One Problem Connected with the Helgason Support Problem
We solve the problem of description of the set of continuous functions in annular subdomains of the n-dimensional sphere with zero integrals over all (n - 1)-dimensional spheres covering the inner spherical cap. As an application, we establish a spherical analog of the Helgason support theorem and n...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2058 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507981074923520 |
|---|---|
| author | Volchkov, V. V. Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, В. В. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, В. В. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. |
| author_facet | Volchkov, V. V. Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, В. В. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, В. В. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. |
| author_sort | Volchkov, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:43Z |
| description | We solve the problem of description of the set of continuous functions in annular subdomains of the n-dimensional sphere with zero integrals over all (n - 1)-dimensional spheres covering the inner spherical cap. As an application, we establish a spherical analog of the Helgason support theorem and new uniqueness theorems for functions with zero spherical means. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Волчков, Вит. В. Волчков, И. М. Савостьянова (Донец. нац. ун-т)
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ, СВЯЗАННОЙ
С ПРОБЛЕМОЙ ХЕЛГАСОНА О НОСИТЕЛЕ
We solve the problem of description of the set of continuous functions in annular subdomains of n-dimensional sphere
with zero integrals over all (n− 1)-dimensional spheres covering the inner spherical cap. As an application, we establish a
spherical analog of the Helgason support theorem and new uniqueness theorems for functions with zero spherical means.
Отримано розв’язок задачi про опис множини неперервних функцiй на кiльцевих пiдобластях n-вимiрної сфери,
якi мають нульовi iнтеграли по всiх (n − 1)-вимiрних сферах, що обхоплюють внутрiшню сферичну шапочку. Як
застосування отримано сферичний аналог теореми Хелгасона про носiй та новi теореми єдиностi для функцiй з
нульовими сферичними середнiми.
1. Введение. Пусть Rn — вещественное евклидово пространство размерности n ≥ 2 с евкли-
довой нормой | · |. Известная теорема Хелгасона о носителе [1] утверждает, что любая функция
f ∈ C(Rn), удовлетворяющая оценкам
sup
x∈Rn
|x|k|f(x)| <∞, k = 1, 2, . . . , (1)
и имеющая нулевые интегралы по всем гиперплоскостям в Rn, не пересекающимся с неко-
торым компактным выпуклым множеством K, равна нулю в Rn \ K. Примеры показывают
(см. [1], [2], гл. 1, [3] гл. 1.8), что быстрое убывание f в этом утверждении нельзя опустить
или существенно ослабить. В [2, 3] содержатся также различные уточнения, модификации и
обобщения сформулированного результата.
Ключевым шагом в доказательстве теоремы Хелгасона является следующая лемма о функ-
циях с нулевыми сферическими средними.
Лемма А [1]. Пусть функция f ∈ C(Rn) такова, что выполнено условие (1) и интеграл
от f по любой сфере, содержащей внутри себя шар |x| ≤ 1, равен нулю. Тогда f(x) = 0 при
|x| > 1.
Вследствие важности указанного факта при изучении преобразования Радона С. Хелга-
сон [4] предложил распространить лемму А на произвольное полное односвязное риманово
многообразие M отрицательной кривизны. Для многообразий M, удовлетворяющих допол-
нительному условию аналитичности, это было сделано Е. Гринбергом и Е. Т. Квинто [5] с
использованием техники микролокального анализа и аналитического волнового фронта.
С другой стороны, в связи с необходимостью условия (1) в лемме А возникает задача об
описании непрерывных функций в области α < |x| < β с нулевыми интегралами по всем сфе-
рам, охватывающим шар |x| ≤ α. Постановка и решение ее двумерного варианта принадлежат
Й. Глобевнику [6]. Обобщения на n-мерный случай изучались К. Эпстейном, Б. Клейнером [7]
и В. В. Волчковым [8]. Позже были установлены соответствующие аналоги для классических
гиперболических пространств [9, 10]. В случае компактных симметрических пространств, кото-
рый также является естественным для рассматриваемого круга вопросов, подобные исследова-
ния ранее не проводились. В данной работе найдено решение задачи Глобевника для n-мерной
c© В. В. ВОЛЧКОВ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 1189
1190 В. В. ВОЛЧКОВ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
сферы (см. теорему 1 ниже). Этот результат позволил получить сферический аналог сформули-
рованной выше теоремы Хелгасона и новые теоремы единственности для функций с нулевыми
сферическими средними (см. теоремы 2 – 4).
2. Формулировки основных результатов. Как обычно, символами N, Z, Z+, C будем
обозначать соответственно множества натуральных, целых, целых неотрицательных и комп-
лексных чисел.
Пусть n ≥ 2, Sn — единичная сфера в Rn+1 с центром в нуле, d — внутренняя метрика на
Sn, т. е.
d(ξ, η) = arccos(ξ1η1 + . . .+ ξn+1ηn+1), ξ, η ∈ Sn,
где ξ1, . . . , ξn+1 и η1, . . . , ηn+1 — декартовы координаты точек ξ и η соответственно. Для 0 <
< r ≤ π, 0 ≤ a < b ≤ π положим
Br(η) = {ξ ∈ Sn : d(ξ, η) < r}, Br = Br(o)
(
o = (0, . . . , 0, 1)
)
,
Sr(η) = {ξ ∈ Sn : d(ξ, η) = r}, Sr = Sr(o),
Ba,b = {ξ ∈ Sn : a < d(o, ξ) < b}.
Определим класс Z(Ba,b) равенством
Z(Ba,b) =
f ∈ C(Ba,b) :
∫
Sr(η)
f(ξ)dω(ξ) = 0 ∀r ∈ (a, b), η ∈ Bmin{r−a,b−r}
(2)
(dω — (n − 1)-мерная евклидова мера). Интегральное условие в (2) можно записать в виде
(f × σr)(η) = 0, где σr — поверхностная дельта-функция, сосредоточенная на Sr, „×” — знак
свертки на Sn (см. [11], введение, §3). Класс Z(Ba,b) является сферическим аналогом классов,
рассматриваемых ранее Глобевником, Хелгасоном и др. (см. п. 1 выше). Для его описания нам
потребуются ряды Фурье специального вида.
Пусть Hk, k ∈ Z+, — пространство сферических гармоник степени k на Sn−1 (см. [12],
гл. 4, § 2). Размерность ak пространства Hk вычисляется по формуле
ak =
(n+ k − 3)!(n+ 2k − 2)
k!(n− 2)!
, k ∈ N,
1, k = 0.
В дальнейшем будем рассматривать Hk как подпространство L2(Sn−1, dω). Введем сфериче-
ские координаты θ1, . . . , θn на Sn следующим образом:
ξ1 = sin θn . . . sin θ1, ξ2 = sin θn . . . sin θ2 cos θ1, . . . , ξn+1 = cos θn,
0 < θ1 < 2π, 0 < θk < π, k 6= 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ, СВЯЗАННОЙ С ПРОБЛЕМОЙ ХЕЛГАСОНА О НОСИТЕЛЕ 1191
Если ξ′ = (ξ1, . . . , ξn) 6= 0, то точка σ = ξ′/|ξ′| принадлежит Sn−1. Запишем действие функции
f ∈ C(Ba,b) в виде f(ξ) = f(σ sin θn, cos θn) и сопоставим ей ряд Фурье
∞∑
k=0
ak∑
l=1
fk,l(θn)Y
(k)
l (σ), θn ∈ (a, b), (3)
где
{
Y
(k)
l
}ak
l=1
— фиксированный ортонормированный базис в Hk,
fk,l(θn) =
∫
Sn−1
f(σ sin θn, cos θn)Y
(k)
l (σ)dω(σ).
Ниже при n = 2 считаем, что
Y
(k)
1 (σ) =
1√
2π
ike−ikθ1 , Y
(k)
2 (σ) =
1√
2π
(−i)keikθ1 , k ∈ N. (4)
Для любого θn ∈ (a, b) ряд (3) сходится к f(σ sin θn, cos θn) в пространстве L2(Sn−1, dω)
(см. [12], гл. 4, § 2).
Следующий результат дает описание класса Z(Ba,b) в терминах разложений в ряды по
сферическим гармоникам.
Теорема 1. Пусть 0 ≤ a < b ≤ π, f ∈ C(Ba,b). Тогда для того чтобы функция f
принадлежала Z(Ba,b), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты Фурье функции f
имели вид
f0,1(θn) = 0, (5)
fk,l(θn) =
k−1∑
m=0
cm,k,l
(cos θn)m
(sin θn)n+k−2
, k ≥ 1, 1 ≤ l ≤ ak, (6)
где a < θn < b, cm,k,l ∈ C.
Равенства (5), (6) показывают, что не существует нетривиальной функции f ∈ Z(Ba,π) с
быстрым стремлением к нулю при подходе к полюсу o∗ = (0, . . . , 0,−1). Точнее, справедлива
следующая теорема.
Теорема 2. Пусть 0 < a < π. Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Пусть f ∈ Z(Ba,π) и при любом m ∈ Z+
sup
ξ∈Ba,π
(1 + ξn+1)
−m|f(ξ)| <∞. (7)
Тогда f = 0 в Ba,π.
2. Для любого m ∈ Z+ существует ненулевая функция f ∈ Z(Ba,π) с условием (7).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1192 В. В. ВОЛЧКОВ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
Отметим, что при b > π множество Ba,b совпадает с геодезическим шаром Bπ−a(o
∗). В
этом случае любая функция f ∈ C(Ba,b), удовлетворяющая условию∫
Sr(η)
f(ξ)dω(ξ) = 0 ∀r ∈ (a, π), η ∈ Br−a,
является тождественным нулем.
Еще одним приложением теоремы 1 являются новые условия единственности для функций
класса Z(Ba,b).
Теорема 3. 1. Пусть E — бесконечное множество на интервале (a, b), f ∈ Z(Ba,b) и
f(ξ) = 0 при d(o, ξ) ∈ E. Тогда f = 0 в Ba,b.
2. Для любого конечного множестваE ⊂ (0, π) существует ненулевая функция f ∈ Z(B0,π)
такая, что f(ξ) = 0 при d(o, ξ) ∈ E.
Теорема 4. 1. Пусть f принадлежит Z(Ba,b) и классу C∞ в окрестности некоторой
сферы Sr ⊂ Ba,b. Пусть также все производные функции f равны нулю на Sr. Тогда f = 0 в
Ba,b.
2. Для любых s ∈ Z+ и r ∈ (0, π) существует ненулевая функция f ∈ Z∞(B0,π), имеющая
на Sr все нулевые производные до порядка s включительно.
Относительно других результатов, связанных с инъективностью оператора сферического
среднего, см. [2, 13, 14] и имеющуюся там библиографию.
3. Вспомогательные утверждения. Будем использовать следующие стандартные обозна-
чения Pµν , Q
µ
ν для функций Лежандра первого и второго рода на (−1, 1). Эти функции связаны
с гипергеометрической функцией Гаусса равенствами
(1− x2)
µ
2 Pµν (x)
2µ
√
π
=
F
(
−ν + µ
2
,
1 + ν − µ
2
;
1
2
;x2
)
Γ
(
1− ν − µ
2
)
Γ
(
1 +
ν − µ
2
)−
−
2xF
(
1− ν − µ
2
, 1 +
ν − µ
2
;
3
2
;x2
)
Γ
(
1 + ν − µ
2
)
Γ
(
−ν + µ
2
) , ν, µ ∈ C, (8)
(1− x2)
µ
2Qµν (x)
2µπ3/2
= ctg
(π
2
(ν + µ)
) xF (1− ν − µ
2
,
ν − µ
2
+ 1;
3
2
;x2
)
Γ
(
1 + ν − µ
2
)
Γ
(
−ν + µ
2
) −
−1
2
tg
(π
2
(ν + µ)
) F (−ν + µ
2
,
1 + ν − µ
2
;
1
2
;x2
)
Γ
(
1− ν − µ
2
)
Γ
(
1 +
ν − µ
2
) , −ν − µ 6∈ N, (9)
где Γ — гамма-функция (см. [15], гл. 3, п. 3.4, формулы (11), (12)). Для θ ∈ (0, π) положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ, СВЯЗАННОЙ С ПРОБЛЕМОЙ ХЕЛГАСОНА О НОСИТЕЛЕ 1193
ψν,k(θ) = (sin θ)1−n/2P
−n/2−k+1
ν+n/2−1 (cos θ), ν ∈ C,
Ψν,k(θ) =
(sin θ)1−n/2Q
n/2+k−1
ν+n/2−1(cos θ), если n четно, 2− n− k − ν 6∈ N,
(sin θ)1−n/2P
n/2+k−1
ν+n/2−1 (cos θ), если n нечетно, ν ∈ C.
При фиксированных r ∈ (0, π), k ∈ Z+ функция ψν,k(r) имеет бесконечно много нулей ν. Все
они являются вещественными, простыми и расположены симметрично относительно точки
(1− n)/2 (см. [16], доказательство леммы 3.4). Кроме того, ψν,k(r) > 0 для любого ν ∈ [−k −
− n+ 1, k]. Обозначим N (r) = {ν > 0 : ψν,0(r) = 0}.
Пусть L = Ln — лапласиан на Sn, т. е.
L =
1
sinn−1 θn
∂
∂θn
sinn−1 θn
∂
∂θn
+
1
sin2 θn sinn−2 θn−1
∂
∂θn−1
sinn−2 θn−1
∂
∂θn−1
+
+
1
sin2 θn sin2 θn−1 sinn−3 θn−2
∂
∂θn−2
sinn−3 θn−2
∂
∂θn−2
+ . . .
. . .+
1
sin2 θn sin2 θn−1 . . . sin
2 θ3 sin2 θ2
∂2
∂θ21
.
Для любого m ∈ Z рассмотрим дифференциальный оператор Dm, заданный на пространстве
C1(0, π) следующим образом:
(Dmu)(θ) = (sin θ)m
d
dθ
(
u(θ)
(sin θ)m
)
, u ∈ C1(0, π).
Равенство
Ln−1Y
(k)
l = −k(n+ k − 2)Y
(k)
l
(см. [17], гл. 9, § 5, п. 1) показывает, что если f ∈ C2(Ba,b) имеет вид f(ξ) = u(θn)Y
(k)
l (σ), то
(Lf)(ξ) + k(n+ k − 1)f(ξ) =
(
D1−k−nDku
)
(θn)Y
(k)
l (σ). (10)
Отметим также следующие формулы:
Dk ψν,k = (k − ν)(k + ν + n− 1)ψν,k+1, Dk Ψν,k = Ψν,k+1, (11)
D1−k−n ψν,k+1 = ψν,k, D1−k−n Ψν,k+1 = (k − ν)(k + ν + n− 1)Ψν,k, (12)
(L+ ν(ν + n− 1)Id)
(
ψν,k(θn)Y
(k)
l (σ)
)
= (L+ ν(ν + n− 1)Id)
(
Ψν,k(θn)Y
(k)
l (σ)
)
= 0 (13)
(Id — тождественный оператор). Для доказательства (11), (12) достаточно воспользоваться опре-
делением ψν,k, Ψν,k и рекуррентными соотношениями для функций Лежандра (см. [15], гл. 3,
п. 3.8, формулы (15), (17), (19)). Равенство (13) следует из (10) – (12). При −ν 6∈ N функции
ψν,k, Ψν,k образуют фундаментальную систему решений уравнения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1194 В. В. ВОЛЧКОВ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА(
D1−k−nDku
)
(θ) = (k − ν)(k + ν + n− 1)u(θ), θ ∈ (0, π).
Положим
Sk,lν (ξ) = ψν,k(θn)Y
(k)
l (σ), ξ ∈ Bπ.
Лемма 1. Пусть 0 ≤ r < π, t ∈ (0, π − r), η ∈ Sr. Тогда∫
St(η)
Sk,lν (ξ)dω(ξ) = (2π)n/2(sin t)n−1ψν,0(t)Sk,lν (η).
Доказательство. Учитывая (13), по формуле Пиззетти имеем (см., например, [18])
∫
St(η)
Sk,lν (ξ)dω(ξ) =
ω(St)(
cos
t
2
)n−2
Sk,lν (η) + Γ
(n
2
) ∞∑
m=1
(
sin
t
2
)2m
×
×
((
L− (n− 2)n
4
Id
)
. . .
(
L− (n− 2m)(n+ 2m− 2)
4
Id
)
Sk,lν
)
(η)
m!Γ
(n
2
+m
)
=
=
ω(St)(
cos
t
2
)n−2Sk,lν (η)
1 + Γ
(n
2
) ∞∑
m=1
(
sin
t
2
)2m
×
×
(
ν(1− n− ν)− (n− 2)n
4
)
. . .
(
ν(1− n− ν)− (n− 2m)(n+ 2m− 2)
4
)
m!Γ
(n
2
+m
)
=
=
ω(St)(
cos
t
2
)n−2Sk,lν (η)F
(
−ν − n
2
+ 1, ν +
n
2
,
n
2
; sin2 t
2
)
.
Теперь используя равенство
ψν,0(t) =
21−n/2
Γ
(n
2
)(
cos
t
2
)n−2F (−ν − n
2
+ 1, ν +
n
2
,
n
2
; sin2 t
2
)
(см. [15], гл. 3, п. 3.5, формула (9)), получаем требуемое.
Пусть f — непрерывная радиальная (т. е. зависящая только от θn) функция в шаре BR. Далее
символом f0 будем обозначать функцию, заданную на [0, R) и удовлетворяющую соотношению
f(ξ) = f0(θn), ξ ∈ BR.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ, СВЯЗАННОЙ С ПРОБЛЕМОЙ ХЕЛГАСОНА О НОСИТЕЛЕ 1195
Лемма 2. Пусть 0 < r < R ≤ π, f(ξ) = f0(θn) ∈ C∞(BR). Тогда при k ∈ N и ξ ∈ BR−r
имеет место равенство((
Dk−1 . . . D0 f0
)
(θn)Y
(k)
l (σ)× σr
)
(ξ) =
(
Dk−1 . . . D0(f × σr)0
)
(θn)Y
(k)
l (σ). (14)
Доказательство. Зафиксируем η ∈ BR−r и ε ∈ (0, R− r − d(o, η)). Рассмотрим функцию
wε со следующими условиями: 1) wε ∈ C∞[0, π]; 2) wε = 1 на [0, R−ε] и wε = 0 на [R−ε/2, π].
Для θ ∈ [0, R) положим h(θ) = f0(θ)wε(θ). Повторяя рассуждения из доказательств леммы 4.3
и теоремы 2.1 [16], имеем
h(θ) =
∑
ν∈N (R−ε/3)
cνψν,0(θ), cν ∈ C, 0 ≤ θ ≤ R− ε
3
,
причем cν = O(ν−c), ν → +∞ для любого фиксированного c > 0. Тогда (см. (11))(
Dk−1 . . . D0 f0
)
(θn)Y
(k)
l (σ) =
∑
ν∈N (R−ε/3)
cνbν,kSk,lν (ξ), ξ ∈ BR−ε,
где
bν,k = (−ν)(ν + n− 1) . . . (k − 1− ν)(k + ν + n− 2). (15)
Отсюда по лемме 1((
Dk−1. . . . D0 f0
)
(θn)Y
(k)
l (σ)× σr
)
(η) =
∫
Sr(η)
(
Dk−1 . . . D0 f0
)
(θn)Y
(k)
l (σ)dω(ξ) =
= (2π)n/2(sin r)n−1
∑
ν∈N (R−ε/3)
cνbν,kψν,0(r)Sk,lν (η). (16)
С другой стороны, аналогично получаем
(f × σr)(η) =
∫
Sr(η)
f0(θn)dω(ξ) = (2π)n/2(sin r)n−1
∑
ν∈N (R−ε/3)
cνψν,0(r)ψν,0(arccos ηn+1)
и (
Dk−1 . . . D0 (f × σr)0
)
(θ) =
= (2π)n/2(sin r)n−1
∑
ν∈N
(
R−ε/3
) cνbν,kψν,0(r)ψν,k(θ), 0 ≤ θ < R− r − ε. (17)
Сравнивая (16) с (17), приходим к (14).
Лемма 3. Пусть k ∈ N, m ∈ {0, . . . , k − 1},
f(ξ) =
(cos θn)m
(sin θn)n+k−2
Y
(k)
l (σ), ξ ∈ B0,π.
Тогда f × σr = 0 в Bmin{π−r,r} для любого r ∈ (0, π).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1196 В. В. ВОЛЧКОВ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
Доказательство. Для ε ∈ (0, r) рассмотрим функцию vε, удовлетворяющую следующим
условиям: 1) vε ∈ C∞[0, π]; 2) vε = 0 на [0, ε/2] и vε = 1 на [ε, π]. Положим
H(η) =
(
Ψν,0 · vε
)
(arccos ηn+1), η ∈ Bπ.
Пусть ξ ∈ Bmin{π−r,r−ε}. Поскольку (L+ν(ν+n−1)Id)(H) = 0 вBε,π (см. (13)), а Sr(ξ) ⊂ Bε,π,
то
(L+ ν(ν + n− 1)Id)(H × σr)(ξ) = (L+ ν(ν + n− 1)Id)(H)× σr(ξ) = 0. (18)
Учитывая, что H × σr является гладкой радиальной функцией в Bπ−r, из (18), (13), (10) имеем
(H × σr)(ξ) = c ψν,0(θn), где c = (2π)n/2(sin r)n−1Ψν,0(r). Тогда по лемме 2((
Dk−1 . . . D0 H0
)
(θn)Y
(k)
l (σ)× σr
)
(ξ) = c
(
Dk−1 . . . D0 ψν,0
)
(θn)Y
(k)
l (σ).
С учетом (11) и (15) это равенство принимает вид(
Ψν,k(θn)Y
(k)
l (σ)
)
× σr(ξ) = c bν,kSk,lν (ξ).
В частности, (
Ψν,k(θn)Y
(k)
l (σ)
)
× σr(ξ) = 0 при ν = 0, 1, . . . , k − 1.
Поскольку число ε можно выбирать произвольно на (0, r), отсюда и из (8), (9) получаем утверж-
дение леммы 3.
4. Свойства класса Z(Ba,b). Для s ∈ Z+ ∪ {∞} положим Zs(Ba,b) = Z(Ba,b)∩Cs(Ba,b).
Лемма 4. Пусть f ∈ Z(Ba,b), k ∈ Z+, 1 ≤ l, p ≤ ak. Тогда:
1) fk,l(θn)Y
(k)
l (σ) ∈ Z(Ba,b);
2) если n ≥ 3, то fk,l(θn)Y
(k)
p (σ) ∈ Z(Ba,b).
Аналогичные утверждения справедливы и для класса Zs(Ba,b).
Доказательство. Множество {τ ∈ SO(n+1) : τo = o}, где SO(n+1) — группа вращений
Rn+1, является подгруппой в SO(n + 1), изоморфной группе SO(n). Обозначим через dτ
нормированную меру Хаара на SO(n).Пусть T k(τ) — сужение квазирегулярного представления
группы SO(n) на пространство Hk [17] (гл. 9, § 2, п. 7),
{
tkl,p(τ)
}
— матрица представления
T k(τ) в базисе
{
Y
(k)
l
}
, т. е.
(
T k(τ)Y
(k)
l
)
(σ) = Y
(k)
l (τ−1σ) =
ak∑
p=1
tkl,p(τ)Y (k)
p (σ), τ ∈ SO(n), σ ∈ Sn−1. (19)
Если n = 2 и τ — вращение на угол θ в R2, то tk1,1(τ) = e−ikθ, tk2,2(τ) = eikθ, tk1,2(τ) = tk2,1(τ) = 0
(см. (4)). При этом для членов ряда (3) имеем равенство
fk,l(θ2)Y
(k)
l (σ) =
∫
SO(2)
f(τ−1ξ)tkl,l(τ)dτ. (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ, СВЯЗАННОЙ С ПРОБЛЕМОЙ ХЕЛГАСОНА О НОСИТЕЛЕ 1197
В случае n ≥ 3 из (19) и неприводимости представлений T k(τ) [17] (гл. 9, § 2, п. 10) следует
формула
fk,l(θn)Y (k)
p (σ) = ak
∫
SO(n)
f(τ−1ξ)tkl,p(τ)dτ. (21)
Используя (20), (21) и указанное выше вложение SO(n) в SO(n + 1), получаем требуемые
утверждения.
Лемма 5. Пусть s ∈ N, f ∈ Zs(Ba,b) и
f◦(θ1, . . . , θn) = f(sin θn . . . sin θ1, sin θn . . . sin θ2 cos θ1, . . . , cos θn).
Тогда
− sin θn−1 ctg θn
∂f◦
∂θn−1
+ cos θn−1
∂f◦
∂θn
∈ Zs−1(Ba,b).
Доказательство. Пусть r ∈ (a, b) и η ∈ Bmin{r−a,b−r}. Обозначим через at движение
сферы Sn, определяемое равенством
atξ = (ξ1, . . . , ξn−1, ξn cos t+ ξn+1 sin t, −ξn sin t+ ξn+1 cos t).
При достаточно малых |t| из условия имеем∫
Sr(η)
F (atξ)dω(ξ) = 0,
где F (x) = f
(
x/|x|
)
. Дифференцируя по t и полагая t = 0, находим∫
Sr(η)
h(ξ)dω(ξ) = 0,
где
h(ξ) = ξn+1
∂F
∂xn
(ξ)− ξn
∂F
∂xn+1
(ξ), ξ ∈ Ba,b.
Таким образом, h ∈ Zs−1(Ba,b). Это завершает доказательство леммы 5, так как
h◦(θ1, . . . , θn) = − sin θn−1 ctg θn
∂f◦
∂θn−1
+ cos θn−1
∂f◦
∂θn
.
Лемма 6. 1. Пусть n ≥ 3, s ∈ N и u(θn)Y (σ) ∈ Zs(Ba,b) при некотором Y ∈ Hk \ {0}.
Тогда:
а)
(
Dk u
)
(θn)Y
(k+1)
l (σ) ∈ Zs−1(Ba,b) при всех 1 ≤ l ≤ ak+1;
б) если k ∈ N, то
(
D2−k−n u
)
(θn)Y
(k−1)
l (σ) ∈ Zs−1(Ba,b) при всех 1 ≤ l ≤ ak−1.
2. Пусть n = 2, s ∈ N и u(θ2)Y
(k)
l (σ) ∈ Zs(Ba,b) при некоторых k ∈ Z+, l ∈ {1, . . . , ak}.
Тогда:
а) если k ∈ N, то
(
D±k u
)
(θ2)Y
(k±1)
l (σ) ∈ Zs−1(Ba,b);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1198 В. В. ВОЛЧКОВ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
б) если k = 0, то u′(θ2)Y
(1)
p (σ) ∈ Zs−1(Ba,b) для любого p ∈ {1, 2}.
Доказательство. 1. Поскольку sink θn−1 . . . sin
k θ2e
ikθ1 ∈ Hk [17] (гл. 9, § 3, п. 6), из
условия и леммы 4 (п. 2) имеем
u(θn) sink θn−1 . . . sin
k θ2e
ikθ1 ∈ Zs(Ba,b).
Тогда по лемме 5 (
Dk u
)
(θn) cos θn−1 sink θn−1 . . . sin
k θ2e
ikθ1 ∈ Zs−1(Ba,b).
Учитывая, что cos θn−1 sink θn−1 . . . sin
k θ2e
ikθ1 ∈ Hk+1 [17] (гл. 9, § 3, п. 6), из леммы 4
(п. 2) получаем утверждение а). Докажем утверждение б). Как и выше, u(θn)C
n−2
2
k (cos θn−1) ∈
∈ Zs(Ba,b), где C
n−2
2
k — многочлен Гегенбауэра степени k с индексом
n− 2
2
. Применяя к этой
функции лемму 5 и используя формулы
d
dt
Cαm(t) = 2αCα+1
m−1(t),
(m+ 1)Cαm+1(t) = (2α+m)tCαm(t)− 2α(1− t2)Cα+1
m−1(t)
(см. [17], гл. 9, § 3, п. 2), имеем
(
D2−k−n u
)
(θn) cos θn−1C
n−2
2
k (cos θn−1)− (k + 1)u(θn) ctg θnC
n−2
2
k+1 (cos θn−1) ∈ Zs−1(Ba,b).
Поскольку C
n−2
2
k+1 (cos θn−1) ∈ Hk+1, cos θn−1C
n−2
2
k (cos θn−1) ∈ Hk−1 \ {0} + Hk+1 (см. [17],
гл. 9, § 2, п. 3, формула (5)), отсюда и из леммы 4 (п. 2) получаем утверждение б).
2. Полагая h(θ1, θ2) = u(θ2)e
imθ1 , m ∈ Z+, находим
cos θ1
∂h
∂θ2
− sin θ1 ctg θ2
∂h
∂θ1
=
1
2
(
Dm u
)
(θ2)e
i(m+1)θ1 +
1
2
(
D−m u
)
(θ2)e
i(m−1)θ1 .
Теперь утверждение 2 леммы следует из лемм 5 и 4 (п. 1), а также формул (4).
5. Доказательство основных результатов. Доказательство теоремы 1. Необходимость.
Пусть f ∈ Z(Ba,b). Применяя лемму 4 при k = 0, имеем f0,1(θn) ∈ Z(Ba,b). Тогда по опреде-
лению класса Z(Ba,b) ∫
Sr
f0,1(θn)dω(ξ) = 0 для любого r ∈ (a, b),
что эквивалентно равенству (5). Представление (6) для гладких f легко получается отсюда с
помощью лемм 4 и 6. Общий случай сводится к рассмотренному сглаживанием функции f
свертками f × ϕε, где ϕε — радиальная функция класса C∞(Sn) с носителем в шаре Bε.
Достаточность. Пусть f ∈ C(Ba,b) и коэффициенты Фурье f имеют вид (5), (6). Тогда по
лемме 3
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ, СВЯЗАННОЙ С ПРОБЛЕМОЙ ХЕЛГАСОНА О НОСИТЕЛЕ 1199
fk,l(θn)Y
(k)
l (σ) ∈ Z(Ba,b) при всех k ∈ Z+, 1 ≤ l ≤ ak. (22)
Для r ∈ (a, b) положим
I(η) =
∫
Sr(η)
f(ξ)dω(ξ), η ∈ Bmin{r−a,b−r}.
Используя (20) – (22), получаем∫
SO(n)
I(τ−1η)tkl,l(τ)dτ =
∫
SO(n)
∫
Sr(η)
f(τ−1ξ)dω(ξ)tkl,l(τ)dτ =
=
∫
Sr(η)
∫
SO(n)
f(τ−1ξ)tkl,l(τ)dτdω(ξ) = 0.
В силу полноты системы
{
Y
(k)
l
}
в L2(Sn−1) (см. [12], гл. 4, § 2) это означает, что I ≡ 0. Таким
образом, f ∈ Z(Ba,b).
Доказательство теоремы 2. Пусть f удовлетворяет условию в пункте 1 теоремы. Тогда
то же свойство имеет каждое слагаемое ряда (3), так как для любого ξ ∈ Ba,π
(1 + ξn+1)
−m
∣∣∣fk,l(θn)Y
(k)
l (σ)
∣∣∣ ≤ ak ∫
SO(n)
(1 + ξn+1)
−m∣∣f(τ−1ξ)
∣∣dτ =
= ak
∫
SO(n)
(1 + (τ−1ξ)n+1)
−m∣∣f(τ−1ξ)
∣∣dτ ≤ ak sup
η∈Ba,π
(1 + ηn+1)
−m∣∣f(η)
∣∣
(см. формулы (20), (21) и [17], гл. 1, § 1, п. 5, формула (3)). В частности,
sup
θn∈(a,π)
(1 + cos θn)−m
∣∣fk,l(θn)
∣∣ <∞ для любого m ∈ Z+.
Кроме того, по теореме 1 fk,l имеют вид (5), (6). Отсюда следует, что все fk,l равны нулю на
(a, π), а значит, f — нулевая функция.
Наконец, по лемме 3 всем требованиям второго утверждения теоремы удовлетворяет функ-
ция
f(ξ) =
(1 + cos θn)2m+n−1
(sin θn)2m+2n−2 Y
(2m+n)
1 (σ), ξ ∈ Ba,π.
Доказательство теорем 3, 4. Первое утверждение в указанных теоремах получается тем
же способом, что и в теореме 2. Всем требованиям второго утверждения удовлетворяют, соот-
ветственно, следующие функции:
f(ξ) =
(cos θn − cos r1) . . . (cos θn − cos rp)
(sin θn)n+p−1
Y
(p+1)
1 (σ), где E = {r1, . . . , rp},
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1200 В. В. ВОЛЧКОВ, ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
f(ξ) =
(cos θn − cos r)s+1
(sin θn)n+s
Y
(s+2)
1 (σ)
(см лемму 3).
1. Helgason S. A duality in integral geometry: some generalizations of the Radon transform // Bull. Amer. Math. Soc.
– 1964. – 70. – P. 435 – 446.
2. Helgason S. Integral geometry and Radon transforms. – New York: Springer, 2010. – 301 p.
3. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2003. – 454 p.
4. Helgason S. A duality in integral geometry on symmetric spaces // Proc. U. S. – Jap. Sem. Different. Geometry. –
Tokyo, 1966. – P. 37 – 56.
5. Grinberg E., Quinto E. T. Morera theorems for complex manifolds // J. Funct. Anal. – 2000. – 178. – P. 1 – 22.
6. Globevnik J. Zero integrals on circles and characterizations of harmonic and analytic functions // Trans. Amer. Math.
Soc. – 1990. – 317. – P. 313 – 330.
7. Epstein C. L., Kleiner B. Spherical means in annular regions // Communs Pure and Appl. Math. – 1993. – 46, № 3. –
P. 441 – 450.
8. Волчков В. В. Сферические средние на евклидовых пространствах // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 10. –
С. 1310 – 1315.
9. Волчков В. В. Шаровые средние на симметрических пространствах // Доп. НАН України. – 2002. – № 3. –
С. 15 – 19.
10. Rawat R., Srivastava R. K. Spherical means in annular regions in the n-dimensional real hyperbolic spaces // Proc.
Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). – 2011. – 121, № 3. – P. 311 – 325.
11. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – М.: Мир, 1987. – 735 c.
12. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974. – 336 c.
13. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg
group. – London: Springer, 2009. – 671 p.
14. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Offbeat integral geometry on symmetric spaces. – Basel: Birkhäuser, 2013. – 592 p.
15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие транcцендентные функции. – М.: Наука, 1973. – Т. 1. – 296 с.
16. Волчков Вит. В., Савостьянова И. М. О ядре полусферического преобразования Функа и его локальных
аналогах // Укр. мат. вестн. – 2013. – 10, № 4. – С. 575 – 594.
17. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. – 2-е изд. – М.: Наука, 1991. – 576 c.
18. Berenstein C. A., Zalcman L. Pompeiu’s problem on spaces of constant curvature // J. Anal. Math. – 1976. – 30. –
P. 113 – 130.
Получено 04.05.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2058 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:56Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a4/9e55ada81f05ca37ce9483fb500a22a4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20582019-12-05T09:49:43Z One Problem Connected with the Helgason Support Problem Об одной задаче, связанной с проблемой Хелгасона о носителе Volchkov, V. V. Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, В. В. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, В. В. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. We solve the problem of description of the set of continuous functions in annular subdomains of the n-dimensional sphere with zero integrals over all (n - 1)-dimensional spheres covering the inner spherical cap. As an application, we establish a spherical analog of the Helgason support theorem and new uniqueness theorems for functions with zero spherical means. Отримано розв'язок задачi про опис множини неперервних функцій на кільцевих підобластях $n$-вимірної сфери, які мають нульові інтеграли по всіх $(n — 1)$-вимірних сферах, що обхоплюють внутрішню сферичну шапочку. Як застосування отримано сферичний аналог теореми Хелгасона про носій та нові теореми єдиності для функцій з нульовими сферичними середніми. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2058 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 9 (2015); 1189-1200 Український математичний журнал; Том 67 № 9 (2015); 1189-1200 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2058/1132 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2058/1133 Copyright (c) 2015 Volchkov V. V.; Volchkov V. V.; Savost’yanova I. M. |
| spellingShingle | Volchkov, V. V. Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, В. В. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, В. В. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. One Problem Connected with the Helgason Support Problem |
| title | One Problem Connected with the Helgason Support Problem |
| title_alt | Об одной задаче, связанной с проблемой Хелгасона о носителе |
| title_full | One Problem Connected with the Helgason Support Problem |
| title_fullStr | One Problem Connected with the Helgason Support Problem |
| title_full_unstemmed | One Problem Connected with the Helgason Support Problem |
| title_short | One Problem Connected with the Helgason Support Problem |
| title_sort | one problem connected with the helgason support problem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2058 |
| work_keys_str_mv | AT volchkovvv oneproblemconnectedwiththehelgasonsupportproblem AT volchkovvv oneproblemconnectedwiththehelgasonsupportproblem AT savostyanovaim oneproblemconnectedwiththehelgasonsupportproblem AT volčkovvv oneproblemconnectedwiththehelgasonsupportproblem AT volčkovvitv oneproblemconnectedwiththehelgasonsupportproblem AT savostʹânovaim oneproblemconnectedwiththehelgasonsupportproblem AT volčkovvv oneproblemconnectedwiththehelgasonsupportproblem AT volčkovvitv oneproblemconnectedwiththehelgasonsupportproblem AT savostʹânovaim oneproblemconnectedwiththehelgasonsupportproblem AT volchkovvv obodnojzadačesvâzannojsproblemojhelgasonaonositele AT volchkovvv obodnojzadačesvâzannojsproblemojhelgasonaonositele AT savostyanovaim obodnojzadačesvâzannojsproblemojhelgasonaonositele AT volčkovvv obodnojzadačesvâzannojsproblemojhelgasonaonositele AT volčkovvitv obodnojzadačesvâzannojsproblemojhelgasonaonositele AT savostʹânovaim obodnojzadačesvâzannojsproblemojhelgasonaonositele AT volčkovvv obodnojzadačesvâzannojsproblemojhelgasonaonositele AT volčkovvitv obodnojzadačesvâzannojsproblemojhelgasonaonositele AT savostʹânovaim obodnojzadačesvâzannojsproblemojhelgasonaonositele |