A Criterion for the Existence of Almost Periodic Solutions of Nonlinear Differential Equations with Impulsive Perturbation
We establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differential equations with impulsive perturbation in Banach spaces without using the \( \mathcal{H} \)-classes of these equations.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2026 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507941043437568 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:59Z |
| description | We establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differential equations with impulsive perturbation in Banach spaces without using the \( \mathcal{H} \)-classes of these equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.52
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
КРИТЕРIЙ IСНУВАННЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З IМПУЛЬСНИМ ЗБУРЕННЯМ
We establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differential equations
with impulsive perturbation in Banach spaces without using the H-classes of these equations.
Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием в банаховом пространстве, не использующие H-классы этих
уравнений.
1. Основнi позначення й об’єкт дослiджень. Нехай E — довiльний банахiв простiр iз нормою
‖ · ‖E . Розглянемо довiльну злiченну множину T iзольованих точок τ ∈ R. Вважатимемо, що
iснує таке число ω > 0, що справджується рiвнiсть
ω + T = T,
тобто множина T є iнварiантною по вiдношенню до зсуву на ω. Нагадаємо, що ω+T = {ω+τ :
τ ∈ T}. Множина T може бути такою, що її пiдмножина [0, ω) ∩ T є нескiнченною.
Позначимо через Cb(R \ T,E) банахiв простiр усiх неперервних i обмежених на R \ T
функцiй x = x(t) зi значеннями в E з нормою
‖x‖Cb(R\T,E) = sup
t∈R\T
‖x(t)‖E .
У цьому просторi розглянемо пiдпростiр X 0(R\T,E) таких функцiй x = x(t), що для кожного
τ ∈ T iснують одностороннi границi
x(τ + 0) = lim
t→τ+0
x(t)
i
x(τ − 0) = lim
t→τ−0
x(t)
(цi границi, очевидно, є скiнченними). Норма в X 0(R\T,E), очевидно, визначається рiвнiстю
‖x‖X 0(R\T,E) = ‖x‖Cb(R\T,E).
Також розглянемо банахiв простiр X 1(R \ T,E) всiх диференцiйовних функцiй x ∈ X 0(R \
T,E), для кожної з яких dx/dt ∈ X 0(R \ T,E), з нормою
‖x‖X 1(R\T,E) = max
{
‖x‖X 0(R\T,E),
∥
∥
∥
∥
dx
dt
∥
∥
∥
∥
X 0(R\T,E)
}
.
Позначимо через I (T,E) банахiв простiр визначених i обмежених на T функцiй y = y(τ) зi
значеннями в E з нормою
c© В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2015
838 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
КРИТЕРIЙ IСНУВАННЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ . . . 839
‖y‖I (T,E) = sup
τ∈T
‖y(τ)‖E .
Для h ∈ ωZ визначимо оператори зсуву Sh,1 : X 0(R\T,E) → X 0(R\T,E) i Sh,2 : I (T,E) →
→ I (T,E) формулами
(Sh,1x)(t) = x(t+ h), t ∈ R \ T,
(Sh,2y)(τ) = y(τ + h), τ ∈ T.
Нагадаємо, що ωZ = {ωn : n ∈ Z}. Елементи x ∈ X 0(R \ T,E) i y ∈ I (T,E) називаються
майже перiодичними (за Бохнером) (див., наприклад, [1, 2]), якщо замикання множин {Sh,1x :
h ∈ ωZ} i {Sh,2y : h ∈ ωZ} у просторах X 0(R \ T,E) i I (T,E) вiдповiдно є компактними
пiдмножинами цих просторiв.
Позначимо через B0(R\T,E), B1(R\T,E) i B(T,E) банаховi простори майже перiодичних
елементiв просторiв X 0(R \ T,E), X 1(R \ T,E) i I (T,E) з нормами
‖x‖B0(R\T,E) = ‖x‖X 0(R\T,E),
‖x‖B1(R\T,E) = ‖x‖X 1(R\T,E)
i
‖x‖B(T,E) = ‖x‖I (T,E)
вiдповiдно.
Зазначимо, що у випадку скiнченної множини [0, ω) ∩ T замикання множин значень еле-
ментiв просторiв B0(R \ T,E) i B(T,E) у просторi E є компактними. Цi множини можуть не
бути компактними, якщо множина [0, ω) ∩ T є нескiнченною i dimE = ∞.
Нехай Ω — область простору E, тобто вiдкрита зв’язна множина простору E, i K — множина
всiх непорожнiх компактних пiдмножин K ⊂ Ω.
Розглянемо неперервнi вiдображення f : (R\T )×Ω → E i I : T×Ω → E, що задовольняють
такi умови:
1) для кожних τ ∈ T i x ∈ Ω iснують скiнченнi границi
f(τ + 0, x) = lim
t→τ+0
f(t, x)
i
f(τ − 0, x) = lim
t→τ−0
f(t, x);
2) f(t, x) рiвномiрно неперервне по x на кожнiй множинi (R \ T )×K, де K ∈ K;
3) f(t, x) — майже перiодичний по t елемент простору B0(R \ T,E), рiвномiрний по x на
кожнiй множинi K ∈ K;
4) I(τ, x) рiвномiрно неперервне по x на кожнiй множинi T ×K, де K ∈ K;
5) I(τ, x) — майже перiодичний по τ елемент простору B(T,E), рiвномiрний по x на
кожнiй множинi K ∈ K.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
840 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Завдяки виконанню наведених умов функцiя f(t, x(t)) є елементом простору X 0(R \ T,E)
для кожної функцiї x ∈ X 0(R \ T,E) зi значеннями в K (K ∈ K), простору B0(R \ T,E) для
кожної функцiї x ∈ B0(R\T,E) зi значеннями в K (K ∈ K), а I(τ, x(τ)) є елементом простору
B(T,E) для кожної функцiї x ∈ B(T,E) зi значеннями в K (K ∈ K).
Як i в [2] (доповнення, § 19), можна показати, використавши умови 2 – 5, що для кожної
множини K ∈ K
sup
t∈R\T, x∈K
‖f(t, x)‖E < +∞,
sup
τ∈T, x∈K
‖I(τ, x)‖E < +∞
i для довiльної послiдовностi (hk)k>1 дiйсних чисел hk ∈ ωZ iснує пiдпослiдовнiсть (hkl)l>1,
для якої послiдовностi
(
f(t+hkl , x)
)
l>1
i
(
I(τ +hkl , x)
)
l>1
збiгаються рiвномiрно на множинах
(R \ T )×K i T ×K вiдповiдно.
Вважатимемо, що послiдовностi
(
f(t + hkl , x)
)
l>1
i
(
I(τ + hkl , x)
)
l>1
збiгаються рiвно-
мiрно на множинах (R \ T ) × K i T × K, K ∈ K, вiдповiдно i граничнi вiдображення
f̃ : (R \ T )× Ω → E i Ĩ : T × Ω → E, що визначаються спiввiдношеннями
f̃(t, x) = lim
l→∞
f(t+ hkl , x) (1)
i
Ĩ(τ, x) = lim
l→∞
I(τ + hkl , x), (2)
задовольняють умови 1 – 5. У подальшому ця вимога вiдiграватиме допомiжну роль i не буде
використовуватися при отриманнi основного результату.
Для кожних функцiї x ∈ X 0(R \ T,E) i точки τ ∈ T визначимо рiзницю (∆x)(τ) рiвнiстю
(∆x)(τ) = x(τ + 0)− x(τ − 0).
Будемо розглядати функцiї x ∈ X 0(R \ T,E), що є розв’язками диференцiального рiвняння з
iмпульсним збуренням
dx(t)
dt
= f
(
t, x(t)
)
, t ∈ R \ T,
(∆x)(τ) = I
(
τ, x(τ − 0)
)
, τ ∈ T.
(3)
H-класом цiєї системи називається множина всiх систем
dy(t)
dt
= f̃
(
t, y(t)
)
, t ∈ R \ T,
(∆y)(τ) = Ĩ(τ, y
(
τ − 0)
)
, τ ∈ T,
правi частини яких визначаються за допомогою (1) i (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
КРИТЕРIЙ IСНУВАННЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ . . . 841
Метою статтi є встановлення умов майже перiодичностi обмежених розв’язкiв системи
(3) без використання елементiв H-класу цiєї системи. При дослiдженнi системи (3) будемо
використовувати функцiонал, визначений на множинi обмежених розв’язкiв цiєї системи (мно-
жини значень цих розв’язкiв — пiдмножини компактних множин K ∈ K). Цьому функцiоналу
придiлимо увагу в наступному пунктi.
2. Функцiонал δ. Вiдокремленi та сильно вiдокремленi розв’язки системи (3). Зафiксує-
мо довiльну множину K ∈ K. Позначимо через N (K) множину всiх обмежених розв’язкiв
x = x(t) системи (3), для кожного з яких замикання R(x) множини R(x) = {x(t) : t ∈ R \ T}
у просторi E є пiдмножиною множини K ∈ K i R(x) 6= K.
Зафiксуємо довiльний обмежений розв’язок x∗ ∈ N (K) системи (3) (вважаємо, що N (K) 6=
6= ∅.) Покладемо
r(x∗,K) = sup
{
‖x− y‖E : x ∈ R(x∗), y ∈ K
}
. (4)
Зазначимо, що r(x∗,K) > 0 завдяки нерiвностi R(x) 6= K. Також зафiксуємо довiльне число
ε ∈ [0, r(x∗,K)]. Позначимо через Ω(x∗,K, ε) множину всiх елементiв y ∈ X 1(R \ T,E), для
кожного з яких
R(x∗ + y) ⊂ K, (5)
sup
t∈R\T
∥
∥
∥
∥
d(x∗(t) + y(t))
dt
∥
∥
∥
∥
E
6 sup
s∈R\T, x∈K
‖f(s, x)‖E , (6)
sup
τ∈T
∥
∥(∆(x∗ + y))(τ)
∥
∥
E
6 sup
s∈T, x∈K
‖I(s, x)‖E (7)
i
‖y‖X 0(R\T,E) > ε. (8)
Аналогiчним чином можна визначити множину Ω(z,K, ε) для будь-якої iншої функцiї z ∈
∈ X 1(R \ T,E) \ {x∗} зi значеннями в K.
Розглянемо функцiонали
δ1(x
∗,K, ε) = inf
y∈Ω(x∗,K,ε)
sup
t∈R\T
∥
∥
∥
∥
∥
d
(
x∗(t) + y(t)
)
dt
− f
(
t, x∗(t) + y(t)
)
∥
∥
∥
∥
∥
E
, (9)
δ2(x
∗,K, ε) = inf
y∈Ω(x∗,K,ε)
sup
τ∈T
∥
∥
∥
(
∆(x∗ + y)
)
(τ)− I
(
τ, x∗(τ − 0) + y(τ − 0)
)
∥
∥
∥
E
(10)
i
δ(x∗,K, ε) = max
{
δ1(x
∗,K, ε), δ2(x
∗,K, ε)
}
. (11)
Означення 1. Розв’язок z ∈ N (K) системи (3) називається вiдокремленим на множинi
(R \ T )×K, якщо або цей розв’язок єдиний на множинi (R \ T )×K, або для кожного iншого
розв’язку u = u(t) зi значеннями в K виконується нерiвнiсть
inf
t∈R\T
‖z(t)− u(t)‖E > ρ,
де ρ — додатна стала, залежна тiльки вiд z.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
842 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Означення 2. Розв’язок z ∈ N (K) системи (3) називається сильно вiдокремленим на
множинi (R \ T )×K, якщо
δ(z,K, ε) > 0
для кожного ε ∈ (0, r(z,K)).
Очевидно, що кожний сильно вiдокремлений на множинi (R \ T )×K розв’язок z ∈ N (K)
системи (3) є вiдокремленим на множинi (R \ T ) × K. Однак вiдокремлений на множинi
(R \T )×K розв’язок z ∈ N (K) цiєї системи може не бути сильно вiдокремленим на множинi
(R \ T )×K. Це пiдтверджується наступним прикладом.
Приклад 1. Розглянемо майже перiодичне диференцiальне рiвняння
dx
dt
= f(t)x, (12)
де
f(t) =
∞
∑
k=0
1
(2k + 1)2
sin
t
2k + 1
,
запозичене з [2] (доповнення, § 20), [3] i [4] (роздiл IV, § 2). Видiлимо важливi факти, що
стосуються цього рiвняння, потрiбнi для подальшого:
1) загальний розв’язок рiвняння (12) подається у виглядi x(t) = ceF (t), де c — довiльна
дiйсна стала i F (t) =
∫ t
0
f(s)ds — невiд’ємна парна й необмежена на R функцiя;
2) виконується спiввiдношення
f(t+ tn) = −f(t) + γn(t), n > 1, (13)
де tn = 1 · 3 . . . (2n+ 1)π i γn(t) — неперервна на R функцiя, для якої
lim
n→∞
sup
t∈R
|γn(t)| = 0, (14)
i, отже, рiвняння
dy
dt
= −f(t)y (15)
є елементом H-класу рiвняння (12);
3) загальний розв’язок рiвняння (15) подається у виглядi y(t) = ce−F (t), причому
supt∈R |y(t)| = |c| i inft∈R |y(t)| = 0.
Розглянемо лiнiйну майже перiодичну систему
dx(t)
dt
= f(t)x(t), t ∈ R \ πZ,
(∆x)(τ) = 0, τ ∈ πZ.
(16)
Завдяки другому спiввiдношенню в системi (16) звуження x|R\πZ(t) кожного обмеженого
розв’язку x(t) рiвняння (12) на множину R\πZ є розв’язком цiєї системи i, навпаки, розширення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
КРИТЕРIЙ IСНУВАННЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ . . . 843
y(t) кожного обмеженого розв’язку x(t) цiєї системи на множину R, для якого y(τ) = x(τ −0)
для кожного τ ∈ πZ, є розв’язком рiвняння (12).
Звiдси та з наведених властивостей рiвняння (12) випливає, що нульовий розв’язок систе-
ми (16) є вiдокремленим на кожнiй множинi (R \ πZ)× [a, b], де a < 0 i b > 0. Покажемо, що
нульовий розв’язок цiєї системи не є сильно вiдокремленим на жоднiй iз розглянутих множин.
Зафiксуємо довiльнi вiдрiзок [a, b], a < 0 < b, i число ε ∈
(
0, r(0, [a, b])
)
, де r(0, [a, b]) =
= max{−a, b} згiдно з (4). Розглянемо звуження функцiй
xε,n(t) =
εe−F (t−tn), якщо |a| 6 b,
−εe−F (t−tn), якщо |a| > b,
n > 1,
на множинуR\πZ, що, очевидно, є елементами множиниΩ(0, [a, b], ε). Зауважимо, що множина
Ω(0, [a, b], ε) визначається спiввiдношеннями (5) – (8), в яких x∗ = 0, K = [a, b], T = πZ,
f(t, x) = f(t)x i I(t, x) = 0.
Iз (9), (13) i (14) при x∗ = 0, K = [a, b], T = πZ i f(t, x) = f(t)x випливає, що
δ1(0, [a, b], ε) = inf
y∈Ω(0,[a,b],ε)
sup
t∈R\πZ
∣
∣
∣
∣
d(y(t))
dt
− f(t)y(t)
∣
∣
∣
∣
=
= inf
n>1
inf
y∈Ω(0,[a,b],ε)
sup
t∈R\πZ
∣
∣
∣
∣
d(y(t+ tn))
dt
− f(t+ tn)y(t+ tn)
∣
∣
∣
∣
=
= inf
n>1
inf
y∈Ω(0,[a,b],ε)
sup
t∈R\πZ
∣
∣
∣
∣
d(y(t+ tn))
dt
+ (f(t)− γn(t))y(t+ tn)
∣
∣
∣
∣
6
6 inf
n>1
sup
t∈R\πZ
∣
∣
∣
∣
d(xε,n(t+ tn))
dt
+ (f(t)− γn(t))xε,n(t+ tn)
∣
∣
∣
∣
=
= inf
n>1
sup
t∈R\πZ
∣
∣
∣
∣
∣
dεe−F (t)
dt
+ (f(t)− γn(t))εe
−F (t)
∣
∣
∣
∣
∣
=
= inf
n>1
sup
t∈R\πZ
∣
∣
∣
∣
∣
(
dεe−F (t)
dt
+ f(t)εe−F (t)
)
− γn(t)εe
−F (t)
∣
∣
∣
∣
∣
=
= inf
n>1
sup
t∈R\πZ
∣
∣
∣
γn(t)εe
−F (t)
∣
∣
∣
6 inf
n>1
sup
t∈R\πZ
|γn(t)ε| = ε inf
n>1
sup
t∈R
|γn(t)| = 0.
Аналогiчно iз (10) при x∗ = 0, K = [a, b], T = πZ i I(t, x) = 0 випливає, що
δ2
(
0, [a, b], ε
)
= inf
y∈Ω(0,[a,b],ε)
sup
τ∈πZ
|(∆y)(τ)− I(τ, y(τ − 0))| =
= inf
y∈Ω(0,[a,b],ε)
sup
τ∈πZ
|y(τ + 0)− y(τ − 0)| 6 inf
n>1
sup
τ∈πZ
|xε,n(τ + 0)− xε,n(τ − 0) =
= inf
n>1
sup
τ∈πZ
∣
∣
∣
εe−F (τ+tn+0) − εe−F (τ+tn−0)
∣
∣
∣
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
844 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Тому δ
(
0, [a, b], ε
)
= 0 на пiдставi (11) i, отже, за довiльнiстю вибору вiдрiзка [a, b], a < 0 < b, i
числа ε ∈
(
0, r
(
0, [a, b]
))
вiдокремлений на кожнiй множинi (R \ πZ)× [a, b] нульовий розв’язок
системи (16) не є сильно вiдокремленим на жоднiй iз цих множин.
Застосування функцiонала δ до дослiдження нелiнiйної майже перiодичної системи (3)
наведемо у наступному пунктi.
3. Основнi результати. Наведемо умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв систе-
ми (3), в яких на вiдмiну вiд вiдомої теореми Амерiо про майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь (див. [2, 5]) не використовуються H-клас системи (3) та вiдокремле-
нiсть обмежених розв’язкiв систем H-класу цiєї системи.
Нехай Λ — обмежена пiдмножина простору E. Визначимо дiаметр множини Λ рiвнiстю
diam Λ = sup{‖x− y‖E : x, y ∈ Λ}.
Теорема 1. Нехай K ∈ K. Якщо для розв’язку z ∈ N (K) системи (3) diam R(z) 6= 0 i
δ(z,K, ε) > 0 (17)
для кожного ε ∈ (0, r(z,K)), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Зауваження 1. Розв’язок z ∈ N (K) системи (3), для якого diam R(z) = 0, є сталим i,
отже, майже перiодичним.
Доведення. Припустимо, що розв’язок z ∈ N (K) системи (3) не є елементом простору
B1(R \ T,E)
(
випадок, коли z ∈ B0(R \ T,E) i dz/dt 6∈ B0(R \ T,E), неможливий, оскiльки
dz(t)
dt
≡ f
(
t, z(t)
)
i f
(
t, z(t)
)
— елемент простору B0(R \ T,E)
)
. Тодi iснує послiдовнiсть
(
Shp,1z
)
p>1
, для якої
кожна пiдпослiдовнiсть
(
Skp,1z
)
p>1
буде розбiжною у просторi X 0(R\T,E). Отже, для деяких
числа γ ∈ (0,diamR(z)) i послiдовностей (pr)r>1, (qr)r>1 натуральних чисел
∥
∥Skpr ,1z − Skqr ,1z
∥
∥
X 0(R\T,E)
> γ, r > 1. (18)
Зазначимо, що diamR(z) 6 r(z,K). Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що послiдов-
ностi
(
f(t+kp, x)
)
p>1
i
(
I(τ+kp, x)
)
p>1
елементiв просторiв B0(R\T,E) i B(T,E) вiдповiдно
збiгаються рiвномiрно на K. Тодi
lim
p,q→∞
sup
x∈K
sup
t∈R\T
∥
∥
∥
f(t+ kp, x)− f(t+ kq, x)
∥
∥
∥
E
= 0 (19)
i
lim
p,q→∞
sup
x∈K
sup
τ∈T
∥
∥
∥
I(τ + kp, x)− I(τ + kq, x)
∥
∥
∥
E
= 0. (20)
Розглянемо елементи
yr(t) = (Skpr,1
z)(t)− (Skqr,1
z)(t), r > 1,
простору X 1(R \ T,E). На пiдставi (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
КРИТЕРIЙ IСНУВАННЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ . . . 845
yr ∈ Ω(Skqr ,1z,K, γ), r > 1. (21)
Покажемо, що
δ(z,K, γ) = 0. (22)
Завдяки (3), (21) та тому, що
dz(t+ kpr)
dt
− f
(
t+ kpr , z(t+ kpr)
)
≡ 0, r > 1,
виконуються спiввiдношення
δ1(z,K, γ) = inf
y∈Ω(z,K,γ)
sup
t∈R\T
∥
∥
∥
∥
d(z(t) + y(t))
dt
− f(t, z(t) + y(t))
∥
∥
∥
∥
E
=
= inf
y∈Ω(Skqr ,1z,K,γ)
sup
t∈R\T
∥
∥
∥
∥
d(z(t+ kqr) + y(t))
dt
− f(t+ kqr , z(t+ kqr) + y(t))
∥
∥
∥
∥
E
6
6 sup
t∈R\T
∥
∥
∥
∥
d(z(t+ kqr) + yr(t))
dt
− f(t+ kqr , z(t+ kqr) + yr(t))
∥
∥
∥
∥
E
=
= sup
t∈R\T
∥
∥
∥
∥
dz(t+ kpr)
dt
− f(t+ kqr , z(t+ kpr))
∥
∥
∥
∥
E
6
6 sup
t∈R\T
∥
∥
∥
∥
dz(t+ kpr)
dt
− f(t+ kpr , z(t+ kpr))
∥
∥
∥
∥
E
+
+ sup
t∈R\T
‖f(t+ kpr , z(t+ kpr))− f(t+ kqr , z(t+ kpr))‖E =
= sup
t∈R\T
‖f(t+ kpr , z(t+ kpr))− f(t+ kqr , z(t+ kpr))‖E ,
з яких на пiдставi (19) випливає, що
δ1(z,K, γ) = 0. (23)
Аналогiчно, завдяки (3), (21) та тому, що
(∆z)(τ + kpr)− I
(
τ + kpr , z(τ + kpr − 0)
)
≡ 0, r > 1,
виконуються спiввiдношення
δ2(z,K, γ) = inf
y∈Ω(z,K,γ)
sup
τ∈T
‖(∆(z + y))(τ)− I(τ, z(τ − 0) + y(τ − 0))‖E =
= inf
y∈Ω(Skqr ,1z,K,γ)
sup
τ∈T
∥
∥(∆(Skqr ,1z + y))(τ)− I(τ + kqr , z(τ + kqr − 0) + y(τ − 0))
∥
∥
E
6
6 sup
τ∈T
∥
∥(∆(Skqr ,1z + yr))(τ)− I(τ + kqr , z(τ + kqr − 0) + yr(τ − 0))
∥
∥
E
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
846 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
= sup
τ∈T
∥
∥(∆(Skpr ,1z))(τ) − I(τ + kqr , z(τ + kpr − 0))
∥
∥
E
6
6 sup
τ∈T
∥
∥(∆(Skpr ,1z))(τ) − I(τ + kpr , z(τ + kpr − 0))
∥
∥
E
+
+sup
τ∈T
‖I(τ + kpr , z(τ + kpr − 0))− I(τ + kqr , z(τ + kpr − 0))‖
E
=
= sup
τ∈T
‖I(τ + kpr , z(τ + kpr − 0))− I(τ + kqr , z(τ + kpr − 0))‖
E
,
з яких на пiдставi (20) випливає, що
δ2(z,K, γ) = 0. (24)
Iз (23) i (24) отримуємо (22), що суперечить (17).
Отже, припущення, що розв’язок z ∈ N (K) системи (3) не є майже перiодичним, є хибним.
Теорему 1 доведено.
Зазначимо, що виконання спiввiдношення (17) означає, що розв’язок z ∈ N (K) системи
(3) є сильно вiдокремленим на множинi (R \ T ) ×K. Тому цю теорему можна сформулювати
в iншому виглядi.
Теорема 2. Нехай K ∈ K. Якщо розв’язок z ∈ N (K) рiвняння (3) сильно вiдокремлений на
множинi (R \ T )×K i diam R(z) 6= 0, то цей розв’язок є майже перiодичним.
Зауваження 2. Якщо розв’язок z ∈ N (f ,K) системи (3) не є сильно вiдокремленим на
множинi (R \ T )×K, то цей розв’язок може як бути майже перiодичним, так i не бути таким.
Це пiдтверджується двома прикладами.
Приклад 2. Розглянемо нелiнiйну систему
dx(t)
dt
= (x(t)− 1)x(t), t ∈ R \ Z,
(∆x)(τ) = 0, τ ∈ Z,
(25)
та її обмежений розв’язок z = z(t), для якого z(+0) =
1
2
. Цей розв’язок не є майже перiодич-
ним, оскiльки limt→+∞ z(t) = 0 i limt→−∞ z(t) = 1. Очевидно, що R(z) ⊂ [0, 1].
Зафiксуємо вiдрiзок [−1, 2]. Тодi елемент y = −z(t) простору X 1(R \ πZ,R) є елементом
множини Ω(z, [−1, 2], ε) для кожного ε ∈ (0, 1). Тому для таких ε
δ1(z, [−1, 2], ε) = inf
x∈Ω(z,[−1,2],ε)
sup
t∈R\πZ
∣
∣
∣
∣
d(z(t) + x(t))
dt
+ (z(t) + x(t)− 1)(z(t) + x(t))
∣
∣
∣
∣
6
6 sup
t∈R\πZ
∣
∣
∣
∣
d(z(t) + (−z(t)))
dt
+ (z(t) + (−z(t))− 1)(z(t) + (−z(t)))
∣
∣
∣
∣
= 0
i
δ2(z, [−1, 2], ε) = inf
x∈Ω(z,[−1,2],ε)
sup
τ∈πZ
|(∆(z + x))(τ)| 6 sup
τ∈πZ
|(∆(z + (−z)))(τ)| = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
КРИТЕРIЙ IСНУВАННЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ . . . 847
Отже, δ(z, [−1, 2], ε) = 0 для кожного ε ∈ (0, 1), тобто розв’язок z = z(t) системи (25) не є
сильно вiдокремленим на множинi (R \ πZ)× [−1, 2].
Зазначимо, що розв’язок z = z(t) системи (25) також не є вiдокремленим на множинi
(R \ πZ)× [−1, 2], оскiльки функцiї z1(t) ≡ 0 i z2(t) ≡ 1 також є обмеженими розв’язками цiєї
системи i
inf
t∈R\πZ
|z(t)− z1(t)| = inf
t∈R\πZ
|z(t)− z2(t)| = 0.
Приклад 3. Нехай E = R. Розглянемо лiнiйну систему
dx(t)
dt
= 0, t ∈ R \ Z,
(∆x)(τ) = 0, τ ∈ Z.
Очевидно, що розв’язки цiєї системи мають вигляд x(t) = c, t ∈ R\Z, де c — довiльна дiйсна
стала. Тому всi вони є елементами простору B1(R\Z,R). Усi цi розв’язки не є вiдокремленими
i, отже, не є сильно вiдокремленими на множинах (R \ Z)× [a, b] (a, b ∈ R, a < b).
Отже, властивiсть сильної вiдокремленостi обмеженого розв’язку майже перiодичної сис-
теми (3) не є необхiдною (а є лише достатньою) умовою для майже перiодичностi цього
розв’язку.
4. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. Функцiонали, аналогiчнi δ, вперше
застосованi автором у [6 – 12] при дослiдженнi нелiнiйних майже перiодичних рiзницевих,
диференцiальних та диференцiально-рiзницевих рiвнянь.
Наведенi в пунктi 3 умови iснування майже перiодичних розв’язкiв систем рiвняння (3) є
новими. На вiдмiну вiд згадуваної теореми Амерiо [2, 5] в теоремах 1 i 2 не використовуються
H-клас системи (3) та умова вiдокремлення обмежених розв’язкiв систем H-класу цiєї системи
i банаховий простiр E може бути нескiнченновимiрним.
Зазначимо, що дослiдженню розв’язкiв майже перiодичних рiвнянь присвячено багато пуб-
лiкацiй. Вiдмiтимо лише частину з них. Для звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь
першi теореми про майже перiодичнi розв’язки були доведенi Фаваром у роботi [3], а для
нелiнiйних диференцiальних рiвнянь — Амерiо в роботi [5]. У цих роботах суттєво використо-
вуються H-класи дослiджуваних рiвнянь, а в [5] — також вимога вiдокремленостi обмежених
розв’язкiв рiвнянь. Результати Фавара були покращенi Е. Мухамадiєвим [13, 14]. Узагальнен-
ням теорем Мухамадiєва присвячено роботи [15 – 17]. Важливi результати в цьому напрямку
також належать Б. М. Левiтану [4], Амерiо [18] та В. В. Жикову [19].
Майже перiодичнi диференцiальнi рiвняння з iмпульсними збуреннями дослiджувалися
А. М. Самойленком i М. О. Перестюком [20]. Лiнiйнi майже перiодичнi абстрактнi iмпульснi
системи дослiджувалися С. I. Трофимчуком [21].
1. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen // Math. Ann. – 1927. – 96. – I Teil. – P. 119 – 147. II Teil. –
P. 383 – 409.
2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 c.
3. Favard J. Sur les équations différentielles à coefficients presquepériodiques // Acta math. – 1927. – 51. – P. 31 – 81.
4. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
848 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
5. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati // Ann.
mat. pura ed appl. – 1955. – 39. – P. 97 – 119.
6. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з непе-
рервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 1. – С. 118 – 124.
7. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь у
банаховому просторi // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 2. – С. 307 – 312.
8. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з дискретним
аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 3. – С. 416 – 425.
9. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв не розв’язаних вiдносно похiдної нелi-
нiйних диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 3. – С. 384 – 393.
10. Slyusarchuk V. Yu. Almost periodic solutions of difference equations with discrete argument on metric space // Miskolc
Math. Notes. – 2014. – 15, № 1. – P. 211 – 215.
11. Слюсарчук В. Е. Исследование нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений, не исполь-
зующее H-классы этих уравнений // Мат. сб. – 2014. – 205, № 6. – С. 139 – 160.
12. Слюсарчук В. Е. Условия почти периодичности ограниченных решений нелинейных дифференциально-
разностных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. – 2014. – 78, № 6. – С. 179 – 192.
13. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций //
Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269 – 274.
14. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных урав-
нений // Мат. заметки. – 1981. – 30, № 3. – С. 443 – 460.
15. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. –
1981. – 116(158), № 4(12). – С. 483 – 501.
16. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат. сб. –
1986. – 130(172), № 1(5). – С. 86 – 104.
17. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 – 267.
18. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. – 1960. – 30. – P. 288 – 301.
19. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в случае произ-
вольного банахова пространства // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – С. 121 – 126.
20. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Вища
шк., 1987. – 288 c.
21. Трофимчук С. И. Почти периодические решения линейных абстрактных импульсных систем // Дифференц.
уравнения. – 1995. – 31, № 4. – С. 602 – 612.
Одержано 08.06.13,
пiсля доопрацювання — 22.12.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2026 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:18Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d1/0a77fa8486ba3fc1f2e4de0167c510d1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20262019-12-05T09:48:59Z A Criterion for the Existence of Almost Periodic Solutions of Nonlinear Differential Equations with Impulsive Perturbation Критерій існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. We establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differential equations with impulsive perturbation in Banach spaces without using the \( \mathcal{H} \)-classes of these equations. Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в банаховом пространстве, не использующие $H$-классы этих уравнений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2026 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 6 (2015); 838–848 Український математичний журнал; Том 67 № 6 (2015); 838–848 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2026/1070 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2026/1071 Copyright (c) 2015 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. A Criterion for the Existence of Almost Periodic Solutions of Nonlinear Differential Equations with Impulsive Perturbation |
| title | A Criterion for the Existence of Almost Periodic Solutions of Nonlinear Differential Equations with Impulsive Perturbation |
| title_alt | Критерій існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням |
| title_full | A Criterion for the Existence of Almost Periodic Solutions of Nonlinear Differential Equations with Impulsive Perturbation |
| title_fullStr | A Criterion for the Existence of Almost Periodic Solutions of Nonlinear Differential Equations with Impulsive Perturbation |
| title_full_unstemmed | A Criterion for the Existence of Almost Periodic Solutions of Nonlinear Differential Equations with Impulsive Perturbation |
| title_short | A Criterion for the Existence of Almost Periodic Solutions of Nonlinear Differential Equations with Impulsive Perturbation |
| title_sort | criterion for the existence of almost periodic solutions of nonlinear differential equations with impulsive perturbation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2026 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu acriterionfortheexistenceofalmostperiodicsolutionsofnonlineardifferentialequationswithimpulsiveperturbation AT slûsarčukvû acriterionfortheexistenceofalmostperiodicsolutionsofnonlineardifferentialequationswithimpulsiveperturbation AT slyusarchukvyu kriteríjísnuvannâmajžeperíodičnihrozv039âzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnimzburennâm AT slûsarčukvû kriteríjísnuvannâmajžeperíodičnihrozv039âzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnimzburennâm AT slyusarchukvyu criterionfortheexistenceofalmostperiodicsolutionsofnonlineardifferentialequationswithimpulsiveperturbation AT slûsarčukvû criterionfortheexistenceofalmostperiodicsolutionsofnonlineardifferentialequationswithimpulsiveperturbation |