Properties of the Ceder Product
We study properties of the Ceder product $X ×_b Y$ of topological spaces $X$ and $Y$, where $b ∈ Y$, recently introduced by the authors. Important examples of the Ceder product are the Ceder plane and the Alexandroff double circle. In particular, for $i = 0, 1, 2, 3$ we establish necessary and suffi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2021 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507932898099200 |
|---|---|
| author | Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, O. V. Myronyk, O. D. Маслюченко, В. К. Маслюченко, О. В. Мироник, О. Д. |
| author_facet | Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, O. V. Myronyk, O. D. Маслюченко, В. К. Маслюченко, О. В. Мироник, О. Д. |
| author_sort | Maslyuchenko, V. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:59Z |
| description | We study properties of the Ceder product $X ×_b Y$ of topological spaces $X$ and $Y$, where $b ∈ Y$, recently introduced by the authors. Important examples of the Ceder product are the Ceder plane and the Alexandroff double circle. In particular, for $i = 0, 1, 2, 3$ we establish necessary and sufficient conditions for the Ceder product to be a $T_i$ -space. We prove that the Ceder product $X ×_b Y$ is metrizable if and only if the spaces $X$ and $\overset{.}{Y}=Y\backslash \left\{b\right\}$ are metrizable, $X$ is $σ$-discrete, and the set $\{b\}$ is closed in $Y$. If $X$ is not discrete, then the point $b$ has a countable base of closed neighborhoods in $Y$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
В. К. Маслюченко (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича),
О. В. Маслюченко (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича; Помор. академiя, Польща),
О. Д. Мироник (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ВЛАСТИВОСТI ДОБУТКУ СIДРА
We study the properties of the Ceder product X ×b Y of topological spaces X and Y with b ∈ Y recently introduced by
the authors. Important examples of the Ceder product are the Ceder plane and the Alexandroff double circle. In particular,
for i = 0, 1, 2, 3, we establish necessary and sufficient conditions for the Ceder product to be a Ti-space. It is shown that
the Ceder product X ×b Y is metrizable if and only if the spaces X and Ẏ = Y \ {b} are metrizable, X is σ-discrete, and
the set {b} is closed in Y. If X is a nondiscrete space, then the point b has a countable base of closed neighborhoods in Y.
Изучаются свойства введенного авторами понятия произведения Сидра X ×b Y для топологических пространств
X и Y, а также точки b ∈ Y, примерами которого являются плоскость Сидра и двойная окружность Александрова.
В частности, для i = 0, 1, 2, 3 получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы произведение Сидра
было Ti-пространством. Установлено, что произведение Сидра X ×b Y будет метризуемым тогда и только тогда,
когда пространства X и Ẏ = Y \{b} метризуемые, X — σ-дискретное пространство и множество {b} замкнуто в Y.
В случае, когда X — недискретное пространство, точка b должна иметь счетную базу замкнутых окрестностей в Y.
1. Вступ. У тезах [1] введено поняття добутку Сiдра X ×b Y для топологiчних просторiв
X, Y i точки b ∈ Y, частинними випадками якого є площина Сiдра M = R ×0 R
+ (див. [2],
приклад 9.1) i подвiйне коло Александрова [3, c. 204], i анонсовано теорему про те, що добуток
Сiдра X ×b Y двох метризовних просторiв X i Y буде вичерпним. В статтi [4] доведено, що
якщо одноточкова множина {b} замкнена в Y i простори X та Y вичерпнi, то i добуток Сiдра
X ×b Y буде вичерпним. Крiм того, вiдомо [2], що площина Сiдра M — це неметризовний
простiр.
У данiй статтi ми вивчаємо подальшi властивостi добутку Сiдра. Перша група властивостей
пов’язана з аксiомами вiдокремленостi Ti, i = 0, 1, 2, 3. Встановлено необхiднi i достатнi умови
для того, щоб у добутку Сiдра X ×b Y виконувались цi аксiоми, зокрема показано, що добуток
Сiдра X ×b Y буде регулярним при X 6= ∅ тодi i тiльки тодi, коли X i Ẏ = Y \ {b} регулярнi,
множина {b} замкнена в Y i у випадку, коли X недискретний, точка b має базу замкнених
околiв у просторi Y.
Далi ми наводимо критерiй метризовностi добутку Сiдра X×b Y, в якому використовується
σ-дискретнiсть простору X (теорема 2), з якого випливає неметризовнiсть площини Сiдра.
2. Добуток Сiдра i аксiоми вiдокремленостi. Нехай X i Y — топологiчнi простори i b ∈ Y.
Розглянемо декартiв добуток P = X × Y, що складається з точок p = (x, y), де x ∈ X i
y ∈ Y. Надiлимо його топологiчною структурою таким чином: околом точки p = (x, y), y 6= b,
вважається будь-яка пiдмножина W добутку P, що мiстить множину {x} × V, де V — окiл
точки y в Y, а околом точки p = (x, b) вважається будь-яка множина W ⊆ P, що мiстить
множину U
x
×V = (U × V ) \ ({x} × V̇ ), де U — окiл точки x в X, V — окiл точки b в Y
i V̇ = V \ {b}. Топологiчний простiр P з таким чином уведеною топологiчною структурою
називається добутком Сiдра i позначається P = X ×b Y.
Спочатку дослiдимо коли добуток Сiдра задовольняє аксiоми вiдокремленостi Ti, i =
= 0, 1, 2, 3 [3, c. 69].
c© В. К. МАСЛЮЧЕНКО, О. В. МАСЛЮЧЕНКО, О. Д. МИРОНИК, 2015
780 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ВЛАСТИВОСТI ДОБУТКУ СIДРА 781
Теорема 1. Нехай X i Y — топологiчнi простори, X 6= ∅, b ∈ Y, Ẏ = Y \{b} i P = X×bY
— добуток Сiдра. Тодi справджуються такi еквiвалентностi:
(0) P – T0-простiр ⇔ X i Ẏ — T0-простори;
(1) P – T1-простiр ⇔ X i Ẏ — T1-простори i {b} — замкнена множина в Y ;
(2) P – гаусдорфовий простiр ⇔ X i Ẏ — гаусдорфовi простори i {b} — замкнена множи-
на в Y ;
(3) P — регулярний простiр ⇔ X i Ẏ — регулярнi простори, {b} — замкнена множина в Y i
у випадку, коли X — недискретний простiр, точка b має базу iз замкнених околiв у просторi Y.
Доведення. Необхiднiсть. Зауважимо, що простори X i Ẏ гомеоморфнi до пiдпросторiв
X × {b} i {a} × Ẏ простору P, де a — деяка точка з X. Тому якщо P є Ti-простором при
i = 0, 1, 2, 3, то i X та Ẏ будуть Ti-просторами.
Нехай P — T1-простiр. Доведемо, що {b} — замкнена пiдмножина Y. Для цього досить
показати, що множина Ẏ є вiдкритою в Y. Вiзьмемо y ∈ Ẏ i зафiксуємо деяку точку a ∈ X.
Позначимо p = (a, y) i q = (a, b). Оскiльки P є T1-простором, то iснує окiл W точки p в P,
який не мiстить точки q. Але y 6= b, тому iснує окiл V точки y в Y такий, що {a} × V ⊆ W.
Тодi q /∈ {a} × V, а отже, b /∈ V. Таким чином, V ⊆ Ẏ , а тому Ẏ є околом точки y. Отже, Ẏ —
вiдкрита множина в Y.
Нехай P — регулярний простiр, а X — недискретний простiр. Тодi X мiстить якусь неiзо-
льовану точку a. Покажемо, що тодi точка b має базу iз замкнених околiв в Y. Вiзьмемо деякий
окiл V0 точки b в Y. Тодi W0 = X
a
×V0 є околом точки p0 = (a, b) в P. З регулярностi простору
P випливає, що iснує окiл W точки p0 такий, що W ⊆ W0. Тодi iснують околи U точки a в X
i V точки b в Y такi, що U
a
×V ⊆ W. Оскiльки a — неiзольована точка простору X, то iснує
точка x ∈ U \ {a}. В такому випадку {x} × V ⊆ U
a
×V ⊆ W. Але {x} × V ⊆ {x} × V . Тому
{x} × V ⊆ W ⊆ W0 = X
a
×V0. Отже, V ⊆ V0, бо x 6= a.
Достатнiсть. (0) Нехай X та Ẏ — T0-простори. Вiзьмемо в P двi рiзнi точки p1 = (x1, y1)
i p2 = (x2, y2). Нехай спочатку x1 6= x2, тодi iснує вiдкрита в X множина U, яка мiстить рiвно
одну iз точок x1, x2. В такому випадку множина W = U × Y є вiдкритою в P i мiстить рiвно
одну з точок p1, p2.
Нехай тепер x1 = x2 = x, тодi y1 6= y2. Припустимо спочатку, що y1, y2 ∈ Ẏ . Тодi, оскiльки
Ẏ є T0-простором, iснує вiдкрита в Y множина V, яка мiстить рiвно одну iз точок y1, y2. В
такому випадку множина W = {x} × V буде околом однiєї з точок p1, p2 i не мiститиме iншої.
Розглянемо нарештi випадок, коли одна з точок y1, y2 дорiвнює b. Наприиклад, нехай
y1 = b 6= y2. Тодi множина W = X
x
×Y є околом точки p1 = (x, b), який не мiстить точки
p2 = (x, y2).
(1) Нехай X та Ẏ — T1-простори i {b} — замкнена множина в Y. Вiзьмемо в P двi рiзнi
точки p1 = (x1, y1) i p2 = (x2, y2). Якщо x1 6= x2, то iснує окiл U точки x1 такий, що x2 /∈ U.
Тодi W = U × Y є околом точки p1 в P, до того ж p2 /∈ W.
Нехай x1 = x2 = x. Тодi y1 6= y2. Розглянемо спочатку випадок, коли y1, y2 ∈ Ẏ . Тодi,
оскiльки Ẏ є T1-простором, iснує окiл V точки y1 в Y такий, що y2 /∈ V. Отже, множина
W = {x} × V буде околом точки p1 в P, до того ж p2 /∈ W.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
782 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, О. В. МАСЛЮЧЕНКО, О. Д. МИРОНИК
Нехай тепер y1 = b 6= y2. Тодi множина W = X
x
×Y є околом точки p1 = (x, b) i не мiстить
точки p2 = (x, y2).
Нарештi, розглянемо випадок, коли y1 6= b = y2. Тодi, оскiльки множина {b} замкнена в Y,
Ẏ є околом точки y1 в Y. Отже, множина W = {x} × Ẏ буде околом точки p1 = (x, y1), який
не мiстить точки p2 = (x, b).
(2) Нехай X та Ẏ — гаусдорфовi простори i {b} — замкнена множина в Y. Вiзьмемо в P
рiзнi точки p1 = (x1, y1) i p2 = (x2, y2). Якщо x1 6= x2, то iснують неперетиннi околи U1 та
U2 точок x1 i x2 вiдповiдно. Тодi множини W1 = U1 × Y, W2 = U2 × Y будуть неперетинними
околами точок p1 i p2 вiдповiдно у просторi P.
Нехай тепер x1 = x2 = x. Тодi y1 6= y2. Якщо y1, y2 ∈ Ẏ , то з гаусдорфовостi простору
Ẏ та замкненостi множини {b} у просторi Y випливає, що iснують неперетиннi околи V1, V2
точок y1, y2 вiдповiдно в Y. В такому випадку множини W1 = {x} × V1 i W2 = {x} × V2 є
неперетинними околами точок p1 i p2 вiдповiдно у просторi P.
Розглянемо нарештi випадок, коли одна з точок y1 та y2 дорiвнює b. Нехай для визначеностi
y1 = b 6= y2. Покладемо W1 = X
x
×Y i W2 = {x} × Ẏ . Оскiльки множина {b} замкнена, то Ẏ
є околом точки y2. Отже, W1 i W2 є неперетинними околами точок p1 i p2 в P вiдповiдно.
(3) Нагадаємо, що топологiчний простiр X називається дискретним, якщо в ньому кожна
одноточкова множина {x} є вiдкритою. Пiдмножина E топологiчного простору X називається
дискретною, якщо пiдпростiр E простору X дискретний, тобто для кожної точки x ∈ E iснує
такий її вiдкритий в X окiл Ux, що Ux ∩E = {x}.
У випадку, коли простiр X дискретний, добуток Сiдра P подається у виглядi прямої суми
своїх пiдпросторiв X × {b} i X × Ẏ , якi очевидним чином регулярнi. А тому i простiр P буде
регулярним.
Нехай тепер X — недискретний простiр. Тодi точка b має базу замкнених околiв в Y. Пе-
ревiримо, що простiр P є регулярним. По-перше, за вже доведеним простiр P є T1-простором.
Перевiримо аксiому T3. Вiзьмемо точку p0 = (x0, y0) i її окiл W0 у просторi P. Розглянемо
спочатку випадок, коли y0 6= b. Оскiльки Ẏ — вiдкритий пiдпростiр Y, то iснує вiдкритий в
Ẏ окiл V0 точки y0 такий, що {x0} × V0 ⊆ W0. Далi, за рахунок регулярностi Ẏ виберемо
вiдкритий в Ẏ (а отже, i в Y ) окiл V точки y0 такий, що V
Ẏ
= V \ {b} ⊆ V0. Покладемо
W = {x0} × V. Тодi W є вiдкритим околом точки p0 в P, до того ж
W = {x0} × (V \ {b}) ⊆ {x0} × V0 = W0.
Розглянемо тепер випадок, коли y0 = b. Тодi iснують такi околи U0 i V0 точок x0 i b
вiдповiдно у просторах X та Y, що U0
x0
× V0 ⊆ W0. Оскiльки X регулярний, то iснує такий
замкнений окiл U точки x0, що U ⊆ U0. Далi, оскiльки точка b має базу iз замкнених околiв в
Y, то iснує замкнений окiл V точки b в Y такий, що V ⊆ V0. Тодi, оскiльки {b} замкнена в Y,
множина W = U
x0
× V є замкненим околом точки p0 в P, до того ж W ⊆ W0.
3. Множина S(W ) i σ-дискретнi простори. Нехай P = X ×b Y — добуток Сiдра.
Для множини W ⊆ P введемо в розгляд множину
S(W ) = {s ∈ X : (s, b) ∈ W i ({s} × V̇ ) ∩W = ∅ для деякого околу V точки b в Y }.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ВЛАСТИВОСТI ДОБУТКУ СIДРА 783
Лема 1. Нехай b — неiзольована точка простору Y i W — вiдкрита в P множина. Тодi
множина S(W ) є дискретною.
Доведення. Вiзьмемо деяку точку s ∈ S(W ). Оскiльки W — окiл точки (s, b), то iснують
окiл U точки s i окiл V точки b такi, що U
s
×V ⊆ W. Перевiримо, що U∩S(W ) = {s}. Вiзьмемо
x ∈ U ∩ S(W ) i покажемо, що x = s. Якщо це не так, тобто x 6= s, то x ∈ U \ {s}, а тому
{x}×V ⊆ U
s
×V ⊆ W. Але x ∈ S(W ), тому iснує такий окiл V1 точки b, що ({x}×V̇1)∩W = ∅.
Оскiльки b — неiзольована точка, то iснує така точка y ∈ V1 ∩ V, що y 6= b. Тодi, з одного боку,
(x, y) ∈ {x} × V ⊆ W, а з iншого — (x, y) ∈ {x} × V̇1 ⊆ P \W, що неможливо. Таким чином,
x = s, отже, U ∩ S(W ) = {s}. Це показує, що множина S(W ) є дискретною.
Лема 2. Нехай W — дискретна система вiдкритих множин в P = X ×b Y i точка b
неiзольована в Y. Тодi множина S =
⋃
W∈W
S(W ) є дискретною в X.
Доведення. Нехай x ∈ S. Нам потрiбно знайти такий окiл U точки x в X, що U ∩S = {x}.
Для цього розглянемо вiдповiдну точку p = (x, b) у просторi P. Оскiльки система W дискретна,
то iснує такий окiл W1 = U1
x
×V1 точки p в P, що W1 перетинається щонайбiльше з одним
елементом системи W. Iз включення x ∈ S випливає, що x ∈ S(W0) для деякої множини
W0 ∈ W. З означення множини S(W0) випливає, що p = (x, b) ∈ W0. Крiм того, p ∈ W1, отже,
p ∈ W1 ∩ W0, а значить, W1 ∩ W0 6= ∅. Тому W1 ∩ W = ∅ для кожного W ∈ W \ {W0}.
Але S(W ) × {b} ⊆ W i U1 × {b} ⊆ W1, отже, (S(W ) × {b}) ∩ (U1 × {b}) = ∅ для кожного
W ∈ W \ {W0}, а значить, S(W ) ∩ U1 = ∅ для таких W. Тому S ∩ U1 = S(W0) ∩ U1.
Множина S(W0) є дискретною за лемою 1 i x ∈ S(W0), тому iснує такий окiл U2 точки x, що
U2 ∩ S(W0) = {x}. Покладаючи U = U1 ∩ U2, отримуємо шуканий окiл точки x, бо для нього
U ∩ S = U1 ∩ U2 ∩ S = U1 ∩ S(W0) ∩ U2 = U2 ∩ {x} = {x}.
Лема 3. Нехай S — дискретна множина в T1-просторi X. Тодi множина S \ S є замкне-
ною в X.
Доведення. Оскiльки множина S дискретна в X, то для кожної точки s ∈ S iснує такий
вiдкритий окiл Us точки s в X, що Us ∩ S = {s}. Утворимо множину G =
⋃
s∈S
Us, яка буде
вiдкритою в X як об’єднання вiдкритих в X множин, i доведемо, що S \ S = S \G.
З одного боку, s ∈ Us для кожного s ∈ S, отже, S ⊆ G, а значить, S \ S ⊇ S \G. Навпаки,
нехай x ∈ S \ S. Тодi x ∈ S i x /∈ S. Припустимо, що x ∈ G. Тодi iснує таке s ∈ S, що x ∈ Us.
Оскiльки x /∈ S, а s ∈ S, то x 6= s. Тому iснує такий вiдкритий окiл Vs точки x в X, що x ∈ Vs,
а s /∈ Vs, адже X задовольняє аксiому T1. Розглянемо множину U = Us ∩ Vs, яка є вiдкритим
околом точки x в X. Оскiльки x ∈ S, то U ∩S 6= ∅, отже, iснує точка s0 ∈ U ∩S. Тодi s0 ∈ Vs, а
s /∈ Vs, звiдки отримуємо, що s 6= s0. З iншого боку, s0 ∈ Us∩S = {s}, отже, s = s0. Отримана
суперечнiсть показує, що x /∈ G. В такому випадку x ∈ S \G i рiвнiсть S \G = S \S доведено.
З неї отримуємо
S \ S = S \G = S ∩ (X \G),
звiдки випливає, що множина S \ S замкнена в X, адже множини S i X \G замкненi в X.
Нагадаємо [3, c. 86], що топологiчний простiр X називається досконалим, якщо кожна вiд-
крита в X множинаG є множиною типу Fσ, тобто подається у виглядi об’єднання послiдовностi
замкнених в X множин Fn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
784 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, О. В. МАСЛЮЧЕНКО, О. Д. МИРОНИК
Лема 4. Кожна дискретна множина S в досконалому T1-просторi X подається у виглядi
об’єднання послiдовностi замкнених дискретних множин Sn.
Доведення. За лемою 3 множина E = S \ S є замкненою. Тодi її доповнення G = X \ E
— вiдкрита множина. Легко зрозумiти, що G ∩ S = S. Справдi, якщо s ∈ S, то s /∈ E i s ∈ S,
отже, s ∈ G ∩ S. Навпаки, якщо s ∈ G ∩ S, то s ∈ S i s /∈ E. Тодi обов’язково s ∈ S, бо у
випадку s /∈ S ми мали б, що s ∈ E, а це не так.
Вiдкрита множина G буде Fσ-множиною у досконалому просторi X. Тому iснує така по-
слiдовнiсть замкнених множин Fn, що G =
∞
⋃
n=1
Fn. У такому випадку для замкнених множин
Sn = Fn ∩ S маємо
∞
⋃
n=1
Sn =
(
∞
⋃
n=1
Fn
)
∩ S = G ∩ S = S.
Оскiльки Sn ⊆ S i S — дискретна множина, то i множини Sn дискретнi.
Лему доведено.
Топологiчний простiр X називається σ-дискретним, якщо вiн подається у виглядi об’єднан-
ня послiдовностi своїх дискретних пiдпросторiв An.
Лема 5. Нехай X — σ-дискретний досконалий T1-простiр. Тодi iснує така послiдовнiсть
замкнених дискретних множин Sn, що X =
∞
⋃
n=1
Sn.
Доведення. За умовою iснує послiдовнiсть дискретних множин An така, що X =
∞
⋃
n=1
An.
За лемою 4 для кожного n iснує така послiдовнiсть замкнених дискретних множин An,k, що
An =
∞
⋃
k=1
An,k. Перенумерувавши подвiйну послiдовнiсть (An,k)
∞
n,k=1
у звичайну послiдовнiсть
(Sm)∞m=1, отримаємо, що
X =
∞
⋃
n=1
An =
∞
⋃
n=1
∞
⋃
k=1
An,k =
∞
⋃
m=1
Sm
i множини Sm замкненi i дискретнi.
4. Метризовнiсть добутку Сiдра. Нехай X i Y — топологiчнi простори i b — неiзольована
точка в Y.
Теорема 2. Добуток Сiдра P = X ×b Y буде метризовним тодi i тiльки тодi, коли
простори X i Ẏ = Y \ {b} метризовнi, до того ж X — σ-дискретний простiр i множина {b}
замкнена в Y. Якщо ж X недискретний, то точка b має злiченну базу замкнених околiв в Y.
Доведення. Необхiднiсть. Припустимо, що P — метризовний простiр. Оскiльки простори
X та Ẏ гомеоморфно вкладаються в P, то вони метризовнi. З теореми 1(1) випливає, що
множина {b} замкнена в Y. Нехай X — недискретний простiр i a — його неiзольована точка.
З теореми 1(3) випливає, що b має базу iз замкнених околiв в Y. Доведемо, що точка b має
злiченну базу околiв. Оскiльки P метризовний, то точка p0 = (a, b) має злiченну базу околiв
W = {Wn : n ∈ N} в P. Для довiльного n вiзьмемо околи Un точки a i Vn точки b такi, що
Un
a
×Vn ⊆ Wn. Покажемо, що система V = {Vn : n ∈ N} утворює базу околiв точки b в Y.
Розглянемо деякий окiл V точки b в Y. Тодi, оскiльки W = X
a
×V є околом точки p0 в P,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ВЛАСТИВОСТI ДОБУТКУ СIДРА 785
iснує таке n, для якого Wn ⊆ W. Але a — неiзольована точка простору X, отже, iснує точка
x ∈ Un \ {a}. Тодi {x} × Vn ⊆ Un
a
×Vn ⊆ Wn ⊆ W = X
a
×V. Таким чином, Vn ⊆ V.
Доведемо, що простiр X є σ-дискретним. За критерiєм метризовностi Бiнґа [3, c. 418]
простiр P регулярний i в ньому iснує σ-дискретна база. Нехай W — σ-дискретна база простору
P така, що W =
∞
⋃
n=1
Wn, де системи Wn дискретнi. Для довiльної множини W ∈ W розглянемо
дискретну за лемою 1 множину S(W ) i покладемо Sn =
⋃
W∈Wn
S(W ) i S =
∞
⋃
n=1
Sn. За лемою
2 множини Sn дискретнi, а отже, S — σ-дискретна множина. Доведемо, що X = S. Вiзьмемо
точку x ∈ X i розглянемо окiл W0 = X
x
×Y точки p = (x, b). Оскiльки W — база, то iснує така
множина W ∈ W, що p ∈ W ⊆ W0. Тодi x ∈ S(W ) ⊆ S. Таким чином, X — σ-дискретний
простiр.
Достатнiсть. Припустимо, що простори X i Ẏ метризовнi, X — недискретний σ-дискрет-
ний простiр i виконуються подальшi умови щодо точки b, якi вказанi у формулюваннi теореми.
З теореми 1(3) випливає, що простiр P є регулярним. Тому за критерiєм метризовностi Бiнґа
досить побудувати σ-дискретну базу W простору P. Оскiльки простори X та Ẏ метризовнi, то
за критерiєм Бiнґа iснують σ-дискретнi бази U та V просторiв X та Ẏ вiдповiдно. Розглянемо
такi дискретнi системи Un та Vn в X та Ẏ вiдповiдно, що
U =
∞
⋃
n=1
Un, V =
∞
⋃
n=1
Vn.
Нехай також B = {Bn : n ∈ N} — база вiдкритих околiв точки b в Y. За лемою 5 iснує така
послiдовнiсть непорожнiх замкнених дискретних множин Sn в X, що X =
∞
⋃
n=1
Sn.
Покладемо
Wn,k =
{
{x} × V : x ∈ Sk, V ∈ Vn
}
.
Далi для довiльних номерiв m, n, k i U ∈ Um покладемо
Wn,k(U) =
(
(U \ Sk)×Bn
)
∪
(
(U ∩ Sk)× {b}
)
i
Wm,n,k = {Wn,k(U) : U ∈ Um}.
Доведемо, що система Wn,k дискретна в P. Розглянемо деяку точку p0 = (x0, y0) ∈ P.
Нехай спочатку y0 6= b. Оскiльки система Vn дискретна в Ẏ , то iснує окiл V0 точки y0, який
перетинається щонайбiльше з одним елементом системи Vn. Тодi W0 = {x0}×V0 — окiл точки
p0, який перетинається щонайбiльше з одним елементом системи Wn,k.
Нехай тепер y0 = b. Оскiльки множина Sk замкнена i дискретна, то iснує вiдкритий окiл U0
точки x0 в X, який мiстить щонайбiльше одну точку з множини Sk, тобто для деякого s0 ∈ Sk
виконується, що U0 ∩ Sk ⊆ {s0}. Тодi множина W0 = U0
s0
×Y є вiдкритим околом точки p0,
який не перетинається з жодним елементом системи Wn,k.
Перевiримо, що система Wm,n,k є дискретною в P. Зафiксуємо деяку точку p0 = (x0, y0) з
простору P. Оскiльки система Um дискретна, то iснує окiл U0 точки x0 в X, який перетинається
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
786 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, О. В. МАСЛЮЧЕНКО, О. Д. МИРОНИК
щонайбiльше з одним елементом системи Um. Покладемо W0 = U0 × Y. Зрозумiло, що W0 є
околом точки p0 в P. Зауважимо, що Wn,k(U) ⊆ U × Y для довiльного U ∈ Um. Тому W0
перетинається щонайбiльше з одним елементом системи Wm,n,k.
Покладемо W =
∞
⋃
n,k=1
Wn,k ∪
∞
⋃
m,n,k=1
Wm,n,k. Зрозумiло, що W — вiдкрита σ-дискретна
система.
Доведемо, що cистема W є базою простору P. Розглянемо довiльну точку p0 = (x0, y0) ∈ P
i деякий її окiл W0 в P.
Нехай спочатку y0 = b, тодi iснують окiл U0 точки x0 в X i окiл V0 точки b в Y такi, що
W1 = U0
x0
× V0 ⊆ W0. Оскiльки X =
∞
⋃
k=1
Sk, то iснує таке k ∈ N, що x0 ∈ Sk. Але множина
Sk є дискретною. Тому iснує такий окiл U1 точки x0, для якого U1 ⊆ U0 i U1 ∩ Sk = {x0}.
Оскiльки U — база простору X, то iснує така множина U ∈ U , що x0 ∈ U ⊆ U1. Але
U =
∞
⋃
m=1
Um. Отже, iснує такий номер m, що U ∈ Um. Далi виберемо такий номер n, що
Bn ⊆ V0. Покладемо W = Wn,k(U). Покажемо, що p0 ∈ W ⊆ W0. Оскiльки x0 ∈ Sk ∩ U, то
p0 = (x0, b) ∈ (Sk ∩ U) × {b} ⊆ W. Вiзьмемо точку p = (x, y) ∈ W i покажемо, що p ∈ W0.
По-перше, y ∈ Bn ⊆ V0. По-друге, якщо y 6= b, то x ∈ U \Sk ⊆ U1 \Sk = U1 \{x0} ⊆ U0 \{x0}.
Таким чином, якщо y 6= b, то p ∈ W1 ⊆ W0. Нехай тепер y = b. Оскiльки x ∈ U, то p ∈ W1 ⊆ W.
Розглянемо тепер випадок, коли y0 6= b. Тодi iснує такий вiдкритий окiл V0 точки y0 в Ẏ ,
що {x0} × V0 ⊆ W0. Далi, оскiльки система V є базою в Ẏ , то iснує така множина V ∈ V,
що y0 ∈ V ⊆ V0. Тодi W = {x0} × V є околом точки p0. Покажемо, що W ∈ W. Оскiльки
V ∈ V =
∞
⋃
n=1
Vn, то iснує такий номер n, що V ∈ Vn. Далi з того, що x0 ∈ X =
∞
⋃
k=1
Sk,
випливає, що x0 ∈ Sk для деякого k. Тодi W ∈ Wn,k ⊆ W. Таким чином, W — σ-дискретна
база простору P.
Для дискретного простору X метризовнiсть добутку Сiдра є очевидною.
Наслiдок 1. Нехай X — недискретний топологiчний простiр, Y – регулярний простiр i
b — неiзольована точка простору Y. Тодi для того щоб добуток Сiдра P = X ×b Y був
метризовним, необхiдно i достатньо, щоб простори X та Y були метризовними, причому X
був σ-дискретним.
Доведення. Достатнiсть випливає з теореми 2. Доведемо необхiднiсть. З теореми 2 ви-
пливає, що простори X та Ẏ метризовнi i b має злiченну базу B = {Bn : n ∈ N} вiдкритих
околiв в Y. Доведемо, що простiр Y є метризовним. Для цього знову скористаємось критерiєм
метризовностi Бiнґа. Оскiльки Ẏ метризовний, то в ньому iснує σ-дискретна база V. Розглянемо
дискретнi в Ẏ системи Vn такi, що V =
∞
⋃
n=1
Vn. Покладемо Vm,n = {V ∈ Vn : Bm ∩ V = ∅},
V̇ =
∞
⋃
m,n=1
Vm,n i Ṽ = V̇ ∪B. Покажемо, що Ṽ є σ-дискретною базою в Y. По-перше, перевiримо,
що система Vm,n дискретна в Y. Вiзьмемо y0 ∈ Y. Якщо y0 6= b, то iснує окiл V0 точки y0 в
Ẏ , який перетинається щонайбiльше з одним елементом системи Vn, а значить, i Vm,n. Якщо
ж y0 = b, то Bm — окiл точки y0, який не перетинається з жодним елементом системи Vm,n.
Отже, V̇ є σ-дискретною в Y. Але база B є злiченною, а значить, σ-дискретною. Отже, Ṽ є
σ-дискретною. Доведемо, що Ṽ — база в Y. Вiзьмемо y0 ∈ Y i деякий окiл V0 точки y0 в Y.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ВЛАСТИВОСТI ДОБУТКУ СIДРА 787
Якщо y0 = b, то iснує така множина V ∈ B ⊆ Ṽ, що y0 ∈ V ⊆ V0. Нехай тепер y0 6= b. Вiзьмемо
диз’юнктнi околи V1 точки y0 i V2 точки b. Оскiльки B є базою околiв точки b, то iснує такий
номер m, що Bm ⊆ V2. А з того, що V є базою в Ẏ , випливає, що iснує множина V ∈ V, для
якої y0 ∈ V ⊆ V0 ∩ V1. Виберемо номер n так, що V ∈ Vn. Оскiльки V ∩ Bm ⊆ V1 ∩ V2 = ∅,
то V ∈ Vm,n ⊆ Ṽ , до того ж y0 ∈ V ⊆ V0. Таким чином, Ṽ — σ-дискретна база регулярного
простору Y, а отже, за критерiєм Бiнґа простiр Y є метризовним.
5. Деякi наслiдки з критерiю метризовностi добутку Сiдра. У цьому пунктi ми наведемо
простiшi достатнi умови на простори X i Y, щоб добуток Сiдра був неметризовним.
Лема 6. Нехай X — T1-простiр без iзольованих точок i S – дискретна множина в X. Тодi
S — нiде не щiльна в X.
Доведення. Нехай U — вiдкрита в X множина i U ∩ S 6= ∅. Тодi iснує точка s ∈ U ∩ S. З
дискретностi S випливає, що iснує такий вiдкритий окiл Us точки s, що Us∩S = {s}. Оскiльки
множина {s} замкнена, то множина V = (U ∩ Us) \ {s} буде вiдкритою. Зрозумiло, що V ⊆ U
i V ∩ S = ∅. Крiм того, V 6= ∅, бо точка s не є iзольованою в X. Отже, множина S нiде не
щiльна.
Лема 7. Кожний σ-дискретний T1-простiр X без iзольованих точок є множиною першої
категорiї в собi.
Доведення. За умовою X =
∞
⋃
n=1
Sn, де множини Sn є дискретними. Вони ж будуть нiде не
щiльними в X за лемою 6, а тому X — множина першої категорiї в X.
Теорема 3. Нехай X — T1-простiр другої категорiї без iзольованих точок i Y — довiль-
ний топологiчний простiр з неiзольованою точкою b. Тодi добуток Сiдра P = X ×b Y —
неметризовний простiр.
Доведення. Якби P був метризовним простором, то за теоремою 2 X був би σ-дискретним
простором, а отже, за лемою 7 був би простором першої категорiї, що суперечить умовi.
1. Маслюченко В., Мироник О. Вичерпнiсть гребiнця Сiдра // Всеукр. наук. конф. „Сучаснi проблеми теорiї
ймовiрностей та математичного аналiзу”: Тези доп. (Ворохта, 20 – 26 лютого 2012 р.). – Iв.-Франкiвськ, 2012. –
С. 44 – 45.
2. Ceder J. Some generalizations of metric spaces // Pacif. J. Math. – 1961. – 11. – P. 105 – 126.
3. Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986. – 752 с.
4. Маслюченко В. К., Мироник О. Д. Добуток Сiдра та вичерпнi простори // Бук. мат. журн. – 2013. – 1, № 1-2. –
С. 107 – 112.
Одержано 28.08.13,
пiсля доопрацювання — 18.01.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2021 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:10Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/44/4b49e1160a5a8dbac3b2c89c58fb6344.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20212019-12-05T09:48:59Z Properties of the Ceder Product Властивості добутку Сідра Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, O. V. Myronyk, O. D. Маслюченко, В. К. Маслюченко, О. В. Мироник, О. Д. We study properties of the Ceder product $X ×_b Y$ of topological spaces $X$ and $Y$, where $b ∈ Y$, recently introduced by the authors. Important examples of the Ceder product are the Ceder plane and the Alexandroff double circle. In particular, for $i = 0, 1, 2, 3$ we establish necessary and sufficient conditions for the Ceder product to be a $T_i$ -space. We prove that the Ceder product $X ×_b Y$ is metrizable if and only if the spaces $X$ and $\overset{.}{Y}=Y\backslash \left\{b\right\}$ are metrizable, $X$ is $σ$-discrete, and the set $\{b\}$ is closed in $Y$. If $X$ is not discrete, then the point $b$ has a countable base of closed neighborhoods in $Y$. Изучаются свойства введенного авторами понятия произведения Сидра $X ×_b Y$ для топологических пространств $X$ и $Y$, а также точки $b ∈ Y$, примерами которого являются плоскость Сидра и двойная окружность Александрова. В частности, для $i = 0, 1, 2, 3$ получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы произведение Сидра было $T_i$-пространством. Установлено, что произведение Сидра $X ×_b Y$ будет метризуемым тогда и только тогда, когда пространства $X$ и $\overset{.}{Y}=Y\backslash \left\{b\right\}$ метризуемые, $X$ — $σ$-дискретное пространство и множество $\{b\}$ замкнуто в $Y$. В случае, когда $X$ — недискретное пространство, точка $b$ должна иметь счетную базу замкнутых окрестностей в $Y$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2021 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 6 (2015); 780-787 Український математичний журнал; Том 67 № 6 (2015); 780-787 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2021/1060 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2021/1061 Copyright (c) 2015 Maslyuchenko V. K.; Maslyuchenko O. V.; Myronyk O. D. |
| spellingShingle | Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, O. V. Myronyk, O. D. Маслюченко, В. К. Маслюченко, О. В. Мироник, О. Д. Properties of the Ceder Product |
| title | Properties of the Ceder Product |
| title_alt | Властивості добутку Сідра |
| title_full | Properties of the Ceder Product |
| title_fullStr | Properties of the Ceder Product |
| title_full_unstemmed | Properties of the Ceder Product |
| title_short | Properties of the Ceder Product |
| title_sort | properties of the ceder product |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2021 |
| work_keys_str_mv | AT maslyuchenkovk propertiesofthecederproduct AT maslyuchenkoov propertiesofthecederproduct AT myronykod propertiesofthecederproduct AT maslûčenkovk propertiesofthecederproduct AT maslûčenkoov propertiesofthecederproduct AT mironikod propertiesofthecederproduct AT maslyuchenkovk vlastivostídobutkusídra AT maslyuchenkoov vlastivostídobutkusídra AT myronykod vlastivostídobutkusídra AT maslûčenkovk vlastivostídobutkusídra AT maslûčenkoov vlastivostídobutkusídra AT mironikod vlastivostídobutkusídra |