On the $C^{*}$-Algebra Generated by the Bergman Operator, Carleman Second-Order Shift, and Piecewise Continuous Coefficients

We study the $C^{*}$ -algebra generated by the Bergman operator with piecewise continuous coefficients in the Hilbert space $L_2$ and extended by the Carleman rotation by an angle $π$. As a result, we obtain an efficient criterion for the operators from the indicated $C^{*}$ -algebra to be Fredholm...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2015
Main Authors:	Mozel’, V. A., Мозель, В. А.
Format:	Article
Language:	Russian English
Published:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015
Online Access:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2062
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Download file:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860507981520568320
author	Mozel’, V. A. Мозель, В. А. Мозель, В. А.
author_facet	Mozel’, V. A. Мозель, В. А. Мозель, В. А.
author_sort	Mozel’, V. A.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-12-05T09:49:43Z
description	We study the $C^{}$ -algebra generated by the Bergman operator with piecewise continuous coefficients in the Hilbert space $L_2$ and extended by the Carleman rotation by an angle $π$. As a result, we obtain an efficient criterion for the operators from the indicated $C^{}$ -algebra to be Fredholm operators.
first_indexed	2026-03-24T02:17:57Z
format	Article
fulltext	© В. А. МОЗЕЛЬ, 2015 1244 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 УДК 517.983 В. А. Мозель (Гос. учреждение ,,Отд-ние гидроакустики Ин-та геофизики им. С. И. Субботина НАН Украины”, Одесса) О C∗∗-АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ОПЕРАТОРОМ БЕРГМАНА, КАРЛЕМАНОВСКИМ СДВИГОМ ВТОРОГО ПОРЯДКА И КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ We study the C∗ -algebra generated by the Bergman operator with piecewise continuous coefficients in the Hilbert space L2 and extended by the Carleman rotation by an angle π. As a result, we obtain an efficient criterion for the operators from the indicated C∗ -algebra to be Fredholm operators. Вивчається C∗ -алгебра, породжена діючими у гільбертовому просторі L2 оператором Бергмана, операторами множення на кусочно-неперервні функції та карлемановським зсувом другого порядку (поворотом на кут π). Як результат одержано ефективний критерій фредгольмовості операторів розглянутої C∗ -алгебри. Введение. Пусть D — единичный круг комплексной плоскости. В гильбертовом простран- стве L2(D) введем следующие операторы: (Bf )(z) = 1 π f (ζ) (1 − ζz)2 D ∫∫ dDζ — известный оператор Бергмана; (Wf )(z) = (Wg f )(z) = f (−z) — унитарный оператор, порожденный поворотом g(z) = −z второго порядка единичного кру- га, g ∈G , G — конечная группа второго порядка, порожденная поворотом единичного круга на угол π . Изучается C∗ -алгебра R = C∗(A,WG ), являющаяся расширением C∗ -алгебры A опе- раторов вида A = a(z)I + b(z)B + L , где L — компактный оператор; a(z) , b(z) — кусочно-непрерывные в круге D функции, имеющие на линии � разрывы первого рода, с помощью операторов сдвига WG = = {Wg: g ∈G}. Линия разрывов � разбивает круг D на четыре части и строится следующим образом. Пусть �1 — дуга окружности, соединяющая точки −1 и + 1, лежащая внутри круга, обра- зующая с единичной окружностью в точке {−1} угол π 3. Пусть, далее, �2 = g(�1). Тогда � = �1 ∪ �2 ∪ [−1; +1]. О C∗ -АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ОПЕРАТОРОМ БЕРГМАНА, КАРЛЕМАНОВСКИМ СДВИГОМ … 1245 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 Алгебра операторов без сдвига A описывается с помощью результатов работы [1]. При- меняя локально-траекторный метод [2] (полное изложение см. в [3]), строим алгебру символов и устанавливаем эффективный критерий фредгольмовости операторов из описываемой C∗ - алгебры со сдвигами. 1. Алгебра без сдвига. Для описания алгебры Â = A ℑ (ℑ — идеал всех компактных операторов) воспользуемся локальным принципом [4 – 6] и результатом работы [1]. Через A ~ t B обозначаются локально эквивалентные в точке t операторы A и B [4]. Централь- ной коммутативной подалгеброй алгебры ̂A является алгебра Ẑ = aI + ℑ: a ∈C(D){ } , изо- морфная алгебре C(D) . Обозначим через J(z0 ) максимальный идеал алгебры Ẑ ≅ C(D) , соответствующий точке z0 ∈ D , а через Ĵ(z0 ) = J(z0 )Â двусторонний замкнутый идеал ал- гебры ̂A , порожденный идеалом J(z0 ) ∈Ẑ . Далее, Â(z0 ) = Â Ĵ(z0 ) и, наконец, π z0 : Â → Â(z0 ) — естественная проекция. Описание алгебр Â(z0 ) состоит из четырех случаев. Случай 1: z0 ∈ D \ (� ∪ ∂D). Здесь оператор B локально эквивалентен компактному. По- этому A z0~ a(z0 )I , Â(z0 ) ≅ C. Гомоморфизм Φ : A → Â → Â(z0 ) ≅ � имеет вид Φ : A → a(z0 ) . Случай 2: z0 ∈ ∂D \ � . Здесь A z0 ~ a(z0 )I + b(z0 )B = a(z0 )(I − B) + c(z0 )B , c(z) = a(z) + + b(z) , поэтому Â(z0 ) ≅ �2 и Φ : A → (a(z0 ); c(z0 )). Случай 3: z0 ∈� \ {−1; 1}. Пусть a± (z0 ) — односторонние пределы в точке z0 . Тогда оператор B локально эквивалентен компактному в точке z0 ; A z0 ~ a+ (z0 ) χ + I + a− (z0 ) χ − I , где χ + и χ − — характеристические функции правой и левой полуокрестностей точки z0 ∈�; Â ≅ �2 и при гомоморфизме Φ : A → a+ (z0 ); a− (z0 )( ) . 1246 В. А. МОЗЕЛЬ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 Случай 4: z0 ∈{−1; +1}. Введем обозначение z0 ± = ± 1. Луночку с границами ∂D− ; �1, где ∂D− — часть границы единичного круга, находящаяся в нижней полуплоскости, обозначим через D1; луночку с границами �1; [−1; 1] — через D2 ; луночку с границами [−1; 1]; �2 — через D3; наконец, луночку с границами �2; ∂D+ (здесь ∂D+ — часть границы единичного круга, лежащая в верхней полуплоскости) — через D4 . Введем обозначения ak (z0 j ) := lim z→z0 z∈Dj ak (z), j = 1, 2, 3, 4 , bk (z0 j ) := lim z→z0 z∈Dj bk (z), j = 1, 2, 3, 4 . Теперь символ в точке z0 ∈{−1; +1} записывается следующим образом: Φ(A) = d1 b(z01) t1t2 b(z01) t1t3 b(z01) t1t4 b(z02 ) t2t1 d2 b(z02 ) t2t3 b(z02 ) t2t4 b(z03) t3t1 b(z03) t3t2 d3 b(z03) t3t4 b(z04 ) t4t1 b(z04 ) t4t2 b(z04 ) t4t3 d4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ , di = c(z0i )ti + a(z0i )(1 − ti ), i = 1, 2, 3, 4 , ti = e−2λθi − e−2λθi−1 e−2λπ − 1 , i = 1, 2, 3, 4 , λ ∈R , θ0 = 0 , θ1 = π 3 , θ2 = π 2 , θ3 = 2π 3 , θ4 = π (ср. с [1], теорема 4.1, четвертая формула). Соберем, следуя [1] (§ 4), локальные описания вместе. Напомним, что z0 ± = ±1. Обозна- чим через �D круг D, разрезанный по кривой � . Пусть γ = ∂D , �γ обозначает границу ∂D , разрезанную по точкам z0 ± . Каждая из точек z0 ± порождает четыре точки z01 ± , z02 ± , z03 ± , z04 ± в �D и две точки z05 ± , z06 ± на �γ . Рассмотрим множества Y = �D ∪ �γ и X± = [0, 1]. Рас- смотрим функцию ζ , соединяющую точки Y с точками ∂X := {0, 1} по правилу ζ(0± ) = z01 ± , z02 ± , z03 ± , z06 ±( ) , ζ(1± ) = z02 ± , z03 ± , z04 ± , z05 ±( ) . Введем множества X+ = (0, 1), X− = (0, 1), M = (X+ ∪ X− ) ∪ζ Y , F1 = Y × �, F± = = X± × M 4 (�). Здесь M 4 (�) обозначает множество всех комплексных (4 × 4)-матриц, ∪ζ О C∗ -АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ОПЕРАТОРОМ БЕРГМАНА, КАРЛЕМАНОВСКИМ СДВИГОМ … 1247 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 — склеивание по отображению ζ . Рассмотрим пучок C∗ -алгебр, имеющий M базовым пространством и порожденный C∗ -алгебрами, которые определены множествами F1 и F± . Пусть S — алгебра всех непрерывных сечений такого пучка. Сечение σ ∈S образовано тремя функциями σ1 ∈C(Y ), σ ± ∈C X± , M 4 (�)( ) , имеющими следующие условия согласо- вания: если ζ(x0 ) = (y1, y2, y3, y4 ), x0 ∈ ∂X± , y1 ∈ �D , y2 ∈ �D , y3 ∈ �D , y4 ∈ �γ , то lim x→x0 σ ± (x) = σ1(y1) 0 0 0 0 σ1(y2 ) 0 0 0 0 σ1(y3) 0 0 0 0 σ1(y4 ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . Норма в S дается формулой σ = max sup y∈Y σ1(y) , sup x∈X+ σ + (x) , sup x∈X− σ − (x) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ , где σ α 2 , α ∈{1, +, −} , — наибольшее собственное значение матрицы σ α (x)(σ α (x))∗. Получена следующая теорема [1] (теоремы 4.1, 4.2). Теорема 1. Алгебра ̂A изометрически изоморфна алгебре S . Изоморфизм Φ задает- ся следующим отображением образующих алгебры A : если A = a(z)I + b(z)B + L , где L — компактный оператор, то Φ(A) = a(t), t ∈ �D , Φ(A) = c(t), t ∈ �γ , Φ(A) = d1 b(z01) t1t2 b(z01) t1t3 b(z01) t1t4 b(z02 ) t2t1 d2 b(z02 ) t2t3 b(z02 ) t2t4 b(z03) t3t1 b(z03) t3t2 d3 b(z03) t3t4 b(z04 ) t4t1 b(z04 ) t4t2 b(z04 ) t4t3 d4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ . Здесь c(z) = a(z) + b(z) , ti = e−2λθi − e−2λθi−1 e−2λπ − 1 , i = 1, 2, 3, 4 , λ ∈R , di = c(z0i ± ) ti + a(z0i ± )(1 − ti ), i = 1, 2, 3, 4 . Оператор A ∈A фредгольмов, если и только если его символ Φ(A) обратим. 1248 В. А. МОЗЕЛЬ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 2. Алгебра со сдвигом. Перейдем к описанию C∗ -алгебры R . При этом используем ло- кально-траекторный метод [2]. Введем необходимые обозначения. Пусть Ẑ — некоторая центральная C∗ -подалгебра ̂A с единицей алгебры ̂A , М — компакт максимальных идеалов алгебры Ẑ , J t — двусторонний замкнутый идеал алгебры ̂A , порожденный идеалом t ∈ M , P Â — множество чистых состояний алгебры ̂A , Pt = P Â ∩ J t ⊥ (через J t ⊥ обозначен анну- лятор идеала J t ). Ясно, что P Â = Pt t∈M ∪ . Проверим выполнение условий (П1) – (П3). Условие (П1) состоит в следующем: для всех g ∈G отображения α̂ g : Â � ŴgÂŴg ∗, Â ∈Â , являются -автоморфизмами ал- гебр ̂A и Ẑ , где Ẑ — центральная коммутативная подалгебра (с единицей) алгебры ̂A . В данном случае Wg ∗ = Wg ; Ẑ = a(z)I + ℑ: a ∈C(D){ }, поэтому α̂ g (A) = α̂ g (a(z)I ) = a(g(z))I = a(−z)I ∈ Z , если a ∈C(D). Итак, α̂ g (Ẑ ) ≅ Ẑ . Далее, очевидно, что α g (B) ≡ WgBWg ∗ ≡ B , поэтому α̂ g (Â) ≅ Â , т. е. условие (П1) выполнено. Отметим, что условие (П1) обеспечивает плотность в алгебре R̂ совокупности элементов вида A0I + A1W , где A0 , A1 — элементы из алгебры ̂A без сдвига, которая описана в пунк- те 1. Условие (П2) состоит в аменабельности группы G ; поскольку G — конечная циклическая группа, то она аменабельна, и поэтому условие (П2) также выполнено. Приведем условие (П3): для любого ε > 0, любых конечных множеств Â0 ⊂ Â , G0 ⊂ G и любого чистого состояния μ ∈ P Â существуют τ ∈ M и ν ∈Pt такие, что выполнены сле- дующие условия: а) ν(a) − μ(a) < ε для каждого a ∈Â0 , б) g(τ) ≠ τ для каждого g ∈G0 \ {e} . Обозначим через ζ1 = {0} единственную неподвижную точку сдвига g и введем следу- ющее предположение: в любой окрестности U(ζ1) точки ζ1 найдется такая точка τ ∈U(ζ1), что для всех g ∈G \ {e} выполнено g(τ) ≠ τ . О C∗ -АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ОПЕРАТОРОМ БЕРГМАНА, КАРЛЕМАНОВСКИМ СДВИГОМ … 1249 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 Справедливость этого условия очевидна, так как множество ζ1 = {0} состоит только из одной точки. Более того, на границе γ = ∂D вообще нет неподвижных точек. Поскольку имеет место локальная эквивалентность [4] B ζ1 ~ L , где L — компактный опе- ратор, из введенного предположения следует условие (П3). В самом деле, вблизи неподвижной точки ζ1 = {0} есть сколько угодно точек τ таких, что g(τ) ≠ τ . В точке τ ∈[−1; + 1] по- ложим: если μ(A) = (a(ζ1) ξ, ξ) , то ν(A) = (a(τ) ξ, ξ) zdes\ ⎛ ⎝⎜ a(ζ1) = diag a(ζ1,2 ), a(ζ1,3){ }, a(τ) = diag{a(τ2 ), a(τ3)} — диагональные матрицы, ξ = ξ1 ξ2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ — циклический вектор единич- ной длины t. e.( ξ1 2 + ξ2 2 = ξ, ξ( ) = 1 ) гильбертова пространства представления πζ : A � a(ζ2 ), a(ζ3)( ), т. е. пространства C2, (⋅, ⋅) — скалярное произведение в C2 ⎞ ⎠⎟ . Тогда μ(A) − ν(A) = = a(ζ1,2 ) 0 0 a(ζ1,3) ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ξ1 ξ2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ , ξ1 ξ2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ − a(τ2 ) 0 0 a(τ3) ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ξ1 ξ2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ , ξ1 ξ2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = = a(ζ1,2 )ξ1 a(ζ1,3)ξ2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ , ξ1 ξ2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ − a(τ2 )ξ1 a(τ3)ξ2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ , ξ1 ξ2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = = a(ζ1,2 ) ξ1ξ1 + a(ζ1,3) ξ2ξ2 − a(τ2 ) ξ1ξ1 − a(τ3) ξ2ξ2 = = a(ζ1,2 ) − a(τ2 )( ) ξ1ξ1 + a(ζ1, 3) − a(τ3)( ) ξ2ξ2 ≤ ≤ a(ζ1,2 ) − a(τ2 ) ξ1ξ1 + a(ζ1,3) − a(τ3) ξ2ξ2 ≤ ≤ ξ1 2 + ξ2 2( ) max a(ζ1,2 ) − a(τ2 ) ; a(ζ1,3) − a(τ3){ } < ε , если точка τ достаточно близка к ζ1 = {0}. Тот факт, что на границе γ = ∂D вообще нет неподвижных точек, завершает доказательство данного утверждения. Итак, справедлива сле- дующая лемма. Лемма 1. При приведенных выше условиях справедливо условие (П3) [2]. Образующий оператор R C2-алгебры R имеет вид R = A0I + A1W + L = (a0I + b0B)I + (a1I + b1B)W + L ∈R . (1) Пусть Ω(X) — множество G -орбит точек t ∈ X , tω — произвольная фиксированная точка орбиты ω ∈ Ω(M ), H ω — пространство изометрического представления �π ω фактор- 1250 В. А. МОЗЕЛЬ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 алгебры A Jtω , ρω — естественный гомоморфизм A → A /Jtω , ′π ω = �π ω � ρω . Рассмотрим представление π ω : R → L(l2(G, H ω )), определяемое формулами (π ω (A) f )(g) = ′π ω (α g (A)) f (g), (π ω (Uh ) f )(g) = f (gh), A ∈A , g, h ∈G . Справедлива следующая локальная теорема. Теорема 2 ([2], теорема 3). Если выполняются предположения (П1) – (П3), то оператор R ∈R обратим в пространстве H тогда и только тогда, когда для каждой орбиты ω ∈ Ω = Ω(M ) оператор π ω (R) обратим в l2(G, H ω ) и sup (π ω (R))−1 : ω ∈ Ω{ } < ∞. Локальное описание алгебры R̂ состоит из пяти случаев. Случай 1: z0 ∈ D \ (� ∪ γ ). Здесь H ω ≅ � ; l2(G,H ω ) = l2(G) ≅ �2 ; для оператора R ви- да (1) символ имеет вид π ω (R̂) = A(z0 ) = a0(z0 ) a1(z0 ) a1(−z0 ) a0(−z0 ) ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ . Случай 2: z0 ∈ γ \�. Здесь H ω ≅ �2 . Легко видеть, что символ имеет вид пары (2 × 2)- матриц π ω (R̂) = A(z0 ), A(z0 ) + B(z0 )( ) , где матрицы A(z0 ) и B(z0 ) таковы: A(z0 ) = a0(z0 ) a1(z0 ) a1(−z0 ) a0(−z0 ) ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ , B(z0 ) = b0(z0 ) b1(z0 ) b1(−z0 ) b0(−z0 ) ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ . Случай 3: z0 ∈(�1 ∪ �2 ) \ γ . Здесь H ω ≅ �2 , а символ имеет вид пары (2 × 2)-матриц π ω (R̂) = A+ (z0 ), A− (z0 )( ), где A+ (z0 ) = a0 + (z0 ) a1 + (z0 ) a1 + (−z0 ) a0 + (−z0 ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ , A− (z0 ) = a0 − (z0 ) a1 − (z0 ) a1 − (−z0 ) a0 − (−z0 ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ . Здесь через a j ± (z0 ), j = 0, 1, обозначены, соответственно, левое и правое предельные зна- чения функций a j (z) в точке z0 ∈� \ γ . Случай 4: z0 = (−1;1). Поворот на угол π меняет ориентацию отрезка [−1;1], поэтому здесь О C∗ -АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ОПЕРАТОРОМ БЕРГМАНА, КАРЛЕМАНОВСКИМ СДВИГОМ … 1251 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 π ω (R̂) = �A(z0 ), где �A(z0 ) = a0 + (z0 ) a1 + (z0 ) a1 − (−z0 ) a0 − (−z0 ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ . Случай 5: z0 ∈ γ ∩ � , т. е. z0 ∈{−1; 1}. Здесь H ω ≅ L2 4 ([0; 1]) . Символ имеет вид блоч- ной (2 × 2)-матрицы A (z0 ) = A 00 A 01 A10 A11 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ , A i j , i, j = 0, 1, — (4 × 4)-матрицы-функции вида A i j = = d j −i,1(gi (z01)) bj −i (g i (z01)) t1t2 bj −i (g i (z01)) t1t3 bj −i (g i (z01)) t1t4 bj −i (g i (z02 )) t2t1 d j −i,2 (gi (z02 )) bj −i (g i (z02 )) t2t3 bj −i (g i (z02 )) t2t4 bj −i (g i (z03)) t3t1 bj −i (g i (z03)) t3t2 d j −i,3(gi (z03)) bj −i (g i (z03)) t3t4 bj −i (g i (z04 )) t4t1 bj −i (g i (z04 )) t4t2 bj −i (g i (z04 )) t4t3 d j −i,4 (gi (z04 )) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , где d j−i,k (gi (z0k )) = c j−i (g i (z0k )) tk + a j−i (g i (z0k )) (1 − tk ) = = c j−i (±z0k ) tk + a j−i (±z0k ) (1 − tk ) , i, j = 0, 1, k = 1, 2, 3, 4 (знак + соответствует случаю i = 0 , а знак − — случаю i = 1), gi = e, i = 0, g, i = 1, ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ b−1 := b1. Справедлива следующая лемма. Лемма 2. Условие sup ω∈Ω (π ω (R̂))−1 < ∞ автоматически выполнено, если все символы обратимы на каждой орбите ω ∈ Ω. если если если если 1252 В. А. МОЗЕЛЬ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 Из доказательства теоремы 2 [2] (теорема 3) следует, что C∗ -алгебра R̂ = C∗(Â; ŴG ) изометрически изоморфна алгебре π(R̂) = ω∈Ω ⊕ π ω (R̂), в которой, как обычно, вводится норма π(R̂) = sup ω∈Ω π ω (R̂) . Получаем следующую основную теорему. Теорема 3. C∗ -алгебры π(R̂) и R̂ изометрически изоморфны. Оператор R C∗ -ал- гебры R = C∗(A; WG ) фредгольмов в гильбертовом пространстве L2(D) тогда и только тогда, когда его символ невырожден. На образующих операторах R вида (1) символ π ω (R̂) дается формулами из пунктов 1 – 5. Условиями фредгольмовости образующих операторов R вида (1) являются следующие условия: 1) при z0 ∈ D \ (� ∪ γ ) det A(z0 ) ≠ 0 ; 2) при z0 ∈ γ \ � det A(z0 ) ≠ 0, det(A(z0 ) + A(z0 )) ≠ 0; 3) при z0 ∈(�1 ∪ �2 ) \ γ det A+ (z0 ) ≠ 0, det A− (z0 ) ≠ 0; 4) при z0 = (−1;1) det �A(z0 ) ≠ 0 ; 5) при z0 ∈{−1; 1} det A (z0 ) ≠ 0. 1. Loaiza M. Algebras generated by the Bergman projection and operators of multiplication by piecewise continuous functions // Integr. Equat. Oper. Theory. – 2003. – 46. – P. 215 – 234. 2. Карлович Ю. И. Локально-траекторный метод изучения обратимости в С-алгебрах операторов с дискретными группами сдвигов // Докл. АН СССР. – 1988. – 299, № 3. – C. 546 – 550. 3. Karlovich Yu. I. A local-trajectory method and isomorphism theorems for nonlocal С*-algebras // Oper. Theory: Adv. and Appl. – 2006. – 170. – P. 137 – 166. 4. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных инте- гральных уравнений. I // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1965. – 29, № 3. – C. 567 – 586. 5. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных инте- гральных уравнений. II // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1965. – 29, № 4. – C. 757 – 782. 6. Böttcher A., Silbermann B. Analysis of Toeplitz operators. – Berlin: Springer-Verlag, 1990. – 524 p. Получено 15.09.14
id	umjimathkievua-article-2062
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	rus English
last_indexed	2026-03-24T02:17:57Z
publishDate	2015
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/db/ac08c1d1fefe0dab01e896458878e5db.pdf
spelling	umjimathkievua-article-20622019-12-05T09:49:43Z On the $C^{}$-Algebra Generated by the Bergman Operator, Carleman Second-Order Shift, and Piecewise Continuous Coefficients $C^{}$ -алгебре, порожденной оператором Бергмана, карлемановским сдвигом второго порядка и кусочно-непрерывными коэффициентами Mozel’, V. A. Мозель, В. А. Мозель, В. А. We study the $C^{}$ -algebra generated by the Bergman operator with piecewise continuous coefficients in the Hilbert space $L_2$ and extended by the Carleman rotation by an angle $π$. As a result, we obtain an efficient criterion for the operators from the indicated $C^{}$ -algebra to be Fredholm operators. Вивчається $C^{}$-алгебра, породжена діючими у гільбертовому просторі $L_2$ оператором Бергмана, операторами множення на кусочно-неперервні функції та карлемановським зсувом другого порядку (поворотом на кут π). Як результат одержано ефективний критерій фредгольмовості операторів розглянутої $C^{}$-алгебри. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2062 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 9 (2015); 1244–1252 Український математичний журнал; Том 67 № 9 (2015); 1244–1252 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2062/1140 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2062/1141 Copyright (c) 2015 Mozel’ V. A.
spellingShingle	Mozel’, V. A. Мозель, В. А. Мозель, В. А. On the $C^{*}$-Algebra Generated by the Bergman Operator, Carleman Second-Order Shift, and Piecewise Continuous Coefficients
title	On the $C^{*}$-Algebra Generated by the Bergman Operator, Carleman Second-Order Shift, and Piecewise Continuous Coefficients
title_alt	$C^{*}$ -алгебре, порожденной оператором Бергмана, карлемановским сдвигом второго порядка и кусочно-непрерывными коэффициентами
title_full	On the $C^{*}$-Algebra Generated by the Bergman Operator, Carleman Second-Order Shift, and Piecewise Continuous Coefficients
title_fullStr	On the $C^{*}$-Algebra Generated by the Bergman Operator, Carleman Second-Order Shift, and Piecewise Continuous Coefficients
title_full_unstemmed	On the $C^{*}$-Algebra Generated by the Bergman Operator, Carleman Second-Order Shift, and Piecewise Continuous Coefficients
title_short	On the $C^{*}$-Algebra Generated by the Bergman Operator, Carleman Second-Order Shift, and Piecewise Continuous Coefficients
title_sort	on the $c^{*}$-algebra generated by the bergman operator, carleman second-order shift, and piecewise continuous coefficients
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2062
work_keys_str_mv	AT mozelva onthecalgebrageneratedbythebergmanoperatorcarlemansecondordershiftandpiecewisecontinuouscoefficients AT mozelʹva onthecalgebrageneratedbythebergmanoperatorcarlemansecondordershiftandpiecewisecontinuouscoefficients AT mozelʹva onthecalgebrageneratedbythebergmanoperatorcarlemansecondordershiftandpiecewisecontinuouscoefficients AT mozelva calgebreporoždennojoperatorombergmanakarlemanovskimsdvigomvtorogoporâdkaikusočnonepreryvnymikoéfficientami AT mozelʹva calgebreporoždennojoperatorombergmanakarlemanovskimsdvigomvtorogoporâdkaikusočnonepreryvnymikoéfficientami AT mozelʹva calgebreporoždennojoperatorombergmanakarlemanovskimsdvigomvtorogoporâdkaikusočnonepreryvnymikoéfficientami

On the $C^{*}$-Algebra Generated by the Bergman Operator, Carleman Second-Order Shift, and Piecewise Continuous Coefficients

Institution

Similar Items