Potential Method in the Limit Problems for the Processes with Independent Increments
We propose a new approach to the application of the Korolyuk potential method for the investigation of limit functionals for processes with independent increments. The formulas for the joint distribution of functionals related to crossing a level by the process are obtained and their asymptotic anal...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2042 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507958452944896 |
|---|---|
| author | Bratiichuk, N. S. Братійчук, М. С. |
| author_facet | Bratiichuk, N. S. Братійчук, М. С. |
| author_sort | Bratiichuk, N. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:28Z |
| description | We propose a new approach to the application of the Korolyuk potential method for the investigation of limit functionals for processes with independent increments. The formulas for the joint distribution of functionals related to crossing a level by the process are obtained and their asymptotic analysis is performed. The possibility of crossing a level by the process in a continuous way is also investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
М. С. Братiйчук (Шльон. техн. ун-т, Iн-т математики, Глiвiце, Польща)
МЕТОД ПОТЕНЦIАЛУ В ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧАХ
ДЛЯ ПРОЦЕСIВ З НЕЗАЛЕЖНИМИ ПРИРОСТАМИ
We propose a new approach to the application of the Korolyuk potential method in the study of boundary functionals for
processes with independent increments. The formulas for the joint distribution of functionals related to crossing of a level
are obtained and their asymptotic analyses are performed. The possibility of crossing a level by the process in a continuous
way is also investigated.
Предложен новый подход к использованию метода потенциала Королюка при исследовании граничных функциона-
лов для процессов с независимыми приращениями. Получены формулы для совместного распределения функцио-
налов, связанных с достижением процессом уровня, и проведен их асимптотический анализ. Изучена возможность
пересечения процессом уровня непрерывным образом.
Вступ. Розглянемо однорiдний процес з незалежними приростами ξ(t), t ≥ 0, ξ(0) = 0,
неперервними справа траєкторiями та кумулянтою
k(s) = lnEe−sξ(1) =
bs2
2
− as+
∞∫
−∞
(
e−sx − 1 +
sx
1 + x2
)
Π{dx}, Re s = 0,
де b ≥ 0, a ∈ (−∞;∞) i Π{·} — мiрa стрибкiв. Для x > 0 позначимо
τ(x) = inf{t > 0 : ξ(t) > x}, γ±(x) = ±ξ(τ(x)±)∓ x. (1)
Цi функцiонали були предметом дослiдження у багатьох роботах. У випадку, коли процес є
напiвнеперервним, тобто має стрибки лише одного знака, добре працюють прямi ймовiрнiснi
методи, i в цьому випадку можна отримати формули для характеристичних функцiй наведених
функцiоналiв (див, наприклад, [1 – 3]). Для цього класу процесiв у роботах [4, 5] було запро-
поновано iнший пiдхiд, який було названо методом потенцiалу. Суттєвою перевагою цього
методу є те, що, по-перше, дослiдження рiзних функцiоналiв проводиться за стандартним ал-
горитмом, а по-друге, зображення для шуканих характеристик записуються у виглядi, який є
зручним для асимптотичного аналiзу.
В загальному випадку, тобто без умови напiвнеперервностi, використовується фактори-
зацiйний метод i з його допомогою отримано формули для подвiйних перетворень Лапласа
сумiсних розподiлiв функцiоналiв з (1), якi є вiдомими (див., наприклад, працi [6 – 8] та наведе-
ну в них бiблiографiю). Цi формули записуються в термiнах компонент нескiнченно подiльної
факторизацiї (див. формулу (2) нижче) i, як правило, вони не є зручними для асимптотичного
аналiзу самих розподiлiв. Тому абсолютно природно постає питання про поширення методу
потенцiалу на цей випадок з тим, щоб використати його переваги при асимптотичному аналi-
зi. Перший крок у цьому напрямку було зроблено у статтi [9], в якiй при деяких додаткових
умовах на процес було отримано зображення для резольвенти процесу з незалежними при-
ростами з обривом на пiвосi, яке є центральним у методi потенцiалу. Зв’язок з граничними
функцiоналами з (1), як i у випадку напiвнеперервного процесу, досягався за допомогою вi-
домої формули Динкiна [10, c. 190]. У статтях [11 – 13] отримано зображення резольвенти для
c© М. С. БРАТIЙЧУК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8 1019
1020 М. С. БРАТIЙЧУК
загального процесу з незалежними приростами, тобто без жодних додаткових умов, але дослi-
дження конкретних функцiоналiв все-таки вимагало деяких додаткових обмежень на процес.
Результати цих дослiджень викладено у монографiї [14].
У данiй статтi запропоновано деяку модифiкацiю методу потенцiалу Королюка, який базу-
ється на результатах з [12, 13] та компенсацiйнiй формулi [15]. Це дозволяє отримати формули
для сумiсних розподiлiв функцiоналiв з (1) без жодних додаткових умов на процес ξ(t) i зберег-
ти при цьому головну перевагу методу потенцiалу, тобто отримати вказанi формули у виглядi,
який є зручним для асимптотичного аналiзу. Такий аналiз проведено для функцiоналiв γ±(x)
у випадку 0 < m = Eξ(1) ≤ ∞. Також узагальнено деякi результати з [15] щодо можливостi
неперервного перетину процесом фiксованого рiвня.
1. Допомiжнi результати. У цьому пунктi ми наведемо необхiднi для подальшого допомiж-
нi результати, частина з яких є вiдомими. Позначимо
F−(x, λ) = −λ
∞∫
0
e−λtP
{
inf
u≤t
ξ(s) ≥ x
}
dt, x ≤ 0,
F+(x, λ) = λ
∞∫
0
e−λtP
{
sup
u≤t
ξ(s) < x
}
dt, x ≥ 0.
Для Re s = 0, λ > 0 справджується рiвнiсть, яка вiдома пiд назвою тотожностi нескiнченно
подiльної факторизацiї:
λ
λ− k(s)
=
∞∫
−0
e−sxdF+(x, λ)
+0∫
−∞
e−sxdF−(x, λ). (2)
Через B+(ε), B−(ε), ε > 0, позначимо борелiвськi σ-алгебри пiдмножин з (ε,∞) та
(−∞,−ε) вiдповiдно. Для λ > 0 означимо мiру Q±{·, λ} таким чином:
Q±{A, λ} = ±λ−1
±0∫
∓∞
Π{Ay}dF∓(y, λ), A ∈ B±(0),
де Ay = {z : z = x− y, x ∈ A}.
Теорема 1 [12]. Для довiльного процесу з незалежними приростами ξ(t) iснують числа
0 ≤ β+(λ) <∞, −∞ < β−(λ) ≤ 0 такi, що
∞∫
−0
e−sxdF+(x, λ) =
1−
∞∫
0
(e−sx − 1)Q+{dx, λ}+ β+(λ)s
−1 , (3)
+0∫
−∞
e−sxdF−(x, λ) =
1−
+0∫
−∞
(e−sx − 1)Q−{dx, λ}+ β−(λ)s
−1 . (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
МЕТОД ПОТЕНЦIАЛУ В ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПРОЦЕСIВ З НЕЗАЛЕЖНИМИ ПРИРОСТАМИ 1021
Позначимо
k±(s, λ) =
±∞∫
0
(e−sx − 1)Q±{dx, λ} − β±(λ)s.
Цi функцiї є кумулянтами деяких процесiв з незалежними приростами, причому кумулянта
k−(s, λ) вiдповiдає незростаючому процесовi, а кумулянта k+(s, λ) — неспадаючому.
З (2) – (4) отримуємо факторизацiйну рiвнiсть
λ− k(s) = λ(1− k−(s, λ))(1− k+(s, λ)), Re s = 0, λ > 0, (5)
а з (3) оберненням по s — спiввiдношення
F+(x, λ) +
x∫
−0
Q+{[x− t;∞), λ}dF+(t, λ) + β+(λ)
dF+(x, λ)
dx
= 1, x > 0. (6)
Розглянемо тепер випадок, коли P
{
inft≥0 ξ(t) > −∞
}
= 1, що, як вiдомо, є рiвносильним
умовi
∫ ∞
1
t−1P
{
ξ(t) < 0
}
dt < ∞, яка виконується, наприклад, якщо m = Eξ(1) > 0 . В
цьому випадку limλ↓0 F−(x, λ) = −P
{
infu≥0 ξ(u) ≥ x
}
= P
{
infu≥0 ξ(u) < x
}
− 1, x ≤ 0,
та
lim
λ↓0
λ−1F+(x, λ) =
∞∫
0
P
{
sup
u≤t
ξ(u) < x
}
dt
df
= F+(x), x ≥ 0.
Означимо такi мiри:
Q+{A} =
+0∫
−∞
Π{Ay}dP
{
inf
u≥0
ξ(u) < y
}
, A ∈ B+(0),
Q−{A} =
∞∫
−0
Π{Ay}dF+(y), A ∈ B−(0),
i нехай
k±(s) =
±∞∫
0
(e−sx − 1)Q±{dx} − β±s, ±Re s ≥ 0,
де β+ = limλ↓0 λβ+(λ), β− = limλ↓0 β−(λ) ≤ 0. Iснування цих границь встановлено в [14, с.
218] i там же показано, що
∞∫
−0
e−sxdF+(x) = −1/k+(s), Re s > 0. (7)
З (5) при λ→ 0 отримуємо факторизацiйну рiвнiсть
k(s) = k+(s)(1− k−(s)), Re s = 0. (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1022 М. С. БРАТIЙЧУК
2. Основнi результати.
Теорема 2. Для λ, ν, µ > 0 має мiсце зображення
Ee−λτ(x)−νγ
−(x)−µγ+(x) = Ee−λτ(x)+
+λ−1
x∫
−0
+0∫
−∞
∞∫
x−y−t
(
e(µ−ν)(x−t−y)−µz − 1
)
Π{dz}dF−(y, λ)dF+(t, λ). (9)
Зауваження. Формулу (9) при деяких додаткових умовах на процес ξ(t) наведено в [16].
З (9) оберненням по ν та µ отримуємо таке твердження.
Наслiдок 1. Для z1, z2 > 0
E
{
e−λτ(x), γ−(x) ≥ z1, γ+(x) ≥ z2
}
=
= λ−1
x∫
−0
+0∫
−∞
I{x−y−t ≥ z1}Π{[z2+x−t−y;∞)}dF−(y, λ)dF+(t, λ). (10)
Поклавши в (10) λ ↓ 0, одержимо наступний результат.
Наслiдок 2. Якщо
∫ ∞
1
t−1P
{
ξ(t) < 0
}
dt <∞, то для zi > 0, i = 1, 2, маємо
P
{
γ−(x) ≥ z1, γ+(x) ≥ z2
}
=
=
x∫
−0
+0∫
−∞
I{x−y−t ≥ z1}Π{[z2+x−t−y;∞)}dP
{
inf
u≥0
ξ(u) < y
}
dF+(t). (11)
Теорема 3. Нехай 0 < m = Eξ(1) < ∞ та
∫ ∞
1
x1+αΠ{dx} < ∞, α ≥ 0. Тодi для
zi ≥ 0, i = 1, 2, та x→∞ маємо
P
{
γ−(x) ≥ z1, γ+(x) ≥ z2
}
=
=
1
m
∞∫
0
+0∫
−∞
I{t−y ≥ z1}Π{[z2+t−y;∞)}dP
{
inf
u≥0
ξ(u) < y
}
dt+ o(x−α). (12)
Якщо Eξ(1) =∞, то γ±(x)→∞ за ймовiрнiстю при x→∞, а тому тепер потрiбно зна-
йти нормуючий множник ε(x) такий, щоб випадковi величини ε(x)γ±(x) мали невироджений
розподiл при x→∞.
Теорема 4. Нехай
−1∫
−∞
|x|Π{dx} <∞, Π{[x;∞)} = x−αL(x), 0 < α < 1, (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
МЕТОД ПОТЕНЦIАЛУ В ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПРОЦЕСIВ З НЕЗАЛЕЖНИМИ ПРИРОСТАМИ 1023
де функцiя L(x) повiльно змiнюється на нескiнченностi. Тодi для 0 ≤ u1 ≤ 1, u2 ≥ 0 маємо
lim
x→∞
P
{
γ−(x)
x
≥ u1,
γ+(x)
x
≥ u2
}
=
sin(πα)
π
1∫
u1
(1− z)α−1dz
(z + u2)α
.
Означення. Будемо говорити, що траєкторiя ξ(t, ω) перетинає рiвень x > 0 неперерв-
ним чином, якщо γ−(x) = γ+(x) = 0. Якщо ж γ−(x) > 0, γ+(x) > 0, то говоримо, що
траєкторiя ξ(t, ω) перетинає рiвень x > 0 стрибком.
Наступна теорема описує можливiсть перетину рiвня стрибком.
Теорема 5. Якщо
lim
ε→0
ln ε+
1∫
0
t−1P
{
ξ(t) > ε
}
dt
= −∞, (14)
то
P
{
γ−(x) > 0, γ+(x) > 0 / τ(x) <∞
}
= 1 (15)
для всiх x > 0.
Спiввiдношення (15) справджується, наприклад, якщо процес ξ(t) має обмежену варiацiю
та вiд’ємний зсув.
Наступна теорема узагальнює результат з [15] i в трохи iншому виглядi доведена в [16]
(див. також [17, 18]).
Теорема 6. Для довiльних x > 0, λ > 0 справджується свiввiдношення
E{e−λτ(x), γ−(x) = γ+(x) = 0} = β+(λ)
d
dx
F+(x, λ). (16)
Наслiдок 3. Iснують лише двi можливостi:
i) E{e−λτ(x), γ+(x) = γ−(x) = 0} = 0 для всiх x > 0,
ii) E{e−λτ(x), γ+(x) = γ−(x) = 0} > 0 для всiх x > 0 .
Цей наслiдок легко випливає з (16). Дiйсно, нехай E{e−λτ(x0), γ−(x) = γ+(x) = 0} = 0 для
деякого x0 > 0. Тодi з (16) маємо, що або β+(λ) = 0 або β+(λ) > 0, F ′+(x0, λ) = 0 . Але якщо
β+(λ) > 0, то F ′+(x, λ) > 0 для всiх x > 0 i, отже, E{e−λτ(x0), γ−(x) = γ+(x) = 0} > 0, що
суперечить припущенню. В свою чергу β+(λ) = 0, i пункт i) випливає з (16).
Якщо E{e−λτ(x0), γ−(x0) = γ+(x0) = 0} > 0 для деякого x0 > 0, то β+(λ) > 0, а отже,
F ′+(x, λ) > 0 для x > 0, i пункт ii) знову випливає з (16).
3. Доведення результатiв. Доведення теореми 2. Покладемо ξx(t) = x − ξ(t), x > 0,
t ≤ ζ(x), де ζ(x) = inf{t > 0; ξx(t) < 0}. Iншими словами, ξx(t) є процесом з незалежними
приростами, який отримано з процесу x − ξ(t) обривом у момент першого виходу на пiввiсь
(−∞, 0); ξx(t) є марковським процесом i його резольвента визначається формулою Динкiна
[10, c. 189]
R0
λf(x) = E
ζ(x)∫
0
e−λtf(x− ξ(t))dt
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1024 М. С. БРАТIЙЧУК
для довiльної обмеженої борелiвської функцiї f(x) . Наступне зображення для R0
λf(x) наве-
дено в [11]:
R0
λf(x) = λ−1
x∫
−0
+0∫
−∞
f(x− y − z)dF−(y, λ)dF+(z, λ), x > 0. (17)
Далi при доведеннi використовується компенсацiйна формула з [15]
E
∑
s≤ζ(x)
g(s, ξx(s−), ξx(s)) = E
ζ(x)∫
0
∞∫
−∞
g(s, ξx(s), ξx(s) + z)Π̃{dz}ds, (18)
де g — дiйснозначна невiд’ємна обмежена борелiвська функцiя на [0,∞) × R × R така, що
g(s, u, u) = 0 для всiх s ≥ 0, u ∈ R, а Π̃{dy} — мiра Левi для процесу ξx(t). Зрозумiло, що
Π̃{A} = Π{A−} для довiльної борелiвської множини A, де A− = {−x : x ∈ A}.
У (18) в якостi функцiї g(s, u, v) вiзьмемо g(s, u, v) = e−λs
(
e−νu+µv − 1
)
I{v ≤ 0 ≤ u},
s > 0. Маємо
E{e−λτ(x)
(
e−νγ
−(x)−µγ+(x) − 1
)
} = E
{
e−λζ(x)
(
e−νξx(ζ(x)−)+µξx(ζ(x)) − 1
)}
=
= E
ζ(x)∫
0
e−λs
∞∫
−∞
g
(
ξx(s), ξx(s) + z
)
Π̃{dz}ds =
= E
ζ(x)∫
0
e−λs
∞∫
ξx(s)
(
e−νξx(s)+µ(ξx(s)−z)−1
)
Π{dz}ds = E
ζ(x)∫
0
e−λsf(ξx(s))ds =
= R0
λf(x),
де
f(x) =
∞∫
x
(
e−(ν−µ)x−µz − 1
)
Π{dz}.
Використовуючи тут формулу для резольвенти (17), отримуємо
E
{
e−λτ(x)
(
e−νγ
−(x)−µγ+(x) − 1
)}
=
= λ−1
x∫
−0
+0∫
−∞
∞∫
x−y−t
(
e−(ν−µ)(x−y−t)−µz − 1
)
Π{dz}dF−(y, λ)dF+(t, λ),
звiдки випливає зображення (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
МЕТОД ПОТЕНЦIАЛУ В ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПРОЦЕСIВ З НЕЗАЛЕЖНИМИ ПРИРОСТАМИ 1025
Доведення теореми 3. У [13] було доведено, що якщо
∫ ∞
1
x1+αΠ{dx} < ∞, α ≥ 0, то
для функцiї R(t) = F+(t)− t/m справджується оцiнка
[x,x+y]
var (F+(t)− t/m) = (y + 1)ψ(x), (19)
i ψ(x) = o(x−α) при x→∞.
Для фiксованих z1, z2 позначимо
f(t) =
+0∫
−∞
I{t−y ≥ z1}Π{[z2 + t−y;∞)}dP
{
inf
u≥0
ξ(u) < y
}
.
Тепер з (11) отримуємо
P
{
γ−(x) ≥ z1, γ+(x) ≥ z2
}
− 1
m
∞∫
0
f(t)dt =
x∫
−0
f(x− t)dF+(t)−
− 1
m
∞∫
0
f(t)dt =
x∫
−0
f(x− t)dR(t)− 1
m
∞∫
x
f(t)dt, (20)
але
f(t) =
+0∫
−∞
I{t− y ≥ z1}Π{[z2 + t− y;∞)}dP
{
inf
u≥0
ξ(u) < y
}
≤
≤ Π{[z2 + t;∞)} = o(t−1−α),
де остання рiвнiсть випливає з того, що
∫ ∞
0
tαΠ{[t,∞)}dt <∞, i тепер спiввiдношення (12)
випливає з (3) та рiвностi (19).
Доведення теореми 4. Позначимо T (x) =
∫ x
1
Π{[y;∞)}dy. З (13) та властивостей
повiльно змiнних функцiй [19, c. 321] випливає, що
T (x) ∼ (1− α)−1x1−αL(x), x→∞. (21)
З (13) та (21) маємо
k(s) ∼ −s
∞∫
1
e−sxdT (x) ∼ sαΓ(2− α)
1− α
L(1/s), s→ +0,
а тому з (8) отримуємо
k+(s) ∼ −s
αΓ(2− α)
1− α
L(1/s), s→ +0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1026 М. С. БРАТIЙЧУК
Отже,
∞∫
−0
e−sxdF+(x) ∼ s−α(1− α)
Γ(2− α)L(1/s)
, s→ +0,
що дає [17, c. 499]
F+(x) ∼ xα(1− α)
Γ(1 + α)Γ(2− α)L(x)
=
xα sin(πα)
παL(x)
, x→∞. (22)
З (11) маємо
P
{
γ−(x)
x
≥ u1,
γ+(x)
x
≥ u2
}
=
1−u1∫
0
+0∫
−∞
Q(x, t, y)dP
{
inf
u≥0
ξ(u) < y
}
dtF+(tx)+
+
1∫
1−u1
x(1−u1−t)∫
−∞
Q(x, t, y)dP
{
inf
u≥0
ξ(u) < y
}
dtF+(tx), (23)
де Q(x, t, y) = Π{[x(1− t+ u2)− y;∞)}.
Нехай xn → ∞ при n → ∞ i Dn(t) = F+(txn)/F+(xn). Dn(t), n ≥ 0, 0 ≤ t ≤ 1 —
множина функцiй розподiлу на вiдрiзку [0, 1], i згiдно з (22) маємо
lim
n→∞
Dn(t) = tα, 0 ≤ t ≤ 1. (24)
Оскiльки Q(xn, t, y)/Q(xn, t, 0) ≤ 1 для y ≤ 0, 0 ≤ t ≤ 1, n ≥ 0 i limn→∞Q(x, t, y)/
Q(x, t, 0) = 1 для довiльних фiксованих y, t, то
+0∫
−∞
Q(xn, t, y)dP
{
inf
u≥0
ξ(u) < y
}
= Q(xn, t, 0)(1 + ϕn(t)), (25)
xn(1−u1−t)∫
−∞
Q(xn, t, y)/Q(xn, t, 0)dP
{
inf
u≥0
ξ(u) < y
}
n→∞
−→ 0, 1− u1 < t ≤ 1, (26)
i ϕn(t)→ 0 для всiх t ∈ [0; 1] при n→∞.
Тодi з (23) маємо
P
{
γ−(xn)
xn
≥ u1,
γ+(xn)
xn
≥ u2
}
=
1−u1∫
0
Q(xn, t, 0)F+(xn)(1 + ϕn(t))dDn(t)+
+
1∫
1−u1
Q(xn, t, 0)F+(xn)
x(1−u1−t)∫
−∞
Q(xn, t, y)
Q(xn, t, 0)
dP
{
inf
u≥0
ξ(u) < y
}
dDn(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
МЕТОД ПОТЕНЦIАЛУ В ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПРОЦЕСIВ З НЕЗАЛЕЖНИМИ ПРИРОСТАМИ 1027
Тепер з (22) та (24) – (26) отримуємо
lim
n→∞
P
{
γ−(xn)
xn
≥ u1,
γ+(xn)
xn
≥ u2
}
=
sin(πα)
πα
lim
n→∞
1−u1∫
0
L(xn(1− z + u2))
(1− z + u2)αL(xn)
dDn(z) =
=
sin(πα)
π
1−u1∫
0
zα−1dz
(1− z + u2)α
=
sin(πα)
π
1∫
u1
(1− z)α−1dz
(z + u2)α
. (27)
Права частина в (27) не залежить вiд послiдовностi xn, що i завершує доведення теореми 4.
Доведення теореми 5. З (10) при z1 → 0, z2 → 0 отримуємо
E{e−λτ(x), γ−(x) > 0, γ+(x) > 0} =
x∫
−0
Q+{(x− t;∞), λ}dF+(t, λ) =
= 1− F+(x, λ)− β+(λ)
dF+(x, λ)
dx
= Ee−λτ(x) − β+(λ)
d
dx
F+(x, λ). (28)
Якщо покажемо, що β+(1) = 0, то тодi β+(λ) = 0 для всiх λ > 0 i спiввiдношення (15) буде
випливати очевидним чином з (28).
Використовуючи тотожнiсть ln s =
∫ ∞
0
(e−x − e−sx)d lnx, s > 0, i спiввiдношення [20,
c. 439]
∞∫
−0
e−sxdF+(x, 1) = exp
∞∫
0
(e−sx − 1)dN(x)
,
де
N(x) = −
∞∫
0
e−tt−1P
{
ξ(t) > x
}
dt,
маємо
s
∞∫
−0
e−sxdF+(x, 1) = exp
∞∫
0
(e−sx−e−x)d(N(x)− lnx)
exp
∞∫
0
(e−x−1)dN(x)
.
Звiдси та з (3) випливає, що
exp
∞∫
0
(e−x−1)dN(x)
lim
s→∞
exp
∞∫
0
(e−sx−e−x)d(N(x)− lnx)
= 1/β+(1),
а тому достатньо показати, що якщо виконується (14), то
lim
s→∞
α∫
0
(e−sx − e−x)d(N(x)− lnx) =∞ (29)
для деякого α > 0 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1028 М. С. БРАТIЙЧУК
З (14) та рiвностi
lnx+
1∫
0
t−1P
{
ξ(t) > x
}
dt = lnx−N(x)−
∞∫
1
e−tt−1P
{
ξ(t) > x
}
dt−
−
1∫
0
(e−t − 1)t−1P
{
ξ(t) > x
}
dt
випливає, що limx→0(N(x) − lnx) = ∞, а отже, можемо вибрати α > 0, яке далi буде фiк-
сованим, таким, що N(x) − lnx > 0, 0 < x ≤ α. Тепер для довiльного C > 0 можемо
вибрати 0 < ε < α так, щоб N(x)− lnx ≥ C, 0 < x ≤ ε. Тодi
α∫
0
(e−sx − e−x)d(N(x)− lnx) = (e−sα − e−α)(N(α)− lnα)+
+s
α∫
0
e−sx(N(x)− lnx)dx ≥ (e−sα − e−α)(N(α)− lnα) + C(1− e−sε)
s→∞
−→
s→∞
−→ e−α
(
lnα−N(α)
)
+ C.
Звiдси при C →∞ отримуємо (29).
Доведення теореми 6. З (9) при ν, µ→∞ маємо
E{e−λτ(x), γ+(x) = γ−(x) = 0} = Ee−λτ(x)−
x∫
0
Q+{[x− t;∞), λ}dF+(t, λ) =
= 1− F+(x, λ)−
x∫
0
Q+{[x− t;∞), λ}dF+(t, λ).
Використовуючи тут тотожнiсть (6), отримуємо (16).
1. Bertoin J. Lévy processes. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1996. – 265 p.
2. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. – М.: Мир, 1971. – 264 с.
3. Doney R. Hitting probabilities for spectrally positive Levy processes // J. London Math. Soc. – 1991. – 44, № 3. –
C. 566 – 576.
4. Королюк В. С. Граничные задачи для сложного пуассоновского процесса // Теория вероятностей и ее приме-
нения. – 1974. – 19, № 1. – С. 3 – 14.
5. Королюк В. С., Супрун В. Н., Шуренков В. М. Метод потенциала в граничных задачах для процессов с
независимыми приращениями и скачками одного знака // Теория вероятностей и ее применения. – 1976. – 22,
№ 2. – С. 419 – 425.
6. Гусак Д. В., Королюк В. С. Распределение функционалов от однородного процесса с независимыми прираще-
ниями // Теория вероятностей и мат. статистика. – 1970. – № 1. – С. 55 – 73.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
МЕТОД ПОТЕНЦIАЛУ В ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПРОЦЕСIВ З НЕЗАЛЕЖНИМИ ПРИРОСТАМИ 1029
7. Гусак Д. В. Метод факторизации в граничных задачах для процессов с независимыми приращениями //
Распределение некоторых функционалов для процессов с независимыми приращениями и полумарковских
процессов. – Киев, 1985. – С. 12 – 42. (Препринт / УССР. Ин-т математики; 85.43)
8. Рогозин Б. А. Распределение некоторых функционалов, связанных с процессом с независимыми приращениями
// Теория вероятностей и ее применения. – 1966. – 11, № 4. – С. 6 – 670.
9. Братийчук М. С. О резольвенте обрывающегося процесса с независимыми приращениями // Укр. мат. журн. –
1978. – 30, № 1. – C. 96 – 100.
10. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. – М.: Физматгиз, 1963. – 860 с.
11. Братийчук М. С., Королюк В. С. Резольвента однородного процесса с независимыми приращениями, обрыва-
ющегося на полуоси // Теория вероятностей и ее применения. – 1985. – 30, № 2. – C. 368 – 372.
12. Братийчук М. С. Об одном подходе к изучению граничных функционалов для процессов с независимыми
приращениями. – Киев, 1989. – 50 с. – (Препринт/АН УССР. Ин-т математики; № 89.38).
13. Братийчук М. С. Предельные теоремы для граничных функционалов от процесса с независимыми прираще-
ниями. – Киев, 1989. – 50 с. – (Препринт/АН УССР. Ин-т математики; № 89.39).
14. Братийчук М. С., Гусак Д. В. Граничные задачи для процессов с независимыми приращениями. – Киев: Наук.
думка, 1990. – 263 с.
15. Millar P. Exit properties of stochastic process with stationary independent increments // Trans. Amer. Math. Soc. –
1973. – 178. – P. 459 – 479.
16. Гусак Д. В. Граничнi задачi для процесiв з незалежними приростами // Працi Iн-ту математики НАН України.
– 2007. – 65. – 459 с.
17. Гусак Д. В. Процеси з незалежними приростами в теорiї ризику // Працi Iн-ту математики НАН України. –
2011. – 88. – 544 с.
18. Гусак Д. В. О пересечении уровня однородным процессом с независимыми приращениями и невырожденной
винеровской компонентой // Укр. мат. журн. – 1980. – 32, № 3. – С. 373 – 378.
19. Феллер В. Ведение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир,1984. – Т. 2. – 738 с.
20. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. – М.: Наука, 1973. – Т. 2. – 640 с.
Одержано 24.09.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2042 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:35Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/07/174357325300a0a4ab98373431d46407.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20422019-12-05T09:49:28Z Potential Method in the Limit Problems for the Processes with Independent Increments Метод потенціалу в граничних задачах для процесів з незалежними приростами Bratiichuk, N. S. Братійчук, М. С. We propose a new approach to the application of the Korolyuk potential method for the investigation of limit functionals for processes with independent increments. The formulas for the joint distribution of functionals related to crossing a level by the process are obtained and their asymptotic analysis is performed. The possibility of crossing a level by the process in a continuous way is also investigated. Предложен новый подход к использованию метода потенциала Королюка при исследовании граничных функционалов для процессов с независимыми приращениями. Получены формулы для совместного распределения функционалов, связанных с достижением процессом уровня, и проведен их асимптотический анализ. Изучена возможность пересечения процессом уровня непрерывным образом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2042 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 8 (2015); 1019-1029 Український математичний журнал; Том 67 № 8 (2015); 1019-1029 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2042/1101 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2042/1102 Copyright (c) 2015 Bratiichuk N. S. |
| spellingShingle | Bratiichuk, N. S. Братійчук, М. С. Potential Method in the Limit Problems for the Processes with Independent Increments |
| title | Potential Method in the Limit Problems for the Processes with Independent Increments |
| title_alt | Метод потенціалу в граничних задачах для процесів з незалежними приростами |
| title_full | Potential Method in the Limit Problems for the Processes with Independent Increments |
| title_fullStr | Potential Method in the Limit Problems for the Processes with Independent Increments |
| title_full_unstemmed | Potential Method in the Limit Problems for the Processes with Independent Increments |
| title_short | Potential Method in the Limit Problems for the Processes with Independent Increments |
| title_sort | potential method in the limit problems for the processes with independent increments |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2042 |
| work_keys_str_mv | AT bratiichukns potentialmethodinthelimitproblemsfortheprocesseswithindependentincrements AT bratíjčukms potentialmethodinthelimitproblemsfortheprocesseswithindependentincrements AT bratiichukns metodpotencíaluvgraničnihzadačahdlâprocesívznezaležnimiprirostami AT bratíjčukms metodpotencíaluvgraničnihzadačahdlâprocesívznezaležnimiprirostami |