Exact Values of Kolmogorov Widths for the Classes of Analytic Functions. II
It is shown that the lower bounds of the Kolmogorov widths $d_{2n}$ in the space $C$ established in the first part of our work for the function classes that can be represented in the form of convolutions of the kernels $${H}_{h,\beta }(t)={\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{ \cosh kh} \cos \...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2041 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507956341112832 |
|---|---|
| author | Bodenchuk, V. V. Serdyuk, A. S. Боденчук, В. В. Сердюк, А. С. |
| author_facet | Bodenchuk, V. V. Serdyuk, A. S. Боденчук, В. В. Сердюк, А. С. |
| author_sort | Bodenchuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:28Z |
| description | It is shown that the lower bounds of the Kolmogorov widths $d_{2n}$ in the space $C$ established in the first part of our work for the function classes that can be represented in the form of convolutions of the kernels
$${H}_{h,\beta }(t)={\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{ \cosh kh} \cos \left(kt-\frac{\beta \pi }{2}\right),\kern1em h>0,\kern1em \beta \in \mathbb{R},}$$
with functions $φ ⊥ 1$ from the unit ball in the space $L_{∞}$ coincide (for all $n ≥ nh$) with the best uniform approximations of these classes by trigonometric polynomials whose order does not exceed $n − 1$.
As a result, we obtain the exact values of widths for the indicated classes of convolutions. Moreover, for all $n ≥ nh$, we determine the exact values of the Kolmogorov widths $d_{2n-1}$ in the space $L_1$ of classes of the convolutions of functions $φ ⊥ 1$ from the unit ball in the space $L_1$ with the kernel $H_{h,β}$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
В. В. Боденчук, А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ
КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. II
It is shown that the lower bounds in the space C established in the first part of our work for the Kolmogorov widths d2n
of the functional classes representable in the form of convolutions of the kernels
Hh,β(t) =
∞∑
k=1
1
ch kh
cos
(
kt− βπ
2
)
, h > 0, β ∈ R,
with functions ϕ ⊥ 1 from the unit ball in the space L∞ coincide (for all n > nh) with the best uniform approximations
by trigonometric polynomials whose order is not greater than n − 1 for these classes. As a result, we obtain the exact
values for the widths of the indicated classes of convolutions. Moreover, for all n > nh we establish the exact values of
the Kolmogorov widths d2n−1 in the space L1 of classes of convolutions of the functions ϕ ⊥ 1 from the unit ball in the
space L1 with kernel Hh,β .
Показано, что установленные в первой части работы оценки снизу колмогоровских поперечников d2n в пространстве
C для всех n > nh функциональных классов, которые представимы свертками ядер
Hh,β(t) =
∞∑
k=1
1
ch kh
cos
(
kt− βπ
2
)
, h > 0, β ∈ R,
с функциями ϕ ⊥ 1, принадлежащими единичному шару пространства L∞, совпадают с наилучшими равномер-
ными приближениями указанных классов тригонометрическими полиномами порядка, не превышающего n − 1.
Как следствие, найдены точные значения поперечников указанных классов сверток. Найдены также точные зна-
чения поперечников d2n−1 в пространстве L1 для всех n > nh классов сверток функций ϕ ⊥ 1, принадлежащих
единичному шару пространства L1, с ядром Hh,β .
Дана робота є продовженням статтi [1] i має спiльнi з нею позначення, нумерацiю пунктiв, тео-
рем, лем та формул. У нiй розв’язується задача про знаходження точних значень найкращих на-
ближень En(Chβ,∞)C i En(Chβ,1)L та точних значень поперечникiв d2n(Chβ,∞, C), d2n−1(C
h
β,∞, C)
i d2n−1(Chβ,1, L) для довiльних h > 0, β ∈ R та всiх натуральних n, бiльших за деякий номер,
що залежить лише вiд параметра h.
4. Оцiнки найкращих наближень класiв згорток тригонометричними полiномами. По-
значивши через T2n−1 пiдпростiр тригонометричних полiномiв tn−1 порядку n− 1, розглянемо
величину найкращого наближення центрально-симетричної множини N у банаховому просторi
X ⊂ L :
En(N)X = sup
f∈N
inf
tn−1∈T2n−1
‖f − tn−1‖X , N ⊂ X ⊂ L. (90)
Iз означення колмогоровського поперечника i (90) випливає, що при всiх n ∈ N
d2n−1(N, X) 6 En(N)X , N ⊂ X ⊂ L. (91)
З робiт Н. I. Ахiєзера [2] та С. М. Нiкольського [3] випливає, що при β = 2l, l ∈ Z, i
довiльних h > 0 та n ∈ N виконуються рiвностi
c© В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8 1011
1012 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
En(Chβ,∞)C = En(Chβ,1)L = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C =
4
π
∞∑
ν=0
(−1)ν
(2ν + 1) ch((2ν + 1)nh)
,
де
ϕn(t) := sign sinnt. (92)
У даному пунктi ми покажемо, що при довiльних β ∈ R точнi значення величин En(Chβ,∞)C
таEn(Chβ,1)L для всiх номерiв n, починаючи з деякого n∗h, можна одержати на основi результатiв
роботи [4]. При цьому виявляється, що для всiх зазначених n рiвностi
En(Chβ,∞)C = En(Chβ,1)L = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C
залишаються правильними при довiльних β ∈ R.
Для кожного фiксованого h > 0 покладемо
n∗h =
1, якщо h > ln
10
3
,
n∗∗h , якщо 0 < h < ln
10
3
,
де n∗∗h — найменше натуральне число, для якого виконується нерiвнiсть
(1− e−h)2 >
5 + 3e−2h
1− e−2h
(
1 + e−2h
2
)2n
√
1−
(
1 + e−2h
2
)2n
+ (2 + e−2nh)e−2nh. (93)
Має мiсце таке твердження.
Теорема 3. Нехай h > 0 i β ∈ R. Тодi для всiх номерiв n таких, що n > n∗h, виконуються
рiвностi
En(Chβ,∞)C = En(Chβ,1)L = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C =
=
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
1
(2ν + 1) ch((2ν + 1)nh)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ , (94)
в яких ϕn(t) — функцiя вигляду (92), а θn = θn(h, β) — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння
∞∑
ν=0
1
ch((2ν + 1)nh)
cos
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)
= 0. (95)
Доведення. В роботi [4] встановлено, що якщо послiдовнiсть коефiцiєнтiв ψ(k) ядра Ψβ
вигляду
Ψβ(t) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
,
яке породжує класи Cψβ,p, p = 1,∞, задовольняє умову Даламбера Dq:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. II 1013
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q, q ∈ (0, 1), ψ(k) > 0,
то знайдеться номер n0 такий, що для будь-якого натурального n > n0 мають мiсце рiвностi
En(Cψβ,∞)C = En(Cψβ,1)L = ‖Ψβ ∗ ϕn‖C =
=
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
ψ((2ν + 1)n)
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ , (96)
в яких θn = θn(ψ, β) — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння
∞∑
ν=0
ψ((2ν + 1)n) cos
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)
= 0.
При цьому (див. [4, с. 188 – 190]) номер n0 означається конструктивно як найменше натуральне
число, для якого виконуються нерiвностi
(1− q)2 > 5 + 3q2
1− q2
(
1 + q2
2
)2n
√
1−
(
1 + q2
2
)2n
+ εn(2 + εn), n = n0, n0 + 1, . . . , (97)
де
εn = εn(ψ) := sup
k>n
∣∣∣∣ψ(k + 1)
ψ(k)
− q
∣∣∣∣ . (98)
Крiм того, згiдно з теоремою 2 роботи [4], рiвностi (96) справджуються для всiх β ∈ R i
n ∈ N за умови, що
ψ(k + 1)
ψ(k)
< ρ∗, k = 1, 2, . . . , де ρ∗ = 0,3253678 . . . — корiнь рiвняння
2ρ+
(1 + 3ρ)ρ2
(1− ρ)
√
1− 2ρ2
= 1
на iнтервалi (0,1).
Оскiльки коефiцiєнти ψ(k) =
1
ch kh
ядра Hh,β(t) задовольняють умову Dq при q = e−h
i вiдношення
ψ(k + 1)
ψ(k)
=
ch kh
ch(k + 1)h
= q
1 + q2k
1 + q2k+2
утворює спадну послiдовнiсть, то при
q ∈
(
0,
3
10
]
ψ(k + 1)
ψ(k)
6 q
1 + q2
1 + q4
6 0,3253678, k = 1, 2, . . . .
Отже, якщо h > ln
10
3
, то рiвностi (94) виконуються для всiх n ∈ N. При ψ(k) =
1
ch kh
для
величин εn = εn(ψ) вигляду (98) мають мiсце спiввiдношення
εn = q2k+1 1− q2
1 + q2k+2
< q2k+1, q = e−h.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1014 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
Тому виконання нерiвностi (93) гарантує виконання умови (97), а отже, згiдно з [4], i рiвностей
(94) для всiх номерiв n таких, що n > n∗∗h .
Теорему доведено.
5. Точнi значення колмогоровських поперечникiв. Нагадаємо, що для кожного фiксо-
ваного h > 0 через nh ми позначали найменший iз номерiв n > 9, для якого виконується
нерiвнiсть
37
5(1− e−h)
e−h
√
n +
e−h
(1− e−h)2
min
{
160
27(n−
√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
6
6
(
1
2
+
1
(1− e−h) chh
)(
1− e−h
1 + e−h
) 4
1−e−2h
.
У прийнятих позначеннях має мiсце наступне твердження.
Теорема 4. Нехай h > 0, β ∈ R. Тодi для всiх номерiв n таких, що n > nh, справджуються
рiвностi
d2n(Chβ,∞, C) = d2n−1(C
h
β,∞, C) = d2n−1(C
h
β,1, L) =
= En(Chβ,∞)C = En(Chβ,1)L = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C =
=
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
1
(2ν + 1) ch((2ν + 1)nh)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ , (99)
де θn = θn(h, β) — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння (95).
Доведення. З теорем 2 та 3, а також iз спiввiдношення (91) випливає, що рiвностi (99) мають
мiсце для всiх номерiв n > max{n∗h, nh}.
Покажемо, що nh > n∗h. При h > ln
10
3
вказана нерiвнiсть є очевидною, оскiльки в цьому
випадку n∗h = 1. Тому залишилося переконатись, що при h ∈
(
0, ln
10
3
)
nh > n∗h = n∗∗h .
Покладемо, як i ранiше, q = e−h. Тодi для доведення теореми достатньо показати, що при
q ∈
(
3
10
, 1
)
i n > 9 з нерiвностi
37
5(1− q)
q
√
n +
q
(1− q)2
min
{
160
27(n−
√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
6
6
(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
)(
1− q
1 + q
) 4
1−q2
(100)
випливає нерiвнiсть
(1− q)2 > 5 + 3q2
1− q2
(
1 + q2
2
)2n
√
1−
(
1 + q2
2
)2n
+ (2 + q2n)q2n. (101)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. II 1015
Як доведено в [5, с. 106], при n > 9 i q ∈ (0, 1) з умови (89) випливає нерiвнiсть
n >
160q
57(1− q)2
(
1 + q
1− q
)3
.
Оскiльки
160q
57(1− q)2
(
1 + q
1− q
)3
>
8q(1 + q)
3(1− q)5
,
то з урахуванням очевидної iмплiкацiї (100) ⇒ (91) одержуємо, що з умови (100) при n > 9 i
q ∈ (0, 1) випливає нерiвнiсть
n >
8q(1 + q)
3(1− q)5
. (102)
Покажемо, що при q ∈
(
3
10
, 1
)
iз (102) випливає нерiвнiсть
n >
5
1− q2
ln
2
1− q
. (103)
Розглянемо рiзницю
v(q) =
8q(1 + q)
3(1− q)5
− 5
1− q2
ln
2
1− q
, q ∈
[
3
10
, 1
)
. (104)
Похiдна цiєї функцiї зростає i має вигляд
v′(q) =
8(1 + 6q + 3q2)
3(1− q)6
− 5
(1 + q)(1− q)2
(
2q
1 + q
ln
2
1− q
+ 1
)
. (105)
Iз вiдомого розкладу (див., наприклад, [6, с. 58])
ln t =
∞∑
k=1
1
k
(
t− 1
t
)k
, t >
1
2
, (106)
при t =
2
1− q
можемо записати оцiнку
ln
2
1− q
=
∞∑
k=1
1
k
(
1 + q
2
)k
<
∞∑
k=1
(
1 + q
2
)k
=
1 + q
1− q
. (107)
З огляду на (105) i (107) одержуємо
v′(q) >
8(1 + 6q + 3q2)
3(1− q)6
− 5
(1− q)3
.
Оскiльки v′(q) зростає i v′
(
3
10
)
> 0, то v′(q) > 0, q ∈
[
3
10
, 1
)
. Отже, v(q) також зростає
на промiжку
[
3
10
, 1
)
, а тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1016 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
v(q) > v
(
3
10
)
> 0, q ∈
[
3
10
, 1
)
. (108)
Iз (104) i (108) випливає, що при q ∈
(
3
10
, 1
)
(102)⇒ (103).
Нам залишилося довести iмплiкацiю (103)⇒ (101).
Записавши ланцюжок очевидних спiввiдношень
5 ln
2
1− q
> ln
16
(1− q)5
> ln
2(5 + 3q2)
(1− q2)(1− q)
+ 3
(1− q)2
> ln
5 + 3q2
1− q2
2√
3(1− q2)
+ 3
(1− q)2
i врахувавши нерiвнiсть
ln
2
1 + q2
>
1− q2
2
,
яка безпосередньо випливає з розкладу (106) при t =
2
1 + q2
, з (103) отримуємо
n >
1
2 ln
1 + q2
2
ln
5 + 3q2
1− q2
2√
3(1− q2)
+ 3
(1− q)2
.
Остання нерiвнiсть рiвносильна нерiвностi
(1− q)2 > 5 + 3q2
1− q2
(
1 + q2
2
)2n
√
1−
(
1 + q2
2
)2
+ 3
(
1 + q2
2
)2n
. (109)
Оскiльки 3
(
1 + q2
2
)2n
> (2 + q2n)q2n, то з (109) випливає (101). Таким чином,
(100)⇒ (102)⇒ (103)⇒ (101).
Теорему доведено.
При β = 2l − 1, l ∈ Z, iз теореми 4 одержуємо наступне твердження.
Наслiдок 1. Нехай h > 0, β = 2l − 1, l ∈ Z. Тодi для всiх номерiв n таких, що n > nh,
виконуються рiвностi
d2n(Chβ,∞, C) = d2n−1(C
h
β,∞, C) = d2n−1(C
h
β,1, L) = En(Chβ,∞)C =
= En(Chβ,1)L = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C =
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
1
(2ν + 1) ch((2ν + 1)nh)
∣∣∣∣∣ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. II 1017
З теореми 4 легко одержати асимптотичнi при n→∞ оцiнки поперечникiв d2n(Chβ,∞, C),
d2n−1(C
h
β,∞, C) та d2n−1(Chβ,1, L).
Теорема 5. Нехай h > 0 та β ∈ R. Тодi при n > nh
d2n(Chβ,∞, C) = d2n−1(C
h
β,∞, C) = d2n−1(C
h
β,1, L) = En(Chβ,∞)C =
= En(Chβ,1)L =
1
chnh
(
4
π
+ γn
e−2nh
1− e−2nh
)
, (110)
де |γn| 6
28
3π
.
Доведення. Знайдемо двостороннi оцiнки правої частини формули (99). Оскiльки∣∣∣∣∣
∞∑
ν=1
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ 6
6
∞∑
ν=1
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
6
2
3(1 + q2n)
q3n
1− q2n
, n ∈ N,
то, враховуючи (54), для довiльних n ∈ N, q ∈ (0, 1) i β ∈ R одержуємо∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ >
>
2qn
1 + q2n
− 2qn
1 + q2n
(
1− | sin(θnπ −
βπ
2
)|
)
−
−
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=1
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ >
>
2qn
1 + q2n
(
1− 7
3
q2n
1− q2n
)
, (111)
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ 6
6
2qn
1 + q2n
+
2qn
1 + q2n
(
1− | sin(θnπ −
βπ
2
)|
)
+
+
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=1
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ 6
6
2qn
1 + q2n
(
1 +
7
3
q2n
1− q2n
)
. (112)
З теореми 4 та оцiнок (111) i (112) випливає, що при n > nh виконується (110).
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1018 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
1. Сердюк А. С., Боденчук В. В. Точнi оцiнки колмогоровських поперечникiв класiв аналiтичних функцiй. I //
Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 6. – С. 719 – 738.
2. Ахиезер Н. И. О наилучшем приближении аналитических функций // Докл. АН. – 1938. – 18, № 4–5. –
C. 241 – 245.
3. Никольский С. М. Приближения функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1946. – 10. – С. 207 – 256.
4. Сердюк А. С. Про найкраще наближення на класах згорток перiодичних функцiй // Теорiя наближення функцiй
та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 35. – С. 172 – 194.
5. Serdyuk A. S., Bodenchuk V. V. Exact values of Kolmogorov widths of classes of Poisson integrals // J. Approxim.
Theory. – 2013. – 173, № 9. – P. 89 – 109.
6. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений: 4-е изд. – М.: Наука,
1963. – 1100 с.
Одержано 11.08.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2041 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:33Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a5/485a47d3dc30da5d2d13f9db431367a5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20412019-12-05T09:49:28Z Exact Values of Kolmogorov Widths for the Classes of Analytic Functions. II Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II Bodenchuk, V. V. Serdyuk, A. S. Боденчук, В. В. Сердюк, А. С. It is shown that the lower bounds of the Kolmogorov widths $d_{2n}$ in the space $C$ established in the first part of our work for the function classes that can be represented in the form of convolutions of the kernels $${H}_{h,\beta }(t)={\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{ \cosh kh} \cos \left(kt-\frac{\beta \pi }{2}\right),\kern1em h>0,\kern1em \beta \in \mathbb{R},}$$ with functions $φ ⊥ 1$ from the unit ball in the space $L_{∞}$ coincide (for all $n ≥ nh$) with the best uniform approximations of these classes by trigonometric polynomials whose order does not exceed $n − 1$. As a result, we obtain the exact values of widths for the indicated classes of convolutions. Moreover, for all $n ≥ nh$, we determine the exact values of the Kolmogorov widths $d_{2n-1}$ in the space $L_1$ of classes of the convolutions of functions $φ ⊥ 1$ from the unit ball in the space $L_1$ with the kernel $H_{h,β}$. Показано, что установленные в первой части работы оценки снизу колмогоровских поперечников $d_{2n}$ в пространстве $C$ для всех $n ≥ nh$ функциональных классов, которые представимы свертками ядер $${H}_{h,\beta }(t)={\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{ \cosh kh} \cos \left(kt-\frac{\beta \pi }{2}\right),\kern1em h>0,\kern1em \beta \in \mathbb{R},}$$ с функциями $φ ⊥ 1$, принадлежащими единичному шару пространства совпадают с наилучшими равномерными приближениями указанных классов тригонометрическими полиномами порядка, не превышающего $n − 1$. Как следствие, найдены точные значения поперечников указанных классов сверток. Найдены также точные значения поперечников $d_{2n-1}$ в пространстве $L_1$ для всех $n ≥ nh$ классов сверток функций $φ ⊥ 1$, принадлежащих единичному шару пространства $L_1$, с ядром $H_{h,β}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2041 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 8 (2015); 1011-1018 Український математичний журнал; Том 67 № 8 (2015); 1011-1018 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2041/1099 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2041/1100 Copyright (c) 2015 Bodenchuk V. V.; Serdyuk A. S. |
| spellingShingle | Bodenchuk, V. V. Serdyuk, A. S. Боденчук, В. В. Сердюк, А. С. Exact Values of Kolmogorov Widths for the Classes of Analytic Functions. II |
| title | Exact Values of Kolmogorov Widths for the Classes of Analytic Functions. II |
| title_alt | Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II |
| title_full | Exact Values of Kolmogorov Widths for the Classes of Analytic Functions. II |
| title_fullStr | Exact Values of Kolmogorov Widths for the Classes of Analytic Functions. II |
| title_full_unstemmed | Exact Values of Kolmogorov Widths for the Classes of Analytic Functions. II |
| title_short | Exact Values of Kolmogorov Widths for the Classes of Analytic Functions. II |
| title_sort | exact values of kolmogorov widths for the classes of analytic functions. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2041 |
| work_keys_str_mv | AT bodenchukvv exactvaluesofkolmogorovwidthsfortheclassesofanalyticfunctionsii AT serdyukas exactvaluesofkolmogorovwidthsfortheclassesofanalyticfunctionsii AT bodenčukvv exactvaluesofkolmogorovwidthsfortheclassesofanalyticfunctionsii AT serdûkas exactvaluesofkolmogorovwidthsfortheclassesofanalyticfunctionsii AT bodenchukvv točníocínkikolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívanalítičnihfunkcíjii AT serdyukas točníocínkikolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívanalítičnihfunkcíjii AT bodenčukvv točníocínkikolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívanalítičnihfunkcíjii AT serdûkas točníocínkikolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívanalítičnihfunkcíjii |