Paley Effect for Entire Dirichlet Series
For the entire Dirichlet series $f(z) = ∑_{n = 0}${∞$ a_n e^{zλn}$, we establish necessary and sufficient conditions on the coefficients $a_n$ and exponents $λ_n$ under which the function $f$ has the Paley effect, i.e., the condition $$\underset{r\to +\infty }{ \lim \sup}\frac{ \ln {M}_f(r)}{T_f(r)}...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2018 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507928791875584 |
|---|---|
| author | Hlova, T. Ya. Filevych, P. V. Глова, Т. Я. Філевич, П. В. |
| author_facet | Hlova, T. Ya. Filevych, P. V. Глова, Т. Я. Філевич, П. В. |
| author_sort | Hlova, T. Ya. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:59Z |
| description | For the entire Dirichlet series $f(z) = ∑_{n = 0}${∞$ a_n e^{zλn}$, we establish necessary and sufficient conditions on the coefficients $a_n$ and exponents $λ_n$ under which the function $f$ has the Paley effect, i.e., the condition
$$\underset{r\to +\infty }{ \lim \sup}\frac{ \ln {M}_f(r)}{T_f(r)}=+\infty$$
is satisfied, where $M_f (r)$ and $T_f (r)$ are the maximum modulus and the Nevanlinna characteristic of the function $f$, respectively. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
Т. Я. Глова (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв),
П. В. Фiлевич (Прикарпат. нац. ун-т iм. В. Стефаника, Iвано-Франкiвськ)
ЕФЕКТ ПЕЛI ДЛЯ ЦIЛИХ РЯДIВ ДIРIХЛЕ
For the entire Dirichlet series f(z) =
∑∞
n=0
ane
zλn , we establish necessary and sufficient conditions on the coefficients
an and indices λn under which the function f has Paley’s effect, i.e., the condition limr→+∞
lnMf (r)
Tf (r)
= +∞ is satisfied,
where Mf (r) and Tf (r) are the maximum modulus and the Nevanlinna characteristic of the function f , respectively.
Для целого ряда Дирихле f(z) =
∑∞
n=0
ane
zλn установлены необходимые и достаточные условия на коэф-
фициенты an и показатели λn, при которых функция f имеет эффект Пейли, т. е. выполняется соотношение
limr→+∞
lnMf (r)
Tf (r)
= +∞, где Mf (r) и Tf (r) — соответственно максимум модуля и характеристика Неванлинны
функции f.
Вступ. Нехай Ω — клас опуклих на R функцiй Φ таких, що
Φ(x)
x
→ +∞, якщо x → +∞.
Для довiльної трансцендентної цiлої функцiї f її максимум модуля, характеристику Неван-
лiнни i порядок визначимо вiдповiдно за рiвностями
Mf (r) = max{|f(z)| : |z| = r},
Tf (r) =
1
2π
π
∫
−π
ln+ |f(reiθ)|dθ,
ρf = lim
r→+∞
ln lnMf (r)
ln r
,
де ln+ x = lnmax{x, 1}. Зрозумiло, що Tf (r) ≤ lnMf (r) для всiх r ≥ r0. Як вiдомо, lnMf (e
x)
i Tf (e
x) є функцiями з класу Ω.
Зростання функцiї f, як це прийнято, утотожнюємо зi зростанням її логарифма максимуму
модуля lnMf (r).
Як i в [1], скажемо, що функцiя f має ефект Пелi, якщо для неї виконується спiввiдношення
lim
r→+∞
lnMf (r)
Tf (r)
= +∞. (1)
З наступної теореми Дж. Клунi [2] можна зробити такий висновок: жоднi умови на зростання
цiлої функцiї не можуть забезпечити наявностi в неї ефекту Пелi.
Теорема A. Нехай Φ ∈ Ω. Iснує трансцендентна цiла функцiя f, для якої
lnMf (r) ∼ Φ(ln r), r → +∞,
i справджується спiввiдношення
lnMf (r) ∼ Tf (r), r → +∞. (2)
c© Т. Я. ГЛОВА, П. В. ФIЛЕВИЧ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 739
740 Т. Я. ГЛОВА, П. В. ФIЛЕВИЧ
З iншого боку, умови на зростання цiлої функцiї, якi забезпечують вiдсутнiсть у неї ефекту
Пелi, вже можна вказати. Зокрема, як вiдомо (див., наприклад, [3]), якщо для цiлої функцiї f
виконується умова
lnMf (r) = O(ln2 r), r → +∞, (3)
то для неї справджується спiввiдношення (2). Поряд з цим серед трансцендентних цiлих функ-
цiй, для яких умова (3) не виконується, iснують цiлi функцiї довiльного повiльного зростання,
що мають ефект Пелi. Цей факт випливає з такої теореми [4].
Теорема B. Нехай Φ ∈ Ω. Якщо
lim
x→+∞
Φ(x)
x2
= +∞,
то iснує трансцендентна цiла функцiя f, для якої
lnMf (r) ≤ Φ(ln r), r ≥ r0,
i справджується (1).
Перш нiж сформулювати наступний результат щодо ефекту Пелi для цiлих функцiй, введемо
деякi позначення. Нехай Λ — клас невiд’ємних зростаючих до +∞ послiдовностей λ = (λn).
Через D позначимо клас усiх рядiв Дiрiхле вигляду
f(z) =
∞
∑
n=0
ane
zλn , (4)
де λ ∈ Λ i (an) — довiльна комплексна послiдовнiсть така, що an 6= 0 для безлiчi n. Нехай
S — пiдклас цiлих (абсолютно збiжних у C) рядiв Дiрiхле з класу D, а S+ — пiдклас рядiв
Дiрiхле з класу S з невiд’ємними коефiцiєнтами an. Зауважимо, що кожен ряд Дiрiхле з класу
S задає деяку цiлу функцiю. Ряд Дiрiхле з ширшого класу D може бути розбiжним у кожнiй
точцi z ∈ C.
А. А. Гольдберг i Й. В. Островський [1] довели наступну теорему.
Теорема C. Нехай λ ∈ Λ, ρ ≥ 1. Iснує ряд Дiрiхле f ∈ S+ вигляду (4) такий, що ρf = ρ i
функцiя f має ефект Пелi.
Умова ρ ≥ 1 в теоремi C обумовлена тим, що довiльна функцiя f ∈ S+, як легко бачити,
завжди має порядок ρf ≥ 1.
Теорему C застосовано в [1] для дослiдження властивостей характеристичних функцiй
iмовiрнiсних законiв. Проте, як зазначено в [1], ця теорема може мати й самостiйний iнтерес.
Зауважимо також, що теореми B i C лише стверджують iснування цiлих функцiй, що мають
ефект Пелi. Їх доведення є чисто конструктивними, що не дає змоги вказати простi достатнi
умови наявностi у цiлої функцiї ефекту Пелi.
Але, як виявляється, для функцiї f класу S+ можна навести необхiднi i достатнi умови на
послiдовностi коефiцiєнтiв (an) i показникiв (λn), за яких ця функцiя має ефект Пелi. Цi умови
сформулюємо нижче, а зараз вкажемо на ту характерну особливiсть функцiй f ∈ S+, завдяки
якiй вдалося знайти цi умови.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ЕФЕКТ ПЕЛI ДЛЯ ЦIЛИХ РЯДIВ ДIРIХЛЕ 741
Нехай α — неспадна додатна на [a,+∞) функцiя. Як прийнято, функцiю α називатимемо
помiрно змiнною, якщо α(2x) = O(α(x)), x → +∞. Легко перевiрити, що наведене означення
рiвносильне таким:
1) α(Cx) = O(α(x)), x → +∞, для кожного фiксованого C > 1;
2) iснує C > 1 таке, що α(Cx) = O(α(x)), x → +∞.
Використовуючи вiдомi нерiвностi (див., наприклад, [5, с. 54])
Tf (r) ≤ ln+Mf (r) ≤
R+ r
R− r
Tf (R), R > r > 0, (5)
що виконуються для кожної цiлої функцiї f, легко довести, що якщо f має ефект Пелi, то
lnMf (r) не є помiрно змiнною функцiєю. Обернене твердження, взагалi кажучи, не є правиль-
не: згiдно з теоремою A функцiя lnMf (r) може не бути помiрно змiнною, проте f не повинна
мати ефект Пелi. Однак, як доведено нижче, у випадку f ∈ S+ обернене твердження є правиль-
ним, тобто f має ефект Пелi тодi i лише тодi, коли lnMf (r) не є помiрно змiнною функцiєю.
Саме цей факт дозволить описати наявнiсть ефекту Пелi для цiлої функцiї f ∈ S+, заданої у
виглядi ряду Дiрiхле (4), в термiнах коефiцiєнтiв an i показникiв λn цього ряду.
1. Допомiжнi результати. Для довiльного ряду Дiрiхле f ∈ D вигляду (4) приймемо
Bf = {r ∈ R : |an|erλn = o(1), n → ∞},
bf =
{
−∞, Bf = ∅,
supBf , Bf 6= ∅.
Легко довести, що
bf = lim
n→∞
1
λn
ln
1
|an|
.
Зрозумiло також, що якщо Bf 6= ∅, то Bf = (−∞, bf ) або Bf = (−∞, bf ] i для кожного
r ∈ (−∞, bf ) визначено максимальний член µf (r) = max{|an|erλn : n ∈ Z+} та центральний
iндекс νf (r) = max{n ∈ Z+ : |an|erλn = µf (r)} ряду Дiрiхле (4). Крiм того, вiдомим є наступне
просте твердження (див. [6, с. 180 – 184]).
Лема A. Якщо ряд Дiрiхле f ∈ D вигляду (4) такий, що bf = +∞, то iснують зростаючi
до +∞ послiдовностi (nk) i (κk) вiдповiдно невiд’ємних цiлих i дiйсних чисел такi, що
an = 0, n < n0, ank
6= 0, k ∈ Z+, (6)
κk =
ln |ank
| − ln |ank+1
|
λnk+1
− λnk
, k ∈ Z+, (7)
|an| ≤ |ank
|eκk(λnk
−λn), n ∈ [nk, nk+1), k ∈ Z+, (8)
i νf (r) = n0, якщо r < κ0, та νf (r) = nk+1, якщо r ∈ [κk, κk+1) i k ∈ Z+.
Послiдовностi (nk) i (κk) , про якi йдеться в лемi A, є вiдповiдно зростаючими послiдов-
ностями всiх значень i всiх точок розриву центрального iндексу νf (r). За умов леми A маємо
λνf (r) = λn0 , µf (r) = |an0 |erλn0 , якщо r < κ0, та λνf (r) = λnk+1
, µf (r) = |ank+1
|erλnk+1 , якщо
r ∈ [κk, κk+1) i k ∈ Z+. Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
742 Т. Я. ГЛОВА, П. В. ФIЛЕВИЧ
λνf (r) = (lnµf (r))
′
+,
а тому
lnµf (R)− lnµf (r) =
R
∫
r
λνf (t)dt, R > r. (9)
Крiм того, µf (r) є зростаючою до +∞ на R функцiєю, а тому з рiвностi lnµf (r) = ln |aνf (r)|+
+ rλνf (r), покладаючи
r0 = inf{r ∈ R+ : µf (r) > 1},
отримуємо
rλνf (r)
ln |aνf (r)|
< −1, r > r0 ≥ 0. (10)
В певному розумiннi протилежним до леми A є таке твердження [7].
Лема B. Якщо для ряду Дiрiхле f ∈ D вигляду (4) iснують зростаючi до +∞ послiдовностi
(nk) i (κk) вiдповiдно невiд’ємних цiлих i дiйсних чисел такi, що виконуються спiввiдношення
(6) – (8), то для цього ряду bf = +∞ i νf (r) = n0, якщо r < κ0, та νf (r) = nk+1, якщо
r ∈ [κk, κk+1) i k ∈ Z+.
Доведення наступної леми ґрунтується на мiркуваннях, близьких до мiркувань iз [8].
Лема 1. Нехай ряд Дiрiхле f ∈ D вигляду (4) такий, що bf = +∞, а (nk) i (κk) —
зростаючi послiдовностi вiдповiдно всiх значень i всiх точок розриву центрального iндексу
νf (r). Тодi наступнi твердження є рiвносильними:
(i) lnµf (r) не є помiрно змiнною функцiєю;
(ii) справджується спiввiдношення
lim
r→+∞
rλνf (r)
lnµf (r)
= +∞; (11)
(iii) виконується рiвнiсть
lim
r→+∞
rλνf (r)
ln |aνf (r)|
= −1;
(iv) справджується спiввiдношення
lim
k→∞
κkλnk+1
ln |ank+1
| = −1. (12)
Доведення. Насамперед доведемо, що lnµf (r) є помiрно змiнною функцiєю тодi i лише
тодi, коли рiвнiсть (11) не виконується. Звiдси буде випливати рiвносильнiсть тверджень (i) та
(ii).
Якщо lnµf (r) — помiрно змiнна функцiя, то iснує стала C1 > 1 така, що lnµf (2r) ≤
≤ C1 lnµf (r) для всiх r ≥ r1. Тодi, згiдно з (9),
rλνf (r) ≤
2r
∫
r
λνf (t)dt = lnµf (2r)− lnµf (r) ≤ (C1 − 1) ln µf (r), r ≥ r1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ЕФЕКТ ПЕЛI ДЛЯ ЦIЛИХ РЯДIВ ДIРIХЛЕ 743
звiдки бачимо, що (11) не виконується.
Навпаки, якщо (11) не виконується, то iснує стала C2 така, що rλνf (r)≤C2 lnµf (r) для всiх
r ≥ r2. Виберемо сталу C > 1 так, щоб виконувалась нерiвнiсть
C − 1
C
C2 ≤
1
2
. Тодi, згiдно
з (9),
lnµf (Cr)− lnµf (r) =
Cr
∫
r
λνf (t)dt ≤ (C − 1)rλνf (Cr) ≤
C − 1
C
C2 lnµf (r) ≤
1
2
lnµf (Cr),
звiдки отримуємо, що lnµf (Cr) ≤ 2 ln µf (r) для всiх r ≥ r2. Отже, lnµf (r) є помiрно змiнною
функцiєю. Рiвносильнiсть тверджень (i) та (ii) доведено.
Рiвносильнiсть тверджень (ii) та (iii) випливає з рiвностей
rλνf (r)
lnµf (r)
=
rλνf (r)
ln |aνf (r)|+ rλνf (r)
=
1
ln |aνf (r)|
rλνf (r)
+ 1
i з нерiвностi (10).
Доведемо рiвносильнiсть тверджень (iii) та (iv). Нехай k0 = min{k ∈ Z+ : ln |ank+1
| < 0}.
Тодi для всiх цiлих k ≥ k0 маємо
max
{
rλνf (r)
ln |aνf (r)|
: r ∈ [κk, κk+1)
}
=
κkλnk+1
ln |ank+1
| .
Отже,
lim
r→+∞
rλνf (r)
ln |aνf (r)|
= lim
k→∞
κkλnk+1
ln |ank+1
| .
З отриманої рiвностi i випливає рiвносильнiсть (iii) та (iv).
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай ряд Дiрiхле f ∈ D вигляду (4) такий, що bf = +∞, а (nk) i (κk) — зро-
стаючi послiдовностi вiдповiдно всiх значень i всiх точок розриву центрального iндексу νf (r).
Тодi
lim
k→∞
lnλnk+1
lnκk
= lim
r→+∞
ln lnµf (r)
ln r
− 1. (13)
Доведення. З нерiвностi (9) для всiх достатньо великих r отримуємо
rλνf (r) ≤
2r
∫
r
λνf (t)dt = lnµf (2r)− lnµf (r) ≤ lnµf (2r),
rλνf (r) ≥
r
∫
0
λνf (t)dt = lnµf (r)− lnµf (0).
Звiдси бачимо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
744 Т. Я. ГЛОВА, П. В. ФIЛЕВИЧ
lim
r→+∞
lnλνf (r)
ln r
+ 1 = lim
r→+∞
ln lnµf (r)
ln r
. (14)
Нехай k0 = min{k ∈ Z+ : lnκk > 0}. Тодi для всiх цiлих k ≥ k0 маємо
max
{
lnλνf (r)
ln r
: r ∈ [κk, κk+1)
}
=
lnλnk+1
lnκk
.
Отже,
lim
r→+∞
lnλνf (r)
ln r
= lim
k→∞
lnλnk+1
lnκk
,
звiдки, згiдно з (14), отримуємо (13).
Лему 2 доведено.
Далi знову розглянемо довiльний ряд Дiрiхле f ∈ D вигляду (4) i покладемо
Af =
{
r ∈ R :
∞
∑
n=0
|an|erλn < +∞
}
,
af =
{
−∞, Af = ∅,
supAf , Af 6= ∅.
Величина af , як вiдомо, називається абсцисою абсолютної збiжностi ряду (4). Для неї,
очевидно, виконується нерiвнiсть af ≤ bf . (Детальнiше про спiввiдношення мiж af i bf див.
[6, с. 113 – 116; 9]; зауважимо, що iснують ряди Дiрiхле f ∈ D, для яких af = −∞ i bf = +∞.)
Якщо Af 6= ∅, то для всiх r < af покладемо
Gf (r) =
∞
∑
n=0
|an|erλn .
Зрозумiло, що ряд (4) є цiлим, тобто f ∈ S, тодi i лише тодi, коли af = +∞. Для цiлого ряду
Дiрiхле функцiя Gf (r) є визначеною на R i, очевидно, Mf (r) ≤ Gf (r) для всiх r ≥ 0; якщо ж
f ∈ S+, то Mf (r) = Gf (r), r ≥ 0.
Нам буде потрiбний наступний критерiй цiлостi ряду (4) (див., наприклад, [10]).
Лема C. Для того щоб ряд Дiрiхле f ∈ D вигляду (4) був цiлим (тобто належав до класу
S), необхiдно i досить, щоб виконувалась умова
lim
n→∞
1
λn
ln
1
∑∞
k=n
|ak|
= +∞.
Для послiдовностi λ ∈ Λ покладемо
τ(λ) = lim
n→∞
lnn
λn
.
Справджується така класична лема Ж. Валiрона [11] (див. також [6, с. 184; 12; 7]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ЕФЕКТ ПЕЛI ДЛЯ ЦIЛИХ РЯДIВ ДIРIХЛЕ 745
Лема D. Нехай послiдовнiсть λ ∈ Λ така, що τ(λ) < A < +∞. Тодi для кожного ряду
Дiрiхле f ∈ S вигляду (4) виконується спiввiдношення
Gf (r) = o(µf (r +A)), r → +∞.
Лема 3. Нехай λ ∈ Λ — послiдовнiсть цiлих чисел. Тодi для кожного ряду Дiрiхле f ∈ S
вигляду (4) i довiльного фiксованого A > 0 виконується спiввiдношення
Gf (r) = o(Mf (
√
(r +A)2 + π2)), r → +∞. (15)
Доведення. Нехай f ∈ S — ряд Дiрiхле вигляду (4). Для всiх x ∈ R покладемо
Mf (x) = sup{|f(x+ iy)| : y ∈ R}.
Очевидно, що Mf (r) ≤ Gf (r). Вiдомо (див., наприклад, [6, с. 183]), що µf (r) ≤ Mf (r). Крiм
того, оскiльки λ ∈ Λ — послiдовнiсть цiлих чисел, то λn ≥ n для всiх n ∈ Z+. Отже, τ(λ) = 0,
а тому, згiдно з лемою D, для довiльного фiксованого A > 0 виконується спiввiдношення
Gf (r) = o(Mf (r +A)), r → +∞. (16)
З цiлостi показникiв λn випливає також, що для кожного фiксованого x ∈ R функцiя
|f(x+ iy)|, як функцiя вiд y, є перiодичною з перiодом 2π. Отже,
Mf (x) = max{|f(x+ iy)| : y ∈ [−π, π]}.
Враховуючи, що для r ≥ 0 круг {z ∈ C : |z| ≤
√
r2 + π2} мiстить вiдрiзок [r − iπ, r + iπ], за
принципом максимуму модуля отримуємо
Mf (r) ≤ Mf (
√
r2 + π2), r ≥ 0.
Звiдси i з (16) отримуємо (15).
Лему 3 доведено.
Наступна лема є вiдомою.
Лема E. Нехай f — цiла функцiя, вiдмiнна вiд тотожної сталої. Якщо lnMf (r) є помiрно
змiнною функцiєю, то ρf < +∞.
Справдi, якщо функцiя lnMf (r) є помiрно змiнною, то iснує стала C0 > 1 така, що
lnMf (er) ≤ C0 lnMf (r) для всiх r ≥ r0. Крiм того, як вiдомо, функцiя lnMf (r) є опуклою
вiдносно ln r, тому Kf (r) = r(lnMf (r))
′
+ є неспадною невiд’ємною на (0,+∞) функцiєю. З
огляду на це маємо
Kf (r) ≤
er
∫
r
Kf (t)
t
dt = lnMf (er)− lnMf (r) ≤ (C0 − 1) lnMf (r), r ≥ r0.
Тодi для всiх r ≥ r0 отримуємо
ln lnMf (r)− ln lnMf (r0) =
r
∫
r0
Kf (t)
t lnMf (t)
dt ≤ (C0 − 1)
r
∫
r0
dt
t
= (C0 − 1) ln
r
r0
,
звiдки й випливає, що ρf ≤ C0 − 1 < +∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
746 Т. Я. ГЛОВА, П. В. ФIЛЕВИЧ
2. Основнi результати. Для ряду Дiрiхде f ∈ S вигляду (4) i всiх n ∈ Z+ покладемо
Tn =
∑∞
k=n
|ak|. Поряд з рядом (4) розглянемо ряд Дiрiхле
f̃(z) =
∞
∑
n=0
Tne
zλn . (17)
За лемою C маємо
b
f̃
= lim
n→∞
1
λn
ln
1
Tn
= +∞.
Отже, для ряду (17) його максимальний член
µ
f̃
(r) = max{Tne
rλn : n ∈ Z+}
є визначеним для кожного r ∈ R.
Позначимо через S∗ клас рядiв Дiрiхле f ∈ S, для яких iснує додатна спадна до 0 на
(a,+∞) функцiя α така, що
lnGf (r) = O(lnMf ((1 + α(r))r)), r → +∞. (18)
Зрозумiло, що S+ ⊂ S∗ ⊂ S.
Основним результатом цiєї статтi є наступний критерiй наявностi ефекту Пелi для цiлого
ряду Дiрiхле f ∈ S∗ у термiнах його коефiцiєнтiв i показникiв.
Теорема 1. Для кожного цiлого ряду Дiрiхле f ∈ S∗ вигляду (4) рiвносильними є такi
твердження:
(i) f має ефект Пелi;
(ii) Tf (r) не є помiрно змiнною функцiєю;
(iii) lnMf (r) не є помiрно змiнною функцiєю;
(iv) lnGf (r) не є помiрно змiнною функцiєю;
(v) lnµf̃ (r) не є помiрно змiнною функцiєю;
(vi) iснують зростаючi до +∞ послiдовностi (nk) i (Kk) вiдповiдно невiд’ємних цiлих i
дiйсних чисел такi, що
Tn = 0, n < n0, Tnk
6= 0, k ∈ Z+, (19)
Kk =
ln |Tnk
| − ln |Tnk+1
|
λnk+1
− λnk
, k ∈ Z+, (20)
|Tn| ≤ |Tnk
|eKk(λnk
−λn), n ∈ [nk, nk+1), k ∈ Z+, (21)
lim
k→∞
Kkλnk+1
ln |Tnk+1
| = −1. (22)
Доведення. Нехай f ∈ S∗ — цiлий ряд Дiрiхле вигляду (4), а α — додатна спадна до 0 на
(a,+∞) функцiя така, що виконується спiввiдношення (18).
Легко бачити, що рiвносильнiсть тверджень (ii) i (iii) випливає з нерiвностей (5), тверджень
(iii) i (iv) — iз нерiвностi Mf (r) ≤ Gf (r) i спiввiдношення (18), а тверджень (iv) i (v) — iз
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ЕФЕКТ ПЕЛI ДЛЯ ЦIЛИХ РЯДIВ ДIРIХЛЕ 747
встановлених у [10] нерiвностей
µ
f̃
(r) ≤ Gf (r) ≤ Gf (0) + εµ
f̃
((ε+ 1)r), ε > 0, r ∈ R. (23)
Доведемо рiвносильнiсть тверджень (v) i (vi). Розглянемо ряд (17) i нехай lnµf̃ (r) не є по-
мiрно змiнною функцiєю. За лемою A, застосованою до цього ряду, iснують зростаючi до +∞
послiдовностi (nk) i (Kk) вiдповiдно невiд’ємних цiлих i дiйсних чисел такi, що виконуються
спiввiдношення (19) – (21). За цiєю ж лемою (nk) i (Kk) є зростаючими послiдовностями вiд-
повiдно усiх значень i всiх точок розриву центрального iндексу ν
f̃
(r). Тому, згiдно з лемою 1,
для цих послiдовностей виконується (22).
Навпаки, нехай для ряду (17) iснують зростаючi до +∞ послiдовностi (nk) i (Kk) вiдповiдно
невiд’ємних цiлих i дiйсних чисел такi, що виконуються спiввiдношення (19) – (22). Зi спiввiд-
ношень (19) – (21), згiдно з лемою B, випливає, що (nk) i (Kk) є зростаючими послiдовностями
вiдповiдно всiх значень i всiх точок розриву центрального iндексу ν
f̃
(r). Тому, враховуючи
(22) i застосовуючи до ряду (17) лему 1, можемо зробити висновок, що lnµ
f̃
(r) не є помiрно
змiнною функцiєю. Отже, рiвносильнiсть тверджень (v) i (vi) доведено.
Крiм того, як вже зазначалось у вступi, з (i) випливає (iii) за нерiвностями (5). Тому нам
залишається показати, що з (iii) випливає (i).
Отже, нехай функцiя lnMf (r) не є помiрно змiнною, тобто
∀ C > 1 : lim
r→+∞
lnMf (Cr)
lnMf (r)
= +∞. (24)
Зафiксуємо довiльне L > 0 i виберемо ε > 0 настiльки малим, щоб виконувалась нерiвнiсть
δ := arccos
1
1 + ε
≤ 1
L
. Зi спiввiдношень (18) i (24) отримуємо
lim
r→+∞
lnMf ((1 + ε)r)
lnGf (r)
= +∞,
звiдки безпосередньо випливає iснування додатних зростаючих +∞ послiдовностей (γk) i (rk)
таких, що
lnMf ((1 + ε)rk) = γk lnGf (rk), k ∈ Z+.
Нехай E = [−π, π]\[−θ, θ]. Оскiльки
|f(reiθ)| =
∣
∣
∣
∣
∣
∞
∑
n=0
ane
λnr(cos θ+i sin θ)
∣
∣
∣
∣
∣
≤
∞
∑
n=0
|an|eλnr cos θ = Gf (r cos θ),
то для всiх r > 0 i θ ∈ E маємо
|f((1 + ε)reiθ)| ≤ Gf (r).
Тодi для всiх цiлих k ≥ k0 отримуємо
Tf ((1 + ε)rk) =
1
2π
π
∫
−π
ln+ |f((1 + ε)rke
iθ)|dθ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
748 Т. Я. ГЛОВА, П. В. ФIЛЕВИЧ
=
1
2π
δ
∫
−δ
ln+ |f((1 + ε)rke
iθ)|dθ + 1
2π
∫
E
ln+ |f((1 + ε)rke
iθ)|dθ ≤
≤ 1
2π
δ
∫
−δ
lnMf ((1 + ε)rk)dθ +
1
2π
∫
E
lnGf (rk)dθ ≤
≤ δ
π
lnMf ((1 + ε)rk) + lnGf (rk) ≤
(
1
πL
+
1
γk
)
lnMf ((1 + ε)rk).
Отже,
lim
r→+∞
lnMf (r)
Tf (r)
≥ lim
k→∞
lnMf ((1 + εk)rk)
Tf ((1 + ε)rk)
≥ πL.
З довiльностi L випливає, що для функцiї f виконується спiввiдношення (1), тобто ця функцiя
має ефект Пелi.
Теорему 1 доведено.
Наслiдок 1. (i) Кожен ряд Дiрiхле f ∈ S∗ порядку ρf = +∞ має ефект Пелi.
(ii) Нехай λ ∈ Λ — послiдовнiсть цiлих чисел. Кожен ряд Дiрiхле f ∈ S вигляду (4) порядку
ρf = +∞ має ефект Пелi.
Доведення. Твердження (i) є безпосереднiм наслiдком з теореми 1 i леми E. Тому для до-
ведення твердження (ii) достатньо показати, що якщо λ ∈ Λ — послiдовнiсть цiлих чисел, а
f ∈ S — ряд Дiрiхле вигляду (4), то f ∈ S∗.
Отже, нехай λ ∈ Λ — послiдовнiсть цiлих чисел, а f ∈ S — ряд Дiрiхле вигляду (4).
Покладемо
α(r) =
√
(r + 1)2 + π2
r
− 1.
Зрозумiло, що α є додатною спадною до 0 на (0,+∞) функцiєю. Крiм того, застосовуючи
лему 3 з A = 1, отримуємо
Gf (r) = o(Mf ((1 + α(r))r)), r → +∞.
Звiдси бачимо, що для функцiї f виконується спiввiдношення (18), тобто f ∈ S∗.
Наслiдок 1 доведено.
У випадку, коли послiдовнiсть λ = (λn) не надто повiльно прямує до +∞, для ряду Дiрiхле
f ∈ S∗ вигляду (4) правильним є простiший для перевiрки критерiй наявностi ефекту Пелi.
Теорема 2. Нехай послiдовнiсть λ ∈ Λ така, що τ(λ) < +∞. Тодi для кожного цiлого
ряду Дiрiхле f ∈ S∗ вигляду (4) рiвносильними є такi твердження:
(i) f має ефект Пелi;
(ii) lnµf (r) не є помiрно змiнною функцiєю;
(iii) iснують зростаючi до +∞ послiдовностi (nk) i (κk) вiдповiдно невiд’ємних цiлих i
дiйсних чисел такi, що виконуються спiввiдношення (6) – (8) i (12).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ЕФЕКТ ПЕЛI ДЛЯ ЦIЛИХ РЯДIВ ДIРIХЛЕ 749
Доведення. За теоремою 1 функцiя f має ефект Пелi, якщо i лише якщо lnGf (r) не є
помiрно змiнною функцiєю. Оскiльки τ(λ) < +∞, то з нерiвностi µf (r) ≤ Gf (r) i леми
D випливає, що lnGf (r) не є помiрно змiнною функцiєю тодi i лише тодi, коли lnµf (r) не
є помiрно змiнною функцiєю. Отже, твердження (i) i (ii) є рiвносильними. Рiвносильнiсть
тверджень (ii) i (iii) для ряду (4) доводиться аналогiчно до рiвносильностi тверджень (v) i (vi)
для ряду (17) в теоремi 1.
Теорему 2 доведено.
Нехай λ ∈ Λ — послiдовнiсть цiлих чисел. Тодi τ(λ) = 0 i (див. доведення наслiдку 1)
кожен ряд Дiрiхле f ∈ S вигляду (4) належить до класу S∗. Тому з теореми 2 отримуємо такий
наслiдок.
Наслiдок 2. Нехай λ ∈ Λ — послiдовнiсть цiлих чисел. Ряд Дiрiхле f ∈ S вигляду (4) має
ефект Пелi тодi i лише тодi, коли iснує зростаюча послiдовнiсть невiд’ємних цiлих чисел (nk),
для якої виконуються спiввiдношення (6) – (8) i (12).
3. Ряди Дiрiхле заданого порядку з ефектом Пелi. З огляду на теорему C виникає задача
про можливiсть встановлення необхiдних i достатнiх умов на коефiцiєнти i показники ряду
Дiрiхле f ∈ S+, за яких цей ряд має одночасно як ефект Пелi, так i заданий порядок ρ ∈
∈ [1,+∞). Розв’язок цiєї задачi мiстить така теорема.
Теорема 3. Нехай ρ ∈ [1,+∞), а f ∈ S∗ — цiлий ряд Дiрiхле вигляду (4). Для того щоб
функцiя f мала ефект Пелi i порядок ρf = ρ, необхiдно i достатньо, щоб iснували зростаю-
чi до +∞ послiдовностi (nk) i (Kk) вiдповiдно невiд’ємних цiлих i дiйсних чисел такi, що
виконуються спiввiдношення (19) – (22) i
lim
k→∞
lnλnk+1
lnKk
= ρ− 1. (25)
Доведення. Нехай f ∈ S∗ — цiлий ряд Дiрiхле вигляду (4), а α — додатна спадна до 0 на
(a,+∞) функцiя така, що виконується спiввiдношення (18).
Поряд з рядом (4) розглянемо ряд (17).
З нерiвностi Mf (r) ≤ Gf (r) i спiввiдношення (18) випливає, що в означеннi порядку ρf
функцiю Mf (r) можна замiнити функцiєю Gf (r), яку, в свою чергу, можна замiнити на µ
f̃
(r)
згiдно з нерiвностями (23). Отже,
ρf = lim
r→+∞
ln lnµ
f̃
(r)
ln r
. (26)
Доведемо спочатку достатнiсть умов теореми 3. Припустимо, що iснують зростаючi до
+∞ послiдовностi (nk) i (Kk) вiдповiдно невiд’ємних цiлих i дiйсних чисел такi, що викону-
ються спiввiдношення (19) – (22) i (25). Тодi з теореми 1, згiдно зi спiввiдношеннями (19) – (22),
випливає, що f має ефект Пелi. Крiм того, зi спiввiдношень (19) – (21) i леми B, застосованої до
ряду (17), можемо зробити висновок, що (nk) i (Kk) є зростаючими послiдовностями вiдповiдно
всiх значень i всiх точок розриву центрального iндексу νf̃ (r). Застосовуючи до ряду (17) лему 2,
отримуємо
lim
k→∞
lnλnk+1
lnKk
= lim
r→+∞
ln lnµf̃ (r)
ln r
− 1. (27)
Враховуючи (27), (26) i (25), бачимо, що ρf = ρ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
750 Т. Я. ГЛОВА, П. В. ФIЛЕВИЧ
Перейдемо до доведення необхiдностi умов теореми 3. Нехай f має ефект Пелi i порядок
ρf = ρ. За теоремою 1 з наявностi ефекту Пелi випливає iснування зростаючих до +∞ послi-
довностей (nk) i (Kk) вiдповiдно невiд’ємних цiлих i дiйсних чисел таких, що виконуються
спiввiдношення (19) – (22). Зi спiввiдношень (19) – (21) i леми B, застосованої до ряду (17),
можемо зробити висновок, що (nk) i (Kk) є зростаючими послiдовностями вiдповiдно всiх
значень i всiх точок розриву центрального iндексу ν
f̃
(r). Застосовуючи до ряду (17) лему 2,
отримуємо (27). Тодi з (27), (26) i рiвностi ρf = ρ випливає, що виконується (25).
Теорему 3 доведено.
Нехай послiдовнiсть λ ∈ Λ така, що τ(λ) < +∞, f ∈ S∗ — довiльний цiлий ряд Дiрi-
хле вигляду (4). Як зазначено вище, в означеннi порядку ρf функцiю Mf (r) можна замiнити
функцiєю Gf (r); функцiю Gf (r), в свою чергу, можна замiнити на µf (r) згiдно з нерiвнiстю
µf (r) ≤ Gf (r) i лемою D. Отже,
ρf = lim
r→+∞
ln lnµf (r)
ln r
. (28)
Застосовуючии до ряду (4) i спiввiдношення (28) такi ж мiркування, як i при доведеннi теоре-
ми 3 до ряду (17) i спiввiдношення (26), бачимо, що справджується наступна теорема.
Теорема 4. Нехай ρ ∈ [1,+∞), послiдовнiсть λ ∈ Λ така, що τ(λ) < +∞, а f ∈ S∗ —
цiлий ряд Дiрiхле вигляду (4). Для того щоб функцiя f мала ефект Пелi i порядок ρf = ρ,
необхiдно i достатньо, щоб iснували зростаючi до +∞ послiдовностi (nk) i (κk) вiдповiдно
невiд’ємних цiлих i дiйсних чисел такi, що виконуються спiввiдношення (6) – (8), (12) i
lim
k→∞
lnλnk+1
lnκk
= ρ− 1.
4. Вiдкрите питання. Позначимо через Λ∗ пiдклас послiдовностей λ ∈ Λ, для яких кожен
цiлий ряд Дiрiхле f ∈ S вигляду (4) входить до класу S∗. Зрозумiло, що тодi наслiдок 2
i твердження (ii) наслiдку 1 є правильними для кожної послiдовностi λ ∈ Λ∗. З огляду на
це виникає така задача: Описати клас Λ∗, тобто знайти необхiдну i достатню умову на
послiдовнiсть λ ∈ Λ, за якої для кожного цiлого ряду Дiрiхле f ∈ S вигляду (4) iснує додатна
спадна до 0 на (a,+∞) функцiя α така, що виконується спiввiдношення (18).
З викладеного вище випливає, що достатньою умовою належностi послiдовностi λ ∈ Λ до
класу Λ∗ є цiлiсть її членiв. Iншу достатню умову дозволяє знайти наступна теорема О. Б. Ска-
скiва [13].
Теорема D. Нехай λ ∈ Λ. Для того щоб для довiльного ряду Дiрiхле f ∈ S вигляду (4)
iснувала множина Ef ⊂ (0,+∞) скiнченної мiри така, що
Gf (r) ∼ mf (r), Ef 6∋ r → +∞, (29)
де mf (x) = inf{|f(x + iy)| : y ∈ R}, x ∈ R, необхiдно i достатньо, щоб для послiдовностi λ
виконувалась умова
∞
∑
n=0
1
λn+1 − λn
< +∞. (30)
Наслiдок 3. Якщо для послiдовностi λ ∈ Λ виконується умова (30), то λ ∈ Λ∗.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ЕФЕКТ ПЕЛI ДЛЯ ЦIЛИХ РЯДIВ ДIРIХЛЕ 751
Доведення. Нехай для послiдовностi λ ∈ Λ виконується умова (30), а f ∈ S — довiльний ряд
Дiрiхле вигляду (4). Тодi за теоремою D iснує множина Ef ⊂ (0,+∞) скiнченної мiри δ така,
що для функцiї f виконується спiввiдношення (29). Нехай c > δ. Тодi на кожному iнтервалi
(r, r + c), r > 0, знайдеться точка γ(r), яка не належить множинi Ef . Згiдно з (29),
Gf (γ(r)) ∼ mf (γ(r)), r → +∞.
З отриманого спiввiдношення випливає iснування додатної спадної до 0 на (a,+∞) функцiї α
такої, що виконується спiввiдношення (18).
Наслiдок 3 доведено.
1. Гольдберг А. А., Островский И. В. Об эффекте Пейли для целых характеристических функций и целых функ-
ций, представленных рядами Дирихле // Теория функций, функцион. анализ и их прил. – 1985. – Вып. 43. –
С. 18 – 23.
2. Clunie J. On integral function having prescribed asymptotic growth // Can. J. Math. – 1965. – 17, № 3. – P. 396 – 404.
3. Заболоцкий Н. В., Шеремета М. Н. О медленном росте основных характеристик целых функций // Мат.
заметки. – 1999. – 65, № 2. – С. 206 – 214.
4. Filevych P. V. On Paley’s effect for entire functions // Mat. Stud. – 2003. – 19, № 1. – P. 37 – 41.
5. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука, 1970. – 590 с.
6. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1976. – 536 с.
7. Филевич П. В. К теореме Валирона о соотношениях между максимумом модуля и максимальным членом
целого ряда Дирихле // Изв. вузов. Математика. – 2004. – № 4 (503). – С. 66 – 72.
8. Филевич П. В., Шеремета М. Н. Правильно растущие целые ряды Дирихле // Мат. заметки. – 2003. – 74, № 1. —
С. 118 – 131.
9. Filevych P. V. On relations between the abscissa of convergence and the abscissa of absolute convergence of random
Dirichlet series // Mat. Stud. – 2003. – 20, № 1. – P. 33 – 39.
10. Шеремета М. M. Про зростання цiлого ряду Дiрiхле // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 8. – С. 1149 – 1153.
11. Valiron G. Sur l’abscisse de convergence des series de Dirichlet // Bull. Soc. Math. France. – 1924. – 52. – P. 86 – 98.
12. Притула Я. Я. Про максимум модуля i максимальний член цiлого ряду Дiрiхле // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер.
мех.-мат. – 1995. – Вип. 43. – С. 25 – 30.
13. Скаскiв О. Б. Максимум модуля i максимальний член цiлого ряду Дiрiхле // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1984. –
№ 11. – С. 22 – 24.
Одержано 24.04.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2018 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:07Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/12/7ef5d230ae7f325177c54b096d914212.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20182019-12-05T09:48:59Z Paley Effect for Entire Dirichlet Series Ефект Пелі для цілих рядів Діріхле Hlova, T. Ya. Filevych, P. V. Глова, Т. Я. Філевич, П. В. For the entire Dirichlet series $f(z) = ∑_{n = 0}${∞$ a_n e^{zλn}$, we establish necessary and sufficient conditions on the coefficients $a_n$ and exponents $λ_n$ under which the function $f$ has the Paley effect, i.e., the condition $$\underset{r\to +\infty }{ \lim \sup}\frac{ \ln {M}_f(r)}{T_f(r)}=+\infty$$ is satisfied, where $M_f (r)$ and $T_f (r)$ are the maximum modulus and the Nevanlinna characteristic of the function $f$, respectively. the Nevanlinna characteristic of the function f, respectively. Для целого ряда Дирихле $f(z) = ∑_{n = 0}${∞$ a_n e^{zλn}$ установлены необходимые и достаточные условия на коэффициенты $a_n$ и показатели $λ_n$, при которых функция $f$ имеет эффект Пейли, т. е. выполняется соотношение $$\underset{r\to +\infty }{ \lim \sup}\frac{ \ln {M}_f(r)}{T_f(r)}=+\infty,$$ где $M_f (r)$ и $T_f (r)$ — соответственно максимум модуля и характеристика Неванлинны функции $f$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2018 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 6 (2015); 739–751 Український математичний журнал; Том 67 № 6 (2015); 739–751 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2018/1054 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2018/1055 Copyright (c) 2015 Hlova T. Ya.; Filevych P. V. |
| spellingShingle | Hlova, T. Ya. Filevych, P. V. Глова, Т. Я. Філевич, П. В. Paley Effect for Entire Dirichlet Series |
| title | Paley Effect for Entire Dirichlet Series |
| title_alt | Ефект Пелі для цілих рядів Діріхле |
| title_full | Paley Effect for Entire Dirichlet Series |
| title_fullStr | Paley Effect for Entire Dirichlet Series |
| title_full_unstemmed | Paley Effect for Entire Dirichlet Series |
| title_short | Paley Effect for Entire Dirichlet Series |
| title_sort | paley effect for entire dirichlet series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2018 |
| work_keys_str_mv | AT hlovatya paleyeffectforentiredirichletseries AT filevychpv paleyeffectforentiredirichletseries AT glovatâ paleyeffectforentiredirichletseries AT fílevičpv paleyeffectforentiredirichletseries AT hlovatya efektpelídlâcílihrâdívdíríhle AT filevychpv efektpelídlâcílihrâdívdíríhle AT glovatâ efektpelídlâcílihrâdívdíríhle AT fílevičpv efektpelídlâcílihrâdívdíríhle |