Mixed Problems for the Two-Dimensional Heat-Conduction Equation in Anisotropic Hörmander Spaces
For some anisotropic inner-product Hörmander spaces, we prove the theorems on well-posedness of initial-boundary-value problems for the two-dimensional heat-conduction equation with Dirichlet or Neumann boundary conditions. The regularity of the functions from these spaces is characterized by a coup...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2012 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507922783535104 |
|---|---|
| author | Los’, V. M. Лось, В. М. |
| author_facet | Los’, V. M. Лось, В. М. |
| author_sort | Los’, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:42Z |
| description | For some anisotropic inner-product Hörmander spaces, we prove the theorems on well-posedness of initial-boundary-value problems for the two-dimensional heat-conduction equation with Dirichlet or Neumann boundary conditions. The regularity of the functions from these spaces is characterized by a couple of numerical parameters and a function parameter regularly varying at infinity in Karamata’s sense and characterizing the regularity of functions more precisely than in the Sobolev scale. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
В. М. Лось (Нац. техн. ун-т України „КПI”; Чернiгiв. нац. технол. ун-т)
МIШАНI ЗАДАЧI ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI
В АНIЗОТРОПНИХ ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА
For some anisotropic inner product Hor̈mander spaces, we prove theorems on the well-posedness of initial-boundary value
problems for the two-dimensional heat equation with Dirichlet or Neumann boundary conditions. The regularity of the
functions which form these spaces is characterized by a couple of numerical parameters and a function parameter. The latter
regularly varies at infinity in Karamata’s sense and characterizes the regularity of functions more precisely than the Sobolev
scale.
Для некоторых анизотропных пространств Хермандера установлены теоремы о корректной разрешимости начально-
краевых задач для двумерного уравнения теплопроводности с краевыми условиями Дирихле и Неймана. Регуляр-
ность функций, образующих эти пространства, характеризуется парой числовых параметров и функциональным
параметром, медленно меняющимся на бесконечности по Карамата. Последний, по сравнению с соболевской шка-
лой, позволяет более тонко охарактеризовать регулярность функций.
1. Вступ. Загальнi параболiчнi початково-крайовi задачi достатньо повно дослiджено у кла-
сичних шкалах функцiональних просторiв Гельдера – Зигмунда та Соболєва [1 – 7]. Отримано
теореми про їх коректну розв’язнiсть у вiдповiдних парах просторiв, що належать цим шкалам.
В останнiй час важливi застосування у теорiї диференцiальних рiвнянь iз частинними по-
хiдними знайшли функцiональнi простори узагальненої гладкостi [8 – 17]. На вiдмiну вiд кла-
сичних просторiв для просторiв узагальненої гладкостi показником регулярностi належних до
них функцiй є не числовий, а функцiональний параметр, залежний вiд частотних змiнних. Це
дозволяє бiльш тонко охарактеризувати регулярнiсть функцiй, виходячи з поведiнки на нескiн-
ченностi їх перетворення Фур’є.
В. А. Михайлець i О. О. Мурач [11 – 16] побудували теорiю розв’язностi загальних елiп-
тичних рiвнянь i елiптичних крайових задач у гiльбертових шкалах просторiв Hs,ϕ := Hµ,
для яких показником регулярностi є функцiя вигляду µ(ξ) := (1 + |ξ|2)s/2ϕ((1 + |ξ|2)1/2).
Тут числовий параметр s є дiйсним, а функцiональний параметр ϕ — повiльно змiнним на
нескiнченностi за Й. Караматою. Для загальної вагової функцiї µ цей простiр був введений i
дослiджений Л. Хермандером [18], а також Л. Р. Волевичем, Б. П. Панеяхом [19].
У роботах [20, 21] доведено теореми про коректну розв’язнiсть та локальне пiдвищення
гладкостi розв’язкiв початково-крайової задачi у прямокутнику для лiнiйного параболiчного
рiвняння довiльного парного порядку з однорiдними початковими умовами (даними Кошi) в
анiзотропних просторах Хермандера Hs,s/(2b),ϕ, де параметри s i ϕ є такими ж, як i в згаданiй
елiптичнiй теорiї.
Метою даної роботи є встановлення теорем про коректну розв’язнiсть початково-крайових
задач для двовимiрного рiвняння теплопровiдностi з граничними умовами Дiрiхле та Неймана
без припущення однорiдностi початкових умов.
Подiбнi результати для загальної лiнiйної початково-крайової параболiчної задачi з неодно-
рiдними початковими умовами в анiзотропних просторах Хермандера анонсовано у [22].
c© В. М. ЛОСЬ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5 645
646 В. М. ЛОСЬ
2. Постановка задачi. Простори Хермандера. Нехай Ω := (0, l)×(0, τ), де l i τ — довiльнi
додатнi числа, S0 = {(0, t) : 0 < t < τ} i S1 = {(l, t) : 0 < t < τ} — бiчнi сторони, аG = {(x, 0) :
0 < x < l}— основа прямокутника Ω. Розглянемо в Ω для рiвняння теплопровiдностi початково-
крайовi задачi Дiрiхле та Неймана:
Au ≡ u′t(x, t)− u′′xx(x, t) = f(x, t) в Ω, (1)
u(x, t)
∣∣
S0
= g0(t) i u(x, t)
∣∣
S1
= g1(t) при 0 < t < τ (2)
або
u′x(x, t)
∣∣
S0
= g0(t) i u′x(x, t)
∣∣
S1
= g1(t) при 0 < t < τ, (3)
u(x, t)
∣∣
G
= h(x) при 0 < x < l. (4)
Задачi (1), (2), (4) та (1), (3), (4) будемо дослiджувати у шкалах гiльбертових функцi-
ональних просторiв Hµ := B2,µ, що були введенi незалежно Л. Хермандером [18] (п. 2.2) та
Л. Р. Волевичем, Б. П. Панеяхом [19] (§ 2, 3). Показником регулярностi функцiй (або розподiлiв),
що утворюють простiр Hµ(Rk), де цiле k ≥ 1, є вимiрна за Борелем функцiя µ : Rk → (0,∞),
яка задовольняє таку умову: iснують такi додатнi числа c та l, що µ(ξ)/µ(η) ≤ c (1 + |ξ − η|)l
для будь-яких ξ, η ∈ Rk.
За означенням лiнiйний простiр Hµ(Rk) складається з усiх повiльно зростаючих розподiлiв
w ∈ S ′(Rk), перетворення Фур’є ŵ яких є локально iнтегровними за Лебегом функцiями, що
задовольняють умову
‖w‖2Hµ(Rk) :=
∫
Rk
µ2(ξ)|ŵ(ξ)|2dξ <∞.
(У роботi всi розподiли/функцiї вважаються комплекснозначними.) Цей простiр є гiльбертовим
вiдносно скалярного добутку, що визначає норму ‖w‖Hµ(Rk). Простори Hµ займають важливе
мiсце серед просторiв узагальненої гладкостi [23, 24].
Нам знадобиться версiя простору Hµ(Rk) для довiльної вiдкритої множини V 6= ∅. Лi-
нiйний простiр Hµ(V ) складається, за означеннням, iз звужень u = w � V всiх розподiлiв
w ∈ Hµ(Rk) на множину V. У цьому просторi задано норму за формулою
‖u‖Hµ(V ) := inf
{
‖w‖Hµ(Rk) : w ∈ Hµ(Rk), u = w �V
}
.
Простiр Hµ(V ) є гiльбертовим.
Для зручностi позначень у п. 2 приймемо γ := 1/2. Будемо використовувати показники
регулярностi вигляду
µ(ξ, η) =
(
1 + |ξ|2 + |η|2γ
)s/2
ϕ
(
(1 + |ξ|2 + |η|2γ)1/2
)
, (5)
де ξ, η ∈ R — аргументи функцiї µ. Тут числовий параметр s є дiйсним, а функцiональний
параметр ϕ пробiгає клас M. Останнiй складається з усiх вимiрних за Борелем функцiй ϕ :
[1,∞)→ (0,∞), якi задовольняють двi умови:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
МIШАНI ЗАДАЧI ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 647
а) обидвi функцiї ϕ та 1/ϕ обмеженi на кожному вiдрiзку [1, b], де 1 < b <∞;
б) функцiя ϕ повiльно змiнюється за Й. Караматою на нескiнченностi, а саме, ϕ(λr)/ϕ(r)→
→ 1 при r →∞ для кожного λ > 0.
Теорiю повiльно змiнних функцiй (на нескiнченностi) викладено, наприклад, у монографiї
[30]. Їх важливим прикладом є функцiї вигляду
ϕ(r) := (log r)θ1 (log log r)θ2 . . .
(
log . . . log︸ ︷︷ ︸
k разiв
r
)θk
при r � 1,
де параметри k ∈ N та θ1, θ2, . . . , θk ∈ R є довiльними.
Нехай s ∈ R i ϕ ∈ M. Розв’язки u початково-крайових задач (1), (2), (4) та (1), (3), (4)
i правi частини f рiвняння (1) будемо розглядати у гiльбертових функцiональних просторах
Hs,sγ,ϕ(Ω) := Hµ(Ω), де показник µ визначено формулою (5).
Якщо ϕ(r) ≡ 1, тоHs,sγ,ϕ(Ω) стає анiзотропним гiльбертовим простором Соболєва порядку
(s, sγ); позначимо його через Hs,sγ(Ω). Тут s — показник регулярностi розподiлу u = u(x, t)
по просторовiй змiннiй x ∈ (0, l), а sγ — показник регулярностi по часовiй змiннiй t ∈ (0, τ).
В загальному випадку, коли ϕ ∈M є довiльною, мають мiсце неперервнi та щiльнi вкладення
Hs1,s1γ(Ω) ↪→ Hs,sγ,ϕ(Ω) ↪→ Hs0,s0γ(Ω) при s0 < s < s1, (6)
якi випливають iз властивостей просторiв Hµ(V ) [19] (теорема 7.4).
Розглянемо клас гiльбертових функцiональних просторiв{
Hs,sγ,ϕ(Ω) : s ∈ R, ϕ ∈M
}
. (7)
Вкладення (6) показують, що у (7) функцiональний параметр ϕ визначає додаткову гладкiсть
по вiдношенню до основної анiзотропної (s, sγ)-гладкостi. Якщо ϕ(r) → ∞ (або ϕ(r) → 0)
при r → ∞, то ϕ визначає позитивну (або негативну) додаткову гладкiсть. Iншими словами,
ϕ уточнює основну гладкiсть (s, sγ). Тому природно називати клас просторiв (7) уточненою
анiзотропною соболєвською шкалою на Ω (коротко — уточненою шкалою). Тут γ вiдiграє роль
параметра анiзотропiї просторiв, що утворюють цю шкалу.
Означимо простори, до яких належатимуть правi частини g0, g1 i h крайових та початкових
умов розглядуваних задач. Це гiльбертовi просториHs,ϕ(a, b) := Hµ(a, b) з показником µ(ξ) :=
:= (1+ |ξ|2)s/2ϕ((1+ |ξ|2)1/2) аргументу ξ ∈ R. Тут (a, b) — довiльний iнтервал дiйсної осi R. Їх
систематично використовували В. А. Михайлець та О. О. Мурач у теорiї елiптичних крайових
задач [15, 16].
Якщо ϕ ≡ 1, то означенi вище простори стають соболєвськими просторами (анiзотропними
на Ω або iзотропними на (a, b)). У цьому випадку будемо нехтувати iндексом ϕ у позначеннях
просторiв.
3. Основнi результати. Сформулюємо основнi результати роботи. Це теореми про iзомор-
фiзми, породженi задачами (1), (2), (4) та (1), (3), (4) у визначених вище просторах Хермандера.
Iншими словами, це теореми про коректну розв’язнiсть розглядуваних задач.
Пов’яжемо iз задачею (1), (2), (4) лiнiйне вiдображення
u 7→ ΛDu : (Au, u�S0
, u�S1
, u�G), u ∈ C∞(Ω). (8)
Тут S0 = {(0, t) : 0 ≤ t ≤ τ}, S1 = {(l, t) : 0 ≤ t ≤ τ} i G = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ l}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
648 В. М. ЛОСЬ
Теорема 1. Нехай довiльно задано параметри: число s > 2 i функцiю ϕ ∈M. Припустимо,
що s 6= 2r + 3/2 для всiх натуральних r. Тодi вiдображення (8) продовжується єдиним чином
(за неперервнiстю) до iзоморфiзму
ΛD : Hs,s/2,ϕ(Ω)↔ Qs−2,(s−2)/2,ϕ
D , (9)
де Qs−2,(s−2)/2,ϕ
D — пiдпростiр простору
Hs−2,(s−2)/2,ϕ
D := Hs−2,(s−2)/2,ϕ(Ω)⊕
(
Hs/2−1/4,ϕ(0, τ)
)2 ⊕Hs−1,ϕ(0, l),
утворений усiма векторами
F :=
(
f, g0, g1, h
)
∈ Hs−2,(s−2)/2,ϕ
D ,
якi задовольняють умови (11) узгодження правих частин задачi (1), (2), (4).
Рiвняння (1) та початкова умова (4) дозволяють виразити слiди(
u
(k)
t
)
�G ∈ Hs−1−2k,ϕ(0, l) (для всiх цiлих 0 ≤ k < s/2− 1/2)
шуканого розв’язку u ∈ Hs,s/2,ϕ(Ω) через правi частини f ∈ Hs−2,(s−2)/2,ϕ(Ω) та h ∈
∈ Hs−1,ϕ(0, l):
u
(0)
t (x, 0) = u(x, 0) = h(x), u
(k)
t (x, 0) = (u
(k−1)
t (x, 0))′′xx + f
(k−1)
t (x, 0). (10)
За формулами (10) можна обчислити u
(k)
t (0, 0) та u
(k)
t (l, 0) для всiх k ∈ {0, 1, . . . , [s/2 −
− 3/4]}. Позначимо u
(k)
t (0, 0) := c0,k(f, h) i u(k)
t (l, 0) := c1,k(f, h). Для iснування розв’язку
u ∈ Hs,s/2,ϕ(Ω) розглядуваної задачi природним є виконання таких умов:
g
(k)
j (0) = cj,k(f, h) для всiх j ∈ {0, 1} та k ∈ {0, 1, . . . , [s/2− 3/4]}. (11)
Перейдемо до розгляду задачi (1), (3), (4). Пов’яжемо з нею лiнiйне вiдображення
u 7→ ΛNu : (Au, u′x �S0
, u′x �S1
, u�G), u ∈ C∞(Ω). (12)
Теорема 2. Нехай довiльно задано параметри: число s > 2 i функцiю ϕ ∈M. Припустимо,
що s 6= 2r+ 1/2 для всiх натуральних r. Тодi вiдображення (12) продовжується єдиним чином
(за неперервнiстю) до iзоморфiзму
ΛN : Hs,s/2,ϕ(Ω)↔ Qs−2,(s−2)/2,ϕ
N , (13)
де Qs−2,(s−2)/2,ϕ
N — пiдпростiр простору
Hs−2,(s−2)/2,ϕ
N := Hs−2,(s−2)/2,ϕ(Ω)⊕
(
Hs/2−3/4,ϕ(0, τ)
)2 ⊕Hs−1,ϕ(0, l),
утворений усiма векторами
F :=
(
f, g0, g1, h
)
∈ Hs−2,(s−2)/2,ϕ
N ,
якi задовольняють умови (14) узгодження правих частин задачi (1), (3), (4), що є подiбними
до (11):
g
(k)
j (0) = c1
j,k(f, h) для всiх j ∈ {0, 1} та k ∈ {0, 1, . . . , [s/2− 5/4]}, (14)
c1
0,k(f, h) = (u
(k)
t (x, 0))′x
∣∣
x=0
i c1
1,k(f, h) = (u
(k)
t (x, 0))′x
∣∣
x=l
обчислено з використанням (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
МIШАНI ЗАДАЧI ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 649
Зауважимо, що при s ∈ (2; 5/2) задача Неймана не має умов узгодження i Qs−2,(s−2)/2,ϕ
N =
= Hs−2,(s−2)/2,ϕ
N .
У соболєвському випадку ϕ ≡ 1 теореми 1 та 2 є вiдомими. Вони є окремими випадками
теореми, доведеної Лiонсом та Мадженесом [3] (теорема 6.2) для лiнiйного параболiчного
оператора в Ω порядку 2m, m ∈ N, по змiннiй x i першого порядку по змiннiй t з нормальними
граничними умовами у припущеннi s+ 1/2 /∈ Z i s/(2m) + 1/2 /∈ Z (їхнiй результат охоплює i
граничний випадок s = 2). Подiбну теорему для загальних лiнiйних 2b-параболiчних початково-
крайових задач у анiзотропних просторах Соболєва було встановлено М. С. Аграновичем та
М. I. Вiшиком [1] (теорема 12.1) у припущеннi s/(2b) ∈ N. Це припущення можна зняти, що
випливає з результату М. В. Житарашу [4] (теорема 9.1).
Як видно з викладеного вище, при дослiдженнi розглядуваних задач для отримання достат-
ньо гладкого розв’язку необхiдним є виконання природних умов узгодження (11) (або (14))
компонент вектора правих частин F = (f, g0, g1, h). З результату Солоннiкова [26] (теорема
17) випливає, що при означеннi просторiв Qs−2,(s−2)/(2),ϕ
D та Qs−2,(s−2)/(2),ϕ
N вказаним вище
способом порушуються висновки теорем 1 i 2 для s = 2r+3/2 та s = 2r+1/2 вiдповiдно. Таким
чином, для кожної з задач iснує своя множина вилучених значень параметра s, i складається
вона лише з тих значень s, при переходi через якi змiнюється кiлькiсть умов узгодження
правих частин. Виявляється, можна поширити дiю теорем 1 i 2 на вилученi значення s =
= 2r + 3/2 та s = 2r + 1/2 вiдповiдно. Наприклад, якщо для цих s означити гiльбертовi
простори Qs−2,(s−2)/(2),ϕ
D та Qs−2,(s−2)/(2),ϕ
N за допомогою iнтерполяцiї
Qs−2,(s−2)/2,ϕ
D :=
[
Qs−2−ε,(s−2−ε)/2,ϕ
D ,Qs−2+ε,(s−2+ε)/2,ϕ
D
]
1/2
при s = 2r + 3/2,
Qs−2,(s−2)/2,ϕ
N :=
[
Qs−2−ε,(s−2−ε)/2,ϕ
N ,Qs−2+ε,(s−2+ε)/2,ϕ
N
]
1/2
при s = 2r + 1/2.
Тут число ε ∈ (0, 1/2), а правi частини рiвностей є результатом iнтерполяцiї вказаних пар
гiльбертових просторiв iз числовим параметром 1/2. Зазначимо, що означенi таким способом
простори не залежать вiд вибору числа ε.
4. Iнтерполяцiя з функцiональним параметром. Нагадаємо означення iнтерполяцiї з
функцiональним параметром у випадку загальних гiльбертових просторiв та обговоримо iнтер-
поляцiйнi властивостi, якi будуть використанi у наступному пунктi. При цьому будемо дотри-
муватися результатiв монографiї [15] (п. 1.1) (див. також [17] (п. 2)). Обмежимось розглядом
випадку сепарабельних комплексних гiльбертових просторiв.
Нехай X := [X0, X1] — впорядкована пара сепарабельних комплексних гiльбертових про-
сторiв, для яких має мiсце неперервне i щiльне вкладення X1 ↪→ X0. Таку пару називають
допустимою. Для неї iснує iзометричний iзоморфiзм J : X1 ↔ X0 такий, що оператор J є
самоспряженим додатно визначеним оператором в X0 з областю визначення X1. Оператор J
визначається парою X однозначно i називається породжуючим оператором для X.
Нехай ψ ∈ B. Тут через B позначено множину всiх вимiрних за Борелем функцiй ψ :
(0,∞)→ (0,∞), для яких ψ є обмеженою на кожному вiдрiзку [a, b], 0 < a < b <∞, а 1/ψ —
на кожному променi [a,∞), a > 0.
Розглянемо оператор ψ(J). Вiн є додатно визначеним оператором в X0 як борелiвська
функцiя ψ вiд J. Позначимо через [X0, X1]ψ (або скорочено Xψ) область визначення оператора
ψ(J), надiлену скалярним добутком
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
650 В. М. ЛОСЬ
(u1, u2)Xψ := (ψ(J)u1, ψ(J)u2)X0 .
Вiн породжує норму ‖u‖Xψ := ‖ψ(J)u‖X0 . Простiр Xψ є сепарабельним гiльбертовим.
Функцiю ψ ∈ B назвемо iнтерполяцiйним параметром, якщо для всiх допустимих пар
X = [X0, X1] та Y = [Y0, Y1] гiльбертових просторiв i для довiльного лiнiйного вiдображення
T, заданого наX0, справджується наступне: якщо звуження вiдображення T наXj є обмеженим
оператором T : Xj → Yj для кожного j ∈ {0, 1}, то звуження вiдображення T на Xψ також є
обмеженим оператором T : Xψ → Yψ.
Якщо ψ — iнтерполяцiйний параметр, то будемо казати, що гiльбертовий простiр Xψ отри-
мано в результатi iнтерполяцiї з функцiональним параметром ψ пари X = [X0, X1]. У цьому
випадку маємо щiльнi та неперервнi вкладення X1 ↪→ Xψ ↪→ X0.
Вiдомо, що функцiя ψ ∈ B є iнтерполяцiйним параметром тодi i тiльки тодi, коли ψ є
псевдовгнутою в околi ∞, тобто коли iснує вгнута додатна функцiя ψ1(r) при r � 1 така, що
обидвi функцiї ψ/ψ1 та ψ1/ψ є обмеженими в деякому околi∞. Цей критерiй випливає з опису
Ж. Петре класу всiх iнтерполяцiйних функцiй для вагових просторiв типу Lp(Rn) (див. [27],
теорема 5.4.4). Вiдповiдне доведення є в [15] (п. 1.1.9).
Для нас важливим є наслiдок з цього критерiю [15] (теорема 1.11).
Твердження 1. Припустимо, що функцiя ψ ∈ B є правильно змiнною на нескiнченностi
функцiєю порядку θ, де 0 < θ < 1, тобто
lim
r→∞
ψ(λr)
ψ(r)
= λθ для кожного λ > 0.
Тодi ψ є iнтерполяцiйним параметром.
У випадку степеневих функцiй це твердження приводить нас до класичного результату
Ж.-Л. Лiонса та С. Г. Крейна, який полягає в тому, що функцiя ψ(r) ≡ rθ є iнтерполяцiйним
параметром при 0 < θ < 1. Тут показник θ розглядається як числовий параметр iнтерполяцiї.
У кiнцi цього пункту сформулюємо двi властивостi iнтерполяцiї, якi будуть використанi у
подальших доведеннях. Перша з них дозволяє звести iнтерполяцiю пiдпросторiв або фактор-
просторiв до iнтерполяцiї вихiдних просторiв (див. [15] (п. 1.1.6) та [28] (п. 1.17)). Зазначимо,
що пiдпростори припускаються замкненими, i розглядаємо взагалi неортогональнi проектори
на пiдпростори.
Твердження 2. Нехай X = [X0, X1] є допустимою парою гiльбертових просторiв, а Y0
— пiдпростiр в X0. Тодi Y1 := X1 ∩ Y0 є пiдпростором в X1. Припустимо, що iснує лiнiйне
вiдображення P : X0 → X0, яке для кожного j ∈ {0, 1} є проектором простору Xj на його
пiдпростiр Yj . Тодi пари [Y0, Y1] та [X0/Y0, X1/Y1] є допустимими i справджуються рiвностi
[Y0, Y1]ψ = Xψ ∩ Y0,
[X0/Y0, X1/Y1]ψ = Xψ/(Xψ ∩ Y0)
з еквiвалентнiстю норм. Тут ψ ∈ B — довiльний iнтерполяцiйний параметр.
Друга властивiсть дозволяє звести iнтерполяцiю прямих сум гiльбертових просторiв до
iнтерполяцiї їхнiх доданкiв.
Твердження 3. Нехай [X
(j)
0 , X
(j)
1 ], де j = 1, . . . , p, є скiнченним набором допустимих пар
гiльбертових просторiв. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
МIШАНI ЗАДАЧI ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 651[ p⊕
j=1
X
(j)
0 ,
p⊕
j=1
X
(j)
1
]
ψ
=
p⊕
j=1
[
X
(j)
0 , X
(j)
1
]
ψ
з еквiвалентнiстю норм. Тут ψ ∈ B — довiльний iнтерполяцiйний параметр.
5. Доведення результатiв. Виявляється, що простори Соболєва тiсно пов’язанi з просто-
рами уточненої шкали: останнi можна одержати в результатi iнтерполяцiї з вiдповiдним функ-
цiональним параметром вiдповiдної пари гiльбертових просторiв Соболєва. Спочатку наведемо
цi факти. Потiм, скориставшись ними, виведемо теореми 1 i 2 з вищезгаданого результату
Лiонса – Мадженеса.
В цьому пунктi вважаємо, що
s, s0, s1 ∈ R, 0 ≤ s0 < s < s1, γ = 1/2 та ϕ ∈M. (15)
Розглянемо функцiю
ψ(r) :=
r(s−s0)/(s1−s0) ϕ(r1/(s1−s0)) для r ≥ 1,
ϕ(1) для 0 < r < 1.
(16)
Ця функцiя за твердженням 1 є iнтерполяцiйним параметром, оскiльки вона є правильно змiн-
ною функцiєю на нескiнченностi порядку θ := (s − s0)/(s1 − s0) з 0 < θ < 1. Далi будемо
iнтерполювати пари соболєвських просторiв iз функцiональним параметром ψ.
Iнтерполяцiю iзотропних соболєвських просторiв та їх зв’язок з уточненою iзотропною
шкалою детально вивчено в роботах В. А. Михайлеця та О. О. Мурача [15, 16]. Нам буде
потрiбна рiвнiсть [15] (теорема 3.2)
Hs,ϕ(a, b) =
[
Hs0(a, b), Hs1(a, b)
]
ψ
, (17)
що має мiсце з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Подiбна iнтерполяцiйна формула виконується i для просторiв Hs,sγ,ϕ(Ω). Встановимо її.
Лема 1. У припущеннi (15) маємо
Hs,sγ,ϕ(Ω) =
[
Hs0,s0γ(Ω), Hs1,s1γ(Ω)
]
ψ
(18)
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Доведення. Формулу (18) виведемо з базової рiвностi [20] (лема 5.1)
Hs,sγ,ϕ(R2) =
[
Hs0,s0γ(R2), Hs1,s1γ(R2)
]
ψ
, (19)
яка має мiсце з рiвнiстю норм. Зауважимо, що (19) безпосередньо перевiряється на пiдставi
означення iнтерполяцiї.
З (6) випливає, що пара просторiв у правiй частинi формулi (18) є допустимою. Розглянемо
оператор RΩ звуження розподiлу u ∈ D′(R2) в область Ω. Маємо лiнiйнi обмеженi сюр’єктивнi
оператори
RΩ : Hs0,s0γ(R2)→ Hs0,s0γ(Ω), RΩ : Hs1,s1γ(R2)→ Hs1,s1γ(Ω), (20)
RΩ : Hs,sγ,ϕ(R2)→ Hs,sγ,ϕ(Ω). (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
652 В. М. ЛОСЬ
Застосувавши iнтерполяцiю з параметром ψ у формулi (20), отримаємо обмежений оператор
RΩ :
[
Hs0,s0γ(R2), Hs1,s1γ(R2)
]
ψ
→ [Hs0,s0γ(Ω), Hs1,s1γ(Ω)]ψ .
Це в сукупностi з рiвнiстю (19) дає обмежений оператор
RΩ : Hs,sγ,ϕ(R2)→ [Hs0,s0γ(Ω), Hs1,s1γ(Ω)]ψ .
Звiдси, оскiльки оператор (21) сюр’єктивний, маємо
Hs,sγ,ϕ(Ω) ⊆ [Hs0,s0γ(Ω), Hs1,s1γ(Ω)]ψ . (22)
Доведемо тепер обернене включення та його неперервнiсть.
Iснує лiнiйний обмежений оператор продовження (див. [29], п. 9.6) TΩ : L2(Ω) → L2(R2),
звуження якого на Hσ,σγ(Ω) визначає обмежений оператор
TΩ : Hσ,σγ(Ω)→ Hσ,σγ(R2)
для довiльних натуральних σ i σγ. Виходячи з цього, припустимо додатково, що всi s0, s1, s0γ
та s1γ є цiлими невiд’ємними числами. Розглянемо оператори TΩ з σ = s0 та σ = s1. Оскiльки
ψ є iнтерполяцiйним параметром, то з цього випливає обмеженiсть оператора
TΩ : [Hs0,s0γ(Ω), Hs1,s1γ(Ω)]ψ →
[
Hs0,s0γ(R2), Hs1,s1γ(R2)
]
ψ
.
Звiдси, враховуючи (19), маємо лiнiйний обмежений оператор
TΩ : [Hs0,s0γ(Ω), Hs1,s1γ(Ω)]ψ → Hs,sγ,ϕ(R2). (23)
Добуток обмежених операторiв (21) та (23) дає обмежений тотожний оператор
I = RΩTΩ : [Hs0,s0γ(Ω), Hs1,s1γ(Ω)]ψ → Hs,sγ,ϕ(Ω).
Таким чином, поряд з включенням (22) має мiсце обернене до нього неперервне вкладення.
Отже, справедлива рiвнiсть просторiв (18). А за теоремою Банаха про обернений оператор
норми в цих просторах еквiвалентнi. Таким чином, лему доведено з додатковим припущенням,
що всi s0, s1, s0γ та s1γ є цiлими невiд’ємними числами. Для зняття цього обмеження поширимо
дiю оператора TΩ на простори Hσ,σγ(Ω) з довiльним дiйсним 0 ≤ σ ≤ p, де довiльне p > 0.
Нехай число k ∈ N таке, що k ≥ p i kγ ∈ N. Розглянемо оператори TΩ з σ = 0 та σ = k.
Оскiльки ψ є iнтерполяцiйним параметром, то з цього випливає обмеженiсть оператора
TΩ :
[
L2(Ω), Hk,kγ(Ω)
]
ψ
→
[
L2(R2), Hk,kγ(R2)
]
ψ
. (24)
Покладемо у рiвностях (18) та (19) ϕ = 1, s0 = 0, s1 = k. Тодi з них та з (24) маємо для
довiльних дiйсних σ ∈ (0, k) лiнiйний обмежений оператор
TΩ : Hσ,σγ(Ω)→ Hσ,σγ(R2). (25)
Повторюючи доведення включення, оберненого до (22), i використовуючи при цьому оператор
(25) для p ≥ s1, завершуємо доведення леми.
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
МIШАНI ЗАДАЧI ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 653
У формулах (10), (11) та (14) фiгурують слiди розподiлiв iз просторiвHs,sγ,ϕ(Ω) таHs,ϕ(a, b)
та їх узагальнених похiдних. Обґрунтуємо iснування цих слiдiв.
Нехай задано дiйсне число s > 1/2, ϕ ∈ M i x0 — довiльна точка вiдрiзка [a, b]. Тодi для
довiльного w ∈ Hs,ϕ(a, b) визначено w(x0) ∈ C. Цей факт випливає з наступних мiркувань.
Для довiльних параметрiв s ∈ R, ε > 0 i ϕ ∈ M має мiсце компактне i щiльне вкладення [15]
(теорема 3.3)
Hs,ϕ(a, b) ↪→ Hs−ε(a, b). (26)
При s > 1/2, вибравши ε > 0 так, щоб s − ε > 1/2, з вкладень (26) та Hs−ε(a, b) ⊂ C[a, b]
отримаємо, що всi функцiї з простору Hs,ϕ(a, b) є неперервними на [a, b].
Нехай задано натуральне число k. Тодi [15] (теорема 4.1) для довiльних дiйсного числа
s > k i ϕ ∈M розподiл w ∈ Hs,ϕ(a, b) має узагальнену похiдну w(k) ∈ Hs−k,ϕ(a, b).
Наступна лема показує iснування необхiдних слiдiв на основi G функцiй з анiзотропного
простору Hs,sγ,ϕ(Ω).
Лема 2. Нехай задано довiльне цiле число k ≥ 0. Для довiльних дiйсного s > 2k + 1 i
ϕ ∈M лiнiйне вiдображення
v 7→ v
(k)
t �G, v ∈ C∞(Ω) (27)
продовжується по неперервностi до обмеженого оператора
R
(k)
G : Hs,sγ,ϕ(Ω)→ Hs−2k−1,ϕ(0, l).
Доведення. У випадку ϕ ≡ 1 (простори Соболєва) тверждення леми є вiдомим [25] (теорема
7). Звiдси загальний випадок ϕ ∈ M виведемо за допомогою iнтерполяцiї. Виберемо s0 так,
щоб 2k + 1 < s0 < s. Маємо лiнiйнi обмеженi оператори
R
(k)
G : Hsj ,sjγ(Ω)→ Hsj−2k−1(0, l) для всiх j ∈ {0, 1}.
Застосувавши тут iнтерполяцiю з функцiональним параметром ψ, отримаємо обмежений опе-
ратор
R
(k)
G :
[
Hs0,s0γ(Ω), Hs1,s1γ(Ω)
]
ψ
→
[
Hs0−2k−1(0, l), Hs1−2k−1(0, l)
]
ψ
. (28)
Оператор (28) буде розширенням по неперервностi вiдображення (27), оскiльки множина
C∞(Ω) є щiльною в областi визначення (28). Iз (28) i рiвностей (17) та (18) випливає твер-
дження леми.
Лему доведено.
Встановимо подiбнi до (17) та (18) iнтерполяцiйнi формули для просторiв Qs−2,(s−2)/2,ϕ
D i
Qs−2,(s−2)/2,ϕ
N , до яких належать правi частини розглядуваних задач.
Як видно з викладеного вище, теореми 1 та 2 мають мiсце не для всiх значень s > 2.
Для кожної з задач введемо в розгляд iнтервали, на якi розбивають промiнь (2,∞) вилученi
значення s:
D0 = (2, 7/2), Dr = (2r + 3/2, 2r + 7/2) для всiх r ∈ N,
N0 = (2, 5/2), Nr = (2r + 1/2, 2r + 5/2) для всiх r ∈ N.
Наступну лему i теореми 1, 2 будемо доводити у припущеннi, що s належить одному з введених
iнтервалiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
654 В. М. ЛОСЬ
Лема 3. Нехай задано довiльнi r ∈ N i ϕ ∈M. У припущеннi s0 < s < s1 справджуються
рiвностi
Qs−2,(s−2)/2,ϕ
D =
[
Qs0−2,(s0−2)/2
D ,Qs1−2,(s1−2)/2
D
]
ψ
при s0, s, s1 ∈ Dr−1 (29)
та
Qs−2,(s−2)/2,ϕ
N =
[
Qs0−2,(s0−2)/2
N ,Qs1−2,(s1−2)/2
N
]
ψ
при s0, s, s1 ∈ Nr−1 (30)
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Доведення. Iдея доведення формул (29) та (30) полягає у використаннi твердження 2. До-
ведемо спочатку формулу (29).
Iнтерполяцiйна формула
Hs−2,(s−2)/2,ϕ
D =
[
Hs0−2,(s0−2)/2
D ,Hs1−2,(s1−2)/2
D
]
ψ
(31)
випливає з твердження 3 та формул (17), (18):[
Hs0−2,(s0−2)/2
D ,Hs1−2,(s1−2)/2
D
]
ψ
=
=
[
Hs0−2,(s0−2)/2(Ω)⊕
(
Hs0/2−1/4(0, τ)
)2 ⊕Hs0−1(0, l),
Hs1−2,(s1−2)/2(Ω)⊕
(
Hs1/2−1/4(0, τ)
)2 ⊕Hs1−1(0, l)
]
ψ
=
=
[
Hs0−2,(s0−2)/2(Ω), Hs1−2,(s1−2)/2(Ω)
]
ψ
⊕
([
Hs0/2−1/4(0, τ), Hs1/2−1/4(0, τ)
]
ψ
)2⊕
⊕
[
Hs0−1(0, l), Hs1−1(0, l)
]
ψ
=
= Hs−2,(s−2)/2,ϕ(Ω)⊕
(
Hs/2−1/4,ϕ(0, τ)
)2 ⊕Hs−1,ϕ(0, l) = Hs−2,(s−2)/2,ϕ
D . (32)
Побудуємо лiнiйний оператор P (r), який для довiльного σ ∈ Dr−1 буде проектором просто-
ру Hσ−2,(σ−2)/2
D на його пiдпростiр Qσ−2,(σ−2)/2
D .
Нехай задано набiр комплексних чисел {z0, z1, . . . , zr−1} i дiйсне число t0 ∈ [a, b]. Розгля-
немо вiдображення
{z0, z1, . . . , zr−1} 7→ w(t) =
r−1∑
k=0
zk(t− t0)k
k!
, (33)
яке визначає лiнiйний обмежений оператор продовження
T
(r)
t0
: Cr → Hs,ϕ(a, b) (34)
для довiльних s ∈ R та ϕ ∈M. Обмеженiсть T (r)
t0
легко перевiряється:
||T (r)
t0
(z0, z1, . . . , zr−1)||2Hs,ϕ(a,b) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
МIШАНI ЗАДАЧI ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 655
=
∥∥∥∥r−1∑
k=0
zk(t− t0)k
k!
∥∥∥∥2
Hs,ϕ(a,b)
≤
r−1∑
k=0
|zk|2
||(t− t0)k||2Hs,ϕ(a,b)
(k!)2
≤ c
r−1∑
k=0
|zk|2.
З побудови T (r)
t0
випливає, що для w = T
(r)
t0
(z0, z1, . . . , zr−1) виконується w(k)(t0) = zk для всiх
k ∈ {0, . . . , r − 1}.
Розглянемо вiдображення P (r) : (f, g0, g1, h) 7→ (f, g∗0, g
∗
1, h) з (f, g0, g1, h) ∈ Hσ−2,(σ−2)/2
D .
Тут
g∗j = gj + T
(r)
0
(
cj,0(f, h)− g(0)
j (0), . . . , cj,r−1(f, h)− g(r−1)
j (0)
)
для всiх j ∈ {0, 1}. (35)
Зауважимо, що для довiльного σ ∈ Dr−1 виконується r − 1 = [σ/2− 3/4]. Оператор P (r) буде
шуканим проектором. Вiн є лiнiйним обмеженим оператором на Hσ−2,(σ−2)/2
D . З його побудови
випливає, що P (r)(f, g0, g1, h) ∈ Qσ−2,(σ−2)/2
D для довiльного (f, g0, g1, h) ∈ Hσ−2,(σ−2)/2
D . Бiльш
того, якщо (f, g0, g1, h) ∈ Qσ−2,(σ−2)/2
D , то P (r)(f, g0, g1, h) = (f, g0, g1, h). Дiйсно, в цьому
випадку виконуються умови (11). З них та (35) випливає, що g∗0 = g0 i g∗1 = g1.
Оскiльки проектор P (r) задано, ми можемо використати твердження 2 та формулу (31) i
записати[
Qs0−2,(s0−2)/2
D ,Qs1−2,(s1−2)/2
D
]
ψ
=
[
Hs0−2,(s0−2)/2
D ,Hs1−2,(s1−2)/2
D
]
ψ
∩Qs0−2,(s0−2)/2
D =
= Hs−2,(s−2)/2,ϕ
D ∩Qs0−2,(s0−2)/2
D = Qs−2,(s−2)/2,ϕ
D .
Рiвнiсть (30) доводиться за тiєю ж схемою, що i (29), з вiдповiдними замiнами просторiв
HD та QD на простори HN та QN, iнтервалу Dr−1 на Nr−1, сталих cj,k(f, h) на c1
j,k(f, h).
Лему доведенo.
Перейдемо до доведення основних результатiв.
Доведення теореми 1. Нехай s ∈ Dr−1 для деякого r ∈ N. Виберемо такi числа s0, s1 ∈
∈ Dr−1,що s0 < s < s1. Завдяки згаданiй вище теоремi Лiонса – Мадженеса маємо iзоморфiзми
у просторах Соболєва
ΛD : Hsj ,sj/2(Ω)↔ Qsj−2,(sj−2)/2
D для кожного j ∈ {0, 1}. (36)
Застосувавши iнтерполяцiю з функцiональним параметром ψ до (36), отримаємо ще один iзо-
морфiзм
ΛD :
[
Hs0,s0/2(Ω), Hs1,s1/2(Ω)
]
ψ
↔ [Qs0−2,(s0−2)/2
D ,Qs1−2,(s1−2)/2
D ]ψ. (37)
Цей iзоморфiзм є розширенням по неперервностi вiдображення (8), оскiльки множина C∞(Ω)
є щiльною в областi визначення (37). Застосувавши у (37) iнтерполяцiйнi формули (29) та (31),
отримаємо (9).
Теорему доведено.
Як i у випадку з рiвнiстю (30), теорема 2 доводиться за тiєю ж схемою, що i теорема 1.
1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида //
Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 3. – С. 53 – 161.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
656 В. М. ЛОСЬ
2. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
3. Lions J.-L., Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems and applications. – Berlin: Springer, 1972. –
Vol. II. – xi + 242 p.
4. Житарашу Н. В. Теоремы о полном наборе изоморфизмов в L2-теории обобщенных решений граничных задач
для одного параболического по И. Г. Петровскому уравнения // Мат. сб. – 1985. – 128(170), № 4. – С. 451 – 473.
5. Житарашу Н. В., Эйдельман С. Д. Параболические граничные задачи. – Кишинев: Штиинца, 1992. – 328 с.
6. Eidel’man S. D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63. Partial Different. Equat., VI. – Berlin: Springer,
1994. – P. 205 – 316.
7. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – Киев: Вища шк., 1990. – 200 с.
8. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.– Berlin: Wiley-VCH, 2000. – 348 p.
9. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii+425 p.
10. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces. – Basel: Birkhäuser, 2010. – xi + 306 p.
11. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
12. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
13. Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale of spaces on a closed manifold. // Ukr. Math.
J. – 2007. – 59, № 6. – P. 874 – 893.
14. Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces // Ukr. Math.
J. – 2008. – 60, № 4. – P. 574 – 597.
15. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hor̈mander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin: De Gruyter, 2014. –
xii + 297 p.
16. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
17. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
18. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p. (Рус. перевод: Хермандер Л.
Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.: Мир, 1965. – 380 с.)
19. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат.
наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
20. Los V., Murach A. A. Parabolic problems and interpolation with a function parameter // Meth. Funct. Anal. and Top. –
2013. – 19, № 2. – P. 146 – 160.
21. Лось В. М., Мурач О. О. Про гладкiсть розв’язкiв параболiчних мiшаних задач // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2013. – 10, № 2. – С. 219 – 234.
22. Лось В. Н., Мурач А. А. Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости // Доп.
НАН України. – 2014. – № 6. – С. 23 – 31.
23. Лизоркин П. И. Пространства обобщенной гладкости // Х. Трибель. Теория функциональных пространств. –
М.: Мир, 1986. – С. 381 – 415.
24. Farkas W., Leopold H.-G. Characterisations of function spaces of generalized smoothness // Ann. mat. pura ed appl. –
2006. – 185, № 1. – P. 1 – 62.
25. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для диф-
ференциальных уравнений в частных производных // Учен. зап. Ленинград. гос. пед. ин-та. – 1958. – 197. –
С. 54 – 112.
26. Солонников В. А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа // Труды Мат. ин-та
СССР. – 1964. – 70. – С. 133 – 212.
27. Bergh J., Löfström J. Interpolation spaces // Grundlehren мath. Wiss. – Berlin: Springer, 1976. – Bd 223.
28. Triebel H. Interpolation theory, function spaces, differential operators. – 2nd ed. – Heidelberg: Johann Ambrosius
Barth, 1995.
29. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. – М.:
Наука, 1975. –480 c.
30. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
Одержано 14.10.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2012 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:01Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0b/642ea3ed968586a015f44af40470240b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20122019-12-05T09:48:42Z Mixed Problems for the Two-Dimensional Heat-Conduction Equation in Anisotropic Hörmander Spaces Мішані задачі для двовимірного рівняння теплопровідності в анізотропних просторах Хермандера Los’, V. M. Лось, В. М. For some anisotropic inner-product Hörmander spaces, we prove the theorems on well-posedness of initial-boundary-value problems for the two-dimensional heat-conduction equation with Dirichlet or Neumann boundary conditions. The regularity of the functions from these spaces is characterized by a couple of numerical parameters and a function parameter regularly varying at infinity in Karamata’s sense and characterizing the regularity of functions more precisely than in the Sobolev scale. Для некоторых анизотропных пространств Хермандера установлены теоремы о корректной разрешимости начально-краевых задач для двумерного уравнения теплопроводности с краевыми условиями Дирихле и Неймана. Регулярность функций, образующих эти пространства, характеризуется парой числовых параметров и функциональным параметром, медленно меняющимся на бесконечности по Карамата. Последний, по сравнению с соболевской шкалой, позволяет более тонко охарактеризовать регулярность функций. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2012 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 5 (2015); 645-656 Український математичний журнал; Том 67 № 5 (2015); 645-656 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2012/1042 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2012/1043 Copyright (c) 2015 Los’ V. M. |
| spellingShingle | Los’, V. M. Лось, В. М. Mixed Problems for the Two-Dimensional Heat-Conduction Equation in Anisotropic Hörmander Spaces |
| title | Mixed Problems for the Two-Dimensional Heat-Conduction Equation in Anisotropic Hörmander Spaces |
| title_alt | Мішані задачі для двовимірного рівняння теплопровідності в анізотропних просторах Хермандера |
| title_full | Mixed Problems for the Two-Dimensional Heat-Conduction Equation in Anisotropic Hörmander Spaces |
| title_fullStr | Mixed Problems for the Two-Dimensional Heat-Conduction Equation in Anisotropic Hörmander Spaces |
| title_full_unstemmed | Mixed Problems for the Two-Dimensional Heat-Conduction Equation in Anisotropic Hörmander Spaces |
| title_short | Mixed Problems for the Two-Dimensional Heat-Conduction Equation in Anisotropic Hörmander Spaces |
| title_sort | mixed problems for the two-dimensional heat-conduction equation in anisotropic hörmander spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2012 |
| work_keys_str_mv | AT losvm mixedproblemsforthetwodimensionalheatconductionequationinanisotropichormanderspaces AT losʹvm mixedproblemsforthetwodimensionalheatconductionequationinanisotropichormanderspaces AT losvm míšanízadačídlâdvovimírnogorívnânnâteploprovídnostívanízotropnihprostorahhermandera AT losʹvm míšanízadačídlâdvovimírnogorívnânnâteploprovídnostívanízotropnihprostorahhermandera |