Order Estimates for the Best Orthogonal Trigonometric Approximations of the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness
We establish order estimates for the best uniform orthogonal trigonometric approximations on the classes of $2π$-periodic functions whose $(ψ, β)$-derivatives belong to unit balls in the spaces $L_p,\; 1 ≤ p < ∞$, in the case where the sequence $ψ(k)$ is such that the product $ψ(n)n^{1/p}$ ma...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2033 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507949662732288 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:13Z |
| description | We establish order estimates for the best uniform orthogonal trigonometric approximations on the classes of $2π$-periodic functions whose $(ψ, β)$-derivatives belong to unit balls in the spaces $L_p,\; 1 ≤ p < ∞$, in the case where the sequence $ψ(k)$ is such that the product $ψ(n)n^{1/p}$ may tend to zero slower than any power function and
$∑^{∞}_{k=1} ψ^{p′}(k)k^{p′−2} < ∞$ for $1 < p < ∞,\; 1\p+1\p′ = 1$, or $∑^{∞}_{k=1} ψ(k) < ∞$ for $p = 1$. Similar estimates are also established in the $L_s$-metrics, $1 < s ≤ ∞$, for the classes of summable $(ψ, β)$-differentiable functions such that $‖f_{β}^{ψ} ‖1 ≤ 1$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ),
Т. А. Степанюк (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ ЗГОРТОК
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ НЕВЕЛИКОЇ ГЛАДКОСТI
We obtain order estimates for the best uniform orthogonal trigonometric approximations of 2π-periodic functions whose
(ψ, β)-derivatives belong to unit balls in the spaces Lp, 1 ≤ p <∞, in case where the sequence ψ(k) is such that product
ψ(n)n1/p may tend to zero slower than any power function and
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞ for 1 < p <∞,
1
p
+
1
p′
= 1
or
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞ for p = 1. Similar estimates are also established in the Ls-metric, 1 < s ≤ ∞, for the classes of
summable (ψ, β)-differentiable functions such that ‖ fψβ ‖1≤ 1.
Найдены порядковые оценки для наилучших равномерных ортогональных тригонометрических приближений на
классах 2π-периодических функций таких, что их (ψ, β)-производные принадлежат единичным шарам пространств
Lp, 1 ≤ p < ∞, в случае, когда последовательность ψ такова, что произведение ψ(n)n1/p, 1 ≤ p < ∞, может
стремиться к нулю медленнее любой степенной функции и
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞ при 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1
или
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞ при p = 1. Аналогичные оценки получены для приближений в Ls-метриках, 1 < s ≤ ∞,
для классов (ψ, β)-дифференцируемых функций таких, что ‖fψβ ‖1 ≤ 1.
Позначимо через Lp, 1 ≤ p < ∞, простiр 2π-перiодичних сумовних в p-му степенi на [0, 2π)
функцiй f : R→ C з нормою
‖f‖p :=
2π∫
0
|f(t)|pdt
1/p
,
а через L∞ простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй f : R→ C з нормою
‖f‖∞ := ess sup
t
|f(t)|.
Розглянемо множини 2π-перiодичних дiйснозначних функцiй Lψβ , якi означаються таким
чином.
Нехай f : R→ R — функцiя iз L1, ряд Фур’є якої має вигляд
∞∑
k=−∞
f̂(k)eikx,
де
f̂(k) =
1
2π
π∫
−π
f(t)e−iktdt. (1)
Нехай, далi, ψ(k) — довiльна фiксована послiдовнiсть дiйсних чисел i β — фiксоване дiйсне
число. Тодi якщо ряд
c© А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК, 2015
916 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 917
∑
k∈Z/{0}
f̂(k)
ψ(|k|)
ei(kx+
βπ
2
sign k)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї ϕ iз L1, то цю функцiю називають (див., наприклад,
[1, с. 132]) (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають через fψβ . Множину функцiй f, якi мають
(ψ, β)-похiдну, позначають через Lψβ .
Розглянемо одиничну кулю Bp у просторi дiйснозначних функцiй з Lp, тобто множину
функцiй ϕ : R → R таких, що ‖ϕ‖p ≤ 1, 1 ≤ p ≤ ∞. Якщо f ∈ Lψβ i водночас fψβ ∈ Bp, то
будемо записувати f ∈ Lψβ,p.
Як показано в [1, с. 136], якщо послiдовнiсть ψ(k) монотонно прямує до нуля при k →∞
i
∑∞
k=1
ψ(k)
k
< ∞, то елементи f(x) множини Lψβ,p, β ∈ R, майже при всiх x ∈ R можна
зобразити у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t)dt, a0 ∈ R, ϕ ∈ Bp, ϕ ⊥ 1, (2)
з сумовним ядром Ψβ, ряд Фур’є якого має вигляд
1
2
∑
Z/{0}
ψ(|k|)e−i(kt+
βπ
2
sign k) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
.
При цьому функцiя ϕ майже скрiзь збiгається з fψβ .
Якщо послiдовнiсть ψ(k) монотонно спадає i
∞∑
k=1
ψq(k)kq−2 <∞, 1 < q <∞,
то, згiдно з лемою 12.6.6 з монографiї [2, с. 193], має мiсце включення Ψβ ∈ Lq′ ,
1
q
+
1
q′
= 1.
З твердження 3.8.1 iз [1, с. 137] i твердження 1.5.5 з [3, с. 43] випливає, що при
ψ(k) ↓ 0,
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞
справедливi вкладення Lψβ,p ⊂ L∞, L
ψ
β,1 ⊂ Lp′ , 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, а з твердження 3.8.1 iз
[1, с. 137] випливає, що при ψ(k) > 0 i
∑∞
k=1
ψ(k) <∞ виконується вкладення Lψβ,1 ⊂ L∞.
Будемо вважати, що послiдовностi ψ(k), k ∈ N, якi задають класи Lψβ,p, є звуженнями
на множину натуральних чисел деяких додатних, неперервних, опуклих донизу функцiй ψ(t),
заданих на [1,∞), що задовольняють умову limt→∞ ψ(t) = 0. Множину всiх таких функцiй ψ
позначатимемо через M.
Для класифiкацiї функцiй ψ iз M за їхньою швидкiстю спадання до нуля важливу роль
вiдiграє характеристика
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
918 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
α(ψ; t) :=
ψ(t)
t|ψ′(t)|
, ψ′(t) := ψ′(t+ 0). (3)
З її допомогою з множини M видiляють такi пiдмножини (див., наприклад, [1, с. 160, 161]):
M0 := {ψ ∈M : ∃K > 0 ∀t ≥ 1 0 < K ≤ α(ψ; t)} , (4)
MC := {ψ ∈M : ∃K1,K2 > 0 ∀t ≥ 1 K1 ≤ α(ψ; t) ≤ K2 <∞} . (5)
В (4) i (5) величини K, K1, K2 можуть залежати вiд ψ. Очевидно, що MC ⊂M0.
Через γm, m ∈ N, будемо позначати довiльнi набори iз m цiлих чисел. Покладемо
Sγm(f ;x) =
∑
k∈γm
f̂(k)eikx,
де f̂(k) — коефiцiєнти Фур’є функцiї f вигляду (1).
Величину
e⊥m(f)s = inf
γm
‖f(·)− Sγm(f ; ·)‖s, 1 ≤ s ≤ ∞, (6)
називають найкращим ортогональним тригонометричним наближенням функцiї f ∈ Ls у мет-
рицi простору Ls, а величину
e⊥m(Lψβ,p)s = sup
f∈Lψβ,p
e⊥m(f)s, 1 ≤ p, s ≤ ∞, (7)
— найкращим ортогональним тригонометричним наближенням класу Lψβ,p у метрицi просто-
ру Ls.
Метою даної роботи є знаходження точних порядкових оцiнок величин e⊥n (Lψβ,p)s, β ∈ R,
при 1 ≤ p <∞ i s =∞, а також при p = 1 i 1 < s ≤ ∞.
У випадку, коли ψ(k) = k−r, r > 0, класи Lψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, β ∈ R, є вiдомими класами
Вейля – Надя W r
β,p. Для цих класiв порядковi оцiнки величин (7) при 1 < p, s <∞, є вiдомими
(див. [4, 5]). Точнi порядки величин e⊥n (W r
β,p)s, β ∈ R, встановлено також при 1 < p < ∞,
s = ∞ для всiх r >
1
p
, при p = 1, 1 < s < ∞ для всiх r >
1
s′
та при s = ∞, p = 1, r > 1 i
β = 2l + 1, l ∈ N (див. [6; 5, с. 137, 140]).
У випадку, коли ψ ∈ B ∩Θ∗p, де B — множина незростаючих додатних функцiй ψ(t), t ≥ 1,
для кожної з яких можна вказати додатну сталу K таку, що
ψ(t)
ψ(2t)
≤ K, t ≥ 1, а Θ∗q — множина
незростаючих додатних функцiй ψ(t), для яких iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(k)k1/q+ε
не зростає, в [7] знайдено точнi порядковi оцiнки величин e⊥n (Lψβ,p)∞, 1 < p < ∞, β ∈ R.
Якщо ж ψ ∈ B∩Θ∗s′ i
1
ψ(t)
опукла, то в роботi [8] встановлено точнi порядковi оцiнки величин
e⊥n (Lψβ,1)s, 1 < s <∞, для довiльних β ∈ R.
Зазначимо, що при довiльних 1 < p, s <∞ i β ∈ R точнi порядки величин e⊥n (Lψβ,p)s також
є вiдомими (див., наприклад, [9, 10]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 919
У данiй роботi знайдено двостороннi оцiнки для величин e⊥n (Lψβ,p)∞, 1 ≤ p <∞, у випадку,
коли функцiя gp(t) = ψ(t)t1/p належить до множини M0 i
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞ при 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1,
∞∑
k=1
ψ(k) <∞ при p = 1.
Крiм того, знайдено двостороннi оцiнки для величин e⊥n (Lψβ,1)s у випадку, коли gs′ ∈ M0 i∑∞
k=1
ψs(k)ks−2 < ∞, 1 < s < ∞, 1
s
+
1
s′
= 1. При цьому константи в отриманих оцiнках
будуть вираженi через параметри класiв у явному виглядi.
Позначимо через En(Lψβ,p)s точнi верхнi межi наближень сумами Фур’є функцiй iз класiв
Lψβ,p у метриках просторiв Ls, тобто величини вигляду
En(Lψβ,p)s = sup
f∈Lψβ,p
‖f(·)− Sn−1(f ; ·)‖s, 1 ≤ p, s ≤ ∞, (8)
де Sn−1(f ; ·) — частиннi суми Фур’є порядку n− 1 функцiї f.
З означень величин (7) i (8) випливає очевидна нерiвнiсть
e⊥2n−1(L
ψ
β,p)s ≤ En(Lψβ,p)s, 1 ≤ p, s ≤ ∞. (9)
Тому величини En(Lψβ,p)s природно використовувати для оцiнки зверху найкращих ортого-
нальних тригонометричних наближень вигляду (7). Встановленню точних порядкових оцiнок
величин En(Lψβ,p)s при 1 ≤ p <∞ i s =∞ та p = 1 i 1 < s ≤ ∞ присвячено роботи [11 – 16].
Щоб сформулювати основнi результати роботи, введемо наступнi позначення. Для кожного
1 < s <∞ покладемо
ξ(s) := max
{
4
(
π
s− 1
)1/s
, 14(8π)1/ss
}
, (10)
а для будь-якої функцiї ψ ∈M через αn(ψ) i αn(ψ), n ∈ N, будемо позначати величини
αn(ψ) := inf
t≥n
α(ψ; t), (11)
αn(ψ) := sup
t≥n
α(ψ; t), (12)
де характеристику α(ψ; t) означено формулою (3). У прийнятих позначеннях має мiсце наступне
твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
920 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Теорема 1. Нехай 1 < p < ∞,
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 < ∞, 1
p
+
1
p′
= 1, а функцiя gp(t) =
= ψ(t)t1/p така, що gp ∈M0 i α1(gp) = inft≥1 α(gp; t) > p′. Тодi для довiльних n ∈ N i β ∈ R
мають мiсце спiввiдношення
K
(1)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
≤ e⊥2n(Lψβ,p)∞ ≤
≤ e⊥2n−1(L
ψ
β,p)∞ ≤ K
(2)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (13)
в яких
K
(1)
ψ,p =
1
3ξ(p)
(
α1(gp)
p′ + α1(gp)
)1/p(
1− p′
α1(gp)
)
, (14)
K
(2)
ψ,p =
1
π
ξ(p′)
(
p′ + α1(gp)
α1(gp)
)1/p′
. (15)
Доведення. Згiдно з теоремою 1 з роботи [12] при виконаннi умов ψ(t)t1/p ∈M0 i∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, n ∈ N, β ∈ R, справджується оцiнка
En(Lψβ,p)∞ ≤ K
(2)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (16)
в якiй величини K(2)
ψ,p означено формулою (15). Враховуючи нерiвностi (9) i (16), отримуємо
e⊥2n(Lψβ,p)∞ ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,p)∞ ≤ K
(2)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
. (17)
Встановимо оцiнку знизу величини e⊥2n(Lψβ,p)∞. Розглянемо функцiю
f∗p (t) = f∗p (ψ;n; t) :=
λ(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 cos kt, (18)
де
λ = λ(ψ; p;n) :=
1
ξ(p)
(
αn(gp)
p′ + αn(gp)
)1/p
, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1. (19)
У статтi [12] було показано, що при виконаннi умови gp ∈M0 функцiя f∗p належить до Lψβ,p,
1 < p <∞. Покажемо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 921
e⊥2n(f∗p )∞ ≥ K(1)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
. (20)
Нехай
Φs(x) :=
∞∫
x
ψs(t)ts−2dt (21)
i
As(l;n) = As(ψ; l;n) :=
[
Φ−1s
(
1
2l
Φs(n)
)]
+ 2n, l ∈ N, (22)
де [α] — цiла частина дiйсного числа α, Φ−1s — функцiя, обернена до Φs.
Розглянемо величину
I1 := inf
γ2n
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(f∗p (t)− Sγ2n(f∗p ; t))VAp′ (l;n)(t)dt
∣∣∣∣∣∣ , (23)
де VAp′ (l;n) — ядра Валле Пуссена Vm (див., наприклад, [1, с. 31]),
Vm(t) =
1
2
+
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
cos kt, m ∈ N, (24)
при m = Ap′(l;n).
Згiдно з твердженням Д.1.1 з [3, с. 391],
I1 ≤ inf
γ2n
‖f∗p (t)− Sγ2n(f∗p ; t)‖∞‖VAp′ (l;n)‖1 = e⊥2n(f∗p )∞‖VAp′ (l;n)‖1. (25)
Оскiльки (див., наприклад, [13, с. 247])
‖Vm‖1 ≤ 3π, m ∈ N, (26)
то з (25) i (26) випливає оцiнка
e⊥2n(f∗p )∞ ≥
1
3π
I1. (27)
Ядра Vm вигляду (24) можна записати у виглядi
Vm(t) =
1
2
(
1 +
m∑
k=1
eikt +
−1∑
k=−m
eikt + 2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
eikt +
+ 2
−m−1∑
k=−2m+1
(
1− |k|
2m
)
eikt
)
. (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
922 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Крiм того,
f∗p (t)− Sγ2n(f∗p ; t) =
λ
2 (
∑∞
k=n ψ
p′(k)kp′−2)
1/p
∑
|k|≥n
k/∈γ2n
ψp
′
(|k|)|k|p′−2eikt. (29)
Оскiльки
π∫
−π
eikteimtdt =
0, k +m 6= 0,
2π, k +m = 0,
k,m ∈ Z, (30)
то з урахуванням (28) маємо
π∫
−π
∑
|k|≥n
k/∈γ2n
ψp
′
(|k|)|k|p′−2eiktVAp′ (l;n)(t)dt =
=
1
2
π∫
−π
∑
k≥n
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2eikt +
∑
k≤−n
k/∈γ2n
ψp
′
(|k|)|k|p′−2eikt
×
×
1 +
Ap′ (l;n)∑
k=1
eikt +
−1∑
k=−Ap′ (l;n)
eikt + 2
2Ap′ (l;n)−1∑
k=Ap′ (l;n)+1
(
1− k
2Ap′(l;n)
)
eikt +
+2
−Ap′ (l;n)−1∑
k=−2Ap′ (l;n)+1
(
1− |k|
2Ap′(l;n)
eikt
) dt =
= π
∑
n≤k≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2 +
∑
−Ap′ (l;n)≤k≤−n
k/∈γ2n
ψp
′
(|k|)|k|p′−2 +
+2
∑
Ap′ (l;n)+1≤k≤2Ap′ (l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2Ap′(l;n)
)
ψp
′
(k)kp
′−2+
+ 2
∑
−2Ap′ (l;n)+1≤k≤−Ap′ (l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2Ap′(l;n)
)
ψp
′
(|k|)|k|p′−2
>
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 923
> π
∑
n≤k≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2 +
∑
−Ap′ (l;n)≤k≤−n
k/∈γ2n
ψp
′
(|k|)|k|p′−2
=
= π
∑
n≤|k|≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2. (31)
Згiдно з (23), (29) i (31)
I1 >
πλ
2 (
∑∞
k=n ψ
p′(k)kp′−2)
1/p
inf
γ2n
∑
n≤|k|≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2. (32)
Оскiльки при gp ∈M0 функцiя ψp
′
(t)tp
′−2 монотонно спадає, то
inf
γ2n
∑
n≤|k|≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2 =
∑
2n≤|k|≤Ap′ (l;n)
k/∈γ2n
ψp
′
(k)kp
′−2 = 2
Ap′ (l;n)∑
k=2n
ψp
′
(k)kp
′−2. (33)
Покажемо, що за умови, коли функцiя gs′(t) = ψ(t)t1/s
′
, 1 < s < ∞, 1
s
+
1
s′
= 1, така, що
gs′ ∈M0, для довiльних l, n ∈ N
As(l;n)∑
k=2n
ψs(k)ks−2 >
(
1− 1
2l
− s
αn(gs′)
) ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (34)
Запишемо
∑As(l;n)
k=2n
ψs(k)ks−2 у виглядi
As(l;n)∑
k=2n
ψs(k)ks−2 =
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2 −
2n−1∑
k=n
ψs(k)ks−2 −
∞∑
k=As(l;n)+1
ψs(k)ks−2. (35)
З (22) та властивостi спадання функцiї Φs(·) вигляду (21) випливає оцiнка
∞∑
k=As(l;n)+1
ψs(k)ks−2 ≤
∞∫
As(l;n)
ψs(t)ts−2dt =
= Φs(As(l;n)) <
1
2l
Φs(n) ≤ 1
2l
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (36)
Встановимо оцiнку зверху для суми
∑2n−1
k=n
ψs(k)ks−2. Для цього скористаємось лемою 3
з роботи [12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
924 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Лема 1. Нехай
∑∞
k=1
ψs(k)ks−2 < ∞, 1 < s < ∞, n ∈ N. Тодi якщо функцiя gs′ :=
:= ψ(t)t1/s
′ ∈M0,
1
p
+
1
p′
= 1, така, що gs′ ∈M0, то виконується нерiвнiсть
ψs(n)ns−1 ≤ s
αn(gs′)
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2, (37)
якщо ж gs′ ∈MC , то має мiсце спiввiдношення
s
αn(gs′)
nαn(gs′)
s+ nαn(gs′)
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2 ≤ ψs(n)ns−1 ≤ s
αn(gs′)
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (38)
Враховуючи, що при gs′ ∈M0 функцiя ψs(t)ts−2 спадає, тa використовуючи нерiвнiсть (37),
одержуємо
2n−1∑
k=n
ψs(k)ks−2 ≤ ψs(n)ns−1 ≤ s
αn(gs′)
∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (39)
Iз (35), (36) i (39) отримуємо нерiвнiсть (34).
Застосовуючи нерiвнiсть (34) при s = p′, на пiдставi формул (27), (32) i (33) для довiльних
l ∈ N одержуємо оцiнку
e⊥2n(f∗)∞ ≥
λ
3
(
1− 1
2l
− p′
αn(gp)
)( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
=
=
1
3ξ(p)
(
αn(gp)
p′ + αn(gp)
)1/p(
1− 1
2l
− p′
αn(gp)
)( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
. (40)
Переходячи до границi в нерiвностi (40) при l→∞, отримуємо (20). Iз (17) i (20) випливає (13).
Теорему 1 доведено.
Неважко переконатись, що умови теореми 1 задовольняють, наприклад, функцiї
ψ(t) = t−r,
1
p
< r < 1, (41)
ψ(t) = t
− 1
p ln−γ(t+K), γ >
1
p′
, K ≥ eγp′ − 1, (42)
ψ(t) = t−1/p ln−γ(t+K1)(ln ln(t+K2))
−δ, γ ≥ 1
p′
, δ >
1
p′
, K2 ≥ K1e
max{(γ+δ)p′,e} − 1.
(43)
Теорема 2. Нехай 1 < s < ∞,
∑∞
k=1
ψs(k)ks−2 < ∞, 1
s
+
1
s′
= 1, a функцiя gp(t) =
= ψ(t)t1/p така, що gs′ ∈M0 i α1(gs′) = inft≥1 α(gs′ ; t) > s. Тодi для довiльних n ∈ N i β ∈ R
мають мiсце спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 925
4
3
K
(1)
ψ,s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
≤ e⊥2n(Lψβ,1)s ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)s ≤ K
(2)
ψ,s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
, (44)
де K(1)
ψ,s′ i K(2)
ψ,s′ означено формулами (14) i (15) вiдповiдно.
Згiдно з теоремою 1 з роботи [13, с. 245], при виконаннi умов gs′ ∈M0 i
∑∞
k=1
ψs(k)ks−2 <
<∞, 1 < s <∞, 1
s
+
1
s′
= 1, n ∈ N, β ∈ R, має мiсце нерiвнiсть
En(Lψβ,1)s ≤ K
(2)
ψ,s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
. (45)
Тому, враховуючи (9) i (45), отримуємо оцiнку
e⊥2n(Lψβ,1)s ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)s ≤ K
(2)
ψ,s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
. (46)
Залишилось показати, що
e⊥2n(Lψβ,1)s ≥
4
3
K
(1)
ψ,s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
. (47)
При довiльному m ∈ N покладемо
fm(t) = fm(ψ;β; t) :=
:=
1
4π
(
m∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
))
=
=
1
8π
(
e−i
βπ
2
m∑
k=1
ψ(k)eikt + ei
βπ
2
−1∑
k=−m
ψ(|k|)eikt +
+ 2e−i
βπ
2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
ψ(k)eikt + 2ei
βπ
2
m−1∑
k=−2m+1
(
1− |k|
2m
)
ψ(|k|)eikt
)
. (48)
У статтi [13, с. 246, 247] було встановлено, що fm ∈ Lψβ,1 при будь-яких m ∈ N.
Покажемо, що при m = As(l;n), де As(l;n) означено рiвнiстю (22), має мiсце нерiвнiсть
e⊥2n(fAs(l;n))s ≥
≥ 1
4ξ(s′)
(
αn(gs′)
s+ αn(gs′)
)1/s′(
1− 1
2l
− s
αn(gs′)
)( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s
, l, n ∈ N. (49)
Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
926 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
I2 := inf
γ2n
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(fAs(l;n)(t)− Sγ2n(fAs(l;n); t))
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣ . (50)
Використавши твердження 3.8.1 з роботи [1, с. 137], запишемо
I2 ≤ inf
γ2n
‖fAs(l;n)(t)− Sγ2n(fAs(l;n); t)‖s
∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥∥
s′
=
= e⊥2n(fAs(l;n))s
∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥∥
s′
, 1 < s <∞. (51)
Згiдно з формулою (25) з роботи [13, с. 249],∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥∥
s′
≤
≤ ξ(s′)
(
1 +
s
αn(gs′)
)1/s′
( ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2
)1/s′
, 1 < s <∞. (52)
З урахуванням (48) має мiсце рiвнiсть
fAs(l;n)(t)− Sγ2n(fAs(l;n); t) =
=
1
8π
e−iβπ2 ∑
1≤k≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k)eikt + ei
βπ
2
∑
−As(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|)eikt +
+2e−i
βπ
2
∑
As(l;n)+1≤k≤2As(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2As(l;n)
)
ψ(k)eikt+
+ 2ei
βπ
2
∑
−2As(l;n)+1≤k≤As(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2As(l;n)
)
ψ(|k|)eikt
. (53)
Крiм того,
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)
=
=
1
2
(
e−i
βπ
2
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2eikt + ei
βπ
2
−n∑
k=−∞
ψs−1(|k|)|k|s−2eikt
)
. (54)
Використовуючи (30), (53) i (54), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 927
π∫
−π
(fAs(l;n)(t)− Sγ2n(fAs(l;n); t))
∞∑
k=n
ψs−1(k)ks−2 cos
(
kt− βπ
2
)
dt =
=
1
8
∑
n≤k≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψs(k)ks−2 +
∑
−As(l;n)≤k≤−n
k/∈γ2n
ψs(|k|)|k|s−2 +
+2
∑
As(l;n)+1≤k≤2As(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2As(l;n)
)
ψs(k)ks−2+
+ 2
∑
−2As(l;n)+1≤k≤−As(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2As(l;n)
)
ψs(|k|)|k|s−2
>
>
1
8
∑
n≤k≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψs(k)ks−2 +
∑
−As(l;n)≤k≤−n
k/∈γ2n
ψs(|k|)|k|s−2
=
=
1
8
∑
n≤|k|≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψs(k)ks−2. (55)
Отже, згiдно з (50) i (55)
I2 >
1
8
inf
γ2n
∑
n≤|k|≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψs(k)ks−2. (56)
Враховуючи, що при gs′ ∈M0 функцiя ψs(t)ts−2 спадає, маємо
inf
γ2n
∑
n≤|k|≤As(l;n)
k/∈γ2n
ψs(k)ks−2 = 2
As(l;n)∑
k=2n
ψs(k)ks−2. (57)
З (34), (56) i (57) випливає нерiвнiсть
I2 >
1
4
(
1− 1
2l
− s
αn(gs′)
) ∞∑
k=n
ψs(k)ks−2. (58)
На пiдставi формул (51), (52) i (58) отримуємо (49).
З того, що fAs(l;n) ∈ L
ψ
β,1, випливає
e⊥2n(fAs(l;n))s ≥ e
⊥
2n(Lψβ,1)s, l ∈ N.
Тодi при l→∞ з останньої нерiвностi i нерiвностi (49) отримуємо (47).
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
928 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Оскiльки, згiдно зi спiввiдношенням (38),
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 � ψp′(n)np
′−1 при gp ∈MC ,
то з теорем 1 i 2 випливає наступне твердження.
Наслiдок 1. Нехай
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞ i
α1(gp) = inf
t≥1
α(gp; t) > p′,
де gp(t) = ψ(t)(t)t1/p, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1. Тодi якщо gp ∈M0, то для довiльного β ∈ R
e⊥n (Lψβ,p)∞ � e
⊥
n (Lψβ,1)p′ �
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (59)
якщо ж gp ∈MC , то для довiльного β ∈ R
e⊥n (Lψβ,p)∞ � e
⊥
n (Lψβ,1)p′ � ψ(n)n1/p. (60)
Зауважимо, що коли gp ∈M0 i
lim
t→∞
α(gp; t) =∞, (61)
то порядковi рiвностi (60) не справджуються, оскiльки в цьому випадку виконується оцiнка
ψ(n)n1/p = o
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, n→∞,
яка є наслiдком нерiвностi (37). Прикладом функцiй ψ, якi задовольняють умови наслiдку 1 i
для яких виконується умова (61), є функцiї вигляду (42) i (43).
Застосувавши наслiдок 1 до функцiй ψ вигляду (42) i (43), отримаємо наступне твердження.
Наслiдок 2. Нехай ψ(t) = t−1/p ln−γ(t+K), γ >
1
p′
, K ≥ eγp′−1, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1
i β ∈ R. Тодi
e⊥n (Lψβ,p)∞ � e
⊥
n (Lψβ,1)p′ � ψ(n)n1/p ln1/p′ n, n ∈ N \ {1}.
Наслiдок 3. Нехай ψ(t) = t−1/p ln−1/p
′
(t + K1)(ln ln(t + K2))
−δ, δ >
1
p′
, K2 ≥ K1 ≥
≥ emax{(γ+δ)p′,e} − 1, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, β ∈ R i n ∈ N. Тодi
e⊥n (Lψβ,p)∞ � e
⊥
n (Lψβ,1)p′ � ψ(n)n1/p(lnn)1/p
′
(ln lnn)1/p
′
, n ∈ N \ {1, 2}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 929
Теорема 3. Нехай
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞, а функцiя g(t) = ψ(t)t така, що g ∈ M0 i α1(g) =
= inft≥1 α(g; t) > 1. Тодi якщо cos
βπ
2
6= 0, β ∈ R, то для довiльного n ∈ N
1
12π
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ (1− 1
α1(g)
) ∞∑
k=n
ψ(k) ≤ e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)∞ ≤
1
π
∞∑
k=n
ψ(k). (62)
Доведення. Згiдно з теоремою 2 з роботи [13, с. 255], за умови
∑∞
k=1
ψ(k) <∞ справджу-
ється нерiвнiсть
En(Lψβ,1)∞ ≤
1
π
∞∑
k=n
ψ(k). (63)
Iз (9) i (63) маємо
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)∞ ≤
1
π
∞∑
k=n
ψ(k). (64)
Встановимо оцiнку знизу величини e⊥2n(Lψβ,1)∞. Покладемо
Ψ(x) :=
∞∫
x
ψ(t)dt,
D(l;n) = D(ψ; l;n) :=
[
Ψ−1
(
1
2l
Ψ(n)
)]
+ 2n, l, n ∈ N, (65)
i
I3 := inf
γ2n
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(fD(l;n)(t)− Sγ2n(fD(l;n); t))VD(l;n)(t)dt
∣∣∣∣∣∣ , (66)
де функцiю fD(l;n)(t) означено формулою (48) при m = D(l;n).
Використовуючи твердження Д.1.1 з [3, с. 391] та формулу (26), можемо записати оцiнку
I3 ≤ inf
γ2n
‖fD(l;n)(t)− Sγ2n(fD(l;n); t)‖∞‖VD(l;n)‖1 =
= e⊥2n(fD(l;n))∞‖VD(l;n)‖1 ≤ 3πe⊥2n(fD(l;n))∞. (67)
Згiдно з (48)
fD(l;n)(t)− Sγ2n(fD(l;n); t) =
=
1
8π
e−iβπ2 ∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k)eikt + ei
βπ
2
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|)eikt +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
930 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
+2e−i
βπ
2
∑
D(l;n)+1≤k≤2D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2D(l;n)
)
ψ(k)eikt+
+ 2ei
βπ
2
∑
−2D(l;n)+1≤k≤−D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2D(l;n)
)
ψ(|k|)eikt
. (68)
Iз (28) при m = D(l;n) маємо
VD(l;n)(t) =
1
2
1 +
D(l;n)∑
k=1
eikt +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
eikt + 2
2D(l;n)−1∑
k=D(l;n)
(
1− k
2D(l;n)
)
eikt +
+ 2
−D(l;n)−1∑
k=−2D(l;n)+1
(
1− |k|
2D(l;n)
)
eikt
. (69)
Iз (30), (68) i (69) випливає∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(fD(l;n)(t)− Sγ2n(fD(l;n); t))VD(l;n)(t)dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
1
8
∣∣∣∣∣∣∣ e−i
βπ
2
∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) + ei
βπ
2
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|) +
+2e−i
βπ
2
∑
D(l;n)+1≤k≤2D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2D(l;n)
)2
ψ(k)+
+ 2ei
βπ
2
∑
−2D(l;n)+1≤k≤−D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2D(l;n)
)2
ψ(|k|)
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
1
8
∣∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣∣
∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|) +
+2
∑
D(l;n)+1≤k≤2D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2D(l;n)
)2
ψ(k)+
+ 2
∑
−2D(l;n)+1≤k≤−D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2D(l;n)
)2
ψ(|k|)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 931
+i sin
βπ
2
− ∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|) −
−2
∑
D(l;n)+1≤k≤2D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2D(l;n)
)2
ψ(k)+
+ 2
∑
−2D(l;n)+1≤k≤−D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2D(l;n)
)2
ψ(|k|)
∣∣∣∣∣∣∣ ≥
≥ 1
8
∣∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣∣
∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|) +
+2
∑
D(l;n)+1≤k≤2D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− k
2D(l;n)
)2
ψ(k)+
+ 2
∑
−2D(l;n)+1≤k≤−D(l;n)−1
k/∈γ2n
(
1− |k|
2D(l;n)
)2
ψ(|k|)
>
>
1
8
∣∣∣∣ cos
βπ
2
∣∣∣∣
∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|)
. (70)
На пiдставi (66) i (70) отримуємо оцiнку
I3 >
1
8
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ inf
γ2n
∑
1≤k≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) +
∑
−D(l;n)≤k≤−1
k/∈γ2n
ψ(|k|)
=
=
1
8
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ inf
γ2n
∑
1≤|k|≤D(l;n)
k/∈γ2n
ψ(k) =
1
4
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ D(l;n)∑
k=n+1
ψ(k) =
=
1
4
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣
∞∑
k=n
ψ(k)− ψ(n)−
∞∑
k=D(l;n)+1
ψ(k)
. (71)
З (65) випливає, що для довiльних l ∈ N
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
932 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
∞∑
k=D(l;n)+1
ψ(k) ≤
∞∫
D(l;n)
ψ(t)dt = Ψ(D(l;n)) <
1
2l
Ψ(n) ≤ 1
2l
∞∑
k=n
ψ(k). (72)
Далi нам буде корисним наступне твердження з роботи [13, с. 259].
Лема 2. Нехай
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞. Тодi якщо функцiя g(t) = ψ(t)t така, що g ∈ M0, то
для довiльних n ∈ N
ψ(n)n ≤ 1
αn(g)
∞∑
k=n
ψ(k). (73)
Якщо ж g ∈MC , то
1
αn(g)
nαn(g)
1 + nαn(g)
∞∑
k=n
ψ(k) ≤ ψ(n)n ≤ 1
αn(g)
∞∑
k=n
ψ(k). (74)
З урахуванням формул (71) – (73) маємо
I3 >
1
4
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ (1− 1
αn(g)n
− 1
2l
) ∞∑
k=n
ψ(k), l ∈ N. (75)
З (67) та (75) за умови cos
βπ
2
6= 0 отримуємо
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≥ e
⊥
2n(fD(l;n))∞ ≥
1
3π
I3 >
>
1
12π
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ (1− 1
α1(g)n
− 1
2l
) ∞∑
k=n
ψ(k). (76)
Переходячи у формулi (76) до границi при l→∞, одержуємо
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≥
1
12π
∣∣∣∣cos
βπ
2
∣∣∣∣ (1− 1
α1(g)n
) ∞∑
k=n
ψ(k). (77)
Oб’єднуючи (64) i (77), отримуємо (62).
Теорему 3 доведено.
Теорема 4. Нехай
∑∞
k=1
ψ(k) <∞, а функцiя g(t) = ψ(t)t така, що g ∈M0 i
α1(g) = inf
t≥1
α(g; t) > 1. (78)
Тодi якщо cos
βπ
2
= 0, β ∈ R, то для довiльних n ∈ N виконуються нерiвностi
1
60π
(
1− 1
α1(g)
)
ψ(n)n ≤ e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)∞ ≤
(
1 +
2
π
)
ψ(n)n. (79)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 933
Доведення. Згiдно з теоремою 4 з [13, с. 262], при виконаннi умов
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞,
g ∈M0, cos
βπ
2
= 0, β ∈ R, справджується оцiнка
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≤ e
⊥
2n−1(L
ψ
β,1)∞ ≤ En(Lψβ,1)∞ ≤
(
1 +
2
π
)
ψ(n)n. (80)
Встановимо оцiнку знизу величини e⊥2n(Lψβ,1)∞. Розглянемо функцiю
f∗n(t) = f∗n(ψ; t) :=
1
5πn
(
n∑
k=1
kψ(k) cos kt+
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k)ψ(k) cos kt
)
. (81)
У статтi [13, с. 263 – 265] показано, що f∗n належить класу Lψβ,1. Доведемо, що
e⊥2n(f∗n)∞ ≥
1
60π
(
1− 1
α1(g)
)
ψ(n)n. (82)
Покладемо
I4 := inf
γ2n
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(f∗n(t)− Sγ2n(f∗n; t))V2n(t)dt
∣∣∣∣∣∣ , (83)
де Vm — суми Валле Пуссена вигляду (24).
Використавши твердження Д.1.1 з [3, с. 391] та нерiвнiсть (26), отримаємо
I4 ≤ inf
γ2n
‖f∗n(t)− Sγ2n(f∗n; t)‖∞‖V2n‖1 ≤ 3π e⊥2n(f∗n)∞. (84)
Оскiльки згiдно з формулою (81) має мiсце рiвнiсть
f∗n(t)− Sγ2n(f∗n; t) =
1
10πn
∑
1≤k≤n
k/∈γ2n
kψ(k)eikt +
∑
−n≤k≤−1
k/∈γ2n
|k|ψ(|k|)eikt +
+
∑
n+1≤k≤2n
k/∈γ2n
(2n+ 1− k)ψ(k)eikt +
∑
−2n≤k≤−n−1
k/∈γ2n
(2n+ 1− k)ψ(|k|)eikt
,
а згiдно з (28) — рiвнiсть
V2n(t) =
1
2
(
1 +
2n∑
k=1
eikt +
−1∑
k=−2n
eikt + 2
4n−1∑
k=2n+1
(
1− k
2n
)
eikt + 2
−2n−1∑
k=−4n+1
(
1− |k|
2n
)
eikt
)
,
то, застосовуючи формули (30), знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
934 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
π∫
−π
(f∗n(t)− Sγ2n(f∗n; t))V2n(t)dt =
1
10n
∑
1≤k≤n
k/∈γ2n
kψ(k) +
∑
−n≤k≤−1
k/∈γ2n
|k|ψ(|k|)+
+
∑
n+1≤k≤2n
k/∈γ2n
(2n+ 1− k)ψ(k) +
∑
−2n≤k≤−n−1
k/∈γ2n
(2n+ 1− |k|)ψ(|k|)
. (85)
Враховуючи формули (83) i (85), монотонне спадання функцiї g та виконуючи елементарнi
перетворення, записуємо оцiнку величини I4:
I4 =
1
10n
inf
γ2n
∑
1≤k≤n
k/∈γ2n
kψ(k) +
∑
−n≤k≤−1
k/∈γ2n
|k|ψ(|k|) +
+
∑
n+1≤k≤2n
k/∈γ2n
(2n+ 1− k)ψ(k) +
∑
−2n≤k≤−n−1
k/∈γ2n
(2n+ 1− |k|)ψ(|k|)
>
>
1
5n
2n∑
k=n+1
ψ(k)(2n+ 1− k) ≥ ψ(2n)
5n
2n∑
k=n+1
(2n+ 1− k) =
= ψ(2n)
n+ 1
10
>
1
10
ψ(2n)n. (86)
Використовуючи спiввiдношення (84) i (86), отримуємо
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≥ e
⊥
2n(f∗n)∞ ≥
1
3π
I4 ≥
1
30π
ψ(n)n
ψ(2n)
ψ(n)
=
1
60π
ψ(n)n
g(2n)
g(n)
. (87)
Оскiльки, як показано в [13, с. 266], за умови (78) виконується нерiвнiсть
g(2n)
g(n)
> 1− 1
α1(g)
,
то з (87) випливає оцiнка (82). Iз (80) i (82) випливає (79).
Теорему 4 доведено.
Оскiльки g ∈M0, де g(t) = ψ(t)t, то згiдно з [1, с. 175] виконується нерiвнiсть
g(2n)
g(n)
> K1.
Тодi з (87) отримуємо оцiнку
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≥ K2ψ(n)n, cos
βπ
2
= 0, β ∈ R. (88)
Крiм того, очевидно, що при достатньо великих n справджується нерiвнiсть α1(g)n > K3 > 1.
Тодi з (77) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ. . . 935
e⊥2n(Lψβ,1)∞ ≥ K4
∞∑
k=n
ψ(k), cos
βπ
2
6= 0, β ∈ R. (89)
Згiдно зi спiввiдношенням (74), якщо g ∈MC , то
∞∑
k=n
ψ(k) � ψ(n)n. (90)
Iз (64), (80), (88) – (90) випливає наступне твердження.
Теорема 5. Нехай
∑∞
k=1
ψ(k) < ∞ i β ∈ R. Тодi якщо функцiя g(t) = ψ(t)t така, що
g ∈M0, то
e⊥n (Lψβ,1)∞ �
∑∞
k=n
ψ(k), cos
βπ
2
6= 0,
ψ(n)n, cos
βπ
2
= 0,
якщо ж g ∈MC , то
e⊥n (Lψβ,1)∞ � ψ(n)n.
Неважко переконатись, що умови теореми 5 задовольняють, наприклад, функцiї
ψ(t) = t−r, r > 1, (91)
ψ(t) = t−1 ln−γ(t+K), K > 0, γ > 1, (92)
ψ(t) = t−1 ln−γ(t+K1)(ln ln(t+K2))
−δ, γ ≥ 1, δ > 1, K1 > 0, K2 > e− 1. (93)
Зауважимо, що коли g ∈M0, g(t) = ψ(t)t i
lim
t→∞
α(g; t) =∞, (94)
то виконується оцiнка
ψ(n)n = o
( ∞∑
k=n
ψ(k)
)
, n→∞,
яка є наслiдком нерiвностi (73).
Прикладом функцiй ψ(t), якi задовольняють умови теореми 5 i для яких виконується умова
(94), є функцiї вигляду (92) та (93).
Наведемо порядковi оцiнки величин e⊥n (Lψβ,1)∞ для функцiй вигляду (91) – (93).
Наслiдок 4. Нехай ψ(t) = t−r, r > 1 i β ∈ R. Тодi
e⊥n (W r
β,1)∞ � n−r+1. (95)
При β = 2l + 1, l ∈ Z, порядкову рiвнiсть (95) знайдено в [6, с. 260].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
936 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Наслiдок 5. Нехай ψ(t) = t−1 ln−γ(t+K), γ > 1, K > 0, β ∈ R i n ∈ N \ {1}. Тодi
e⊥n (Lψβ,1)∞ �
ψ(n)n lnn, cos
βπ
2
6= 0,
ψ(n)n, cos
βπ
2
= 0.
Наслiдок 6. Нехай ψ(t) = t−1 ln−1(t+K1)(ln ln(t+K2))
−δ, δ > 1, K1 > 0, K2 > e − 1,
β ∈ R i n ∈ N \ {1, 2}. Тодi
e⊥n (Lψβ,1)∞ �
ψ(n)n lnn ln(lnn), cos
βπ
2
6= 0,
ψ(n)n, cos
βπ
2
= 0.
1. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40. –
Ч. I. – 427 с.
2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с.
3. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
4. Романюк А. С. Приближение классов периодических функций многих переменных // Мат. заметки. – 2002. –
71, №1. – С. 109 – 121.
5. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 c.
6. Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций многих пере-
менных в равномерной метрике // Мат. заметки. – 2007. – 81, № 2. – С. 247 – 261.
7. Шкапа В. В. Оцiнки найкращих M -членних та ортогональних тригонометричних наближень функцiй iз класiв
Lψβ,p у рiвномiрнiй метрицi // Диференцiальнi рiвняння та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2014. – 11, № 2. – С. 305 – 317.
8. Шкапа В. В. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення функцiй iз класiв Lψβ,1 // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 3. – С. 315 – 329.
9. Федоренко А. С. Про найкращim-членнi тригонометричнi та ортогональнi тригонометричнi наближення функ-
цiй класiв Lψβ,p // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 12. – С. 1719 – 1721.
10. Федоренко О. С. Наближення (ψ, β)-диференцiйовних функцiй тригонометричними полiномами: Автореф.
дис. ... канд. фiз.-мат. наук. – Київ, 2001. – 16 с.
11. Грабова У. З., Сердюк А. С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв (ψ, β)-
диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 9. – С. 1186 – 1197.
12. Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Порядковi оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є в рiвно-
мiрнiй метрицi класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 12. –
С. 1658 – 1675.
13. Степанюк Т. А. Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є класiв згорток перiодичних функцiй
невеликої гладкостi в iнтегральних метриках // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2014. – 11, № 3. – С. 241 – 269.
14. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40. –
Ч. II. – 468 с.
15. Романюк В. С. Дополнения к оценкам приближения суммами Фурье классов бесконечно дифференцируемых
функций // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики НАН України. –
2003. – 46. – С. 131 – 135.
16. Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв
нескiнченно диференцiйовних функцiй// Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2013. – 10, № 1. – С. 255 – 282.
17. Temlyakov V. N. Approximation of periodic function. – New York: Nova Sci. Publ., 1993. – 419 p.
Одержано 09.10.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2033 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:26Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/93/9d9075a5c599c79b50b22244efe4a293.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20332019-12-05T09:49:13Z Order Estimates for the Best Orthogonal Trigonometric Approximations of the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. We establish order estimates for the best uniform orthogonal trigonometric approximations on the classes of $2π$-periodic functions whose $(ψ, β)$-derivatives belong to unit balls in the spaces $L_p,\; 1 ≤ p < ∞$, in the case where the sequence $ψ(k)$ is such that the product $ψ(n)n^{1/p}$ may tend to zero slower than any power function and $∑^{∞}_{k=1} ψ^{p′}(k)k^{p′−2} < ∞$ for $1 < p < ∞,\; 1\p+1\p′ = 1$, or $∑^{∞}_{k=1} ψ(k) < ∞$ for $p = 1$. Similar estimates are also established in the $L_s$-metrics, $1 < s ≤ ∞$, for the classes of summable $(ψ, β)$-differentiable functions such that $‖f_{β}^{ψ} ‖1 ≤ 1$. Найдены порядковые оценки для наилучших равномерных ортогональных тригонометрических приближений на классах $2π$-периодических функций таких, что их $(ψ, β)$-производные принадлежат единичным шарам пространств $L_p,\; 1 ≤ p < ∞$, в случае, когда последовательность $ψ(k)$ такова, что произведение $ψ(n)n^{1/p}$ может стремиться к нулю медленнее любой степенной функции и $∑^{∞}_{k=1} ψ^{p′}(k)k^{p′−2} < ∞$ при $1 < p < ∞,\; 1\p+1\p′ = 1$ или $∑^{∞}_{k=1} ψ(k) < ∞$ при $p = 1$. Аналогичные оценки получены для приближений в $L_s$-метриках, $1 < s ≤ ∞$, для классов $(ψ, β)$-дифференцируемых функций таких, что $‖f_{β}^{ψ} ‖1 ≤ 1$.. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2033 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 7 (2015); 916–936 Український математичний журнал; Том 67 № 7 (2015); 916–936 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2033/1084 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2033/1085 Copyright (c) 2015 Serdyuk A. S.; Stepanyuk T. A. |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. Order Estimates for the Best Orthogonal Trigonometric Approximations of the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness |
| title | Order Estimates for the Best Orthogonal Trigonometric Approximations of the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness |
| title_alt | Порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості |
| title_full | Order Estimates for the Best Orthogonal Trigonometric Approximations of the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness |
| title_fullStr | Order Estimates for the Best Orthogonal Trigonometric Approximations of the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness |
| title_full_unstemmed | Order Estimates for the Best Orthogonal Trigonometric Approximations of the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness |
| title_short | Order Estimates for the Best Orthogonal Trigonometric Approximations of the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness |
| title_sort | order estimates for the best orthogonal trigonometric approximations of the classes of convolutions of periodic functions of low smoothness |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2033 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas orderestimatesforthebestorthogonaltrigonometricapproximationsoftheclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsoflowsmoothness AT stepanyukta orderestimatesforthebestorthogonaltrigonometricapproximationsoftheclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsoflowsmoothness AT serdûkas orderestimatesforthebestorthogonaltrigonometricapproximationsoftheclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsoflowsmoothness AT stepanûkta orderestimatesforthebestorthogonaltrigonometricapproximationsoftheclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsoflowsmoothness AT serdyukas porâdkovíocínkinajkraŝihortogonalʹnihtrigonometričnihnabliženʹklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostí AT stepanyukta porâdkovíocínkinajkraŝihortogonalʹnihtrigonometričnihnabliženʹklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostí AT serdûkas porâdkovíocínkinajkraŝihortogonalʹnihtrigonometričnihnabliženʹklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostí AT stepanûkta porâdkovíocínkinajkraŝihortogonalʹnihtrigonometričnihnabliženʹklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostí |