Estimation of the Accuracy of Finite-Element Petrov–Galerkin Method in Integrating the One-Dimensional Stationary Convection-Diffusion-Reaction Equation
The accuracy and convergence of the numerical solutions of a stationary one-dimensional linear convection-diffusion-reaction equation (with Dirichlet boundary conditions) by the Petrov–Galerkin finiteelement method with piecewise-linear basis functions and piecewise-quadratic weighting functions are...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2034 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507949744521216 |
|---|---|
| author | Sirik, S. V. Сирик, С. В. Сирик, С. В. |
| author_facet | Sirik, S. V. Сирик, С. В. Сирик, С. В. |
| author_sort | Sirik, S. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:13Z |
| description | The accuracy and convergence of the numerical solutions of a stationary one-dimensional linear convection-diffusion-reaction equation (with Dirichlet boundary conditions) by the Petrov–Galerkin finiteelement method with piecewise-linear basis functions and piecewise-quadratic weighting functions are analyzed and the accuracy estimates of the method are obtained in certain norms depending on the choice of the collection of stabilization parameters of weight functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
© С. В. СИРИК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 937
УДК 519.63; 004.75; 536.252
С. В. Сирик (Нац. техн. ун-т Украины ,,КПИ”, Киев)
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА
ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ОДНОМЕРНОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ-РЕАКЦИИ
The accuracy and convergence of the numerical solutions of the stationary one-dimensional linear convection-diffusion-
reaction equation (with Dirichlet boundary conditions) by the Petrov – Galerkin finite-element method with piecewise-
linear basis functions and piecewise-quadratic weighting functions are analyzed and the error estimates of the method are
obtained in some norms depending on the choice of a collection of stabilization parameters.
Проаналізовано питання точності та збіжності числового розв’язку стаціонарного одновимірного лінійного рівняння
конвекції-дифузії-реакції (з граничними умовами типу Діріхле) скінченноелементним методом Петрова – Гальор-
кіна з кусково-лінійними базисними та кусково-квадратичними ваговими функціями. Отримано оцінки точності
методу в кількох нормах залежно від вибору набору стабілізуючих параметрів вагових функцій.
Введение. В настоящее время конечноэлементный метод Петрова – Галеркина (МПГ) явля-
ется одним из наиболее успешных подходов к построению схем численного решения разно-
образных задач математической физики, в особенности, задач моделирования процессов кон-
векции-диффузии-реакции (КДР) [1 – 5]. Отметим, что к этому классу относится боль-
шинство процессов, рассматриваемых в гидродинамике и магнитной гидродинамике [4, 5], а
также встречающихся в химической промышленности [1, 2]. В ряде работ (см. [1 – 3, 6 – 9], а
также обзор в [10]), посвященных численному решению задач конвекции-диффузии (КД),
успешно применялись весовые (поверочные) функции МПГ вида
Wi (x) = Ni (x) + αiWi
∗(x) , (1)
где Ni (x) — базисная (пробная) функция МПГ, соответствующая узлу сетки с индексом i ,
αi — некоторый настроечный параметр (стабилизирующий параметр), а Wi
∗(x) выбирается
таким образом, чтобы обеспечить стабилизирующий эффект (избавиться от ложных, не име-
ющих физического смысла осцилляций) в получаемых численных аппроксимациях.
Оценки точности МПГ с кусочно-линейными базисными и кусочно-квадратичными весо-
выми функциями вида (1) при решении одномерных линейных стационарных задач КД с гра-
ничными условиями первого рода [4] впервые были получены Гриффитсом и Лоренцом в [11],
при этом коэффициенты уравнения КД предполагались постоянными и считалось, что
αi = α = const ≥ 0 в (1) независимо от i (см. также [3, 10, 12, 13] по поводу обзоров данного
случая и дальнейших исследований). Соответствующий случай с неодинаковыми параметрами
αi (зависящими от i ) в (1) труднее для исследования и, возможно, поэтому намного меньше
изучен (см. [3, 6, 10]). В статье [10] исследованы вопросы точности, устойчивости и сходи-
мости МПГ при решении стационарных одномерных уравнений КД в зависимости от выбора
параметров {αi} , обобщающие и уточняющие некоторые более ранние результаты в данном
938 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
направлении (приведенные, в том числе, в [3, 6, 11 – 13]). В настоящей работе результаты [10]
обобщены и распространены на случай стационарных одномерных уравнений КДР (в том чис-
ле, как отдельный частный случай, получены новые оценки точности МПГ для уравнений КД,
уточняющие оценки из [10]). Конкретнее говоря, в работе поставлены следующие цели:
1) получение оценок констант Ладыженской – Бабушки – Бреззи для МПГ при решении урав-
нения КДР (соответствующие определения приведены в п. 2); 2) получение оценок точности
МПГ в пространствах H 1 и L2 для уравнения КДР (основываясь на использовании резуль-
татов предыдущего пункта, теории соболевских пространств и теории сплайнов [14 – 18], а
также общей теории конечноэлементных МПГ [19]). Достижение первой цели базируется на
использовании подхода, предложенного изначально в [10] и существенно развиваемого в дан-
ной работе.
1. Постановка задачи, существование и единственность решения слабой формы крае-
вой задачи. Рассмотрим краевую задачу для стационарного уравнения КДР
Lu ≡ k
du
dx
− d2u
dx2 + cu = f (2)
на отрезке x ∈[0; 1] ( u(x) является искомой неизвестной функцией, а коэффициенты k ,
c и f (x) заданы) с однородными граничными условиями 1-го рода: u(0) = u(1) = 0 (неодно-
родные граничные условия можно привести к однородным [4]). Будем считать, что правая
часть уравнения (2), т. е. f , принадлежит L2[0; 1] , а коэффициенты k и c для упро-
щения выкладок положим постоянными. Для определенности положим, что k > 0 и c ≥ 0
(последнее физически соответствует поглощению вещества вследствие процессов реакции,
или же стоку тепла [1, 4, 5]).
Для скалярного произведения и нормы в L2[0; 1] используем обозначения ( ⋅ , ⋅ )0 и
⋅ 0 соответственно [14, 15]. Также будем использовать пространства Соболева [14, 15]
H m[0; 1] и H0
m[0; 1] — пополнения C (∞)[0; 1] и C0
(∞)[0; 1] (индекс 0 внизу означает, что
носитель принадлежит интервалу (0; 1) ) по норме
u m ≡ (diu/dxi )2
0≤i≤m∑ dx
0
1
∫( )1/2
.
Для функций из H m[0; 1] будем также использовать полунормы u m ≡
≡
(d mu/dxm )2 dx
0
1
∫( )1/2
. Известно (см. [14, 15]), что для функций из H0
1[0; 1] норма ⋅ 1
эквивалентна полунорме ⋅ 1 .
Для записи слабой формы [2, 3, 6, 7, 11] рассматриваемой краевой задачи введем били-
нейную форму a(u, v) ≡ a1(u, v) + a2(u, v) , где a1(u, v) ≡ ( ′u , ′v + kv)0 (здесь ′u ≡ du/dx ),
a2(u, v) ≡ (u, cv)0 . Тогда слабую форму задачи можно представить в виде
найти u ∈ H0
1[0; 1] такое, что для любого v ∈ H0
1[0; 1]
выполняется a(u, v) = ( f , v)0 . (3)
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 939
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
Лемма 1. Для билинейной формы a(u, v) , рассматриваемой на H0
1[0; 1] × H0
1[0; 1] ,
справедливы следующие утверждения:
1) существует C1 ≡ 1 + k2/(4π2 ) + cπ −2 > 0 такое, что для любых u ∈ H0
1[0; 1] и
v ∈ H0
1[0; 1] выполняется
a(u, v) ≤ C1 u 1 v 1 ; (4)
2) infu∈H0
1[0; 1] supv∈H0
1[0; 1]
a(u, v)
u 1 v 1
≥ 1;
3) для любого v ≠ 0 справедливо supu∈H0
1[0; 1] a(u, v) > 0 .
Доказательство. Докажем сначала пункт 1 леммы. В статье [11] доказано, что для лю-
бых u ∈ H0
1[0; 1] и v ∈ H0
1[0; 1] выполняется a1(u, v) ≤ 1 + k2/(4π2 ) u 1 v 1, причем
данная константа непрерывности является здесь неулучшаемой. Теперь из неравенства Ко-
ши – Буняковского и неравенства Фридрихса (с неулучшаемой константой) [17, 18]
w 0 ≤ π −1 w 1 ∀w ∈ H0
1[0; 1] (5)
имеем
a(u, v) ≤ a1(u, v) + a2(u, v) ≤ a1(u, v) + c u 0 v 0 ≤
≤
1 + k2/(4π2 ) + cπ −2( ) u 1 v 1 .
Докажем теперь пункты 2 и 3. Поскольку a1(u, u) = u 1
2 и a2(u, u) = c u 0
2 , отсюда
следует, что
inf
u∈H0
1[0; 1]
sup
v∈H0
1[0; 1]
a(u, v)
u 1 v 1
≥ inf
u∈H0
1[0; 1]
a(u, u)
u 1
2 = inf
u∈H0
1[0; 1]
1 + c
u 0
2
u 1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≥ 1 .
Далее,
sup
u∈H0
1[0; 1]
a(u, v) ≥ a(v, v) = v 1
2 + c v 0
2 ≥ v 1
2 > 0 ∀v ≠ 0
(достаточно воспользоваться эквивалентностью ⋅ 1 и ⋅ 1 на H0
1[0; 1] или неравенством
Фридрихса).
Лемма доказана.
Следствие 1. Из леммы 1, а также линейности и ограниченности функционала
F(v) = ( f , v)0 правой части задачи (3), в силу обобщенной теоремы Лакса – Мильграма (см.
[19, с. 112], теорема 5.2.1) следует существование и единственность решения задачи (3).
940 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
Лемма 1 также даст возможность в явном виде находить константы в априорных оценках
при оценивании погрешности МПГ.
2. Аппроксимация краевой задачи МПГ. Считаем, что на отрезке [0; 1] задана систе-
ма равномерно отстоящих точек (узлов) xi , i = 0,…, N + 1 , с шагом h = xi+1 − xi , x0 = 0 ,
xN +1 = 1. С каждым узлом xi свяжем непрерывную кусочно-линейную финитную базисную
функцию Ni (x) ; она равна нулю за пределами xi−1 < x < xi+1 , линейна на элементах
[xi−1; xi ] , [xi; xi+1] и равна единице в точке xi . В качестве соответствующей узлу xi сетки
весовой функции Wi (x) используем кусочно-квадратичные функции вида (1), где функция
Wi
∗(x) определяется следующим образом [3, 10, 11, 13, 20]:
Wi
∗(x) =
2W ((xi − x) h), x ∈[xi−1; xi ],
− 2W ((xi+1 − x) h), x ∈[xi; xi+1],
0, x ∉[xi−1; xi+1],
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
а 2W (λ) ≡ 3λ(1 − λ) . Особенности построения различных весовых функций и требования к
ним приведены в [20, 21]. Обозначим символами Φh и Ψ h конечномерные подпространства
пространства H0
1[0; 1] , являющиеся линейными оболочками совокупностей базисных
{Ni (x)}i=1
N и весовых {Wi (x)}i=1
N функций соответственно. Рассматриваемая здесь конечно-
элементная аппроксимация Петрова – Галеркина решения задачи (3) имеет вид
дано (α1; α 2; … ; α N )T ∈ RN ; найти uh ∈ Φh такое, что
a(uh , Ni + αiWi
∗) = ( f , Ni + αiWi
∗)0 , i = 1, … , N . (6)
Основным средством при оценивании погрешности аппроксимации решения задачи (3) ре-
шением приближенной задачи (6) является следующая теорема [3, 11, 13, 22] (обобщенная
лемма Сеа; доказательство приведено в [11, 13]; см. теорему 3.1 в статье [11]).
Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: 1) Φh и Ψ h являются конечно-
мерными подпространствами H0
1[0; 1] такими, что c2(h) ≡ infu∈Φh
supv∈Ψ h
a(u, v)
u 1 v 1
> 0 и
для любых v ∈ Ψ h , ν ≠ 0 supu∈Φh
a(u, v) > 0 ; 2) u ∈ H0
1[0; 1] — единственное решение
задачи (3). Тогда задача (6) имеет единственное решение uh , которое удовлетворяет
оценке
u − uh 1 ≤ 1 + C1
c2(h)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
inf
wh ∈Φh
u − wh 1 , (7)
где C1 — константа непрерывности для формы a(u, v) (см. лемму 1).
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 941
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
В оценке (7) величина infwh ∈Φh
u − wh 1 фиксирована при выбранном пространстве Φh
и зависит лишь от аппроксимирующих свойств Φh (см. ниже доказательство теоремы 3), но
не зависит от {αi}i=1
N . Величина c2(h) , называемая константой Ладыженской – Бабушки –
Бреззи [13, 3, 6] (в некоторых источниках этим термином называют также и любые оценки
снизу для c2(h) , см. [13]), оказывает существенное влияние на точность и сходимость МПГ в
H 1 и L2 , ее роль при исследовании точности и сходимости МПГ обсуждается в [3, 10, 11,
13]. Из определения величин c2(h) и C1 следует неравенство c2(h) ≤ C1 . Отметим (см.
введение), что впервые оценки снизу для c2(h) (для задач КД и при условии αi = α = const ≥
≥ 0) были получены в [11] (см. также [13]), причем найденные там оценки являются ,,квази-
оптимальными” (неулучшаемыми в некоторых случаях [11, 13]). Константа C1 найдена в
лемме 1 в явном виде, что, в свою очередь, дает возможность в явном виде (а не только асимп-
тотически при h → 0 ) оценивать сверху погрешность МПГ в полунорме ⋅ 1 . В [10] были
установлены оценки снизу для c2(h) , включающие в себя (как частные случаи) известные
автору оценки, полученные ранее другими исследователями (как для случаев с неодинаковыми
αi , зависящими от индекса i , так и, в том числе, дающие ,,квазиоптимальные” оценки [11,
13] в частном случае при αi = α = const ≥ 0 ). Чем большей будет величина c2(h) , тем
меньшей будет погрешность u − uh 1 в (7), поэтому при получении оценок снизу для c2(h)
чем большей по величине является такая оценка, тем она будет сильнее и ,,лучше” в указанном
смысле (по отношению к другим оценкам снизу, меньшим по величине, чем данная оценка).
Определение 1. Будем говорить, что величина c2(h) равномерно отделена от нуля, ес-
ли существуют ε > 0 и h0 > 0 такие, что для любого h ∈(0; h0 ] выполняется c2(h) ≥ ε .
Лемма 2. Для произвольных
u(x) = u j N j (x)
j=1
N
∑ ∈ Φh , v(x) = viWi (x)
i=1
N
∑ ∈ Ψ h
справедливо a(u, v) = �
vT Ah
�
u , u 1
2 = �
uT Bh
�
u , v 1
2 = �
vT Ch
�
v , где
�
u ≡ (u1; u2; …; uN )T ∈ RN ,
�
v ≡ (v1; v2; …; vN )T ∈ RN (индекс T — знак транспонирования), а матрицы Ah , Bh и
Ch размера N × N представляются поэлементно следующим образом (1 ≤ i ≤ N ,
1 ≤ j ≤ N ):
(Ah )i, j =
−1/h − (1 + αi )k/2 + ch(1/6 + αi/4), j = i − 1,
2/h + kαi + 2ch/3, j = i,
−1/h + (1 − αi )k/2 + ch(1/6 − αi/4), j = i + 1,
0, i − j > 1,
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
(8)
942 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
(Bh )i, j =
−1/h, i − j = 1,
2/h, j = i,
0, i − j > 1,
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
(9)
(Ch )i, j =
−(1 + 3αiα j )/h, i − j = 1,
(2 + 6αi
2 )/h, j = i,
0, i − j > 1.
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(10)
Доказательство данной леммы получается путем непосредственного подсчета интегра-
лов, входящих в выражения для a(u, v) , u 1
2 и v 1
2 .
Следствие 2. Задача (6) сводится к решению системы линейных уравнений с матрицей
Ah и правой частью
�
f ≡ ( f1; f2; …; fN )T , где fi ≡ ( f , Wi )0 .
3. Получение основных соотношений для оценивания погрешности МПГ. Пусть ⋅
— стандартная евклидова векторная норма на RN (т. е.
�
x = (
�
x,
�
x) при
�
x ∈ RN , где
(
�
x,
�
y) — евклидово скалярное произведение). Этим же символом ⋅ обозначаем соответ-
ствующую подчиненную матричную (операторную) норму произвольной матрицы A размера
N × N :
A ≡ sup �
x = 1 A
�
x . Единичную матрицу обозначаем через E . Тогда логарифми-
ческой нормой (ЛН) матрицы A называют число [24, 25] μ(A) = limt→0+0 E + tA − 1( )/t .
В дальнейшем будем пользоваться следующими свойствами ЛН произвольной матрицы A :
1) для любого
�
x ∈ RN выполняется неравенство −μ(−A)
�
x 2 ≤
�
xT A
�
x = (A
�
x,
�
x) ≤
≤ μ(A)
�
x 2 , причем верхняя и нижняя границы неравенства достигаются на некоторых век-
торах [24, 25];
2) для произвольной матрицы A = {ai, j}i, j=1
N справедлива оценка
μ(A) ≤ max
1≤i≤N
ai, i + 1
2
ai, j + a j, i
j≠i
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
(свойство доказано в лемме 2 работы [10]);
3) для любого a ≥ 0 справедливо μ(aA) = aμ(A) (см. [25]);
4) μ(A + B) ≤ μ(A) + μ(B) , где B — любая матрица одинакового с A размера [25];
5)
μ(A) = maxi λi (A + AT )/2( )( ), где
λi (A + AT )/2( ) — i -е собственное число матрицы
A + AT( )/2 (см. [24, 25]).
Введем вспомогательные матрицы D , B , A0 , M и A размера N × N , которые нам
понадобятся в дальнейшем при нахождении оценок для величины c2(h) :
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 943
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
Di, j =
−αiα j , i − j = 1,
2αi
2 j = i,
0, i − j > 1,
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(A0 )i, j =
−αi , i − j = 1,
2αi , j = i,
0, i − j > 1,
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
Mi, j =
2/3 ∓ αi , j = i ± 1,
8/3, j = i,
0, i − j > 1,
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
B ≡ hBh (см. выражение (9), т. е. B — это матрица Bh , но без множителя 1/h ),
A ≡ B + kh
2
A0 + ch2
4
M . Тогда матрицу Ah из (8) можно представить как Ah = (A1 + A)/h ,
где матрица A1 определяется данным соотношением (она кососимметрична, A1 = −A1
T , на
главной диагонали у нее расположены нули, на верхней и нижней поддиагоналях — величины
±kh/2 соответственно). Мотивация при введении данного представления состоит в том, что в
дальнейшем мы столкнемся с необходимостью вычисления и оценивания выражений типа
(Ah
�
x,
�
x) , но в силу A1 = −A1
T имеем (Ah
�
x,
�
x) = (A
�
x,
�
x)/h ∀
�
x ∈ RN , что упрощает эту зада-
чу. Отметим также, что для любого
�
x ∈ RN справедливо
�
xT B
�
x = (B
�
x,
�
x) > 0 при
�
x ≠ 0 ,
т. е. квадратичная форма (B
�
x,
�
x) положительно определена (это следует из леммы 2, см.
также [26]). Спектр матрицы B состоит из точек [26]
λ j
(N ) ≡ 4 sin2(πj/(2N + 2)) , где
1 ≤ j ≤ N .
Лемма 3. Пусть ξ — произвольное (но фиксированное) действительное число. Тогда:
1) неравенство (A
�
x,
�
x) ≥ ξ(B
�
x,
�
x) имеет место (при любом
�
x ∈ RN ) тогда и только
тогда, когда выполняется условие −μ(−(A − ξB)) ≥ 0 ;
2) если выполнено условие −μ(−(A − ξB)) ≥ 0 , то
(A
�
x,
�
x) ≥ ξ(B
�
x,
�
x) − μ(−(A − ξB))(B
�
x,
�
x)/λ N
(N ) ∀
�
x ∈ RN ; (11)
3) выполняется неравенство −μ(−(A − ξB)) ≥ �CAB , где
�CAB определяется как
�CAB ≡ min 2 − 2ξ + khα1 + 2ch2
3
− 1
2
2ξ − 2 − kh
2
(α1 + α 2 ) + ch2 1
3
+ α 2 − α1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
– min
1<i<N
2 − 2ξ + khαi + 2ch2
3
− 1
2
2ξ − 2 − kh
2
(αi−1 + αi ) + ch2 1
3
+ αi − αi−1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
–
–
1
2
2ξ − 2 − kh
2
(αi + αi+1) + ch2 1
3
+ αi+1 − αi
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎞
⎠⎟
,
2 − 2ξ + khα N + 2ch2
3
− 1
2
2ξ − 2 − kh
2
(α N −1 + α N ) + ch2 1
3
+ α N − α N −1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
;
944 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
при этом если −μ(−(A − ξB)) ≥ 0 (для чего достаточно, чтобы
�CAB ≥ 0 ), то
(A
�
x,
�
x) ≥ ξ(B
�
x,
�
x) + �CAB(B
�
x,
�
x)/λ N
(N ) ∀
�
x ∈ RN ; (12)
4) если выполнено условие −μ(−(A − ξB)) < 0 , то
(A
�
x,
�
x) ≥ ξ(B
�
x,
�
x) − μ(−(A − ξB))(B
�
x,
�
x)/λ1
(N ) ≥ ξ(B
�
x,
�
x) + �CAB(B
�
x,
�
x)/λ1
(N ) ∀
�
x ∈ RN .
Доказательство. Пункт 1 леммы следует из свойства 1 ЛН, примененного к матрице
A − ξB . Докажем пункт 2 леммы. В силу свойства 1 ЛН ((A − ξB)
�
x,
�
x) ≥ −μ(−(A − ξB))
�
x 2 .
Оценим
�
x в данном неравенстве. В силу неравенства Рэлея – Ритца [23] имеем
λ1
(N ) �
x 2 ≤ (B
�
x,
�
x) ≤ λ N
(N ) �
x 2 ∀
�
x ∈ RN . (13)
Отсюда получаем оценку (B
�
x,
�
x)/λ N
(N ) ≤ �
x 2 и, как следствие, неравенство (11). Для доказа-
тельства пункта 3 достаточно применить свойство 2 ЛН к матрице A − ξB , выполнив при
этом несложные, но довольно громоздкие выкладки по приведению подобных членов в соот-
ветствующих выражениях (см. также доказательство лемм 3 и 4 в работе [10]). Неравен-
ство (12) при этом следует из неравенства (11). Утверждение пункта 4 следует из неравенств
((A − ξB)
�
x,
�
x) ≥ −μ(−(A − ξB))
�
x 2 и
�
x 2 ≤ (B
�
x,
�
x)/λ1
(N ) .
Лемма доказана.
Следствие 3. Пусть ξ имеет вид
ξ = 1 + khδ
2
+ ch2φ
4
, (14)
где δ и φ — некоторые действительные числа. Тогда для выполнения условия
−μ(−(A − ξB)) ≥ 0 из пункта 2 леммы 3 и неравенства
(A
�
x,
�
x) ≥ ξ(B
�
x,
�
x) − kh
2
μ(−(A0 − δB))
(B
�
x,
�
x)
λ N
(N ) − ch2
4
μ(−(M − φB))
(B
�
x,
�
x)
λ N
(N ) (15)
достаточно выполнения условий −μ(−(A0 − δB)) ≥ 0 и −μ(−(M − φB)) ≥ 0 .
Доказательство. Из свойств 3 и 4 ЛН получаем неравенства
−μ(−(A − ξB)) = −μ(−kh(A0 − δB)/2 − ch2(M − φB)/4) ≥
≥ −(kh / 2)μ(−(A0 − δB)) − (ch2/4)μ(−(M − φB)) ≥ 0 .
Неравенство (15) при этом следует из неравенства (11).
Замечание 1. Оценки снизу для выражений −μ(−(A0 − δB)) и −μ(−(M − φB)) (и соот-
ветствующие достаточные условия для выполнения неравенств −μ(−(A0 − δB)) ≥ 0 , −μ(−(M –
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 945
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
– φB)) ≥ 0) можно получить из пункта 3 леммы 3, взяв ξ в виде (14) и формально положив
там c = 0 или k = 0 соответственно (тогда выражение
�CAB даст искомую оценку снизу).
Отметим, что частный случай подобного рода достаточных условий для матрицы A0 (кото-
рый также можно получить описанным выше способом из леммы 3, положив в
�CAB c = 0 и
раскрыв модули со знаком минус) был выведен в работе [10] (см. лемму 4 в [10]).
Лемма 4. Пусть χ — произвольное (но фиксированное) действительное число. Тогда:
1) неравенство (D
�
x,
�
x) ≤ χ(B
�
x,
�
x) имеет место (при любом
�
x ∈ RN ) тогда и только
тогда, когда выполняется условие −μ(−(χB − D)) ≥ 0 ;
2) если выполнено условие −μ(−(χB − D)) ≥ 0 , то
0 ≤ (D
�
x,
�
x) ≤ χ(B
�
x,
�
x) + μ(−(χB − D))(B
�
x,
�
x)/λ N
(N ) ∀
�
x ∈ RN ; (16)
3) выполняется неравенство −μ(−(χB − D)) ≥ �CDB , где
�CDB определяется как
�CDB ≡ min 2χ − 2α1
2 − χ − α1α 2 , 2χ − 2α N
2 − χ − α N −1α N{ ,
min
1<i<N
2χ − 2αi
2 − χ − αi−1αi − χ − αiαi+1( ) } ;
при этом если −μ(−(χB − D)) ≥ 0 (для чего достаточно, чтобы
�CDB ≥ 0 ), то
0 ≤ (D
�
x,
�
x) ≤ χ(B
�
x,
�
x) − �CDB(B
�
x,
�
x)/λ N
(N ) ∀
�
x ∈ RN ; (17)
4) если выполнено условие −μ(−(χB − D)) < 0 , то
0 ≤ (D
�
x,
�
x) ≤ χ(B
�
x,
�
x) + μ(−(χB − D))(B
�
x,
�
x)/λ1
(N ) ≤
≤ χ(B
�
x,
�
x) − �CDB(B
�
x,
�
x)/λ1
(N ) ∀
�
x ∈ RN .
Доказательство. Пункт 1 леммы следует из свойства 1 ЛН. Неравенство 0 ≤ (D
�
x,
�
x)
доказано в [10] (см. лемму 3 в [10]). Пункт 2 следует из неравенства
((χB − D)
�
x,
�
x) ≥ −μ(−(χB − D))
�
x 2 ≥ −μ(−(χB − D))(B
�
x,
�
x)/λ N
(N )
(см. доказательство леммы 3). Для доказательства пункта 3 достаточно применить свойство 2
ЛН к матрице χB − D , неравенство (17) при этом следует из (16). Пункт 4 следует из нера-
венства −μ(−(χB − D))
�
x 2 ≥ −μ(−(χB − D))(B
�
x,
�
x)/λ1
(N ) (см. (13)) при μ(−(χB − D)) > 0 .
Лемма доказана.
Замечание 2. Лемма 4 обобщает лемму 3 из статьи [10]. В [10] также изложены сообра-
жения по поводу выбора допустимых значений числа χ , при котором не нарушается неравен-
ство (D
�
x,
�
x) ≤ χ(B
�
x,
�
x) (в частности, там показано, что для выполнения данного неравенства
необходимо, чтобы χ ≥ max1≤i≤N αi
2 ).
946 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
4. Погрешность и сходимость МПГ. Докажем следующую теорему, дающую оценку ве-
личины c2(h) в теореме 1.
Теорема 2. Пусть выполняются условия пунктов 2 в леммах 3 и 4. Тогда
c2(h) ≥ C0(h) ≡ ξ − μ(−(A − ξB))/λ N
(N )
1 + 3 χ + μ −(χB − D)( )/λ N
(N )( )
. (18)
Доказательство. В силу леммы 2 имеем
c2(h) = min �
u∈RN max �
v∈RN
�
vT Ah
�
u
�
uT Bh
�
u
�
vT Ch
�
v
, от-
куда получаем неравенство
c2(h) ≥ min �
u∈RN
�
uT Ah
�
u
�
uT Bh
�
u
�
uT Ch
�
u
. Далее, используя равенства
(Ah
�
u,
�
u) = (A
�
u,
�
u)h−1 , Bh = h−1B , Ch = h−1(B + 3D) и неравенства (11) и (16), получаем
c2(h) ≥ min�
u∈RN
�
uT A
�
u
�
uT B
�
u
�
uT (B + 3D)
�
u
≥
≥
min�
u∈RN
(ξ − μ(−(A − ξB))/λ N
(N ) )
�
uT B
�
u
�
uT B
�
u
�
uT B
�
u + 3(χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N ) )
�
uT B
�
u
.
Сокращая здесь числитель и знаменатель на
�
uT B
�
u , получаем оценку (18).
Теорема доказана.
Следствие 4. 1. Пусть выполняются условия теоремы 2. Используя пункты 3 лемм 3 и
4, оценку (18) можно ослабить, получив для c2(h) следующие оценки снизу:
c2(h) ≥ ξ + �CAB/λ N
(N )
1 + 3 χ + μ −(χB − D)( )/λ N
(N )( )
, (19)
c2(h) ≥ ξ − μ(−(A − ξB))/λ N
(N )
1 + 3 χ − �CDB/λ N
(N )( )
, (20)
c2(h) ≥ ξ + �CAB/λ N
(N )
1 + 3 χ − �CDB/λ N
(N )( )
. (21)
2. Требование выполнения пункта 2 леммы 3 в формулировке теоремы 2 можно заме-
нить требованием выполнения пункта 4 леммы 3; при этом будет справедлива оценка (18),
где в числителе правой части взято выражение ξ − μ(−(A − ξB))/λ1
(N ) (или его оценка снизу
ξ + �CAB/λ1
(N ) ).
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 947
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
3. Вместо выполнения пункта 2 леммы 4 в условиях теоремы 2 можно потребовать
выполнения пункта 4 леммы 4; при этом справедлива оценка (18), где в знаменателе
правой части взято выражение
1 + 3 χ + μ(−(χB − D))/λ1
(N )( ) * 484 его оценка сверху
1 + 3 χ − �CDB/λ1
(N )( ) ) .
Доказательство. Справедливость оценок (19) – (21) непосредственно следует из оцен-
ки (18) с учетом пунктов 3 лемм 3 и 4. Отметим также, что оценки (19) – (21) можно устано-
вить независимо от (18), следуя доказательству теоремы 2 (но вместо неравенств (11) и (16)
используя при доказательстве неравенства (12) и (17) соответственно). Для доказательства
пунктов 2 и 3 следствия достаточно повторить схему доказательства теоремы 2 (применяя при
этом неравенства из пунктов 4 лемм 3 и 4). Отметим, что пункты 2 и 3 следствия 4 не зависят
один от другого, поэтому если их условия выполняются одновременно, для величины c2(h)
имеют место соответствующие оценки.
Замечание 3. Если ξ определяется выражением (14) и справедливы условия следствия 3,
то оценки (18) и (20) можно ослабить, заменив (оценив снизу) числитель выражением
ξ − kh μ(−(A0 − δB))/(2λ N
(N ) ) − ch2μ(−(M − φB))/(4λ N
(N ) ) . В свою очередь, ЛН в последнем вы-
ражении также можно оценить снизу (см. замечание 1), получив таким образом для c2(h)
еще более слабые оценки. Отсюда, как частный случай, положив c = 0 и отбросив слагае-
мые с ЛН в числителе и знаменателе (что приведет лишь к огрублению оценки), получим
оценку c2(h) ≥ (1 + khδ/2)/ 1 + 3χ для уравнения КД, выведенную в [10] (см. теорему 2
в [10]).
Ранее было установлено (см. следствие 1), что решение задачи (3) существует и единствен-
но. Докажем теперь теорему, которая дает оценку точности МПГ и на основании которой
устанавливается его сходимость.
Теорема 3. Пусть u ∈ H0
1[0; 1] является решением задачи (3). Предположим дополни-
тельно, что u также принадлежит пространству H 2[0; 1] . Пусть выполнены условия
теоремы 2 и C0(h) > 0 . Тогда решение uh ∈ Φh задачи (6) существует, единственно и
удовлетворяет оценкам
u − uh 1 ≤ 1 + C1
c2(h)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
h u 2 ≤ 1 + C1
C0(h)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
h u 2 . (22)
Доказательство. Покажем, что supu∈Φh
a(u, v) > 0 ∀v ∈ Ψ h , v ≠ 0 . Действительно,
в силу условия C0(h) > 0 , леммы 2 и пункта 2 леммы 3 имеем неравенства
sup
u∈Φh
a(u, v) = sup
�
u∈RN
�
vT Ah
�
u ≥ �
vT Ah
�
v ≥ �
vT Ah
�
v ≥
≥
h−1 ξ − μ(−(A − ξB))/λ N
(N )( ) (B
�
v,
�
v) > 0 .
Таким образом, все условия теоремы 1 теперь выполнены. Отсюда получаем, что решение
uh ∈ Φh задачи (6) существует, единственно и удовлетворяет оценке (7). Для оценки величи-
ны infwh ∈Φh
u − wh 1 воспользуемся тем, что пространство Φh является пространством ин-
948 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
терполяционных сплайнов первой степени, для которого при u ∈ H 2[0; 1] справедлива оценка
infwh ∈Φh
u − wh 1 ≤ h u 2 (см. [26]). Отсюда получаем оценку (22).
Теорема доказана.
Следствие 5. Пусть величина c2(h) равномерно отделена от нуля (для этого доста-
точно, чтобы C0(h) была равномерно отделена от нуля). Тогда при выполнении условий
теоремы 3 из (22) получаем u − uh 1 = O(h) и u − uh 1 = O(h) (соответственно, и
u − uh 0 = O(h) ) при h → 0 . Использовав теорему Соболева о вложении [14, 15], также
получим сходимость uh к u со скоростью O(h) и в пространстве C[0; 1] .
5. Случай с одинаковыми параметрами αα i . Рассмотрим случай, когда все αi =
= α = const . Тогда матрицы A0 = αB , A = (1 + khα/2)B + (ch2/4)M , поэтому, беря ξ в ви-
де (14) (при δ = α ), получаем, что неравенство (A
�
x,
�
x) ≥ ξ(B
�
x,
�
x) сводится к неравенству
(M
�
x,
�
x) ≥ φ(B
�
x,
�
x) , а условие −μ(−(A − ξB)) ≥ 0 — соответственно (используя свойство 3
ЛН) к условию −μ(−(M − φB)) ≥ 0 .
Утверждение 1. Число
φ = φ∗ ≡ 1 + 2 sin2(πh/2)
3 − 3sin2(πh/2)
является максимальным неотрица-
тельным числом, при котором для любого
�
x ∈ RN выполняется неравенство (M
�
x,
�
x) ≥
≥ φ(B
�
x,
�
x) . При этом μ(−(M − φB)) = 0 .
Доказательство. Обозначим G ≡ M − φB , тогда
(G
�
x,
�
x) = ((G + GT )/2)
�
x,
�
x( ) ≥ 0 эк-
вивалентно (в силу неравенства Рэлея – Ритца [23]) тому, что все собственные числа матрицы
(G + GT )/2 неотрицательны. Но матрица (G + GT )/2 является трехдиагональной симмет-
ричной теплицевой матрицей [27]. Для таких матриц спектр можно описать в явном виде (см.
[27, с. 304]). В результате получим, что собственные числа λ j для (G + GT )/2 имеют вид
λ j = 8
3
− 2φ + 2
2
3
+ φ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ cos
jπ
N + 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ , 1 ≤ j ≤ N .
Неравенство λ N ≥ 0 для минимального собственного числа
λ N = 4
3
− 4φ + 8
3
+ 4φ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ sin2 πh
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ эквивалентно
φ ≤ 1 + 2 sin2(πh/2)
3 − 3sin2(πh/2)
, откуда, поскольку
μ(−(M − φB)) равно максимальному собственному числу (−G − GT )/2 (свойство 5 ЛН), по-
лучим μ(−(M − φB)) = 0 при φ = φ∗ .
Утверждение доказано.
Аналогично, поскольку D = α 2B , из леммы 4 получаем, что в качестве χ можно взять
χ = α 2 , причем данное значение будет минимальным, при котором выполняется неравенство
(D
�
x,
�
x) ≤ χ(B
�
x,
�
x) . Опираясь на это, а также на утверждение 1 и то, что ЛН нулевой матрицы
равна нулю, из оценки (18) получаем следующее утверждение.
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 949
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
Утверждение 2. При αi = α = const справедлива оценка
c2(h) ≥ C0(h) = 1 + khα/2 + ch2φ∗/4
1 + 3α 2
. (23)
Замечание 4. Отметим, что для уравнения КД при c = 0 оценка (23) совпадает с оценкой
из работ [11, 13], которая, как показано в [11, 13], является ,,квазиоптимальной” в том смысле,
что при нечетных N имеет место точное равенство c2(h) = (1 + khα/2)(1 + 3α 2 )−1/2 . В слу-
чае уравнения КДР это, вообще говоря, не будет иметь места, однако можно доказать следую-
щее утверждение (которое, тем не менее, для уравнения КД при c = 0 все еще будет свиде-
тельствовать о ,,квазиоптимальности” оценки (23), обобщая таким образом соответствующие
результаты [11, 13]).
Утверждение 3. При нечетном N и αi = α = const справедлива оценка
c2(h) ≤
1 + khα/2 + ch2/3
1 + 3α 2
. (24)
Доказательство. Рассмотрим матрицу F ≡ Ah − (1 + khα/2 + ch2β)Bh , где β — неко-
торое (подлежащее определению) действительное число. Матрица F является трехдиаго-
нальной теплицевой матрицей, спектр которой имеет вид (см. доказательство утверждения 1)
λ j = 2ch
3
1 − 3β( ) + 2
k
2
+ ch
6
− chα
4
+ chβ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − k
2
+ ch
6
+ chα
4
+ chβ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
× cos
jπ
N + 1
, 1 ≤ j ≤ N .
Отсюда видим, что при нечетном N , j = (N + 1)/2 и β = 1/3 λ j = 0 , откуда следует, что
det F = 0 и, соответственно, существует
�
u0 ∈ RN ,
�
u0 ≠ 0 , для которого F
�
u0 = 0 . В силу
леммы 2 имеем
c2(h) = min �
u∈RN max �
v∈RN
�
vT Ah
�
u
�
uT Bh
�
u
�
vT Ch
�
v
, откуда для любого
�
u ∈ RN ,
�
u ≠ 0 получаем оценку
c2(h) ≤ max �
v∈RN
�
vT Ah
�
u
�
uT Bh
�
u
�
vT Ch
�
v
. Взяв
�
u = �
u0 и использовав ра-
венство Ch = h−1(B + 3α 2B) , получим
c2(h) ≤
1 + khα/2 + ch2/3
1 + 3α 2
max�
v∈RN
�
vT B
�
u0
�
u0
T B
�
u0
�
vT B
�
v
.
Для получения (24) осталось показать, что максимум в последнем выражении равен единице.
Для этого заметим, что матрица B является симметричной и положительно определенной
(см. (13)), поэтому можно ввести скалярное произведение [26] (
�
x,
�
y)B ≡ (B
�
x,
�
y) и норму
�
x B
2 = (
�
x,
�
x)B . Из неравенства Коши – Буняковского получаем
950 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
�
vT B
�
u0 = (
�
u0,
�
v)B ≤ �
u0 B
�
v B = �
u0
T B
�
u0
�
vT B
�
v ,
причем равенство достигается при
�
v = �
u0 .
Утверждение доказано.
Замечание 5. 1. Взяв производную по α от правой части (23), получим, что максимум
правой части будет достигнут при
α = α max ≡ 2kh
12 + 3ch2φ∗
. (25)
Для уравнения КД ( c = 0 ) формула (25) дает известный результат α = kh/6 [11, 13, 21].
2. Отметим, что величина C1/C0(h) (и C1/c2(h) ) в (22), (23) является ограниченной при
k → +∞ или c → +∞ , если α ≠ 0 не зависит от k и c , а h — фиксированное. Дей-
ствительно, существуют пределы limk→+∞
C1
C0(h)
= 1 + 3α 2
πhα
и limc→+∞
C1
C0(h)
= 4 1 + 3α 2
π2h2φ∗
.
Это также справедливо, когда α определяется через (25). В этом случае существуют преде-
лы limk→+∞
C1
C0(h)
= 3
πh
и limc→+∞
C1
C0(h)
= 4
π2h2φ∗
.
6. Среднеквадратические оценки и сходимость МПГ. С помощью неравенства Фрид-
рихса (5) из (22) непосредственно получаем соответствующую оценку u − uh 0 . Отметим
также, что следствие 5 (когда выполняются его условия) может предоставить лишь первый
порядок точности МПГ по h в L2[0; 1] , т. е. u − uh 0 = O(h) при h → 0 . В данном
пункте представлены уточненные среднеквадратические оценки для МПГ. Докажем сна-
чала лемму, характеризирующую интерполяционные свойства пространства Ψ h весовых
функций.
Лемма 5. Для произвольной функции v ∈ H0
1[0; 1] ∩ H 2[0; 1] существует единственная
функция vh ∈ Ψ h , интерполирующая v в узлах xi , 0 ≤ i ≤ N + 1. При этом если выпол-
няются условия пункта 2 леммы 4, то справедлива оценка
v − vh 1 ≤ 1 + 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( )( ) h v 2 + v 1 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) . (26)
Доказательство. Первый пункт леммы непосредственно следует из определения базис-
ных и весовых функций; при этом vh (x) = v(x j )W j (x)
j=1
N∑ . В силу (1) имеем представление
vh (x) = �uh (x) + eh (x) , где
�uh (x) ≡ v(x j )N j (x)
j=1
N∑ , eh (x) ≡ v(x j )α jW j
∗(x)
j=1
N∑ . Вычисляя
непосредственно интегралы, как в лемме 2, получаем равенство eh 1
2 = �
vT (3/h)D
�
v , в котором
вектор
�
v ≡ (v(x1); …; v(xN ))T . Теперь, применяя леммы 4 и 2, получаем неравенство
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 951
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
eh 1
2 = �
vT (3/h)D
�
v ≤ 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) �
vT Bh
�
v = 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) �uh 1
2 .
Поскольку �uh (x) является кусочно-линейным интерполяционным сплайном для v(x) ,
справедлива оценка v − �uh 1 ≤ h v 2 (см. [26]). Применяя теперь данное неравенство, нера-
венство треугольника и полученное выше неравенство между eh 1
2 и �uh 1
2 , получаем нера-
венства
v − vh 1 ≤ v − �uh 1 + eh 1 ≤
≤
v − �uh 1 + 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) �uh 1 ≤
≤
v − �uh 1 + v − �uh 1 + v 1( ) 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) =
=
1 + 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( )( ) v − �uh 1 +
+
3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) v 1 ≤
≤
1 + 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( )( ) h v 2 +
3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) v 1 .
Следствие 6. 1. Если в условиях леммы 5 потребовать выполнения условий пункта 3
леммы 4 (с −μ(−(χB − D)) ≥ 0 ), то из неравенства (26) можно получить неравенство
v − vh 1 ≤ 1 + 3 χ − �CDB/λ N
(N )( )( ) h v 2 + v 1 3 χ − �CDB/λ N
(N )( ) .
2. Если в лемме 5 потребовать выполнения условий пункта 4 леммы 4, то выполняется
v − vh 1 ≤ 1 + 3 χ + μ(−(χB − D))/λ1
(N )( )( ) h v 2 +
+
v 1 3 χ + μ(−(χB − D))/λ1
(N )( ) ≤
≤
1 + 3 χ − �CDB/λ1
(N )( )( ) h v 2 + v 1 3 χ − �CDB/λ1
(N )( ) .
Данное следствие можно доказать, следуя схеме доказательства леммы 5 и используя при
этом соответствующий пункт леммы 4 для установления неравенства между (
�
vT D
�
v)/h и
�
vT Bh
�
v . Используем лемму 5 для оценки точности МПГ в L2 .
952 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда справедливы оценки
u − uh 0 ≤ C1 1 + C1
c2(h)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
�C2 1 + 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( )( ) h⎛
⎝ +
+
�C1 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) ) h u 2 ≤
≤ C1 1 + C1
C0(h)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
h u 2 ×
×
�C2 1 + 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( )( ) h + �C1 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( )⎛
⎝
⎞
⎠ , (28)
где
�C1 > 0 и
�C2 > 0 — некоторые константы, не зависящие от h , u и {αi}i=1
N .
Доказательство. Воспользуемся идеей приема Обэна – Нитче [28, 13]. Рассмотрим зада-
чу L∗v = u − uh с граничными условиями v(0) = v(1) = 0 (здесь L∗v = −k ′v − ′′v + cv — фор-
мально сопряженный к L оператор, а погрешность МПГ u − uh ∈ H0
1[0; 1] выступает в роли
правой части уравнения). Ее обобщенное (слабое) решение v , как следует из общих теорем о
разрешимости и регулярности в теории эллиптических граничных задач (см. гл. 8 в [14], гла-
вы 11 и 12 в [29], а также [15, 18]), существует, единственно и v ∈ H0
1[0; 1] ∩ H 2[0; 1] , при-
чем существуют такие
�C1 > 0 и
�C2 > 0 (не зависящие от решения v и правой части
u − uh ), что
v 1 ≤ �C1 u − uh 0 и v 2 ≤ �C2 u − uh 0 . (29)
Умножая уравнение L∗v = u − uh скалярно в L2[0; 1] на любое w ∈ H0
1[0; 1] , получаем
соотношение a(w, v) = (u − uh , w)0 . Отсюда, в частности, при w = u − uh имеем
a(u − uh , v) = u − uh 0
2 . (30)
Из (3) и (6) для любого vh ∈ Ψ h получаем
a(u − uh , vh ) = a(u, vh ) − a(uh , vh ) = ( f , vh )0 – ( f , vh )0 = 0.
Поэтому (30) можно записать следующим образом: a(u − uh , v − vh ) = u − uh 0
2 ∀vh ∈ Ψ h .
Воспользовавшись непрерывностью билинейной формы a (см. (4)), отсюда получим
u − uh 0
2 ≤ C1 u − uh 1 v − vh 1 . (31)
В качестве vh ∈ Ψ h выберем функцию, которая интерполирует v в узлах. Тогда из лем-
мы 5, использовав неравенства (29), будем иметь
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 953
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
v − vh 1 ≤ 1 + 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( )( ) h v 2 +
+
v 1 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) ≤
≤
�C2 1 + 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( )( ) h⎛
⎝ +
+
�C1 3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) ) u − uh 0 . (32)
Использовав теперь вместе (31) неравенства (32) и (22), получим оценку (28).
Теорема доказана.
Следствие 7. Если справедливы условия пункта 1 следствия 6, то
3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N )( ) в оценке (28) можно заменить выражением
3 χ − �CDB/λ N
(N )( ) .
Следствие 8. Если χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N ) = O(h2 ) при h → 0 , выполняются условия
теоремы 4 и C0(h) равномерно отделена от нуля, то из (28) следует сходимость МПГ в
L2[0; 1] со вторым порядком точности, т. е. u − uh 0 = O(h2 ) при h → 0 .
Выполнение условия χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N ) = O(h2 ) можно обеспечить, если стабилизи-
рующие параметры αi будут величинами O(h) (см. также замечания к лемме 3 в работе
[10]). При проведении практических расчетов обычно выполняется αi = O(h) , иначе уровень
вносимой МПГ искусственной вязкости может оказаться слишком большим (в особенности
при больших значениях k , см. ниже формулу (33)), что, как правило, приводит к существен-
ным потерям точности [7, 21, 28]. Кроме того, как видно из (26), стремление χ +
+ μ(−(χB − D))/λ N
(N ) к нулю при h → 0 обеспечивает сходимость аппроксимаций функциями
из Ψ h . В частности, для α max , определяемого формулой (25), справедливо α max = O(h) .
Следовательно, при одинаковых αi = α max и χ = α 2 (см. пункт 5) получаем u − uh 0 =
= O(h2 ) при h → 0 .
Следствие 9. 1. Теоремы 3 и 4 (и, соответственно, оценки (22), (28)) остаются спра-
ведливыми, если при выполнении их условий в качестве величины C0(h) в них будет взята
правая часть неравенства (19), (20) или (21) (см. пункт 1 следствия 4). Аналогично, при вы-
полнении условий замечания 3 в качестве C0(h) могут быть взяты правые части выраже-
ний (18) и (20), где числитель заменен выражением
ξ − kh μ(−(A0 − δB))/(2λ N
(N ) ) – ch2μ(−(M − φB))/(4λ N
(N ) ) .
2. Требования выполнения условий пунктов 2 лемм 3 и 4 в теореме 3 можно заменить
(по отдельности или одновременно) требованиями выполнения условий пунктов 4 данных
лемм, при этом величина C0(h) в (22) определяется выражением (18) с учетом пунктов 2 и
3 следствия 4 соответственно. Теорема 3 в таком случае остается в силе.
954 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
3. Требование выполнения условий пункта 2 леммы 3 в теореме 4 можно заменить тре-
бованием выполнения условий пункта 4 леммы 3; при этом величина C0(h) определяется
через (18) с учетом пункта 2 следствия 4. Если, кроме того, дополнительно потребовать
выполнения условий пункта 4 леммы 4, где величина C0(h) при этом определяется через
(18) с учетом пункта 3 следствия 4 (см. пункт 2 следствия 9), а выраже-
ние
3 χ + μ(−(χB − D))/λ N
(N)( ) в (28) заменено на
3 χ + μ(−(χB − D))/λ1
(N)( ) или
3 χ − �CDB/λ1
(N)( ) (см. пункт 2 следствия 6), то теорема 4 в таком случае остается
в силе.
Замечание 6. Требование u ∈ H0
1[0; 1] ∩ H 2[0; 1] в условиях теорем 3 и 4 не является
ограничительным, поскольку данное условие, как следует из известных результатов о разре-
шимости и регулярности в теории эллиптических граничных задач (см. доказательство теоре-
мы 4), при f ∈ L2[0; 1] выполнено автоматически. Данные результаты также устанавливают
существование таких констант
�C1 и
�C2 , при которых справедливы соотношения (29). От-
метим, что константой
�C2 также можно оценить решение u через правую часть f :
u 2 ≤ �C2 f 0 . Данные константы для рассматриваемых в работе задач несложно найти в яв-
ном виде. Действительно, из (3) при v = u и неравенства Коши – Буняковского получаем
u 1
2 + c u 0
2 = ( f , u)0 ≤ f 0 u 0 . Используя неравенство Фридрихса (5), отсюда получаем
u 0 ≤ (π2 + c)−1 f 0 . Далее, u 1
2 ≤ f 0 u 0 ≤ (π2 + c)−1 f 0
2 , откуда имеем неравенство
u 1 ≤ (π2 + c)−1/2 f 0 . Наконец, из уравнения (2) получаем неравенства
u 2 = k ′u + cu − f 0 ≤ k u 1 + c u 0 + f 0 ≤ (1 + k(π2 + c)−1/2 + c(π2 + c)−1) f 0 .
Данные оценки (как видно из самого их вывода) имеют место и для задачи с оператором L∗ .
Отсюда получаем
�C1 = (π2 + c)−1/2 и
�C2 = 1 + k(π2 + c)−1/2 + c(π2 + c)−1 . Таким образом,
поскольку можно явно оценить u 2 через L2 - норму правой части f , в правых частях
априорных оценок (22) и (28) не остается неопределенных (неизвестных) величин.
Замечание 7. Отметим, что одномерность задачи и предположение о постоянстве коэф-
фициентов k и c позволили получить выведенные в работе оценки в относительно закон-
ченном и явном аналитическом виде и, таким образом, обобщить более ранние результаты в
данном направлении. Но в более сложных случаях (например, для многомерных задач, осо-
бенно с переменными коэффициентами, задач со сложной геометрией области) проведение
подобного анализа весьма затруднительно. Поэтому актуальной становится разработка чис-
ленных процедур нахождения приближенных оценок (особенно, численной проверки того,
удовлетворяется ли ключевое для стабилизации метода условие c2(h) > 0 при выбранной па-
ре пространств базисных и весовых функций). Подобные процедуры, базирующиеся на реше-
нии обобщенных задач на собственные значения, разработаны в [30 – 33].
7. Численные примеры. Рассмотрим уравнение (2) при f (x) = −k − cx . Для оценки
уклонения численного решения uh от точного u используем величины errL2
≡ u − uh 0 ,
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 955
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
errH1 ≡ u − uh 1 и errC ≡ max1≤i≤N u(xi ) − uh (xi ) и для простоты положим αi = α = const.
Будем сравнивать два варианта выбора αi : 1) αi = kh/6 ; как показано в [11, 13], такой вы-
бор для задач КД (без реактивного члена) является H 1 -оптимальным в том смысле, что ми-
нимизирует величину errH1 (и, кроме того, для задач КД дает 4-й порядок локальной погреш-
ности аппроксимации; см. ниже приложение); 2) αi = α max , определяемое выражением (25).
Для значений параметров k = 103 , c = 104 (реактивная составляющая преобладает над кон-
вективной), k = 104 , c = 104 (реактивная и конвективная составляющие равнозначны) и
k = 104 , c = 103 (конвективная составляющая преобладает над реактивной) результаты рас-
четов приведены в таблицах 1, 2 и 3 соответственно. Расчеты показывают полное преимуще-
ство (в смысле величин погрешностей, характеризуемых errH1 , errL2
и errC ) выбора
αi = α max перед соответствующим выбором параметров αi без учета реакционных процес-
сов, что является численным подтверждением результатов пункта 5. Отметим, что точное ре-
шение данной задачи (когда k и c принимают заданные выше значения) формирует погра-
ничный слой при x = 1 . Эмпирические порядки сходимости PH1 и PL2
определялись как
ln u − uhi−1 1
/ u − uhi 1( )/ln(hi−1/hi ) и
ln u − uhi−1 0
/ u − uhi 0( )/ln(hi−1/hi ) соответственно
(см. работы [34, 35]), где hi — шаг сетки при i -м расчете ( i -я строка таблицы). Видно, что
величины PH1 и PL2
при уменьшении шага монотонно приближаются слева к теоретиче-
ским порядкам скоростей сходимости в нормах ⋅ 1 и ⋅ 0 в рассматриваемом случае —
числам 1 и 2 (см. следствия 5 и 8). Возникающие системы линейных алгебраических уравне-
ний решались методом трехточечной прогонки [26].
Таблица 1. Значения погрешностей при k == 103 , c == 104
Число
узлов
сетки
αi = kh/6 αi = αmax
errH1 errL2
errC errH1 PH1 errL2
PL2
errC
50 21,8033877 0,1299759 0,5554216 21,6694486 — 0,1123325 — 0,4485942
100 20,4965453 0,0620007 0,3054484 20,4329138 0,084 0,0596124 0,901 0,2723953
200 17,6589109 0,0273827 0,0975694 17,6462063 0,210 0,0271254 1,128 0,0906496
300 15,0455446 0,0157007 0,0354665 15,0428464 0,392 0,0156379 1,353 0,0332544
400 12,8419161 0,0100862 0,0146000 12,8412559 0,548 0,0100641 1,528 0,0137153
500 11,0667703 0,0069638 0,0066201 11,0665836 0,665 0,0069541 1,653 0,0062107
600 9,6547301 0,0050662 0,0032208 9,6546704 0,747 0,0050613 1,739 0,0030105
700 8,5264575 0,0038363 0,0016444 8,5264364 0,805 0,0038336 1,799 0,0015274
800 7,6145006 0,0029983 0,0008634 7,6144927 0,846 0,0029967 1,842 0,0007942
900 6,8672685 0,0024039 0,0004563 6,8672654 0,876 0,0024028 1,873 0,0004132
1000 6,2465928 0,0019680 0,0002358 6,2465916 0,898 0,0019674 1,896 0,0002079
2000 3,2361556 0,0005098 4,54 ·10–5 3,2361555 0,948 0,0005097 1,947 4,38 ·10–5
4000 1,6329823 1,2861 ·10–4 1,71 ·10–5 1,6329822 0,986 1,2860 ·10–4 1,986 1,70 ·10–5
956 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
Таблица 2. Значения погрешностей при k == 104 , c == 104
Число
узлов
сетки
αi = kh/6 αi = αmax
errH1 errL2
errC errH1 PH1 errL2
PL2
errC
50 70,6844912 0,40291860 0,9412584 70,6749471 — 0,35463746 — 0,9230437
100 70,5988295 0,20606444 0,8879850 70,5898238 0,002 0,19782213 0,830 0,8790427
200 70,2823043 0,10233396 0,7875731 70,2745933 0,006 0,10127405 0,959 0,7836055
500 68,5273444 0,04032875 0,5495296 68,5225320 0,028 0,04026159 1,003 0,5483965
1000 64,3588196 0,01939313 0,3026330 64,3566624 0,090 0,01938518 1,053 0,3022944
2000 55,3408874 0,00858221 0,0978308 55,3404638 0,218 0,00858138 1,175 0,0977611
4000 40,1171762 0,00315686 0,0156596 40,1171529 0,464 0,00315678 1,442 0,0156508
8000 23,7380785 9,3744 ·10–4 1,325 ·10–3 23,7380781 0,757 9,3743 ·10–4 1,751 1,324 ·10–3
12000 16,4529008 4,33401 ·10–4 2,506 ·10–4 16,4529006 0,904 4,3340 ·10–4 1,903 2,505 ·10–4
16000 12,5183505 2,47361 ·10–4 7,652 ·10–5 12,5183504 0,950 2,4736 ·10–4 1,949 7,648 ·10–5
20000 10,0829896 1,59403 ·10–4 3,165 ·10–5 10,0829896 0,969 1,59403 ·10–4 1,969 3,163 ·10–5
Таблица 3. Значения погрешностей при k == 104 , c == 103
Число
узлов
сетки
αi = kh/6 αi = αmax
errH1 errL2
errC errH1 PH1 errL2
PL2
errC
50 70,6806045 0,39637422 0,9397343 70,6796952 — 0,39144786 — 0,9380290
100 70,5956424 0,20606364 0,8879846 70,5947364 0,002 0,20519266 0,918 0,8870864
200 70,2791033 0,10233391 0,7875732 70,2783298 0,006 0,10222640 0,998 0,7871756
500 68,5240651 0,04032864 0,5495305 68,5235833 0,028 0,04032191 1,012 0,5494171
1000 64,3553520 0,01939295 0,3026373 64,3551361 0,090 0,01939215 1,055 0,3026035
2000 55,3369974 0,00858196 0,0978422 55,3369550 0,218 0,00858188 1,175 0,0978352
4000 40,1131675 0,00315666 0,0156705 40,1131652 0,464 0,00315665 1,442 0,0156696
8000 23,7351649 9,37355 ·10–4 13,292 ·10–4 23,7351648 0,757 9,37354 ·10–4 1,751 13,292 ·10–4
12000 16,4507766 4,33361 ·10–4 25,253 ·10–5 16,4507765 0,904 4,3336 ·10–4 1,903 25,252 ·10–5
16000 12,5167033 2,47339 ·10–4 77,573 ·10–6 12,5167032 0,950 2,47338 ·10–4 1,949 77,569 ·10–6
20000 10,0816509 1,59388 ·10–4 32,340 ·10–6 10,0816509 0,969 1,59388 ·10–4 1,969 32,338 ·10–6
Приложение. Локальная погрешность и монотонность разностных схем МПГ. Опре-
делим локальную погрешность [26] разностной схемы
(Lhy)(xi ) ≡ k
yi+1 − yi−1
2h
− 1 + khαi
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
yi+1 − 2yi + yi−1
h2 +
+ c
1
6
+ αi
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ yi−1 + 2
3
yi + 1
6
− αi
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ yi+1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 957
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
=
1
h
( f , Wi )0 , 1 ≤ i ≤ N , y0 = yN +1 = 0 , (33)
которая получается после применения МПГ (см. следствие 2), предположив при этом (для воз-
можности использования рядов Тейлора), что u ∈C (6)(0; 1) и f ∈C (4)(0; 1) (такую высо-
кую гладкость мы требуем только в данном пункте для обеспечения возможности выписыва-
ния членов O(h4 ) ). Здесь Lh — разностный оператор, определенный соотношением (33) на
пространстве сеточных функций [26]. Под выражением Lhu будем понимать действие данно-
го оператора на (точечную) сеточную проекцию решения u . Воспользовавшись разложения-
ми в ряды Тейлора и теоремой о среднем для оценки интегралов ( f , Wi )0 , после приведения
всех подобных членов получим локальную погрешность аппроксимации ψ(xi ) ≡
≡ ( f , Wi )0/h − (Lhu)(xi ) в узле xi разностной схемы (33) на решении u(x) исходной диф-
ференциальной задачи
ψ(xi ) = kh2
12
− αih
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′f (xi ) + chαi
2
− ckh2
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′u (xi ) +
+
khαi
2
− ch2
12
− k2h2
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′′u (xi ) + O(αih
3 + h4 ) .
Из полученного выражения для ψ(xi ) видим, что при αi = O(h) (см. следствие 8) справед-
ливо ψ(xi ) = O(h2 ) (в том числе это будет, когда αi = α max ). Однако в частном случае при
c = 0 и αi = α max = kh/6 получаем ψ(xi ) = O(h4 ) . Последний факт (для c = 0 ) был
установлен еще Гриффитсом и Лоренцом в [11] (см. также [13] и комментарии в [21] по пово-
ду подобного выбора αi , но уже для случая нестационарных уравнений). Докажем лемму, из
которой будут следовать важные утверждения о качественном поведении аппроксимации
МПГ.
Лемма 6. При выполнении неравенств
−1 − (1 + αi )
kh
2
+ ch2 1
6
+ αi
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≤ 0 , −1 + (1 − αi )
kh
2
+ ch2 1
6
− αi
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≤ 0 (34)
(при 1 ≤ i ≤ N ) матрица Ah , определяемая выражением (8), является M -матрицей [3, 36].
Доказательство. При c = 0 из неравенств (34) следует результирующее условие
αi ≥ 1 − 2/(kh) , при выполнении которого, как показано в [10] (см. лемму 5 в [10]), матрица
Ah является M -матрицей. Значит, для завершения доказательства остается лишь рассмот-
реть случай, когда c > 0 . Отметим, что неравенства (34) обеспечивают выполнение условий
(Ah )i, j ≤ 0 при i ≠ j и, таким образом, необходимые условия, чтобы Ah была M -матри-
цей, выполнены. Далее воспользуемся следующим критерием для M -матриц [36]: некая мат-
рица A = {ai, j}i, j=1
N с ai, j ≤ 0 при i ≠ j является M -матрицей тогда и только тогда, когда
958 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
существует вектор
�
e с положительными компонентами, для которого вектор A
�
e также яв-
ляется вектором с положительными компонентами. Легко видеть, что в данном случае в каче-
стве такого вектора
�
e можно взять вектор
�
e = (1, …, 1)T . Действительно,
(Ah
�
e)1 = 1
h
+ k
2
+ kα1
2
+ 5ch
6
− chα1
4
=
=
1
h
+ k
2
+ kα1
2
− ch
6
− chα1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + ch ≥ 0 + ch > 0 ,
(Ah
�
e)N = 1
h
− k
2
+ kα N
2
+ 5ch
6
+ chα N
4
=
=
1
h
− k
2
+ kα N
2
− ch
6
+ chα N
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + ch ≥ 0 + ch > 0 ,
(Ah
�
e)i = ch > 0 при 1 < i < N . Значит, Ah является M -матрицей.
Лемма доказана.
Замечание 8. Неравенства (34) гарантируют устойчивость решения (в смысле отсутствия
ложных нефизических осцилляций) разностной схемы (33), обеспечивая для нее выполнение
условий разностного принципа максимума (и, соответственно, монотонность) [26]. Отметим,
что при αi = 0 и c = 0 условия (34) приводят к известному условию kh ≤ 2 устойчивости
классического метода Галеркина (см. главу 7 в [37]). Нарушение условий (34) может привести
к возникновению в численном решении больших погрешностей и ложных (нефизических) ос-
цилляций (см. [10], где подробно описан смысл данных условий применительно к уравнению
КД и возникающие последствия при их нарушении).
Замечание 9. С помощью леммы 3 можно получить простую оценку возмущения решения
МПГ в узлах сетки в случае, когда правая часть
�
f (см. следствие 2) вычислена не точно, а с
некоторой погрешностью
�
ε f (например, вследствие применения каких-нибудь квадратурных
формул при вычислении интегралов ( f , Wi )0 ). Действительно, тогда евклидова норма ⋅
вектора возмущения не превышает [23, 36] величину
Ah
−1 ⋅
�
ε f . Если μ(−Ah ) < 0 , то
Ah
−1 ≤ −1/μ(−Ah ) (см. [25]). Теперь если выполняется неравенство
�CAB > 0 (при ξ = 0 и
фиксированном h ), то из свойств 3 и 5 ЛН, равенства Ah = (A1 + A)/h и пункта 3 леммы 3
получаем −μ(−Ah ) = −μ(−A)/h ≥ �CAB/h > 0 , откуда
Ah
−1 ≤ −h/μ(−A) ≤ h/ �CAB .
Замечание 10. Пусть при всех допустимых k и c ( h считаем зафиксированным) вы-
полнены условия теоремы 2, тогда C0(h) ≥ �C0(h) ≡ ξ/ 1 + 3χ . Допустим также, что
�C0(h) > 0 . Тогда если (
�C0(h))−1 = O(k s1 ) (при k → +∞ ) и (
�C0(h))−1 = O(cs2 ) (при
c → +∞ ), то из соотношений C1 = O(k) , C1 = O(c) получаем C1/ �C0(h) = O(k s1+1) и
C1/ �C0(h) = O(cs2 +1) . Отсюда следует, что если s1 + 1 ≤ 0 и s2 + 1 ≤ 0 , то в силу очевидного
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 959
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
неравенства 1 ≤ C1/c2(h) ≤ C1/C0(h) ≤ C1/ �C0(h) (следствие из C1 ≥ c2(h) ≥ C0(h) ≥
≥
�C0(h) ) множители 1 + C1/c2(h) и 1 + C1/C0(h) в оценках теорем 3 и 4 являются ограни-
ченными при неограниченном возрастании k и c (этот же результат был получен в частном
случае для одинаковых αi , см. пункт 2 замечания 5; при этом для s1 и s2 будет
s1 = s2 = −1 ).
Заключение. В данной работе рассматриваются вопросы точности (в пространстве L2 и
соболевском пространстве H 1 ) численного интегрирования стационарного одномерного
уравнения КДР конечноэлементным МПГ с кусочно-линейными базисными функциями и ку-
сочно-квадратичными весовыми функциями типа (1), где каждая функция Wi имеет индиви-
дуальный стабилизирующий параметр αi . Отметим, что результаты и выкладки статьи без
существенных затруднений могут быть перенесены и на другие весовые функции и классы та-
ких функций (например, практически без изменений переносятся на классы весовых функций,
введенные в работах [20, 21]). На основании развиваемого в статье подхода, основанного на
исследовании с помощью аппарата логарифмических норм матричных неравенств специально-
го вида (которые составляются для матриц, порожденных билинейной формой задачи и полу-
нормой ⋅ 1 в пространстве весовых функций (лемма 2), относительно матрицы, порожден-
ной полунормой ⋅ 1 в пространстве базисных функций), для величины c2(h) получены
оценки снизу (теорема 2) в зависимости от выбора набора параметров {αi} , которыми, глав-
ным образом, и определяется погрешность метода при фиксированном пространстве базисных
функций. Выведены оценки точности МПГ в пространствах H 1 (теорема 3) и L2 (теоре-
ма 4). Подробно исследован случай с αi = α = const для уравнения КДР (пункт 5) и резуль-
таты исследований подтверждены расчетными данными (пункт 7).
В настоящей работе коэффициенты k и c в исследуемом уравнении КДР для упроще-
ния выкладок были положены постоянными (что также позволило получить достаточно
,,тонкие” априорные оценки точности МПГ в относительно законченном и явном аналитиче-
ском виде и найти явные выражения для констант, входящих в эти оценки). Соответствующий
одномерный случай с переменными коэффициентами является технически более сложным,
однако развиваемый в работе подход может быть без затруднений принципиального характера
применен к его исследованию (в этом случае при нахождении оценок для c2(h) изменится
только конкретный вид матрицы Ah ). При этом схема рассуждений и доказательств, а также
неравенства (и соответствующие условия теорем), записанные в общем (абстрактном) виде
через логарифмические нормы, останутся в силе. Это же касается и случая использования в
МПГ неравномерных сеток, а также решения многомерных стационарных задач КДР.
Автор выражает глубокую благодарность кандидату техн. наук Сальникову Н. Н. и про-
фессору Молчанову А. А. за плодотворное обсуждение данной работы и ценные замечания к
ней, а также профессору Чертову О. Р. и чл.-кор. НАН Украины Губареву В. Ф. за внимание к
исследованиям автора.
1. Finlayson B. A. Numerical methods for problems with moving fronts. – Seattle, Washington USA: Ravenna Park
Publ., Inc., 1992. – 613 p.
960 С. В. СИРИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
2. Дейнека В. С., Сергиенко И. В., Скопецкий В. В. Математические модели и методы расчета задач с разрыв-
ными решениями. – Киев: Наук. думка, 1995. – 262 с.
3. Roos H.-G., Stynes M., Tobiska L. Robust numerical methods for singularly perturbed differential equations. – Berlin;
Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. – 604 p.
4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 736 с.
5. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. – М.: Либроком,
2009. – 248 с.
6. Grossmann C., Roos H.-G., Stynes M. Numerical treatment of partial differential equations. – Berlin; Heidelberg:
Springer-Verlag, 2007. – 596 p.
7. Fries T. P., Matthies H. G. A review of Petrov – Galerkin stabilization approaches and an extension to Meshfree
methods. – Germany; Brunswick: Techn. Univ. Braunschweig, Informatikbericht-Nr., 2004. – 71 p.
8. Hughes T. J. R., Scovazzi G., Tezduyar T. E. Stabilized methods for compressible flows // J. Sci. Comput. – 2010. –
43. – P. 343 – 368.
9. John V., Schmeyer E. Finite element methods for time-dependent convection-diffusion-reaction equations with small
diffusion // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. – 2008. – 198. – P. 475 – 494.
10. Сирик С. В. Точность и устойчивость метода Петрова – Галеркина при интегрировании стационарного уравне-
ния конвекции-диффузии // Кибернетика и систем. анализ. – 2014. – 50, № 2. – С. 132 – 143.
11. Griffiths D. F., Lorenz J. An analysis of the Petrov – Galerkin finite element method // Comput. Meth. Appl. Mech.
Eng. – 1978. – 14. – P. 39 – 64.
12. Morton K. W. Finite element methods for non-self-adjoint problems // Lect. Notes Math. / Ed. P. R. Turner: Proc.
SERC Summer School, Lancaster (1981). – Berlin: Springer-Verlag, 1982. – 965. – P. 113 – 148.
13. Griffiths D. F. Discretised eigenvalue problems, LBB constants and stabilization // Numer. Anal. – Edinburgh:
Longman, 1996. – P. 57 – 75.
14. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго
порядка. – М.: Наука, 1989. – 464 с.
15. Agmon S. Lectures on elliptic boundary value problems. – Princeton, NJ: Van Nostrand, 1965. – 300 p.
16. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1981. –
216 с.
17. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. – М.: Мир, 1985. – 590 c.
18. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 408 с.
19. Babuska I., Aziz A. K. Survey lectures on the mathematical foundations of the finite element method // The Mathe-
matical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial / Ed. A. K. Aziz. – New York: Acad.
Press, 1972. – P. 2 – 363.
20. Сальников Н. Н., Сирик С. В., Терещенко И. А. О построении конечномерной математической модели процес-
са конвекции-диффузии с использованием метода Петрова – Галеркина // Проблемы управления и информа-
тики. – 2010. – № 3. – С. 94 – 109.
21. Сирик С. В., Сальников Н. Н., Белошапкин В. К. Выбор весовых функций в методе Петрова – Галеркина для
интегрирования линейных одномерных уравнений конвекции-диффузии // Управляющие системы и машины. –
2014. – № 1. – С. 38 – 47.
22. Xu J., Zikatanov L. Some observations on Babuska and Brezzi theories // Numer. Math. – 2003. – 94. – P. 195 – 202.
23. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 655 с.
24. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге – Кутты для жестких нелинейных дифференциальных урав-
нений: Пер. с англ. – М.: Мир, 1988. – 334 с.
25. Desoer C. A., Haneda H. The measure of a matrix as a tool to analyze computer algorithms for circuit analysis //
IEEE Trans. Circ. Theory. – 1972. – 19, № 5. – P. 480 – 486.
26. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. – 2-е изд. – М.: Науч. мир, 2003. –
316 с.
27. Noschese S., Pasquini L., Reichel L. Tridiagonal Toeplitz matrices: properties and novel applications // Numer. Line-
ar Algebra and Appl. – 2013. – 20, № 2. – P. 302 – 326.
28. Brenner S. C., Scott R. The mathematical theory of finite element methods. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag,
2007. – 404 p.
29. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов: Пер. с англ. – М.: Мир,
1983. – 432 с.
30. Bathe K.-J., Hendriana D., Brezzi F., Sangalli G. Inf-sup testing of upwind methods // Int. J. Numer. Meth. Eng. –
2000. – 48. – P. 745 – 760.
31. Sangalli G. Numerical evaluation of finite element methods in convection-diffusion problems // Calcolo. – 2000. –
37. – P. 233 – 251.
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ПЕТРОВА – ГАЛЕРКИНА … 961
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
32. Sangalli G. Numerical evaluation of FEM with application to the 1-D advection-diffusion problem // Math. Models
and Meth. Appl. Sci. – 2002. – 12, № 2. – P. 205 – 228.
33. Buffa A., de Falco C., Sangalli G. Isogeometric analysis: stable elements for the 2D Stokes equation // Int. J. Numer.
Meth. Fluids. – 2011. – 65. – P. 1407 – 1422.
34. Абрамов Є., Квасниця Г., Шинкаренко Г. Частинами квадратичні та кубічні апроксимації h -адаптивного МСЕ
для одновимірних крайових задач // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформатика. – 2011. –
Вип. 17. – С. 47 – 61.
35 Трушевський В. М., Шинкаренко Г. А. Розпаралелена апроксимація еліптичних крайових задач штучною
нейромережею з радіально-базисними функціями // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та
інформатика. – 2014. – Вип. 22. – С. 108 – 117.
36. Berman A., Plemmons R. J. Nonnegative matrices in the mathematical sciences. – Philadelphia: SIAM, 1994. – 340 p.
37. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер. с англ. – М.: Мир, 1988. – 352 с.
Получено 07.11.14,
после доработки — 06.05.15
|
| id | umjimathkievua-article-2034 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:27Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0c/32a99b18553059c90e71c11883dcc90c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20342019-12-05T09:49:13Z Estimation of the Accuracy of Finite-Element Petrov–Galerkin Method in Integrating the One-Dimensional Stationary Convection-Diffusion-Reaction Equation Оценки точности конечноэлементного метода Петрова – Галеркина при интегрировании одномерного стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции Sirik, S. V. Сирик, С. В. Сирик, С. В. The accuracy and convergence of the numerical solutions of a stationary one-dimensional linear convection-diffusion-reaction equation (with Dirichlet boundary conditions) by the Petrov–Galerkin finiteelement method with piecewise-linear basis functions and piecewise-quadratic weighting functions are analyzed and the accuracy estimates of the method are obtained in certain norms depending on the choice of the collection of stabilization parameters of weight functions. Проаналізовано питання точністі та збіжністі чисельних рішень стаціонарного одновимірного лінійного рівняння конвекції-дифузії-реакції (з граничними умовами Діріхле) скінченноелементним методом Петрова-Гальоркіна з кусково-лінійними базисними функціями і кусково-квадратичними ваговими функціями. Отримано оцінки точності методу в кількох нормах залежно від вибору набору стабілізуючих параметрів вагових функцій. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2034 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 7 (2015); 937-961 Український математичний журнал; Том 67 № 7 (2015); 937-961 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2034/1086 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2034/1087 Copyright (c) 2015 Sirik S. V. |
| spellingShingle | Sirik, S. V. Сирик, С. В. Сирик, С. В. Estimation of the Accuracy of Finite-Element Petrov–Galerkin Method in Integrating the One-Dimensional Stationary Convection-Diffusion-Reaction Equation |
| title | Estimation of the Accuracy of Finite-Element Petrov–Galerkin Method in Integrating the One-Dimensional Stationary Convection-Diffusion-Reaction Equation |
| title_alt | Оценки точности конечноэлементного метода Петрова – Галеркина при интегрировании одномерного стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции |
| title_full | Estimation of the Accuracy of Finite-Element Petrov–Galerkin Method in Integrating the One-Dimensional Stationary Convection-Diffusion-Reaction Equation |
| title_fullStr | Estimation of the Accuracy of Finite-Element Petrov–Galerkin Method in Integrating the One-Dimensional Stationary Convection-Diffusion-Reaction Equation |
| title_full_unstemmed | Estimation of the Accuracy of Finite-Element Petrov–Galerkin Method in Integrating the One-Dimensional Stationary Convection-Diffusion-Reaction Equation |
| title_short | Estimation of the Accuracy of Finite-Element Petrov–Galerkin Method in Integrating the One-Dimensional Stationary Convection-Diffusion-Reaction Equation |
| title_sort | estimation of the accuracy of finite-element petrov–galerkin method in integrating the one-dimensional stationary convection-diffusion-reaction equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2034 |
| work_keys_str_mv | AT siriksv estimationoftheaccuracyoffiniteelementpetrovgalerkinmethodinintegratingtheonedimensionalstationaryconvectiondiffusionreactionequation AT siriksv estimationoftheaccuracyoffiniteelementpetrovgalerkinmethodinintegratingtheonedimensionalstationaryconvectiondiffusionreactionequation AT siriksv estimationoftheaccuracyoffiniteelementpetrovgalerkinmethodinintegratingtheonedimensionalstationaryconvectiondiffusionreactionequation AT siriksv ocenkitočnostikonečnoélementnogometodapetrovagalerkinapriintegrirovaniiodnomernogostacionarnogouravneniâkonvekciidiffuziireakcii AT siriksv ocenkitočnostikonečnoélementnogometodapetrovagalerkinapriintegrirovaniiodnomernogostacionarnogouravneniâkonvekciidiffuziireakcii AT siriksv ocenkitočnostikonečnoélementnogometodapetrovagalerkinapriintegrirovaniiodnomernogostacionarnogouravneniâkonvekciidiffuziireakcii |