On the Estimation of Strong Means of Fourier Series
We study problem of $(λ, φ)$ -strong summation of number series by the regular method $λ$ with power summation of the function $φ$. The accumulated results are extended to the case of Fourier expansions in trigonometric functions $f ϵ L_p, p > 1$, where $C$ is the set of $2π$-periodic continu...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2023 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507938934751232 |
|---|---|
| author | Pachulia, N. L. Пачулиа, Н. Л. Пачулиа, Н. Л. |
| author_facet | Pachulia, N. L. Пачулиа, Н. Л. Пачулиа, Н. Л. |
| author_sort | Pachulia, N. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:59Z |
| description | We study problem of $(λ, φ)$ -strong summation of number series by the regular method $λ$ with power summation of the function $φ$. The accumulated results are extended to the case of Fourier expansions in trigonometric functions $f ϵ L_p, p > 1$, where $C$ is the set of $2π$-periodic continuous functions. Some results are also obtained for the estimation of strong means of the method $λ$ in $L_p, p > 1$, at the Lebesgue point $x$ of the function $f$ under certain additional conditions in the case where the function $φ$ tends to infinity as $u → ∞$ faster than the exponential function $\exp (βu) − 1, β > 0$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н. Л. ПАЧУЛИА, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 809
УДК 517.5
Н. Л. Пачулиа (Абхаз. гос. ун-т, Сухум)
ОБ ОЦЕНКАХ СИЛЬНЫХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ
We consider the problem of (λ, ϕ) -strong summation of number series by a regular method λ with power summation
of the function ϕ . The accumulated results are extended to the Fourier expansions in trigonometric functions f ∈Lp ,
p > 1 , where C is the set of 2π -periodic continuous functions. Some results are also obtained for the estimation of
strong means of the method λ and Lp , p > 1 , the Lebesgue point x of the function f under certain additional
conditions in the case where the function ϕ tends to infinity AS u → ∞ faster than the exponential function
exp(βu) − 1 , β > 0 .
Розглядається (λ, ϕ) -сильне підсумовування числових рядів регулярним методом λ зі степенем підсумовування
функції ϕ . Отримані результати поширено на розклад Фур’є по тригонометричній системі функцій f ∈Lp ,
p > 1 , i f ∈C , де C — множина 2π -періодичних неперервних функцій. Встановлено результати по оцінках
сильних середніх методу λ в Lp , p > 1 , точці Лебега x функції f при деяких додаткових умовах у випадку
прямування функції ϕ до нескінченності при u → ∞ швидше за показникову функцію exp(βu) − 1 , β > 0 .
В настоящей работе получены оценки сильных средних методов суммирования числовых
рядов, которые использованы при исследовании аналогичных задач теории рядов Фурье по
тригонометрической системе функций.
Пусть даны числовой ряд
k=0
∞
∑ak (1)
с частными суммами Sn = k=0
n∑ ak , Φ — множество возрастающих, непрерывных на [0,∞)
функций ϕ таких, что ϕ(0) = 0 и ϕ(u) > 0 при u > 0 , а Φ1 — подмножество функций из
Φ , удовлетворяющих условиям
ϕ(2u) ≤ aϕ(u) ∀u ∈ 0,σ[ ] , (2)
lnϕ(u) = 0(u) , u → ∞ . (3)
Далее, пусть матрица λkn( ) = λ определяет регулярный метод суммирования рядов,
причем при любом фиксированном n ∈N0 = 0,1,…{ } последовательность чисел (λkn ) не
возрастает по индексу k и неотрицательная. Множество таких матриц обозначим через Λ ,
а S ∈R = (−∞,∞) .
Пусть ϕ ∈φ и λ ∈Λ . Введем величины
Hn
ϕ (λ) =
k=0
∞
∑λknϕ Sk − S( ) , (4)
810 Н. Л. ПАЧУЛИА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
которые называют ϕ -сильными средними метода λ ряда (1) или λ,ϕ( ) -сильными средними
ряда (1) .
Впервые величины вида (4) для тригонометрических рядов Фурье для средних арифме-
тических, называемых H, q( ) -сильными средними, ввели и изучали Харди и Литтльвуд [1, 2].
В этих работах заложены основы современной теории сильного суммирования рядов Фурье.
Позднее такие объекты рассматривали многие другие авторы (см., например, моногра-
фии [3, 4]).
Для формулировки основного утверждения работы введем следующие обозначения. Пусть
µn( ) , νn( ) — две возрастающие последовательности натуральных чисел такие, что 1 ≤
≤ νn
µn
≤ σ . В дальнейшем Bn — произвольное непустое подмножество натуральных чисел из
сегмента µn , νn[ ] , rn = Bn — мощность множества Bn , γ ∈Φ и
hn,rn
γ( ) = 1
rn k∈Bn
∑ γ Sk − S( ) . (5)
Теорема 1. Пусть последовательность чисел Fn( )n∈N0 , убывая, стремится к нулю и
γ ∈Φ . Если для любых Bn ⊂ µn , νn[ ]
hn,rn
γ ≤ A0γ Fµn( ) ln νn − µn +1( ) e
r
, (6)
то для любого γ ∈Φ1
τn
ϕ γ( ) = 1
νn − µn +1 k=µn
νn
∑ ϕ γ Sk − S( )( ) ≤ Aϕ γ Fµn( )( ) . (7)
Здесь и в дальнейшем через A будем обозначать постоянное число, возможно не одно и
то же в различных местах текста.
Доказательство. Если Fµn = 0 , то в силу неравенства (6) следует γ Sk − S( ) = 0
∀k ∈ µn , νn[ ] , поэтому соотношение (7) имеет место. Пусть Fµn > 0 ,
Bn,ν = k ∈ µn , νn[ ] : ν −1( ) γ Fµn( ) ≤ γ Sk − S( ) < ν Fµn( ){ } ,
δn,ν = 1 при Bn,ν ≠ ∅ , δn,ν = 0 при Bn,ν = ∅ .
В силу условия (6), считая при этом Bn = Bn,ν и rn,ν = Bn,ν , получаем
ν −1( ) γ Fµν( ) ≤ 1
rn,ν k∈Bν
∑ γ Sk − S( ) ≤ A0γ Fµn( ) ln νn − µν +1
rn,ν
e .
Отсюда следует, что
ОБ ОЦЕНКАХ СИЛЬНЫХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ 811
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
rn,ν ≤ e νn − µn +1( ) exp −αν( ) , α = 2A0( )−1 , ν > 1 . (8)
Группируя слагаемые по всевозможным множествам Bn,ν , с учетом возрастания функции
ϕ и неравенства (8) имеем
τn
ϕ γ( ) = 1
νn − µn +1 ν=1
∞
∑δn,ν
k∈Bn,ν
∑ ϕ γ Sk − S( )( ) ≤
≤ e
ν=2
∞
∑ϕ νγ Fµn( )( ) exp −αν( ) + ϕ γ Fµn( )( ) .
Поскольку функция ϕ принадлежит Φ1 , то [3] существует положительное число
σ = σϕ такое, что для любого u ∈ 0,σ[ ]
ν=1
∞
∑ϕ νu( ) exp −αν( ) ≤ Aϕ(u) . (9)
На основании равенства limn→∞ γ Fµn( ) = 0 найдется число n0 при n ≥ n0 такое, что
выполняется неравенство γ Fµn( ) ≤ σ. Тогда, считая u = γ Fµn( ) , из (9) получаем
ν=2
∞
∑ϕ νγ Fµn( )( ) exp −αν( ) ≤ Aϕ γ Fµn( )( ) ,
что доказывает соотношение (7) при n ≥ n0 . Если n < n0 , то неравенство (7) выполняется за
счет коэффициента A.
Теорема 1 доказана.
Полагая в теореме 1 µn = n , νn = 2n , получаем такое следствие.
Следствие 1. Пусть последовательность чисел Fn( ) , убывая, стремится к нулю, а
γ ∈Φ . Тогда если для любого Bn ⊂ n, 2n[ ]
1
rn k∈Bn
∑ γ Sk − S( ) ≤ Aγ Fn( ) ln ne
rn,ν
, (10)
то для любого ϕ ∈Φ1
1
n +1 k=n
2n
∑ϕ(γ Sk − S )( ) ≤ Aϕ γ Fn( )( ) . (11)
Теорема 2. Пусть последовательность чисел Fn( ) убывает и стремится к нулю,
функция γ принадлежит Φ и для любого Bn ⊂ n, 2n[ ] выполнены условия (10). Тогда
если последовательность λn( ) убывает и неотрицательная, а ϕ ∈Φ1 , то
812 Н. Л. ПАЧУЛИА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
H ϕ γ( ) =
k=0
∞
∑λkϕ γ Sk − S( )( ) ≤ A
k=0
∞
∑λkϕ γ Fk( )( ) . (12)
Если λ ∈Λ , то
Hn
ϕ γ( ) =
k=0
∞
∑λknϕ γ Sk − S( )( ) ≤ A
k=0
∞
∑λknϕ γ Fk( )( ) . (13)
Доказательство. Соотношения (12), (13) доказываются аналогично, поэтому достаточно
доказать неравенство (12). Если λ0 = 0 или F0 = 0, то справедливо (12). Пусть λ0 > 0 и
F0 > 0 . На основании следствия 1 получаем
k=2n
2n+1−1
∑ λkϕ γ Sk − S( )( ) ≤ Aλ2nϕ γ F2n( )( ) 2n ≤ 2A
k=2n−1
2n−1
∑ λkϕ γ Fk( )( ) .
Тогда, представляя сумму в пачки по k ∈ 2n , 2n+1 −1⎡⎣ ⎤⎦ , имеем
H ϕ γ( ) =
k=0
1
∑λkϕ γ Sk − S( )( ) +
n=1
∞
∑
k=2n
2n+1−1
∑ λkϕ γ Sk − S( )( ) ≤
≤ A
k=1
1
∑λk +
k=1
∞
∑
k=2n−1
2n−1
∑ λkϕ γ Fk( )( )
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
≤ A0
k=0
∞
∑λkϕ γ Fk( )( ) .
Теорема 2 доказана.
Из теоремы 2 следует такое утверждение.
Следствие 2. Пусть последовательность Fn( ) , убывая, стремится к нулю, а γ
принадлежит Φ и выполнено условие (10). Тогда для любого ϕ ∈Φ1 выполняется нера-
венство
1
n +1 k=0
n
∑ϕ γ Sk − S( )( ) ≤ A
n +1 k=0
n
∑ϕ γ Fk( )( ) . (14)
Говорят, что ряд (1) сильно суммируем методом λ ∈Λ к числу S , если ϕ ∈Φ и
lim
n→∞
Hn
ϕ S, λ( ) = 0 . (15)
Теорема 3. Пусть ϕ, γ ∈Φ и
lim
u→∞
γ (u)
ϕ(u)
< ∞ . (16)
Если выполнено равенство (15), то
ОБ ОЦЕНКАХ СИЛЬНЫХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ 813
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
lim
n→∞
Hn
γ S, λ( ) = 0 . (17)
Доказательство. Заметим, что теорема 3 доказана в [6, с. 106], когда λ является
методом средних арифметических. Для общих регулярных неотрицательных методов сумми-
рования доказательство теоремы 3 проводится аналогично, однако, для полноты рассуждения,
приведем его. Поскольку λ — регулярный положительный метод суммирования рядов,
существует положительное число τ такое, что для любого n
k∈N0
∑ λkn ≤ τ .
В силу условия (16) существуют числа µ,M > 0 такие, что для u > M
γ (u) ≤ µϕ(u) .
Поскольку limu→0 γ (u) = 0 , то для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что
для любого u ∈ 0, δ[ ] выполняется неравенство γ (u) < ε
τ
.
Введем обозначения
E1 = k ∈N0 : Sk − S > M{ } , E2 = k ∈N0 : δ ≤ Sk − S ≤ M{ } ,
E3 = k ∈N0 : Sk − S < δ{ } .
Очевидно,
Hn
γ S, λ( ) =
1
3
∑
k∈E j
∑ λknγ Sk − S( ) =
1
3
∑I j (n) .
Ясно, что
I1(n) ≤ µ
k∈E1
∑λknϕ Sk − S( ) ≤ µHn
ϕ S, λ( ) .
Легко заметить, что
I3(n) ≤ γ (δ)
k∈E3
∑ λkn ≤ τγ (δ) < ε .
Далее, с одной стороны,
Hn
ϕ S, λ( ) ≥
k∈E2
∑ λknϕ Sk − S( ) ≥ ϕ δ( )
k∈E2
∑ λkn ,
а с другой —
814 Н. Л. ПАЧУЛИА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
I2(n) ≤ γ (M )
k∈E2
∑ λkn .
Таким образом,
Hn
γ S, λ( ) ≤ ε + γ M( )
ϕ δ( ) + µ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Hn
ϕ S, λ( ) ,
что и завершает доказательство теоремы 3.
Итак, при выполнения условий λ ∈Λ , ϕ, γ ∈φ и соотношения (16) следует, что метод
сильного суммирования λ,ϕ( ) ряда (1) к S сильнее метода λ, γ( ) .
Применим теорему 1 к сильному суммированию ортогональных разложений функции.
Пусть Lp = f :
−π
π
∫ f x( ) p dx < ∞{ } , f ∈Lp , p ≥ 1 , и ее ряд Фурье по тригонометри-
ческой системе функций имеет вид
S f[ ] = a0
2
+
k=0
∞
∑Ak f , x( ) , (18)
где Ak f , x( ) = ak cos kx + bk sin kx при k > 0 , A0 f , x( ) = a0
2
, а ak , bk — коэффициенты
Фурье. Далее, пусть
Sn f , x( ) =
k=0
n
∑Ak f , x( )
— частные суммы порядка n ряда (18), а ρn f , x( ) = f (x) − Sn f , x( ) — соответствующее
отклонение.
Рассмотрим λ,ϕ( ) -сильные средние ряда (18) метода λ ∈Λ для ϕ ∈Φ :
hnϕ f , x, λ( ) =
k=0
∞
∑λknϕ ρk f , x( )( ) .
В работе [7] доказано следующее утверждение. Пусть f ∈Lp , p > 1 , и равномерно
относительно x ∈E ⊂ −π, π[ ] выполнено соотношение
φ p,x (h) =
0
h
∫ f x + t( ) − f (x) p dt = o(h) . (19)
Тогда для любого B ⊂ n, 2n[ ] равенство
1
rn k∈B
∑ ρk f , x( ) q⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
q
= o ln ne
rn
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
(20)
ОБ ОЦЕНКАХ СИЛЬНЫХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ 815
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
выполняется равномерно по x при n→ ∞ на множестве E . Следовательно, величина
εm
q( ) f , E( ) = sup
n≥m
1
rn k∈B
∑ ρk f , x( ) q ln ne
rn
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−1
, q ∈ 0,1( ] , (21)
убывая, стремится к нулю. Кроме того, в [5] доказано, что если f ∈C , γ u( ) = uq ,
q ∈ 0,1( ] , то для любого B ⊂ n, 2n[ ]
1
rn k∈B
∑γ ρk f , x( )( ) ≤ Aγ En f( )( ) ln ne
rn
, (22)
где C — пространство 2π -периодических непрерывных функций, а En ( f ) — наилучшее
приближение функции f тригонометрическими полиномами порядка не выше n .
Используя следствие 1 и полагая при этом Sk = Sk ( f , x) и S = f (x) , в силу соотноше-
ний (21), (22) убеждаемся в справедливости следующего утверждения.
Теорема 4. Пусть функция γ (u) = uq , q ∈ 0,1( ] , ϕ ∈Φ1 и λ ∈Λ . Тогда если f ∈Lp ,
p > 1 , и равенство (19) выполнено равномерно относительно x на множестве E , то
hn
ϕ γ( ) f , x, λ( ) ≤
k=0
∞
∑λknϕ γ εk
(q) f , E( )( )( ) . (23)
Если же f ∈C, то
hn
ϕ γ( ) f , x, λ( ) ≤
k=0
∞
∑λknϕ γ Ek ( f )( )( ) . (24)
Из теоремы 4 следует такое утверждение.
Следствие 3. Пусть γ (u) = uq , q ∈ 0,1( ] , ϕ(u) = exp(u) −1 . Тогда если f ∈Lp ,
p > 1 , и равенство (19) выполняется равномерно на множестве E , то
1
n +1 k=0
n
∑ϕ γ ρk f , x( )( )( ) ≤ A
n +1 k=0
n
∑ϕ γ εk
1( ) f , E( )( )( ) . (25)
Если же f ∈C , то
1
n +1 k=0
n
∑ϕ γ ρk f , x( )( )( ) ≤ A
n +1 k=0
n
∑ϕ γ (En ( f ))( ) . (26)
Следствие 4. Пусть функции γ (u) = uq , q ∈ 0,1( ] , ϕ ∈Φ1 и λ ∈Λ . Тогда если
f ∈Lp , p > 1 , и равенство (19) выполнено равномерно на множестве E , то
816 Н. Л. ПАЧУЛИА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
lim
n→∞
hn
ϕ γ( ) f , x, λ( ) = 0 (27)
выполняется равномерно по x на множестве E .
Если γ (u) = uq , q > 1 , то можно подобрать функцию ϕ ∈φ1 (например, ϕ(u) =
= exp βu( ) −1 , β > 0 ) такую, что условие (3) для сложной функции ϕ(γ ) не выполняется.
Тогда гарантировать равенство (27) в условиях (19) нельзя. Однако при дополнительных усло-
виях на функцию f можно получить из (19) соотношение (27).
Сначала убедимся в справедливости следующего утверждения.
Теорема 5. Пусть функция γ (u) = uq при q > 1 . Тогда существует функция f0 ∈C ,
удовлетворяющая в точке x0 соотношению
Qγ = lim
n→∞
Pn,rn
γ f0, x0( ) γ εn(1)( f0, x0 )( ) ln nern
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−1
= + ∞ , (28)
где
Pn,rn
γ f0, x0( ) = 1
rn k∈B
∑γ ρk f0, x0( )( ) , (29)
n ∈N , B ⊂ [n, 2n] , r = B .
Доказательство. Пусть функция ϕ(u) = exp(u) −1 . Поскольку
lim
u→∞
u−1 lnϕ γ u( )( ) = ∞ , (30)
то на основании результатов работы [6, с. 109] существует функция f0 ∈C , для которой в
некоторой точке x0
lim
n→∞
Pn,n+1
ϕ γ( ) f0, x0( ) = ∞ , (31)
где
Pn,n+1
ϕ γ( ) f0, x0( ) = 1
n +1 k=n
2n
∑ϕ γ ρk f0, x0( )( )( ) .
Если Qγ < ∞ , то для любого B ⊂ n, 2n[ ]
Pn,rn
γ f0, x0( ) γ εn
1( ) f0, x0( )( ) ln nern
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−1
< ∞ .
Тогда на основании следствия 1 получаем
ОБ ОЦЕНКАХ СИЛЬНЫХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ 817
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
Pn, n+1
ϕ γ( ) f0, x0( ) ≤ Aϕ γ εk
1( ) f0, x0( )( )( ) .
Функция f0 принадлежит C , тогда на основании равенств (20) и limu→0 ϕ γ (u)( ) = 0
имеем
lim
n→∞
Pn,n+1
ϕ γ( ) f0, x0( ) = 0 . (32)
Соотношения (31), (32) выполняются одновременно, что невозможно.
Теорема 5 доказана.
Таким образом, условие непрерывности функции не обеспечивает выполнения нера-
венств (25), (26) при условии γ (u) = uq , q > 1 , ϕ(u) = exp(u) −1 .
Пусть
Φ2 = ϕ ∈Φ1 : ϕ(u) ≤ Au, u ∈ 0,µ[ ]{ } ,
Φ3 = ϕ ∈Φ2 :
ϕ u( )
u
≥ β > 0⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
, Cµ = f ∈C : ρk f , x( ) ≤ µ{ } .
Ясно, что функции ϕ(u) = uq , q > 1 , и ϕ(u) = exp qu( ) −1 , q > 0 , принадлежат мно-
жеству Φ2 .
Теорема 6. Пусть функция f ∈Lp , p > 1 , ρk f , x( ) ≤ τ ∀k ∈N на множестве E и
равномерно относительно x ∈E выполнено равенство (19). Тогда если γ ∈Φ2 , то для
любого B ⊂ n, 2n[ ]
Pn,rn
γ f , x( ) ≤ Aεn
1( ) f , E( ) ln ne
rn
. (33)
Если же f ∈Cτ , γ ∈Φ3 , то для любого B ⊂ n, 2n[ ]
Pn,rn
γ f , x( ) ≤ k2 Aγ εn
1( ) f , E( )( ) ln nern . (34)
Из теоремы 6 следует такое утверждение.
Следствие 5. Пусть f ∈Lp , p > 1 , на множестве E равномерно относительно x
выполняется (19) и ρk f , x( ) ≤ τ ∀k ∈N0 . Тогда если γ ∈Φ3 , ϕ ∈Φ1 , то
Pn, n+1
ϕ γ( ) f , x( ) ≤ Aϕ γ εn(1) f , E( )( )( ) .
Теорема 7. Пусть функция f ∈Cµ . Тогда если γ ∈Φ2 , то для любого B ⊂ n, 2n[ ]
818 Н. Л. ПАЧУЛИА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
Pn,rn
γ f , x( ) ≤ AEn ( f ) ln
ne
rn
. (35)
Если же γ ∈Φ3 , то для любого B ⊂ n, 2n[ ]
Pn,rn
γ f , x( ) ≤ Aγ En ( f )( ) ln ne
rn
. (36)
Докажем неравенство (34) (неравенства (33), (35) и (36) доказываются аналогично). По-
скольку функция γ принадлежит Φ2 , то, используя соотношение (21) при q = 1, получаем
Pn,rn
γ f , x( ) ≤ A
rn k∈B
∑ ρk f , x( ) ≤ Aεn
1( ) f , E( ) ln ne
rn
.
С другой стороны, γ ∈Φ3 , поэтому u ≤ βγ (u) . Тогда в силу предыдущего неравенства
получаем соотношение (34).
Из теоремы 7 следует такое утверждение.
Следствие 6. Пусть f ∈Cµ , γ ∈Φ3 , ϕ ∈Φ1 , тогда
Pn, n+1
ϕ γ( ) f , x( ) ≤ Aϕ γ En( )( ) .
Опираясь на заключения теорем 6 и 7, как при доказательстве теоремы 2, убеждаемся в
справедливости следующих утверждений.
Теорема 8. Пусть f ∈Lp , p > 1 , на множестве E равенство (19) выполняется рав-
номерно относительно x и ρk f , x( ) ≤ µ ∀k ∈N0 . Если γ ∈Φ3 , ϕ ∈Φ1 , λ ∈Λ, то
имеет место неравенство (23).
Теорема 9. Пусть f ∈Cµ , γ ∈Φ3 , ϕ ∈Φ1 , λ ∈Λ . Тогда имеет место неравен-
ство (24).
Из теоремы 8 следует такое утверждение.
Следствие 7. Пусть ϕ(u) = exp exp(u) −1( ) −1( ) , f ∈Lp , p > 1 , на множестве E
равномерно относительно x выполняется соотношение (19) и ρk f , x( ) ≤ µ ∀k ∈N0 .
Если λ ∈Λ, то равенство
k=0
∞
∑λknϕ ρk f , x( )( ) = o(1) , n→ ∞ , (37)
выполняется равномерно на множестве E .
На основании теоремы 3, так как
lim
u→∞
exp uq( ) −1
exp exp(u) −1( ) −1 = 0 , q > 0 ,
в силу следствия 7 получим такое утверждение.
ОБ ОЦЕНКАХ СИЛЬНЫХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ 819
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
Следствие 8. Пусть γ (u) = exp(uq ) −1 , q > 1 , f ∈Lp , p > 1 , на множестве E соот-
ношение (19) выполняется равномерно и ρk f , x( ) ≤ µ ∀k ∈N0 . Если λ ∈Λ , то равно-
мерно на E
k=0
∞
∑λknγ ρk f , x( )( ) = o(1), n→ ∞ . (38)
Отметим, что если в соотношении (19) множество E состоит из одной Lp -точки Лебега
x функции f , в которой ρk f , x( ) ≤ µ ∀k ∈N0 , то оценка (38) выполняется равномерно
на множестве E при γ (u) = exp uq( ) −1 , q > 1 , хотя γ ∉φ1 .
Использованные в данной работе методы исследования и полученные результаты можно
применить в других случаях. Например, для получения оценок λ,ϕ( ) -сильных средних раз-
ложения функции по системам алгебраических полиномов, по системам функции полиноми-
ального вида [8, с. 183] и др.
1. Hardy G. H., Littlewood J. E. Sur la serie de Fourier d`une function a carre summable // Comput. Revs. – 1913. –
156. – P. 1307 – 1309.
2. Hardy G. H., Littlewood J. E. On the strong summability of Fourier series // Proc. London Math. Soc. – 1926. –
26. – P. 273 – 286.
3. Leindler L. Strong approximation by Fourier series. – Budapest, 1985. – 210 p.
4. Ласурия Р. А. Сильная суммируемость рядов Фурье и аппроксимация функций. – Сухум: Абхаз. гос. ун-т,
2010. – 258 с.
5. Totik V. On the srong approximation of Fourier series // Acta Math. Acad. Sci. Hung. – 1980. – 35. – P. 83 – 130.
6. Гоголадзе Л. Д. О суммировании кратных тригонометрических рядов и сопряженных функциях: Дис. … д-ра
физ.-мат. наук. – Тбилиси, 1984. – 256 с.
7. Пачулиа Н. Л. О точках сильной суммируемости рядов Фурье // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 12. –
С. 1955 – 1964.
8. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. – 359 с.
Получено 28.05.12,
после доработки — 07.12.14
|
| id | umjimathkievua-article-2023 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:16Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/74/b40cf78290794125d2068358b0643774.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20232019-12-05T09:48:59Z On the Estimation of Strong Means of Fourier Series Об оценках сильных средних рядов Фурье Pachulia, N. L. Пачулиа, Н. Л. Пачулиа, Н. Л. We study problem of $(λ, φ)$ -strong summation of number series by the regular method $λ$ with power summation of the function $φ$. The accumulated results are extended to the case of Fourier expansions in trigonometric functions $f ϵ L_p, p > 1$, where $C$ is the set of $2π$-periodic continuous functions. Some results are also obtained for the estimation of strong means of the method $λ$ in $L_p, p > 1$, at the Lebesgue point $x$ of the function $f$ under certain additional conditions in the case where the function $φ$ tends to infinity as $u → ∞$ faster than the exponential function $\exp (βu) − 1, β > 0$. Розглядається $(λ, φ)$ -сильне підсумовування числових рядів регулярним методом $λ$ зі степенем підсумовування функції $φ$. Отримані результати поширено на розклад Фур'є по тригонометричній системі функцій $f ϵ L_p, p > 1$, де $C$ — множина $2π$-періодичних неперервних функцій. Встановлено результати по оцінках сильних середніх методу $λ$ в $L_p, p > 1$, точці Лебега $x$ функції $f$ при деяких додаткових умовах у випадку прямування функції $φ$ до нескінченності при $u → ∞$ швидше за показникову функцію $\exp (βu) − 1, β > 0$.. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2023 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 6 (2015); 809–819 Український математичний журнал; Том 67 № 6 (2015); 809–819 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2023/1064 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2023/1065 Copyright (c) 2015 Pachulia N. L. |
| spellingShingle | Pachulia, N. L. Пачулиа, Н. Л. Пачулиа, Н. Л. On the Estimation of Strong Means of Fourier Series |
| title | On the Estimation of Strong Means of Fourier Series |
| title_alt | Об оценках сильных средних рядов Фурье |
| title_full | On the Estimation of Strong Means of Fourier Series |
| title_fullStr | On the Estimation of Strong Means of Fourier Series |
| title_full_unstemmed | On the Estimation of Strong Means of Fourier Series |
| title_short | On the Estimation of Strong Means of Fourier Series |
| title_sort | on the estimation of strong means of fourier series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2023 |
| work_keys_str_mv | AT pachulianl ontheestimationofstrongmeansoffourierseries AT pačulianl ontheestimationofstrongmeansoffourierseries AT pačulianl ontheestimationofstrongmeansoffourierseries AT pachulianl obocenkahsilʹnyhsrednihrâdovfurʹe AT pačulianl obocenkahsilʹnyhsrednihrâdovfurʹe AT pačulianl obocenkahsilʹnyhsrednihrâdovfurʹe |