On the Whittle Estimator of the Parameter of Spectral Density of Random Noise in the Nonlinear Regression Model
We consider a nonlinear regression model with continuous time and establish the consistency and asymptotic normality of the Whittle minimum contrast estimator for the parameter of spectral density of stationary Gaussian noise.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2045 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507965233037312 |
|---|---|
| author | Ivanov, O. V. Prykhod’ko, V. V. Іванов, О. В. Приходько, В. В. |
| author_facet | Ivanov, O. V. Prykhod’ko, V. V. Іванов, О. В. Приходько, В. В. |
| author_sort | Ivanov, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:28Z |
| description | We consider a nonlinear regression model with continuous time and establish the consistency and asymptotic normality of the Whittle minimum contrast estimator for the parameter of spectral density of stationary Gaussian noise. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
О. В. Iванов, В. В. Приходько (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ)
ПРО ОЦIНКУ УIТЛА ПАРАМЕТРА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩIЛЬНОСТI
ВИПАДКОВОГО ШУМУ В МОДЕЛI НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ
A nonlinear regression model with continuous time is considered. We establish the consistency and asymptotic normality
of the Whittle minimum contrast estimator for the parameter of spectral density of the Gaussian stationary noise.
Рассматривается нелинейная модель регрессии с непрерывным временем. Установлены свойства состоятельности
и асимптотической нормальности оценки минимального контраста Уитла параметра спектральной плотности гаус-
совского стационарного шума.
Вступ. Коли в моделi регресiї за спостереженнями процесу „сигнал + шум” виникає потреба
оцiнити функцiональнi характеристики випадкового шуму, то сигнал iз корисного перетворю-
ється на заважаючий. Для того щоб знешкодити його вплив, необхiдно спочатку оцiнити па-
раметр функцiї регресiї, а потiм будувати оцiнки, скажiмо, параметра спектральної щiльностi
стацiонарного випадкового шуму за допомогою залишкiв.
Для оцiнювання невiдомого параметра функцiї регресiї доцiльно використовувати, наприк-
лад, оцiнку найменших квадратiв (о. н. к.), означення якої не потребує знання жодної характе-
ристики випадкового шуму. Численнi асимптотичнi властивостi о. н. к. параметра нелiнiйної
регресiї отримано у монографiях [1, 2].
Оцiнки Уiтла параметра спектральної щiльностi стацiонарного процесу за 60 рокiв з часу
їх винаходу [3, 4] вiдiграли важливу роль у параметричному оцiнюваннi в частотнiй областi.
Отриманi тут результати створюють розвинену теорiю, що охоплює широкий спектр матема-
тичних моделей випадкових процесiв i полiв [5 – 21], якщо згадати лише деякi публiкацiї. В
роботi [23] було здiйснено синтез робiт з оцiнювання параметрiв лiнiйної моделi регресiї та
з оцiнювання параметрiв спектральної щiльностi випадкового шуму методом Уiтла у випадку
дискретного часу та сильної залежностi похибок спостережень.
У данiй роботi ми обмежимося випадком гауссiвського стацiонарного шуму i будемо вико-
ристовувати результати робiт [20, 22], де модель регресiї не розглядалась, як вiдправну точку
наших дослiджень, результатами яких є встановлення асимптотичних властивостей оцiнки
Уiтла параметра спектральної щiльностi випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресiї з не-
перервним часом. Так, у пунктах 1, 2 доведено слабку консистентнiсть розглянутої оцiнки, а у
пунктах 3, 4 — її асимптотичну нормальнiсть. У пунктi 5 наведено два приклади спектральних
щiльностей, для яких виконуються твердження роботи.
1. Модель та умови консистентностi оцiнки мiнiмального контрасту. Розглянемо модель
спостережень
X(t) = g(t, α0) + ε(t), t ∈ [0, T ],
де g : (−∆,∞)×Aγ → R — неперервна функцiя, що залежить вiд невiдомого параметра α0 ∈ A,
A ⊂ Rq — обмежена вiдкрита опукла множина, Aγ =
⋃
‖e‖≤1
(A + γe), γ та ∆ — деякi додатнi
числа. Припустимо також, що виконується така умова:
A1. ε(t), t ∈ R, — вимiрний стацiонарний гауссiвський процес iз нульовим середнiм i
спектральною щiльнiстю f(λ, θ0), λ ∈ R, θ0 ∈ Θ, де Θ ⊂ Rm — обмежена вiдкрита опукла
c© О. В. IВАНОВ, В. В. ПРИХОДЬКО, 2015
1050 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ОЦIНКУ УIТЛА ПАРАМЕТРА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩIЛЬНОСТI ВИПАДКОВОГО . . . 1051
множина, а функцiя f(λ, θ) > 0 означена на множинi R × Θτ , Θτ =
⋃
‖e‖≤1
(Θ + τe), τ > 0, —
деяке число.
Означення 1. Оцiнкою найменших квадратiв (о. н. к.) параметра α0 ∈ A, отриманою
за спостереженнями процесу
{
X(t), t ∈ [0, T ]
}
, називається будь-який випадковий вектор
α̂T = (α̂1T , . . . , α̂qT ) ∈ Ac, Ac — замикання A, для якого
LT (α̂T ) = min
α∈Ac
LT (α), де LT (α) =
T∫
0
(X(t)− g(t, α))2 dt.
Введемо перiодограму залишкiв
IT (λ, α̂T ) =
1
2πT
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
(X(t)− g(t, α̂T ))e−iλt dt
∣∣∣∣∣∣
2
, λ ∈ R,
i розглянемо поле контрасту Уiтла [20]
UT (θ, α̂T ) =
∞∫
−∞
(
ln f(λ, θ) +
IT (λ, α̂T )
f(λ, θ)
)
w(λ) dλ, θ ∈ Θc, (1)
де w(λ), λ ∈ R, — деяка парна додатна обмежена вимiрна за Лебегом вагова функцiя. Iснування
iнтеграла (1) випливає з умови C4, яку введено нижче.
Означення 2. Оцiнкою мiнiмального контрасту (о. м. к.) невiдомого параметра θ0 ∈ Θ
називається будь-який випадковий вектор θ̂T = (θ̂1T , . . . , θ̂mT ), для якого
UT (θ̂T , α̂T ) = min
θ∈Θc
UT (θ, α̂T ).
Мiнiмум в означеннi 2 досягається завдяки неперервностi iнтеграла (1) по θ ∈ Θc, яка є
наслiдком умови C4.
Припустимо, що виконуються такi умови:
C1. О. н. к. α̂T є слабко консистентною оцiнкою α0, тобто
α̂T
P−→ α0 при T →∞.
Позначимо ΦT (α1, α2) =
∫ T
0
(g(t, α1)− g(t, α2))2 dt, α1, α2 ∈ Ac.
C2. Для деякої константи c0 <∞
T−1ΦT (α1, α2) ≤ c2
0‖α1 − α2‖2, α1, α2 ∈ Ac.
C3. f(·, θ) ∈ L2(R), θ ∈ Θc, причому f(λ, θ1) 6= f(λ, θ2) на множинi додатної мiри Лебега
при θ1 6= θ2.
C4. Функцiї w(λ) ln f(λ, θ),
w(λ)
f(λ, θ)
неперервнi по θ ∈ Θc для майже всiх λ ∈ R, причому
(i) w(λ)| ln f(λ, θ)| ≤ Z1(λ), θ ∈ Θc, для майже всiх λ ∈ R i Z1(·) ∈ L1(R);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1052 О. В. IВАНОВ, В. В. ПРИХОДЬКО
(ii) supλ∈R,θ∈Θc
w(λ)
f(λ, θ)
= c1 <∞.
Зауважимо, що з умов C3 i C4 випливає, що
f(·, θ1)
f(·, θ2)
w(·) ∈ L1(R) ∩ L2(R), θ1, θ2 ∈ Θc. (2)
C5. Iснує парна додатна вимiрна за Лебегом функцiя v(λ), λ ∈ R, така, що
(i)
v(λ)
f(λ, θ)
рiвномiрно неперервна в R×Θc;
(ii) f(·, θ)
w(·)
v(·)
∈ L1(R) ∩ L2(R), θ ∈ Θ.
2. Консистентнiсть оцiнки мiнiмального контрасту. Позначимо
gT (λ, α) =
T∫
0
e−iλtg(t, α) dt, sT (λ, α) = gT (λ, α0)− gT (λ, α),
εT (λ) =
T∫
0
e−iλtε(t) dt, IεT (λ) =
1
2πT
|εT (λ)|2,
i запишемо перiодограму залишкiв у виглядi
IT (λ, α̂T ) = IεT (λ) +
1
πT
Re{εT (λ)sT (λ, α̂T )}+
1
2πT
|sT (λ, α̂T )|2.
Нехай ϕ = ϕ(λ, θ), (λ, θ) ∈ R×Θc, — деяка вимiрна за Лебегом за змiнною λ при кожному
фiксованому θ вагова функцiя. Маємо
JT (ϕ, α̂T ) =
∞∫
−∞
IT (λ, α̂T )ϕ(λ, θ) dλ =
∞∫
−∞
IεT (λ)ϕ(λ, θ) dλ+
+
1
πT
∞∫
−∞
Re{εT (λ)sT (λ, α̂T )}ϕ(λ, θ) dλ+
1
2πT
∞∫
−∞
|sT (λ, α̂T )|2ϕ(λ, θ) dλ =
= JεT (ϕ) + J
(1)
T (ϕ) + J
(2)
T (ϕ).
Припустимо, що
ϕ(λ, θ) ≥ 0, sup
λ∈R,θ∈Θc
ϕ(λ, θ) = c(ϕ) <∞.
Тодi за тотожнiстю Планшереля та умовою C2
|J (1)
T (ϕ)| ≤ 2c(ϕ)
1
2πT
T∫
0
|εT (λ)|2 dλ
1/2 1
2πT
∞∫
−∞
|sT (λ, α̂T )|2 dλ
1/2
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ОЦIНКУ УIТЛА ПАРАМЕТРА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩIЛЬНОСТI ВИПАДКОВОГО . . . 1053
= 2c(ϕ)
T−1
T∫
0
ε2(t) dt
1/2 (
T−1ΦT (α0, α̂T )
)1/2 ≤ 2c0c(ϕ)
T−1
T∫
0
ε2(t) dt
1/2
‖α̂T − α0‖.
Враховуючи умови A1, C1, C3, бачимо, що
sup
θ∈Θc
∣∣J (1)
T (ϕ)
∣∣ P−→ 0, T →∞. (3)
З iншого боку,
J
(2)
T (ϕ) ≤ c(ϕ)T−1ΦT (α0, α̂T ) ≤ c2
0c(ϕ)‖α̂T − α0‖2,
i знову завдяки умовам C1, C2
sup
θ∈Θc
J
(2)
T (ϕ)
P−→ 0, T →∞. (4)
Лема 1. Якщо виконано умову A1, а парна вагова функцiя ϕ(λ, θ) така, що f(·, θ0)ϕ(·, θ) ∈
∈ L1(R) ∩ L2(R), θ ∈ Θc, то при T →∞
JεT (ϕ)
P−→
∞∫
−∞
f(λ, θ0)ϕ(λ, θ) dλ, θ ∈ Θc.
Доведення цього твердження мiститься у [22].
Наслiдок 1. Якщо ϕ(λ, θ) =
w(λ)
f(λ, θ)
, то за умов C1 – C4
UT (θ, α̂T )
P−→ U(θ) =
∞∫
−∞
(
ln f(λ, θ) +
f(λ, θ0)
f(λ, θ)
)
w(λ) dλ, θ ∈ Θc.
Розглянемо функцiю контрасту Уiтла
K(θ0, θ) = U(θ)− U(θ0) =
∞∫
−∞
(
f(λ, θ0)
f(λ, θ)
− 1− ln
f(λ, θ0)
f(λ, θ)
)
w(λ) dλ ≥ 0,
причому K(θ0, θ) = 0 тодi i тiльки тодi, коли θ0 = θ.
Лема 2. Якщо виконано умови A1, C1 – C5, то
sup
θ∈Θc
|UT (θ, α̂T )− U(θ)| P−→ 0, T →∞.
Доведення. Нехай
{
θj , j = 1, Nδ
}
— δ-сiтка множини Θc. Тодi
sup
θ∈Θc
|UT (θ, α̂T )− U(θ)| ≤
≤ sup
‖θ1−θ2‖≤δ
|UT (θ1, α̂T )− U(θ1)− (UT (θ2, α̂T )− U(θ2))|+ max
1≤j≤Nδ
|UT (θj , α̂T )− U(θj)|
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1054 О. В. IВАНОВ, В. В. ПРИХОДЬКО
i для будь-якого ρ ≥ 0
P
{
sup
θ∈Θc
|UT (θ, α̂T )− U(θ)| ≥ ρ
}
≤ P1 + P2,
причому при T →∞
P2 = P
{
max
1≤j≤Nδ
|UT (θj , α̂T )− U(θj)| ≥
ρ
2
}
→ 0
за наслiдком 1. З iншого боку,
P1 ≤ P
sup
‖θ1−θ2‖≤δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
−∞
IεT (λ)
(
w(λ)
f(λ, θ1)
− w(λ)
f(λ, θ2)
)
dλ
∣∣∣∣∣∣+
+ sup
‖θ1−θ2‖≤δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
−∞
f(λ, θ0)
(
w(λ)
f(λ, θ1)
− w(λ)
f(λ, θ2)
)
dλ
∣∣∣∣∣∣+
+2 sup
θ∈Θc
∣∣∣∣J (1)
(
w
f
)∣∣∣∣+ 2 sup
θ∈Θc
J (2)
(
w
f
)
≥ ρ
2
. (5)
За умови C5(i)
sup
‖θ1−θ2‖≤δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
−∞
IεT (λ)
(
w(λ)
f(λ, θ1)
− w(λ)
f(λ, θ2)
)
dλ
∣∣∣∣∣∣ ≤ η(δ)
∞∫
−∞
IεT (λ)
w(λ)
v(λ)
dλ,
де
η(δ) = sup
λ∈R,‖θ1−θ2‖≤δ
∣∣∣∣ v(λ)
f(λ, θ1)
− v(λ)
f(λ, θ2)
∣∣∣∣→ 0, δ → 0.
Оскiльки за лемою 1 i умовою C5(ii)
∞∫
−∞
IεT (λ)
w(λ)
v(λ)
dλ
P−→
∞∫
−∞
f(λ, θ0)
w(λ)
v(λ)
dλ, T →∞,
а другий доданок пiд знаком iмовiрностi в (5) вибором δ можна зробити як завгодно малим,
то P1 → 0, T → ∞ з урахуванням того, що третiй i четвертий доданки збiгаються до нуля за
ймовiрнiстю завдяки (3) i (4).
Лему 2 доведено.
Теорема 1. За умов A1, C1 – C5, о. м. к. θ̂T є слабко консистентною оцiнкою параметра θ0.
Доведення. За означенням 2 для будь-якого ρ > 0
P
{
‖θ̂T − θ0‖ ≥ ρ
}
= P
{
‖θ̂T − θ0‖ ≥ ρ;UT (θ̂T , α̂T ) ≤ UT (θ0, α̂T )
}
≤
≤ P
{
inf
‖θ−θ0‖≥ρ
(
UT (θ, α̂T )− UT (θ0, α̂T )
)
≤ 0
}
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ОЦIНКУ УIТЛА ПАРАМЕТРА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩIЛЬНОСТI ВИПАДКОВОГО . . . 1055
= P
{
inf
‖θ−θ0‖≥ρ
(
UT (θ, α̂T )− U(θ)− (UT (θ0, α̂T )− U(θ0)) +K(θ0, θ)
)
≤ 0
}
≤
≤ P
{
inf
‖θ−θ0‖≥ρ
(
UT (θ, α̂T )− U(θ)−
(
UT (θ0, α̂T )− U(θ0)
))
+ inf
‖θ−θ0‖≥ρ
K(θ0, θ) ≤ 0
}
≤
≤ P
{
sup
θ∈Θc
∣∣UT (θ, α̂T )− U(θ)
∣∣+
∣∣UT (θ0, α̂T )− U(θ0)
∣∣ ≥ inf
‖θ−θ0‖≥ρ
K(θ0, θ)
}
→ 0
завдяки наслiдку 1, лемi 2 та властивостi функцiї контрасту K.
3. Умови асимптотичної нормальностi оцiнки мiнiмального контрасту. Перша сукуп-
нiсть умов стосується властивостей о. н. к. α̂T i функцiї регресiї g(t, α).
N1. Нормована о. н. к. T 1/2(α̂T − α0) асимптотично при T →∞ нормальна N(0, S).
Позначимо g′(t, α) =
∂
∂t
g(t, α),
Φ′T (α1, α2) =
T∫
0
(g′(t, α1)− g′(t, α2))2 dt.
N2. Функцiя g(t, α) неперервно диференцiйовна по t ≥ 0 для будь-якого α ∈ Ac i
T−1Φ′T (α1, α2) ≤ (c′0)2‖α1 − α2‖2, α1, α2 ∈ Ac.
Нехай gi(t, α) =
∂
∂αi
g(t, α), gij(t, α) =
∂2
∂αi∂αj
g(t, α).
N3. Функцiя g(t, α) двiчi неперервно диференцiйовна по α ∈ Ac для будь-якого t ≥ 0,
причому
(i) supt≥0,α∈Ac |g(t, α)| ≤ c̄ <∞;
(ii) T−1
∫ T
0
g2
i (t, α) dt ≤ c̄i(α) <∞, i = 1, q, α ∈ A;
(iii) supα∈Ac T
−1
∫ T
0
g2
ij(t, α) dt ≤ c̄ij <∞, i, j = 1, q.
Будемо вважати, що функцiя f(λ, θ) двiчi диференцiйовна по θ ∈ Θc при кожному λ ∈ R за
винятком, можливо, скiнченного числа точок Λ = {±λ1, . . . ,±λr}.
Позначимо fi(λ, θ) =
∂
∂θi
f(λ, θ), fij(λ, θ) =
∂2
∂θi∂θj
f(λ, θ). Припустимо далi, що в подаль-
ших умовах функцiї fiw, fifjw, fifjv, fijw, fijv, i, j = 1,m, при кожному фiксованому θ ∈ Θc
можуть бути продовженi за неперервнiстю до функцiй, означених на R. Для останнiх залишимо
тi ж самi позначення.
N4. (i)
fi(λ, θ)
f2(λ, θ)
w(λ), i = 1,m, — обмеженi i рiвномiрно неперервнi по λ при кожному
фiксованому θ ∈ Θ. Крiм цього,
|fi(λ, θ)|
f(λ, θ)
w(λ) ≤ Z2(λ), θ ∈ Θ, для майже всiх λ ∈ R i
Z2(·) ∈ L1(R).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1056 О. В. IВАНОВ, В. В. ПРИХОДЬКО
(ii)
fi(λ, θ)fj(λ, θ)
f2(λ, θ)
w(λ),
fij(λ, θ)
f(λ, θ)
w(λ) неперервнi по θ ∈ Θc при кожному λ ∈ R, причому
|fi(λ, θ)fj(λ, θ)|
f2(λ, θ)
+
|fij(λ, θ)|
f(λ, θ)
≤ aij(λ), θ ∈ Θc, λ ∈ R, та aij(·)w(·) ∈ L1(R), i, j = 1,m.
(iii)
fi(λ, θ)fj(λ, θ)
f3(λ, θ)
w(λ),
fij(λ, θ)
f2(λ, θ)
w(λ), i, j = 1,m, — обмеженi за сукупнiстю змiнних
(λ, θ) ∈ R×Θc функцiї.
N5. Iснує парна додатна вимiрна за Лебегом функцiя v(λ), λ ∈ R, така, що
(i)
fi(λ, θ)fj(λ, θ)
f3(λ, θ)
v(λ),
fij(λ, θ)
f2(λ, θ)
v(λ), i, j = 1,m, — рiвномiрно неперервнi в R×Θc;
(ii) f(·, θ)
w(·)
v(·)
∈ L1(R) ∩ L2(R), θ ∈ Θ;
(iii)
fi(·, θ)fj(·, θ)
f2(·, θ)
w(·),
fij(·, θ)
f(·, θ)
w(·) ∈ L1(R) ∩ L2(R), θ ∈ Θ.
Умова N5(ii) зовнiшньо збiгається з C5(ii), але при цьому функцiя v повинна задовольняти
рiзнi умови N5(i) i C5(i), i тому, взагалi кажучи, функцiї v в цих двох умовах можуть бути
рiзними.
N6.
fi(λ, θ)
f2(λ, θ)
w(λ), i = 1,m, — функцiї обмеженої варiацiї по λ ∈ R, що належать L1(R)
для кожного θ ∈ Θ.
N7.
fi(·, θ)
f(·, θ)
w(·) ∈ Lk(R) для всiх натуральних k ≥ 1, i = 1,m, θ ∈ Θ.
Очевидно, достатнiми умовами виконання N7 є обмеженiсть функцiй
fi(λ, θ)
f(λ, θ)
w(λ), i = 1,m,
по λ i належнiсть L1(R) при кожному фiксованому θ ∈ Θ.
Введемо двi матрицi, що фiгурують у формулюваннi теореми 2:
W1(θ) =
∞∫
−∞
∇θ ln f(λ, θ)∇′θ ln f(λ, θ)w(λ) dλ,
W2(θ) = 4π
∞∫
−∞
∇θ ln f(λ, θ)∇′θ ln f(λ, θ)w2(λ) dλ.
N8. Матрицi W1(θ),W2(θ) додатно визначенi для θ ∈ Θ.
4. Асимптотична нормальнiсть оцiнки мiнiмального контрасту. Основним результатом
статтi є наступна теорема.
Теорема 2. За умов A1, C1 – C5, та N1 – N8 нормована о. м. к. T 1/2(θ̂T − θ0) асимпто-
тично при T → ∞ нормальна з нульовим середнiм та коварiацiйною матрицею W (θ) =
= W−1
1 (θ0)W2(θ0)W−1
1 (θ0).
Доведенню цiєї теореми передує кiлька лем.
Позначимо
∆T (ϕ) = T−1/2
∞∫
−∞
εT (λ)sT (λ, α̂T )ϕ(λ) dλ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ОЦIНКУ УIТЛА ПАРАМЕТРА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩIЛЬНОСТI ВИПАДКОВОГО . . . 1057
Лема 3. Якщо виконано умови A1, C1 – C3, N1 – N3, а ϕ(λ), λ ∈ R,— рiвномiрно неперервна
обмежена функцiя, то ∆T (ϕ)
P−→ 0.
Доведення. Нехай Bσ — сукупнiсть усiх цiлих функцiй b(λ) експоненцiального типу 0 ≤
≤ σ <∞, для яких c(b) = supλ∈R |b(λ)| <∞. Нехай δ > 0 — довiльне мале число.
Iснує функцiя ϕσ ∈ Bσ, σ = σ(δ), така, що [24]
sup
λ∈R
|ϕ(λ)− ϕσ(λ)| < δ.
Нехай Tn(ϕσ;λ) =
∑n
j=−n
c
(n)
j eij
σ
nλ, n ≥ 1, — послiдовнiсть полiномiв Левiтана [24], що
вiдповiдає ϕσ. Для будь-якого Λ > 0 iснує n0 = n0(δ,Λ) таке, що для n ≥ n0
sup
λ∈[−Λ,Λ]
|ϕσ(λ)− Tn(ϕσ;λ)| ≤ δ.
Запишемо
∆T (ϕ) = ∆T (ϕ− ϕσ) + ∆T (ϕσ − Tn) + ∆T (Tn),
|∆T (ϕ− ϕσ)| ≤ δT−1/2
∞∫
−∞
|εT (λ)sT (λ, α̂T )| dλ ≤
≤ δT−1/2
∞∫
−∞
|εT (λ)|2 dλ
1/2 ∞∫
−∞
|sT (λ, α̂T )|2 dλ
1/2
=
= 2πδ
T−1
T∫
0
ε2(t) dt
1/2
Φ
1/2
T (α0, αT ) ≤ 2πc0δ
T−1
T∫
0
ε2(t) dt
1/2
T 1/2‖α̂T − α0‖.
За умови C2, таким чином, для будь-якого ρ > 0 i B(0) = Eε2(0)
P
{
|∆T (ϕ− ϕσ)| ≥ ρ
}
≤ P
{
T 1/2‖α̂T − α0‖ ≥
ρ
2πc0δ(B(0) + 1)1/2
}
+
+P
1
T
T∫
0
(
ε2(t)−B(0)
)
dt > 1
= P3 + P4.
Iмовiрнiсть P4 → 0 при T → ∞, а ймовiрнiсть P3 → 0 за умови N1 при достатньо великих
T (T > T0) можна зробити меншою за наперед задане число вибором δ > 0 при фiксованому
ρ > 0.
Оскiльки функцiя ϕσ ∈ Bσ i вiдповiдна їй послiдовнiсть полiномiв Левiтана Tn обмеженi
однiєю i тiєю ж самою константою [24], отримуємо
|∆(ϕσ − Tn)| ≤ δT−1/2
Λ∫
−Λ
|εT (λ)sT (λ, α̂T )| dλ+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1058 О. В. IВАНОВ, В. В. ПРИХОДЬКО
+2c(ϕσ)T−1/2
∫
R\[−Λ,Λ]
|εT (λ)sT (λ, α̂T )| dλ = D1 +D2.
Iнтеграл в доданку D1 мажоруємо iнтегралом по осi i оцiнюємо цей доданок, як i ранiше.
Маємо далi
sT (λ, α̂T ) =
1
iλ
[
eiλT (g(T, α0)− g(T, α̂T ))− (g(0, α0)− g(0, α̂T ))− s′T (λ, α̂T )
]
,
де s′T (λ, α̂T ) =
∫ T
0
e−iλt
(
g′(t, α0)− g′(t, α̂T )
)
dt.
За умов леми
T−1/2
∫
R\[−Λ,Λ]
|εT (λ)sT (λ, α̂T )| dλ ≤ T−1/2
∫
R\[−Λ,Λ]
|εT (λ)|2 dλ
1/2
×
×
3
∫
R\[−Λ,Λ]
1
λ2
(
|g(T, α0)− g(T, α̂T )|2 + |g(0, α0)− g(0, α̂T )|2 + |s′T (λ, α̂T )|2
)
dλ
1/2
≤
≤
2π
T
T∫
0
ε2(t) dt
1/2
31/2
8c̄2
∫
R\[−Λ,Λ]
dλ
λ2
+
2π
Λ2
Φ′T (α0, α̂T )
1/2
≤
≤
(
4
√
6πc̄Λ−1/2 + 2
√
3πc′0Λ−1T 1/2‖α̂T − α0‖
)T−1
T∫
0
ε2(t) dt
1/2
.
Таким чином, для будь-якого фiксованого ρ > 0, аналогiчно ймовiрностi P3, ймовiрнiсть
P5 = P{D2 ≥ ρ} при T > T0 можна зробити меншою за наперед задане число вибором
величини Λ.
Розглянемо
∆T (Tn) = T−1/2
n∑
j=−n
c
(n)
j
∞∫
−∞
εT (λ)sT (λ, α̂T )eij
σ
nλ dλ,
sT (λ, α̂T )eij
σ
nλ =
T+j
σ
n∫
j
σ
n
eiλt
(
g
(
t− j σ
n
, α0
)
− g
(
t− j σ
n
, α̂T
))
dt, j = −n, n.
Це означає, що
∆T (Tn) = 2π
n∑
j=1
c
(n)
j T−1/2
T∫
jσ
n
ε(t)
(
g
(
t− j σ
n
, α0
)
− g
(
t− j σ
n
, α̂T
))
dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ОЦIНКУ УIТЛА ПАРАМЕТРА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩIЛЬНОСТI ВИПАДКОВОГО . . . 1059
+2π
0∑
j=−n
c
(n)
j T−1/2
T+
jσ
n∫
0
ε(t)
(
g
(
t− j σ
n
, α0
)
− g
(
t− j σ
n
, α̂T
))
dt.
Для j > 0 розглянемо величину
T−1/2
T∫
jσ
n
ε(t)
(
g
(
t− j σ
n
, α̂T
)
− g
(
t− j σ
n
, α0
))
dt =
=
q∑
i=1
T−1
T∫
jσ
n
ε(t)gi
(
t− j σ
n
, α0
)
dtT
1
2 (α̂iT − αi0) +
+
1
2
q∑
i,k=1
T−1/2
T∫
jσ
n
ε(t)gik
(
t− j σ
n
, α∗T
)
dt(α̂iT − αi0)(α̂kT − αk0) = I1T + I2T .
Зауважимо, що T 1/2(α̂iT − αi0) слабко збiгається до гауссiвської випадкової величини
N(0, Sii) за умови N1. Крiм цього,
E
T−1
T∫
jσ/n
ε(t)gi
(
t− j σ
n
, α0
)
dt
2
=
= T−2
T∫
jσ
n
T∫
jσ
n
B(t− s)gi
(
t− j σ
n
, α0
)
gi
(
t− j σ
n
, α0
)
dt ds ≤
≤
T−2
T∫
0
T∫
0
B2(t− s) dtds
1/2
T−1
T∫
0
g2
i (t, α0) dt,
де B(t), t ∈ R, — коварiацiйна функцiя процесу ε(t). Оскiльки завдяки умовi C3
T−1
T∫
0
T∫
0
B2(t− s) dtds→
∞∫
−∞
B2(t) dt = 2π
∞∫
−∞
f2(λ; θ0) dλ <∞,
то разом з умовою N3(ii) це означає, що сума I1T
P−→ 0, T →∞.
Для загального члена суми I2T маємо
T−1/2
∣∣∣∣∣∣∣∣
T∫
jσ
n
ε(t)gik
(
t− j σ
n
, α∗T
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣∣ |α̂iT − αi0||α̂kT − αk0| ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1060 О. В. IВАНОВ, В. В. ПРИХОДЬКО
≤ c̄1/2
ik
T−1
T∫
0
ε2(t) dt
1/2 ∣∣∣T 1/2(α̂iT − αi0)
∣∣∣|α̂kT − αk0|
P−→ 0
за умов теореми, тобто I2T
P−→ 0, T →∞. Для j ≤ 0 мiркування аналогiчнi, i
∆T (Tn)
P−→ 0, T →∞.
Лему 3 доведено.
Лема 4. Нехай функцiя ϕ(λ, θ)w(λ) неперервна по θ ∈ Θc при кожному фiксованому λ ∈ R,
причому
|ϕ(λ, θ)| ≤ ϕ(λ), θ ∈ Θc, i ϕ(·)w(·) ∈ L1(R).
Тодi якщо θ∗T
P−→ θ0, то
I(θ∗T ) =
∞∫
−∞
ϕ(λ, θ∗T )w(λ) dλ
P−→
∞∫
−∞
ϕ(λ, θ0)w(λ) dλ = I(θ0).
Доведення. За теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть iнтеграл I(θ), θ ∈ Θc, є непе-
рервною функцiєю. Подальшi мiркування стандартнi. Для довiльного ρ > 0 i ε =
ρ
2
знайдемо
таке δ = δ(ε) > 0, що |I(θ)−I(θ0)| < ε при ‖θ−θ0‖ < δ. Тодi P
{
|I(θ∗T )−I(θ0)| ≥ ρ
}
= P1 +P2,
де P1 = P
{
|I(θ∗T )− I(θ0)| ≥ ρ, ‖θ∗T − θ‖ < δ
}
= 0, завдяки вибору ε; P2 = P
{
|I(θ∗T )− I(θ0)| ≥
≥ ρ, ‖θ∗T − θ‖ ≥ δ
}
→ 0, T →∞.
Лему 4 доведено.
Лема 5. Якщо виконано умови A1, C1, C2 i supλ∈R,θ∈Θc |ϕ(λ, θ)| = c(ϕ) <∞, то
T−1
∞∫
−∞
ϕ(λ, θ∗T )εT (λ)sT (λ, α̂T ) dλ
P−→ 0, T →∞,
T−1
∞∫
−∞
ϕ(λ, θ∗T )|sT (λ, α̂T )|2 dλ P−→ 0, T →∞.
Доведення. Цi спiввiдношення аналогiчнi спiввiдношенням (3) i (4) i доводяться так само.
Лема 6. Нехай iснує парна додатна функцiя v(λ), λ ∈ R, така, що
(i) ϕ(λ, θ)v(λ) рiвномiрно неперервна в R×Θc;
(ii) f(·, θ)
w(·)
v(·)
∈ L1(R) ∩ L2(R), θ ∈ Θ;
i, крiм цього,
(iii) ϕ(·, θ)f(·, θ)w(·) ∈ L1(R) ∩ L2(R), θ ∈ Θ.
Тодi якщо θ∗T
P−→ θ0 i виконано умову A1, то
∞∫
−∞
ϕ(λ, θ∗T )IεT (λ)w(λ) dλ
P−→
∞∫
−∞
ϕ(λ, θ0)f(λ, θ0)w(λ) dλ, T →∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ОЦIНКУ УIТЛА ПАРАМЕТРА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩIЛЬНОСТI ВИПАДКОВОГО . . . 1061
Доведення. Запишемо
∞∫
−∞
ϕ(λ, θ∗T )IεT (λ)w(λ) dλ =
∞∫
−∞
(ϕ(λ, θ∗T )− ϕ(λ, θ0))v(λ)IεT (λ)
w(λ)
v(λ)
dλ+
+
∞∫
−∞
ϕ(λ, θ0)IεT (λ)w(λ) dλ = I1 + I2.
За лемою 1 i умовою (iii)
I2
P−→
∞∫
−∞
ϕ(λ, θ0)f(λ, θ0)w(λ) dλ, T →∞. (6)
З iншого боку, для будь-якого r > 0 за умови (i) iснує таке δ = δ(r), що для ‖θ∗T − θ0‖ < δ
|I1| ≤ r
∞∫
−∞
IεT
w(λ)
v(λ)
dλ, (7)
а за умови (ii)
∞∫
−∞
IεT
w(λ)
v(λ)
dλ
P−→
∞∫
−∞
f(λ, θ0)
w(λ)
v(λ)
dλ. (8)
Спiввiдношення (6) – (8) доводять лему.
Тепер ми можемо довести теорему 2.
Доведення. За означенням о. м. к. θ̂T , формально використовуючи формулу Тейлора, отри-
муємо
0 = ∇θUT (θ̂T , α̂T ) = ∇θUT (θ0, α̂T ) +∇θ∇′θUT (θ∗T , α̂T )(θ̂T − θ0), (9)
де ∇θ — стовпчик вектор-градiєнт, ∇′θ — рядок вектор-градiєнт. Оскiльки векторної формули
Тейлора не iснує, рiвнiсть (9) слiд розумiти покоординатно, тобто кожний рядок векторної
рiвностi (9) залежить вiд свого випадкового вектора θ∗T такого, що ‖θ∗T − θ0‖ ≤ ‖θ̂T − θ0‖.
З (9), у свою чергу, формально маємо
T 1/2(θ̂T − θ0) = (∇θ∇′θUT (θ∗T , α̂T ))−1
(
− T 1/2∇θUT (θ0, α̂T )
)
.
Оскiльки з умови A4 випливає можливiсть диференцiювання пiд знаками iнтегралiв у фор-
мулi (6), то
−T 1/2∇θUT (θ0, α̂T ) =
= −T 1/2
∞∫
−∞
(
∇θ ln f(λ, θ0) +∇θ
(
1
f(λ, θ0)
)
IT (λ, α̂T )
)
w(λ) dλ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1062 О. В. IВАНОВ, В. В. ПРИХОДЬКО
= T 1/2
∞∫
−∞
(
∇θf(λ, θ0)
f2(λ, θ0)
IT (λ, α̂T )− ∇θf(λ, θ0)
f(λ, θ0)
)
w(λ) dλ =
= T 1/2
∞∫
−∞
(
∇θf(λ, θ0)
f2(λ, θ0)
IεT (λ)− ∇θf(λ, θ0)
f(λ, θ0)
)
w(λ) dλ+
+(2π)−1T−1/2
∞∫
−∞
(
2Re
{
εT (λ)sT (λ, α̂T )
}
+ |sT (λ, α̂T |2
) ∇θf(λ, θ0)
f2(λ, θ0)
w(λ) dλ =
= A
(1)
T +A
(2)
T +A
(3)
T . (10)
Аналогiчно
∇θ∇′θUT (θ∗T , α̂T ) =
=
∞∫
−∞
(
∇θ∇′θ ln f(λ, θ∗T ) +∇θ∇′θ
(
1
f(λ, θ∗T )
)
IT (λ, α̂T )
)
w(λ) dλ =
=
∞∫
−∞
{(
∇θ∇′θf(λ, θ∗T )
f(λ, θ∗T )
−
∇θf(λ, θ∗T )∇′θf(λ, θ∗T )
f2(λ, θ∗T )
)
+
+
(
2
∇θf(λ, θ∗T )∇′θf(λ, θ∗T )
f3(λ, θ∗T )
−
∇θ∇′θf(λ, θ∗T )
f2(λ, θ∗T )
)(
IεT (λ)+
+ (πT )−1Re
{
εT (λ)sT (λ, α̂T )
}
+ (2πT )−1|sT (λ, α̂T |2
)}
w(λ) dλ =
= B
(1)
T +B
(2)
T +B
(3)
T +B
(4)
T , (11)
де доданки B(3)
T i B(4)
T мiстять у собi величини Re
{
εT (λ)sT (λ, α̂T )
}
i |sT (λ, α̂T |2 вiдповiдно.
З огляду на першу частину умови N4(i) вiзьмемо в лемi 3 функцiї ϕ(λ) = ϕi(λ) =
=
fi(λ, θ0)
f2(λ, θ0)
w(λ), i = 1,m. Тодi в формулi (10) A(2)
T
P−→ 0, T →∞.
Розглянемо в сумi (10) доданок A(3)
T = (a
(3)
iT )mi=1,
a
(3)
iT = (2π)−1T−1/2
∞∫
−∞
|sT (λ, α̂T )|2ϕi(λ) dλ,
де ϕi(λ) такi, як ранiше.
За умов C1, C2, N1, N4(i) A(3)
T
P−→ 0, T →∞, тому що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ОЦIНКУ УIТЛА ПАРАМЕТРА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩIЛЬНОСТI ВИПАДКОВОГО . . . 1063
|a(3)
iT | ≤ c(ϕi)T
−1/2ΦT (α0, α̂T ) ≤
≤ c(ϕi)c2
0‖T 1/2(α̂T − α0)‖‖α̂T − α0‖
P−→ 0, T →∞.
Розглянемо поведiнку доданкiв B(1)
T −B
(4)
T у формулi (11).
Якщо виконано умови C1 i N4(ii), то при T →∞
B
(1)
T
P−→
∞∫
−∞
(
∇θ∇′θf(λ, θ0)
f(λ, θ0)
−
∇θf(λ, θ0)∇′θf(λ, θ0)
f(λ, θ0)
)
w(λ) dλ. (12)
Для отримання цього факту вiзьмемо в лемi 4
ϕ(λ, θ) =
fij(λ, θ)
f(λ, θ)
,
fi(λ, θ)fj(λ, θ)
f2(λ, θ)
, i, j = 1,m.
Якщо виконано умови леми 5 i N4(iii), то B(3)
T
P−→ 0, B
(4)
T
P−→ 0, T →∞.
Для того щоб у цьому переконатись, вiзьмемо у лемi 5
ϕ(λ, θ) = ϕij(λ, θ) =
fij(λ, θ)
f2(λ, θ)
w(λ),
fi(λ, θ)fj(λ, θ)
f3(λ, θ)
, i, j = 1,m.
За умов C1 i N5
B
(2)
T
P−→
∞∫
−∞
(
2
∇θf(λ, θ0)∇′θf(λ, θ0)
f2(λ, θ0)
−
∇θ∇′θf(λ, θ0)
f2(λ, θ0)
)
w(λ) dλ, (13)
якщо взяти в лемi 6 в умовах (i) i (iii)
ϕ(λ, θ) = ϕij(λ, θ) =
fi(λ, θ)fj(λ, θ)
f3(λ, θ)
,
fij(λ, θ)
f2(λ, θ)
, i, j = 1,m.
Таким чином, якщо виконано умови C1, C2, N4(ii), N4(iii), N5, то
∇θ∇′θUT (θ∗T , α̂T )
P−→
∞∫
−∞
∇θf(λ, θ0)∇′θf(λ, θ0)
f2(λ, θ0)
w(λ) dλ =
=
∞∫
−∞
∇θ ln f(λ, θ0)∇′θ ln f(λ, θ0)w(λ) dλ = W1(θ0), (14)
тому що W1(θ0) є сумою правих частин (12) та (13).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1064 О. В. IВАНОВ, В. В. ПРИХОДЬКО
Iз отриманих фактiв випливає, що для доведення теореми 2 потрiбно вивчити асимптотичну
поведiнку вектора A(1)
T з (10):
A
(1)
T = T 1/2
∞∫
−∞
(
∇θf(λ, θ0)
f2(λ, θ0)
IεT (λ)− ∇θf(λ, θ0)
f(λ, θ0)
)
w(λ) dλ.
Покладемо
ϕi(λ) =
fi(λ, θ0)
f2(λ, θ0)
w(λ), i = 1,m,
Ψ(λ) =
m∑
i=1
uiϕi(λ), u = (u1, . . . , um) ∈ Rm,
YT =
∞∫
−∞
IεT (λ)Ψ(λ) dλ, Y =
∞∫
−∞
f(λ, θ0)Ψ(λ) dλ.
Запишемо 〈
A
(1)
T , u
〉
= T 1/2
(
YT − EYT
)
+ T 1/2
(
EYT − Y
)
.
Якщо виконано умову N6, то [25, 26]
T 1/2
(
EYT − Y
)
→ 0, T →∞. (15)
З iншого боку, за умови N7
fi(·, θ)
f(·, θ)
w(·) ∈ L2(R), θ ∈ Θ, i [22]
DT
1
2YT −−−−→
T→∞
4π
∞∫
−∞
f2(λ, θ0)Ψ2(λ) dλ =
= 4π
m∑
i,j=1
∞∫
−∞
ϕi(λ)ϕj(λ)f2(λ, θ0) dλuiuj =
= 4π
m∑
i,j=1
∞∫
−∞
∇θ ln f(λ, θ0)∇′θ ln f(λ, θ0)w2(λ) dλuiuj = 〈W2(θ0)u, u〉 . (16)
Крiм цього, за умови N7, як показано, наприклад, у [22], всi кумулянти порядку k ≥ 3
випадкового вектора T 1/2YT збiгаються до 0. Останнiй факт разом iз спiввiдношеннями (14) –
(16) доводять теорему.
Розглянемо коротко важливе питання про оцiнювання асимптотичної коварiацiйної матрицi
W (θ0) у формулюваннi теореми 2. Зауважимо, що умова N4(ii) забезпечує неперервнiсть еле-
ментiв матрицi W1(θ), θ ∈ Θc. У свою чергу, умова N4(ii) та обмеженiсть вагової функцiї w(λ),
λ ∈ R, дозволяють зробити такий же висновок вiдносно елементiв матрицi W2(θ), θ ∈ Θc.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ОЦIНКУ УIТЛА ПАРАМЕТРА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩIЛЬНОСТI ВИПАДКОВОГО . . . 1065
Теорема 3. За умов A1, C1 – C5, N4(ii)
W (θ̂T )
P−→W (θ0), T →∞,
поелементно, тобто W (θ̂T ) є слабко консистентною оцiнкою матрицi W (θ0).
Доведення аналогiчно доведенню леми 4.
5. Приклади. 1. Розглянемо класичний приклад дробово-рацiональної спектральної щiль-
ностi (див., наприклад, [27])
f(λ, θ0) =
1
2π
|P (iλ)|2
|Q(iλ)|2
=
=
1
2π
θ1λ
2p + θ2λ
2p−2 + . . .+ θpλ
2 + θp+1
θp+2λ2q + θp+3λ2q−2 + . . .+ θp+q+1λ2 + θp+q+2
, q > p,
що залежить вiд невiдомого параметра θ0 = (θ1, . . . , θp+q+2) ∈ Θ, причому в Θc полiноми P i
Q не мають дiйсних коренiв.
Якщо ми виберемо ваговi функцiї вигляду w(λ) = (1 + λ2)−W , v(λ) = (1 + λ2)−V , то
неважко переконатися, що вибором величин W > V можна забезпечити виконання умов C3 –
C5, а також N4 – N7. Перевiрка цього факту є рутинною, i ми її не наводимо.
2. Нехай ε(t), t ∈ R,− дробовий рух Рiсса – Бесселя [22], тобто гауссiвський стацiонарний
процес зi спектральною щiльнiстю
f(λ, θ0) =
1
λ2β0(1 + λ2)α0
, θ0 = (α0, β0) ∈ Θ,
Θ — обмежена вiдкрита множина, Θc — компактна пiдмножина множини
(
1
2
,∞
)
×
(
0,
1
2
)
.
Розглянемо вагову функцiю [22] w(λ) =
λ2b
(1 + λ2)a
, a > b > 0, i перевiримо виконання умов
роботи.
Для виконання умови C3 потрiбно, щоб параметр β належав деякому замкненому iнтервалу
iз iнтервалу
(
0,
1
4
)
. В свою чергу, C4(i) виконується, якщо a − b >
1
2
, а C4(ii) — якщо
a− b ≥ α+ β, (α, β) ∈ Θc. Остання нерiвнiсть має мiсце, якщо
a− b ≥ 1
4
+ ᾱ, (17)
де ᾱ >
1
2
— максимальне можливе значення α.
З умов C3 i C4 випливає (2), але можна забезпечити виконання (2) для β iз замкненого
iнтервалу, який мiститься у
(
0,
1
2
)
, за рахунок додаткових обмежень на параметри a i b.
Виберемо в умовi C5 v(λ) =
λ2b′
(1 + λ2)a′
, a′ > b′. Тодi умова C5(i) виконується, якщо
a′ − b′ ≥ 1
4
+ ᾱ. Для виконання умови C5(ii) достатньо, щоб виконувалось спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1066 О. В. IВАНОВ, В. В. ПРИХОДЬКО
β + α+ a+ b′ − b− a′ > 1
2
. (18)
Вiзьмемо a > a′. Оскiльки α >
1
2
, то (18) буде виконуватись, якщо b − b′ < β, де β > 0 —
мiнiмальне можливе значення β. Зокрема, можна взяти b = b′.
Очевидно, f(λ, θ) двiчi диференцiйовна по θ = (α, β) ∈ Θc при кожному λ ∈ R\{0}. Для
λ 6= 0 fα(λ, θ) = − ln(1 + λ2)f(λ, θ), fβ(λ, θ) = − lnλ2f(λ, θ), fαα(λ, θ) = ln2(1 + λ2)f(λ, θ),
fββ(λ, θ) = ln2 λ2f(λ, θ), fαβ(λ, θ) = ln(1 + λ2) lnλ2f(λ, θ).
Якщо ми позначимо через Df(λ, θ) будь-яку похiдну з цього списку, то, очевидно, для
θ ∈ Θc
lim
λ→0
Df(λ, θ)w(λ) = 0, якщо b > β.
Для таким чином продовжених функцiй Df(λ, θ)w(λ) умову N4(i) виконано, якщо викону-
ється нерiвнiсть (17), а умову N4(ii) — якщо a − b > 1
2
, що автоматично забезпечується (17).
Виконання умови N4(iii) також є наслiдком (17).
Для перевiрки виконання умови N5 вiзьмемо функцiю v(λ) =
λ2b′
(1 + λ2)a′
. Тодi N5(i) викона-
но, якщо a′− b′ ≥ 1
4
+ ᾱ. Для виконання умови N5(ii) достатньо, щоб параметри задовольняли
нерiвностi b−b′ < β, a > a′, де β — мiнiмально можливе значення β (пор. з C5(ii)). Умова N5(iii)
виконується, якщо a− b > 1
2
, або є правильним (17).
Неважко зрозумiти, що достатньою для виконання N6 є умова
a− b > 3
4
+ ᾱ,
яка трохи сильнiша за умову (17). Остання є достатньою для виконання умови N7.
6. Висновки. В роботi отримано слабку консистентнiсть та асимптотичну нормальнiсть
оцiнки Уiтла параметра спектральної щiльностi гауссiвського стацiонарного випадкового шуму
в нелiнiйнiй моделi регресiї, параметр якої в такiй постановцi задачi є заважаючим.
Доведення цих результатiв потребує використання умов, по-перше, на функцiю регресiї та
о. н. к. невiдомого параметра функцiї регресiї, а по-друге, на спектральну щiльнiсть випадкового
шуму.
Хоча умови C3 – C5 та N4 – N8 разом складають враження громiздкої системи обмежень на
спектральну щiльнiсть, цi обмеження не є обтяжливими, про що свiдчать наведенi у роботi
приклади.
Природним продовженням дослiджень буде використання перiодограми залишкiв у полi
контрасту Iбрагiмова та в iнших функцiоналах, що використовуються для оцiнювання парамет-
рiв спектральної щiльностi стацiонарного процесу, для отримання аналогiчних результатiв.
1. Ivanov A. V., Leonenko N. N. Statistical analysis of random fields. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1989. –
244 p.
2. Ivanov A. V. Asymptotic theory of nonlinear regression. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1997. – 327 p.
3. Whittle P. Hypothesis testing in time series. – New York: Hafner, 1951.
4. Whittle P. Estimation and information in stationary time series // Ark. mat. – 1953. – № 2. – P. 423 – 434.
5. Hannan E. J. Multiple time series. – New York: Springer, 1970.
6. Hannan E. J. The asymptotic theory of linear time series models // J. Appl. Probab. – 1973. – № 10. – P. 130 – 145.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ПРО ОЦIНКУ УIТЛА ПАРАМЕТРА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩIЛЬНОСТI ВИПАДКОВОГО . . . 1067
7. Dunsmuir W., Hannan E. J. Vector linear time series models // Adv. Appl. Probab. – 1976. – № 8. – P. 339 – 360.
8. Guyon X. Parameter estimation for a stationary process on a d-dimensional lattice // Biometrica. – 1982. – № 69. –
P. 95 – 102.
9. Rosenblatt M. R. Stationary sequences and random fields. – Boston: Birkhäuser, 1985.
10. Fox R., Taqqu M. S. Large-sample properties of parameter estimates for strongly dependent stationary Gaussian time
series // Ann. Statist. – 1986. – 2, № 14. – P. 517 – 532.
11. Bentkus R. Yu., Malinkevicius R. R. Statistical estimation of a multidimensional parameter of a spectral density. I //
Lith. Math. J. – 1988. – 2, № 28. – P. 115 – 126.
12. Bentkus R. Yu., Malinkevicius R. R. Statistical estimation of a multidimensional parameter of a spectral density. II //
Lith. Math. J. – 1988. – 3, № 28. – P. 209 – 221.
13. Dahlhaus R. Efficient parameter estimation for self-similar processes // Ann. Statist. – 1989. – 17. – P. 1749 – 1766.
14. Heyde C., Gay R. On asymptotic quasi-likelihood stochastic process // Appl. – 1989. – № 31. – P. 223 – 236.
15. Giraitis L., Surgailis D. A central limit theorem for quadratic forms in strongly dependent linear variables and its
application to asymptotic normality of Whittle estimate // Probab. Theory Relat. Fields. – 1990. – № 86. – P. 87 – 104.
16. Heyde C., Gay R. Smoothed periodogram asymptotic and estimation for processes and fields with possible long-range
dependence // Stochast. Process. and Appl. – 1993. – № 45. – P. 169 – 182.
17. Giraitis L., Taqqu M. S. Whittle estimator for finite-variance non-Gaussian time series with long memory // Ann.
Statist. – 1999. – 1, № 27. – P. 178 – 203.
18. Gao J., Anh N. N., Heyde C. C., Tieng Q. Parameter estimation of stochastic processes with long-range dependence
and intermittency // J. Time Ser. Anal. – 2001. – № 22. – P. 517 – 535.
19. Gao J. Moddeling long-range-dependent Gaussian processes with application in continuous-time financial models //
J. Appl. Probab. – 2004. – № 41. – P. 467 – 485.
20. Leonenko N. N., Sakhno L. M. On the Whittle estimators for some classes of continuous-parameter random processes
and fields // Statist. and Probab. Lett. – 2006. – № 76. – P. 781 – 795.
21. Сахно Л. М. Асимптотичнi та спектральнi методи для статистичного оцiнювання випадкових процесiв та
полiв: Дис. . . . д-ра фiз.-мат. наук. – Київ, 2012.
22. Anh V. V., Leonenko N. N., Sakhno L. M. On a class of minimum contract estimators for fractional stochastic processes
and fields // J. Statist. Planning and Inference. – 2004. – № 123. – P. 161 – 185.
23. Koul H. L., Surgailis D. Asymptotic normality of the whittle estimator in linear regression models with long memory
errors // Statist. Inference for Stochast. Processes. – 2000. – № 3. – P. 129 – 147.
24. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 408 с.
25. Ибрагимов И. А. Об оценке спектральной функции стационарного гауссовского процесса // Теория вероятнос-
тей и ее применение. – 1963. – 4, № 8. – С. 391 – 430.
26. Бенткус Р. Об ошибке оценки спектральной функции стационарного процесса // Лит. мат. сб. – 1972. – 1,
№ 12. – С. 55 – 71.
27. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. – М.: Физматгиз, 1963. – 284 с.
Одержано 05.08.14,
пiсля доопрацювання — 05.02.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2045 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:41Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9e/c2106bbd66d29f37b4a405bc9076de9e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20452019-12-05T09:49:28Z On the Whittle Estimator of the Parameter of Spectral Density of Random Noise in the Nonlinear Regression Model Про оцінку Уітла параметра спектральної щільності випадкового шуму в моделі нелінійної регресії Ivanov, O. V. Prykhod’ko, V. V. Іванов, О. В. Приходько, В. В. We consider a nonlinear regression model with continuous time and establish the consistency and asymptotic normality of the Whittle minimum contrast estimator for the parameter of spectral density of stationary Gaussian noise. Рассматривается нелинейная модель регрессии с непрерывным временем. Установлены свойства состоятельности и асимптотической нормальности оценки минимального контраста Уитла параметра спектральной плотности гауссовского стационарного шума. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2045 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 8 (2015); 1050-1067 Український математичний журнал; Том 67 № 8 (2015); 1050-1067 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2045/1107 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2045/1108 Copyright (c) 2015 Ivanov O. V.; Prykhod’ko V. V. |
| spellingShingle | Ivanov, O. V. Prykhod’ko, V. V. Іванов, О. В. Приходько, В. В. On the Whittle Estimator of the Parameter of Spectral Density of Random Noise in the Nonlinear Regression Model |
| title | On the Whittle Estimator of the Parameter of Spectral Density of Random Noise in the Nonlinear Regression Model |
| title_alt | Про оцінку Уітла параметра спектральної щільності випадкового шуму в моделі нелінійної регресії |
| title_full | On the Whittle Estimator of the Parameter of Spectral Density of Random Noise in the Nonlinear Regression Model |
| title_fullStr | On the Whittle Estimator of the Parameter of Spectral Density of Random Noise in the Nonlinear Regression Model |
| title_full_unstemmed | On the Whittle Estimator of the Parameter of Spectral Density of Random Noise in the Nonlinear Regression Model |
| title_short | On the Whittle Estimator of the Parameter of Spectral Density of Random Noise in the Nonlinear Regression Model |
| title_sort | on the whittle estimator of the parameter of spectral density of random noise in the nonlinear regression model |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2045 |
| work_keys_str_mv | AT ivanovov onthewhittleestimatoroftheparameterofspectraldensityofrandomnoiseinthenonlinearregressionmodel AT prykhodkovv onthewhittleestimatoroftheparameterofspectraldensityofrandomnoiseinthenonlinearregressionmodel AT ívanovov onthewhittleestimatoroftheparameterofspectraldensityofrandomnoiseinthenonlinearregressionmodel AT prihodʹkovv onthewhittleestimatoroftheparameterofspectraldensityofrandomnoiseinthenonlinearregressionmodel AT ivanovov proocínkuuítlaparametraspektralʹnoíŝílʹnostívipadkovogošumuvmodelínelíníjnoíregresíí AT prykhodkovv proocínkuuítlaparametraspektralʹnoíŝílʹnostívipadkovogošumuvmodelínelíníjnoíregresíí AT ívanovov proocínkuuítlaparametraspektralʹnoíŝílʹnostívipadkovogošumuvmodelínelíníjnoíregresíí AT prihodʹkovv proocínkuuítlaparametraspektralʹnoíŝílʹnostívipadkovogošumuvmodelínelíníjnoíregresíí |