Bezout Rings of Stable Range 1.5
A ring $R$ has a stable range 1.5 if, for every triple of left relatively prime nonzero elements $a, b$ and $c$ in $R$, there exists $r$ such that the elements $a+br$ and $c$ are left relatively prime. Let $R$ be a commutative Bezout domain. We prove that the matrix ring $M_2 (R)$ has the stable ran...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2027 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507941114740736 |
|---|---|
| author | Shchedrik, V. P. Щедрик, В. П. |
| author_facet | Shchedrik, V. P. Щедрик, В. П. |
| author_sort | Shchedrik, V. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:48:59Z |
| description | A ring $R$ has a stable range 1.5 if, for every triple of left relatively prime nonzero elements $a, b$ and $c$ in $R$, there exists $r$ such that the elements $a+br$ and $c$ are left relatively prime. Let $R$ be a commutative Bezout domain. We prove that the matrix ring $M_2 (R)$ has the stable range 1.5 if and only if the ring $R$ has the same stable range. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 552.13
В. П. Щедрик (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
КIЛЬЦЯ БЕЗУ СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1,5
A ring R has the stable range 1.5 if, for every triple of left relatively prime nonzero elements a, b, and c in R there exists
r such that the elements a+ br and c are left relatively prime. Let R be a commutative Bezout domain. We prove that the
matrix ring M2(R) is of the stable range 1.5 if and only if R has the same stable range.
Кольцо R имеет стабильный ранг 1,5, если для каждой тройки ненулевых взаимно простых слева элементов a, b, c
этого кольца существует такое r, что элементы a+ br, c взаимно просты слева. Пусть R — коммутативная область
Безу. Доказано, что кольцо M2(R) имеет стабильный ранг 1,5 тогда и только тогда, когда кольцо R имеет тот же
стабильный ранг.
1. Вступ. Поняття стабiльного рангу кiльця, як iнструменту розв’язання деяких задач K-теорiї,
було введене Х. Бассом у 1964 р. [1]. Нагадаємо, що кiльце R має стабiльний ранг 2, якщо для
довiльних взаємно простих злiва елементiв a, b, c з R iснують такi r1, r2 з R, що елементи
a + cr1, b + cr2 взаємно простi злiва. Якщо з лiвої взаємної простоти елементiв a, b випливає
iснування такого r, що a + br є одиницею кiльця R, то кажуть, що R має стабiльний ранг 1.
Прикладом кiльця стабiльного рангу 1 є F [[x]] — кiльце формальних степеневих рядiв над полем
F. Кiльце цiлих чисел, кiльця головних iдеалiв, комутативнi областi Безу (комутативнi кiльця
без дiльникiв нуля, в яких кожний скiнченнопороджений iдеал є головним) мають стабiльний
ранг 2.
Методи, що ґрунтуються на поняттi стабiльного рангу, виявились досить ефективними
i в теорiї кiлець, зокрема при розв’язаннi вiдомої проблеми кiлець елементарних дiльникiв
[2]. Так, доведено, що кiльця елементарних дiльникiв мають стабiльний ранг не бiльше нiж
2 [3]. У роботах [4 – 8] показано, що кiльця Безу, скiнченний гомоморфний образ яких має
стабiльний ранг 1, є кiльцями елементарних дiльникiв. Окрiм цього, через поняття стабiльного
рангу введено широко дослiджуванi комутативнi чистi кiльця [9], кiльця з властивiстю замiни
[5], акуратнi кiльця [5]. Бiльш глибокi дослiдження цього поняття спонукали до введення
iдемпотентного [5, 9], одиничного [10] та акуратного [7] стабiльних рангiв.
У 1943 р. О. Хелмером було введено поняття адекватного кiльця [11]. Пiд ним розумiється
комутативна область Безу R, в якiй для кожного ненульового елемента a i кожного елемента c
iснують такi елементи r, d ∈ R, що a = rd, причому r є взаємно простим iз c, а кожний необо-
ротний дiльник di елемента d має необоротний спiльний дiльник iз c. Прикладами адекватних
кiлець є комутативнi областi головних iдеалiв. З iншого боку, кiльце цiлих аналiтичних функцiй
є адекватним кiльцем, проте не областю головних iдеалiв.
Елементи адекватних кiлець мають властивiсть A) для кожної трiйки ненульових взаємно
простих елементiв a, b, c iснує таке r, що (a + br, c) = 1. Легко переконатись, що шуканим
елементом r буде елемент iз розкладу a = rd, де r є взаємно простим iз c, а кожний необоротний
дiльник di елемента d має необоротний спiльний дiльник iз c.
Кiльця з властивiстю A мають деякi специфiчнi властивостi, якi притаманнi лише їм. Це
видно вже з того, як унiмодулярний рядок над такими кiльцями доповнюється до оборотної
матрицi. Так [12], якщо R — комутативна область Безу з властивiстю A, то кожний рядок
[
a b c
]
, де (a, b, c) = 1, a 6= 0, доповнюється до оборотної матрицi вигляду
c© В. П. ЩЕДРИК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 849
850 В. П. ЩЕДРИК
u1 0 u2
0 1 u3
a b c
.
В свою чергу, комутативна область Безу з властивiстю A, очевидно, має стабiльний ранг 2, а
над такими кiльцями такий рядок доповнюється лише до оборотної матрицi вигляду
v1 v2 v3
0 v4 v5
a b c
.
Тому для бiльш глибокого вивчення таких кiлець є сенс видiлити їх в окремий клас.
Означення . Будемо говорити, що кiльце R має стабiльний ранг 1,5, якщо для кожної
трiйки ненульових взаємно простих злiва елементiв a, b, c iз R iснує таке r ∈ R, що елементи
a+ br, c є взаємно простим злiва.
Як було вже зазначено, комутативна область Безу з властивiстю A має стабiльний ранг 2.
Обернене твердження є хибним. Так, кiльце формальних степеневих рядiв над полем рацiо-
нальних чисел з цiлим вiльним членом має стабiльний ранг 2, проте не є кiльцем стабiльного
рангу 1,5.
Стабiльний ранг кiльця R
(
в позначеннях st.r.(R)
)
тiсно пов’язаний зi стабiльним рангом
кiльця Mn(R) (n×n)-матриць над ним. Цей взаємозв’язок був встановлений Л. Васерштейном
[13]:
st.r.(Mn(R)) = 1−
[
−
st.r.(R)− 1
n
]
.
Тут символ [∗] означає цiлу частину числа. Згiдно з цiєю формулою, якщо st.r.(R) дорiвнює 1
чи 2, то кiльце Mn(R) має аналогiчний стабiльний ранг.
У пропонованiй статтi показано, що кiльце матриць другого порядку над комутативною
областю Безу R стабiльного рангу 1,5 успадковує цю властивiсть. А саме, якщо st.r.(R) =1,5,
то i st.r.(M2(R)) = 1,5. Правильним буде i обернене твердження: якщо st.r.(M2(R)) = 1,5, де
R — комутативна область Безу, то st.r.(R) = 1,5.
2. Допомiжнi результати. Нехай R — комутативна область елементарних дiльникiв [14] з
1 6= 0. Тодi для кожної матрицi A iз Mn(R) iснують такi оборотнi матрицi PA та QA, що
PAAQA = diag(ε1, . . . , εn) = E, εi |εi+1 , i = 1, . . . , n− 1.
Матрицю E називають формою Смiта, PA та QA — лiвими та правими перетворювальними
матрицями матрицi A. Iнодi, для зручностi, матрицю A будемо записувати у виглядi A =
= P−1
A EQ−1
A .
Позначимо через PA множину всiх лiвих перетворювальних матриць A. Згiдно з результа-
тами робiт [15, 16] PA = GEPA, де
GE =
{
H ∈ GLn(R) | ∃ H1 ∈ GLn(R) : HE = EH1
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
КIЛЬЦЯ БЕЗУ СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1,5 851
Множина GE за структурою є мультиплiкативною групою i складається з усiх оборотних
матриць вигляду
h11 h12 . . . h1,n−1 h1n
ε2ε
−1
1 h21 h22 . . . h2,n−1 h2n
. . . . . . . . . . . . . . .
εnε
−1
1 hn1 εnε
−1
2 hn2 . . . εnε
−1
n−1hn,n−1 hnn
.
Використавши теорему 5.1 iз [14], легко показати, що комутативна область Безу стабiльного
рангу 1,5 є областю елементарних дiльникiв.
Далi R — комутативна область Безу стабiльного рангу 1,5.
Якщо A = BC, то матриця B називається лiвим дiльником матрицi A, а матриця A —
правим кратним матрицi B. Якщо A = DA1 та B = DB1, то матриця D називається спiльним
лiвим дiльником матриць A та B. Окрiм цього, якщо матриця D є правим кратним кожного
спiльного лiвого дiльника матриць A та B, то матрицю D називають найбiльшим спiльним
лiвим дiльником матриць A та B i позначають (A,B)l. На пiдставi теорем 3 iз [17] i 3.8 iз
[14] найбiльший спiльний лiвий дiльник у кiльцi Mn(R) визначено однозначно з точнiстю до
правої асоцiйованостi.
Символом [a, b] будемо позначати н. с. к. елементiв a, b, I — одинична матриця,
[
sij
]
2
—
матрицю другого порядку з елементами sij.
Теорема 1. Нехай A, B — матрицi з M2(R), якi мають, вiдповiдно, форми Смiта E =
= diag(ε1, ε2), ∆ = diag(δ1, δ2) i PBP
−1
A =
[
sij
]
2
= S. Для того щоб (A,B)l = I, необхiдно
та достатньо, щоб
(
ε2, δ2, [ε1, δ1]s21
)
= 1.
Доведення. Розглянемо матрицю
[
A B
]
. Для неї iснує така оборотна матриця U, що
[
A B
]
U =
[
D 0
]
,
де D ∈M2(R). На пiдставi теореми 23.1 iз [18] (A,B)l = D. Справджуються рiвностi
[
A B
]
=
[
P−1
A EQ−1
A P−1
B ∆Q−1
B
]
= P−1
B
[
PBP
−1
A E ∆
]
[
Q−1
A 0
0 Q−1
B
]
=
= P−1
B
[
SE ∆
]
[
Q−1
A 0
0 Q−1
B
]
.
Домножимо цю рiвнiсть справа на U :
[
A B
]
U =
[
D 0
]
=
(
P−1
B
) [
SE ∆
]
([
Q−1
A 0
0 Q−1
B
]
U
)
.
Звiдси випливає, що
[
SE ∆
]
V =
[
PBD 0
]
,
де V — оборотна матриця. Отже, (SE,∆)l = PBD = PB(A,B)l. Оскiльки PB ∈ GL2(R), то
(A,B)l = I тодi i тiльки тодi, коли (SE,∆)l = I. А це рiвносильно тому, що н. с. д. µ мiнорiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
852 В. П. ЩЕДРИК
2-го порядку матрицi
[
SE ∆
]
=
[
s11ε1 s12ε2 δ1 0
s21ε1 s22ε2 0 δ2
]
дорiвнює одиницi. Зауваживши, що sij є елементами оборотної матрицi S, отримуємо
µ = (ε1ε2, δ1δ2, ε1δ2s11, ε2δ2s12, ε1δ1s21, ε2δ1s22) =
=
(
ε1ε2, δ1δ2, ε1δ2
(
s11,
ε2
ε1
s12
)
, ε1δ1
(
s21,
ε2
ε1
s22
))
=
=
(
ε1ε2, δ1δ2, ε1δ2
(
s11,
ε2
ε1
)
, ε1δ1
(
s21,
ε2
ε1
))
=
=
(
ε1ε2, δ1δ2, ε1δ1
(
δ2
δ1
(
s11,
ε2
ε1
)
, s21,
ε2
ε1
))
=
=
(
ε1ε2, δ1δ2, ε1δ1
(
δ2
δ1
s11,
δ2ε2
δ1ε1
, s21,
ε2
ε1
))
=
=
(
ε1ε2, δ1δ2, ε1δ1
((
δ2
δ1
s11, s21
)
,
(
δ2ε2
δ1ε1
,
ε2
ε1
)))
=
(
ε1ε2, δ1δ2, ε1δ1
(
δ2
δ1
, s21,
ε2
ε1
))
=
= (ε1ε2, ε2δ1, δ1δ2, ε1δ2, ε1δ1s21) =
= (ε1, δ1)
(
ε2
(
ε1
(ε1, δ1)
,
δ1
(ε1, δ1)
)
, δ2
(
ε1
(ε1, δ1)
,
δ1
(ε1, δ1)
)
,
ε1δ1
(ε1, δ1)
s21
)
=
= (ε1, δ1)
(
ε2, δ2, [ε1, δ1]s21
)
.
Таким чином, для того щоб (A,B)l = I, необхiдно та достатньо, щоб
(
ε1, δ1
)
(ε2, δ2, [ε1, δ1]s21) = 1. (1)
Оскiльки (ε1, δ1) є дiльником (ε2, δ2, [ε1, δ1]s21) , то рiвнiсть (1) рiвносильна умовi
(
ε2, δ2,
[ε1, δ1]s21
)
= 1.
Для завершення доведення теореми скористаємося лемою 2 iз [19], з якої випливає, що
(
ε2, δ2, [ε1, δ1]s21
)
не залежить вiд вибору матриць PA та PB .
Теорему 1 доведено.
Легко переконатися, що справджуються наступнi наслiдки.
Наслiдок 1. Якщо ε2 = 0, δ2 6= 0, то (A,B)l = I тодi i тiльки тодi, коли δ1 = 1 i
(δ2, ε1s21) = 1.
Наслiдок 2. Якщо ε2, δ2 = 0, то (A,B)l = I тодi i тiльки тодi, коли ε1δ1s21 є оборотним
елементом кiльця R.
Наслiдок 3. Якщо (A,B)l = I i s21 = 0, то матрицi A, B є неособливими, причому
(detA,detB) = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
КIЛЬЦЯ БЕЗУ СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1,5 853
Теорема 2. Нехай A,B ∈ M2(R) i принаймнi одна iз них є неособливою матрицею. Тодi
множина PBP
−1
A мiстить нижню унiтрикутну матрицю.
Доведення. Збережемо позначення теореми 1. Оскiльки PB = G∆PB ,PA = GEPA, то
PBP
−1
A = G∆PB(GEPA)
−1 = G∆PBP
−1
A GE = G∆SGE.
Таким чином, домножуючи матрицю PBP
−1
A = S злiва на елементи групи G∆ i справа на
елементи групи GE, ми залишаємося в межах множини PBP
−1
A .
Позначимо через U
up
2 (R) та U lw
2 (R) групи верхнiх та нижнiх унiтрикутних (2× 2)-матриць
над R вiдповiдно. Нехай det∆ 6= 0. На пiдставi теореми 1 iз [20]
GL2(R) = G∆U
lw
2 (R)Uup
2 (R).
Оскiльки S ∈ GL2(R), то S = HUV, де H ∈ G∆, U ∈ U lw
2 (R), V ∈ U
up
2 (R). Отже, U =
= H−1SV −1. Зауважуючи, що H−1 ∈ G∆, V
−1 ∈ GE, приходимо до висновку, що U ∈
∈ PBP
−1
A .
Нехай det E 6= 0. Тодi виконується рiвнiсть GL2(R) = GEU
lw
2 (R)Uup
2 (R). Перейшовши
до оборотних матриць, отримаємо GL2(R) = U
up
2 (R)U lw
2 (R)GE, тобто S = MNK, де M ∈
∈ U
up
2 (R), N ∈ U lw
2 (R), K ∈ GE. Отже, N = M−1SK−1. Оскiльки U
up
2 (R) ⊂ G∆, то
M−1 ∈ G∆. Оскiльки K−1 ∈ U
up
2 (R), приходимо до висновку, що N ∈ PBP
−1
A .
Теорему 2 доведено.
Нагадаємо, що матрицi M i N називають еквiвалентними i позначають M ∼ N, якщо
iснують такi оборотнi матрицi U, V, що M = UNV.
Теорема 3. Нехай матрицi A,B мають, вiдповiдно, форми Смiта E, ∆, причому AB ∼
∼ E∆. Тодi PAB ⊆ PA.
Доведення. На пiдставi теореми iз [21] AB ∼ E∆ тодi i тiльки тодi, коли матрицю Q−1
A P−1
B
можна записати у виглядi Q−1
A P−1
B = K1K2, де K1 ∈ G
t
E, тобто EK1 = L1E, де L1 ∈ GE i
K2 ∈ G∆. Тодi
AB = P−1
A E
(
Q−1
A P−1
B
)
∆Q−1
B = P−1
A EK1K2∆Q
−1
B =
(
L−1
1 PA
)
−1
E∆
(
QBL
−1
2
)
−1
.
Це означає, що L−1
1 PA ∈ PAB . Отже, PAB = GE∆
(
L−1
1 PA
)
. В свою чергу PA = GEPA.
Зауважуючи, що L−1
1 ∈ GE, отримуємо
GE
(
L−1
1 PA
)
=
(
GEL
−1
1
)
PA = GEPA = PA.
Оскiльки GE∆ ⊆ GE, то приходимо до висновку, що PAB ⊆ PA.
Теорему 3 доведено.
3. Основнi результати.
Теорема 4. Нехай A, B — ненульовi взаємно простi злiва матрицi iз M2(R). Тодi якщо
матриця A є особливою, то iснує така матриця T, що A+BT ∈ GL2(R). Якщо ж матриця A
є неособливою, то для кожного фiксованого ϕ 6= 0 iз R iснує така матриця Fϕ, що A+BFϕ ∼
∼ diag(1, µ), причому (µ,ϕ) = 1.
Для доведення теореми нам потрiбнi наступнi твердження.
Лема 1. Матрицi (A,B)l та P−1
B
(
PBP
−1
A E,∆
)
l
асоцiйованi справа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
854 В. П. ЩЕДРИК
Доведення. Позначимо PBP
−1
A = S.Як було зазначено при доведеннi теореми 1, (SE,∆)l =
= D, де
[
SE ∆
]
U =
[
D 0
]
,
U ∈ GL4(R). Домножаючи цю рiвнiсть злiва на P−1
B , отримуємо
[
P−1
A EQ−1
A P−1
B ∆Q−1
B
]
([
QA 0
0 QB
]
U
)
=
[
P−1
B D 0
]
,
тобто (A,B)l = P−1
B D = P−1
B (SE,∆)l.
Лема 2. Матрицi PBP
−1
A E +∆V та A+B(QBV Q
−1
A ) є еквiвалентними.
Доведення. Дiйсно,
A+B
(
QBV Q
−1
A
)
= P−1
A EQ−1
A + P−1
B ∆Q−1
B (QBV Q
−1
A ) = P−1
B (PBP
−1
A E +∆V )Q−1
A .
Доведення теореми 4. Нехай detA = 0, тобто A = P−1
A EQ−1
A , E = diag(ε1, 0). На
пiдставi наслiдку 1 матриця B має вигляд B = P−1
B ∆Q−1
B , ∆ = diag(1, δ2). Нехай V =
[
vij
]
2
—
параметрична матриця.
Оскiльки (A,B)l = I, то з леми 1 випливає, що i (SE,∆)l = I.
1. Нехай δ2 6= 0. Згiдно з теоремою 2 матрицi PA, PB можна вибрати таким чином, що
PBP
−1
A =
[
1 0
s 1
]
= S.
Враховуючи, що PSE = S−1 i P∆ = I, отримуємо
PSEP
−1
∆ = S−1 =
[
1 0
−s 1
]
.
Оскiльки (SE,∆)l = I, то на пiдставi наслiдку 1
(δ2,−sε1) = 1 ⇒ (δ2, sε1) = 1.
Розглянемо рiвнiсть
SE +∆V =
[
ε1 + v11 v12
sε1 + v21δ2 v22δ2
]
.
Покладемо v021 = 0, v022 = 1. Iснують такi m, n, що mδ2 − nsε1 = 1. Покладемо v011 = m− ε1,
v012 = n. Матрицю
[
v0ij
]
2
позначимо через V 0. Отримана матриця SE + ∆V 0 є оборотною. На
пiдставi леми 2 A+BU ∈ GL2(R), де U = QBV
0Q−1
A .
2. Нехай δ2 = 0 i PBP
−1
A =
[
sij
]
2
= S. Тодi
SE +∆V =
[
s11ε1 + v11 v12
s21ε1 0
]
.
Оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
КIЛЬЦЯ БЕЗУ СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1,5 855
S−1 = e−1
[
s22 −s12
−s21 s11
]
,
де e = detS ∈ U(R), то, враховуючи попереднi мiркування, на пiдставi наслiдку 2 отримуємо
−eε1s21 ∈ U(R) ⇒ ε1s21 ∈ U(R).
Покладемо
V 0 =
[
0 1
0 0
]
.
Тодi SE +∆V 0 ∈ GL2(R). Згiдно з лемою 2 iснує така матриця T, що A+BT ∈ GL2(R).
3. Нехай detA 6= 0,detB 6= 0. Виберемо матрицi PA, PB таким чином, що
PBP
−1
A =
[
1 0
s 1
]
= S.
У параметричнiй матрицi V покладемо v22 = 0. Розглянемо рiвнiсть
SE +∆V =
[
ε1 + δ1v11 δ1v12
sε1 + v21δ2 ε2
]
.
Оскiльки (ε1, δ1)|(ε2, δ2, [ε1, δ1]s), то (ε1, δ1) = 1. Тому
(
ε2, δ2, [ε1, δ1]s
)
= (ε2, δ2, ε1δ1s) = 1. (2)
Оскiльки δ1|δ2, то i (ε2, δ1δ2, ε1δ1s) = 1. Iснує таке u, що (ε1δ1s + δ1δ2u, ε2) = 1. Покладемо
v021 = u, v022 = 0. Тодi
[
ε1s+ δ2v
0
21 ε2
]
=
[
a ε2
]
∼
[
1 0
]
. (3)
Iз (2) випливає, що (ε1ε2, δ1) = 1. Тодi для довiльного ϕ 6= 0 iз R також (ε1ε2, δ1, ϕ) = 1. Отже,
iснує таке r, що (ε1ε2 + δ1r, ϕ) = 1. Знайдуться такi p, q, що
p(ε1ε2 + δ1r) + qϕ = 1.
У параметричнi матрицi V покладемо v21 = v22 = 0. Розглянемо
det
[
ε1 + δ1v11 δ1v12
a ε2
]
= ε1ε2 + δ1(ε2v11 − av12).
Оскiльки (a, ε2) = 1, то iснують такi v011, v
0
12, що ε2v
0
11 − av012 = r. Позначимо
[
v0ij
]
2
= V 0.
Тодi
(
det(SE +∆V 0), ϕ
)
= 1, причому з (3) випливає, що
SE +∆V 0 ∼ diag(1, µ), µ = det(SE +∆V 0).
Для завершення розгляду цього випадку достатньо скористатись лемою 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
856 В. П. ЩЕДРИК
4. Нехай detA 6= 0,detB = 0. У цьому випадку
A = P−1
A EQ−1
A , E = diag(1, ε2), B = P−1
B ∆Q−1
B ,
∆ = diag(δ1, 0), PBP
−1
A =
[
1 0
s 1
]
= S.
Розглянемо рiвнiсть
SE +∆V =
[
1 + δ1v11 δ1v12
s ε2
]
.
Тодi
det(SE +∆V ) = ε2 +
(
v11ε2 − sv12
)
δ1.
Оскiльки (SE,∆)l = I, то на пiдставi наслiдку 1
(ε2,−δ1s) = (ε2, δ1s) = 1. (4)
Тому (ε2, δ1) = 1. Тодi для довiльного ϕ 6= 0 iз R (ε2, δ1, ϕ) = 1. Отже, iснує таке d, що
(ε2 + δ1d, ϕ) = 1. З рiвностi (4) випливає, що (ε2, s) = 1. Виберемо такi v011, v
0
12, що v011ε2 −
− sv012 = d. Позначимо
[
v011 v012
0 0
]
= V 0. Тодi
(
det(SE + ∆V 0), ϕ
)
= 1. Отже, згiдно з
лемою 2 A+B(QBV
0Q−1
A ) ∼ diag(1, ν), де (ν, ϕ) = 1.
Теорему 4 доведено.
Наслiдок 4. Нехай A, B — ненульовi взаємно простi злiва матрицi iз M2(R) i C — неособ-
лива матриця. Тодi iснує така матриця FC , що
(
det(A+BFC),detC
)
= 1.
Лема 3. Нехай A, B ∈ M2(R). Тодi iснують такi A1, B1, що A = (A,B)lA1, B =
= (A,B)lB1, причому (A1, B1)l = I.
Доведення. Нехай (A,B)l — неособлива матриця i (A1, B1)l = D 6∈ GL2(R). Отже,
(A,B)lD є лiвим спiльним дiльником матриць A та B. Згiдно з означенням лiвого спiльно-
го дiльника матриця (A,B)lD є лiвим дiльником матрицi (A,B)l:
(A,B)l = (A,B)lDU
для деякої матрицi U, тобто (A,B)l(I −DU) = 0. Оскiльки (A,B)l — неособлива матриця, то
DU = I, тобто D ∈ GL2(R). Отримали суперечнiсть.
Нехай (A,B)l — особлива матриця. Отже, матрицi A та B також є особливими i мають
вигляд
A = P−1
A EQ−1
A , E = diag(ε1, 0), B = P−1
B ∆Q−1
B , ∆ = diag(δ1, 0).
З теореми 1 випливає, що матриця (A,B)l є особливою тодi i тiльки тодi, коли s21 = 0, де
PBP
−1
A = S =
[
sij
]
2
, тобто PBP
−1
A ∈ GE = G∆ — група оборотних верхнiх трикутних
матриць. Це означає, що PB ∩ PA 6= ∅. Нехай P ∈ PB ∩ PA. Тобто матрицi A та B мають
вигляд A = P−1EQ−1
A , B = P−1∆Q−1
B . Тодi розклад матриць на множники
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
КIЛЬЦЯ БЕЗУ СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1,5 857
A =
(
P−1
[
(ε1, δ1) 0
0 0
])([ ε1
(ε1, δ1)
0
u 0
]
Q−1
A
)
,
B =
(
P−1
[
(ε1, δ1) 0
0 0
])
δ1
(ε1, δ1)
0
v 0
Q−1
B
,
де
ε1
(ε1, δ1)
v −
δ1
(ε1, δ1)
u = 1,
i буде шуканим.
Лему 3 доведено.
Теорема 5. Нехай R — комутативна область Безу. Для того щоб кiльце M2(R) мало
стабiльний ранг 1,5, необхiдно та достатньо, щоб кiльце R мало стабiльний ранг 1,5.
Доведення. Достатнiсть. Нехай A, B, C — ненульовi взаємно простi злiва матрицi iз
M2(R).
1. Нехай detA = 0 i (A,B)l = D. Тодi A = DA1, B = DB1. На пiдставi леми 3 матрицi
A1, B1 можна вибрати таким чином, що (A1, B1)l = I. Тодi, якщо матриця D неособлива,
матриця A1 є особливою. Якщо ж матриця D особлива, то, як випливає iз доведення теореми 1,
матрицю A1 також можна вибрати особливою. Отже, вважатимемо, що detA1 = 0.
Використавши теорему 4, знайдемо таке T, що A1 + B1T = U ∈ GL2(R). Оскiльки PD =
= PDU , а також (D,C)l = I, iз теореми 1 випливає, що (A+BT,C)l = I.
2. Нехай detA 6= 0, detC 6= 0 i (A,B)l = I. На пiдставi наслiдку 4 iснує така матриця T,
що
(
det(A+BT ),detC
)
= 1.
Тодi (A+BT,C)l = I.
Нехай (A,B)l = D 6= I. Отже, A = DA1, B = DB1, де
D = P−1
D ΓQ−1
D , Γ = diag(γ1, γ2), C = P−1
C ΩQ−1
C , Ω = diag(ω1, ω2).
Згiдно з наслiдком 4 iснує така матриця L, що
(
det(A1 + B1L),detD detC
)
= 1. (5)
Звiдси випливає, що (A1 + B1L,C)l = I. Розглянемо матрицю D(A1 + B1L) = F. Нехай
Ψ = diag(ψ1, ψ2) — форма Смiта матрицi A1 + B1L. Зважаючи на (5) та використовуючи
наслiдок 1 iз [21], отримуємо
F = D(A1 +B1L) ∼ ∆Ψ = diag(γ1ψ1, γ2ψ2) = Γ.
На пiдставi теореми 3 PF ⊆ PD. Це означає, що матрицю F можна записати у виглядi F =
= P−1
D ΓQ−1
F . З огляду на (5) отримуємо
(ψ1ψ2, γ1γ2) = (ψ1ψ2, ω1ω2) = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
858 В. П. ЩЕДРИК
Отже,
(ψ2, ω2) = (ψ1, ω1) = (ψ1, ω2) = 1.
Нехай PDP
−1
C =
[
sij
]
2
. Розглянемо
(
ψ2γ2, ω2, [ψ1γ1, ω1]s21
)
=
(
(ψ2γ2, ω2),
ψ1γ1ω1
(ψ1γ1, ω1)
s21
)
=
(
γ2, ω2,
ψ1γ1ω1
(γ1, ω1)
s21
)
=
=
(
γ2, ω2,
γ1ω1
(γ1, ω1)
ψ1s21
)
=
(
γ2, (ω2, [γ1, ω1]ψ1)s21
)
=
(
γ2, ω2, [γ1, ω1]s21
)
.
Оскiльки (D,C)l = I , то
(
γ2, ω2, [γ1, ω1]s21
)
= 1. Таким чином,
(
ψ2γ2, ω2, [ψ1γ1, ω1]s21
)
= 1,
а це означає, що
(
D(A1 + B1L), C
)
l
= I, тобто (A+BL,C)l = I.
3. Нехай detA 6= 0,detC = 0. Отже, C = P−1
C ΩQ−1
C , Ω = diag(ω1, 0). Спершу розглянемо
випадок, коли (A,B)l = D 6= I, тобто D = P−1
D ΓQ−1
D ,Γ = diag(1, γ2). Оскiльки (D,C)l = I,
то
(γ2, ω1s) = 1, (6)
де PDP
−1
C =
[
1 0
s 1
]
. Тодi s 6= 0. На пiдставi теореми 4 iснує така матриця K , що A1+B1K ∼
∼ diag(1, µ), де (µ, ω1s detD) = 1. Оскiльки (µ,detD) = 1, то за аналогiєю з випадком 2
показуємо, що
A+BK = D(A1 +B1K) ∼ P−1
D diag(1, γ2µ).
Оскiльки також (µ, ω1s) = 1, то iз (6) отримуємо, що (µγ2, ω1s) = 1. А це означає, що (A +
+BK,C)l = I.
Нехай (A,B)l = I. Виберемо матрицi PA та PB так, що PBP
−1
A =
[
1 0
c 1
]
. Спершу
розглянемо випадок, коли c 6= 0. Позначимо PBP
−1
C =
[
pij
]
2
. З рiвностi (ε1, δ1) = 1 випливає,
що i (ε1, δ1, ε1δ1c) = 1. Виберемо елемент t11 таким чином, що
(ε1 + δ1t11, ε1δ1c) = 1, (7)
причому
det
[
ε1 + δ1t11 p11
ε1c p21
]
6= 0.
Це можна зробити, тому що рiвняння
det
[
ε1 + δ1x p11
ε1c p21
]
= 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
КIЛЬЦЯ БЕЗУ СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1,5 859
вiдносно змiнної x має не бiльше одного розв’язку, а елементiв, якi задовольняють рiвнiсть (7),
є бiльше. Так, кожний елемент сумiжного класу t11 + (ε1δ1c)R також буде задовольняти рiв-
нiсть (7).
Оскiльки (A,B)l = I, то (ε2, δ2, ε1δ1c) = 1. Тому знайдеться таке t22, що
(ε2 + δ2t22, ε1δ1c) = 1.
Якщо δ2 = 0, то можемо покласти t22 = 0, оскiльки (ε2, ε1δ1c) = 1. Таким чином, (ab, ε1δ1c) =
= 1, де a = ε1 + δ1t11, b = ε2 + δ2t22. Отже, i
(
ab, ε1δ1c,det
[
a p11
ε1c p21
]
ω
)
= 1.
Тому iснує таке t12, що
(
ab− ε1δ1ct12,det
[
a p11
ε1c p21
]
ω
)
= 1.
Звiдси випливає, що
[
ε1 + δ1t11 δ1t12 ωp11 0
ε1c ε2 + δ2t22 ωp21 0
]
∼
[
I 0
]
.
Отже,
(
PBP
−1
A E +∆
[
t11 t12
0 t22
]
, PBP
−1
C Ω
)
l
= I.
Тодi i
(
P−1
A EQ−1
A + P−1
B ∆Q−1
B
(
QB
[
t11 t12
0 t22
])
, P−1
C ΩQ−1
C
)
l
= (A+BU,C)l = I,
де U = QB
[
t11 t12
0 t22
]
.
На завершення залишилося розглянути випадок, коли (A,B)l = I, причому PBP
−1
A = I,
тобто PA = PB . На пiдставi наслiдку 3 матрицi A,B є неособливими i (detA,detB) = 1.
Отже, (ε1ε2, δ1δ2) = 1. Звiдси випливає, що (ε1, δ1, ω) = 1 i (ε2, δ2, ω) = 1. Виберемо q11, q22
таким чином, що
(ε1 + δ1q11, ω) = 1, (ε2 + δ2q22, ω) = 1.
Звiдси випливає, що
[
ε1 + δ1t11 0 ωp11 0
0 ε2 + δ2q22 ωp21 0
]
∼
[
I 0
]
,
де PBP
−1
C =
[
pij
]
2
. Звiдси отримуємо (A+BV,C)l = I, де V = QB diag(q11, q22).
Достатнiсть доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
860 В. П. ЩЕДРИК
Необхiднiсть. Нехай R — комутативна область Безу i (a, b, c) = 1, c 6= 0. Розглянемо матрицi
A = diag(1, a), B = diag(0, b), C = diag(0, c).
Очевидно, що (A,B,C)l = I. Тодi iснує така матриця T =
[
tij
]
2
, що (A + BT,C)l = I.
Оскiльки
A+BT =
[
1 0
bt21 a+ bt22
]
,
то
[
1 0 0 0
bt21 a+ bt22 0 c
]
∼
[
I 0
]
.
Звiдси випливає, що (a+ bt22, c) = 1.
Теорему 5 доведено.
1. Bass H. K-theory and stable algebra // Publ. Math. – 1964. – 22. – P. 5 – 60.
2. Gillman L., Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Trans. Amer. Math. Soc. – 1956. – 82. –
P. 362 – 365.
3. Забавський Б.В. Редукцiя матриць над кiльцями Безу стабiльного рангу не бiльше 2 // Укр. мат. журн. – 2003. –
55, № 4. – С. 550 – 554.
4. McGovern W. Neat rings // J. Pure and Appl. Algebra. – 2006. – 205, № 2. – P. 243 – 265.
5. McGovern W. Bezout rings with almost stable range 1 // J. Pure and Appl. Algebra. – 2008. – 212, № 2. – P. 340 – 348.
6. Бiлявська С., Забавський Б. Стабiльний ранг адекватного кiльця // Мат. студ. – 2010. – 33, № 2. – С. 212 – 214.
7. Zabavsky B. Diagonal reduction of matrices over finite stable range rings // Мат. студ. – 2014. – 41, № 1. –
P. 101 – 108.
8. Zabavsky B. Diagonal reduction of matrices over rings // Math. Stud. Monograph Ser. – Lviv: VNTL Publ., 2012. –
Vol. 16 – 251 p.
9. Chen H. Rings with many idempotents // Int. J. Math. and Math. Sci. – 1999. – 22, № 3. – P. 547 – 558.
10. Goodearl K., Menal P. Stable range one for rings with many units // J. Pure and Appl. Algebra. – 1998. – 54. –
P. 261 – 287.
11. Helmer O. The elementary divisor for certain rings without chain conditions // Bull. Amer. Math. Soc. – 1943. – 49,
№ 2. – P. 225 – 236.
12. Shchedryk V. P. Some determinant properties of primitive matrices over Bezout B-domain // Algebra and Discrete
Math. – 2005. – № 2. – P. 46 – 57.
13. Васерштейн Л. Н. Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств // Функцион. анализ и
его прил. – 1971. – 5, вып. 2. – С. 17 – 27.
14. Kaplansky I. Elementary divisor and modules // Trans. Amer. Math. Soc. – 1949. – 66. – P. 464 – 491.
15. Зелиско В. Р. О строении одного класса обратимых матриц // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1980. – Вып. 12. –
С. 14 – 21.
16. Shchedryk V. Factorization of matrices over elementary divisor domain // Algebra and Discrete Math. – 2009. –
№ 2. – P. 79 – 99.
17. Stewart B. M. A note on least common left multiples // Bull. Amer. Math. Soc. – 1949. – 55, № 6. – P. 587 – 591.
18. MacDuffee C. C. The theory of matrices. – Berlin: Verlag von Julius Springer, 1933. – 110 p.
19. Романiв А. М., Щедрик В. П. Найбiльший спiльний дiльник та найменше спiльне праве кратне матриць другого
порядку // Мат. вiсн. наук. товариства iм. Шевченка. – 2012. – 9. – С. 269 – 284.
20. Shchedryk V. P. On decomposition of complete linear group into some its subgroups // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер.
мех.-мат. – 2003. – 61. – P. 184 – 190.
21. Щедрик В. П. Про мультиплiкативнiсть канонiчної дiагональної форми матриць // Прикл. пробл. механiки i
математики. – 2007. – Вип. 5. – P. 77 – 85.
Одержано 22.04.14,
пiсля доопрацювання — 04.02.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2027 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:18Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/30/ddf46df0821d152907a57963d7c79130.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20272019-12-05T09:48:59Z Bezout Rings of Stable Range 1.5 Bezout Rings of Stable Range 1.5 Shchedrik, V. P. Щедрик, В. П. A ring $R$ has a stable range 1.5 if, for every triple of left relatively prime nonzero elements $a, b$ and $c$ in $R$, there exists $r$ such that the elements $a+br$ and $c$ are left relatively prime. Let $R$ be a commutative Bezout domain. We prove that the matrix ring $M_2 (R)$ has the stable range 1.5 if and only if the ring $R$ has the same stable range. Кольцо R имеет стабильный ранг 1,5, если для каждой тройки ненулевых взаимно простых слева элементов $а, b, c$ этого кольца существует такое $r$, что элементы $a+br$, $c$ взаимно просты слева. Пусть $R$ — коммутативная область Безу. Доказано, что кольцо $M_2 (R)$ имеет стабильный ранг 1,5 тогда и только тогда, когда кольцо $R$ имеет тот же стабильный ранг. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2027 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 6 (2015); 849–860 Український математичний журнал; Том 67 № 6 (2015); 849–860 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2027/1072 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2027/1073 Copyright (c) 2015 Shchedrik V. P. |
| spellingShingle | Shchedrik, V. P. Щедрик, В. П. Bezout Rings of Stable Range 1.5 |
| title | Bezout Rings of Stable Range 1.5 |
| title_alt | Bezout Rings of Stable Range 1.5 |
| title_full | Bezout Rings of Stable Range 1.5 |
| title_fullStr | Bezout Rings of Stable Range 1.5 |
| title_full_unstemmed | Bezout Rings of Stable Range 1.5 |
| title_short | Bezout Rings of Stable Range 1.5 |
| title_sort | bezout rings of stable range 1.5 |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2027 |
| work_keys_str_mv | AT shchedrikvp bezoutringsofstablerange15 AT ŝedrikvp bezoutringsofstablerange15 |