An Example of Neutrally Nonwandering Points for the Inner Mappings that are Not Neutrally Recurrent
In the previous papers, the author offered a new theory of topological invariants for the dynamical systems formed by noninvertible inner mappings. These invariants are constructed by using the analogy between the trajectories of homeomorphisms and directions in the set of points with common iterati...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2043 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507961718210560 |
|---|---|
| author | Vlasenko, I. Yu. Власенко, И. Ю. Власенко, И. Ю. |
| author_facet | Vlasenko, I. Yu. Власенко, И. Ю. Власенко, И. Ю. |
| author_sort | Vlasenko, I. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:28Z |
| description | In the previous papers, the author offered a new theory of topological invariants for the dynamical systems formed by noninvertible inner mappings. These invariants are constructed by using the analogy between the trajectories of homeomorphisms and directions in the set of points with common iteration. In particular, we introduce the sets of neutrally recurrent and neutrally nonwandering points. We also present an example of the so-called “neutrally nonwandering but not neutrally recurrent” points, which shows that these sets do not coincide. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 513.83
И. Ю. Власенко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ПРИМЕР НЕЙТРАЛЬНО НЕБЛУЖДАЮЩИХ ТОЧЕК ВНУТРЕННИХ
ОТОБРАЖЕНИЙ, НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ НЕЙТРАЛЬНО РЕКУРРЕНТНЫМИ
In the previous papers, the author offered a new theory of topological invariants for the dynamical systems formed
by noninvertible inner mappings. These invariants are constructed by using the analogy between the trajectories of
homeomorphisms and directions in the set of points with common iteration. In particular, we introduce the sets of neutrally
recurrent and neutrally nonwandering points. We also present an example of the so-called “neutrally nonwandering but not
neutrally recurrent” points, which shows that these sets do not coincide.
Ранiше автором було побудовано новi iнварiанти для динамiчних систем, що утворенi необоротними внутрiшнiми
вiдображеннями. Цi iнварiанти побудовано за аналогiєю мiж траєкторiями гомеоморфiзмiв i напрямами у мно-
жинi точок, що мають спiльну iтерацiю. Зокрема, було введено множини нейтрально рекурентних i нейтрально
неблукаючих точок. У данiй статтi наведено приклад вiдображення з нейтрально неблукаючою, але не нейтрально
рекурентною точкою, який показує, що данi множини є рiзними.
1. Введение. В работах [1, 2] были введены новые топологические инварианты внутренних
отображений, для которых в качестве модели были взяты инвариантные множества динами-
ческих систем, образованных гомеоморфизмами. При построениях использовали аналогию
между траекториями точек гомеоморфизма и направлениями в множестве точек, имеющих об-
щую итерацию. В частности, были введены множества нейтрально рекуррентных и нейтрально
неблуждающих точек. Как известно, их аналоги — множества рекуррентных и неблуждающих
точек — являются различными (см. пример в [3]). Однако оставался открытым вопрос о том,
различны ли множества нейтрально рекуррентных и нейтрально неблуждающих точек. По-
строенный здесь пример дает на этот вопрос положительный ответ. Полученный результат
также является мотивацией для дальнейшего построения „нейтральных” аналогов инвариант-
ных множеств, в частности, для введения „нейтрального” аналога центра Биркгофа.
2. Предварительные сведения. Внутренним отображением будем называть открытое (об-
раз открытого множества открыт) изолированное (прообраз каждой точки состоит из изолиро-
ванных точек) отображение. Пусть f : X → X — внутренний эндоморфизм локально компакт-
ного локально связного метрического пространства X.
Следующие определения были введены в [1, 2]. Обозначим через O+
f (x) положительную
полутраекторию точки x, т. е. множество {fn(x) | n ≥ 0}, через O−f (x) отрицательную по-
лутраекторию точки x, т. е. множество {fn(x | n < 0}. Широкой траекторией Of (x) точки
x назовем множество ∪y∈O+
f (x)O
−
f (y). В отличие от гомеоморфизмов, для которых траектория
точки в точности состоит из ее положительной и отрицательной полутраекторий, у внутренних
отображений широкая траектория точки имеет и другие точки. Введем еще одно естествен-
ное подмножество широкой траектории точки, которое не пересекается с ее положительной и
отрицательной полутраекториями нигде, кроме как в самой точке.
Определение 1. Нейтральным сечением траектории точки x назовем множество
{f−n (fn(x)) | n ≥ 0}. Обозначим ее через O⊥f (x).
Как следует из определения, если среди образов x нет периодической точки, а f имеет в
точках орбиты более одного прообраза, то широкая траектория точки x распадается на бесконеч-
ное число нейтральных сечений, причем каждое нейтральное сечение состоит из бесконечного
числа точек.
c© И. Ю. ВЛАСЕНКО, 2015
1030 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРИМЕР НЕЙТРАЛЬНО НЕБЛУЖДАЮЩИХ ТОЧЕК ВНУТРЕННИХ ОТОБРАЖЕНИЙ. . . 1031
Определение 2. Точка x называется периодической с периодом n, если fn(x) = x и
fk(x) 6= x для k = 1, . . . , n− 1.
Определение 3. Точка x называется ω-рекуррентной, если она является либо периодиче-
ской, либо предельной точкой для множества O+
f (x) \ {x}.
Определение 4. Точка x называется α-рекуррентной, если она является либо периодиче-
ской, либо предельной точкой для множества O−f (x) \ {x}.
Определение 5. Точка x называется рекуррентной, если x α-рекуррентна или ω-рекур-
рентна.
Определение 6. Точка x называется нейтрально рекуррентной или ⊥-рекуррентной, если
x — граничная точка для множества O⊥f (x) \ {x}.
Определение 7. Точка x называется блуждающей точкой f, если найдется такая ее
окрестностьU, что fm(U)∩U = ∅ для всехm ∈ Z.При этомU(x) называется окрестностью
блуждания для x. Иначе точка называется неблуждающей.
Определение ниже применимо только для локально связных пространств, но в данном
случае его достаточно. Общая форма этого определения приведена в [2].
Определение 8. Точка x называется нейтрально блуждающей или ⊥-блуждающей точ-
кой f, если найдется такая ее открытая связная окрестность U, что открытое множество
∪n≥0f−n(fn(U)) распадается на компоненты связности такие, что каждая компонента
связности содержит в точности одно точку из множества O⊥(x) = ∪n≥0{f−n (fn(x))}.
При этом U(x) называется окрестностью ⊥-блуждания для x. Иначе точка называется ⊥-
неблуждающей.
Здесь и везде знак⊥ будет синонимом и сокращением слова „нейтрально”. Тогда в определе-
ниях, приведенных выше, ⊥-блуждающее означает нейтрально блуждающее, ⊥-рекуррентное
— нейтрально рекуррентное и т. д.
Определение 9. Точка x называется суперблуждающей точкой f, если она блуждающая
и ⊥-блуждающая.
Определение 10. Множество U назовем нейтрально инвариантным относительно f,
если для всех x ∈ U O⊥f (x) ⊂ U.
3. Построение примера. Построим пример внутреннего отображения, у которого есть
⊥-блуждающая точка, не являющаяся ⊥-рекуррентной.
Сначала построим топологическое пространство, на котором будет действовать отображе-
ние. Рассмотрим комплексные корни из единицы степени 2k. При k = 0 есть один корень,
собственно 1. Обозначим его через ε00. При k = 1 есть два корня: 1 и −1; 1 уже обозначено
через ε00, −1 обозначим через ε01. При k = 2 есть четыре корня: 1, −1, i, −i; 1 и −1 уже
обозначены через ε00 и ε01, i и −i обозначим через ε02 и ε12. По индукции на шаге k = n у нас
будет 2n корней, 2n−1 из которых уже обозначены. Оставшиеся корни обозначим по порядку
обхода окружности, начиная от 1, как ε0n . . . ε
2n−1−1
n . Пусть Σ = {εik | i = 0, . . . , 2k−1−1, k ∈ N}
— так занумерованное счетное множество комплексных корней из единицы степени 2k, k ∈ N,
с дискретной топологией. Возьмем счетный набор стандартных отрезков [0, 1] и приклеим их
к множеству кореней по следующему правилу. Для каждой пары корней (εik1 , ε
j
k2
) такой, что
k1 > k2, приклеим к множеству корней некоторый отрезок [0, 1], отождествив 1 с εik1 и 0 с εjk2 .
Обозначим такой отрезок через I
εik1
: εjk2
. Дополнительно для ε00 приклеим к множеству корней
некоторый отрезок [0, 1], отождествив его концы 0 и 1 с ε00. Обозначим такой отрезок через
Iε00 : ε00
. Полученное одномерное множество обозначим через R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1032 И. Ю. ВЛАСЕНКО
Заметим, что R — метрическое пространство с метрикой, порожденной уже имеющейся
метрикой на отрезках, где расстояние между двумя точками — минимальная длина ломаной, их
соединяющей. К примеру, для любой пары корней из Σ расстояние между ними по построению
равно либо 1, либо 2.
ε00
ε01
ε02ε12
ε03
ε13ε23
ε33
3-й остов R.
Возьмем счетный набор множеств R и обозначим полученное пространство через X =
= {Rm | m ∈ Z} (см. рисунок). Чтобы различать точки и отрезки, принадлежащие разным Ri,
будем обозначать через Im
εik1
: εjk2
отрезок I
εik1
: εjk2
⊂ Rm, а через Σm множество корней Σ ⊂ Rm.
Зададим наX отображение f. Поскольку мы с каждой точкой из Σm связываем комплексное
число — корень из 1, можно задать на Σm отображение с помощью комплексной функции z2.
Именно, пусть f отображает Rm на Rm+1 так, что εik ∈ Rm 7→ (εik)
2 ∈ Rm+1. Заметим,
что под действием z2, если корень имеет нумерацию εik, он переходит в εjk−1 для некоторого
допустимого j, кроме ε00, который переходит в ε00. Таким образом, если два корня соединены
отрезком, то их образы тоже соединены отрезком, включая случай ε00, для которого есть отрезок,
соединяющий ε00 сам с собой. Тогда отрезок Im
εik1
: εjk2
⊂ Rm, соединяющий εik1 : εjk2 ∈ Rm,
отображается на отрезок f(Im
εik1
: εjk2
) = Im+1
(εik1
)2 : (εjk2
)2
⊂ Rm+1, соединяющий (εik1)2 : (εjk2)2 ∈
∈ Rm+1. Таким образом, f определен на концах отрезков. Определим f на внутренности
каждого отрезка вида Im
εik1
: εjk2
⊂ Rm
(
включая и Im
ε00 : ε00
⊂ Rm
)
как отображение t1+k2−k1 в
локальных координатах [0, 1]. Отображение задано корректно, так как t1+k2−k1 переводит [0, 1]
в [0, 1]. Полученное отображение f определено на каждом множестве Rm, а следовательно, и
на X.
По построению f конечнократно: по наследству от z2 у каждой точки есть ровно два
прообраза. Легко видеть, что в сужении на внутренность любого отрезка f — гомеоморфизм.
Кроме того, f гомеоморфно отображает малую окрестность каждой вершины на окрестность
ее образа. Поэтому по построению f — локальный гомеоморфизм, а следовательно, внутреннее
отображение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРИМЕР НЕЙТРАЛЬНО НЕБЛУЖДАЮЩИХ ТОЧЕК ВНУТРЕННИХ ОТОБРАЖЕНИЙ. . . 1033
Динамика f выглядит следующим образом: блуждающее множество f по построению есть
все пространствоX. В качестве разделяющей окрестности блуждания для точки x ∈ Rm можно
взять само открыто-замкнутое множество Rm.
Точки, принадлежащие внутренности отрезков, по построению являются суперблуждающи-
ми. В качестве разделяющей окрестности для таких точек можно брать внутренность отрезка,
которому точка принадлежит. Поскольку эти точки суперблуждающие, то они и⊥-блуждающие.
Оставшиеся точки принадлежат множеству корней. По построению это множество ней-
трально инвариантно. При этом его точки не являются нейтрально рекуррентными, так как
расстояние между двумя корнями по построению не меньше 1. Покажем, что корни принадле-
жат множеству ⊥-неблуждающих точек.
Поскольку множество ⊥-неблуждающих точек нейтрально инвариантно [2], достаточно
рассмотреть точку ε00 ⊂ Rm для некоторого m. Пусть Bm
δ (ε00) ⊂ Rm — окрестность точки ε00
в Rm, которая является внутренностью мерического шара радиуса δ вокруг точки ε00 ∈ Rm.
Обозначим через Pmδ подмножество отрезка Im
ε00:ε
0
0
⊂ Rm, которое в локальных координатах
этого отрезка имеет вид [0, δ). Тогда Pmδ ⊂ Bm
δ (ε00). f
n(Pmδ ) = Pm+n
δ , поскольку Pmδ ⊂
⊂ Im
ε00 : ε00
и f по построению тождественно в локальных координатах как отображение из Im
ε00 : ε00
в Im+1
ε00 : ε00
. Тогда f−n(fn(Pmδ )) = f−n(Pm+n
δ ). Рассмотрим f−n(fn(Pmδ )) ∩ Im
ε0n : ε00
. ε0n ∈ Rm. По
построению ε0n ∈ Rm
f7→ ε0n−1 ∈ Rm+1, ε
0
n−1 ∈ Rm+1
f7→ ε0n−2 ∈ Rm+2, . . . , ε01 ∈ Rm+n−1
f7→
f7→ ε00 ∈ Rm+n. Соответственно, Im
ε0n:ε
0
0
f7→ Im+1
ε0n−1:ε
0
0
, Im+1
ε0n−1:ε
0
0
f7→ Im+2
ε0n−2:ε
0
0
, . . . , Im+n−1
ε01:ε
0
0
f7→ Im+n
ε00:ε
0
0
.
В сужении на эти отрезки f по построению задан в локальных координатах как tn+1,
tn+2, . . . , t3, t2. Соответственно, композиция Im
ε0n:ε
0
0
fn7→ Im+n
ε00:ε
0
0
в локальных координатах имеет
вид t(n+1)!. Тогда f−n(fn(Pmδ ))∩Im
ε0n:ε
0
0
в локальных координатах на Im
ε0n:ε
0
0
имеет вид [0, δ
1
(n+1)! ).
Легко видеть, что Pmδ ∩ Imε0n : ε00
= (1− δ, 1] в локальных координатах. Для любого δ ∈ (0, 1)
существует такое n ≥ 0, что [0, δ
1
(n+1)! ) ∩ (1− δ, 1] 6= ∅. Следовательно, для любого δ ∈ (0, 1)
множество Bm
δ (ε00) нельзя выделить из множества f−n(fn(Bm
δ (ε00)) как компоненту связности.
Поскольку множества Bm
δ (ε00) образуют базу топологии в точке ε00, то это же справедливо и для
любой другой окрестности точки ε00. Как следствие, точка ε00 ⊂ Rm является ⊥-неблуждающей.
Полученное отображение f : X → X является искомым примером внутреннего отображе-
ния, у которого есть ⊥-блуждающая точка, не являющаяся ⊥-рекуррентной.
1. Власенко И. Ю. Динамика внутренних отображений // Нелiнiйнi коливання. – 2011. – 14, № 2. – С. 181 – 186.
2. Власенко И. Ю. Внутренние отображения: топологические инварианты и их приложения // Математика та її
застосування: Працi Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 101. – 225 с.
3. Гринес В. З., Починка О. В. Введение в топологическую классификацию каскадов на многообразиях размер-
ности два и три. – М.; Ижевск: РХД, 2011. – 423 с.
Получено 06.05.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2043 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:38Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8c/6387daddc25ac871551518499f18e88c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20432019-12-05T09:49:28Z An Example of Neutrally Nonwandering Points for the Inner Mappings that are Not Neutrally Recurrent Пример нейтрально неблуждающих точек внутренних отображений, не являющихся нейтрально рекуррентными Vlasenko, I. Yu. Власенко, И. Ю. Власенко, И. Ю. In the previous papers, the author offered a new theory of topological invariants for the dynamical systems formed by noninvertible inner mappings. These invariants are constructed by using the analogy between the trajectories of homeomorphisms and directions in the set of points with common iteration. In particular, we introduce the sets of neutrally recurrent and neutrally nonwandering points. We also present an example of the so-called “neutrally nonwandering but not neutrally recurrent” points, which shows that these sets do not coincide. Раніше автором було побудовано нові інваріанти для динамічних систем, що утворені необоротними внутрішніми відображеннями. Ці інваріанти побудовано за аналогією між траєкторіями гомеоморфізмів i напрямами у множині точок, що мають спільну ітерацію. Зокрема, було введено множини нейтрально рекурентних і нейтрально неблукаючих точок. У даній статті наведено приклад відображення з нейтрально неблукаючою, але не нейтрально рекурентною точкою, який показує, що дані множини є різними. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2043 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 8 (2015); 1030-1033 Український математичний журнал; Том 67 № 8 (2015); 1030-1033 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2043/1103 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2043/1104 Copyright (c) 2015 Vlasenko I. Yu. |
| spellingShingle | Vlasenko, I. Yu. Власенко, И. Ю. Власенко, И. Ю. An Example of Neutrally Nonwandering Points for the Inner Mappings that are Not Neutrally Recurrent |
| title | An Example of Neutrally Nonwandering Points for the Inner Mappings that are Not Neutrally Recurrent |
| title_alt | Пример нейтрально неблуждающих точек внутренних отображений, не являющихся нейтрально рекуррентными |
| title_full | An Example of Neutrally Nonwandering Points for the Inner Mappings that are Not Neutrally Recurrent |
| title_fullStr | An Example of Neutrally Nonwandering Points for the Inner Mappings that are Not Neutrally Recurrent |
| title_full_unstemmed | An Example of Neutrally Nonwandering Points for the Inner Mappings that are Not Neutrally Recurrent |
| title_short | An Example of Neutrally Nonwandering Points for the Inner Mappings that are Not Neutrally Recurrent |
| title_sort | example of neutrally nonwandering points for the inner mappings that are not neutrally recurrent |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2043 |
| work_keys_str_mv | AT vlasenkoiyu anexampleofneutrallynonwanderingpointsfortheinnermappingsthatarenotneutrallyrecurrent AT vlasenkoiû anexampleofneutrallynonwanderingpointsfortheinnermappingsthatarenotneutrallyrecurrent AT vlasenkoiû anexampleofneutrallynonwanderingpointsfortheinnermappingsthatarenotneutrallyrecurrent AT vlasenkoiyu primernejtralʹnonebluždaûŝihtočekvnutrennihotobraženijneâvlâûŝihsânejtralʹnorekurrentnymi AT vlasenkoiû primernejtralʹnonebluždaûŝihtočekvnutrennihotobraženijneâvlâûŝihsânejtralʹnorekurrentnymi AT vlasenkoiû primernejtralʹnonebluždaûŝihtočekvnutrennihotobraženijneâvlâûŝihsânejtralʹnorekurrentnymi AT vlasenkoiyu exampleofneutrallynonwanderingpointsfortheinnermappingsthatarenotneutrallyrecurrent AT vlasenkoiû exampleofneutrallynonwanderingpointsfortheinnermappingsthatarenotneutrallyrecurrent AT vlasenkoiû exampleofneutrallynonwanderingpointsfortheinnermappingsthatarenotneutrallyrecurrent |