Perturbation Theory of Operator Equations in the FréChet and Hilbert Spaces
The perturbation theory is constructed in the Fréchet and Hilbert spaces. An iterative process is proposed for finding branching solutions.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2057 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507977093480448 |
|---|---|
| author | Boichuk, О. A. Pokutnyi, О. О. Бойчук, А. А. Покутный, А. А. Бойчук, А. А. Покутный, А. А. |
| author_facet | Boichuk, О. A. Pokutnyi, О. О. Бойчук, А. А. Покутный, А. А. Бойчук, А. А. Покутный, А. А. |
| author_sort | Boichuk, О. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:43Z |
| description | The perturbation theory is constructed in the Fréchet and Hilbert spaces. An iterative process is proposed for finding branching solutions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. А. Бойчук, А. А. Покутный (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ И ГИЛЬБЕРТА
The perturbation theory is constructed in the Frechet and Hilbert spaces. The iterative process is proposed for finding
branching solutions.
Побудовано теорiю збурень у просторах Фреше i Гiльберта. Наведено iтерацiйний процес знаходження розгалуже-
них розв’язкiв.
Введение. Задачи математической физики часто сводятся к решению нелинейных уравнений
вида
F(x, h) = 0, (1)
где F(x, h) — нелинейный оператор, определенный и непрерывный (достаточно гладкий, ана-
литический) в окрестности w = w(x0, h0) ⊂ E1 +E известного решения x = x0 при h = h0 со
значениями вE2;E1, E2, E — пространства Фреше
(
F : w(x0, h0) ⊂ E1×E → E2
)
.Необходимо
построить решение x = x(h) уравнения (1) в окрестности w точки (x0, h0). Если производная
Фреше Fx(x0, h0) существует и является обратимым оператором, то в окрестности w, как сле-
дует из классической теоремы о неявной функции [1], существует единственное непрерывное
(гладкое, аналитическое) решение x = x0 + y(h − h0). Теория ветвления [2, 3] рассматрива-
ет вопрос о существовании и количестве малых решений y(h − h0), а также построении их
асимптотики по малому параметру h − h0 в случае, когда оператор Q = −Fx(x0, h0) имеет
нетривиальное подпространство нулей N(Q), т. е. не выполняются условия классической тео-
ремы о неявной функции. В окрестности w(x0, h0) может существовать несколько решений
или семейство решений, зависящих от одного или нескольких параметров; (x0, h0) называется
тогда точкой ветвления решений уравнения (1). В дальнейшем для удобства будем считать, что
x0 = 0, h0 = 0. Тогда (1) можно записать в виде
Qx = R(x, h), R(0, 0) = 0,
где предполагается, что Rx(0, 0) = 0 (производная Фреше по первой переменной). Если h = λ
— числовой параметр и при всех возможных значениях λ R(0, λ) = 0, то рассматриваемое
уравнение называют задачей о точках бифуркации [1, 3]. Точками бифуркации являются те
значения параметра λ, в окрестности которых существуют нетривиальные решения уравнения.
Основы теории ветвления функциональных уравнений были заложены в начале ХХ века в
работах известных математиков А. М. Ляпунова и Э. Шмидта. Исследования А. М. Ляпунова
были связаны с известной задачей о фигурах равновесия, а Э. Шмидта — с общей теорией
линейных и нелинейных интегральных уравнений. Отметим также, что в случае, когда ядро
N(Q) конечномерное, эта задача исследовалась, например, в [2] с помощью леммы Шмидта для
фредгольмовых и нетеровых операторов [4]. Метод, который применяется при решении задач
теории ветвления, получил название метода Ляпунова – Шмидта. Другие теоремы о неявных
функциях были получены в работах [5, 6], а также [1, 7 – 9]. Теорема о неявной функции имеет
c© А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНЫЙ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 1181
1182 А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНЫЙ
отношение к известной лемме Морса [1]. Данная работа посвящена развитию теорем о неявной
функции на случай операторных уравнений в функциональных пространствах.
Постановка задачи. Будем рассматривать нелинейное уравнение вида
Qx = hR(x, h) (2)
в пространстве Фреше E1 с непрерывной нелинейностью R(x, h) в окрестности точки (0, 0),
которая удовлетворяет условию R(0, 0) = 0, Rx(0, 0) = 0, h — числовой параметр. Задача
состоит в отыскании такого непрерывного решения x = x(h), которое при h = 0 обращается в
одно из решений порождающей задачи Qx = 0, определенного и непрерывного в окрестности
этого решения.
Модификация метода Ляпунова – Шмидта. Рассмотрим случай, когда оператор Q имеет
обобщенно-обратный [4], т. е. существует оператор Q− такой, что QQ−Q = Q, Q−QQ− =
= Q−. Тогда решение порождающей задачи может быть представлено в виде x = PN(Q)c для
произвольного элемента c ∈ E1, где PN(Q) — проектор на ядро N(Q) оператора Q. Найдем
необходимое условие существования решения нелинейного уравнения.
Теорема 1 (необходимое условие). Пусть существует непрерывное решение x = x(h)
уравнения (2), которое при h = 0 обращается в одно из решений порождающей задачи PN(Q)c
с элементом c = c0. Тогда c0 должен удовлетворять уравнению для порождающих элементов
F (c0) = 0, F (c) = PN(Q∗)R(PN(Q)c, 0). (3)
Доказательство. Предположим, что нелинейное уравнение имеет решение x = x(h),
которое становится одним из решений порождающего уравнения x(0) = PN(Q)c0 при h = 0.
Подставим это решение в уравнение и запишем условие разрешимости [4]
PN(Q∗)R(x(h), h) = 0.
Перейдем к пределу при h → 0. Используя при этом непрерывность R в окрестности порож-
дающего решения, получаем (3).
Найдем достаточное условие существования решения нелинейного уравнения. Для его по-
лучения необходимо требовать от нелинейности R дополнительной гладкости в окрестности
порождающего решения. Пусть элемент c = c0 удовлетворяет уравнению для порождающих
элементов (3). Выполним замену переменных x(h) = PN(Q)c0 + y(h). Тогда уравнение (2)
примет вид
Qy(h) = hR
(
PN(Q)c
0 + y(h), h
)
. (4)
Отображение y(h) удовлетворяет условию y(0) = 0. Выделим в (4) линейную часть в окрест-
ности порождающего решения (предполагая, что это можно сделать)
R(PN(Q)c0 + y(h), h) = R(PN(Q)c0, 0) + ly(h) +R(y(h), h), ly(h) = Rx(PN(Q)c0, 0)y(h),
R(y(h), h) = R(PN(Q)c0 + y(h), h)−R(PN(Q)c0, 0)− ly(h), (5)
R(PN(Q)c0, 0) = 0, Rx(PN(Q)c0, 0) = 0,
и запишем условие разрешимости для уравнения (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ И ГИЛЬБЕРТА 1183
PN(Q∗)R(PN(Q)c0 + y(h), h) = 0.
При выполнении этого условия уравнение (4) будет иметь решения в виде
y(h) = y(h) + PN(Q)c(h),
где
y(h) = G[y(h)] := hQ−R
(
PN(Q)c0 + y(h), h
)
.
Подставляя это выражение в условие разрешимости и учитывая представление (5), а также
условие (3), получаем операторное уравнение относительно c(h) :
B0c(h) = g(h),
B0 = PN(Q∗)lPN(Q), g(h) = −PN(Q∗)ly(h)− PN(Q∗)R(y(h), h).
Если оператор B0 имеет обобщенно-обратный и выполнено условие PN(B∗
0 )
PN(Q∗) = 0, то
это уравнение будет разрешимым с одним из решений вида c(h) = B−0 g(h). Тогда получим
следующую операторную систему относительно y(h), c(h), y(h) :
y(h) = PN(Q)c(h) + y(h),
c(h) = −B−0 PN(Q∗)
{
R(y(h), h) + ly(h)
}
,
y(h) = G[y(h)],
которую запишем в виде
u(h) = Lu(h) + g(h), (6)
где u(h) = (y(h), c(h), y(h))T ,
L =
0 PN(Q) I
0 0 L1
0 0 0
, g(h) =
0
g1(h)
g2(h)
,
L1z = −B−0 PN(Q∗)lz, g1(h) = −B−0 PN(Q∗)R(y(h), h), g2(h) = G[y(h)].
Теперь u(h) = (I − L)−1g(h) = S(h)u(h), где
S(h)u(h) = (I − L)−1g(h) =
I PN(Q) PN(Q)L1 + I
0 I L1
0 0 I
g(h),
S(h)
y(h)
c(h)
y(h)
=
−PN(Q)B
−
0 PN(Q∗)R(y(h), h)− PN(Q)B
−
0 PN(Q∗)lG[y(h)] +G[y(h)]
−B−0 PN(Q∗)R(y(h), h)−B−0 PN(Q∗)lG[y(h)]
G[y(h)]
.
За счет малости h всегда можно добиться, чтобы оператор S(h) был сжимающим, и из принципа
сжимающих отображений [1] получим следующую теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1184 А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНЫЙ
Теорема 2 (достаточное условие). Пусть выполняются условия:
1) Q и B0 — обобщенно-обратимые операторы;
2) PN(B∗
0 )
PN(Q∗) = 0.
Тогда для произвольного элемента c = c0, удовлетворяющего уравнение для порождающих
элементов (3), существует непрерывное решение x(h) уравнения (2) в достаточно малой
окрестности точки h = 0. Это решение можно найти с помощью сходящегося итерационного
процесса
yk+1(h) = PN(Q)ck(h) + yk(h),
ck+1(h) = −B−0 PN(Q∗){R(yk(h), h) + lyk(h)},
yk+1(h) = G[yk(h)],
R(yk(h), h) = R(PN(Q)c0 + yk(h), h)−R(PN(Q)c0, 0)− lyk(h),
xk(h) = PN(Q)c0 + yk(h), x(h) = lim
k→∞
xk(h),
G[yk(h)] = Q−R(PN(Q)c0 + yk(h), h),
F (c0) = PN(Q∗)R(PN(Q)c0, 0) = 0,
y0(h) = 0, c0(h) = 0, y0(h) = 0.
Связь между необходимым и достаточным условиями. Сначала докажем следующее
утверждение.
Следствие 1. Пусть F (c) имеет производную Фреше для элемента c = c0 пространства
E1, который удовлетворяет уравнению для порождающих элементов (3). Если F (1)(c0) име-
ет ограниченный обратный, то уравнение (2) имеет единственное решение, где F (1)(c0) —
производная Фреше в точке c0.
Доказательство. Рассмотрим разность
F (c0 + h) = F (c0 + h)− F (c0) = PN(Q∗)R(PN(Q)(c0 + h), h)− PN(Q∗)R(PN(Q)c0, 0) =
= PN(Q∗)lPN(Q)h+ PN(Q∗)R(PN(Q)h, h) = B0[h] + PN(Q∗)R(PN(Q)h, h).
Отсюда следует, что B0 = F (1)(c0). Поскольку оператор F (1)(c0) обратимый, то для операто-
ра B0 условия теоремы 2 выполняются. Таким образом, условие обратимости оператора B0
связывает между собой необходимое и достаточное условия. Это условие является аналогом
условия простоты корня уравнения (3) в конечномерном случае [4].
Замечания относительно усиления результатов. Используя понятие сильного обобщенно-
обратного оператора, введенного в [10], можно доказать более общее утверждение, чем теоре-
ма 2. Для полноты изложения приведем соответствующие определения.
Пусть для пространств E1, E2 выполнены соотношения
E1 = N(Q)⊕X, E2 = R(Q)⊕ Y, (7)
т. е. пространства N(Q) и R(Q) дополняемые.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ И ГИЛЬБЕРТА 1185
Определение 1. Пусть Q : E1 → E2 — линейный ограниченный оператор, действующий
из пространства Фреше E1 в пространство Фреше E2, а подпространства X ⊂ E1 и Y ⊂
⊂ E2 такие, что справедливо представление (7). Тогда соответствующую пару (X,Y ) будем
называть обобщенной Q-допустимой парой.
Рассмотрим сужениеQX оператораQ на подпространствоX : QXx = Qx, QX : X → R(Q)
(он будет линейным, непрерывным и инъективным). Пополним пространство X по системе
полунорм, которые определяют его топологию, и расширим оператор QX на пополненное
пространство X по непрерывности [11]. Тогда расширенный оператор QX : X → R(Q) будет
осуществлять гомеоморфизм между пространствами X и R(Q). Будем обозначать через E1 =
= X ⊕N(Q) расширенное исходное пространство.
Определение 2. Пусть Q — линейный ограниченный оператор и (X,Y ) — обобщенная
Q-допустимая пара. Тогда отображение
Q−X,Y : E2 → E1,
Q−X,Y y = Q
−1
X y1, y = y1 + y2, y1 ∈ R(Q), y2 ∈ Y,
будем называть сильным (X,Y )-обобщенно-обратным к Q.
На подпространстве X этот оператор имеет свойства, аналогичные свойствам классическо-
го обобщенно-обратного оператора. Благодаря этой конструкции можно получить следующие
теоремы.
Теорема 3. Пусть выполняются условия:
1) Q и B0 — сильные (X1, Y1)-, (X2, Y2)-обобщенно-обратимые операторы соответствен-
но;
2) PN(B∗
0 )
PN(Q∗) = 0.
Тогда для произвольного элемента c = c0, который удовлетворяет уравнению для порож-
дающих элементов (3), существует непрерывное обобщенное решение x(h) уравнения (2). Это
решение можно найти с помощью сходящегося итерационного процесса
yk+1(h) = PN(Q)ck(h) + yk(h),
ck+1(h) = −B−0X2,Y2
PN(Q∗){R(yk(h), h) + lyk(h)},
yk+1(h) = G[yk(h)],
R(yk(h), h) = R(PN(Q)c0 + yk(h), h)−R(PN(Q)c0, 0)− lyk(h),
xk(h) = PN(Q)c0 + yk(h), x(h) = lim
k→∞
xk(h),
G[yk(h)] = B−X1,Y1
R(PN(Q)c0 + yk(h), h),
F (c0) = PN(Q∗)R(PN(Q)c0, 0) = 0,
для y0(h) = 0, c0(h) = 0, y0(h) = 0; B−0X1,Y1
, B−X2,Y2
— сильные обобщенно-обратные опера-
торы [10].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1186 А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНЫЙ
Замечание 1. Техника доказательства теоремы 3 не отличается от доказательства теоре-
мы 2. В случае, когда для оператора Q существует обобщенно-обратный, он будет совпадать с
сильным обобщенно-обратным, и теорема 2 является следствием теоремы 3.
Рассмотрим теперь то же уравнение, но определенное в пространствах Гильберта E1 = H1,
E = H, E2 = H2. В этом случае, как следует из работы [10], оператор Q будет всегда (X,Y )-
обобщенно-обратимым с сильным псевдообратным по Муру – Пенроузу оператором, который
обозначается Q
+
[10]. Из изложенного получаем следующее следствие.
Следствие 2. Пусть PN(B∗
0 )
PN(Q∗) = 0.
Тогда для произвольного элемента c = c0, удовлетворяющего уравнению для порождающих
элементов (3), существует непрерывное обобщенное решение x(h) уравнения (2). Это решение
можно найти с помощью сходящегося итерационного процесса
yk+1(h) = PN(Q)ck(h) + yk(h),
ck+1(h) = −B
+
0 PN(Q∗){R(yk(h), h) + lyk(h)},
yk+1(h) = G[yk(h)],
R(yk(h), h) = R(PN(Q)c0 + yk(h), h)−R(PN(Q)c0, 0)− lyk(h),
xk(h) = PN(Q)c0 + yk(h), x(h) = lim
k→∞
xk(h),
G[yk(h)] = Q
+
R(PN(Q)c0 + yk(h), h),
F (c0) = PN(Q∗)R(PN(Q)c0, 0) = 0,
для y0(h) = 0, c0(h) = 0, y0(h) = 0; B
+
0 , Q
+
— сильные псевдообратные по Муру – Пенроузу
операторы [10].
Пример. Покажем, как можно применять полученные теоремы для представления реше-
ний слабонелинейного алгебраического уравнения Ляпунова в пространстве Гильберта [12]
в критическом случае (когда нарушается единственность решения порождающего уравнения
[4, 13]).
Рассмотрим уравнение вида
F(X,h) = AX +XB + hXQ1X −Q2 = 0, (8)
где A,B,Q1, Q2 ∈ L(H) — заданные линейные ограниченные операторы, действующие в про-
странстве Гильберта H, оператор X ∈ L(H) — искомый, а h — числовой параметр. Рассмотрим
порождающее уравнение
F(X, 0) = AX +XB −Q2 = 0. (9)
В данном случае R(X,h) = hXQ1X. Введя обозначение QX := AX + XB, запишем (9) в
виде
QX = Q2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ И ГИЛЬБЕРТА 1187
Тогда обобщенные решения уравнения (9) будут иметь вид
X = Q
+
Q2 + PN(Q)C, (10)
где произвольный оператор C принадлежит L(H) при выполнении условия PN(Q∗)Q2 = 0.
Используя теорему 1, получаем следующее утверждение.
Теорема 4 (необходимое условие). Пусть существует непрерывное решение уравнения (8),
которое при h = 0 обращается в одно из решений порождающей задачи (9) вида (10) с
оператором C = C0. Тогда C0 должен удовлетворять операторному уравнению
F (C) = PN(Q∗)(Q
+
Q2 + PN(Q)C)Q1(Q
+
Q2 + PN(Q)C) = 0. (11)
Таким образом, теорема 4 иллюстрирует теорему 1 о необходимом условии существования
решения операторного уравнения (8).
Замечание 2. В случае периодической краевой задачи в конечномерном случае уравнение
вида (3) называется уравнением для порождающих амплитуд [13]. В случае конечномернос-
ти коядра оператора Q соответствующее уравнение называют уравнением ветвления [2]. В
связи с этим уравнение (3) было названо уравнением для порождающих элементов, а (11) —
операторным уравнением для порождающих операторов.
Для получения достаточного условия выполним замену переменных X(h) = Y (h) +
+PN(Q)C0 +Q
+
Q2. Тогда получим уравнение вида
QY (h) = −h(Y (h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2)Q1(Y (h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2), Y (0) = 0. (12)
Условие разрешимости для (12) принимает вид
PN(Q∗)(Y (h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2)Q1(Y (h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2) = 0. (13)
При выполнении условия (13) решения будут иметь вид
Y (h) = Y (h) + PN(Q)C(h), (14)
где
Y (h) = G[Y (h)] = −hQ+
(Y (h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2)Q1(Y (h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2).
Нетрудно проверить, что в данном случае
lY (h) = Y (h)Q1(PN(Q)C0 +Q
+
Q2) + (PN(Q)C0 +Q
+
Q2)Q1Y (h).
Таким образом, приходим к операторной системе вида
Y (h) = Y (h) + PN(Q)C(h),
Y (h) = −hQ+
(Y (h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2)Q1(Y (h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2), (15)
B0C(h) = −PN(Q∗)Y (h)Q1Y (h)− PN(Q∗)lY (h).
Используя следствие 2, получаем следующий результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1188 А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНЫЙ
Теорема 5 (достаточное условие). Пусть PN(B∗
0 )
PN(Q∗) = 0.
Тогда для произвольного оператора C = C0, удовлетворяющего уравнению для порождаю-
щих операторов (11), существует непрерывное обобщенное решение x(h) уравнения (8). Это
решение можно найти с помощью сходящегося итерационного процесса
Yk+1(h) = Y k(h) + PN(Q)Ck(h),
Ck+1(h) = −B
+
0 PN(Q∗)Yk(h)Q1Yk(h)− PN(Q∗)lY k(h),
Y k+1(h) = −hQ
+
(Yk(h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2)Q1(Yk(h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2),
Xk(h) = PN(Q)C0 + Yk(h) +Q
+
Q2, X(h) = lim
k→∞
Xk(h),
G[Yk(h)] = −hQ
+
(Yk(h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2)Q1(Yk(h) + PN(Q)C0 +Q
+
Q2),
F (C0) = PN(Q∗)(Q
+
Q2 + PN(Q)C0)Q1(Q
+
Q2 + PN(Q)C0) = 0,
для Y0(h) = 0, C0(h) = 0, Y 0(h) = 0; B
+
0 , Q
+
— сильные псевдообратные по Муру – Пенроузу
операторы [10].
1. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. – М.: Мир, 1977. – 232 с.
2. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. – М.: Наука, 1969. – 527 с.
3. Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. –
Ташкент: ФАН, 1985. – 184 с.
4. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. – Utrecht;
Boston: VSP, 2004. – 317 p.
5. Nash J. The imbedding problem for Riemannian manifolds // Ann. Math. – 1956. – 63. – P. 20 – 63.
6. Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations // Proc. Nat. Acad. Sci.
USA. – 1961. – 47. – P. 1824 – 1831.
7. Hamilton R. S. The inverse function theorem of Nash and Moser // Bull. Amer. Math. Soc. (New Ser.). – 1982. – 7,
№ 1. – P. 65 – 222.
8. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных операторов. – М.: Гостехиздат, 1956. –
393 с.
9. де ла Яве Р. Введение в КАМ-теорию. – М.: Ин-т компьтер. исслед., 2003. – 176 с.
10. Покутний О. О. Узагальнено-обернений оператор в просторах Фреше, Банаха та Гiльберта // Вiсн. Київ. нац.
ун-ту iм. Т. Шевченка. Сер. фiз.-мат. науки. – 2013. – № 4. – С. 158 – 161.
11. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 с.
12. Christian Wyss. Perturbation theory for Hamiltonian operator matrices and Riccati equations. – Bern, 2008. – 164 p.
13. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – М.: Гостехиздат, 1956. – 491 с.
Получено 22.07.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2057 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:53Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a1/0b787612983f7b1e1cb3f41eaa7557a1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20572019-12-05T09:49:43Z Perturbation Theory of Operator Equations in the FréChet and Hilbert Spaces Теория возмущений операторных уравнений в пространствах Фреше и Гильберта Boichuk, О. A. Pokutnyi, О. О. Бойчук, А. А. Покутный, А. А. Бойчук, А. А. Покутный, А. А. The perturbation theory is constructed in the Fréchet and Hilbert spaces. An iterative process is proposed for finding branching solutions. Побудовано теорто збурень у просторах Фреше i Гiльберта. Наведено ітераційний процес знаходження розгалужених розв'язюв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2057 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 9 (2015); 1181-1188 Український математичний журнал; Том 67 № 9 (2015); 1181-1188 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2057/1130 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2057/1131 Copyright (c) 2015 Boichuk О. A.; Pokutnyi О. О. |
| spellingShingle | Boichuk, О. A. Pokutnyi, О. О. Бойчук, А. А. Покутный, А. А. Бойчук, А. А. Покутный, А. А. Perturbation Theory of Operator Equations in the FréChet and Hilbert Spaces |
| title | Perturbation Theory of Operator Equations in the FréChet and Hilbert Spaces |
| title_alt | Теория возмущений операторных уравнений в пространствах
Фреше и Гильберта |
| title_full | Perturbation Theory of Operator Equations in the FréChet and Hilbert Spaces |
| title_fullStr | Perturbation Theory of Operator Equations in the FréChet and Hilbert Spaces |
| title_full_unstemmed | Perturbation Theory of Operator Equations in the FréChet and Hilbert Spaces |
| title_short | Perturbation Theory of Operator Equations in the FréChet and Hilbert Spaces |
| title_sort | perturbation theory of operator equations in the fréchet and hilbert spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2057 |
| work_keys_str_mv | AT boichukoa perturbationtheoryofoperatorequationsinthefrechetandhilbertspaces AT pokutnyioo perturbationtheoryofoperatorequationsinthefrechetandhilbertspaces AT bojčukaa perturbationtheoryofoperatorequationsinthefrechetandhilbertspaces AT pokutnyjaa perturbationtheoryofoperatorequationsinthefrechetandhilbertspaces AT bojčukaa perturbationtheoryofoperatorequationsinthefrechetandhilbertspaces AT pokutnyjaa perturbationtheoryofoperatorequationsinthefrechetandhilbertspaces AT boichukoa teoriâvozmuŝenijoperatornyhuravnenijvprostranstvahfrešeigilʹberta AT pokutnyioo teoriâvozmuŝenijoperatornyhuravnenijvprostranstvahfrešeigilʹberta AT bojčukaa teoriâvozmuŝenijoperatornyhuravnenijvprostranstvahfrešeigilʹberta AT pokutnyjaa teoriâvozmuŝenijoperatornyhuravnenijvprostranstvahfrešeigilʹberta AT bojčukaa teoriâvozmuŝenijoperatornyhuravnenijvprostranstvahfrešeigilʹberta AT pokutnyjaa teoriâvozmuŝenijoperatornyhuravnenijvprostranstvahfrešeigilʹberta |