M \ {~0}. Очевидно, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
640 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
∆1(µk, T1) > a2‖µk‖2 − a‖µk‖
√
b2 + a2‖µk‖2 = a2‖µk‖2
(
1−
√
1 +
b2
a2‖µk‖2
)
=
= −b2
(
1 +
√
1 +
b2
a2‖µk‖2
)−1
> −b
2
2
. (28)
Оцiнимо тепер ∆2(µk, T2). На пiдставi очевидної нерiвностi
exp(a‖µk‖2T2) >
(a‖µk‖2T2)2
2
,
яка виконується для довiльних a > 0, T2 > 0, µk ∈ M \ {~0}, отримуємо, що для всiх ‖µk‖2 >
> K(m) виконується оцiнка
∣∣∣∣
aβγ−1‖µk‖2 − 1
exp(a‖µk‖2T2)
∣∣∣∣ 6 2
∣∣∣∣
aβγ−1‖µk‖2 − 1
a2T 2
2 ‖µk‖4
∣∣∣∣ 6
2
a2T 2
2 ‖µk‖2
∣∣∣∣
∣∣aβγ−1
∣∣+ 1
‖µk‖2
∣∣∣∣ 6
6
2(1 + |aβ/γ|)
a2T 2
2 ‖µk‖2
6
2(1 + |aβ/γ|)
a2T 2
2K(m)
6
1
m
. (29)
З (26) та (29) випливає, що для всiх µk ∈ M таких, що ‖µk‖2 > K(m), справджується нерiвнiсть
∆2(µk, T2) = b2
(
1 +
aβγ−1‖µk‖2 − 1
exp(a‖µk‖2T2)
)
> b2
(
1− 1
m
)
=
m− 1
m
b2. (30)
На пiдставi (28) i (30) отримуємо, що для всiх µk ∈ M таких, що ‖µk‖2 > K(m), m > 2,
виконується нерiвнiсть ∆1(µk, T1) + ∆2(µk, T2) >
m− 2
2m
b2 i з урахуванням (24)
|∆(µk, T1, T2)| >
m− 2
2ma
|γ|
‖µk‖2
>
|γ|(m− 2)
2ma
(1 + ‖µk‖)−2.
Теорему 3 доведено.
Зауваження 1. Теорема 3 дає сильнiшу (не метричну) оцiнку знизу визначника
∆(µk, T1, T2), нiж теорема 3 iз [13], де розглядалася задача (4), (5) при α = β = 0 у класi
2π-перiодичних за просторовими змiнними функцiй i вважалося, що розв’язнiсть задачi пов’я-
зана з проблемою малих знаменникiв.
Зауваження 2. Якщо в (5) α = γ = 0, то визначник ∆(µk, T1, T2) := ∆̃(µk, T2) зображу-
ється формулою
∆̃(µk, T2) = β exp(−a‖µk‖2T2),
з якої випливає, що для довiльних фiксованих a, b, T2 та β 6= 0 оцiнка (19) справджується для
всiх µk ∈ M \ {~0} при η = 0 i ν = aT2.
Зауваження 3. З теореми 3 та зауваження 2 випливає, що при α = 0 розв’язнiсть зада-
чi (4) – (6) не пов’язана з проблемою малих знаменникiв.
Теорема 4. Нехай α 6= 0. Тодi для майже всiх (щодо мiри Лебега в R) чисел
T1 > 0 та для довiльних фiксованих a, b, β, γ, T2 оцiнка (19) справджується для всiх (крiм
скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈ M, якщо ν = 0 та η > p/θ1 − 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗАДАЧА З УМОВОЮ, ЩО МIСТИТЬ IНТЕГРАЛЬНИЙ ДОДАНОК, ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО . . . 641
Доведення. Формулу (15) можна записати у такому виглядi:
∆(µk, T1, T2) =
A(µk) sin(b‖µk‖T1 + ψk) +B(µk, T2)
ab2‖µk‖2
, (31)
де
A(µk) = a‖µk‖
√
a2b2α2‖µk‖4 + (b4α2 + a2γ2) ‖µk‖2 + b2γ2, (32)
B(µk, T2) = a2γ‖µk‖2 + b2
(
γ + (aβ‖µk‖2 − γ) exp(−a‖µk‖2T2)
)
, (33)
ψk = arctan
(αb2 − aγ)‖µk‖
abα‖µk‖2 + γb
.
Зафiксуємо a, b, β, γ, T2 та α 6= 0. Позначимо через E множину тих чисел T1 з деякого
iнтервалу (0, T0], T0 > 0, для яких нерiвнiсть
|∆(µk, T1, T2)| 6 ‖µk‖1−p/θ1−ε, ε > 0, (34)
виконується для нескiнченної кiлькостi векторiв µk ∈ M\{~0}. Через M1 позначимо множину
векторiв µk ∈ M таких, що ‖µk‖ 6 K1, K1 = max{1,K2,K
θ1/p
2 }, де
K2 =
2(ab2(|β|+ 1) + |γ|(a2 + 2b2))
a2b|α| .
З (3) випливає, що до множини M1 належать усi вектори µk, k ∈ Z
p, для яких
|k| < (K1/D2)
1/θ2 . Очевидно, що множина M1 складається зi скiнченної кiлькостi елементiв.
Нехай E(µ̃k) — множина тих T1 ∈ (0, T0], для яких виконується оцiнка (34) при фiксова-
ному µk = µ̃k ∈ M \ M1 (k = k̃). З (31) випливає, що нерiвнiсть (34) еквiвалентна системi
нерiвностей
F1(µ̃k) 6 sin
(
b‖µ̃k‖T1 + ψk̃
)
6 F2(µ̃k), (35)
де
F1(µ̃k) =
−ab2‖µ̃k‖3−p/θ1−ε −B(µ̃k, T2)
A(µ̃k)
, F2(µ̃k) =
ab2‖µ̃k‖3−p/θ1−ε −B(µ̃k, T2)
A(µ̃k)
. (36)
З (32), (33) випливають оцiнки
A(µ̃k) > c2‖µ̃k‖3, |B(µ̃k, T2)| < c3‖µ̃k‖2, (37)
де c2 = a2b|α|, c3 = (a2 + 2b2)|γ| + b2a|β|. На пiдставi (36), (37) отримуємо, що виконуються
нерiвностi F1(µ̃k) < F2(µ̃k) та
|Fj(µ̃k)| 6
ab2‖µ̃k‖3−p/θ1−ε + c3‖µ̃k‖2
c2‖µ̃k‖3
<
ab2 + c3
c2
max{‖µ̃k‖−p/θ1−ε, ‖µ̃k‖−1} 6
6
ab2 + c3
c2
max{K−p/θ1−ε
1 ,K−1
1 } =
K2
2
max{K−p/θ1−ε
1 ,K−1
1 }, j = 1, 2. (38)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
642 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
Якщо K2 6 1, то K1 = 1 i, вiдповiдно, K2 max{K−p/θ1−ε
1 ,K−1
1 } 6 1. Якщо K2 > 1, то, з
одного боку, K1 > K2, а тому K−1
1 6 K−1
2 , а з iншого — K1 > K
θ1/p
2 , а тому K
−p/θ1−ε
1 6
6 K
1+εθ1/p
2 6 K−1
2 . Отже, K2 max{K−p/θ1−ε
1 ,K−1
1 } 6 1 при K2 > 1. З викладеного вище та
(38) випливають оцiнки
|Fj(µ̃k)| 6
1
2
, j = 1, 2. (39)
Розв’язок системи нерiвностей (35) вiдносно T1 є об’єднанням iнтервалiв
[
arcsinF1(µ̃k)− ψk̃ + 2πn
b‖µk‖
,
arcsinF2(µ̃k)− ψk̃ + 2πn
b‖µ̃k‖
]
,
[
π − arcsinF2(µ̃k)− ψk̃ + 2πn
b‖µ̃k‖
,
π − arcsinF1(µ̃k)− ψk̃ + 2πn
b‖µ̃k‖
]
, n ∈ Z.
(40)
Оскiльки функцiя sin(b‖µ̃k‖T1 + ψk̃) є перiодичною по T1 з перiодом 2π/(b‖µ̃k‖), то кiлькiсть
усiх iнтервалiв (40), що потрапляють в iнтервал (0, T0], не перевищує (2+bT0/π)‖µ̃k‖. Довжина
кожного з iнтервалiв (40)
Lk̃ =
arcsinF2(µ̃k)− arcsinF1(µ̃k)
b‖µ̃k‖
. (41)
На пiдставi (41) i теореми Лагранжа про скiнченнi прирости отримуємо
Lk̃ =
F2(µ̃k)− F1(µ̃k)
b‖µ̃k‖
√
1− (ξ(µ̃k))2
, ξ(µ̃k) ∈ [F1(µ̃k), F2(µ̃k)]. (42)
З (39) випливає, що |ξ(µ̃k)| 6 1/2 i, вiдповiдно, справджується оцiнка
√
1− (ξ(µ̃k))2 >
√
3
2
. (43)
На пiдставi (36), (37), (42) та (43) отримуємо
Lk̃ 6
2√
3
F2(µ̃k)− F1(µ̃k)
b‖µ̃k‖
6
4ab√
3
‖µ̃k‖3−p/θ1−ε
‖µ̃k‖A(µ̃k)
6
4ab√
3c2
‖µ̃k‖−1−p/θ1−ε. (44)
З (3) та (44) випливає, що для мiри множини E(µ̃k) виконується оцiнка
mesRE(µ̃k) 6
(
bT0
π
+ 2
)
‖µ̃k‖Lk̃ 6
4ab√
3c2
(
bT0
π
+ 2
)
‖µ̃k‖−p/θ1−ε
6 c4|k̃|−p−θ1ε, (45)
де c4 = 4ab(bT0 + 2π)/(
√
3πc2D
p/θ1+ε
1 ). Пiдсумовуючи (45) по всiх µk ∈ M \M1, отримуємо
∑
‖µk‖>K1
mesRE(µk) 6
∑
|k|>(K1/D1)1/θ1
c4|k|−p−θ1ε. (46)
Оскiльки ряд
∑
|k|>(K1/D1)1/θ1
c4|k|−p−θ1ε є збiжним, то з (46) i леми Бореля – Кантеллi [14]
(§ 3) випливає, що мiра тих T1 ∈ (0, T0], якi потрапляють у нескiнченну кiлькiсть множин
E(µk), µk ∈ M \M1, дорiвнює нулевi, тобто mesRE = 0. Отже, для майже всiх (щодо мiри
Лебега в R) точок T1 ∈ (0, T0] нерiвнiсть, протилежна до нерiвностi (34), виконується для всiх
(крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈ M. Враховуючи, що iнтервал (0,∞) можна покрити
злiченною кiлькiстю промiжкiв вигляду [0, T0], завершуємо доведення теореми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ЗАДАЧА З УМОВОЮ, ЩО МIСТИТЬ IНТЕГРАЛЬНИЙ ДОДАНОК, ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГIПЕРБОЛIЧНОГО . . . 643
Теорема 5. Нехай справджується (16). Якщо виконуються умови теореми 3 i ϕ(x) ∈
∈ W q+5,0
M (виконуються умови теореми 4 i ϕ(x) ∈ W
q+2+p/θ1,0
M ), то iснує (для майже всiх
щодо мiри Лебега в R точок T1 > 0) єдиний розв’язок задачi (4), (5) у шкалi просторiв
C1([−T1, T2];W q,0
M ) ∩ C2([−T1, 0],W q,0
M ). Цей розв’язок зображується рядом (18), причому
max
{
‖u;C1([−T1, T2];W q,0
M )‖, ‖u;C2([−T1, 0];W q,0
M )‖
}
6
6 c5‖ϕ;W q+5,0
M ‖
(
6 c5‖ϕ;W q+2+p/θ1,0
M ‖
)
,
де c5 = 3c1 max{1,ma|γ|−1(m− 2)−1}, m > 2.
Теорема 6. Якщо в (5) α = γ = 0, a ϕ(x) ∈ W q+3,s+aT2
M , то iснує єдиний розв’язок
задачi (4), (5) у шкалi просторiв C1
(
[−T1, T2];W q,s
M
)
∩C2
(
[−T1, 0],W q,s
M
)
. Цей розв’язок зобра-
жується рядом (18), причому
max
{
‖u;C1([−T1, T2];W q,s
M )‖, ‖u;C2([−T1, 0];W q,s
M )‖
}
6
3c1
|β| ‖ϕ;W
q+3,s+aT2
M ‖.
Доведення теорем 5 та 6 проводиться за схемою доведення теореми 2 з урахуванням тео-
рем 3, 4 та зауваження 2.
7. Висновки. У данiй роботi у (p + 1)-вимiрному шарi для параболо-гiперболiчного рiв-
няння дослiджено коректнiсть задачi з нелокальною умовою за часовою змiнною, що мiстить
iнтегральний доданок, у класi майже перiодичних за просторовими змiнними функцiй. Знайде-
но критерiй єдиностi та достатнi умови iснування розв’язку задачi. Для розв’язання проблеми
малих знаменникiв, якi виникли при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiд-
хiд. Показано, що у деяких частинних випадках (зокрема, у випадку iнтегральної умови) у
розглядуванiй задачi вiдсутня проблема малих знаменникiв.
Результати роботи можна поширити на випадок рiвнянь вигляду
P1 (∂t, ∂x)u = 0, (t, x) ∈ Dp
+,
P2
(
∂2t , ∂x
)
u = 0, (t, x) ∈ Dp
−,
де P1 (∂t, ∂x) та P2
(
∂2t , ∂x
)
— параболiчний та гiперболiчний за Петровським, вiдповiдно,
диференцiальнi вирази зi сталими коефiцiєнтами високого порядку.
1. Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On integral nonlocal boundary value problems for some partial differential
equations // Bull. Georg. Nat. Acad. Sci. – 2011. – 5, № 1. – P. 31 – 37.
2. Данилкина О. Ю. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения // Вестн. Самар. гос. ун-та. –
2007. – № 6(56). – С. 141 – 153.
3. Кузь А. М., Пташник Б. Й. Задача з iнтегральними умовами за часом для рiвнянь, гiперболiчних за Гордiнгом
// Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 2. – С. 252 – 265.
4. Кузь А. М. Задача з iнтегральними умовами за часом для факторизованого параболiчного оператора зi змiнними
коефiцiєнтами // Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2012. – № 740. – С. 25 – 33.
5. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Диффе-
ренц. уравнения. – 2004. – 40, № 7. – С. 887 – 892.
6. Симотюк М. М., Медвiдь О. М. Задача з iнтегральними умовами для лiнiйних рiвнянь iз частинними похiдними
зi сталими коефiцiєнтами // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2003. – 46, № 4. – С. 98 – 107.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
644 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
7. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. – 1959. –
14, № 3. — С. 3 – 19.
8. Золина Л. А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // Журн. вычислит.
математики и мат. физики. – 1966. – 6, № 6. – C. 991 – 1001.
9. Капустян В. О., Пишнограєв I. О. Умови iснування i єдиностi розв’язку параболо-гiперболiчного рiвняння з
нелокальними крайовими умовами // Наук. вiстi НТУ „КПI”. – 2012. – № 4. – С. 72 – 76.
10. Сабитов К. Б. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным
условием // Дифференц. уравнения. – 2010. – 46, № 10. – С. 1472 – 1481.
11. Sabitov K. B. Nonlocal problem for a parabolic-hyperbolic equation in a rectangular domain // Math. Notes. – 2011. –
89, № 4. – P. 562 – 567.
12. Юнусова Г. Р. Нелокальные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Вестн.
Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. – 2011. – № 8(89). – C. 108 – 117.
13. Савка I. Я., Симотюк М. М. Задача спряження з iнтегральною умовою для мiшаного рiвняння параболо-
гiперболiчного типу // Одинадцята вiдкрита наукова конференцiя IМФН „PSC-IMFS-11” (Львiв, 13 – 14 червня
2013 р.): Збiрник матерiалiв та програма конференцiї. – Львiв: Вид-во Львiв. полiтехнiки, 2013. – С. 84 – 85.
14. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В.М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними
похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
15. Шубин М. А. Почти-периодические функции и дифференциальные операторы с частными производными //
Успехи мат. наук. – 1978. – 33, № 2. – C. 3 – 47.
Одержано 20.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2011 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:16:59Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/02/20788d748eb5bde18120b6d50fee6602.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20112019-12-05T09:48:42Z A Problem with Condition Containing an Integral Term for a Parabolic-Hyperbolic Equation Задача з умовою, що містить інтегральний доданок, для параболо-гіперболiчного рівняння Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. In a layer obtained as the Cartesian product of an interval $[−T_1 ,T_2], T_1 ,T_2 > 0$, and a space $ℝ_p, p ≥ 1$, we study a problem with nonlocal condition in the time variable containing an integral term for a mixed parabolic-hyperbolic equation in the class of functions almost periodic in the space variables. For this problem, we establish a criterion of uniqueness and sufficient conditions for the existence of solutions. To solve the problem of small denominators encountered in the construction of the solution, we use the metric approach. В слое, являющемся декартовым произведением отрезка $[−T_1 ,T_2], T_1 ,T_2 > 0$,, и пространства $ℝ_p, p ≥ 1$, для смешанного параболо-гиперболического уравнения исследована корректность задачи с нелокальным условием по временной переменной, содержащим интегральное слагаемое, в классе почти периодических по пространственным переменным функций. Найдены критерий единственности и достаточные условия существования в различных функциональных пространствах решения задачи. Для решения проблемы малых знаменателей, которые возникли при построении решения задачи, использован метрический подход. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2011 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 5 (2015); 635-644 Український математичний журнал; Том 67 № 5 (2015); 635-644 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2011/1040 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2011/1041 Copyright (c) 2015 Kuz A. M.; Ptashnik B. I. |
| spellingShingle | Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. A Problem with Condition Containing an Integral Term for a Parabolic-Hyperbolic Equation |
| title | A Problem with Condition Containing an Integral Term for a Parabolic-Hyperbolic Equation |
| title_alt | Задача з умовою, що містить інтегральний доданок, для параболо-гіперболiчного рівняння |
| title_full | A Problem with Condition Containing an Integral Term for a Parabolic-Hyperbolic Equation |
| title_fullStr | A Problem with Condition Containing an Integral Term for a Parabolic-Hyperbolic Equation |
| title_full_unstemmed | A Problem with Condition Containing an Integral Term for a Parabolic-Hyperbolic Equation |
| title_short | A Problem with Condition Containing an Integral Term for a Parabolic-Hyperbolic Equation |
| title_sort | problem with condition containing an integral term for a parabolic-hyperbolic equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2011 |
| work_keys_str_mv | AT kuzam aproblemwithconditioncontaininganintegraltermforaparabolichyperbolicequation AT ptashnikbi aproblemwithconditioncontaininganintegraltermforaparabolichyperbolicequation AT kuzʹam aproblemwithconditioncontaininganintegraltermforaparabolichyperbolicequation AT ptašnikbj aproblemwithconditioncontaininganintegraltermforaparabolichyperbolicequation AT kuzam zadačazumovoûŝomístitʹíntegralʹnijdodanokdlâparabologíperboličnogorívnânnâ AT ptashnikbi zadačazumovoûŝomístitʹíntegralʹnijdodanokdlâparabologíperboličnogorívnânnâ AT kuzʹam zadačazumovoûŝomístitʹíntegralʹnijdodanokdlâparabologíperboličnogorívnânnâ AT ptašnikbj zadačazumovoûŝomístitʹíntegralʹnijdodanokdlâparabologíperboličnogorívnânnâ AT kuzam problemwithconditioncontaininganintegraltermforaparabolichyperbolicequation AT ptashnikbi problemwithconditioncontaininganintegraltermforaparabolichyperbolicequation AT kuzʹam problemwithconditioncontaininganintegraltermforaparabolichyperbolicequation AT ptašnikbj problemwithconditioncontaininganintegraltermforaparabolichyperbolicequation |