On the Derived Length of a Finite Group with Complemented Subgroups of Order $p^2$
It is shown that a finite group with complemented subgroups of order $p^2$ is soluble for all $p$ and its derived length does not exceed 4.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2030 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507944038170624 |
|---|---|
| author | Knyagina, V. N. Monakhov, V. S. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. |
| author_facet | Knyagina, V. N. Monakhov, V. S. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. |
| author_sort | Knyagina, V. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:13Z |
| description | It is shown that a finite group with complemented subgroups of order $p^2$ is soluble for all $p$ and its derived length does not exceed 4. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
В. Н. Княгина (Гос. учреждение образования „Гомел. инж. ин-т” МЧС Республики Беларусь),
В. С. Монахов (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Республика Беларусь)
О ПРОИЗВОДНОЙ ДЛИНЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ
С ДОПОЛНЯЕМЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОРЯДКА p2
It is proved that a finite group with complemented subgroups of order p2 for all p is solvable and its derived length does
not exceed 4.
Доведено, що скiнченна група з доповнюваними пiдгрупами порядку p2 для всiх p є розв’язною i її похiдна довжина
не перевищує 4.
Введение. Рассматриваются только конечные группы. Принятые обозначения стандартны и
соответствуют [1, 2]. Как обычно, Φ(G) и G′ — соответственно подгруппа Фраттини и ком-
мутант группы G, а G(n) — n-й коммутант: G(n) = (G(n−1))′. Наименьшее натуральное n,
для которого G(n) = 1, называется производной длиной разрешимой группы G и обозначает-
ся через d(G). Дополнением к подгруппе H в группе G называется такая подгруппа K, что
G = HK и H ∩K = 1. Результаты о группах, как конечных, так и бесконечных, с системами
дополняемых подгрупп изложены в монографии С. Н. Черникова [3].
В 1937 г. Ф. Холл [4] установил, что конечные группы, в которых дополняемы все под-
группы, исчерпываются сверхразрешимыми группами с элементарными абелевыми силов-
скими подгруппами. Такие группы получили название вполне факторизуемых групп. Позже
Ю. М. Горчаков [5] показал, что дополняемость всех подгрупп равносильна дополняемости
подгрупп простых порядков. Понятно, что производная длина вполне факторизуемой группы
не выше 2.
Я. П. Сысак [6] исследовал строение конечных групп с дополняемыми элементарными
абелевыми примарными подгруппами непростых порядков, которые названы им элементарно
факторизуемыми группами. Группа G тогда и только тогда элементарно факторизуема, когда
для всех p ∈ π(G) она удовлетворяет условию дополняемости для элементарных абелевых под-
групп порядков p2 и p3 [7] (лемма 10). Ранг [2] (п. VI.5) разрешимой элементарно факторизуе-
мой группы G не превышает 2 [6] (следствие 2). Разрешимые группы, у которых ранг не превы-
шает 2, исследованы в [8]. В частности, в такой группеG существует нормальная {2, 3}′-холлова
подгруппа, а d(G/Φ(G)) ≤ 5. Силовская 2-подгруппа неразрешимой элементарно факторизуе-
мой группы является обобщенной группой кватернионов, а ее неабелевы композиционные фак-
торы изоморфны PSL(2, p) [6] (теорема 2). Элементарно факторизуемыми группами, в частно-
сти, являются вполне факторизуемые группы и группы, не содержащие нециклические элемен-
тарные абелевы подгруппы. Конечные группы с последним свойством — это группы, силовские
p-подгруппы которых при p > 2 циклические, а при p = 2 либо циклические, либо обобщенные
группы кватернионов (в частности, группы кватернионов). Отметим, что разрешимые группы
с указанными силовскими подгруппами описал Цассенхауз [9], а неразрешимые — Сузуки [10].
По сравнению с классом всех элементарно факторизуемых групп более широкий класс сос-
тавляют все конечные группы с дополняемыми подгруппами типа (p, p) для всех p, изученные
в работе Я. П. Сысака [7] и названные им (p, p)-факторизуемыми.
Теорема (Я. П. Сысак). Конечная не элементарно факторизуемая группаG тогда и толь-
ко тогда для каждого p ∈ π(G) удовлетворяет условию дополняемости для абелевых под-
групп типа (p, p), когда G = [A]B, где A — абелева холлова подгруппа в G, у которой для
c© В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ, 2015
874 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
О ПРОИЗВОДНОЙ ДЛИНЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОРЯДКА p2 875
каждого p ∈ π(A) силовская p-подгруппа Ap является прямым произведением двух или бо-
лее G-изоморфных минимальных нормальных подгрупп порядка p2 группы G и фактор-группа
G/CG(Ap) циклическая, а B — элементарно факторизуемая группа.
Применяя теорему 1 из [8], отсюда можно получить оценку производной длины фактор-
группы G/Φ(G) разрешимой (p, p)-факторизуемой для всех p группы G. Она не превышает 6,
а для таких групп нечетного порядка — 4.
В настоящей работе мы исследуем строение конечной группы с дополняемыми подгруппами
порядка p2 для всех p ∈ π(G). Доказывается следующая теорема.
Теорема. Пусть в группе G для каждого p ∈ π(G) дополняемы все подгруппы порядка p2.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) группа G разрешима и ее производная длина d(G) ≤ 4; кроме того, если порядок G
нечетен, то d(G) ≤ 3;
2) {2, 3}′-холлова подгруппа нормальна;
3) 2′-холлова подгруппа имеет силовскую башню сверхразрешимого типа;
4) если группа G не имеет силовской башни сверхразрешимого типа, то существует
нормальная подгруппа N такая, что фактор-группа G/N изоморфна знакопеременной группе
A4 степени 4.
1. Вспомогательные результаты. Для доказательства теоремы нам потребуются следую-
щие леммы.
Лемма 1. 1. Пусть A и H — подгруппы группы G и A ⊆ H. Если A дополняема в G и все
ее дополнения в H дополняемы в G, то H дополняема в G.
2. Пусть H — подгруппа группы G. Если все подгруппы простых порядков из H дополняемы
в G, то H дополняема в G.
Доказательство. 1. Пусть K — дополнение к подгруппе A в группе G. Тогда
G = AK, A ∩K = 1, H = A(H ∩K), A ∩H ∩K = 1,
т. е. H ∩K — дополнение к A в H. По условию существует подгруппа L такая, что
G = (H ∩K)L, H ∩K ∩ L = 1.
Вычислим порядок произведения подгрупп H и K ∩ L :
|H(K ∩ L)| = |H||K ∩ L| = |A||H ∩K||K ∩ L| = |G|
|K|
|G|
|L|
|K ∩ L| = |G|2
|KL|
≥ |G|.
Поэтому G = H(K ∩ L) и K ∩ L — дополнение к подгруппе H в группе G.
2. Применим индукцию по числу |G|+ |H|. Пусть A — подгруппа простого порядка из H.
По условию существует подгруппа B такая, что G = AB и A∩B = 1. По тождеству Дедекинда
H = A(H∩B). ЕслиH∩B = 1, тоH = A иH дополняема вG.ПустьH∩B 6= 1. Теперь каждая
подгруппа простого порядка из H ∩B дополняема в G. Поскольку |G|+ |H ∩B| < |G|+ |H|,
то применима индукция к группе G с подгруппой H ∩B, т. е. подгруппа H ∩B дополняема в
G. По первому утверждению доказываемой леммы подгруппа H дополняема в G.
Лемма доказана.
Лемма 2. Зафиксируем p ∈ π(G). Пусть в группе G все подгруппы порядка p2 дополняемы.
Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) если H — подгруппа группы G, то в H все подгруппы порядка p2 дополняемы;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
876 В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ
(2) если N — нормальная p′-подгруппа группы G, то в фактор-группе G/N все подгруппы
порядка p2 дополняемы;
(3) силовская p-подгруппа является группой одного из следующих типов:
(3.1) элементарной абелевой p-группой;
(3.2) циклической группой порядка p или p2;
(3.3) группой диэдра порядка 8;
(3.4) неабелевой группой порядка p3 экспоненты p.
Доказательство. Первые два утверждения доказываются простой проверкой.
3. В силу первого утверждения доказываемой леммы можно считать, что G = Gp — p-
группа. Если в G нет подгрупп порядка p2, то |G| = p. Если Φ(G) = 1, то G — элементарная
абелева p-группа. Пусть в p-группе G имеются подгруппы порядков p2 и Φ = Φ(G) 6= 1. Пред-
положим, что |Φ| ≥ p2 и P — подгруппа порядка p2 из Φ. По условию подгруппа P дополняема
в G, что невозможно по свойствам подгруппы Фраттини. Поэтому |Φ| = p. Пусть A — нор-
мальная подгруппа порядка p2, содержащая Φ. По условию существует подгруппа B такая, что
G = [A]B. Согласно [2] (п. III.3.12) Φ(B) ⊆ Φ ⊆ A, поэтому Φ(B) = 1 и B — элементарная
абелева. Подгруппа CB(A) нормальна в G. Если CB(A) 6= 1, то существует подгруппа D прос-
того порядка, содержащаяся в CB(A) и нормальная в G. По условию подгруппа ΦD = Φ×D
дополняема в группе G, поэтому существует подгруппа H такая, что G = [Φ × D]H. Но
теперь подгруппа DH будет дополнением к подгруппе Φ в группе G, что невозможно. Зна-
чит, допущение неверно, CB(A) = 1 и CG(A) = A. Теперь подгруппа B становится группой
автоморфизмов для группы A. Если A — циклическая, то по [2] (п. I.4.6) |B| ≤ p. Если A —
элементарная абелева, то AutA = GL(2, p) и снова |B| ≤ p. Итак, в любом случае |B| ≤ p. Если
B = 1, то G = A — циклическая группа порядка p2. Если |B| = p, то G становится неабелевой
группой порядка p3, строение которой известно [2] (п. I.14.10). Проверка показывает, что G —
либо группа диэдра порядка 8, либо неабелева группа порядка p3 экспоненты p.
Лемма доказана.
Понятие p-ранга p-разрешимой группы и его свойства можно найти, например, в [2]
(п. VI.5).
Лемма 3. Пусть G — p-разрешимая группа, p ∈ π(G). Предположим, что в G все под-
группы порядка p2 дополняемы. Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) если N — минимальная нормальная подгруппа группы G, то либо N — p′-группа, либо
|N | = p, либо |N | = p2; в частности, p-ранг G не превышает 2;
(2) если N — нормальная подгруппа группы G, то в G/N каждая подгруппа порядка p2
дополняема.
Доказательство. Пусть N — минимальная нормальная подгруппа группы G. Предполо-
жим, что N не является p′-группой. Тогда N — элементарная абелева p-подгруппа. Допустим,
что |N | ≥ p3 и N1 — подгруппа порядка p2 из N. По условию подгруппа N1 дополняема в G,
т. е. существует подгруппа H такая, что G = [N1]H. Поскольку G = NH, то N ∩ H 6= 1 и
N ∩H — нормальная в G подгруппа, собственно содержащаяся в N. Противоречие. Поэтому
допущение неверно и |N | ≤ p2. Таким образом, каждая минимальная нормальная подгруппа
является либо p′-подгруппой, либо имеет порядок p или p2.
Теперь проверим, что если N — нормальная подгруппа группы G, то в G/N каждая под-
группа порядка p2 дополняема. В силу индукции достаточно доказать утверждение, когда N —
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
О ПРОИЗВОДНОЙ ДЛИНЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОРЯДКА p2 877
минимальная нормальная подгруппа. Если N — p′-подгруппа, то утверждение справедливо по
лемме 2 (2). Если |N | = p, то в G/N все подгруппы порядка p дополняемы. По лемме 1 (2) каж-
дая подгруппа порядка p2 дополняема в G/N. Остается случай, когда |N | = p2. Пусть A/N —
подгруппа порядка p2. По условию подгруппа N дополняема в G, т. е. существует такая под-
группа H, что G = [N ]H. По тождеству Дедекинда A = [N ](A ∩H). Поскольку |A ∩H| = p2,
то подгруппа A ∩H дополняема в H, т. е. существует такая подгруппа K, что H = [A ∩H]K.
Подгруппа K будет дополнением к подгруппе A в группе G и KN/N — дополнение к подгруп-
пе A/N в фактор-группе G/N. Следовательно, если N — нормальная подгруппа группы G, то
в G/N каждая подгруппа порядка p2 дополняема.
Осталось проверить, что p-ранг G не превышает 2. Пусть K/N — главный pd-фактор
группы G, т. е. K/N является минимальной нормальной pd-подгруппой в G/N. Так как G/N
p-разрешима, то K/N — элементарная абелева p-подгруппа. По доказанному каждая подгруппа
порядка p2 дополняема в G/N и |K/N | ≤ p2.
Лемма доказана.
Лемма 4. Если в p-разрешимой группе каждая подгруппа порядка p2 дополняема, то
lp(G) ≤ 1.
Доказательство. Если в группе G нет подгрупп порядка p2, то силовская p-подгруппа
имеет порядок, не превышающий p, и lp(G) ≤ 1 по [2] (п. VI.6.6). Пусть в группе G имеются
подгруппы порядка p2. В силу леммы 3 (2) и индукции lp(G/N) ≤ 1 для каждой нормальной
неединичной подгруппы N. По [2] (п. VI.6.9)
Φ(G) = 1, Op′,p(G) = Op(G) = F (G), N = F (G) = CG(F (G))
и N является единственной минимальной нормальной подгруппой в G, которая будет элемен-
тарной абелевой p-подгруппой, и N дополняема в G. Если |N | = p, то G/N — подгруппа
циклической группы порядка p − 1, поэтому lp(G) ≤ 1. По лемме 3 (1) считаем, что |N | = p2
и G/N изоморфна подгруппе из GL(2, p). Поэтому силовская p-подгруппа P в группе G имеет
порядок p3.
Предположим, что G не бипримарна. По [10] (п. 5.3.13) существует {p, q}-холлова под-
группа G{p,q} = GpGq для каждого q ∈ π(G) \ {p}. По индукции lp(GpGq) ≤ 1. Поскольку
N ⊆ GpGq, то
Op′(GpGq) ⊆ CG(N) = N, Op′(GpGq) = 1
и Gp — нормальная подгруппа в GpGq. Теперь Gp — нормальная подгруппа в 〈Gq | q ∈ π(G)〉 =
= G, т. е. lp(G) ≤ 1. Итак, следует считать, что G является {p, q}-группой для некоторого
простого q.
Пусть P и R — различные силовские p-подгруппы группы G. Предположим, что подгруппа
〈P,R〉, порожденная ими, является собственной подгруппой в G. По индукции
lp(〈P,R〉) ≤ 1, Op′(〈P,R〉) ⊆ CG(N) = N, Op′(〈P,R〉) = 1,
и P нормальна в 〈P,R〉, P = R. Противоречие. Следовательно, 〈P,R〉 = G, а по [8] (п. 8.6.7)
фактор-группа G/N изоморфна группе SL(2, p). Поскольку G бипримарна, то p ≤ 3.
Допустим, что p = 2. Тогда G/N ' SL(2, 2) — группа порядка 6 и G ' S4 по [2] (п. II.6.17).
Но в S4 имеется недополняемая подгруппа A порядка 4:
A = 〈(12)〉 × 〈(12)(34)〉 = {1, (12), (12)(34), (34)}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
878 В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ
Проверим этот факт. Поскольку в S4 нет элементов порядка 6, то каждая подгруппа порядка 6
не 2-замкнута и изоморфна S3. Поэтому она является нормализатором силовской 3-подгруппы.
Значит, все подгруппы порядка 6 сопряжены между собой и их количество равно 4. Пусть Bi —
стабилизатор точки i ∈ {1, 2, 3, 4}. Это все подгруппы порядка 6 в S4. Поскольку
(12) ∈ A ∩B3 ∩B4, (34) ∈ A ∩B1 ∩B2,
то ни одна из подгрупп порядка 6 не может быть дополнением к A в S4.
Остался случай, когда p = 3. Пусть H — дополнение к N в группе G. Тогда
G = [N ]H, G/N ' SL(2, 3) ' H = [Q]T, |T | = 3, P = [N ]T,
а Q — группа кватернионов порядка 8. Поскольку P неабелева, то Z = Z(P ) = N ∩ P и
P1 = ZT = Z × T — подгруппа порядка 9. Она по условию дополняема в G. Пусть K —
дополнение к P1 в G. Ясно, что |K| = 3 · 23. Если N ∩K = 1, то G = [N ]K, подгруппы H и K
сопряжены в G. Теперь G = P1H, P1 ∩H ⊇ T, что невозможно. Следовательно, N ∩K 6= 1 и
N1 = N ∩K — нормальная подгруппа порядка 3 в V = [N ]K. По теореме Машке существует
нормальная в V подгруппаN2 такая, чтоN = N1×N2. Так как V/CV (Ni) — подгруппа порядка
1 или 2, то V/(CV (N1) ∩ CV (N2)) — подгруппа порядка 1, 2 или 4. Но
CV (N1) ∩ CV (N2) = CV (N) ⊆ CG(N) = N,
поэтому |V | = 32 · 23 делит |N | · 4 = 36, что невозможно.
Лемма доказана.
Лемма 5. Если в группе G все подгруппы порядка 4 дополняемы, то G разрешима.
Доказательство. Если в G нет подгрупп порядка 4, то силовская 2-подгруппа имеет
порядок не выше 2 и G 2-нильпотентна. Пусть в группе G имеются подгруппы порядка 4 и P —
одна из них. По условию существует подгруппа H такая, что G = PH и H ∩ P = 1. Согласно
лемме 2.1 (1) все подгруппы порядка 4 из H дополняемы в H. По индукции H разрешима.
Поскольку G/CoreGH изоморфна подгруппе из симметрической группы S4 степени 4, то G
разрешима.
Лемма 6 [11] (3.4). Любая подгруппа в группеGL(2, pα) сопряжена с подгруппойG одного
из следующих типов:
1) G циклическая;
2) G = QM, где Q — подгруппа p-группы〈(
1 0
τ 1
)
| τ ∈ GF (q)
〉
,
M ⊆ NG(Q) и M — подгруппа группы D всех диагональных матриц;
3) G = 〈Cu, s〉, где u делит q2 − 1, ys = yp
α
для всех y ∈ Cu, и s2 — скалярный 2-элемент
в Cu;
4) G = 〈M, s〉, где M ⊆ D, s — антидиагональный 2-элемент, |G : M | = 2;
5) G = 〈SL(2, pβ), V 〉 или
G =
〈
SL(2, pβ), V,
(
b 0
0 εb
)〉
,
где V — скалярная матрица, ε — образующий элемент
(
GF (pβ)
)∗
, pβ > 3, β делит α. Во
втором случае |G : 〈SL(2, pβ), V 〉| = 2;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
О ПРОИЗВОДНОЙ ДЛИНЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОРЯДКА p2 879
6) G/〈−E〉 изоморфна S4 × Cu, A4 × Cu или A5 × Zu для p 6= 5, где Cu — скалярная
подгруппа в GL(2, pα)/〈−E〉, а E — единичная матрица;
7) G не является группой из пункта 6, ноG/〈−E〉 содержит A4×Cu в качестве подгруппы
индекса 2 и A4 в качестве подгруппы с циклической фактор-группой, Cu — группа, как в пунк-
те 6, и u — четное число.
Лемма 7. Пусть G — p′-подгруппа группы GL(2, p). Если для каждого r ∈ π(G) все
подгруппы порядка r2 дополняемы в G, то G метабелева.
Доказательство. Согласно лемме 5 группа G разрешима. Теперь G — группа из пунк-
тов 1 – 7 леммы 6. Группа из п. 1 абелева. Порядок группы из пп. 2 и 5 делится на p. Учитывая,
что группа всех диагональных матриц является абелевой, получаем, что в пп. 3 и 4 группа G
метабелева. Пусть G — группа из пп. 6, 7 леммы 6 и A/〈−E〉 — подгруппа, изоморфная A4, из
G/〈−E〉. По лемме 2 каждая подгруппа порядка 4 из A дополняема в A. Но этого свойства не
имеет подгруппа B порядка 4 из A, содержащая 〈−E〉. Противоречие.
Лемма доказана.
Пусть F — формация и G — группа. Пересечение всех нормальных подгрупп группы G,
фактор-группы по которым принадлежат F, обозначается через GF и называется F-корадикалом
группы G (см. [1], глава 5, [2], п. VI.7). Произведением формаций X и Y называется класс
XY = { G | GY ∈ X }, состоящий из всех групп G, у которых Y-корадикал принадлежит X.
Формация X называется насыщенной, если из условия G/N ∈ X, N ⊆ Φ(G) всегда следует,
что G ∈ X. Через A и N обозначаются формации всех абелевых и нильпотентных групп, а Ak
— произведение k копий формации A.
Лемма 8 [12] (VII.4, VII.5). Если F — насыщенная формация, N ⊆ F, и H — формация,
то FH — насыщенная формация. В частности, NAk — насыщенная формация для любого
натурального k.
Определения и свойства примитивных групп изложены в [1] (4.6), [2] (II.1), [12] (I).
Лемма 9. Пусть F — насыщенная формация и G — разрешимая группа. Предположим,
что G не принадлежит F, но G/N ∈ F для всех неединичных нормальных подгрупп N группы
G. Тогда G — примитивная группа.
Доказательство. Утверждение легко выводится из соответствующих определений.
2. Доказательство теоремы. 1. Воспользуемся индукцией по порядку группыG и докажем,
что G ∈ NA2. Группа G разрешима по лемме 5. Из лемм 2, 3 и индукции следует, что
каждая собственная подгруппа и каждая фактор-группа, отличная от G, принадлежит NA2.
По лемме 8 NA2 — насыщенная формация, а по лемме 9 G — примитивная группа. Из [1]
(4.6) следует, что G = [F ]M, F = F (G) = CG(F ) и F является единственной минимальной
нормальной подгруппой группы G. Пусть для определенности F является p-подгруппой. По
лемме 4 F — силовская p-подгруппа группы G. Теперь |F | = p или |F | = p2 по лемме 3. Если
|F | = p, то G/F абелева. Если |F | = p2, то G/F изоморфна p′-подгруппе группы GL(2, p)
и G/N метабелева по лемме 7. Если порядок G нечетен, то G/N абелева [2] (II.7). Итак,
G ∈ NA2 в общем случае и G ∈ NA, когда порядок группы нечетен. Поскольку по лемме 2
порядок подгруппы Фраттини Φ(G) свободен от квадратов, то Φ(G) — циклическая группа. Но
F (G)/Φ(G) абелева в любой разрешимой группе, поэтому d(F (G)) ≤ 2 и d(G) ≤ 4 в общем
случае и d(G) ≤ 3, когда порядок группы нечетен.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
880 В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ
2. Применим индукцию по порядку группы G. Пусть π = π(G)\{2, 3} и Oπ(G) — наи-
большая нормальная π-подгруппа группы G. Если Oπ(G) 6= 1, то по индукции подгруппа
Gπ/Oπ(G) нормальна в G/Oπ(G), поэтому Gπ нормальна в G. Пусть Oπ(G) = 1. Поскольку
класс всех π-замкнутых групп является насыщенной формацией, то группа G примитивна по
лемме 9. Теперь в группе G существует единственная минимальная нормальная подгруппа,
которая совпадает с F (G), причем G = [F (G)]H, подгруппа Фиттинга F (G) является элемен-
тарной абелевой подгруппой порядка pn и n ≤ 2 по лемме 2, H — максимальная подгруппа.
Поскольку Oπ(G) = 1, то F (G) является 2- или 3-подгруппой.
Предположим, что F (G) — 2-группа. Если |F (G)| = 2, то |G| = 2, а поэтому Gπ = 1. Если
|F (G)| = 4, то группа G изоморфна A4 или S4, поэтому Gπ = 1.
Пусть F (G) — 3-группа. Если |F (G)| = 3, то H изоморфна подгруппе циклической группы
порядка 2, поэтому Gπ = 1. Если |F (G)| = 9, то H изоморфна подгруппе группы GL(2, 3).
Так как порядок группы GL(2, 3) равен 48, то снова Gπ = 1. Таким образом, доказано, что
{2, 3}′-холлова подгруппа Gπ нормальна в G.
3. Говорят, что группа G порядка pα1
1 pα2
2 . . . pαnn , где p1 > p2 > . . . > pn, имеет силовскую
башню сверхразрешимого типа, если для каждого i = 1, . . . , n в группе G имеется нормальная
подгруппа порядка pα1
1 pα2
2 . . . pαii .
С помощью индукции проверим, что подгруппа G2′ имеет силовскую башню сверхразре-
шимого типа. Если G2′ — собственная подгруппа группы G, то это справедливо по индукции.
Пусть G2′ = G, т. е. G — группа нечетного порядка. Поскольку класс всех групп с силовской
башней сверхразрешимого типа является насыщенной формацией, то группа G примитивна по
лемме 9,G = [F ]H, где F = F (G) — подгруппа Фиттинга группыG, она является минимальной
нормальной в G подгруппой, а по лемме 4 F совпадает с некоторой силовской p-подгруппой
группы G. По лемме 3 |F | делит p2. Если |F | = p, то H изоморфна подгруппе циклической
группы порядка p−1. Поэтому p — наибольший простой делитель порядка группы G и G имеет
силовскую башню сверхразрешимого типа. Если |F | = p2, то H изоморфна подгруппе полной
линейной группы GL(2, p). Порядок группы GL(2, p) равен p(p−1)2(p+1). Если p — наиболь-
ший простой делитель порядка группы G, то G имеет силовскую башню сверхразрешимого
типа. Предположим, что p не является наибольшим. Тогда q = p + 1 — наибольший простой
делитель порядка группы G. Это возможно, когда p = 2, q = 3. Противоречие. Утверждение 3
доказано.
4. Предположим, что группа G не содержит фактор-групп, изоморфных A4. В этом случае с
помощью индукции по порядку G докажем наличие силовской башни сверхразрешимого типа.
Предположим, что G не является {2, 3}-группой. По доказанному в пп. 2 и 3 π-холлова
подгруппа Gπ нормальна в G и имеет силовскую башню сверхразрешимого типа для π =
= π(G)\{2, 3}. Пусть R — силовская r-подгруппа в G для наибольшего простого r ∈ π(G).
Тогда r > 3, R ≤ Gπ и R нормальна в G. Если предположить, что фактор-группа G/R
содержит нормальную подгруппу N/R такую, что (G/R)/(N/R) ∼= A4, то подгруппа N будет
нормальной в группе G и фактор-группа G/N ∼= (G/R)/(N/R) ∼= A4. Имеем противоречие
с условием. Поэтому для фактор-группы G/R условия теоремы выполняются и G/R имеет
силовскую башню сверхразрешимого типа по индукции. Из того, что r — наибольший простой
делитель порядка группы G, следует, что группа G имеет силовскую башню сверхразрешимого
типа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
О ПРОИЗВОДНОЙ ДЛИНЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОРЯДКА p2 881
Пусть теперь G — {2, 3}-группа. Поскольку класс всех групп, имеющих силовскую башню
сверхразрешимого типа, является насыщенной формацией, то группа G примитивна, G =
= [F (G)]H, где F (G) — минимальная нормальная подгруппа группы G, H — максимальная
подгруппа. В силу леммы 4 следует считать, что F (G) — силовская 2-подгруппа группы G.
Теперь |F (G)| = 4 и H — подгруппа группы GL(2, 2) ' S3. Поскольку F (G) — силовская
2-подгруппа группы G, то |H| = 3 и G ' A4.
Теорема доказана.
Пример 1. Пусть E72 — элементарная абелева группа порядка 72. Ее группой автомор-
физмов является полная линейная группа GL(2, 7), в которой имеется неабелева подгруппа H
порядка 21. Группа G = [E72 ]H, являющая расщепляемым расширением E72 посредством H,
является группой с дополняемыми подгруппами порядка p2. Производная длина группы G рав-
на 3. Следовательно, оценка производной длины, полученная в теореме для группы нечетного
порядка, является точной.
Пример 2. Пример знакопеременной группы A4 указывает на то, что разрешимая группа с
дополняемыми подгруппами порядка p2 не обязана иметь силовскую башню сверхразрешимого
типа, а тем более быть сверхразрешимой.
1. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. – Минск: Вышэйш. шк., 2006.
2. Huppert B. Endliche Gruppen. I. – Berlin etc.: Springer, 1967.
3. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – М.: Наука, 1980.
4. Hall Ph. Complemented group // J. London Math. – 1937. – 12. – P. 201 – 204.
5. Горчаков Ю. М. Примитивно факторизуемые группы // Учен. зап. Перм. ун-та. – 1960. – № 17. – С. 15 – 31.
6. Сысак Я. П. Конечные элементарно факторизуемые группы // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 1. – С. 67 – 76.
7. Сысак Я. П. Группы с дополняемыми абелевыми подгруппами типа (p, p) // Строение групп и свойства их
подгрупп: Сб. науч. трудов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978. – С. 63 – 79.
8. Монахов В. С., Трофимук А. А. О конечных разрешимых группах фиксированного ранга // Сиб. мат. журн. –
2011. – 52, № 5. – С. 1123 – 1137.
9. Zassenhaus Н. Über endliche Fastkörper // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. – 1935. – 11. – S. 187 – 220.
10. Suzuki M. On finite groups with cyclic Sylow subgroups for all odd primes // Amer. J. Math. – 1955. – 77. –
P. 657 – 691.
11. Bloom D. The subgroups of PSL(3, q) for odd q // Trans. Amer. Math. Soc. – 1967. – 127, № 1. – P. 150 – 178.
12. Gaschutz W. Lectures of subgroups of Sylow type in finite soluble groups // Notes Pure Math. – Canberra: Austral.
Nat. Univ., 1979. – № 11.
Получено 23.07.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2030 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:21Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2a/3ed590a35306553107526173cf020a2a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20302019-12-05T09:49:13Z On the Derived Length of a Finite Group with Complemented Subgroups of Order $p^2$ О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка $p^2$ Knyagina, V. N. Monakhov, V. S. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. It is shown that a finite group with complemented subgroups of order $p^2$ is soluble for all $p$ and its derived length does not exceed 4. Доведено, що скінченна група з доповнюваними підгрупами порядку $p^2$ для всіх $p$ є розв'язною i її похідна довжина не перевищує 4. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2030 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 7 (2015); 874–881 Український математичний журнал; Том 67 № 7 (2015); 874–881 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2030/1078 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2030/1079 Copyright (c) 2015 Knyagina V. N.; Monakhov V. S. |
| spellingShingle | Knyagina, V. N. Monakhov, V. S. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. On the Derived Length of a Finite Group with Complemented Subgroups of Order $p^2$ |
| title | On the Derived Length of a Finite Group with Complemented Subgroups of Order $p^2$ |
| title_alt | О производной длине конечной группы с дополняемыми под-
группами порядка $p^2$ |
| title_full | On the Derived Length of a Finite Group with Complemented Subgroups of Order $p^2$ |
| title_fullStr | On the Derived Length of a Finite Group with Complemented Subgroups of Order $p^2$ |
| title_full_unstemmed | On the Derived Length of a Finite Group with Complemented Subgroups of Order $p^2$ |
| title_short | On the Derived Length of a Finite Group with Complemented Subgroups of Order $p^2$ |
| title_sort | on the derived length of a finite group with complemented subgroups of order $p^2$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2030 |
| work_keys_str_mv | AT knyaginavn onthederivedlengthofafinitegroupwithcomplementedsubgroupsoforderp2 AT monakhovvs onthederivedlengthofafinitegroupwithcomplementedsubgroupsoforderp2 AT knâginavn onthederivedlengthofafinitegroupwithcomplementedsubgroupsoforderp2 AT monahovvs onthederivedlengthofafinitegroupwithcomplementedsubgroupsoforderp2 AT knâginavn onthederivedlengthofafinitegroupwithcomplementedsubgroupsoforderp2 AT monahovvs onthederivedlengthofafinitegroupwithcomplementedsubgroupsoforderp2 AT knyaginavn oproizvodnojdlinekonečnojgruppysdopolnâemymipodgruppamiporâdkap2 AT monakhovvs oproizvodnojdlinekonečnojgruppysdopolnâemymipodgruppamiporâdkap2 AT knâginavn oproizvodnojdlinekonečnojgruppysdopolnâemymipodgruppamiporâdkap2 AT monahovvs oproizvodnojdlinekonečnojgruppysdopolnâemymipodgruppamiporâdkap2 AT knâginavn oproizvodnojdlinekonečnojgruppysdopolnâemymipodgruppamiporâdkap2 AT monahovvs oproizvodnojdlinekonečnojgruppysdopolnâemymipodgruppamiporâdkap2 |