Homogenized Model of Diffusion in Porous Media with Nonlinear Absorption on the Boundary
We consider a boundary-value problem used to describe the process of stationary diffusion in a porous medium with nonlinear absorption on the boundary. We study the asymptotic behavior of the solution when the medium becomes more and more porous and denser located in a bounded domain $Q$. A homogeni...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2059 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507981545734144 |
|---|---|
| author | Goncharenko, M. V. Khilkova, L. O. Гончаренко, М. В. Хилькова, Л. А. Гончаренко, М. В. Хилькова, Л. А. |
| author_facet | Goncharenko, M. V. Khilkova, L. O. Гончаренко, М. В. Хилькова, Л. А. Гончаренко, М. В. Хилькова, Л. А. |
| author_sort | Goncharenko, M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:43Z |
| description | We consider a boundary-value problem used to describe the process of stationary diffusion in a porous medium with nonlinear absorption on the boundary. We study the asymptotic behavior of the solution when the medium becomes more and more porous and denser located in a bounded domain $Q$. A homogenized equation for the description of the main term of the asymptotic expansion is constructed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
М. В. Гончаренко (Физ.-техн. ин-т низких температур НAH Украины, Харьков),
Л. А. Хилькова (Ин-т хим. технологий Восточноукр. нац. ун-та им. В. Даля, Рубежное)
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИФФУЗИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
С НЕЛИНЕЙНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ
We consider a boundary-value problem used to describe the process of stationary diffusion in a porous medium with
nonlinear absorption on the boundary. We study the asymptotic behavior of the solution when the medium becomes more
and more porous and denser located in a bounded domain Ω. A homogenized equation for the description the main term
of the asymptotic expansion is constructed.
Розглядається крайова задача, яка описує процес стацiонарної дифузiї в пористому середовищi з нелiнiйним по-
глинанням на межi. Вивчається асимптотична поведiнка розв’язку, коли середовище стає все бiльш пористим i
розташоване все бiльш щiльно в обмеженiй областi Ω. Побудовано усереднене рiвняння, що описує головний член
асимптотики.
1. Введение. Усреднению уравнения диффузии в пористой среде с поглощением на границе
области посвящено большое количество работ. Одной из первых была работа [1], в которой
рассматривалась задача нестационарной диффузии с линейным поглощением на границе. В
работах [2 – 6] была построена усредненная модель диффузии с нелинейным поглощением на
границе. В работах [7 – 9] уравнение диффузии рассматривалось в пористой среде с нелинейны-
ми краевыми взаимодействиями нескольких типов. В работе [10] построены асимптотические
разложения квазилинейных и линейных задач с различными типами граничных условий, в том
числе и нелинейными. Во всех этих работах пористая среда считается периодической, т. е.
уравнение диффузии рассматривается в дополнении к периодически расположенным твердым
частицам. Такая структура пористой среды является модельной. Более естественна с физиче-
ской точки зрения связная структура пористой среды, являющаяся дополнением к связному
множеству (твердой фракции среды).
В настоящей работе мы рассматриваем уравнение стационарной диффузии с нелинейным
поглощением на поверхности без предположения о периодичности. Геометрия пористой среды
предполагается произвольной с одним существенным ограничением: среда должна удовлетво-
рять условию сильной связности [11] (гл. 3).
Пусть Ω — ограниченная область вRn n ≥ 2, F ε — замкнутое множество в Ω, которое может
быть связным и зависит от малого параметра ε так, что при ε → 0 множество F ε становится
все более пористым и располагается все более плотно в Ω. Будем предполагать, что граница
множества F ε гладкая.
В области Ωε = Ω \ F ε рассматривается краевая задача
−∆uε = f ε(x), x ∈ Ωε,
∂uε
∂ν
+ σε(x, uε) = 0, x ∈ ∂F ε, (1.1)
uε = 0 на ∂Ω,
c© М. В. ГОНЧАРЕНКО, Л. А. ХИЛЬКОВА, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 1201
1202 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Л. А. ХИЛЬКОВА
где ∆ =
∑n
i=1
∂2
∂x2
i
— оператор Лапласа, ν — единичная нормаль к границе ∂F ε, внешняя
по отношению к области Ωε; функция f ε(x) принадлежит L2(Ωε), функция σε(x, u) считается
заданной и удовлетворяет определенным условиям монотонности и ограниченности роста.
Задача (1.1) описывает процесс стационарной диффузии в пористой среде с поглощением на
границе. Функция uε является концентрацией диффундирующего вещества.
Основная цель данной работы — изучение асимптотического поведения обобщенного ре-
шения uε(x) задачи (1.1) при ε→ 0.
Мы покажем, что функция uε(x) при определенных условиях сходится к функции u(x),
являющейся обобщенным решением усредненной задачи
−
n∑
i,k=1
∂
∂xi
(
aik(x)
∂u
∂xk
)
+
1
2
cu(x, u) = f(x), x ∈ Ω,
(1.2)
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω.
Здесь {aik}ni,k=1 — симметричный положительно определенный тензор, характеризующий про-
водимость пористой среды, cu(x, u) =
∂
∂u
c(x, u) и функция c(x, u) характеризует поглощающие
свойства границы ∂F ε.
Для определения свойств проводимости и поглощения микроструктуры среды вводятся
так называемые мезоскопические характеристики. Такие характеристики описаны в [11]. Они
позволяют рассматривать среду с произвольной (непериодической) структурой. Основной ре-
зультат формулируется при условиях существования плотности этих характеристик. Выполне-
ние этих условий проверяется на конкретных примерах, в частности на квазипериодических
структурах.
Метод доказательства, который мы используем, можно назвать методом мезоскопических
характеристик. Он был развит в [11]. По сути метод является энергетическим и его основная
идея близка к Γ-сходимости (см. [12 – 14]).
Отметим, что для изучения периодических структур было развито много достаточно эф-
фективных методов, среди которых энергетический метод Тартара [15], метод асимптотиче-
ских разложений [16], компенсированной компактности [17], двухмасштабной сходимости [18],
unfolding метод [19]. Однако все эти методы не позволяют рассматривать среду с произвольной
непериодической структурой. В данной работе мы получим общий результат для произволь-
ной пористой среды при условии существования плотности мезоскопических характеристик.
Проверка выполнения этих условий будет проведена в нашей следующей работе для области
квазипериодической структуры.
2. Постановка задачи и основной результат. Постановка задачи и основной результат
Пусть Ω — ограниченная область в Rn, n ≥ 2, F ε — замкнутое множество в Ω с гладкой
границей. В области Ωε = Ω \ F ε рассмотрим краевую задачу (1.1).
Будем предполагать, что функция σε(x, s) удовлетворяет следующим условиям:
a1) σε(x, s) ∈ C(Ω×R1), σε(x, 0) = 0;
a2) условию монотонности: ∀ s, r ∈ R1 : (σε(x, s)− σε(x, r))(s− r) ≥ 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИФФУЗИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ . . . 1203
a3) условию ограниченности роста по s : ∀ s ∈ R1 : |σε(x, s)| ≤ σ̂ε(x)(1+sΘ1),Θ1 <
n
n− 2
,
σ̂ε(x) ∈ C(Ω);
a4) условию слабого (при ε → 0) поглощения на границе, т. е. для любого шара B(ρ, z)
радиуса ρ с центром в точке z ∈ Ω при достаточно малых ε (ε < ε0(ρ))∫
∂F ε∩B(ρ,z)
σ̂ε(x)dΓ < Cρn,
где постоянная C не зависит от z, ρ и ε.
Определение 2.1. Обобщенным решением задачи (1.1) будем называть функцию uε(x) из
пространства H̊1(Ωε, ∂Ω) = {u(x) ∈ H1(Ωε) : u|∂Ω = 0}, удовлетворяющую тождеству∫
Ωε
[(∇uε,∇ϕε)− f εϕε] dx+
∫
∂F ε
σε(x, uε)ϕε dΓ = 0 ∀ϕε(x) ∈ H̊1(Ωε, ∂Ω). (2.1)
Определение 2.2. Обобщенным решением задачи (1.2) будем называть функцию u(x) ∈
∈ H̊1(Ω), удовлетворяющую тождеству∫
Ω
n∑
i,k=1
aik
∂u
∂xk
∂ϕ
∂xi
dx+
1
2
∫
Ω
cu(x, u)ϕdΓ =
∫
Ω
fϕdx ∀ϕ(x) ∈ H̊1(Ω). (2.2)
Существование и единственность решения uε(x) задачи (1.1) и решения u(x) задачи (1.2)
при сделанных предположениях доказана, например, в [20].
Для определения тензора проводимости {aik}ni,k=1 и функции поглощения c(x, u), кото-
рые содержатся в усредненной задаче, введем так называемые мезоскопические характерис-
тики областей Ωε. Это локальные характеристики микроструктуры, рассматриваемые в кубе
Kz
h = K(z, h) с центром в точке z и ребрами длиной h , ориентированными по координатным
осям. Такой куб имеет промежуточный размер между масштабом микроструктуры и размером
области Ω (0 < ε� h� 1), поэтому его можно назвать „мезокубом”.
На рисунке показан пример пористой области Ωε и куба Kz
h. Здесь множество F ε не связно
(мелкозернистая структура), но в работе оно может быть произвольным, в том числе и связным.
Количественную характеристику проводимости зададим с помощью функционала относи-
тельно произвольного вектора ` ∈ Rn
T εh,z(`) = inf
vε
∫
Kz
h∩Ωε
(
|∇vε|2 + h−2−τ |vε − (x− z, `)|2
)
dx, (2.3)
где нижняя грань берется в классе функций vε(x) ∈ H1(Kz
h ∩ Ωε), τ ∈ (0, 2) — параметр
штрафа.
В [11, с. 179] доказано, что этот функционал является однородно квадратичным относи-
тельно `, т. е. справедливо следующее представление:
T εh,z(`) =
n∑
i,k=1
aik(z, ε, h)`i`k, (2.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1204 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Л. А. ХИЛЬКОВА
x
1
x
2
z
h
h
K
h
z
F
!
"
!
Пористая область Ωε и мезокуб Kz
h.
где коэффициенты aik(z, ε, h) определяются формулой
aik(z, ε, h) =
∫
Kz
h∩Ωε
{
(∇vεi ,∇vεk) + h−2−τ [vεi − (xi − zi)
][
vεk − (xk − zk)
]}
dx, (2.5)
vεi — функция, на которой достигается нижняя грань в (2.3) при ` = ei, — орт оси xi.
Из (2.4) и (2.5) следует, что система чисел {aik(z, ε, h)}ni,k=1 образует симметричный поло-
жительно определенный тензор в Rn. Этот тензор характеризует проводимость областей Ωε.
Количественную характеристику поглощения на границе ∂F ε зададим с помощью функци-
онала относительно произвольного s ∈ R1
c(z, s; ε, h) = inf
wε
∫
Kz
h∩Ωε
{
|∇wε|2 + h−2−τ |wε − s|2
}
dx+
∫
Kz
h∩∂F ε
gε(x,wε)dΓ
, (2.6)
где инфимум берется в классе функций wε ∈ H1(Kz
h ∩ Ωε), τ ∈ (0, 2) — параметр штрафа, а
функция gε(x, s) определена формулой
gε(x, s) = 2
s∫
0
σε(x, r)dr. (2.7)
Из свойств a1), a2) функции σε(x, s) следует, что gε(x, s) ≥ 0 для любых x ∈ Ω, s ∈ R1.
Будем предполагать, что система областей Ωε ⊂ Ω удовлетворяет условию сильной связ-
ности, т. е. для любой функции vε(x) ∈ H1(Ωε) существует функция ṽε(x) ∈ H1(Ω) такая, что
vε(x) = ṽε(x) при x ∈ Ωε и выполняется неравенство
‖ṽε‖H1(Ω) ≤ C ‖v
ε‖H1(Ωε) . (2.8)
Замечание 2.1. Понятие „сильной связности” было введено в работе [21]. В более поздних
работах это условие называется также условием продолжения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИФФУЗИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ . . . 1205
Определение 2.3. Последовательность функций uε(x) ∈ Lp(Ωε) будем называть сходя-
щейся в Lp(Ωε,Ω), если существует функция u(x) ∈ Lp(Ω) такая, что uε сходится к u(x) по
норме в Lp(Ωε) :
‖uε − u‖pLp(Ωε) =
∫
Ωε
|uε(x)− u(x)|p dx→ 0 при ε→ 0.
Асимптотическое поведение решения задачи (1.1) при ε → 0 описывается следующей
теоремой.
Теорема 2.1. Пусть области Ωε являются сильно связными и существует τ ∈ (0, 2), при
котором равномерно по x ∈ Ω выполняются условия:
1) limh→0 limε→0
aik(x, ε, h)
hn
= limh→0 limε→0
aik(x, ε, h)
hn
= aik(x), где aik(x) — кусочно-
непрерывные функции от x и {aik(x)}ni,k=1 — положительно определенный, симметричный
тензор в Rn;
2) limh→0 limε→0
c(x, s; ε, h)
hn
= limh→0 limε→0
c(x, s; ε, h)
hn
= c(x, s) ∀s ∈ R1, где функция
c(x, s) ограничена по x и дифференцируема по s и ее производная cs(x, s) ≡
∂
∂s
c(x, s) удовлет-
воряет условиям
∀ s1, s2 ∈ R1 : (cs(x, s1)− cs(x, s2))(s1 − s2) ≥ 0, (2.9)
∀ s ∈ R1 : cs(x, s) ≤ C(1 + |s|Θ2), где Θ2 <
n+ 2
n− 2
; (2.10)
3) функция f ε(x), продолженная нулем на F ε, сходится слабо в L2(Ω) к функции f(x).
Тогда обобщенное решение uε(x) задачи (1.1) сходится в Lp(Ωε,Ω)
(
p ≤ 2n
n− 2
)
к функции
u(x), являющейся обобщенным решением краевой задачи (1.2).
Замечание 2.2. Поскольку мезоскопические характеристики aik(x, ε, h) и c(x, s; ε, h) зави-
сят от параметра штрафа τ, то предельные функции aik(x) и c(x, s) формально также должны
зависеть от τ. Однако в теореме 2.1 утверждается, что если условия 1, 2 выполняются при
некотором τ ∈ (0, 2), то решение uε(x) задачи (1.1) сходится к решению u(x) предельной
задачи (1.2) при любой правой части f(x). Это решение не должно зависеть от τ, как предел
исходных решений uε(x), не зависящих от τ. Учитывая этот факт, можно показать, что предель-
ные коэффициенты aik(x) и c(x, s) также не зависят от τ. Это подтверждается конкретными
примерами, которые будут рассмотрены в следующей работе.
Доказательство теоремы 2.1 приведено в пп. 3, 4.
3. Вспомогательные утверждения. Для доказательства основной теоремы нам потребу-
ются следующие вспомогательные леммы. В этих леммах рассматривается „мезокуб” Kα
h с
центром в точке xα и сторонами длиной h, параллельными координатным осям, и концентри-
ческий с ним куб Kα
h1
со сторонами длиной h1 = h− 2r
(
r = h1+τ/2
)
.
Лемма 3.1. Пусть выполняется условие 2 теоремы 2.1. Тогда последовательность {wεαh }ε
минимизантов функционала (2.6) при любом s = ŝ удовлетворяют следующим оценкам:
1) ∀x ∈ Kα
h ∩ Ωε : |wεαh (x)| ≤ |ŝ|;
2) limε→0
∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩Ωε
|∇wεαh |2 dx = o(hn);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1206 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Л. А. ХИЛЬКОВА
3) limε→0
∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩Ωε
|wεαh − ŝ|2 dx = o(hn+2+τ );
4) limε→0
∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩∂F ε
gε(x,wεαh ) dΓ = o(hn).
Доказательство. Прежде всего отметим, что при любом ŝ существует единственная функ-
ция, минимизирующая функционал (2.6). Это следует из того, что такая функция является
решением краевой задачи
−∆wεαh + h−2−τwεαh = h−2−τs, x ∈ Kα
h ∩ Ωε,
∂wεαh
∂ν
+ σε(x,wεαh ) = 0, x ∈ Kα
h ∩ ∂F ε,
∂wεαh
∂ν
= 0, x ∈ ∂Kα
h ∩ Ωε,
cуществование и единственность которого доказаны в [20].
Докажем оценку 1 леммы. Для простоты положим ŝ > 0. Пусть wεαh минимизирует функ-
ционал (2.6) при s = ŝ. Предположим, что оценка 1 не выполняется. Тогда в области Kα
h ∩ Ωε
существует множество E, на котором wεαh > ŝ. Построим функцию-срезку ŵεαh такую, что
ŵεαh = ŝ при x ∈ E и ŵεαh = wεαh при x ∈ (Kα
h ∩ Ωε) \ E. Как известно [22], эта функция
принадлежит классу H1(Ωε) и, как следует из ее конструкции, доставляет функционалу (2.6)
меньшее значение, чем функция wεαh , что противоречит тому, что wεαh — минимизант этого
функционала.
Согласно (2.6) и условию 2 теоремы 2.1 при достаточно малых ε
(
0 < ε ≤ ε0(h)
)
имеем∫
Kα
h∩Ωε
{
|∇wεαh |2 + h−2−τ |wεαh − ŝ|2
}
dx+
∫
Kα
h∩∂F ε
gε(x,wεαh )dΓ = hnc(x, ŝ) + o(hn) ≤ Chn.
Следовательно, ∫
Kα
h∩Ωε
|∇wεαh |2 dx+
∫
Kα
h∩∂F ε
gε(x,wεαh )dΓ ≤ hnc(x, ŝ) + o(hn), (3.1)
∫
Kα
h∩Ωε
|wεαh − ŝ|2 dx ≤ Chn+2+τ . (3.2)
Учитывая оценку (3.2), при 0 < ε ≤ ε0(h) получаем∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩Ωε
{
|∇wεαh |2 + h−2−τ |wεαh − ŝ|2
}
dx+
∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩∂F ε
gε(x,wεαh )dΓ =
=
∫
Kα
h∩Ωε
{
|∇wεαh |2 + h−2−τ |wεαh − ŝ|2
}
dx+
∫
Kα
h∩∂F ε
gε(x,wεαh )dΓ−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИФФУЗИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ . . . 1207
−
∫
Kα
h1
∩Ωε
{
|∇wεαh |2 + h−2−τ
1 |wεαh − ŝ|2
}
dx−
∫
Kα
h1
∩∂F ε
gε(x,wεαh )dΓ +O(rhn−1),
откуда, согласно определению функционала c(x, s; ε, h),∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩Ωε
{
|∇wεαh |2 + h−2−τ |wεαh − ŝ|2
}
dx+
∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩∂F ε
gε(x,wεαh )dΓ ≤
≤ c(x, s;h, ε)− c(x, s;h1, ε) +O(rhn−1).
Тогда, учитывая, что r = h1+τ/2 = o(h), в силу условия 2 теоремы 2.1 имеем∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩Ωε
|∇wεαh |2 dx = o(hn), 0 < ε ≤ ε0(h), (3.3)
∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩Ωε
|wεαh − ŝ|2 dx = o(hn+2+τ ), 0 < ε ≤ ε0(h), (3.4)
∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩∂F ε
gε(x,wεαh )dΓ = o(hn), 0 < ε ≤ ε0(h). (3.5)
Переходя к пределу при ε→ 0 в (3.1), (3.3) – (3.5), получаем оценки из пп. 2 – 4 леммы.
Лемма доказана.
Пусть wεαh минимизирует функционал (2.6) при s = ŝ. В кубе Kα
h определим множества
Bεα
h = {x ∈ Kα
h ∩ Ωε : |wεαh − ŝ| ≥ h1+τ/3} (3.6)
и функции
ŵεαh =
wεαh , x ∈ Bεα
h ,
ŝ− h1+τ/3, ŝ ≥ 0, x ∈ (Kα
h ∩ Ωε) \Bεα
h ,
ŝ+ h1+τ/3, ŝ ≤ 0, x ∈ (Kα
h ∩ Ωε) \Bεα
h .
(3.7)
Для последовательности множеств {Bεα
h }α и функций {ŵεαh }α справедлива следующая лем-
ма.
Лемма 3.2. Пусть выполняется условие 2 теоремы 2.1. Тогда для любого ŝ в каждом
кубе Kα
h существуют последовательности множеств {Bεα
h }α ∈ Kα
h ∩Ωε и функций {ŵεαh }α ∈
∈ H1(Kα
h ∩Ωε), определенных формулами (3.6) и (3.7) и удовлетворяющих следующим оценкам:
1) limε→0 mesBεα
h = o(hn);
2) ∀x ∈ Kα
h ∩ Ωε : |ŵεαh (x)| ≤ |ŝ|;
3) limε→0
∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩Ωε
|∇ŵεαh |2 dx = o(hn);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1208 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Л. А. ХИЛЬКОВА
4) limε→0
∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩Ωε
|ŵεαh − ŝ|2 dx = o(hn+2+τ );
5) limε→0
∫
(Kα
h \K
α
h1
)∩∂F ε
gε(x, ŵεαh ) dΓ = o(hn);
6) limε→0
{∫
Kα
h∩Ωε
|∇ŵεαh |2 dx+
∫
Kα
h∩∂F ε
gε(x, ŵεαh ) dΓ
}
≤ hnc(x, ŝ) + o(hn).
Доказательство. Мера множеств Bεα
h в силу определения (3.6), (2.6) и оценки 3 из лем-
мы 3.1 удовлетворяет первому заключению леммы.
Не ограничивая общности, с учетом малости h будем полагать, что ŝ ≥ h1+τ/3 > 0.
С помощью определения (3.7) и оценок из леммы 3.1 легко убедиться, что функция ŵεαh
удовлетворяет оценкам 2 – 5 из леммы.
Аналогичным образом рассматривается случай ŝ < 0.
Лемма доказана.
Лемма 3.3. Пусть в областях Ωε при любом h > 0 заданы множества Bε
h такие, что
lim
ε→0
mesBε
h = o(1), h→ 0,
и выполняется условие 1 теоремы 2.1.
Тогда существуют множества B̂ε
h ⊂ Ωε и функции v̂εih ∈ H1(Ωε), i = 1, n, удовлетворяю-
щие следующим оценкам:
1) Bε
h ⊂ B̂ε
h; limε→0 mes B̂ε
h = o(1), h→ 0;
2) maxx∈Ωε |v̂εih − xi| ≤ Ch;
3) limε→0
∫
B̂εh
|∇v̂εih|2 dx = o(1), h→ 0;
4) для любой вектор-функции `(x) =
(
`1(x), . . . , `n(x)
)
∈
(
C(Ω)
)n
lim
ε→0
∫
Ωε
n∑
i,j=1
(∇v̂εih,∇v̂εih) `i(x)`j(x) dx ≤
∫
Ω
n∑
i,j=1
aij(x)`i(x)`j(x) dx+ o(1), h→ 0.
Доказательство аналогично доказательству леммы 3.1 [11] (гл. 4).
4. Доказательство основной теоремы. Как известно, решение задачи (1.1) минимизирует
энергетический функционал
Jε[u] =
∫
Ωε
|∇u|2 dx+
∫
∂F ε
gε(x, u) dΓ− 2
∫
Ωε
f εu dx (4.1)
в классе функций u(x) ∈ H1(Ωε, ∂Ω). Здесь gε(x, u) = 2
∫ u
0
σε(x, s)ds ≥ 0.
Поскольку Jε[uε] ≤ Jε[0] = 0, то выполняется неравенство
0 ≤
∫
Ωε
|∇uε|2 dx+
∫
∂F ε
gε(x, uε) dΓ ≤ 2
∫
Ωε
f εuε dx.
Применяя неравенство Коши – Буняковского и учитывая неотрицательность функции gε(x, uε),
получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИФФУЗИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ . . . 1209
‖∇uε‖2L2(Ωε) ≤ 2 ‖f ε‖L2(Ωε) ‖u
ε‖L2(Ωε) . (4.2)
В силу сильной связности областей Ωε и неравенства Фридрихса существует функция ũε(x) ∈
∈ H̊1(Ω) такая, что ũε(x) = uε(x) при x ∈ Ωε и
‖ũε‖2L2(Ω) ≤ C1 ‖∇ũε‖L2(Ω) ≤ C2 ‖∇uε‖L2(Ωε) , (4.3)
где постоянные C1, C2 не зависят от ε.
Из (4.2) и (4.3) получаем оценку
‖ũε‖H̊1(Ω) ≤ C ‖f
ε‖L2(Ωε) ,
из которой, в силу равномерной по ε ограниченности норм ‖f ε‖L2(Ωε) , следует слабая компакт-
ность в H̊1(Ω) последовательности функций {ũε(x)} . Значит, можно выделить подпоследова-
тельность {ũεk(x)}∞k=1 , слабо сходящуюся в H̊1(Ω), а в силу компактности вложения H̊1(Ω) ⊂
⊂ Lp(Ω)
(
p <
2n
n− 2
)
— сильно сходящуюся в Lp(Ω) к некоторой функции u(x) ∈ H̊1(Ω).
Покажем, что функция u(x) является обобщенным решением задачи (1.2). Совместно с
задачей (1.2) рассмотрим энергетический функционал
J [w] =
∫
Ω
n∑
i,k=1
aik(x)
∂w
∂xi
∂w
∂xk
dx+
∫
Ω
c(x,w(x)) dx− 2
∫
Ω
f(x)w(x) dx. (4.4)
Доказательство проведем в два этапа. Вначале для произвольной функции w(x) ∈ H̊1(Ω)
получим неравенство
lim
ε→0
Jε[uε] ≤ J [w]. (4.5)
Затем покажем, что если решения uε(x) задачи (1.1) по некоторой подпоследовательности
{ε = εk → 0} сходятся в Lp(Ωε,Ω) к функции u(x), то имеет место обратное неравенство
lim
ε→0
Jε[uε] ≥ J [u]. (4.6)
Таким образом, предельная функция u(x) будет удовлетворять неравенству J [u] ≤ J [w] для
произвольной функции w(x) ∈ H̊1(Ω). Следовательно, u(x) минимизирует функционал J [w] в
классе H̊1(Ω).
Докажем неравенство (4.5) сначала для w(x) из C2
0 (Ω). Покроем область Ω пересекающими-
ся кубамиKα
h = K(xα, h) с центрами в точках xα и сторонами длиной h, ориентированными по
координатным осям. Кубы образуют периодическую решетку с периодом h−r (0 < r = h1+τ/2).
С этим покрытием свяжем разбиение единицы {ϕαh(x)} — набор дважды непрерывно диффе-
ренцируемых функций, удовлетворяющих условиям
0 ≤ ϕαh(x) ≤ 1, ϕαh(x) = 0 при x /∈ Kα
h , ϕαh(x) = 1 при x ∈ Kα
h \ ∪
β 6=α
Kβ
h ,
(4.7)
∀x ∈ Ω :
∑
α
ϕαh(x) = 1, |Dϕαh(x)| < Cr−1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1210 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Л. А. ХИЛЬКОВА
Пусть ŵεαh и Bεα
h — функции и множества, построенные в лемме 3.2 при ŝ = w(xα) по
формулам (3.6) и (3.7), v̂εih и B̂ε
h — функции и множества, построенные в лемме 3.3 для Bε
h =
= ∪
α
Bεα
h . Рассмотрим функцию
wεh(x) = w(x) +
n∑
i=1
∂w(x)
∂xi
[v̂εih(x)− xi] +
∑
α
[ŵεαh (x)− w(xα)]ϕαh(x). (4.8)
При достаточно малых h функция wεh(x) принадлежит H̊1(Ωε), и так как решение зада-
чи (1.1) uε(x) минимизирует функционал Jε[u] (4.1) в классе функций u(x) ∈ H̊1(Ωε), то
Jε[uε] ≤ Jε[wεh]. (4.9)
Оценим Jε[wεh] сверху. Продифференцировав функцию wεh(x), определенную формулой
(4.8), получим
∂wεh
∂xj
=
∑
α
∂ŵεαh
∂xj
· ϕαh(x) +
n∑
i=1
∂w
∂xi
∂v̂εih
∂xj
+
2∑
k=1
Ak(x), (4.10)
где
A1(x) =
∑
α
[ŵεαh (x)− w(xα)]
∂ϕαh(x)
∂xj
, A2(x) =
n∑
i=1
∂2w
∂xi∂xj
[v̂εih(x)− xi].
Выделенные в (4.10) слагаемые дают конечный вклад в функционал Jε[wεh], вклады же от
слагаемых A1(x), A2(x) малы в силу оценок, полученных в леммах 3.2, 3.3.
Действительно, для первого слагаемого функционала Jε[wεh] справедлива оценка∫
Ωε
|∇wεh|2 dx ≤
∑
α
∫
Kα∩Ωε
|∇ŵεαh |2 dx+
+
n∑
i,k=1
∫
Ωε
∂w
∂xi
∂w
∂xk
(∇v̂εih · ∇v̂εkh) dx+
∑
α
Eα(ε, h, r), (4.11)
в которой через Eα(ε, h, r) обозначена сумма интегралов по множествам (Kα
h \ Kα
h1) ∩ Ωε и
Kα
h ∩ Bεα
h от квадратичных и линейных комбинаций функций
[
ŵεαh (x) − w(xα)
]∂ϕαh(x)
∂xj
и
[v̂εih(x)−xi] c ограниченными коэффициентами, которые зависят от w ∈ C2
0 (Ω) в квадратичных
слагаемых и от
∂ŵεαh
∂xj
ϕαh,
∂v̂εαh
∂xj
в линейных.
При оценке Eα(ε, h, r) воспользуемся свойствами функций ϕαh, а также оценками из
лемм 3.2 и 3.3. В результате получим
lim
ε→0
∑
α
Eα(ε, h, r) =
∑
α
o(hn) = o(1). (4.12)
Здесь суммирование по α проводится в пределах от 1 до M = O(h−n).
Оценим поверхностный интеграл в функционале Jε[wεh]. Для этого запишем wεh(x) в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИФФУЗИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ . . . 1211
wεh(x) =
∑
α
[
ŵεαh (x) +
(
w(x)− w(xα)
)]
ϕαh(x) +
n∑
i=1
∂w(x)
∂xi
[v̂εih(x)− xi].
Учитывая свойства a1) – a4) функции σε(x, s) и определение функции gε(x, s) (2.7), полу-
чаем оценку второго слагаемого∫
∂F ε
gε(x,wεh) dΓ ≤
∑
α
∫
Kα∩∂F ε
gε(x,wεh) dΓ ≤
∑
α
∫
Kα∩∂F ε
gε(x, ŵεαh ) dΓ + o(1). (4.13)
Для третьего слагаемого при малых ε
(
0 < ε < ε0(h)
)
справедлива оценка∫
Ωε
f εwεh dx =
∫
Ωε
f εw dx+ o(1). (4.14)
Тогда в силу (4.11) – (4.14) функционал Jε[wεh] оценивается следующим образом:
Jε[wεh] ≤
∑
α
∫
Kα∩Ωε
|∇ŵεαh |2 dx+
∫
Kα∩∂F ε
gε(x, ŵεαh ) dΓ + Eα(ε, h, r)
+
+
n∑
i,k=1
∫
Ωε
∂w
∂xi
∂w
∂xk
(∇v̂εih · ∇v̂εkh) dx− 2
∫
Ωε
f εw dx+ o(1).
Переходя к пределу при ε → 0, учитывая условия теоремы 2.1 и оценки из лемм 3.2, 3.3 и
(4.12), получаем
lim
ε→0
Jε[wεh] ≤
∫
Ω
n∑
i,k=1
aik(x)
∂w
∂xi
∂w
∂xk
dx+
∑
α
[
c
(
x,w(xα)
)
hn + o(hn)
]
−
−2
∫
Ω
f(x)w(x) dx+ o(1).
Теперь перейдем к пределу при h→ 0. Учитывая, что α = 1,M, где M = O(h−n), имеем
lim
h→0
lim
ε→0
Jε[wεh] ≤
∫
Ω
n∑
i,k=1
aik(x)
∂w
∂xi
∂w
∂xk
dx−
∫
Ω
c(x,w(x)) dx− 2
∫
Ω
f(x)w(x) dx. (4.15)
Объединяя (4.9) и (4.15), получаем
lim
ε→0
Jε[uε] ≤ lim
h→0
lim
ε→0
Jε[wεh] ≤ J [w],
где J [w] — энергетический функционал задачи (1.2), определенный формулой (4.4).
Таким образом, для любой функции w(x) ∈ C2
0 (Ω) выполняется неравенство (4.5). По-
скольку C2
0 (Ω) плотно в H̊1(Ω), функции aik(x) кусочно-непрерывны по x, функция c(x, s)
ограничена по x и дифференцируема по s, f(x) ∈ L2(Ω), то это неравенство выполняется для
любой функции w(x) ∈ H̊1(Ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1212 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Л. А. ХИЛЬКОВА
Покажем, что для функции u(x) ∈ H̊1(Ω), являющейся пределом в Lp(Ω)
(
p ≤ 2n
n− 2
)
подпоследовательности
{
ũεk(x)
}∞
k=1
продолженных решений ũε(x) задачи (1.1), справедлива
обратная оценка (4.6).
Пусть uδ(x) — дважды непрерывно дифференцируемая в Ω функция такая, что
‖uδ − u‖H1(Ω) < δ. (4.16)
В областях Ωε рассмотрим функции
ũεδ(x) = ũε(x) + uδ(x)− u(x),
uεδ(x) = ũεδ(x)|Ωε = uε(x) + uδ(x)− u(x).
В силу (4.16) имеем
‖ũεδ − ũε‖H1(Ω) < δ, ‖uεδ − uε‖H1(Ω) < δ, (4.17)
кроме того, при ε = εk → 0
ũεδ(x)→ uδ(x) в Lp(Ω), uεδ(x)→ uδ(x) в Lp(Ωε,Ω). (4.18)
Определим функции
vεδ = ũεδ − uδ.
Поскольку при ε = εk → 0 функции vεδ сходятся к нулю сильно в Lp(Ω)
(
p ≤ 2n
n− 2
)
и слабо
в H1(Ω), отсюда следует, что ‖vεδ‖H1(Ω) ≤ C и функции vεδ сходятся к нулю по мере, т. е.
существуют множества Gε ⊂ Ω и числа β(ε) такие, что
∀x ∈ Ω \Gε : |vεδ(x)| < β(ε), lim
ε=εk→0
β(ε) = 0,
lim
ε=εk→0
mes{Gε} = 0.
В силу лемм 1.3, 1.4 [11] (глава 3) по функциям vεδ и множествам Gε можно построить
функции v̂εδ и множества Ĝε ⊂ Ω такие, что Ĝε ⊃ Gε, v̂εδ = vεδ при x ∈ Ω \ Ĝε и
lim
ε=εk→0
mes{Ĝε} = 0, max
Ω
|v̂εδ(x)| ≤ C max
Ω\Gε
|vεδ(x)| < Cβ(ε), lim
ε=εk→0
‖v̂εδ‖H1(Ĝε) = 0.
(4.19)
Положим
ûεδ = uεδ + v̂εδ . (4.20)
Разобьем пространство Rn на непересекающиеся (во внутренних точках) кубы Kα
h =
= K(xα, h) с центрами в точках xα и со сторонами длиной h, ориентированными по коор-
динатным осям. Будем рассматривать те кубы Kα
h
(
α = 1, N, N = O(hn)
)
, которые полностью
лежат в области Ω, и на пересечении каждого из них с областью Ωε рассмотрим функцию
wεα1δ (x) = ûεδ(x)− uδ(xα). (4.21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИФФУЗИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ . . . 1213
Поскольку uδ(x) ∈ C2
0 (Ω), в силу определений (4.20), (4.21) для любого вектора ` ∈ Rn и
для любого фиксированного числа δ > 0 выполняется∫
Kα
h∩Ωε
|wεα1δ (x)− (x− xα, `)|2 dx ≤ 3
∫
Kα
h∩Ωε
[(∇uδ(xα), x− xα)− (x− xα, `)]2 dx+
+3
∫
Kα
h∩Ωε
|ûεδ(x)− uδ(x)|2 dx+O(hn+4) ≤ 6
∫
Kα
h∩Ωε
|uεδ(x)− uδ(x)|2 dx+ 6
∫
Kα
h∩Ωε
|v̂εδ(x)|2 dx+
+3
∫
Kα
h∩Ωε
[(∇uδ(xα), x− xα)− (x− xα, `)]2 dx+O(hn+4).
Положим здесь ` = `α = ∇uδ(xα). Тогда, учитывая (4.18), (4.19), получаем
lim
ε=εk→0
∫
Kα
h∩Ωε
|wεα1δ (x)− (x− xα, `α)|2 dx = O(hn+4). (4.22)
Согласно определению функционала T εh,z(`) (2.3) и его представлению (2.4), при `α =
= ∇uδ(xα) имеем ∫
Kα
h∩Ωε
|∇wεα1δ (x)|2 + h−2−τ |wεα1δ (x)− (x− xα, `α)|2 dx ≥
≥
n∑
i,j=1
aij(x
α, ε, h)
∂uδ
∂xi
(xα)
∂uδ
∂xj
(xα). (4.23)
Из (4.19) – (4.23) следует∫
Kα
h∩Ωε\Gε
|∇uεδ(x)|2 dx ≥
∫
Kα
h∩Ωε
|∇uεδ(x)|2 dx− o(1) ≥
≥
n∑
i,j=1
aij(x
α, ε, h)
∂uδ
∂xi
(xα)
∂uδ
∂xj
(xα)−O(hn+2−τ )− o(1), ε = εk → 0. (4.24)
Теперь на пересечении куба Kα
h и области Ωε рассмотрим функцию
wεα2δ (x) = uδ(x
α) + uεδ(x)− ûεδ(x). (4.25)
Согласно определению функционала c(x, s; ε, h) (2.6)
c(xα, uδ(x
α); ε, h) ≤
∫
Kα
h∩Ωε
|∇wεα2δ (x)|2 dx+
+h−τ−2
∫
Kα
h∩Ωε
|wεα2δ − uδ(xα)|2 dx+
∫
Kα
h∩∂F ε
gε(x,wεα2δ ) dΓ. (4.26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1214 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Л. А. ХИЛЬКОВА
Оценим каждое из слагаемых правой части (4.26). Из определения функции wεα2δ (4.25) для
первого и второго слагаемых получаем∫
Kα
h∩Ωε
|∇wεα2δ (x)|2 dx =
∫
Kα
h∩Ĝε
|∇uεδ(x)|2 dx+ o(1), ε = εk → 0, (4.27)
∫
Kα
h∩Ωε
|wεα2δ − uδ(xα)|2 dx = o(1), ε = εk → 0. (4.28)
При оценке поверхностного интеграла учитываем, что в силу (4.18), (4.19) wεα2δ = uεδ(x) −
−O(ε)−O(h), а также свойств a1) – a4) функции σε(x, s)∫
Kα
h∩∂F ε
gε(x,wεα2δ ) dΓ =
∫
Kα
h∩∂F ε
gε(x, uεδ) dΓ+
+O(h)
∫
Kα
h∩∂F ε
σ̂ε(x) dΓ + o(1), ε = εk → 0. (4.29)
В силу (4.27) – (4.29) из (4.26) следует, что
c(xα, uδ(x
α); ε, h) ≤
∫
Kα
h∩Ĝε
|∇uεδ(x)|2 dx+
∫
Kα
h∩∂F ε
gε(x, uεδ) dΓ+
+O(h)
∫
Kα
h∩∂F ε
σ̂ε(x) dΓ + o(1), ε = εk → 0. (4.30)
Таким образом, согласно (4.24), (4.30)
Jε[uεδ] =
∫
Ωε
|∇uεδ|2 dx+
∫
∂F ε
gε(x, uεδ) dΓ− 2
∫
Ωε
f εuεδ dx ≥
≥
∑
α
∫
Kα
h∩Ωε\Ĝε
|∇uεδ|2 dx+
∑
α
∫
Kα
h∩Ĝε
|∇uεδ|2 dx+
∫
Kα
h∩∂F ε
gε(x, uεδ) dΓ
−
−2
∫
Ωε
f εuεδ dx ≥
∑
α
n∑
i,j=1
aij(x
α, ε, h)
∂uδ
∂xi
(xα)
∂uδ
∂xj
(xα)+
+
∑
α
c(xα, uδ(xα); ε, h)−O(h)
∫
Kα
h∩∂F ε
σ̂ε(x) dΓ + o(1)
− 2
∫
Ω
f̃ εũεδ dx,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИФФУЗИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ ПОГЛОЩЕНИЕМ . . . 1215
где f̃ ε(x) = χε(x)f ε(x), χε(x) — характеристическая функция области Ωε. Перейдем в этом
неравенстве к пределу сначала по ε = εk → 0, а затем по h → 0 при фиксированном δ.
Учитывая условия теоремы 2.1 и сходимость uεδ(x) к uδ(x) в Lp(Ω), получаем
lim
ε=εk→0
Jε[uεδ] ≥ J [uδ].
Перейдем теперь к пределу по δ → 0. В правой части, в силу гладкости функции uδ(x)
и неравенства (4.16), имеем limδ→0 J [uδ] = J [u]. В левой части при переходе к пределу в
поверхностном интеграле воспользуемся определением функции gε(x, s), свойствами a3), a4)
функции σε(x, s), обобщенной теоремой Соболева [23, c. 58] о вложении пространства H1(Ωε)
в пространство Lp(Ωε, µε) с мерой dµε = σ̂ε(x)dΓ, а также неравенствами (4.17). В результате
получим требуемое неравенство (4.6). Из (4.5), (4.6) следует, что для любой функции w(x) ∈
∈ H̊1(Ω)
J [u] ≤ J [w],
т. е. u(x) минимизирует функционал (4.4) и, следовательно, является обобщенным решением
задачи (1.2).
Докажем единственность обобщенного решения (1.2). Доказательство проведем от про-
тивного. Предположим, что задача (1.2) имеет два обобщенных решения u1, u2, тогда для
произвольной функции ϕ ∈ H̊1(Ωε) будут справедливы следующие тождества:∫
Ω
n∑
i,k=1
aik(x)
∂u1
∂xi
∂ϕ
∂xk
dx+
1
2
∫
Ω
cu(x, u1)ϕ(x) dx =
∫
Ω
f(x)ϕ(x) dx, (4.31)
∫
Ω
n∑
i,k=1
aik(x)
∂u2
∂xi
∂ϕ
∂xk
dx+
1
2
∫
Ω
cu(x, u2)ϕ(x) dx =
∫
Ω
f(x)ϕ(x) dx. (4.32)
Вычтем из (4.31) тождество (4.32) и возьмем тестовую функцию ϕ = u1 − u2. В результате
получим∫
Ω
n∑
i,k=1
aik(x)
∂(u1 − u2)
∂xi
∂(u1 − u2)
∂xk
dx+
1
2
∫
Ω
(cu(x, u1)− cu(x, u2))(u1 − u2) dx = 0. (4.33)
В силу положительной определенности тензора aik(x) и монотонности функции cu(x, u) из
(4.33) следует
u1 = u2 п. в. в Ωε.
Таким образом, единственность обобщенного решения усредненной задачи (1.2) доказана,
а значит, вся последовательность {ũε(x)} слабо сходится в H̊1(Ω) и сильно сходится в Lp(Ω)
к функции u(x).
Теорема доказана.
Замечание 4.1. Теорема 2.1 выполняется при условии существования плотности в любой
точке области, но она справедлива и при более общих условиях:
1) limh→0 limε→0
∫
Ω
∣∣∣∣aik(x, ε, h)
hn
− aik(x)
∣∣∣∣ dx = 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1216 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Л. А. ХИЛЬКОВА
2) limh→0 limε→0
∫
Ω
∣∣∣∣c(x, s, ε, h)
hn
− c(x, s)
∣∣∣∣ dx = 0 ∀s ∈ R1.
1. Берлянд Л. В., Гончаренко М. В. Осреднение уравнения диффузии в пористой среде со слабым поглощением //
Теория функций, функцион. анализ и их прил. – 1989. – 52. – С. 113 – 122.
2. Conca C., Diaz J., Timofte C. Effective chemical processes in porous media // Math. Models. Methods Appl. Sci. –
2003. – 13, № 10. – P. 1437 – 1462.
3. Conca C., Diaz J., Linan A., Timofte C. Homogenization in chemical reactive floes // Electron. J. Different. Equat. –
2004. – № 40. – P. 1 – 22.
4. Conca C., Diaz J., Linan A., Timofte C. Homogenization results for chemical reactive flows through porous media //
New Trends Contin. Mech. – 2005. – 6. – P. 99 – 107.
5. Cioranescu D., Donato P., Zaki R. Asymptotic behaviour of elliptic problems in perforated domains with nonlinear
boundary conditions // Asymptot. Anal. – 2007. – 53. – P. 209 – 235.
6. Timofte C. Homogenization in nonlinear chemical reactive flows // Proc. 9th WSEAS Int. Conf. Appl. Math., Istambul,
Turkey, May 27 – 29, 2006. – P. 250 – 255.
7. Mel’nyk T. A., Sivak O. A. Asymptotic analysis of a boundary-value problem with the nonlinean multiphase interactions
in a perforated domain // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 4. – С. 494 – 512.
8. Mel’nyk T. A., Sivak O. A. Asymptotic expansion for the solution of an elliptic problem with boundary multiphase
interactions of the Dirichle and Neumann types in a perforated domain // Вiсн. Київ. ун-ту. Фiз.-мат. науки. – 2010. –
3. – С. 63 – 67.
9. Mel’nyk T. A., Sivak O. A. Asymptotic approximations for solutions to quasilinear and linear parabolic problems with
different perturbed boundary conditions in perforated domains // J. Math. Sci. – 2011. – 177, № 1. – P. 50 – 70.
10. Mel’nyk T. A., Sivak O. A. Asymptotic approximations for solutions to quasilinear and linear elliptic problems with
different perturbed boundary conditions in perforated domains // Asymptot. Anal. – 2011. – 75. – P. 79 – 92.
11. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Усредненные модели микронеоднородных сред. – Киев: Наук. думка, 2005. –
551 с.
12. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость дифференциальных
операторов // Успехи мат. наук. – 1979. – 34, вып. 5. – С. 65 – 133.
13. Dal Maso G. An introduction to Γ-convergence. – Boston: Birkhäuser, 1993. – xiv+340 p.
14. Braides A. Γ-convergence for beginners. – Oxford Univ. Press, 2002. – 230 p.
15. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. – М.: Мир, 1984. – 472 c.
16. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи
механики композиционных материалов. – М.: Наука, 1984. – 352 с.
17. Tartar L. Compensated compactness and applications to partial differential equations in non-linear analysis and
mechanics // Heriot-Watt Symp. IV / Ed. R.S. Knops. – London: Pitman, 1979.
18. Nguetseng G. Asymptotic analysis for a stiff variational problem arising in mechanics // SIAM J. Math. Anal. –
1990. – 21, № 6. – P. 1394 – 1414.
19. Cioranescu D., Damlamian A., Griso G. The periodic unfolding method in homogenization // SIAM J. Math. Anal. –
2008. – 40, № 4. – P. 1585 – 1620.
20. Cabarrubias B., Donato P. Existence and uniqueness for a quasilinear Elliptic problem with nonlinear robin condition //
Carpath. J. Math. – 2011. – 27, № 2. – P. 173 – 184.
21. Хруслов Е. Я. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи при измельчении границы области //
Мат. сб. – 1978. – 106(148), № 4(8). – С. 604 – 621.
22. Ладыженская О, А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. – М.: Наука,
1973. – 576 с.
23. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. – Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1985. – 416 с.
Получено 14.09.14,
после доработки — 26.12.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2059 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:57Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/24/4013597d2cf2e7a0ad77e49fa8e75c24.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20592019-12-05T09:49:43Z Homogenized Model of Diffusion in Porous Media with Nonlinear Absorption on the Boundary Усредненная модель диффузии в пористой среде с нелинейным поглощением на границе Goncharenko, M. V. Khilkova, L. O. Гончаренко, М. В. Хилькова, Л. А. Гончаренко, М. В. Хилькова, Л. А. We consider a boundary-value problem used to describe the process of stationary diffusion in a porous medium with nonlinear absorption on the boundary. We study the asymptotic behavior of the solution when the medium becomes more and more porous and denser located in a bounded domain $Q$. A homogenized equation for the description of the main term of the asymptotic expansion is constructed. Розглядається крайова задача, яка описує процес стаціонарної дифузії в пористому середовищі з нєлінійним поглинанням на межі. Вивчається асимптотична поведінка розв'язку, коли середовище стає все більш пористим i розташоване все більш щільно в обмеженій області $Q$. Побудовано усереднене рівняння, що описує головний член асимптотики. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2059 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 9 (2015); 1201-1216 Український математичний журнал; Том 67 № 9 (2015); 1201-1216 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2059/1134 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2059/1135 Copyright (c) 2015 Goncharenko M. V.; Khilkova L. O. |
| spellingShingle | Goncharenko, M. V. Khilkova, L. O. Гончаренко, М. В. Хилькова, Л. А. Гончаренко, М. В. Хилькова, Л. А. Homogenized Model of Diffusion in Porous Media with Nonlinear Absorption on the Boundary |
| title | Homogenized Model of Diffusion in Porous Media with Nonlinear Absorption on the Boundary |
| title_alt | Усредненная модель диффузии в пористой среде с нелинейным поглощением на границе |
| title_full | Homogenized Model of Diffusion in Porous Media with Nonlinear Absorption on the Boundary |
| title_fullStr | Homogenized Model of Diffusion in Porous Media with Nonlinear Absorption on the Boundary |
| title_full_unstemmed | Homogenized Model of Diffusion in Porous Media with Nonlinear Absorption on the Boundary |
| title_short | Homogenized Model of Diffusion in Porous Media with Nonlinear Absorption on the Boundary |
| title_sort | homogenized model of diffusion in porous media with nonlinear absorption on the boundary |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2059 |
| work_keys_str_mv | AT goncharenkomv homogenizedmodelofdiffusioninporousmediawithnonlinearabsorptionontheboundary AT khilkovalo homogenizedmodelofdiffusioninporousmediawithnonlinearabsorptionontheboundary AT gončarenkomv homogenizedmodelofdiffusioninporousmediawithnonlinearabsorptionontheboundary AT hilʹkovala homogenizedmodelofdiffusioninporousmediawithnonlinearabsorptionontheboundary AT gončarenkomv homogenizedmodelofdiffusioninporousmediawithnonlinearabsorptionontheboundary AT hilʹkovala homogenizedmodelofdiffusioninporousmediawithnonlinearabsorptionontheboundary AT goncharenkomv usrednennaâmodelʹdiffuziivporistojsredesnelinejnympogloŝeniemnagranice AT khilkovalo usrednennaâmodelʹdiffuziivporistojsredesnelinejnympogloŝeniemnagranice AT gončarenkomv usrednennaâmodelʹdiffuziivporistojsredesnelinejnympogloŝeniemnagranice AT hilʹkovala usrednennaâmodelʹdiffuziivporistojsredesnelinejnympogloŝeniemnagranice AT gončarenkomv usrednennaâmodelʹdiffuziivporistojsredesnelinejnympogloŝeniemnagranice AT hilʹkovala usrednennaâmodelʹdiffuziivporistojsredesnelinejnympogloŝeniemnagranice |