Leiko Network on the Surfaces in the Euclidean Space $E_3$

We introduce the notion of Leiko network as a generalization of the geodetic network on the surfaces of nonzero Gaussian curvature in the Euclidian space $E_3$ and study its characteristics. The conditions of preservation of the Leiko network under infinitesimal deformations of the surfaces are also...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2015
Main Authors:	Potapenko, I. V., Потапенко, І. В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian English
Published:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015
Online Access:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2024
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Download file:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860507941531025408
author	Potapenko, I. V. Потапенко, І. В.
author_facet	Potapenko, I. V. Потапенко, І. В.
author_sort	Potapenko, I. V.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-12-05T09:48:59Z
description	We introduce the notion of Leiko network as a generalization of the geodetic network on the surfaces of nonzero Gaussian curvature in the Euclidian space $E_3$ and study its characteristics. The conditions of preservation of the Leiko network under infinitesimal deformations of the surfaces are also obtained.
first_indexed	2026-03-24T02:17:19Z
format	Article
fulltext	© І. В. ПОТАПЕНКО, 2015 820 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 УДК 514.752.433 І. В. Потапенко (Одес. нац. ун-т ім. І. І. Мечникова) СІТКА ЛЕЙКО НА ПОВЕРХНЯХ В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ E3 We introduce the notion of Leiko network as a generalization of the geodetic network on the surfaces of nonzero Gaussian curvature in the Euclidian space E3 and study its characteristics. The conditions of preservation of the Leiko network under infinitesimal deformations of the surfaces are also obtained. Вводится в рассмотрение понятие сети Лейко, которая является обобщением геодезической сети на поверхностях ненулевой гауссовой кривизны в евклидовом пространстве E3 , и исследуются ее свойства. Получены также усло- вия сохранения сети Лейко при инфинитезимальных деформациях поверхностей. У даній статті вводиться поняття сітки на поверхні в тривимірному евклідовому просторі, однопараметричні сім’ї якої — ізопериметричні екстремалі повороту, тобто ІЕП-сітки, яка є узагальненням геодезичної сітки. Вивченням ізопериметричних екстремалей повороту займав- ся С. Г. Лейко [4 – 8]. Вшановуючи пам’ять про С. Г. Лейко, автор назвав цю сітку його іменем. Дослідження властивостей сітки Лейко проведемо в тензорній формі, використовую- чи методику Я. С. Дубнова, викладену в монографії В. Ф. Кагана [3, с. 366 – 370]. Означення 1. Ізопериметричні екстремалі повороту (ІЕП) на поверхнях в тривимірному евклідовому просторі — це криві, вздовж яких виконується співвідношення kg = cK , (1) де kg — геодезична кривина без знаку, K — гауссова (повна) кривина поверхні, c — ізопе- риметрична стала. З означення 1 випливає, що нетривіальні ІЕП з’являються на поверхнях ненульової гаус- сової (повної) кривини. Більш детальні властивості ІЕП можна знайти в [5, 7, 8]. Отже, далі ми розглядаємо поверхні ненульової гауссової (повної) кривини. Нагадаємо, що однопараметрична сім’я ліній на поверхні називається регулярною, якщо через кожну точку поверхні проходить одна і лише одна лінія цієї сім’ї. Дві різні однопараметричні сім’ї кривих регулярні в спільній області, утворюють на поверхні регулярну сітку, якщо: 1) через кожну точку області сітки проходять дві криві, що належать різним сім’ям і 2) лінії з різних сімей у жодній точці не мають спільної дотичної. В. Ф. Каган [3, с. 340] використовує термін ,,регулярна область сітки”. Означення 2. Регулярна сітка на поверхні ненульової гауссової (повної) кривини K на- зивається ІЕП-сіткою або сіткою Лейко, якщо кожна лінія будь-якої з двох однопара- метричних сімей, що утворюють сітку, є ізопериметричною екстремаллю повороту. При цьому для будь-яких двох різних ліній однієї сім’ї ізопериметрична стала є однаковою. Означення 3. Тензор другої валентності, що визначається матрицею 0 g − g 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ , (2) СІТКА ЛЕЙКО НА ПОВЕРХНЯХ В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ E3 821 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 де g — дискримінант метричного тензора поверхні, називається дискримінантним тензором поверхні [2, с. 162], який будемо позначати cij . Даний тензор типу (2 0) породжує дискримінантні тензори інших типів (0 2 ) та (1 1 ) за формулами cij = giαg jβcαβ та ci⋅ ⋅ j = gαjciα , де gij — контраваріантні компоненти метричного тензора поверхні. Нехай ω(x1, x2 ) — сітковий кут, що змінюється в межах (0, π) . Напрямні вектори одно- параметричних сімей l(λ1, λ2 ) та m(µ1,µ2 ) — орти, що визначаються в дотичній площині, а в круглих дужках вказано їх відповідні координати. Розглянемо контраваріантний тензор з матрицею компонент 2λ1µ1 sinω λ1µ2 + λ2µ1 sinω λ1µ2 + λ2µ1 sinω 2λ2µ2 sinω ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . (3) Дискримінант матриці (3) дорівнює − 1 g . Для регулярної сітки зведені мінори матриці (3) утворюють симетричний тензор другої валентності φ 0 ij з компонентами − 2λ 2µ2g sinω (λ1µ2 + λ2µ1)g sinω (λ1µ2 + λ2µ1)g sinω − 2λ 1µ1g sinω ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . (4) В індексному позначенні, використовуючи дискримінантний тензор поверхні (2), маємо φ 0 ij = − ciαc jβ(λαµβ + λβµα ) sinω . (5) Тензор (5), уведений Я. С. Дубновим [3, с. 341], називається нормованим тензором сітки і відіграє ключову роль в теорії регулярних сіток. Тензор з матрицею компонент (3) — це 822 І. В. ПОТАПЕНКО ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 зведені мінори матриці (4). Будемо позначати його !"φij . Означення 4. Вектор τ(τ1, τ2 ) з компонентами τi = cαλcβµ φ 0 iα φ 0 λµ,β називається чебишовським вектором сітки [3, с. 356], де cij — дискримінантний тензор поверхні, φ 0 ij — нормований тензор сітки, комою позначено коваріантну похідну на базі метричного тензора поверхні. Зауважимо, що в круглих дужках тут і далі наведено координати вектора в дотичній площині. Теорема 1. Якщо регулярна сітка на поверхні ненульової гауссової (повної) кривини K є сіткою Лейко, то мають місце співвідношення τm = Ωl + 2clK sinω , (6) τl = Ωm − 2cmK sinω , (7) де l(λ1, λ2 ) , m(µ1,µ2 ) — орти напрямних векторів двох однопараметричних сімей, що утворюють регулярну сітку, τ(τ1, τ2 ) — чебишовський вектор сітки, ω = (l , ^ m) — сітко- вий кут, Ω(Ω1,Ω2 ) — градієнт сітки, зв’язаний з сітковим кутом формулою Ω = ln tg2 ω 2 , (8) cl , cm — ізопериметричні сталі сімей. Доведення. Геодезична кривина лінії сітки визначається формулою [3, с. 339] kg (l) = cαβλαλ,γβ λγ . (9) У формулі (9) враховано, що лінія входить до складу однопараметричної сім’ї з напрямним вектором l(λ1, λ2 ) , cαβ — дискримінантний тензор поверхні. Використовуючи формулу для скалярного добутку градієнта сіткового кута та напрямного вектора [2, с. 366] ω iλi = cαβ(λ,γα λγλβ + µαµ,γβ λγ ) , а також вираз для чебишовського вектора τ(τ1, τ2 ) [3, с. 362] 1 2 ταµα sinω = − cαβµ,γαµβλγ , маємо СІТКА ЛЕЙКО НА ПОВЕРХНЯХ В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ E3 823 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 kg (l) = 1 2 ταµα sinω − ω iλi . Аналогічно для ліній другої однопараметричної сім’ї з напрямним вектором m(µ1,µ2 ) kg (µ) = − 1 2 ταλα sinω + ω iµi . Знак мінус з’явився тому, що сітковий кут ω = (l , ^ m) відкладається від вектора l(λ1, λ2 ) до вектора m(µ1,µ2 ) . Оскільки дана регулярна сітка є сіткою Лейко, то будуть мати місце співвідношення ω iλi = 1 2 ταµα sinω − clK , (10) ω iµi = 1 2 ταλα sinω + cmK , (11) де cl , cm — ізопериметричні сталі сімей, K — гауссова (повна) кривина поверхні. Якщо ввести до розгляду функцію (8) та врахувати, що 2ω i sinω = Ωi , то співвідношення (10), (11) наберуть вигляду ταµα = Ωαλα + 2clK sinω , (12) ταλα = Ωαµα − 2cmK sinω . (13) Співвідношення (12), (13) і є (6), (7) в іншій формі. Теорему 1 доведено. Теорема 2. Для того щоб регулярна сітка на поверхні ненульової гауссової (повної) кри- вини K була сіткою Лейко, необхідно і достатньо виконання умов −τ j cosω + !"φ jατα sinω = Ω j + 2K sin2 ω c jβ clµβ + cmλβ( ) , (14) де l(λ1, λ2 ) , m(µ1,µ2 ) — орти напрямних векторів двох однопараметричних сімей, що утворюють регулярну сітку, τ(τ1, τ2 ) — чебишовський вектор сітки, ω = (l , ^ m) — сітко- вий кут, Ω(Ω1,Ω2 ) — градієнт сітки, зв’язаний з сітковим кутом формулою (8), cl , 824 І. В. ПОТАПЕНКО ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 cm — ізопериметричні сталі сімей, cαβ — дискримінантний тензор поверхні, !"φ jα = = c jβcρ..β !"φαρ , !"φαρ c— зведені мінори нормованого тензора сітки. Доведення. Із рівнянь (10), (11) маємо τα (µαµi − λαλi ) = Ωα (λαµi − λiµα ) + 2K sinω (clµi + cmλi ) . (15) Із урахуванням співвідношення [3, с. 341] λαµi − λiµα = cαi sinω (16) (15) набирає вигляду τα (µαµi − λαλi ) = cαiΩα sinω + 2K sinω (clµi + cmλi ) . (17) Помноживши (17) на c ji та згорнувши по i , матимемо c jβτα (µαµβ − λαλβ ) = Ω j sinω + 2K sinω c jβ(clµβ + cmλβ ) . Враховуючи співвідношення [3, с. 345] µi = λi cosω + cρ..iλρ sinω , λi = µi cosω − cρ..iµρ sinω , отримуємо c jβτα ((µαλβ − λαµβ ) cosω + cρ..β(µαλρ + µρλα ) sinω) = = Ω j sinω + 2K sinω c jβ(clµβ + cmλβ ) . (18) Використовуючи (16) та формулу [3, с. 341] µ αλρ + µρλα = !"φαρ sinω , (18) записуємо у вигляді c jβτα cαβ sinω cosω + cρ..β !"φαρ sin2 ω( ) = Ω j sinω + 2K sinω c jβ(clµβ + cmλβ ) . (19) Розділивши (19) на sinω , з урахуванням [3, с. 368] співвідношень СІТКА ЛЕЙКО НА ПОВЕРХНЯХ В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ E3 825 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 c jβcαβτα = τ j , c jβcρ..β !"φαρτα = !"φ jατα отримаємо (14). Теорему 2 доведено. Означення 5. Вектор P(p1, p2 ) з компонентами pβ = clµβ + cmλβ , (20) який повністю визначається ізопериметричними сталими cl , cm , назвемо вектором пово- роту сітки. Нагадаємо [3, с. 369], що вектор з компонентами γ j = !φ jατα − !Hτ j − 2 !H j (21) називається вектором кривини сітки, де !H — перший інваріант нормованого тензора сіт- ки φ 0 ij , який означується [3, с. 342] формулою 2 !H = φ 0 ij g ij , gij — контраваріантні компоненти метричного тензора поверхні. Теорема 3. В кожній точці регулярної сітки поверхні ненульової гауссової (повної) кри- вини K прикладено два вектори з компонентами (20) та (21). Сітка Лейко характери- зується тим, що ці вектори зв’язані між собою співвідношенням γ j = 2K sin3 ω c jβpβ , (22) де ω = (l , ^ m) — сітковий кут, c jβ — дискримінантний тензор поверхні. Доведення. Підставимо в (14) вирази [3, с. 369] !"φ jα = !φ jα − 2 !Hδ jα , Ω j = 2 !H j sinω . З урахуванням (20) отримаємо −τ j cosω + !φ jατα sinω − 2 !Hτ j sinω = 2 !H j sinω + 2K sin2 ω c jβpβ . (23) Оскільки [3, с. 344] 826 І. В. ПОТАПЕНКО ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 !H = − ctgω , (24) то (23) набирає вигляду !φ jατα sinω − !Hτ j sinω = 2 !H j sinω + 2K sin2 ω c jβpβ . (25) Після ділення (25) на sinω та переносу 2 !H j у праву частину з урахуванням (21) отримає- мо (22). Теорему 3 доведено. Використавши (24), співвідношенню (22) з точністю до знаку можна надати вигляду γ j = 2K (1+ !H 2 ) 3 2 c jβpβ . Розглянемо у тривимірному евклідовому просторі E3 регулярну класу Ck , k ≥ 3 , поверхню S , гомеоморфну плоскій двовимірній однозв’язній області з векторно-параметрич- ним рівнянням r− = r−(x1, x2 ) , та її інфінітезимальну регулярну класу Ck , k ≥ 3 , деформацію St : r − t = r − (x1, x2 ) + t y − (x1, x2 ) , (26) де y − (x1, x2 ) — вектор зміщення, який є регулярною класу Ck , k ≥ 3 , векторною функцією в даній області, t — малий параметр, та з’ясуємо умови збереження сітки Лейко при інфіні- тезимальних деформаціях поверхонь (26). Нижче ми будемо розглядати інфінітезимальні деформації першого порядку, а отже, членами порядку t 2 і вище будемо нехтувати. Теорема 4. Нехай на регулярній поверхні S в деякій її регулярній області існує сітка Лейко. Для того щоб в результаті інфінітезимальної деформації (26) ця сітка залишалась стаціонарною, достатньо виконання умов δ g g112 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Γ112 + g g112 δΓ112 = − 1 2 cl (Kgαβδgαβ + cljcikδgil, jk ) , (27) δ g g222 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Γ221 + g g222 δΓ221 = 1 2 cm (Kgαβδgαβ + cljcikδgil, jk ) , де K — гауссова (повна) кривина поверхні, cl , cm — ізопериметричні сталі сімей, clj — дискримінантний тензор поверхонь, δgij — варіація метричного тензора поверхні, δΓ ijh — СІТКА ЛЕЙКО НА ПОВЕРХНЯХ В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ E3 827 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 варіація символів Крістоффеля другого роду, комою позначено коваріантну похідну на базі метричного тензора поверхні gij . Доведення. Нехай kg1∗ , kg2∗ — геодезичні кривини однопараметричних сімей ліній, що утворюють сітку на здеформованій поверхні. Оскільки в результаті інфінітезимальної дефор- мації (26) сітка Лейко повинна залишитись стаціонарною, то повинні виконуватись умови kg1∗ = clK ∗ , (28) kg2∗ = cmK * , де K ∗ — гауссова кривина здеформованої поверхні. Запишемо (28) у вигляді kg1 + tδkg1 = cl (K + tδK ) , (29) kg2 + tδkg2 = cm (K + tδK ) . Оскільки на даній поверхні вздовж кожної лінії будь-якої з двох однопараметричних сімей виконується співвідношення (1), то умови (29) рівносильні умовам δkg1 = clδK , (30) δkg2 = cmδK . У (30) замість варіації δK підставимо вираз [1, с. 69] δK = − 1 2 Kgαβδgαβ − 1 2 cljcikδgil, jk , а замість δkg1 , δkg2 — вирази δkg1 = δ g g112 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Γ112 + g g112 δΓ112 , δkg2 = −δ g g222 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Γ221 − g g222 δΓ221 , які мають місце, якщо до формул [2, с. 406] kg1 = g g112 Γ112 , kg2 = − g g222 Γ221 828 І. В. ПОТАПЕНКО ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 застосувати лему [9, с. 524]. В результаті отримаємо (27). Теорему 4 доведено. Підсумовуючи викладене вище, робимо висновок, що на поверхнях ненульової гауссової (повної) кривини K існує відмінна за своїми властивостями від геодезичної сітки нова ре- гулярна сітка, а саме, сітка Лейко, яка визначається цілком певно ізопериметричними сталими cl , cm . Очевидно, що ї ї властивості не вичерпуються тими, що були розглянуті в даній статті. 1. Безкоровайна Л. Л. Ареальні нескінченно малі деформації і врівноважені стани пружної оболонки. – Одеса: АстроПринт, 1999. – 168 с. 2. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Ч. 1. – М.; Л.: ОГИЗ, 1947. – 512 с. 3. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Ч. 2. – М.; Л.: ОГИЗ, 1948. – 408 с. 4. Лейко С. Г. Теорема существования экстремалей поворота на поверхностях в E3 и поворотные диффеомор- физмы // Всесоюзная школа. Оптимальное управление. Геометрия и анализ. – Кемерово, 1988. – С. 52. 5. Лейко С. Г. Вариационные задачи для функционалов поворота и спин-отображения псевдоримановых про- странств // Изв. вузов. Математика. – 1990. – № 10. – С. 9 – 17. 6. Лейко С. Г. Поворотные диффеоморфизмы на поверхностях евклидова пространства // Мат. заметки. – 1990. – 47, № 3. – С. 52 – 57. 7. Лейко С. Г. Экстремали функционалов поворота кривых псевдориманова пространства и траектории спин- частиц в гравитационных полях // Докл. РАН. – 1992. – 325, № 4. – С. 659 – 664. 8. Лейко С. Г. Изопериметрические экстремали поворота на поверхностях в евклидовом пространстве E3 // Изв. вузов. – 1996. – № 6. – С. 25 – 32. 9. Потапенко І. В. Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Кріс- тоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E3 // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 4. – С. 523 – 530. Одержано 27.02.12
id	umjimathkievua-article-2024
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:17:19Z
publishDate	2015
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/8e/b983aa5d019e10316e16ac58ae3e6f8e.pdf
spelling	umjimathkievua-article-20242019-12-05T09:48:59Z Leiko Network on the Surfaces in the Euclidean Space $E_3$ Сітка Лейко на поверхнях в евклідовому просторі $E_3$ Potapenko, I. V. Потапенко, І. В. We introduce the notion of Leiko network as a generalization of the geodetic network on the surfaces of nonzero Gaussian curvature in the Euclidian space $E_3$ and study its characteristics. The conditions of preservation of the Leiko network under infinitesimal deformations of the surfaces are also obtained. Вводится в рассмотрение понятие сети Лейко, которая является обобщением геодезической сети на поверхностях ненулевой гауссовой кривизны в евклидовом пространстве $E_3$, и исследуются ее свойства. Получены также условия сохранения сети Лейко при инфинитезимальных деформациях поверхностей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2024 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 6 (2015); 820–828 Український математичний журнал; Том 67 № 6 (2015); 820–828 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2024/1066 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2024/1067 Copyright (c) 2015 Potapenko I. V.
spellingShingle	Potapenko, I. V. Потапенко, І. В. Leiko Network on the Surfaces in the Euclidean Space $E_3$
title	Leiko Network on the Surfaces in the Euclidean Space $E_3$
title_alt	Сітка Лейко на поверхнях в евклідовому просторі $E_3$
title_full	Leiko Network on the Surfaces in the Euclidean Space $E_3$
title_fullStr	Leiko Network on the Surfaces in the Euclidean Space $E_3$
title_full_unstemmed	Leiko Network on the Surfaces in the Euclidean Space $E_3$
title_short	Leiko Network on the Surfaces in the Euclidean Space $E_3$
title_sort	leiko network on the surfaces in the euclidean space $e_3$
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2024
work_keys_str_mv	AT potapenkoiv leikonetworkonthesurfacesintheeuclideanspacee3 AT potapenkoív leikonetworkonthesurfacesintheeuclideanspacee3 AT potapenkoiv sítkalejkonapoverhnâhvevklídovomuprostoríe3 AT potapenkoív sítkalejkonapoverhnâhvevklídovomuprostoríe3

Leiko Network on the Surfaces in the Euclidean Space $E_3$

Institution

Similar Items