On a Factorizable Group with Large Cyclic Subgroups in Factors
We prove the supersolvability of a finite factorizable group $G = G_1 G_2 ...G_n$ with pairwise permutable factors each of which has a cyclic subgroup of odd order $H_i$ and $|G_i : H_i | ≤ 2$.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2040 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507956490010624 |
|---|---|
| author | Chirik, I. K. Чирик, И. К. Чирик, И. К. |
| author_facet | Chirik, I. K. Чирик, И. К. Чирик, И. К. |
| author_sort | Chirik, I. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:13Z |
| description | We prove the supersolvability of a finite factorizable group $G = G_1 G_2 ...G_n$ with pairwise permutable factors each of which has a cyclic subgroup of odd order $H_i$ and $|G_i : H_i | ≤ 2$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
И. К. Чирик (Гомел. инж. ин-т МЧС Республики Беларусь)
О ФАКТОРИЗУЕМОЙ ГРУППЕ C БОЛЬШИМИ
ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПОДГРУППАМИ В СОМНОЖИТЕЛЯХ
We prove the supersolvability of a finite factorized group G = G1G2 . . . Gn with pairwise permutable factors each of
which has a cyclic subgroup of odd order Hi and |Gi : Hi| ≤ 2.
Доведенo надрозв’язнiсть скiнченної факторизуємої групи G = G1G2 . . . Gn з попарно переставними спiвмножни-
ками, кожний з яких мiстить циклiчну пiдгрупу Hi непарного порядку та iндексу |Gi : Hi| ≤ 2.
Будем рассматривать только конечные группы. Принятые обозначения стандартны и соответ-
ствуют [1]. Сверхразрешимой называют группу, у которой все главные факторы имеют простые
порядки [1] (VI.8.5).
Б. Хупперт [2] доказал сверхразрешимость группы G = G1G2 . . . Gn при условии, что
каждая подгруппа Gi циклическая и GiGj = GjGi для всех i и j.
В. С. Монахов [3] установил разрешимость группы G = AB, когда подгруппы A и B
содержат циклические подгруппы индексов ≤ 2. Кроме того, он доказал [4] сверхразреши-
мость группы G = AB, если сомножители A и B содержат циклические подгруппы нечетных
порядков и индексов ≤ 2.
Я. Г. Беркович [5] доказал сверхразрешимость группы G = AB нечетного порядка при
условии, что все силовские подгруппы в A и B циклические. Этот результат М. Асаад и
В. С. Монахов [6] перенесли на факторизуемую группу с n сомножителями. Кроме того, для
группы четного порядка они доказали сверхразрешимость группы G = G1G2 . . . Gn, в которой
подгруппы G1, G2, . . . , Gn попарно перестановочны и все силовские подгруппы в них цикли-
ческие, подгруппы G2, G3, . . . , Gn имеют нечетные порядки и для каждого i подгруппы G1 и
Gi m-перестановочны.
В настоящей статье мы переносим результат В. С. Монахова [4] на факторизуемую группу
с n сомножителями. Докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть группа G = G1G2 . . . Gn, где G1, G2, . . . , Gn — попарно перестановочные
подгруппы. Если для каждого i существует циклическая подгруппа нечетного порядка Hi
такая, что Hi ⊆ Gi и |Gi : Hi| ≤ 2, то группа G сверхразрешима.
Доказательству теоремы предпошлем несколько лемм.
Лемма 1 [4] (теорема 2). Если группы G1 и G2 содержат циклические подгруппы нечет-
ных порядков и индексов ≤ 2, то группа G = G1G2 сверхразрешима.
Лемма 2. Пусть p — простое число, A, B и C — подгруппы группы G. Если G = ABC,
где AB, AC и BC — абелевы подгруппы экспоненты, делящей p − 1, то группа G абелева
экспоненты, делящей p− 1.
Доказательство проводится простой проверкой.
Лемма 3 (теорема Машке) [7] (предложение 2). Пусть P — силовская элементарная абе-
лева нормальная подгруппа группы G и P1 — нормальная в G подгруппа из P. Тогда P = P1×P2,
где P2 — также нормальная в G подгруппа из P.
Говорят, что группа G порядка pa11 pa22 . . . pann , p1 > p2 > . . . > pn, имеет силовскую башню
сверхразрешимого типа, если для каждого i в группе G имеется нормальная подгруппа по-
рядка pa11 pa22 . . . paii . Известно, что каждая сверхразрешимая группа имеет силовскую башню
сверхразрешимого типа [1] (VI.9.1).
c© И. К. ЧИРИК, 2015
1006 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
О ФАКТОРИЗУЕМОЙ ГРУППЕ C БОЛЬШИМИ ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПОДГРУППАМИ В СОМНОЖИТЕЛЯХ 1007
Лемма 4 [1] (VI.10.2). Пусть группа G = G1G2 . . . Gn, где G1, G2, . . . , Gn — попарно пе-
рестановочные подгруппы. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если подгруппа GiGj имеет силовскую башню сверхразрешимого типа для любых i и j,
то группа G имеет силовскую башню сверхразрешимого типа;
2) если GiGjGk — сверхразрешимая подгруппа для любых i, j и k, то группа G сверхразре-
шима.
Через F (G) и Φ(G) обозначаются подгруппы Фиттинга и Фраттини группы G, а Op(G) —
наибольшая нормальная p-подгруппа группы G.
Лемма 5. Предположим, что разрешимая группа G не сверхразрешима, но фактор-группа
G/K сверхразрешима для каждой неединичной нормальной в G подгруппы K. Тогда справед-
ливы следующие утверждения:
1) Φ(G) = 1;
2) группа G содержит единственную минимальную нормальную подгруппу N, N = Op(G) =
= F (G) = CG(N) для некоторого простого p.
Доказательство. Подгруппа Фраттини Φ(G) = 1 [1] (VI.8.6). Если N1 и N2 — неединич-
ные нормальные подгруппы группы G, то фактор-группа G/Ni сверхразрешима по условию.
Поскольку прямое произведение сверхразрешимых групп является сверхразрешимой группой,
то G ' (G/N1×G/N2) сверхразрешима. Пришли к противоречию. Значит, в группе есть точно
одна минимальная нормальная подгруппа N. По условию группа G разрешима, поэтому [1]
(III.4.2) подгруппа Фиттинга F (G) = N = Op(G) = CG(N) для некоторого простого p.
Лемма 6 [1] (I.9.6). Если N1 и N2 — нормальные подгруппы группы G, то фактор-группа
G/(N1 ∩N2) изоморфна подгруппе из прямого произведения G/N1 ×G/N2.
Лемма 7 [1] (II.3.10). Пусть A — некоторая неприводимая абелева группа автоморфизмов
p-группы V и |V | = pn. Тогда A — циклическая группа порядка, делящего pn − 1. Кроме того,
n — наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению pn ≡ 1 (mod |A|).
Доказательство теоремы. Предположим, что группа G не сверхразрешима, и применим
индукцию по порядку группы. Из лемм 1 и 4 следует, что n = 3 и группа G = G1G2G3 имеет
силовскую башню сверхразрешимого типа. Ясно, что условия теоремы наследуют все фактор-
группы группы G. Из леммы 5 следует, что подгруппа Фраттини Φ(G) = 1, N = F (G) =
= CG(F (G)) = P — единственная минимальная нормальная в G подгруппа, где P — силовская
p-подгруппа из G и p — наибольший простой делитель порядка группы G.
Предположим, что G1G2P = G. Тогда (G1G2)∩P нормальна в G. Так как P — единственная
минимальная нормальная в G подгруппа, то P ⊆ G1G2 или (G1G2) ∩ P = 1. Если P ⊆ G1G2,
то G = G1G2 и G сверхразрешима по лемме 1, что противоречит нашему предположению. Если
(G1G2)∩P = 1, то G1G2 — p′-холлова подгруппа из G и P ⊆ G3. Поскольку p > 2, то P ⊆ H3
и |P | = p. Теперь группа G сверхразрешима, что невозможно по нашему предположению.
Поэтому G1G2P 6= G. Аналогично G1G3P 6= G и G2G3P 6= G.
По тождеству Дедекинда
G1G2P = G1G2(G3 ∩G1G2P ), G1G3 ∩G1G2P = G1(G3 ∩G1G2P ),
G2G3 ∩G1G2P = G2(G3 ∩G1G2P ),
поэтому группа G1G2P является произведением трех попарно перестановочных подгрупп G1,
G2 и G3∩G1G2P. По индукции G1G2P сверхразрешима. Аналогично G1G3P и G2G3P сверх-
разрешимы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
1008 И. К. ЧИРИК
Поскольку G1G2P сверхразрешима и P — нормальная элементарная абелева силовская p-
подгруппа, то по лемме 3 подгруппа P = N1 × R1, где N1, R1 — нормальные подгруппы в
G1G2P и N1 — подгруппа простого порядка. Пусть N2 — минимальная нормальная в G1G2P
подгруппа из R1. Тогда |N2| = p и, применяя теорему Машке к группе G1G2R1, получаем
R1 = N2 × R2, где R2 — нормальная в G1G2R1 подгруппа и R2 нормальна в G1G2P в силу
абелевости подгруппы P. Выберем в R2 минимальную нормальную в G1G2P подгруппу N3 и
т. д. Через конечное число шагов получим
P = N1 ×N2 × . . .×Nt, |Nj | = p, j = 1, . . . , t,
где все Nj нормальны в G1G2P. Фактор-группа G1G2P/CG1G2P (Nj) изоморфна подгруппе Uj
из AutNj , которая является циклической группой порядка p − 1. По лемме 6 фактор-группа
G1G2P/
⋂t
j=1
CG1G2P (Nj) изоморфна подгруппе из группы U1 × U2 × . . .× Ut. Поскольку
t⋂
j=1
CG1G2P (Nj) = CG1G2P (P ) = P,
то G1G2P/P является абелевой группой экспоненты, делящей p − 1. Аналогично, группы
G1G3P/P и G2G3P/P абелевы экспоненты, делящей p− 1.
По лемме 2 фактор-группа G/P будет абелевой экспоненты, делящей p−1. Согласно лемме
7 фактор-группа G/P является циклической и |P | = p. Но теперь группа G сверхразрешима.
Противоречие с предположением.
Теорема доказана.
Пример. В GL(2, 7) есть неабелева подгруппа S3 порядка 6, неприводимо действующая
на элементарной абелевой группе E72 порядка 49. Поэтому существует несверхразрешимая
группа G = [E72 ]S3, она имеет номер (294,9) в библиотеке AllSmallGroups [8]. Эта группа
допускает факторизацию G = G1G2, |G1| = 14, |G2| = 21. Поэтому в теореме увеличить
индексы подгрупп Hi до 3 нельзя.
1. Huppert B. Endliche Gruppen I. – Berlin etc.: Springer, 1967.
2. Huppert B. Über das Produkt von paarweise vertauschbaren zyklischen Gruppen // Math. Z. – 1953. – 58. – S. 243 –
264.
3. Монахов В. С. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса ≤ 2 //
Мат. заметки. – 1974. – 16, № 2. – С. 285 – 295.
4. Монахов В. С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весцi АН Беларусi. Сер.
фiз.-мат. навук. – 1996. – № 3. – С. 22 – 24.
5. Беркович Я. Г. О разрешимых группах конечного порядка // Мат. сб. – 1967. – 74 (116), № 1. – C. 75 – 92.
6. Asaad M., Monakhov V. S. Some sufficient conditions for a finite group to be supersolvable // Acta Math. hung. –
2012. – 135, № 1-2. – P. 168 – 173.
7. Белоногов В. А., Фомин А. Н. Матричные представления в теории конечных групп. – М.: Наука, 1976.
8. The GAP Group // GAP – Groups, Algorithms, and Programming. – Version 4.4.12 [Электронный ресурс]. 2009.
Режим доступа: http://www.gap-system.org.
Получено 14.07.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2040 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:33Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fb/a8b4663d1829421d4978da560592b9fb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20402019-12-05T09:49:13Z On a Factorizable Group with Large Cyclic Subgroups in Factors О факторизуемой группе c большими циклическими подгруппами в сомножителях Chirik, I. K. Чирик, И. К. Чирик, И. К. We prove the supersolvability of a finite factorizable group $G = G_1 G_2 ...G_n$ with pairwise permutable factors each of which has a cyclic subgroup of odd order $H_i$ and $|G_i : H_i | ≤ 2$. Доведено надрозв'язність скінченної факторизуємої групи $G = G_1 G_2 ...G_n$ з попарно переставними співмножниками, кожний з яких містить циклічну пiдгрупу $H_i$ непарного порядку та індексу $|G_i : H_i | ≤ 2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2040 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 7 (2015); 1006-1008 Український математичний журнал; Том 67 № 7 (2015); 1006-1008 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2040/1097 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2040/1098 Copyright (c) 2015 Chirik I. K. |
| spellingShingle | Chirik, I. K. Чирик, И. К. Чирик, И. К. On a Factorizable Group with Large Cyclic Subgroups in Factors |
| title | On a Factorizable Group with Large Cyclic Subgroups in Factors |
| title_alt | О факторизуемой группе c большими циклическими подгруппами в сомножителях |
| title_full | On a Factorizable Group with Large Cyclic Subgroups in Factors |
| title_fullStr | On a Factorizable Group with Large Cyclic Subgroups in Factors |
| title_full_unstemmed | On a Factorizable Group with Large Cyclic Subgroups in Factors |
| title_short | On a Factorizable Group with Large Cyclic Subgroups in Factors |
| title_sort | on a factorizable group with large cyclic subgroups in factors |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2040 |
| work_keys_str_mv | AT chirikik onafactorizablegroupwithlargecyclicsubgroupsinfactors AT čirikik onafactorizablegroupwithlargecyclicsubgroupsinfactors AT čirikik onafactorizablegroupwithlargecyclicsubgroupsinfactors AT chirikik ofaktorizuemojgruppecbolʹšimicikličeskimipodgruppamivsomnožitelâh AT čirikik ofaktorizuemojgruppecbolʹšimicikličeskimipodgruppamivsomnožitelâh AT čirikik ofaktorizuemojgruppecbolʹšimicikličeskimipodgruppamivsomnožitelâh |