Approximating Characteristics of the Classes $L_{β,p}^{ψ}$ of Periodic Functions in the Space $L_q$
We obtain the exact-order estimates of the best $m$-term and orthogonal trigonometric approximations and establish the order of trigonometric widths for the classes $L_{β,p}^{ψ}$ in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2052 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507970379448320 |
|---|---|
| author | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. |
| author_facet | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. |
| author_sort | Shkapa, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:28Z |
| description | We obtain the exact-order estimates of the best $m$-term and orthogonal trigonometric approximations and establish the order of trigonometric widths for the classes $L_{β,p}^{ψ}$ in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Шкапа (Iн-т математики НАН України, Київ)
АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ Lψβ,p
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ У ПРОСТОРI Lq
We obtain the exact-order estimates of the best m-term and orthogonal trigonometric approximations and establish the
order of the trigonometric widths of the classes Lψβ,p in the space Lq for certain relations between the parameters p and q.
Получены точные по порядку оценки наилучших m-членных и ортогональных тригонометрических приближений,
установлены также порядки тригонометрических поперечников классов Lψβ,p в пространстве Lq для некоторых
соотношений между параметрами p и q.
Вступ. У роботi встановлюються точнi за порядком оцiнки найкращих m-членних та ортого-
нальних тригонометричних наближень, а також тригонометричних поперечникiв функцiональ-
них класiв Lψβ,p у метрицi Lq для певних спiввiдношень мiж параметрами p та q. Наведемо
спочатку необхiднi позначення та означення, якi будемо використовувати у подальшому.
Нехай Lq — простiр 2π-перiодичних i сумовних у степенi q, 1 ≤ q <∞ (вiдповiдно суттєво
обмежених при q = ∞) на вiдрiзку [−π, π] функцiй f. Норма в цьому просторi визначається
таким чином:
‖f‖Lq = ‖f‖q =
(
1
2π
∫ π
−π
|f(x)|qdx
)1
q
, 1 ≤ q <∞,
ess supx∈[−π,π] |f(x)|, q =∞.
Для функцiї f ∈ L1 розглянемо її ряд Фур’є∑
k∈Z
f̂(k)eikx,
де f̂(k) =
1
2π
∫ π
−π
f(t)e−iktdt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Скрiзь нижче будемо вважати, що для f ∈ L1 виконується умова
π∫
−π
f(t)dt = 0.
Нехай далi ψ 6= 0 — довiльна функцiя натурального аргументу, β — довiльне фiксоване
дiйсне число. Якщо ряд
∑
k∈Z\{0}
ei
π
2 β sign k
ψ(|k|)
f̂(k)eikx
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї, то її, наслiдуючи О. I. Степанця [1, с. 25] (див. також
[2, с. 132]) (т. I), назвемо (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначимо fψβ . Множину функцiй f, що
задовольняють таку умову, позначатимемо Lψβ . Далi будемо вважати, що функцiя f належить
c© В. В. ШКАПА, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8 1139
1140 В. В. ШКАПА
класу Lψβ,p, якщо f ∈ Lψβ i
fψβ ∈ Up = {ϕ : ϕ ∈ Lp, ‖ϕ‖p ≤ 1} , 1 ≤ p ≤ ∞.
Зауважимо, що при ψ(|k|) = |k|−r, r > 0, k ∈ Z \ {0} , класи Lψβ,p збiгаються з класами
Вейля – Надя W r
p,β (див., наприклад, [1, с. 25]).
Розглянемо для f ∈ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, апроксимативнi характеристики
em(f)q = inf
Θm
inf
T (Θm,·)
‖f(·)− T (Θm, ·)‖q , (1)
e⊥m(f)q = inf
Θm
‖f(·)− SΘm(f, ·)‖q , (2)
де T (Θm, x) =
∑m
k=1
cke
inkx, Θm — набiр iз m цiлих чисел n1, . . . , nm та ck — довiльнi
комплекснi числа, SΘm(f, x) =
∑m
k=1
f̂(nk)e
inkx.
Величину (1) називають найкращим m-членним тригонометричним наближенням, а (2) —
найкращим ортогональним тригонометричним наближенням функцiї f ∈ Lq. Якщо F ⊂ Lq —
деякий функцiональний клас, то покладемо
em(F )q = sup
f∈F
em(f)q, (3)
e⊥m(F )q = sup
f∈F
e⊥m(f)q. (4)
Величину em(f)2 для функцiї однiєї змiнної було введено С. Б. Стєчкiним [3] при фор-
мулюваннi критерiю абсолютної збiжностi ортогональних рядiв. Згодом величини em(f)q i
em(F )q, 1 ≤ q ≤ ∞, почали дослiджувати вже з точки зору апроксимацiї як iндивiдуальних
функцiй, так i певних класiв функцiй. Першi оцiнки величини em(f)∞ для деяких конкретних
функцiй були отриманi Р. С. Iсмагiловим [4]. Систематичне вивчення величин (3) на класах
перiодичних функцiй багатьох змiнних С. Л. Соболєва W r
p,α та С. М. Нiкольського Hr
p було
розпочато В. Н. Темляковим [5]. Подальшi дослiдження величин em(F )q на цих класах функ-
цiй, а також на класах О. В. Бєсова Br
p,θ отримали продовження у роботах Е. С. Белiнського [6],
А. С. Романюка [7] та iн.
Величину (2) вперше розглянув Е. С. Белiнський (див., наприклад, [8]), i згодом дослiджен-
ня апроксимативної характеристики (4) на тих або iнших функцiональних класах отримало
потужний розвиток у роботах [9 – 12]. У цих роботах можна ознайомитися з бiльш детальною
бiблiографiєю щодо вiдповiдного напряму дослiджень.
Тепер наведемо означення ще однiєї апроксимативної характеристики, яку будемо дослi-
джувати у роботi.
Тригонометричний поперечник класу F у просторi Lq означається за формулою [4]
dTm(F,Lq) = inf
Θm
sup
f∈F
inf
P (Θm,·)
‖f(·)− P (Θm, ·)‖q , (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ Lψβ,p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ У ПРОСТОРI Lq 1141
де P (Θm, x) =
∑m
k=1
cke
inkx, Θm— набiр iз m цiлих чисел n1, . . . , nm та ck — комплекснi
числа.
Сьогоднi є велика кiлькiсть робiт, у яких проводилися дослiдження величини (5) для важли-
вих функцiональних класiв. З детальнiшою iнформацiєю, а також вiдповiдною бiблiографiєю
можна ознайомитися, наприклад, у роботах [13, 14].
Позначимо далi через B множину функцiй ψ, що задовольняють такi умови:
1) ψ є додатними i незростаючими;
2) iснує стала C > 0 така, що
ψ(t)
ψ(2t)
≤ C ∀t ∈ N.
Зазначимо, що до множини B належать, наприклад, функцiї
1
tr
, r > 0;
lnγ(t+ 1)
tr
, γ ∈ R,
r > 0 та iн.
Далi для величин A i B запис A � B означає, що iснують додатнi сталi C1 та C2 такi,
що C1A ≤ B ≤ C2A. Якщо ж B ≤ C2A (B ≥ C1A), то пишемо B � A (B � A). Всi сталi
Ci, i = 1, 2, . . . , якi будуть зустрiчатися у роботi, можуть залежати лише вiд тих параметрiв,
що входять в означення класу та метрики, в якiй вимiрюється похибка наближення.
Зауважимо, що при доведеннi основних результатiв використано i розвинено методи, якi
застосовувалися у роботах [7 – 9, 14] при дослiдженнi вiдповiдних апроксимативних характе-
ристик iнших функцiональних класiв, зокрема класiв W r
p,β .
1. Допомiжнi твердження. В цьому пунктi сформулюємо кiлька вiдомих тверджень, якi
нам знадобляться при доведеннi отриманих результатiв.
Нагадаємо означення ще двох апроксимативних характеристик, оцiнки яких будемо вико-
ристовувати.
Нехай
Tm =
{
t : t(x) =
m∑
k=−m
cke
ikx
}
.
Для Lψβ,p ⊂ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, покладемо
Em(Lψβ,p)q = sup
f∈Lψβ,p
inf
t∈Tm
‖f(·)− t(·)‖q .
У випадку, коли ck(f) = f̂(k), через Em(Lψβ,p)q, будемо позначати величини
Em(Lψβ,p)q = sup
f∈Lψβ,p
∥∥∥∥∥f(·)−
m∑
k=−m
f̂(k)eik·
∥∥∥∥∥
q
.
Теорема А [15]. Нехай 1 < q ≤ p < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R, C3, C4 > 0. Тодi справджується
спiввiдношення
C3ψ(m) ≤ Em(Lψβ,p)q ≤ Em(Lψβ,p)q ≤ C4ψ(m).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1142 В. В. ШКАПА
Теорема Б [16]. Нехай ψ ∈ B, β ∈ R, 1 < p < ∞. Тодi для довiльного полiнома t ∈ Tn
справедливою є оцiнка
‖tψβ (·)‖p � ψ−1(n)‖t(·)‖p.
Твердження А (див., наприклад, [17, с. 392]). Якщо f ∈ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, то
‖f‖q = sup
‖g‖q′≤1
π∫
−π
f(x)g(x)dx,
де
1
q
+
1
q′
= 1 i g — функцiя комплексно-спряжена до функцiї g.
Лема А [18]. Нехай 2 ≤ q <∞. Тодi для довiльного тригонометричного полiнома
P (Θm, x) =
m∑
l=1
einlx
i для довiльного n ≤ m знайдуться тригонометричний полiном P̃ (Θn, x), який мiстить не
бiльше нiж n гармонiк, i стала C5 > 0 такi, що
‖P (Θm, ·)− P̃ (Θn, ·)‖q ≤ C5mn
−1/2 ,
причому Θn ⊂ Θm, всi коефiцiєнти P̃ (Θn, x) однаковi i не перевищують за модулем mn−1.
Теорема В [19]. Нехай 1 < q ≤ ∞, β ∈ R, ψ ∈ B ∩ Ψq′ ,
1
q
+
1
q′
= 1, де Ψq′ — множина
монотонно незростаючих функцiй ψ(t), для яких iснує стала α > 1 − 1
q
така, що функцiя
tαψ(t) майже спадає, i виконується одна з умов
∆2
(
1
ψ(k)
)
≥ 0, k ∈ N, (6)
або
∆2
(
1
ψ(k)
)
≤ 0, k ∈ N, (7)
де
∆2
(
1
ψ(k)
)
=
1
ψ(k)
− 2
ψ(k + 1)
+
1
ψ(k + 2)
.
Тодi справджується спiввiдношення
Em(Lψβ,1)q � Em(Lψβ,1)q � ψ(m)m
1
q′ .
Нехай f ∈ Lq, 1 < q <∞. Для s ∈ N розглянемо множину
ρ(s) =
{
k : 2s−1 ≤ |k| < 2s
}
i покладемо
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)eikx.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ Lψβ,p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ У ПРОСТОРI Lq 1143
Розглянемо лiнiйний оператор Pj , що дiє на функцiю f ∈ Lp таким чином:
Pjf(x) = f(x) ∗
∑
k∈ρ(j)
eikx − P (Θkj , x)
,
де ∗ — операцiя згортки.
Тодi має мiсце таке твердження.
Лема Б [14]. Нехай 1 < p < 2 < q < p/(p − 1). Тодi норма оператора Pj з Lp в Lq(
‖Pj‖p→q = ‖Pj‖Lp→Lq
)
задовoльняє спiввiдношення
‖Pj‖p→q = sup
‖f‖p≤1
‖Pjf‖q � 2jk
−(1/2+1/p′)
j ,
де p′ = p/(p− 1).
Теорема Г (Лiттлвуда – Пелi) (див., наприклад, [20], т. II, гл. XV). Нехай задано 1<q<∞.
Тодi iснують додатнi сталi C6(q), C7(q) такi, що для кожної функцiї f ∈ Lq має мiсце оцiнка
C6(q)‖f‖q ≤
∥∥∥∥∥∥∥
(∑
s
|δs(f, ·)|2
)1
2
∥∥∥∥∥∥∥
q
≤ C7(q)‖f‖q.
Твердження Б [2, с. 119] (т. II). Нехай ψ(t) — довiльна незростаюча послiдовнiсть невiд’єм-
них чисел, для яких виконується одна з умов (6) або (7) i, крiм того,∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣m−1∑
k=1
ψ(m)(tψ(t))−1 = O(1), (8)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по m. Тодi для довiльного тригонометричного полi-
нома tm порядку m виконується нерiвнiсть∥∥∥(tm)ψβ (·)
∥∥∥
1
≤ O(1)|ψ(m)|−1‖tm(·)‖1,
в якiй величина O(1) є рiвномiрно обмеженою по m i tm.
2. Основнi результати. Має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай 1 < p <∞, ψ ∈ B, β ∈ R. Тодi справджуються порядковi оцiнки
em(Lψβ,p)1 � e⊥m(Lψβ,p)1 � ψ(m).
Доведення. Оцiнки зверху випливають з теореми А та ланцюжка спiввiдношень
em(Lψβ,p)1 ≤ e⊥m(Lψβ,p)1 ≤ Em(Lψβ,p)p � ψ(m), 1 < p <∞.
Встановимо оцiнки знизу. По заданому m пiдберемо l ∈ N iз спiввiдношення
2l−2 ≤ m < 2l−1 i розглянемо функцiю
fl(x) = C8ψ(2l)2−
l
2Rl(x), C8 > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1144 В. В. ШКАПА
де Rl(x) =
∑2l−1
j=2l−1
εje
ijx, εj = ±1, — полiноми Рудiна – Шапiро, для яких (див., напри-
клад, [21, с. 155]) має мiсце порядкова оцiнка
‖Rl‖∞ � 2
l
2 . (9)
Легко переконатися, що функцiя fl належить Lψβ,p. Дiйсно, згiдно з теоремою Б та спiввiд-
ношенням (9), можемо записати
‖(fl)ψβ‖p � ψ−1(2l)‖fl‖p � 2−
l
2 ‖Rl‖∞ � 2−
l
2 2
l
2 = 1.
Звiдси випливає, що при належному виборi сталої C8 > 0 функцiя fl належить Lψβ,p.
Крiм цього, легко бачити, що функцiя
g(x) = C92−
l
2Rl(x)
з вiдповiдною сталою C9 > 0 задовольняє умову ‖g‖∞ ≤ 1. Таким чином, використавши
твердження А по вiдношенню до функцiй fl i g, отримаємо
em(Lψβ,p)1 � e⊥m(fl)1 �
ψ(2l)(2l −m)
2l
≥ ψ(2l)2l−1
2l
� ψ(2l) � ψ(m).
Оцiнку знизу i разом з нею теорему доведено.
Поклавши в теоремi 1 ψ(|k|) = |k|−r, отримаємо таке твердження.
Твердження 1. Нехай 1 < p <∞, r > 0, β ∈ R. Тодi справджуються порядковi оцiнки
em(W r
p,β)1 � e⊥m(W r
p,β)1 � m−r.
На пiдставi теорем 1 i А легко отримати вiдповiднi оцiнки для величин Em(Lψβ,p)1 i
Em(Lψβ,p)1.
Твердження 2. Нехай 1 < p <∞, ψ ∈ B, β ∈ R. Тодi справджуються порядковi оцiнки
Em(Lψβ,p)1 � Em(Lψβ,p)1 � ψ(m).
Доведення. Оцiнки зверху випливають з теореми А та спiввiдношень
Em(Lψβ,p)1 � Em(Lψβ,p)1 ≤ Em(Lψβ,p)p � ψ(m),
а оцiнки знизу вiдповiдних величин — з теореми 1 та нерiвностей
em(Lψβ,p)1 ≤ Em(Lψβ,p)1 � Em(Lψβ,p)1.
Зауваження 1. У випадку ψ(|k|) = |k|−r, r > 0, порядки величинEm(W r
p,β)1 та Em(W r
p,β)1
є вiдомими (див., наприклад, [22, с. 47, 48]).
У наступному твердженнi встановимо точнi за порядком оцiнки величин em(Lψβ,1)q та
dTm(Lψβ,1, Lq) при 2 ≤ q < ∞. При цьому зазначимо, що на функцiї ψ будуть накладенi до-
датковi умови, крiм належностi їх до множини B, що зумовлено використанням вiдповiдних
допомiжних тверджень.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ Lψβ,p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ У ПРОСТОРI Lq 1145
Теорема 2. Нехай 2 ≤ q < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R, виконується одна з умов (6) або (7) i, крiм
того, iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(t)t1+ε, t ∈ N, не зростає. Тодi справджуються
порядковi оцiнки
em(Lψβ,1)q � dTm(Lψβ,1, Lq) � ψ(m)m
1
2 .
Доведення. Зазначимо, що з означення величин em(Lψβ,1)q та dTm(Lψβ,1, Lq) випливає поряд-
кове спiввiдношення
em(Lψβ,1)q � dTm(Lψβ,1, Lq).
Тому для доведення теореми 2 достатньо оцiнити величину em(Lψβ,1)q знизу, а величину
dTm(Lψβ,1, Lq) зверху.
Встановимо спочатку оцiнку зверху величини dTm(Lψβ,1, Lq). За заданим m виберемо l ∈ N
таким чином, щоб виконувалось спiввiдношенняm � 2l. Кожному числу j ∈ N,що задовольняє
умову l ≤ j < γl (γ > 1, буде вибрано пiзнiше), поставимо у вiдповiднiсть число
kj = [2jψ(2j)ψ−1(2l)] + 1, j = l, . . . , γl, γ > 1.
Далi, нехай P̃ (Θkj ) — тригонометричний полiном, що наближає „блок” δj(f), f ∈ Lψβ,1,
вiдповiдно до леми Б, тобто таким чином, щоб для j ∈ [l, γl) виконувалась нерiвнiсть
‖δj(f)− P̃ (Θkj )‖q � 2jk
−1
2
j , 2 < q <∞,
причому Θkj ⊂ ρ(j) та коефiцiєнти полiнома P̃ (Θkj ) рiвнi мiж собою.
Покажемо, що кiлькiсть гармонiк у сукупностi полiномiв P̃ (Θkj ) при l ≤ j < γl, j ∈ N,
не перевищує за порядком 2l. Дiйсно, оскiльки за умовою теореми iснує ε > 0 таке, що
послiдовнiсть ψ(t)t1+ε не зростає, то можемо записати∑
l≤j<γl
kj =
∑
l≤j<γl
([
2jψ(2j)ψ−1(2l)
]
+ 1
)
�
� ψ−1(2l)
∑
l≤j<γl
2j(1+ε)ψ(2j)2−jε + γl� ψ−1(2l)2l(1+ε)ψ(2l)
∑
l≤j<γl
2−jε + γl�
� ψ−1(2l)2l(1+ε)ψ(2l)2−lε + γl� 2l.
Далi для наближення функцiї f ∈ Lψβ,1 будемо використовувати полiном вигляду
t(x) =
∑
j<l
δj(f, x) +
∑
l≤j<γl
(P̃ (Θkj , x) ∗ δj(f, x)). (10)
Як показано вище, кiлькiсть гармонiк полiнома t не перевищує за порядком 2l. Оцiнимо вели-
чину ‖f − t‖q, 2 < q <∞.
З урахуванням (10) маємо
‖f − t‖q =
∥∥∥∥ ∑
l≤j<γl
δj(f) +
∑
j≥γl
δj(f)−
∑
l≤j<γl
(P̃ (Θkj ) ∗ δj(f))
∥∥∥∥
q
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1146 В. В. ШКАПА
≤
∥∥∥∥ ∑
l≤j<γl
(δj(f)− (P̃ (Θkj ) ∗ δj(f)))
∥∥∥∥
q
+
∥∥∥∥∑
j≥γl
δj(f)
∥∥∥∥
q
= I1 + I2. (11)
Оцiнимо одержанi в (11) величини I1 та I2, починаючи з I2. Згiдно з теоремою В можемо
записати
I2 =
∥∥∥∥∥∥
∑
j≥γl
δj(f)
∥∥∥∥∥∥
q
=
∥∥∥∥∥∥f −
∑
1≤j<γl
δj(f)
∥∥∥∥∥∥
q
� ψ(2γl)2γl(1−1/q). (12)
Тепер перейдемо до оцiнки I1. З цiєю метою для кожного j ∈ N, l ≤ j < γl, розглянемо
лiнiйний оператор P̃j , що дiє за формулою
P̃jδj(f) = δj(f) ∗
∑
k∈ρ(j)
eikx − P̃ (Θkj , x)
.
Таким чином, беручи до уваги, що Θkj ⊂ ρ(j), i застосовуючи до I1 послiдовно теорему Г
i нерiвнiсть Мiнковського, маємо
I1 �
∥∥∥∥∥∥∥∥
∑
l≤j<γl
|δj(f)− (P̃ (Θkj ) ∗ δj(f))|2
1
2
∥∥∥∥∥∥∥∥
q
≤
≤
∑
l≤j<γl
∥∥∥∥δj(f)− (P̃ (Θkj ) ∗ δj(f))
∥∥∥∥2
q
1
2
=
=
∑
l≤j<γl
∥∥∥∥δj(f) ∗
∑
k∈ρ(j)
eikx − P̃ (Θkj )
∥∥∥∥2
q
1
2
=
=
∑
l≤j<γl
‖P̃jδj(f)‖2q
1
2
. (13)
Для того щоб продовжити оцiнку (13), виберемо деяке число q1 ∈ (1, 2), яке нижче буде
уточнене. Тодi, використавши лему Б, отримаємо
I1 �
∑
l≤j<γl
‖P̃j‖2q1→q‖δj(f)‖2q1
1
2
�
∑
l≤j<γl
22jk
−(3−2/q1)
j ‖δj(f)‖2q1
1
2
=
=
∑
l≤j<γl
22jk
−(3−2/q1)
j ‖f − S2j−1(f)− f + S2j (f)‖2q1
1
2
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ Lψβ,p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ У ПРОСТОРI Lq 1147
≤
∑
l≤j<γl
22jk
−(3−2/q1)
j (‖f − S2j−1(f)‖q1 + ‖f − S2j (f)‖q1)2
1
2
, (14)
де S2j (f, x) =
∑2j
k=−2j
f̂(k)eikx.
Далi, використавши теорему В та врахувавши значення kj , продовжимо оцiнку (14):
I1 �
∑
l≤j<γl
22j
(
2jψ(2j)
ψ(2l)
)−(3−2/q1)
22j(1−1/q1)ψ2(2j)
1
2
=
=
ψ(2l)(3−2/q1)
∑
l≤j<γl
(ψ(2j)2j)(2/q1−1)22j(1−1/q1)
1
2
. (15)
Оскiльки iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(t)t1+ε, t ∈ N, не зростає, то оцiнку (15)
продовжимо таким чином:
I1 �
ψ(2l)(3−2/q1)(ψ(2l)2l(1+ε))(2/q1−1)
∑
l≤j<γl
2−jε(2/q1−1)22j(1−1/q1)
1
2
�
�
(
ψ(2l)(3−2/q1)(ψ(2l)2l(1+ε))(2/q1−1)2−lε(2/q1−1)22l(1−1/q1)
)1
2
= ψ(2l)2l/2. (16)
Спiвставляючи (11), (12) i (16), маємо
‖f − t‖q � ψ(2l)2l/2 + ψ(2γl)2γl(1−1/q). (17)
Оскiльки за умовою теореми iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(t)t1+ε, t ∈ N, не зростає, то
поклавши γ =
q
2
+ 1, можемо записати
ψ(2γl)2γl(1−1/q) = ψ(2γl)2γl2
−γl 1
q � ψ(2l)2l2
−γl 1
q =
= ψ(2l)2l2
−(q/2+1)l 1
q = ψ(2l)2l/22−l/q � ψ(2l)2l/2.
Отже, при такому виборi параметра γ другий доданок у правiй частинi (17) не перевищує
першого i, таким чином, враховуючи вибiр l, iз (17) отримуємо необхiдну оцiнку зверху.
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу величини em(Lψβ,1)q. Зауважимо, що при цьому
шукану оцiнку достатньо отримати для випадку q = 2. Вiдповiднi мiркування будуть базувати-
ся на використаннi спiввiдношення двоїстостi (див., наприклад, [17, с. 25]): для будь-якої
функцiї f ∈ L2
em(f)2 = inf
Θm
inf
P (Θm)
‖f − P (Θm)‖2 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1148 В. В. ШКАПА
= inf
Θm
sup
g1∈L⊥(Θm),‖g1‖2≤1
π∫
−π
f(x)g1(x)dx, (18)
де L⊥(Θm) — множина функцiй, якi ортогональнi пiдпростору тригонометричних полiномiв з
„номерами” гармонiк iз множини Θm.
За заданим m виберемо l з умови 4m < 2l ≤ 8m i розглянемо функцiю
f(x) = C10ψ(2l)(V2l+1(x)− V2l(x)), C10 > 0,
де Vm(x) — ядро Валле Пуссена вигляду
Vm(x) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kx+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
2m− k
m
)
cos kx.
Покажемо, що при певному виборi сталої C10 > 0 функцiя f належить класу Lψβ,1 . Для
цього достатньо пересвiдчитися, що ‖fψβ ‖1 � 1. З цiєю метою скористаємось твердженням Б.
Зауважимо, що умова (8) виконується, оскiльки iснує число α > 1 таке, що послiдовнiсть
ϕ(m) = mαψ(m) не зростає, а
m−1∑
k=1
ψ(m)
kψ(k)
=
m−1∑
k=1
ϕ(m)kα
mαϕ(k)k
≤ 1
mα
m−1∑
k=1
kα
k
≤ 1.
Таким чином, оскiльки f — тригонометричний полiном порядку 2l+2, на пiдставi тверджен-
ня Б одержимо
‖fψβ ‖1 = C10ψ(2l)‖(V2l+1 − V2l)
ψ
β‖1 �
ψ(2l)
ψ(2l+2)
‖V2l+1 − V2l‖1.
Далi, врахувавши вiдоме спiввiдношення (див., наприклад, [23, с. 66])
‖V2l+1 − V2l‖q � 2
l
(
1−1
q
)
, 1 ≤ q ≤ ∞, (19)
з останньої нерiвностi одержимо, що ‖fψβ ‖1 � 1, а отже, функцiя f належить Lψβ,1 при певному
виборi сталої C10.
Тепер перейдемо до вибору функцiї g1, яка б задовольняла умови g1 ∈ L⊥(Θm) i ‖g1‖2 ≤ 1.
Покладемо
v1(x) = V2l+1(x)− V2l(x)
i розглянемо полiном
t1(x) = v1(x)− v∗1(x),
де v∗1(x) — функцiя, яка мiстить лише тi гармонiки v1(x), якi мають „номери” iз Θm.
Оцiнимо ‖t1‖2. Згiдно з (19) та рiвнiстю Парсеваля можемо записати
‖t1‖2 ≤ ‖v1‖2 + ‖v∗1‖2 � 2
l
2 +m
1
2 � m
1
2 .
Очевидно, що полiном g1(x) = C11m
−1
2 t1(x) при певному виборi сталої C11 > 0 задоволь-
няє рiвнiсть (18). Пiдставивши f i g1 у спiввiдношення (18), одержимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ Lψβ,p ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ У ПРОСТОРI Lq 1149
em(Lψβ,1)2 ≥ em(f)2 =
π∫
−π
f(x)g1(x)dx� m−
1
2ψ(2l)(‖V2l+1 − V2l‖22 −m)�
� m−
1
2ψ(2l)2l � ψ(2l)2
l
2 . (20)
Враховуючи вибiр l, з (20) маємо
em(Lψβ,1)2 � ψ(m)m
1
2 .
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему доведено.
Зауваження 2. У випадку ψ(|k|) = |k|−r, r > 1, оцiнку величини em(W r
1,β)q одержано у
роботi [24], а оцiнку dTm(W r
1,β)q було анонсовано у роботi [25] i отримано у виглядi наслiдку
у роботi [26].
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 с.
2. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – 40. –
Т. I. – 427 с.; Т. II. – 468 с.
3. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. – 1955. – 102, № 1. –
С. 37 – 40.
4. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. – С. 161 – 178.
5. Темляков В. Н. О приближении периодических функций многих переменных // Докл. АН СССР. – 1984. –
279, № 2. – С. 301 – 305.
6. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах периодических гладких функций
// Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1987. – 180. – С. 46 – 47.
7. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических
функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – С. 61 – 100.
8. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах периодических функций с огра-
ниченной смешанной производной // Исследование по теории функций многих вещественных переменных. –
Ярославль: Ярослав. ун-т, 1988. – С. 16 – 33.
9. Романюк А. С. Приближение классов периодических функций многих переменных // Мат. заметки. – 2002. –
71, № 1. – C. 109 – 121.
10. Федоренко А. С. Про найкращi m-членнi тригонометричнi та ортогональнi тригонометричнi наближення
функцiй класiв Lψβ,p // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 12. – С. 1719 – 1721.
11. Стасюк С. А. НайкращiM -членнi ортогональнi тригонометричнi наближення класiвBΩ
p,θ перiодичних функцiй
багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – С. 647 – 656.
12. Войтенко С. П. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй бага-
тьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1473 – 1484.
13. Майоров В. Е. Тригонометрические n-поперечники класса W r
1 в пространстве Lq // Математическое про-
граммирование и смежные вопросы. Теория операторов в линейных пространствах. – М.: ЦЭМИ, 1976. –
С. 199 – 208.
14. Романюк А. С., Романюк В. С. Тригонометрические и ортопроекционные поперечники классов периодических
функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 10. – С. 1348 – 1366.
15. Степанец А. И., Кушпель А. К. Скорость сходимости рядов Фурье и наилучшие приближения в пространстве
Lp // Укр. мат. журн. – 1987. – 39, № 4. – С. 483 – 492.
16. Романюк А. С. Неравенства для Lp-норм (ψ, β)-производных и поперечников по Колмогорову классов функций
многих переменных Lψβ,p // Исследования по теории аппроксимации функций: Сб. науч. тр. – Киев: Ин-т
математики АН УССР, 1987. – С. 92 – 105.
17. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1150 В. В. ШКАПА
18. Белинский Э. С., Галеев Э. М. О наименьшей величине норм смешанных производных тригонометрических
полиномов с заданным числом гармоник // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. – 1991. – № 2. – С. 3 – 7.
19. Грабова У. З., Сердюк А. С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв (ψ, β)-
диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 9. – С. 1186 – 1197.
20. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. I. – 615 с.; Т. II. – 537 с.
21. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 496 с.
22. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 272 p.
23. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – 112 с.
24. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах гладких периодических функций
// Мат. сб. – 1987. – 132, № 1. – С. 20 – 27.
25. Белинский Э. С. Приближение периодических функций „плавающей” системой экспонент и тригонометри-
ческие поперечники // Исследование по теории функций многих вещественных переменных. – Ярославль:
Ярослав. ун-т, 1984. – С.10 – 24.
26. Романюк А. С. Тригонометрические поперечники классов Brp,θ функций многих переменных в простран-
стве Lq // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 8. – С. 1089 – 1097.
Одержано 31.10.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2052 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:46Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5c/8066791dde5964d2f1ec4c26b8306a5c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20522019-12-05T09:49:28Z Approximating Characteristics of the Classes $L_{β,p}^{ψ}$ of Periodic Functions in the Space $L_q$ Апроксимативні характеристики класів $L_{β,p}^{ψ}$ періодичних функцій у просторі $L_q$ Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. We obtain the exact-order estimates of the best $m$-term and orthogonal trigonometric approximations and establish the order of trigonometric widths for the classes $L_{β,p}^{ψ}$ in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$. Получены точные по порядку оценки наилучших $m$-членных и ортогональных тригонометрических приближений, $L_{β,p}^{ψ}$ установлены также порядки тригонометрических поперечников классов в пространстве $L_q$ для некоторых соотношении между параметрами $p$ и $q$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2052 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 8 (2015); 1139-1150 Український математичний журнал; Том 67 № 8 (2015); 1139-1150 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2052/1121 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2052/1122 Copyright (c) 2015 Shkapa V. V. |
| spellingShingle | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. Approximating Characteristics of the Classes $L_{β,p}^{ψ}$ of Periodic Functions in the Space $L_q$ |
| title | Approximating Characteristics of the Classes $L_{β,p}^{ψ}$ of Periodic Functions in the Space $L_q$ |
| title_alt | Апроксимативні характеристики класів $L_{β,p}^{ψ}$ періодичних функцій у просторі $L_q$ |
| title_full | Approximating Characteristics of the Classes $L_{β,p}^{ψ}$ of Periodic Functions in the Space $L_q$ |
| title_fullStr | Approximating Characteristics of the Classes $L_{β,p}^{ψ}$ of Periodic Functions in the Space $L_q$ |
| title_full_unstemmed | Approximating Characteristics of the Classes $L_{β,p}^{ψ}$ of Periodic Functions in the Space $L_q$ |
| title_short | Approximating Characteristics of the Classes $L_{β,p}^{ψ}$ of Periodic Functions in the Space $L_q$ |
| title_sort | approximating characteristics of the classes $l_{β,p}^{ψ}$ of periodic functions in the space $l_q$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2052 |
| work_keys_str_mv | AT shkapavv approximatingcharacteristicsoftheclasseslbppsofperiodicfunctionsinthespacelq AT škapavv approximatingcharacteristicsoftheclasseslbppsofperiodicfunctionsinthespacelq AT shkapavv aproksimativníharakteristikiklasívlbppsperíodičnihfunkcíjuprostorílq AT škapavv aproksimativníharakteristikiklasívlbppsperíodičnihfunkcíjuprostorílq |