Problem of Optimal Control for Parabolic-Hyperbolic Equations with Nonlocal Point Boundary Conditions and Semidefinite Quality Criterion
We consider a problem of optimal control for parabolic-hyperbolic equations with nonlocal boundary conditions and semidefinite quality criterion. The optimality conditions are constructed by reducing the problem to a sequence of one-dimensional problems, the optimal control is obtained in a closed f...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2046 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507967051268096 |
|---|---|
| author | Kapustyan, V. E. Pyshnograev, I. A. Капустян, В. Є. Пишнограєв, І. А. |
| author_facet | Kapustyan, V. E. Pyshnograev, I. A. Капустян, В. Є. Пишнограєв, І. А. |
| author_sort | Kapustyan, V. E. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:28Z |
| description | We consider a problem of optimal control for parabolic-hyperbolic equations with nonlocal boundary conditions and semidefinite quality criterion. The optimality conditions are constructed by reducing the problem to a sequence of one-dimensional problems, the optimal control is obtained in a closed form, and its convergence is proved. The form of the quality criterion is substantiated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В. Е. КАПУСТЯН, И. А. ПЫШНОГРАЕВ, 2015
1068 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
УДК 517.977
В. Е. Капустян, И. А. Пышнограев (Нац. техн. ун-т Украины ,,КПИ”, Киев)
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
С ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ТОЧЕЧНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
We consider an optimal control problem for parabolic-hyperbolic equations with nonlocal boundary conditions and sem-
idefinite quality criterion. The optimality conditions are constructed by reducing the problem to a sequence of one-
dimensional problems, the optimal control is obtained in the closed form, and its convergence is proved. The form of the
quality criterion is substantiated.
Розглядається задача оптимального керування для параболо-гіперболічних рівнянь з нелокальними крайовими умо-
вами та напіввизначеним критерієм якості. Побудовано умови оптимальності шляхом зведення задачі до послідов-
ності одновимірних задач, знайдено оптимальне керування в замкненій формі, доведено його збіжність, а також
обґрунтовано вид критерію якості.
1. Введение. Одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений является
теория краевых задач для уравнений смешанного типа. Такие задачи для уравнений параболо-
гиперболического типа изучались во многих работах (см., например, [1 – 4]). В статье [5]
найдены условия существования и единственности решения соответствующей однородной кра-
евой задачи, а в [6] эти результаты расширены на неоднородный случай.
Задачи оптимального управления для уравнений такого типа раньше не рассматривались.
В данной работе построено и обосновано оптимальное управление для параболо-гиперболи-
ческих уравнений с нелокальными краевыми условиями для задачи с полуопределенным кри-
терием.
2. Постановка задачи. Пусть управляемый процесс y(x, t) ∈C
1(D)∩C2(D− )∩C2,1(D+ )
в области D удовлетворяет уравнению
Ly(x, t) = g(x)û(t), (1)
начальным
y(x, −α) = φ(x) (2)
и граничным условиям
y(0, t) = 0, ′y (0, t) = ′y (1, t), −α ≤ t ≤ T , (3)
где D = {(x, t) : 0 < x < 1, −α < t ≤ T , α, T > 0}, D− = {(x, t) : 0 < x < 1, −α < t ≤ 0}, D+ =
= {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t ≤ T}, функции g(x) , φ(x) считаем заданными, а их свойства по
гладкости будут уточнены ниже, û(t) = v(t) , t ∈[−α, 0); û(t) = u(t), t ∈[0, T ] ,
Ly =
yt − yxx , t ≥ 0,
ytt − yxx , t < 0.
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА … 1069
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
Требуется найти управления v*(t) ∈C[−α, 0) : v*(t) ≤ 1; u*(0) ≤ l0 ; ξ*(t) ∈L2[0, T ] :
ξ*(t) ≤ l1 почти всюду на [0, T ], которые минимизируют функционал
I (û) = 0,5
0
1
∫ q(x) (y(x, T ) − ψ(x)) dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+ γ
−α
0
∫ v2(t)dt + u2(0) +
0
T
∫ ξ2(t) dt
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
, (4)
где ψ(x) — фиксированная функция, γ , l0, l1 = const > 0 ,
u(t) = u(0) +
0
t
∫ ξ(τ) dτ .
Критерий качества (4) относится к классу полуопределенных функционалов: он не обяза-
тельно должен быть равен нулю, когда û(t) = 0 , y(x, T ) = ψ(x).
3. Формальное решение задачи управления. 3.1. Сведение к одномерной задаче. Из-
вестно [7], что дифференциальный оператор Ly = ′′y и нелокальные условия (3) порождают
биортогональный в L2(0, 1) базис W0 = X j (x), j = 0, 1,…{ }, R0 = Yi (x), i = 0, 1,…{ } , где
X2k−1(x) = x cos(2πkx), X2k (x) = sin(2πkx),
k = 1, 2,…, X0(x) = x ,
Y2k−1(x) = 4 cos(2πkx), Y2k (x) = 4(1− x) sin(2πkx) , k = 1, 2,…, Y0(x) = 2 .
Тогда сформулированная задача оптимального управления может быть формально сведена к
одномерной задаче. С этой целью запишем разложение функции q(x) по базису R0 :
q(x) = q0Y0(x) +
k=1
∞
∑(q2k−1 Y2k−1(x) + q2kY2k (x)) ,
где qi = (q, Xi ), i = 0, 1,….
Функции g(x), ψ(x), y(x, t) предоставим в виде рядов по базису W0 :
g(x) = g0X0(x) +
k=1
∞
∑ (g2k−1X2k−1(x) + g2kX2k (x)), (5)
ψ(x) = ψ0X0(x) +
k=1
∞
∑ (ψ2k−1X2k−1(x) + ψ2kX2k (x)), (6)
y(x, t) = y0(t)X0(x) +
k=1
∞
∑ (y2k−1(t)X2k−1(x) + y2k (t)X2k (x)). (7)
Здесь gi = (q, Yi ) , ψ i = (ψ, Yi ), i = 0, 1,…, а коэффициенты разложения (7) удовлетворяют
задаче
1070 В. Е. КАПУСТЯН, И. А. ПЫШНОГРАЕВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
dy0(t)
dt
= g0u(t), t > 0 ,
d2y0(t)
dt 2
= g0v(t) , t < 0 ,
y0(−α) = φ0 ,
dy2k−1(t)
dt
+ λk2y2k−1(t) = g2k−1u(t) , t > 0 ,
d2y2k−1(t)
dt 2
+ λk2y2k−1(t) = g2k−1v(t) , t < 0 ,
y2k−1(−α) = φ2k−1, λk = 2kπ , (8)
dy2k (t)
dt
+ λk2y2k (t) = −2λky2k−1(t) + g2ku(t) , t > 0 ,
d2y2k (t)
dt 2
+ λk2y2k (t) = −2λky2k−1(t) + g2kv(t) , t < 0 ,
y2k (−α) = φ2k , k = 1, 2,… , yi (t) ∈C2(−α, T ) , i ≥ 0 .
Теперь задача оптимального управления сводится к задаче определения управлений
v*(t) ∈C[−α, 0) : v*(t) ≤ 1, u*(0) ≤ l0 , ξ*(t) ∈L2[0, T ] : ξ*(t) ≤ l1 почти всюду на [0, T ],
минимизирующих критерий качества
I (û) = 0,5
i=0
∞
∑ qi (yi (T ) − ψ i )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ γ
−α
0
∫ v2(t)dt + u2(0) +
0
T
∫ ξ2(t) dt
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
(9)
на решениях системы (8), т. е.
y0(T ) = Φ1,0 (T )φ0 + Φ3,0 (T )u(0) +
−α
0
∫ g0Ψ1,0 (t)v(t) dt +
0
T
∫ g0 !Ψ1,0 (t)u(t) dt ,
y2k−1(T ) = Φ1,2k−1(T )φ2k−1 + Φ3,2k−1(T )u(0) +
+
−α
0
∫ g2k−1Ψ1,2k−1(t)v(t) dt +
0
T
∫ g2k−1 !Ψ1,2k−1(t)u(t) dt ,
y2k (T ) = Φ1,2k (T )φ2k−1 + Φ2,2k (T )φ2k + Φ3,2k (T )u(0) +
+
−α
0
∫ g2k−1Ψ1,2k (t) + g2kΨ2,2k (t)( ) v(t) dt +
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА … 1071
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
+
0
T
∫ (g2k−1 !Ψ1,2k (t) + g2k !Ψ2,2k (t))u(t) dt ,
где обозначено
Φ1,0 (T ) = 1, Φ3,0 (T ) = g0α , Ψ1,0 (t) = −(α + t),
!Ψ1,0 (t) = 1,
Φ1,2k−1(T ) =
1
δk (α) exp λk2T
, Φ3,2k−1(T ) =
g2k−1 sin λkα
λkδk (α) exp λk2T
,
Ψ1,2k−1(t) = − sin λk (t + α)
λkδk (α) exp λk2T
,
!Ψ1,2k−1(t) = exp(−λk2(T − t)),
Φ1,2k (T ) = − sin λkα + 2λkT δk (α) + α(λk cos λkα − sin λkα)
δk2(α) exp(λk2T )
,
Φ2,2k (T ) = Φ1,2k−1(T ) , (10)
Φ3,2k (T ) =
1
λkδk2(α) exp(λk2T )
×
× −g2k−1 2 2sin λkα + 2λkT δk (α) sin λkα − α + sin 2λkα
2λk
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ g2kδk (α) sin λkα
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
,
Ψ1,2k (t) =
1
δk2(α) exp(λk2T )
δk (α)
cos λkα sin λkt
λk2
− t cos λk (t + α)
λk
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢ +
+ 2 sin λk (t + α) sin λkα
λk
+ δk (α)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ α − sin 2λkα
2λk
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
sin λkt −
cos λkt
λk
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎤
⎦⎥
,
Ψ2,2k (t) = Ψ1,2k−1(t),
!Ψ1,2k (t) = −2λk (T − t) exp −λk2(T − t)( ), !Ψ2,2k (t) = !Ψ1,2k−1(t).
С учетом записанных значений yi (T ) критерий (9) представим в виде
I (u) = 0,5
−α
0
∫ A(t)v(t) dt +
0
T
∫
t
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ(t) dt + M +
0
T
∫B(t) dt
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u(0) + C
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2⎡
⎣
⎢
⎢
+
+ γ
−α
0
∫ v2(t) dt +
0
T
∫ξ2(t) dt + u2(0)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎤
⎦
⎥
⎥
, (11)
где
1072 В. Е. КАПУСТЯН, И. А. ПЫШНОГРАЕВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
A(t) = q0g0Ψ1,0 (t) +
k=1
∞
∑ q2k−1g2k−1Ψ1,2k−1(t) + q2k g2k−1Ψ1,2k (t) + g2kΨ2,2k (t)( )⎡⎣ ⎤⎦ ,
B(t) = q0g0 !Ψ1,0 (t) +
k=1
∞
∑ q2k−1g2k−1 !Ψ1,2k−1(t) + q2k g2k−1 !Ψ1,2k (t) + g2k !Ψ2,2k (t)( )⎡⎣ ⎤⎦,
C = q0φ0Φ1,0 (T ) +
k=1
∞
∑ q2k−1φ2k−1Φ1,2k−1(T ) + q2k φ2k−1Φ1,2k (T ) + φ2kΦ2,2k (t)( )⎡⎣ ⎤⎦ −
i=0
∞
∑qiψ i ,
M = q0Φ3,0 (T ) +
k=1
∞
∑ q2k−1Φ3,2k−1(T ) + q2kΦ3,2k (T )( ) .
Предположим, что ряды, представляющие функции A(t), B(t), сходятся равномерно, а
ряды, представляющие числа C , M , сходятся.
3.2. Условия оптимальности. Функционал (11) имеет единственную точку минимума в
силу строгой выпуклости по управлениям. Необходимые и достаточные условия оптимальнос-
ти для него имеют вид
−α
0
∫ A(t)
−α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ +
0
T
∫
τ
T
∫B(ρ) dρ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(τ) dτ + M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u*(0) + C
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + γ v*(t)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
×
× [v(t) − v*(t)] dt ≥ 0 ∀ v(t) ≤ 1,
M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢ −α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ +
0
T
∫
τ
T
∫B(ρ) dρ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(τ) dτ
⎛
⎝
⎜ +
+ M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u*(0) + C
⎞
⎠
⎟ + γu*(0)
⎤
⎦
⎥
⎥
×
× [u(0) − u*(0)] ≥ 0 ∀ u(0) ≤ l0 , (12)
0
T
∫
t
T
∫B(τ) dτ
−α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ +
0
T
∫
τ
T
∫B(ρ) dρ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(τ)dτ
⎛
⎝
⎜
⎡
⎣
⎢
⎢
+
+ M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u*(0) + C
⎞
⎠
⎟ + γ ξ*(t)
⎤
⎦
⎥
⎥
[ξ(t) − ξ*(t)] dt ≥ 0 ∀ ξ(t) ≤ l1.
Система вариационных неравенств (12) эквивалентна следующим локальным условиям [8]:
v*(t) = −1,
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА … 1073
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
A(t)
−α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ
⎛
⎝
⎜ +
0
T
∫
ς
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(ς) dς +
+ C + M +
0
T
∫B(τ) dτ)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u*(0)
⎞
⎠
⎟ − γ > 0 ,
t ∈ ξ
i
, ξi⎡⎣ ⎤⎦ ⊂ [−α, 0), i = 1, V1 ,
v*(t) < 1,
v*(t) = −A(t)
γ −α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ
⎛
⎝
⎜ +
0
T
∫
ς
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(ς) dς +
+ C + M +
0
T
∫B(τ) dτ)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u*(0)
⎞
⎠
⎟ , t ∈ ξ
i
, ξi⎡⎣ ⎤⎦ ⊂ [−α, 0), i = V1 +1, V2 ,
v*(t) = 1,
A(t)
−α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ
⎛
⎝
⎜ +
0
T
∫
ς
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(ς) dς + C +
+ M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u*(0)
⎞
⎠
⎟ + γ < 0 , t ∈ ξ
i
, ξi⎡⎣ ⎤⎦ ⊂ [−α, 0), i = V2 +1, V3 ,
i=1
V3
∪ ξ
i
, ξi⎡⎣ ⎤⎦ = [−α, 0),
u*(0) = −l0 ,
M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ
⎛
⎝
⎜ +
0
T
∫
τ
T
∫B(ρ) dρ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(τ) dτ –
– M +
0
T
∫B(τ) dτ)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ l0 + C
⎞
⎠
⎟ − γ l0 > 0 ,
u*(0) < l0 ,
u*(0) = − 1
γ
M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ
⎛
⎝
⎜ +
1074 В. Е. КАПУСТЯН, И. А. ПЫШНОГРАЕВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
+
0
T
∫
τ
T
∫B(ρ) dρ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(τ) dτ + C + M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u*(0)
⎞
⎠
⎟ , (13)
u*(0) = l0 ,
M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ
⎛
⎝
⎜ +
0
T
∫
τ
T
∫B(ρ) dρ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(τ) dτ +
+ M +
0
T
∫B(τ) dτ)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ l0 + C
⎞
⎠
⎟ + γ l0 < 0 ,
ξ*(t) = −l1,
t
T
∫B(τ)dτ
−α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ
⎛
⎝
⎜ +
0
T
∫
ς
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(ς) dς +
+ C + M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u*(0)
⎞
⎠
⎟ − γ l1 > 0 ,
t ∈ ζ
i
, ζi⎡⎣ ⎤⎦ ⊂ (0, T ], i = 1,U1 ,
ξ*(t) < l1,
ξ*(t) = − t
T
∫ B(τ) dτ
γ −α
0
∫ A(τ)v*(τ)
⎛
⎝
⎜ dτ +
0
T
∫
ς
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(ς) dς +
+ C + M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u*(0)
⎞
⎠
⎟ , t ∈ ζ
i
, ζi⎡⎣ ⎤⎦ ⊂ (0, T ], i = U1 +1,U2 ,
ξ*(t) = l1,
t
T
∫B(τ) dτ
−α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ
⎛
⎝
⎜ +
0
T
∫
ς
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ξ*(ς) dς + C +
+ M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ u*(0)
⎞
⎠
⎟ + γ l1 < 0 , t ∈ ζ
i
, ζi⎡⎣ ⎤⎦ ⊂ (0, T ], i =U2 +1,U3 ,
i=1
U3
∪ ζ
i
, ζi⎡⎣ ⎤⎦ = (0, T ].
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА … 1075
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
Рассмотрим сначала случай, когда v*(t) < 1 , u*(0) < l0 , ξ*(t) < l1. Тогда из (13) нахо-
дим
v*(t) = − A(t)C
γ + M +
0
T
∫ B(τ) dτ( )2
, t ∈[−α, 0),
u*(0) = −
M +
0
T
∫ B(τ) dτ( ) C
γ + M +
0
T
∫ B(τ) dτ( )2
, (14)
ξ*(t) = − t
T
∫ B(τ) dτC
γ + M +
0
T
∫ B(τ) dτ( )2
, t ∈(0, T ],
где C = C1 + C2 , а числа C1 = −α
0
∫ A(τ)v*(τ) dτ , C2 = τ
T
∫ B(ς) dς( ) ξ*(τ) dτ0
T
∫ определяются
из системы уравнений
γ + M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+
−α
0
∫ A2(t) dt
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ C1 +
−α
0
∫ A2(t) dtC2 = −C
−α
0
∫ A2(t) dt ,
(15)
0
T
∫
t
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
dtC1 + γ + M +
0
T
∫B(τ) dτ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+
0
T
∫
τ
T
∫B(ς) dς
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
dτ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ C2 =
= −C
0
T
∫
τ
T
∫B(ς) dς
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
dτ .
Система уравнений (15) однозначно разрешима, так как имеет отличный от нуля определитель.
Тогда формулы (14) примут окончательный вид
v*(t) = − A(t)C
γ + M +
0
T
∫ B(τ) dτ( )2 + −α
0
∫ A2(τ) dτ +
0
T
∫ τ
T
∫ B(ς) dς( )2 dτ
, t ∈[−α, 0);
u*(0) = −
M +
0
T
∫ B(τ) dτ( ) C
γ + M +
0
T
∫ B(τ) dτ( )2 + −α
0
∫ A2(τ) dτ +
0
T
∫ τ
T
∫ B(ς) dς( )2 dτ
, (16)
1076 В. Е. КАПУСТЯН, И. А. ПЫШНОГРАЕВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ξ*(t) = − t
T
∫ B(τ) dτ C
γ + M +
0
T
∫ B(τ) dτ( )2 + −α
0
∫ A2(τ) dτ +
0
T
∫ t
T
∫ B(ς) dς( )2 dτ
, t ∈(0, T ].
Теперь рассмотрим случай, когда управление выходит на ограничение. Вернемся к усло-
виям оптимальности (13) и положим V1 = 1, V2 = 2 , V3 = 0 , ξ1 = −α , ξ1 = ξ
2
, ξ2 = 0 ,
Ui = 0 , i = 1, 3. Тогда искомые управления характеризуются условиями
v*(t) = −1, A(t)
ξ1
0
∫A(τ)v*(τ) dτ + C(ξ1)
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
> γ , t ∈[−α, ξ1),
v*(t) < 1, v*(t) = − 1
γ
A(t)
ξ1
0
∫A(τ)v*(τ) dτ + C(ξ1)
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
, t ∈[ξ1, 0),
u*(0) = 0 , ξ*(t) = 0 , t ∈(0, T ],
где
C(ξ1) = C −
−α
ξ1
∫ A(τ) dτ .
Далее, как и в предыдущем случае, получаем управление
v*(t) = −1, t ∈[−α, ξ1) ,
(17)
v*(t) = −
A(t)C(ξ1)
γ +
ξ1
0
∫ A2(t) dt
, t ∈[ξ1, 0),
зависящее от параметра ξ1, который определяется из условий
A(ξ1)C(ξ1)
γ +
ξ1
0
∫ A2(t) dt
= 1,
dv*(ξ1 + 0)
dt
> 0 .
Другие варианты реализаций управлений (13) анализируются аналогично.
4. Обоснование результатов. Убедимся в сходимости рядов из (11). С этой целью оце-
ним функции из (10):
Φ1,0 (T ) = 1, Φ3,0 (T ) = α g0 , Ψ1,0 (t) ≤ α ,
!Ψ1,0 (t) = 1,
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА … 1077
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
Φ1,2k−1(T ) ≤ C
exp(λk2 T )
, Φ3,2k−1(T ) ≤ C g2k−1
λk exp(λk2 T )
,
Ψ1,2k−1(t) ≤ C
λk exp(λk2 T )
,
!Ψ1,2k−1(t) ≤ 1,
Φ1,2k (T ) ≤ C 1+ (2λkT + α)(1+ λk )
exp(λk2T )
< C λk2
exp(λk2T )
,
Φ2,2k (T ) = Φ1,2k−1(T ) , (18)
Φ3,2k (T ) ≤ C
λk exp(λk2T )
g2k−1 2 + 2λkT (1+ λk ) + α + 1
2λk
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ g2k (1 + λk )
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
<
< C
exp(λk2T )
g2k−1 λk + g2k[ ],
Ψ1,2k (t) ≤ C
exp(λk2T )
(1+ λk )
1
λk2
+ α
λk
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢ +
+ 2 1
λk
+1+ λk
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ α + 1
2λk
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1+ 1
λk
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎤
⎦⎥
< Cλk
exp(λk2T )
,
Ψ2,2k (t) = Ψ1,2k−1(t) ,
!Ψ1,2k (t) ≤ C
λk
,
!Ψ2,2k (t) = !Ψ1,2k−1(t) .
Тогда с учетом (18) справедливы оценки
A(t) ≤ q0 g0 Ψ1,0 (t) +
k=1
∞
∑ q2k−1⎡⎣ g2k−1 Ψ1,2k−1(t) +
+ q2k g2k−1 Ψ1,2k (t) + g2k Ψ2,2k (t)( ) ⎤⎦ <
< C q0 g0 +
k=1
∞
∑ q2k−1 g2k−1 + q2k g2k−1 λk + g2k( )
exp(λk2T )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ,
B(t) ≤ q0 g0 !Ψ1,0 (t) +
k=1
∞
∑ q2k−1 g2k−1 !Ψ1,2k−1(t)⎡⎣ +
+
q2k g2k−1 !Ψ1,2k (t) + g2k !Ψ2,2k (t)( ) ⎤⎦ <
1078 В. Е. КАПУСТЯН, И. А. ПЫШНОГРАЕВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
< C q0 g0 +
k=1
∞
∑ q2k−1 g2k−1 + q2k q2k−1
1
λk
+ g2k
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ , (19)
C ≤ q0 φ0 Φ1,0 (T ) +
k=1
∞
∑ q2k−1 φ2k−1 Φ1,2k−1(T )⎡⎣ +
+ q2k φ2k−1 Φ1,2k (T ) + φ2k Φ2,2k (t)( ) ⎤⎦ +
i=0
∞
∑ qi ψ i <
< C q0 φ0 +
k=1
∞
∑
q2k−1 φ2k−1 + q2k φ2k−1 λk2 + φ2k( )
exp(λk2T )
+
i=0
∞
∑ qi ψ i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
,
M ≤ q0 Φ3,0 (T ) +
k=1
∞
∑ q2k−1 Φ3,2k−1(T ) + q2k Φ3,2k (T )( ) <
< C q0 +
k=1
∞
∑ q2k−1 g2k−1 + q2k g2k−1 λk + g2k( )
exp(λk2T )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ .
Из [6] следует, что для функции φ(x) сходится ряд
k=1
∞
∑ λk4 φ2k−1 + λk3 φ2k( ) . (20)
Кроме того, из [6] следует, что функция g(x) должна быть такой, для которой сходится
ряд
k=1
∞
∑ λk3 g2k−1 + λk2 g2k( ) . (21)
Условия на функцию g(x), обеспечивающие сходимость ряда (21), находятся аналогично
условиям на функцию φ(x) и имеют вид g(x) ∈C 4[0, 1], g(0) = ′′g (0) = 0, ′g (0) = ′g (1) ,
′′′g (0) = ′′′g (1) .
Функции q(x) и ψ(x) можно взять из пространства L2(0, 1). Тогда ряды из правых час-
тей неравенств (19) будут сходящимися с учетом сходимости рядов (20), (21). Более того, за
счет наличия под знаком суммы множителя exp(−λk2T ) будет равномерно сходиться и ряд для
производной функции A(t). Тем самым справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть в задаче оптимального управления (1) – (3), (4):
1) выполнены условия из [5];
2) g(x) ∈C 4[0, 1], g(0) = ′′g (0) = 0, ′g (0) = ′g (1) , ′′′g (0) = ′′′g (1);
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА … 1079
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
3) q(x) , ψ(x) ∈L2(0, 1);
4) v*(t) < 1, u*(0) < l0 , ξ*(t) < l1, где функции v*(t) , u*(0) , ξ*(t) заданы формула-
ми (16).
Тогда формулы (16) представляют собой единственное решение задачи (1) – (3), (4).
Теорема 2. Пусть в задаче оптимального управления (1) – (3), (4) выполнены условия 1 –
3 теоремы 1 и
A(t)
ξ1
0
∫A(τ)v*(τ) dτ + C(ξ1)
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
> γ , t ∈[−α, ξ1) ,
A(t)
ξ1
0
∫A(τ)v*(τ) dτ + C(ξ1)
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
< γ , t ∈[ξ1, 0),
u*(t) = 0 , t ∈[0, T ] ,
где
C ξ1( ) = C −
−α
ξ1
∫ A(τ) dτ ,
а точка ξ1 ∈(−α, 0) — единственное решение уравнения
A(t)
ξ1
0
∫A(τ)v*(τ) dτ + C(ξ1)
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= γ .
Тогда формулы (17) представляют собой единственное решение задачи (1) – (3), (4).
В заключение этого пункта остановимся на вопросе о целесообразности включения в кри-
терий качества (4) слагаемого
0,5γ u2(0) +
0
T
∫ξ2(t) dt
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ (22)
вместо традиционного
0,5γ
0
T
∫u2(t) dt .
Для упрощения рассуждений положим v(t) = 0 , t ∈[−α, 0). Рассмотрим такую задачу оп-
тимального управления: найти управление u*(t) ∈C[0, T ] , которое минимизирует функцио-
нал
1080 В. Е. КАПУСТЯН, И. А. ПЫШНОГРАЕВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
I1(u) = 0,5
0
1
∫q(x) y(x,T ) − ψ(x)( ) dx2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + γ
0
T
∫u2(t) dt
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ , (23)
где y(x, t) — решение краевой задачи (1) – (3).
Функционал (23) представим в виде
I1(u) = 0,5
0
T
∫B(t)u(t) dt + Mu(0) + C
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+ γ
0
T
∫u2(t) dt
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
.
Предположим, что функции φ(x) , g(x), q(x) , ψ(x) удовлетворяют условиям теоремы 1,
т. е. B(t) ∈C[0, T ], а M , C — действительные числа.
Очевидно, что infu I1(u) = 0. Рассмотрим последовательность непрерывных функций
un (t) =
− C
M
+ n C
M
t, t ∈ 0, 1
n
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
,
0, t ∈ 1
n
, T⎛
⎝⎜
⎤
⎦⎥
, M ≠ 0.
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(24)
Тогда
I1(un ) = 0,5
0
1/n
∫ B(t) − C
M
+ n C
M
t⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dt
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+ γ
0
1/n
∫ − C
M
+ n C
M
t⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
dt
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
≤
≤ 0,5 C
M
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
t∈[0,T ]
max B(t)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 1
n2
+ γ 1
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
Отсюда следует, что последовательность (24) является минимизирующей, но
n→∞
limun (t) =
− C
M
, t = 0,
0, t ∈(0, T ],
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
представляет собой разрывную функцию. Тем самым мы показали, что рассматриваемая здесь
задача оптимального управления не имеет решения, т. е. переход к критерию (4) является
оправданным. Более того, вместо слагаемого (22) в критерий качества (4) можно внести,
например, слагаемое
0,5 γ
0
T
∫(u2(t) + ξ2(t)) dt .
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА … 1081
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
Соответствующая задача оптимального управления будет однозначно разрешимой, однако
условия оптимальности (в случае отсутствия ограничений на управления) будут выражаться в
виде системы интегральных уравнений с симметричными ядрами, т. е. их явный вид получить
не удастся.
Если M = 0, то описанный выше эффект не имеет места и вместо критерия (4) можно
рассматривать критерий вида
I1(û) = 0,5
0
1
∫q(x) (y(x, T ) − ψ(x)( ) dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
+ γ
−α
0
∫ v2(t) dt +
0
T
∫u2(t) dt
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
.
1. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. – 1959. –
14, № 3. – C. 3 – 19.
2. Beilin S. A. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with non-local conditions // Electron. J.
Different. Equat. – 2001. – 56. – P. 1 – 8.
3. Renardy M., Hrusa W., Nohel J. A. Mathematical problems in viscoelasticity. – London: Longman, 1987. – 273 p.
4. Ashyralyev A., Yurtsever A. On a nonlocal boundary value problem for semilinear hyperbolic-parabolic equations //
Nonlinear Anal. – 2001. – 47. – P. 3585 – 3592.
5. Сабитов К. Б. Краевая задача для уравнений параболо-гиперболического типа с нелокальными краевыми
условиями // Дифференц. уравнения. – 2010. – 46, № 10. – C. 1468 – 1478.
6. Капустян В. Е., Пышнограев И. А. Условия существования и единственности решения параболо-гиперболи-
ческого уравнения с нелокальными граничными условиями // Науч. вести НТУУ ,,КПИ”. – 2012. – 4. –
C. 72 – 86.
7. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием //
Дифференц. уравнения. – 1977. – 13, № 2. – C. 294 – 304.
8. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных. – М.:
Мир, 1972. – 412 с.
Получено 26.08.14
|
| id | umjimathkievua-article-2046 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:43Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c9/0be01c956b605d2b518126075c7560c9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20462019-12-05T09:49:28Z Problem of Optimal Control for Parabolic-Hyperbolic Equations with Nonlocal Point Boundary Conditions and Semidefinite Quality Criterion Задача оптимального управления с полуопределенным критерием качества для параболо-гиперболических уравнений с нелокальными точечными краевыми условиями Kapustyan, V. E. Pyshnograev, I. A. Капустян, В. Є. Пишнограєв, І. А. We consider a problem of optimal control for parabolic-hyperbolic equations with nonlocal boundary conditions and semidefinite quality criterion. The optimality conditions are constructed by reducing the problem to a sequence of one-dimensional problems, the optimal control is obtained in a closed form, and its convergence is proved. The form of the quality criterion is substantiated. Розглядається задача оптимального керування для параболо-гіперболічних рівнянь з нелокальними крайовими умовами та напіввизначеним критерієм якості. Побудовано умови оптимальності шляхом зведення задачі до послідовності одновимірних задач, знайдено оптимальне керування в замкненій формі, доведено його збіжність, а також обґрунтовано вид критерію якості. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2046 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 8 (2015); 1068-1081 Український математичний журнал; Том 67 № 8 (2015); 1068-1081 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2046/1109 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2046/1110 Copyright (c) 2015 Kapustyan V. E.; Pyshnograev I. A. |
| spellingShingle | Kapustyan, V. E. Pyshnograev, I. A. Капустян, В. Є. Пишнограєв, І. А. Problem of Optimal Control for Parabolic-Hyperbolic Equations with Nonlocal Point Boundary Conditions and Semidefinite Quality Criterion |
| title | Problem of Optimal Control for Parabolic-Hyperbolic Equations with Nonlocal Point Boundary Conditions and Semidefinite Quality Criterion |
| title_alt | Задача оптимального управления с полуопределенным
критерием качества для параболо-гиперболических уравнений с нелокальными точечными краевыми условиями |
| title_full | Problem of Optimal Control for Parabolic-Hyperbolic Equations with Nonlocal Point Boundary Conditions and Semidefinite Quality Criterion |
| title_fullStr | Problem of Optimal Control for Parabolic-Hyperbolic Equations with Nonlocal Point Boundary Conditions and Semidefinite Quality Criterion |
| title_full_unstemmed | Problem of Optimal Control for Parabolic-Hyperbolic Equations with Nonlocal Point Boundary Conditions and Semidefinite Quality Criterion |
| title_short | Problem of Optimal Control for Parabolic-Hyperbolic Equations with Nonlocal Point Boundary Conditions and Semidefinite Quality Criterion |
| title_sort | problem of optimal control for parabolic-hyperbolic equations with nonlocal point boundary conditions and semidefinite quality criterion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2046 |
| work_keys_str_mv | AT kapustyanve problemofoptimalcontrolforparabolichyperbolicequationswithnonlocalpointboundaryconditionsandsemidefinitequalitycriterion AT pyshnograevia problemofoptimalcontrolforparabolichyperbolicequationswithnonlocalpointboundaryconditionsandsemidefinitequalitycriterion AT kapustânvê problemofoptimalcontrolforparabolichyperbolicequationswithnonlocalpointboundaryconditionsandsemidefinitequalitycriterion AT pišnograêvía problemofoptimalcontrolforparabolichyperbolicequationswithnonlocalpointboundaryconditionsandsemidefinitequalitycriterion AT kapustyanve zadačaoptimalʹnogoupravleniâspoluopredelennymkriteriemkačestvadlâparabologiperboličeskihuravnenijsnelokalʹnymitočečnymikraevymiusloviâmi AT pyshnograevia zadačaoptimalʹnogoupravleniâspoluopredelennymkriteriemkačestvadlâparabologiperboličeskihuravnenijsnelokalʹnymitočečnymikraevymiusloviâmi AT kapustânvê zadačaoptimalʹnogoupravleniâspoluopredelennymkriteriemkačestvadlâparabologiperboličeskihuravnenijsnelokalʹnymitočečnymikraevymiusloviâmi AT pišnograêvía zadačaoptimalʹnogoupravleniâspoluopredelennymkriteriemkačestvadlâparabologiperboličeskihuravnenijsnelokalʹnymitočečnymikraevymiusloviâmi |