Analog of the Montel Theorem for Mappings of the Sobolev Class with Finite Distortion
We study the classes of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality and obtain a result on the normal families of open discrete mappings $f : D → ℂ \backslash \{a, b\}$ from the class $W\{\text{loc}^{1,1}$ with finite distortion that do not take at least two fixed values $a 6 ≠ b$ in...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2025 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507938235351040 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:59Z |
| description | We study the classes of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality and obtain a result on the normal families of open discrete mappings $f : D → ℂ \backslash \{a, b\}$ from the class $W\{\text{loc}^{1,1}$ with finite distortion that do not take at least two fixed values $a 6 ≠ b$ in $ℂ$ whose maximal dilatation has a majorant of finite mean oscillation at every point. This result is an analog of the well-known Montel theorem for analytic functions and is true, in particular, for the so-called $Q$-mappings. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ МОНТЕЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ КЛАССА СОБОЛЕВА
С КОНЕЧНЫМ ИСКАЖЕНИЕМ
We study the classes of mappings with unbounded chracteristic of quasiconformality and obtain a result on the normal
families of open discrete mappings f : D → C \ {a, b} from the class W 1,1
loc with finite distortion that do not take at least
two fixed values a 6= b in C whose maximal dilatations has a majorant of finite mean oscillation at every point. This result
is true, in particular, for the so-called Q-mappings. It is an analog of well-known Montel theorem for analytic functions.
Вивчаються класи вiдображень з необмеженою характеристикою квазiконформностi. Отримано результат про нор-
мальнiсть сiмей вiдкритих дискретних вiдображень f : D → C\{a, b} класу W
1,1
loc
, що мають скiнченне спотворення
i не набувають принаймнi двох фiксованих значень a 6= b в C, максимальна дилатацiя котрих має мажоранту скiн-
ченного середнього коливання в кожнiй точцi. Цей результат справедливий, зокрема, для так званих Q-вiдображень
i є аналогом вiдомої теореми Монтеля для аналiтичних функцiй.
1. Введение. Настоящая статья посвящена обобщению одного аналога известной теоремы
Монтеля о нормальности семейств аналитических функций (см. [1], § 32, гл. II). В силу этой
теоремы, как известно, семейство Fa,b(D) аналитических функций f : D → C \ {a, b} области
D ⊂ C является нормальным при любых фиксированных значениях a, b ∈ C, a 6= b (см. там
же). Как оказалось, указанный результат остается справедливым и для более общих классов
открытых дискретных отображений класса Соболева W 1,1
loc с конечным искажением, как толь-
ко так называемая дилатация Kµ(z) этих отображений удовлетворяет некоторым (достаточно
общим) ограничениям на рост. Более того, указанный результат справедлив также для так на-
зываемых Q-отображений, исследованных автором ранее (см., например, [2], разд. 5). Одно из
сформулированных в данной работе утверждений усиливает более ранние результаты о нор-
мальности семейств Q-отображений, не принимающих значений множества E положительной
конформной емкости. Вместо этого в настоящей статье предлагается ограничиться лишь двух-
точечным множеством E комплексной плоскости. Следует также отметить, что здесь речь идет
лишь о случае размерности пространства R
n при n = 2, так как случаи больших размерностей
требуют иных подходов.
Основные определения и обозначения, используемые в статье, см. в [3 – 8]. Всюду далее
m — мера Лебега в C, D — область в C, C = C ∪ {∞} — одноточечная компактификация C.
Для комплекснозначной функции f : D → C, заданной в области D ⊂ C, имеющей частные
производные по x и y при почти всех z = x+ iy, полагаем ∂f = fz = (fx+ ify)/2 и ∂f = fz =
= (fx − ify)/2. Полагаем µ(z) = µf (z) = fz/fz при fz 6= 0 и µ(z) = 0 — в противном случае.
Указанная комплекснозначная функция µ называется комплексной дилатацией отображения f
в точке z. Максимальной дилатацией отображения f в точке z называется функция Kµf
(z) =
= Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
|1− |µ (z)||
. Заметим, что J(f, z) = |fz|
2−|fz|
2, где J(f, z) := det f ′(z), что может
быть проверено непосредственным подсчетом (см., например, [4], п. C, гл. I). Отображение f :
D → C называется отображением с конечным искажением, если f ∈W 1,1
loc (D) и для некоторой
функции K(z) : D → [1,∞) выполнено условие ‖f ′(z)‖2 ≤ K(z)|J(f, z)| при почти всех
z ∈ D, где ‖f ′(z)‖ = |fz|+ |fz| (см. [5], п. 6.3, гл. VI). Суть понятия отображения с конечным
c© Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 829
830 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
искажением заключается в том, что у указанного отображения f матричная норма производной
‖f ′(z)‖ равна нулю в почти всех точках вырождения якобиана J(f, z).
Пусть (X, d) и (X ′, d ′) — метрические пространства с расстояниями d и d ′ соответственно.
Семейство F непрерывных отображений f : X → X ′ называется нормальным, если из любой
последовательности отображений fm ∈ F можно выделить подпоследовательность fmk
, которая
сходится локально равномерно в X к непрерывной функции f : X → X ′. Отметим, что всюду
далее, если не оговорено противное, (X, d) =
(
D, | · |
)
, где D — область в C, а | · | — евклидова
метрика; |x − y| =
√∑2
i=1
(yi − xi)
2, где x = x1 + ix2, y = y1 + iy2; (X
′, d ′) = (C, h), где
h — хордальная метрика (см. [8], соотношение (1.13), гл. I). Определение и примеры функций
ϕ : D → R класса FMO(z0), z0 ∈ C (конечного среднего колебания в точке z0), см. в работе [6]
либо монографии [8] (разд. 6.1, гл. 6). Пусть Q : D → [0,∞] — измеримая по Лебегу функция,
тогда qz0(r) обозначает среднее интегральное значение Q(z) над окружностью |z − z0| = r,
qz0(r) :=
1
2πr
∫
|z−z0|=r
Q(z) dH1, где H1 — 1-мерная мера Хаусдорфа.
Для фиксированных области D ⊂ C, чисел a, b ∈ C, a 6= b, и измеримой по Лебегу
функции Q : D → [0,∞] обозначим символом Ga,b,Q(D) семейство всех открытых дискретных
отображений f : D → C \ {a, b} класса W 1,1
loc (D), имеющих конечное искажение, таких, что
Kµf
(z) ≤ Q(z) при почти всех z ∈ D. Сформулируем один из основных результатов настоящей
работы.
Теорема 1. Семейство отображений Ga,b,Q(D) является нормальным, как только выпол-
нено, по крайней мере, одно из следующих условий: 1) Q ∈ FMO(z0) в каждой точке z0 ∈ D;
2) qz0(r) ≤ C(z0) log
1
r
при r → 0 в каждой точке z0 ∈ D, где C(z0) > 0 — некоторая
постоянная ; 3) Q ∈ L1
loc(D) и при некотором ε0 = ε0(z0) имеет место соотношение
ε0∫
0
dt
tqz0(t)
= ∞ . (1)
Приведем еще результат в этом направлении. Далее M обозначает конформный модуль
семейства кривых (см., например, [7], разд. 6, гл. I). Пусть Q : D → [0,∞] — некоторая фикси-
рованная вещественнозначная функция. Согласно [8] (гл. 4), отображение f : D → C условимся
называтьQ-отображением, если f удовлетворяет соотношениюM(f(Γ))≤
∫
D
Q(z)ρ2(z)dm(z)
для произвольного семейства кривых Γ в области D и каждой допустимой функции ρ ∈ admΓ.
(Определение условия допустимости ρ ∈ admΓ функции ρ см. в [7] (гл. I).) В частности, если
f — гомеоморфизм, будем называть такое отображение Q-гомеоморфизмом.
Для фиксированных области D ⊂ C, чисел a, b ∈ C, a 6= b, и измеримой по Лебегу функции
B : D → [0,∞] обозначим символом G ∗
a,b,B(D) семейство всех открытых дискретных Q-
отображений f : D → C \ {a, b} таких, что Q(z) ≤ B(z) при почти всех z ∈ D. Имеет место
следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ МОНТЕЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ КЛАССА СОБОЛЕВА . . . 831
Следствие 1. Семейство отображений G ∗
a,b,B(D) является нормальным, как только вы-
полнено, по крайней мере, одно из следующих условий: 1) B ∈ FMO(z0) в каждой точке
z0 ∈ D; 2) bz0(r) ≤ C(z0) log
1
r
при r → 0 в каждой точке z0 ∈ D, где C(z0) > 0 — неко-
торая постоянная, а bz0(r) — среднее значение функции B(z) над окружностью S(z0, r);
3) B ∈ L1
loc(D) и при некотором ε0 = ε0(z0) имеет место соотношение (1), где вместо qz0(r)
следует взять bz0(r) — среднее значение функции B(z) над окружностью S(z0, r).
2. Формулировка и доказательство основной леммы. Докажем, прежде всего, следующее
утверждение.
Лемма 1. Пусть f : D → C, f ∈W 1,1
loc , — отображение с конечным искажением, имеющее
вид f = ϕ◦g, где g — некоторый гомеоморфизм, а ϕ — аналитическая функция. Тогда g ∈W 1,1
loc
и, кроме того, g имеет конечное искажение.
Доказательство. Пусть f = ϕ ◦ g, где g — некоторый гомеоморфизм, а ϕ — аналитическая
функция, при этом f ∈ W 1,1
loc и f имеет конечное искажение. Отметим, что множество точек
ветвления Bϕ ⊂ g(D) функции ϕ состоит только из изолированных точек (см. [9], пп. 5 и 6 (II),
гл. V). Следовательно, g(z) = ϕ−1 ◦ f локально вне множества g−1 (Bϕ) . Ясно, что множество
g−1 (Bϕ) также состоит из изолированных точек, следовательно, g ∈ ACL(D) как композиция
аналитической функции ϕ−1 и отображения f ∈W 1,1
loc (D).
Покажем, что g ∈W 1,1
loc (D).Пусть далее µf (z) обозначает комплексную дилатацию функции
f(z), а µg(z) — комплексную дилатацию g. Согласно [4] ((1), п. C, гл. I) для почти всех z ∈ D
получаем
fz = ϕz
(
g(z)
)
gz , fz = ϕz
(
g(z)
)
gz,
(2)
µf (z) = µg(z) =: µ(z), Kµf
(z) = Kµg (z) := Kµ(z) =
1 + |µ|
|1− |µ||
.
Таким образом, Kµ(z) ∈ L1
loc(D). Поскольку f имеет конечное искажение, из (2) непосред-
ственно следует, что g также имеет конечное искажение и при почти всех z ∈ D выполнены
соотношения |∂g| ≤ |∂g| + |∂g| = K
1/2
µ (z)
(
|J(f, z)|
)1/2
. Отсюда по неравенству Гельдера
|∂g| ∈ L1
loc(D) и |∂g| ∈ L1
loc(D). Следовательно, g ∈W 1,1
loc (D) и g имеет конечное искажение.
Лемма 1 доказана.
Для фиксированных области D ⊂ C, числа a ∈ C и измеримой по Лебегу функции Q :
D → [0,∞] обозначим символом Ha,Q(D) семейство всех гомеоморфизмов f : D → C \ {a}
класса W 1,1
loc (D), имеющих конечное искажение, таких, что Kµf
(z) ≤ Q(z) при почти всех
z ∈ D. Для установления основных результатов настоящей работы нам понадобится также
следующее утверждение.
Лемма 2. 1. Класс Ha,Q(D) образует нормальное семейство отображений, как только
функция Q удовлетворяет одному из следующих условий: 1) Q ∈ FMO(z0) в каждой точке
z0 ∈ D; 2) qz0(r) ≤ C(z0) log
1
r
при r → 0 в каждой точке z0 ∈ D, где C(z0) > 0 — некоторая
постоянная; 3) при некотором ε0 = ε0(z0) имеет место соотношение (1). Нормальность
необходимо интерпретировать в смысле хордальной метрики h.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
832 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
2. Если последовательность fn : D → C, fn ∈ Ha,Q(D), сходится локально равномерно в
D к отображению f : D → C в смысле метрики h, и, кроме того, функция Q удовлетворяет
хотя бы одному из указанных выше условий 1 – 3, то f — либо гомеоморфизм f : D → C, либо
постоянная f : D → C.
Доказательство. Пусть fm ∈ Ha,Q(D) — произвольная последовательность, тогда комп-
лексная дилатация µfm(z) отображения fm ∈ Ha,Q(D) удовлетворяет следующему условию:
|µfm(z)| 6= 1 почти всюду, поскольку по условию леммы fm имеет конечное искажение. Так как
fm — гомеоморфизмы, то либо |µfm(z)| > 1 почти всюду (что соответствует случаю J(fm, z) <
< 0 п.в.), либо |µfm(z)| < 1 почти всюду (что соответствует случаю J(fm, z) > 0 п.в.) (см.,
например, [10, с. 332], разд. V.2.2, соотношение (68), либо [11], лемма 2.14 и комментарии
после леммы 2.11). Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что |µfm(z)| < 1
почти всюду (например, рассмотрев для отображений fm, для которых |µfm(z)| > 1, вспомога-
тельное семейство ψm = ψ ◦ fm, где ψ(z) = x− iy, z = x+ iy). В таком случае первая часть
заключения леммы 2 является прямым следствием результатов работы [12] (теоремы 5.1, 5.2 и
следствие 5.3).
Вторая часть утверждения леммы вытекает из леммы 3.1 [12] и теорем 4.1, 4.2 [13] (см.
также [14], теорема 5.3, разд. 5.3, гл. 5 и теоремы 1.3, 1.4, следствие 1.8, разд. 1.5, гл. 1).
Лемма 2 доказана.
3. Доказательство основных результатов. Доказательство теоремы 1 основано на так
называемом представлении Стоилова. Пусть fm ∈ Ga,b,Q(D) — произвольная последователь-
ность отображений семейства Ga,b,Q(D). Тогда согласно представлению Стоилова [9] (п. 5
(III), гл. V) каждое отображение fm ∈ Ga,b,Q(D) имеет вид fm = ϕm ◦ gm, где gm — некоторый
гомеоморфизм, а ϕm — аналитическая функция.
Пусть z1, z2 — две произвольные различные точки области D. Рассмотрим отображения
Ψm(z) = z − gm(z1), ψm(z) =
z
|gm(z2)− gm(z1)|
e−i arg(gm(z2)−gm(z1)),
тогда
fm(z) = ϕm ◦Ψ−1
m ◦Ψm ◦ gm(z) = ϕm ◦Ψ−1
m ◦ ψ−1
m ◦ ψm ◦Ψm ◦ gm(z) .
Обозначая
Am(w) := ϕm ◦Ψ−1
m ◦ ψ−1
m (w)
и
Bm(z) = ψm ◦Ψm ◦ gm(z) =
gm(z)− gm(z1)
|gm(z2)− gm(z1)|
e−i arg(gm(z2)−gm(z1)),
видим, что fm(z) = Am ◦ Bm(z), где Am — аналитические функции и Bm — гомеоморфизмы,
удовлетворяющие условиям Bm(z1) = 0, Bm(z2) = 1. Следует отметить, что в силу леммы 1
семейство гомеоморфизмов {Bm}∞m=1 принадлежит классу H0,Q(D \ {z1}) (см. обозначения
леммы 2), а также классу H1,Q(D \ {z2}). Тогда согласно первой части леммы 2 семейство
отображенийBm является нормальным семейством отображений как вD\{z1}, так и вD\{z2}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ МОНТЕЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ КЛАССА СОБОЛЕВА . . . 833
Поскольку произвольный компакт C ⊂ D может быть представлен в виде объединения C =
= C1 ∪ C2, где C1 — компакт в D \ {z1} и C2 — компакт в D \ {z1}, отсюда следует, что Bm
также образует нормальное семейство отображений в области D.
Итак, пусть h(Bmk
(x), B(x)) → 0 при k → ∞ локально равномерно в D, где B — некоторое
непрерывное отображение. Тогда в силу условий Bmk
(z1) = 0, Bmk
(z2) = 1 и второй части
леммы 2 отображение B является гомеоморфизмом из D в C.
Заметим, что B(D) ⊂ Bmk
(D) при всех k ≥ K0 и некотором K0 ∈ N (см. [13], предложе-
ние 3.1 либо [14], предложение 1.5, гл. 1). В таком случае все отображения Amk
определены
в области B(D). Отметим, что в этой области каждое отображение Amk
не может принимать
ни значения a, ни значения b, так как в противном случае и сами отображения fmk
прини-
мали бы все те же значения, что противоречит условию теоремы. В таком случае семейство
отображений Amk
является нормальным в силу теоремы Монтеля о нормальности семейств
аналитических функций, не принимающих пары комплексных значений (см. [1], § 32, гл. II).
Пусть Amkl
— последовательность аналитических функций, являющаяся подпоследователь-
ностью последовательности Amk
, сходящаяся локально равномерно в B(D) при l → ∞ к ана-
литической функции (либо тождественной бесконечности), которую мы обозначим через A(x).
Пусть C — произвольный компакт в области D. Тогда вследствие локально равномерной сходи-
мости Bmk
к отображению B все точки Bmkl
(x) лежат внутри некоторого компакта C1 ⊂ B(D)
при всех x ∈ C и всех l ≥ K1 ∈ N. Тогда при тех же x и l имеем
h
(
Amkl
◦Bmkl
(x), A ◦B(x)
)
≤
≤ h
(
Amkl
◦Bmkl
(x), A ◦Bmkl
(x)
)
+ h
(
A ◦Bmkl
(x), A ◦B(x)
)
≤
≤ sup
y∈C1
h
(
Amkl
(y), A(y)
)
+ h
(
A ◦Bmkl
(x), A ◦B(x)
)
→ 0
при l → ∞ равномерно по x ∈ C. Таким образом, последовательность fm ∈ Ga,b,Q(D) имеет
подпоследовательность, сходящуюся локально равномерно в D.
Теорема 1 доказана.
Доказательство следствия 1 вытекает из того, что семейство G ∗
a,b,B(D) является под-
классом семейства Ga,b,B(D) при указанных условиях на функцию B. Действительно,
G ∗
a,b,B(D) ⊂ W 1,1
loc и каждое f ∈ G ∗
a,b,B(D) имеет конечное искажение в силу следствий 3.3,
3.5 [15], кроме того, Kµ(z) ≤ Q(z) почти всюду согласно следствию 3.2 [15].
4. О компактности классов Соболева. Для фиксированных областиD ⊂ C, чисел a, b ∈ D,
a 6= b, a ′, b ′ ∈ C, a ′ 6= b ′, и измеримой по Лебегу функцииQ : D → [0,∞] обозначим символом
Aa,b,a ′,b ′,Q(D) семейство всех открытых дискретных отображений f : D → C класса W 1,1
loc (D),
имеющих конечное искажение, таких, что f(a) = a ′, f(b) = b ′ и Kµf
(z) ≤ Q(z) при почти
всех z ∈ D. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Класс Aa,b,a ′,b ′,Q(D) является компактным (т. е. нормальным и замкнутым
семейством отображений в топологии локально равномерной сходимости).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
834 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Доказательство. Заметим, что семейство отображений является нормальным в силу тео-
ремы 1. Более того, повторяя доказательство этой теоремы, приходим к заключению, что про-
извольная сходящаяся последовательность fm представима в виде композиции fm = Am ◦Bm,
где Bm — последовательность гомеоморфизмов, сходящаяся локально равномерно к гомеомор-
физму B, а Am — последовательность аналитических функций, сходящаяся к аналитической
функции A. При этом fm → f := A ◦B. Осталось показать, что f ∈ Aa,b,a ′,b ′,Q(D).
Заметим, что условия нормировки fm(a) = a ′, fm(b) = b ′ исключают возможность, когда
A является постоянной функцией. Значит, f дискретно и открыто. Кроме того, в силу леммы 1
заключаем, что Bm ∈ W 1,1
loc , Bm имеют конечное искажение и KµBm
(z) = Kµfm
(z). Согласно
теоремам 17.1, 17.2 [13] предельное отображение B также принадлежит классу W 1,1
loc , имеет
конечное искажение и его максимальная дилатация KµB
(z) не превышает Q(z) почти всюду.
Тогда, очевидно, f = A ◦ B ∈ W 1,1
loc и Kµf
(z) ≤ Q(z). Равенства f(a) = a ′ и f(b) = b ′
элементарно получаются предельным переходом по m из равенств fm(a) = a ′ и fm(b) = b ′.
Теорема 2 доказана.
5. Некоторые примеры. Отметим, что ограничения на функциюQ, содержащиеся в форму-
лировках основных результатов настоящей работы, нельзя, вообще говоря, заменить условием
Q ∈ Lp ни для какого (сколь угодно большого) p > 0. Для простоты рассмотрим случай, когда
D := B
2 = {z ∈ C : |z| < 1}. Имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Для каждого p ≥ 1 существуют функция Q : B2 → [1,∞], Q(z) ∈ Lp(B2), и
равномерно ограниченная последовательность гомеоморфизмов gm : B2 → C, gm ∈ W 1,1
loc (B
2),
имеющих конечное искажение, таких, что Kµ(z) ≤ Q(z), при этом семейство {gm(z)}∞m=1 не
является равностепенно непрерывным в точке z0 = 0.
Доказательство. Рассмотрим следующий пример. Зафиксируем числа p ≥ 1 и α ∈
∈ (0, 2/p). Можно считать, что α < 1 в силу произвольности выбора p. Зададим последо-
вательность гомеоморфизмов gm : B2 → C следующим образом:
gm(z) =
1 + |z|α
|z|
· z, 1/m ≤ |z| < 1,
1 + (1/m)α
(1/m)
· z, 0 < |z| < 1/m.
Заметим, что каждое отображение gm переводит единичный круг D = B2 в круг D ′ = B(0, 2)
и последовательность gm постоянна при |z| ≥ 1/m, а именно, gm(z) ≡ g(z) при всех z :
1
m
< |z| < 1, m = 1, 2 . . . , где g(z) =
1 + |z|α
|z|
· z.
Заметим, что gm ∈ ACL(B2). Действительно, отображения g(1)m (z) =
1 + (1/m)α
(1/m)
· z, m =
= 1, 2, . . . , являются отображениями класса C1, например, в шаре B(0, 1/m + ε) при малых
ε > 0, а отображения g(2)m (z) =
1 + |z|α
|z|
· z — отображениями класса C1, например, в кольце
A(1/m− ε, 1, 0) = {z ∈ C : 1/m− ε < |z| < 1}
при малых ε > 0. Отсюда следует, что гомеоморфизмы gm являются липшицевыми в B
2 и,
значит, gm ∈ ACL(B2) (см., например, [7, с. 12], разд. 5). Далее, непосредственно получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ МОНТЕЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ КЛАССА СОБОЛЕВА . . . 835
|J(gm, z)| =
|z|α + 1
|z|
· α|z|α−1, ‖g ′
m(z)‖ =
|z|α + 1
|z|
, так что в каждой регулярной точке z ∈
∈ D отображения gm : D → C дилатация Kµgm
(z) отображения gm в точке z вычисляется
следующим образом:
Kµgm
(z) =
1 + |z|α
α|z|α
, 1/m ≤ |z| ≤ 1,
1, 0 < |z| < 1/m.
Заметим, что отображения gm имеют конечное искажение, так как их якобиан J(gm, z) почти
всюду не равен нулю. Кроме того, Kµgm
(z) ≤ Q(z), где Q =
1 + |z|α
α|z|α
и Q(z) ≤
C
|z|α
, C :=
2
α
.
Таким образом, получаем
∫
B2
(
Q(z)
)p
dm(z) ≤ Cp
∫
B2
dm(z)
|z|pα
= Cp
1∫
0
∫
S(0,r)
dH1
|z|pα
dr = 2πCp
1∫
0
dr
r(pα−1)
. (3)
Известно, что интеграл I :=
∫ 1
0
dr
rβ
сходится при β < 1. Таким образом, интеграл в правой
части соотношения (3) сходится, поскольку показатель степени β := (pα − 1) удовлетворяет
условию β < 1 при α ∈ (0, 2/p). Отсюда следует, что Q(z) ∈ Lp(B2). С другой стороны, легко
видеть, что
lim
z→0
|g(z)| = 1 (4)
и g отображает проколотый круг B
2 \ {0} на кольцо 1 < |y| < 2. Тогда в силу (4) получаем
|gm(z)| = |g(z)| ≥ 1 для всех z таких, что |z| ≥ 1/m, m = 1, 2, . . . , т. е. семейство {gm}∞m=1 не
является равностепенно непрерывным в нуле.
Теорема 3 доказана.
Приведем еще один пример, касающийся выполнения условия (1) в формулировках основ-
ных утверждений работы.
Теорема 4. Для каждой измеримой по Лебегу функции Q : B2 → [1,∞], Q ∈ Lloc(B
2),
такой, что
∫ ε0
0
dt
tq0(t)
< ∞, найдется семейство равномерно ограниченных отображений
fm ∈W 1,1
loc (B
2) с конечным искажением со следующими свойствами:
1) Kµfm
(z) ≤ Q̃(z), где Q̃(z) — некоторая измеримая по Лебегу функция, такая, что
q̃0(r) :=
1
2πr
∫
S(0,r)
Q̃(z)dH1 = q0(r) для почти всех r ∈ (0, 1);
2) последовательность fm не является равностепенно непрерывной в нуле.
Доказательство. Определим последовательность отображений fm : B2 → C следующим
образом:
fm(z) =
z
|z|
ρm(|z|), fm(0) := 0,
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
836 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
ρm(r) = exp
−
1∫
r
dt
tq0,m(t)
, q0,m(r) :=
1
2πr
∫
|z|=r
Qm(z) dH1,
Qm(z) =
Q(z), |z| > 1/m,
1, |z| ≤ 1/m.
Заметим, что fm ∈ ACL при любом m ∈ N. Непосредственными вычислениями получаем
‖f ′
m(z)‖ =
exp
{
−
∫ 1
|z|
dt
tq0,m(t)
}
|z|
,
∣∣J(fm, z)
∣∣ =
exp
{
−2
∫ 1
|z|
dt
tq0,m(t)
}
|z|2q0,m(|z|)
.
Заметим, что J(fm, z) 6= 0 при почти всех z, так что все fm имеют конечное искажение. Далее,
имеем
∫
B2
‖f ′
m(z)‖ dm(z) = 2π
1∫
0
r
exp
{
−
∫ 1
r
dt
tq0,m(t)
}
r
dr ≤ 2π exp
−
1∫
0
dt
tq0(t)
≤ ∞ . (5)
В таком случае из соотношений (5) следует, что f ∈W 1,1
loc (B
2).
Заметим, что Kµfm
(z) = q0,m(|z|) ≤ q0(|z|). Полагаем Q̃(z) := q0(|z|), тогда q̃0(r) = q0(r)
для почти всех r ∈ (0, 1).
С другой стороны, заметим, что |fm(z)| ≤ 1 для всех m ∈ N и, таким образом, семейство
отображений {fl(z)}
∞
l=1 равномерно ограничено. Осталось показать, что построенная таким
образом последовательность отображений fm не является равностепенно непрерывной в ну-
ле. Для произвольной последовательности zm такой, что |zm| = 1/m, m = 1, 2, . . . , имеем
|fm(zm)| ≥ σ, где σ не зависит от m. Окончательно, для некоторого числа σ и произволь-
ного элемента последовательности 1/(m − 1), m = 2, 3, . . . , найдутся zm ∈ B
2 и элемент
семейства отображений fm ∈ {fl(z)}
∞
l=1 такие, что |zm − 0| < 1/(m − 1) и в то же время
|fm(zm) − fm(0)| ≥ σ. Таким образом, семейство отображений {fl(z)}
∞
l=1 не является равно-
степенно непрерывным в нуле.
Теорема 4 доказана.
1. Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций. – М., Л.: ОНТИ, 1936.
2. Севостьянов Е. А. Теория модулей, емкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление //
Укр. мат. вестн. – 2007. – 4, № 4. – С. 582 – 604.
3. Мазья В. Г. Пространства Соболева. – Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1985.
4. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969.
5. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford: Clarendon Press, 2001.
6. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. – 2005. – 2,
№ 3. – С. 395 – 417.
7. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – Berlin etc.: Springer-Verlag,
1971. – 229.
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +
Business Media, LLC, 2009.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ МОНТЕЛЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ КЛАССА СОБОЛЕВА . . . 837
9. Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. – М.: Наука, 1964.
10. Rado T., Reichelderfer P. V. Continuous transformations in analysis. – Berlin etc.: Springer-Verlag. 1955.
11. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 1969. –
448. – P. 1 – 40.
12. Lomako T., Salimov R., Sevost’yanov E. On equicontinuity of solutions to the Beltrami equations // Ann. Univ.
Bucharest (Math. Ser.). – 2010. – 59, № 2. – P. 261 – 271.
13. Ryazanov V., Salimov R., Sevost’yanov E. On convergence analysis of space homeomorphisms // Sib. Adv. Math. –
2013. – 23, № 4. – P. 263 – 293.
14. Ковтонюк Д. А., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории отображений классов Соболева и Орлича –
Соболева. – Киев: Наук. думка, 2013.
15. Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Теория кольцевых Q-отображений в геометрической теории функций // Мат.
сб. – 2010. – 201, № 6. – С. 131 – 158.
Получено 28.04.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2025 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:15Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/23/7ea55906e11c4e4faf5330c224bac223.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20252019-12-05T09:48:59Z Analog of the Montel Theorem for Mappings of the Sobolev Class with Finite Distortion Аналог теоремы Монтеля для отображений класса Соболева с конечным искажением Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. We study the classes of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality and obtain a result on the normal families of open discrete mappings $f : D → ℂ \backslash \{a, b\}$ from the class $W\{\text{loc}^{1,1}$ with finite distortion that do not take at least two fixed values $a 6 ≠ b$ in $ℂ$ whose maximal dilatation has a majorant of finite mean oscillation at every point. This result is an analog of the well-known Montel theorem for analytic functions and is true, in particular, for the so-called $Q$-mappings. Вивчаються класи відображень з необмеженою характеристикою квазіконформності. Отримано результат про нормальність сімєй відкритих дискретних відображень $f : D → ℂ \backslash \{a, b\}$ класу $W\{\text{loc}^{1,1}$, що мають скінченне спотворення i не набувають принаймні двох фіксованих значень $a 6 ≠ b$ в $ℂ$, максимальна дилатація котрих має мажоранту скінченного середнього коливання в кожній точці. Цей результат справедливий, зокрема, для так званих $Q$-відображень і є аналогом відомої теореми Монтеля для аналітичних функцій. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2025 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 6 (2015); 829-837 Український математичний журнал; Том 67 № 6 (2015); 829-837 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2025/1068 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2025/1069 Copyright (c) 2015 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. Analog of the Montel Theorem for Mappings of the Sobolev Class with Finite Distortion |
| title | Analog of the Montel Theorem for Mappings of the Sobolev Class with Finite Distortion |
| title_alt | Аналог теоремы Монтеля для отображений класса Соболева с конечным искажением |
| title_full | Analog of the Montel Theorem for Mappings of the Sobolev Class with Finite Distortion |
| title_fullStr | Analog of the Montel Theorem for Mappings of the Sobolev Class with Finite Distortion |
| title_full_unstemmed | Analog of the Montel Theorem for Mappings of the Sobolev Class with Finite Distortion |
| title_short | Analog of the Montel Theorem for Mappings of the Sobolev Class with Finite Distortion |
| title_sort | analog of the montel theorem for mappings of the sobolev class with finite distortion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2025 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea analogofthemonteltheoremformappingsofthesobolevclasswithfinitedistortion AT sevostʹânovea analogofthemonteltheoremformappingsofthesobolevclasswithfinitedistortion AT sevostʹânovea analogofthemonteltheoremformappingsofthesobolevclasswithfinitedistortion AT sevost039yanovea analogteoremymontelâdlâotobraženijklassasobolevaskonečnymiskaženiem AT sevostʹânovea analogteoremymontelâdlâotobraženijklassasobolevaskonečnymiskaženiem AT sevostʹânovea analogteoremymontelâdlâotobraženijklassasobolevaskonečnymiskaženiem |