Multiple Haar Basis and its Properties
In the Lebesgue spaces $L_p ([0, 1]^d ), 1 ≤ p ≤ ∞$, for $d ≥ 2$, we define a multiple basis system of functions $H^d = (h_n )_{n = 1}^{∞}$. This system has the main properties of the well-known one-dimensional Haar basis $H$. In particular, it is shown that the system $H^d$ is a Schauder basis in...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2063 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507984102162432 |
|---|---|
| author | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:43Z |
| description | In the Lebesgue spaces $L_p ([0, 1]^d ), 1 ≤ p ≤ ∞$, for $d ≥ 2$, we define a multiple basis system of functions $H^d = (h_n )_{n = 1}^{∞}$. This system has the main properties of the well-known one-dimensional Haar basis $H$. In particular, it is shown that the system $H^d$ is a Schauder basis in the spaces $L_p ([0, 1]^d ),\; 1 ≤ p |
| first_indexed | 2026-03-24T02:17:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
В. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И ЕГО СВОЙСТВА
In Lebesque spaces Lp([0, 1]
d), 1 ≤ p ≤ ∞, for d ≥ 2, we define a multiple basis system of functions Hd = (hn)
∞
n=1.
This system has basic properties of the well-known one-dimensional Haar basis H. In particular, it is shown that system
Hd is a Schauder basis in the spaces Lp([0, 1]d), 1 ≤ p <∞.
У просторах Лебега Lp([0, 1]
d), 1 ≤ p ≤ ∞, при d ≥ 2 означено кратну базисну систему функцiй Hd = (hn)
∞
n=1,
що надiлена основними властивостями вiдомого одновимiрного базису Хаара H. Зокрема, доведено, що система
Hd є базисом Шаудера у просторах Lp([0, 1]
d), 1 ≤ p <∞.
Введение. В 1909 г. А. Хааром [1] была построена ортонормированная на отрезке [0, 1] полная
в пространстве L
(
[0, 1]
)
система функций
(
hn(x)
)∞
n=0
, x ∈ [0, 1], ряды Фурье по которой для
непрерывных функций сходятся к ним равномерно на [0, 1]. Такая система имеет достаточно
простую структуру и состоит из кусочно-постоянных функций на интервалах двоичного разбие-
ния отрезка [0, 1]. Напомним определение этой системы в тех обозначениях, которые удобны
для последующего изложения.
Обозначим через Dj , j = 1, 2, . . . , множество двоичных интервалов j-го уровня отрезка
I := [0, 1] :
Dj =
{
Isj : s = 0, 1, . . . , 2j−1 − 1
}
,
где Isj =
(
s2−j+1, (s+ 1)2−j+1
)
. Положим также I0
0 := I и D0 = {I0
0}.
Определим функции Хаара, положив
HI00
(t) = 1, t ∈ I,
и для j = 1, 2, . . . , s = 0, 1, . . . , 2j−1 − 1
HIsj
(t) =
|Isj |−1/2, t ∈
(
s2−j+1,
(
s+
1
2
)
2−j+1
)
,
−|Isj |−1/2, t ∈
((
s+
1
2
)
2−j+1, (s+ 1)2−j+1
)
,
0, t ∈ I \ Isj ,
где |Isj | = 2−j+1 — длина интервала Isj , а Isj — его замыкание.
Во всех внутренних (по отношению к отрезку I) точках разрыва функции HIsj
(t) полагаются
равными полусумме их пределов слева и справа, а в концевых точках отрезка [0, 1] — их
предельным значениям изнутри отрезка.
Система H = {HI00
}
⋃
{HIsj
} j=1,2,...
s=0,1,...,2j−1−1
называется базисной системой Хаара.
Упорядочим систему H следующим образом. Положим
h0(t) = 1, t ∈ I0
0 ,
и для 0 ≤ s < 2j−1, j = 1, 2, . . . ,
h2j−1+s(t) = hsj(t) = HIsj
(t).
c© В. С. РОМАНЮК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 1253
1254 В. С. РОМАНЮК
Полученную последовательность hn, n = 0, 1, . . . , обозначим через H.
В 1928 г. И. Шаудер [2] показал, что система H = (hn)∞n=0 является базисом в простран-
ствах Лебега Lq([0, 1]), 1 ≤ q < ∞. Хотя очевидно, что система H не может быть базисом в
пространстве C
(
[0, 1]
)
непрерывных на отрезке [0, 1] функций, Г. Фабер в 1910 г. показал, что
каждая непрерывная на [0, 1] функция однозначно представляется в виде равномерно сходя-
щегося к ней ряда по системе функций
{
1,
∫ x
0
hn(t)dt
}∞
n=0
, т. е. такая система функций уже
является базисом в пространстве C
(
[0, 1]
)
.
Системному изучению рядов по системе Хаара H посвящена работа [3], в которой, в
частности, исследованы вопросы сходимости рядов Фурье по системе H функций некото-
рых классов, а также даны оценки коэффициентов Фурье по системе H для элементов из
пространств измеримых на [0, 1] функций.
В 1972 г. была опубликована статья Б. И. Голубова [4], в которой изложены фундамен-
тальные результаты, характеризующие аппроксимативные свойства системы H по отношению
к функциям из пространств Lq
(
[0, 1]
)
, 1 ≤ q < ∞, и C
(
[0, 1]
)
. Основное содержание этих
результатов составляют прямые и обратные теоремы.
В настоящей работе на базе системы H определяется одна из кратных систем Хаара Hd
0
функций, определенных на кубе [0, 1]d евклидового пространства Rd, d ≥ 2. По структуре эта
система несколько отлична от классической тензорной системы Хаара Hd (определение см. в
п. 1), но, как установлено, имеет важные свойства, присущие одномерной базисной системе
Хаара H. В частности, показано, что упорядоченная надлежащим образом система Hd
0 является
базисом Шаудера в пространствах Lp
(
[0, 1]
)
, 1 ≤ p <∞.
В последующем установленные свойства системы Hd
0 эффективно используются в решении
определенных задач аппроксимации классов функций в пространствах Lq
(
[0, 1]d
)
.
По ходу изложения материала используются стандартные обозначения N, R, R+, Z, Z+
соответственно для множеств натуральных, вещественных, вещественных неотрицательных,
целых, целых неотрицательных чисел.
Через Ad =
∏d
i=1
A, d ∈ N, обозначается декартово произведение d множеств A, где A
— одно из множеств N, R, R+, Z, Z+ или отрезок [a, b] ⊂ R, а через
d⊗
i=1
M(i) — тензорное
произведение некоторых множеств M(i), i = 1, d, в частности функциональных; ]A обозначает
количество точек конечного множества A ⊂ Zd, а cardA — количество элементов некоторого
конечного множества A; |A| или vol A — объем (мера Лебега) множества A ⊂ Rd; suppf(x)
обозначает носитель функции f, т. е. множество внутренних точек множества A такого, что
f(x) 6= 0, x ∈ A.
Для выражений a и b, определяемых некоторой совокупностью параметров, запись a � b
означает, что существуют положительные величины c1 и c2, не зависящие от одного сущест-
венного параметра, такие, что c1b ≤ a ≤ c2b. Если только a ≤ c2b (c1b ≤ a), то пишем a � b
(a� b).
Через C(p), C1(d, p) и т. п. обозначаются величины, зависящие, возможно, только от указан-
ных в скобках параметров и положительные при всех допустимых значениях этих параметров,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И ЕГО СВОЙСТВА 1255
а через C, C1, C2, — абсолютные положительные постоянные, необязательно одинаковые в
разных местах текста.
Введем еще ряд используемых в работе определений и обозначений.
Через Lq(Ω), 1 ≤ q ≤ ∞, обозначим пространство функций ϕ : Ω → R, измеримых на
измеримом множестве Ω ⊂ Rd, с конечной нормой
‖ϕ‖Lq(Ω) =
∫
Ω
|ϕ(x)|qdx
1/q
, 1 ≤ q <∞,
‖ϕ‖L∞(Ω) = ess sup
x∈Ω
|ϕ(x)|.
В случае Ω = Id будем иногда писать Lq вместо Lq(Id) и ‖ · ‖q вместо ‖ · ‖Lq(Id) при 1 ≤ q ≤ ∞.
При 1 ≤ p ≤ ∞ определим модуль непрерывности функции ϕ ∈ Lp посредством равенства
ω(ϕ, t)p := sup
0≤τi<t≤1
i=1,d
‖∆τϕ‖Lp(Idτ ),
где τ = (τ1, . . . , τd) ∈ Id, Idτ :=
∏d
i=1
[0, 1− τi] и ∆τ (ϕ, x) := ϕ(x+ τ)−ϕ(x) при x, x+ τ ∈ Id.
Наконец, одной и той же буквой в разных шрифтах мы обозначаем различные системы
функций Хаара:
H — система функций Хаара одной переменной;
H — базис Хаара в Lp(I), 1 ≤ p <∞ (упорядоченная последовательность функций систе-
мы H);
Hd — тензорная система Хаара функций d переменных, d ∈ N;
Hd
0 — базисная система Хаара с „интервальной” индексацией функций d переменных;
Hd
0 — базисная система Хаара с векторной индексацией функций d переменных;
Hd — базис Хаара в Lp(Id), 1 ≤ p < ∞, d ∈ N (упорядоченная последовательность
функций системы Hd
0).
1. Определение функциональных систем Hd
0, H
d
0, H
d и Hd. Определим вначале кратную
базисную систему Хаара Hd
0 функций, заданных на единичном кубе Id, d ≥ 2. Обозначим че-
рез Qj :=
⊗d
i=1Dj , j = 1, 2, . . . , множество кубов I двоичного разбиения куба Id объемом
|I| = 2(−j+1)d, т. е.
Qj =
{
I lj =
d∏
i=1
I lij : l = (l1, . . . , ld), 0 ≤ li < 2j−1, i = 1, d
}
,
а через Q :=
⋃∞
j=1Qj множество всех кубов двоичного разбиения Id. Положим
Hd
0 := {HId} ∪ {HI}I∈Q,
где функция
HId(x) = 1, x ∈ Id,
и для j ∈ N и I ∈ Qj
(
т. е. I =
∏d
i=1
Isij
)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1256 В. С. РОМАНЮК
HI(x1, . . . , xd) =
∏
i∈E
HI
si
j
(xi)×
∏
i∈T\E
|HI
si
j
(xi)|. (1)
Здесь E — произвольное непустое подмножество множества T := {1, 2, . . . , d}, в том числе
допускается E = T, и в этом случае множитель
∏
i∈T\E
заменяется единицей.
Заметим, что совокупностью всех подмножеств E с заданным числом cardE 6= d и мно-
жеством E = T c помощью формулы (1) определяется 2d− 1 функций с носителями на фикси-
рованном кубе I ∈ Qj , а значит на каждом кубе I lj =
∏d
i=1
I lij , l = (l1, . . . , ld), 0 ≤ lj < 2j−1,
i = 1, d. Соответствующие множества таких функций обозначим через H(j, l̄).
Теперь представим систему Hd
0, d ≥ 2, другим способом, исходя из одномерного базиса
Хаара H и используя при этом векторную нумерацию входящих в эту систему функций. С
этой целью разобьем множество Zd+ на непересекающиеся подмножества Z0,d := Y0,d и Zj,d :=
:= Yj,d \ Yj−1,d, j = 1, 2, . . . , где
Y0,d = {0} = {(0, 0, . . . , 0)} ∈ Zd+,
Yj,d =
{
k̄ = (k1, . . . , kd) ∈ Zd+ : 0 ≤ ki < 2j , i = 1, d
}
, j = 1, 2, . . . .
Понятно, что Zd+ =
⋃∞
j=0 Zj,d. Отметим также, что ]Yj,d = 2jd и ]Zj,d = (2d − 1)2(j−1)d � 2jd.
Итак, определим систему функций с d переменными
Hd
0 = {hk̄}k̄∈Zd+ :=
∞⋃
j=0
{hk̄}k̄∈Zj,d ,
положив
h0 =
d⊗
i=1
h0
и для k̄ ∈ Zj,d, j = 1, 2, . . . ,
hk̄ =
⊗
i∈E
hki ⊗
⊗
i∈T\E
|h2j−1+ki |,
где E = {i ∈ T : 2j−1 ≤ ki < 2j}, причем если E = T, то полагаем hk̄ =
⊗
i∈T hki .
Понятно, что Hd
0 = Hd
0, т. е. множества {hk̄}k̄∈Zd+ и Hd
0 совпадают. Более того, между
индексацией двоичными кубами из Qj функций множества Hd
0 и индексацией векторами
из Zj,d функций множества Hd
0 устанавливается взаимно однозначное соответствие так, что
{hI}I∈Qj = {hk̄}k̄∈Zj,d , j = 1, 2, . . . . Множество индексов k̄ ∈ Zj,d функций hk̄ ∈ H(j, l)
обозначим через Zj,d(l).
Упорядочим векторы k̄ = (k1, . . . , kd) множества Zd+, расположив их в виде последователь-
ности k̄(1), k̄(2), . . . , k̄(m), . . . так, что k̄(1) = (0, 0, . . . , 0) ∈ Zd+ и для i = 2, 3, . . .
max
{
k̄
(i)
j : j = 1, d
}
≤ max
{
k̄
(i+1)
j : j = 1, d
}
.
Соответствующую такому упорядочиванию последовательность
(
hk̄(i)
)∞
i=1
функций системы
Hd
0 обозначим через Hd.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И ЕГО СВОЙСТВА 1257
Заметим, что в таком случае, если для некоторого номера i выполняется неравенство
]Zj−1,d < i ≤ ]Zj,d с j ∈ N, то k̄(i) = k̄ для некоторого k̄ ∈ Zj,d, и если k̄ ∈ Yn,d, то при
некотором 1 ≤ i ≤ ]Yn,d будет k̄ = k̄(i) и k̄(i) ∈ Yn,d.
Теперь, занумеровав функции системы Hd согласно соответствию k̄(i) → i, будем писать
Hd = (hi)
∞
i=1.
В заключение этого пункта отметим, что упомянутая во введении кратная система функ-
ций Хаара Hd определяется как тензорное произведение базисных систем Хаара функций
одной переменной с соответствующей индексацией функций параллелепипедами множества
Dd двоичного разбиения куба Id :
Hd =
d⊗
i=1
H = {HI}I∈Dd .
Таким образом, для заданных j = (j1, . . . , jd) ∈ Zd+ и s = (s1, . . . , sd), sk = 0, . . . , 2jk−1 − 1,
k = 1, d, а также I =
∏d
k=1
Iskjk , I
sk
jk
∈ Djk , k = 1, d, полагаем
HI(x1, . . . , xd) :=
d∏
k=1
HI
sk
jk
(xk).
Изучению свойств системы Hd, d ≥ 2, в большей мере касательно задач нелинейной
аппроксимации функций, посвящены недавние работы В. Н. Темлякова и других авторов, а
исходящей является работа В. Н. Темлякова [5].
Отметим, что a priori в случае d = 1 системы H1 и H1
0 := H совпадают.
2. Представление частных сумм Фурье – Хаара. В силу определения ортонормированной
в L2(Id) системы Hd
0 = {hk̄}k̄∈Zd+ любая функция f ∈ L1(Id) разлагается в ряд Фурье – Хаара
f(x) ∼
∑
k̄∈Zd+
(f, hk̄)hk̄(x),
где (f, hk̄) =
∫
Id
f(x)hk̄(x)dx, k̄ ∈ Zd+, — коэффициенты Фурье – Хаара функции f.
Через Pn обозначим оператор Pn : L1 → Vn ортогонального проектирования пространства
L1(Id) на подпространство
Vn := span
{
hk̄, k̄ ∈ Yn,d
}
=
u : u =
∑
k̄∈Yn,d
ck̄hk̄, ck̄ ∈ R
,
т. е.
Pnf(x) =
∑
k̄∈Yn,d
(f, hk̄) hk̄(x), f ∈ L1(Id).
Функции Pnf(x), x ∈ Id, назовем полиэдральными (кубическими) суммами Фурье – Хаара
функции f.
Утверждение 1. Для любой функции f ∈ L1(Id) и n ∈ Z+ справедливо представление
Pnf(x) =
1
|I|
∫
I
f(y)dy, x ∈ I, (2)
где I ∈ Qn+1, т. е. I — двоичный куб, I ⊂ Id, vol I = 2−nd.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1258 В. С. РОМАНЮК
Доказательство. В случае d = 1 доказательство утверждения 1 можно найти в [6, c. 78 –
80] (гл. 3, §1).При d > 1 доказательство проводится аналогичными рассуждениями. Достаточно
лишь заметить, что для каждого n ∈ Z+, f ∈ L1(Id) и I ∈ Qn+1 для функции
mn(f ;x) :=
1
|I|
∫
I
f(x)dx, x ∈ I,
mn(f ;x) = 0, x ∈ Id\I,
для любых I ∈ Q и x ∈ I так же, как и в случае d = 1, выполняется равенство
Pnf(x) = Pn
(
mn(f ; ·)
)
(x) = mn(f ;x).
Замечание. Представлением (2) не отслеживаются значения функции Pnf(x) на „сетке”
двоичного разбиения куба Id, но для интересующих нас свойств функции Pnf(x) эти значения
не являются существенными.
3. Об одном свойстве системы Hd
0. Сформулируем и докажем важное вспомогательное
утверждение об оценке Lp-нормы элементов пространства Wj := span{hk̄; k̄ ∈ Zj,d}, j ∈ N.
Лемма 1. Для любой системы действительных чисел {ak̄}k̄∈Zj,d , j = 1, 2, . . . , имеют мес-
то соотношения ∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Zj,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥
p
� 2
−j
(
d
p−
d
2
) ∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|p
1
p
, 1 ≤ p <∞, (3)
и ∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Zj,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥
∞
� 2
jd
2 max
k̄∈Zj,d
|ak̄|. (4)
Доказательство. Установим вначале (3) со знаком�. Зафиксировав j, разобьем множество
индексов Zj,d на непересекающиеся подмножества Zj,d(l) согласно процедуре, установленной
в п. 1.
Таким образом,
Zj,d(l
(1)
) ∩ Zj,d(l
(2)
) = ∅ при l
(1) 6= l
(2)
и
Zj,d =
⋃
l∈Yj−1,d
Zj,d(l),
а также
{hk̄}k̄∈Zj,d =
⋃
l∈Yj−1,d
H(j; l).
С другой стороны, учитывая, что card H(j; l) = 2d − 1 для любого l ∈ Yj−1,d, разобьем
множество {hk̄}k̄∈Zj,d на 2d − 1 непересекающихся подмножеств H(i)
j , i = 1, 2, . . . , 2d − 1, так,
что каждая функция hk̄ ∈ H(j; l), l ∈ Yj−1,d, отнесена ровно к одному из множеств H(i)
j и,
таким образом, {hk̄}k̄∈Zj,d =
⋃2d−1
i=1
H(i)
j .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И ЕГО СВОЙСТВА 1259
Понятно, что card H(i)
j = ]Yj−1,d = 2(j−1)d при любом i = 1, . . . , 2d − 1 и supphk̄(1) ∩
∩ supphk̄(2) = ∅, если hk̄(1), hk̄(2) ∈ H
(i)
j (при некотором i = 1, . . . , 2d − 1) и k̄(1) 6= k̄(2).
Обозначим через Z(i)
j,d множество индексов (векторов) k̄ таких, что функция hk̄ принадлежит
множеству H(i)
j (тогда ]Z(i)
j,d = 2(j−1)d).
Заметим сначала, что непосредственными вычислениями легко показать, что при j =
= 1, 2, . . . и l ∈ Yj−1,d
‖hk̄‖p = |I lj |1/p−1/2 = 2−jd(1/p−1/2), k̄ ∈ Zj,d, 1 ≤ p ≤ ∞. (5)
Тогда, используя неравенство (a+ b)p ≤ 2p−1(ap + bp), a, b > 0, 1 ≤ p <∞, имеем∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Zj,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥
p
p
=
∥∥∥∥∥∥∥
2d−1∑
i=1
∑
k̄∈Z(i)
j,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥∥
p
p
=
=
∫
Id
∣∣∣∣∣∣∣
2d−1∑
i=1
∑
k̄∈Z(i)
j,d
ak̄hk̄
∣∣∣∣∣∣∣
p
dx ≤ C(p, d)
2d−1∑
i=1
∫
Id
∣∣∣∣∣∣∣
∑
k̄∈Z(i)
j,d
ak̄hk̄
∣∣∣∣∣∣∣
p
dx =
= C(p, d)
2d−1∑
i=1
∥∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Z(i)
j,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥∥
p
p
= C(p, d)
2d−1∑
i=1
∑
k̄∈Z(i)
j,d
|ak̄|p‖hk̄‖pp =
= C(p, d)
2d−1∑
i=1
2−jd(1/p−1/2)p
∑
k̄∈Z(i)
j,d
|ak̄|p = C(p, d)2−jd(1/p−1/2)p
∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|p,
откуда следует оценка сверху в (3).
Оценка снизу в соотношении (3) в случае p = 2 является тривиальным следствием орто-
нормированности системы {hk̄}k̄∈Zd+ в L2(Id). Более того, справедливо равенство∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Zj,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥
2
2
=
∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|2. (6)
Докажем оценку снизу в (3) для произвольного 1 ≤ p <∞.
Поскольку Hd = (hi)
∞
i=1 — упорядоченная согласно п. 1 последовательность функций из
Hd
0 = {hk̄}k̄∈Zd+ — является базисом в пространствах Lp(Id), 1 ≤ p <∞ (см. теорему 1), на
основании утверждения из [7] существует 0 < α < 1 такое, что для любой совокупности дейст-
вительных чисел {ck}n+m
k=1 , n, m = 1, 2, . . . , имеет место неравенство∥∥∥∥∥
n+m∑
k=1
ckhk
∥∥∥∥∥
p
≥ α
∥∥∥∥∥
n∑
k=1
ckhk
∥∥∥∥∥
p
(7)
(при p = 2, очевидно, α = 1). В свою очередь (7), по аналогии с тем, как установлено в
[4, c. 261, 262] (§2) для случая d = 1, влечет неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1260 В. С. РОМАНЮК∥∥∥∥∥
n+m∑
k=1
ckhk
∥∥∥∥∥
p
≥
(
1 +
1
α
)−1
∥∥∥∥∥
n+m∑
k=n+1
ckhk
∥∥∥∥∥
p
. (8)
Действительно, в силу неравенства (7) при 1 ≤ p <∞∥∥∥∥∥
n+m∑
k=1
ckhk
∥∥∥∥∥
p
≥
∥∥∥∥∥
n+m∑
k=n+1
ckhk
∥∥∥∥∥
p
−
∥∥∥∥∥
n∑
k=1
ckhk
∥∥∥∥∥
p
≥
∥∥∥∥∥
n+m∑
k=n+1
ckhk
∥∥∥∥∥
p
− 1
α
∥∥∥∥∥
n+m∑
k=1
ckhk
∥∥∥∥∥
p
,
откуда и следует (8).
Из неравенств (7) и (8) следует, в частности, что для некоторой постоянной γ > 0∥∥∥∥∥
m∑
k=n
ckhk
∥∥∥∥∥
p
≤ γ
∥∥∥∥∥
M∑
k=l
ckhk
∥∥∥∥∥
p
(9)
для любых натуральных n, m, l и M, связанных соотношением l ≤ n < m ≤M.
Используя мультииндексную (векторную) нумерацию функций базиса Hd, т. е. систему Hd
0,
на основании (9) можем записать
max
1≤i≤2d−1
∥∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Z(i)
j,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥∥
p
≤
∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Zj,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥
p
. (10)
Но при доказательстве оценки сверху в лемме 1 показано, что при любом i, 1 ≤ i ≤ 2d − 1,∥∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Z(i)
j,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥∥
p
= 2
−jd
(
1
p−
1
2
) ∑
k̄∈Z(i)
j,d
|ak̄|p
1
p
.
Поэтому, воспользовавшись этим равенством, а также неравенством (10), получим∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Zj,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥
p
p
≥ 1
(2d − 1)γp
2d−1∑
i=1
∥∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Z(i)
j,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥∥
p
p
= C(d, p)2
−jd
(
1
p−
1
2
)
p ∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|p,
т. е. искомую оценку снизу в соотношении (3).
Для завершения доказательства леммы 1 достаточно заметить, что соотношение (4), которое
в ней содержится, является простым следствием равенства (5).
Заметим, что в случае 1 < p < 2 оценку снизу в соотношении (3) можно получить из
других соображений, используя только неравенство Гельдера ‖f‖22 ≤ ‖f‖p · ‖f‖p′ ,
1
p
+
1
p′
= 1,
f ∈ Lp(Id), равенство (5) и оценку сверху в (3) для показателя суммируемости p′. А именно,
для f =
∑
k̄∈Zj,d
ak̄hk̄∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Zj,d
ak̄hk̄
∥∥∥∥∥∥
p
≥ ‖f‖
2
2
‖f‖p′
�
∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|2
2
−j
(
d
p′−
d
2
) (∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|p
′
)1/p′
=: P.
Значит, если 1 < p < 2, то 2 < p′ <∞, и согласно известным неравенствам
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И ЕГО СВОЙСТВА 1261
(
N∑
s=1
|bs|γ
)1/γ
≤
(
N∑
s=1
|bs|µ
)1/µ
, (11)
(
1
N
N∑
s=1
|bs|γ
)1/γ
≥
(
1
N
N∑
s=1
|bs|µ
)1/µ
, (12)
где b = {bs}Ns=1 — произвольная система действительных чисел и 1 ≤ µ < γ <∞, имеем
∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|2 ≥
∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|p
2/p
· 2−jd(1/p−1/2)·2
и ∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|p
′
1/p′
≤
∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|p
1/p
.
В таком случае справедлива оценка
P ≥ 2−2jd(1/p−1/2)
∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|p
2/p/2jd(1/2−1/p′)
∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|p
1/p
≥
≥ C(d, p)2−jd(1/p−1/2)
∑
k̄∈Zj,d
|ak̄|p
1/p
.
4. О некоторых свойствах оператора Pn и элементов подпространства Vn.
Лемма 2. Для любой функции f ∈ Lp(Id), 1 ≤ p ≤ ∞ и n ∈ Z+, выполняются неравенства
‖Pnf‖p ≤ C1(d, p)‖f‖p, (13)
‖f − Pnf‖p ≤ C2(d, p)ω(f ; 2−n)p, (14)
а для f ∈ Vn
ω(f ; δ)p ≤ C(d, p)
(
min{δ2n; 1}
)1/p‖f‖p. (15)
Доказательство. Установление неравенства (14) проводится по схеме доказательства этого
неравенства в случае d = 1 (см. [6, с. 81 – 83], теорема 2 для p =∞ и теорема 3 для 1 ≤ p <∞)
с использованием утверждения 1. Подробное изложение мы опускаем.
Неравенство (13) является простым следствием неравенства (14). Действительно, учитывая,
что для любого f ∈ Lp(Id) и 0 ≤ δ ≤ 1, очевидно, ω(f ; δ)p ≤ 2‖f‖p, имеем
‖Pnf‖p = ‖f − (f − Pnf)‖p ≤ ‖f‖p + ‖f − Pnf‖p ≤
≤ ‖f‖p + C2(d, p)ω(f ; 2−n)p ≤
(
1 + 2C2(d, p)
)
‖f‖p = C1(d, p)‖f‖p.
Переходя к доказательству (15), напомним определение ω(f ; t)p. Если f ∈ Lp(Id), 1 ≤ p ≤
≤ ∞, и λ = (λ1, . . . , λd) ∈ R+, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1262 В. С. РОМАНЮК
ω(f ; t)p := sup
0≤λi<t≤1
i=1,d
‖∆λ(f ; ·)‖L(Idλ),
где Idλ =
∏d
i=1
[0; 1− λi] и ∆λ(f ;x) = f(x+ λ)− f(x) при x, x+ λ ∈ Id.
Неравенство ω(f ; δ)p ≤ C‖f‖p с постоянной C = 2, как было отмечено выше, выполняется
равномерно по всем 0 ≤ δ ≤ 1 для любой функции f ∈ Lp(Id) и, в частности, для f ∈ Vn. Его
можно уточнить для f ∈ Vn и 0 < δ < 2−n при n = 1, 2, . . . .
В самом деле, пусть j ∈ N, задано δ, 0 < δ < 2−j и 0 ≤ λi < δ, i = 1, d. Рассмотрим
разность ∆λ(hk̄;x) = hk̄(x + λ) − hk̄(x), k̄ ∈ Zj,d, x ∈ Idλ. С учетом того, что supp hk̄ ∈ Qj
при k̄ ∈ Zj,d, а точнее, supp hk̄ = Is
∗
j при некотором s∗ = (s∗1, . . . , s
∗
d), 0 ≤ s∗i < 2j−1, i = 1, d,
и |Is∗j | = 2(−j+1)d, легко заметить, что в силу определения функции hk̄, k̄ ∈ Zj,d, разность
∆λ(hk̄;x) отлична от нуля лишь на некотором множестве Σ(λ) ⊂ Idλ∩Is
∗
j объемом |Σ(λ)| ≤ Cδd,
C > 0. Поэтому, учитывая также, что в силу неравенства |a± b|p ≤ 2p−1(|a|p + |b|p), a, b ∈ R,
1 ≤ p <∞, будет
|∆λ(hk̄ ;x)|p ≤ 2p|hk̄(x)|p, x ∈ Σ(λ), (16)
выводим соотношение
‖∆λ(hk̄ ; ·)‖p
Lp(Idλ)
=
∫
Idλ
|hk̄(x+ λ)− hk̄(x)|pdx =
=
∫
Σ(λ)
|hk̄(x+ λ)− hk̄(x)|pdx < |Σ(λ)| max
x∈Σ(λ)
|∆λ(hk̄ ;x)|p ≤
≤ Cδd2p(2jd)
p
2 = C(p)δd · 2jd ·
(
2
−jd
(
1
p−
1
2
))p
≤ C3(d, p)δ · 2j‖hk̄‖pp.
Отметим также очевидное равенство ‖∆λ(h0 ; ·)‖Lp(Idλ) = 0.
Далее, для f ∈ Vn
(
т. е. f(x) =
∑
k̄∈Yn,d
ck̄hk̄(x) =
∑n
j=0
∑
k̄∈Zj,d
ck̄hk̄(x), ck̄ ∈ R
)
и
0 < δ < 2−n, n ∈ N, с помощью рассуждений, использованных при доказательстве леммы 1, а
также с учетом (16) и (9) получаем
‖∆λ(f ; ·)‖Lp(Idλ) ≤
n∑
j=0
∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Zj,d
ck̄∆λ(hk̄ ; ·)
∥∥∥∥∥∥
Lp(Idλ)
≤
≤ C4(d, p)
n∑
j=1
(δ2j)1/p · 2−jd( 1
p
− 1
2
)
∑
k̄∈Zj,d
|ck̄|p
1/p
≤
≤ C5(d, p)
n∑
j=1
(δ2j)1/p
∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Zj,d
ck̄hk̄
∥∥∥∥∥∥
p
≤ C6(d, p)
n∑
j=1
(δ2j)1/p
∥∥∥∥∥∥
∑
k̄∈Yn,d
ck̄hk̄
∥∥∥∥∥∥
p
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И ЕГО СВОЙСТВА 1263
≤ C7(d, p)
n∑
j=1
(δ2j)1/p · ‖f‖p ≤ C(d, p)(δ2n)1/p‖f‖p. (17)
Из определения ω(f ; δ)p с учетом (17) приходим к неравенству (15).
Лемма 2 доказана.
Неравенства (13) и (14) допускают распространение на случай более общих, чем Pn, опе-
раторов. Для произвольного множества Ω ⊂ Zd+ такого, что Yn,d ⊂ Ω ⊂ Yn+1,d, определим
операторы PΩ
n , n ∈ Z+, действующие по формуле
PΩ
n f(x) =
∑
k̄∈Ω
(f, hk̄)hk̄(x), x ∈ Id.
Обозначим S :=
⋃
k̄∈Ω∩Zn+1,d
supp hk̄, где, напомним, Zn+1,d = Yn+1,d \ Yn,d. Тогда
PΩ
n f(x) =
Pn+1f(x), x ∈ S,
Pnf(x), x ∈ Id \ S.
С учетом свойств модуля непрерывности ω(f, t)p, f ∈ Lp(Id), 1 ≤ p ≤ ∞, из (14) получаем
‖f − PΩ
n f‖pp =
∫
Id
|f(x)− PΩ
n f(x)|pdx ≤
≤
∫
S
|f(x)− Pn+1f(x)|pdx+
∫
Id\S
|f(x)− Pnf(x)|pdx ≤
≤
∫
Id
|f(x)− Pn+1f(x)|pdx+
∫
Id
|f(x)− Pnf(x)|pdx ≤
≤ C8(d, p)
(
ωp(f, 2−n−1)p + ωp(f, 2−n)p
)
≤ C9(d, p)ωp(f, 2−n)p
при Yn,d ⊂ Ω ⊂ Yn+1,d, n ∈ N, т. е.
‖f − PΩ
n f‖p ≤ C10(d, p)ω(f, 2−n)p. (18)
Как следствие (18) получаем также более общее, чем (13), неравенство
‖PΩ
n f‖p ≤ C11(d, p)‖f‖p. (19)
5. О базисности системы Hd
0 в пространстве Lp(Id), 1 ≤ p <∞. Результаты предыду-
щих пунктов позволяют сформулировать и доказать основное утверждение о системе Hd
0.
Рассмотрим систему Hd
0 = {hk̄}k̄∈Zd+ и пусть Hd = (hi)
∞
i=1 — упорядоченная согласно п. 1
последовательность функций из Hd
0. Определим операторы Rj : L1(Id) −→Wj , где, напомним,
Wj := span{hk̄; k̄ ∈ Zj,d}, j = 0, 1, . . . , соотношением Rjf(x) =
∑
k̄∈Zj,d
(f ;hk̄)hk̄(x),
f ∈ L1(Id).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1264 В. С. РОМАНЮК
Теорема 1. Для любой функции f ∈ Lp(Id), 1 ≤ p ≤ ∞, справедливо разложение Фурье –
Хаара
f(x) =
∞∑
j=0
Rjf(x), (20)
сходящееся в пространстве Lp(Id). Последовательность Hd = (hi)
∞
i=1 является базисом Шау-
дера в Lp(Id), 1 ≤ p <∞.
Доказательство. Для доказательства второй части теоремы достаточно проверить для Hd
выполнение критерия базисности заданной последовательности элементов банахова простран-
ства (см. [6, с. 19], теорема 6).
Во-первых, ортонормированная в L2(Id) система Hd, согласно неравенству (14) (а точнее,
неравенству (18)), полна в Lp(Id), 1 ≤ p <∞. Во-вторых, система Hd минимальна в этих
пространствах, так как для нее справедлив аналог для d > 1 утверждения 4 из [6, c. 16].
Наконец, учитывая, что для системы Hd выполняется неравенство (19), согласно критерию
базисности заключаем, что Hd — базис в Lp(Id). Как следствие имеет место представление (20)
при 1 ≤ p <∞. Справедливость (20) при p =∞ (и при 1 ≤ p <∞) следует непосредственно
из неравенства (14).
В заключение отметим, что настоящая статья подготовлена за частью результатов, вошед-
ших в предварительную публикацию [8].
1. Haar A. Zur Theorie der ortohogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. – 1910. – 69. – S. 331 – 371.
2. Chauder I. S. Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems // Math. Z. – 1928. – 28. – S. 317 – 320.
3. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Мат. сб. – 1964. – 63, № 3. – С. 357 – 391.
4. Голубов Б. И. Наилучшие приближения функций в метрике Lq полиномами Хаара и Уолша // Мат. сб. – 1972. –
87, № 2. – С. 254 – 274.
5. Temlyakov V. N. The best m-term approximation and greedy algorithms // Adv. Comput. Math. – 1998. – 8, № 3. –
P. 249 – 265.
6. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 495 с.
7. Гринблюм М. М. Некоторые теоремы о базисе в пространстве типа B // Докл. АН СССР. – 1941. – 31. –
С. 428 – 432.
8. Романюк В. С. Базисная система Хаара функций многих переменных и ее аппроксимационные свойства на
классах Бесова и их аналогах. – Киев, 2012. – 44 с. – (Препринт/ НАН Украины. Ин-т математики; 2012.2).
Получено 27.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2063 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:17:59Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/41/689e95b2cf0c22a25bab15f446307341.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20632019-12-05T09:49:43Z Multiple Haar Basis and its Properties Кратный базис Хаара и его свойства Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. In the Lebesgue spaces $L_p ([0, 1]^d ), 1 ≤ p ≤ ∞$, for $d ≥ 2$, we define a multiple basis system of functions $H^d = (h_n )_{n = 1}^{∞}$. This system has the main properties of the well-known one-dimensional Haar basis $H$. In particular, it is shown that the system $H^d$ is a Schauder basis in the spaces $L_p ([0, 1]^d ),\; 1 ≤ p У просторах Лебега $L_p ([0, 1]^d ), 1 ≤ p ≤ ∞$, при $d ≥ 2$ означено кратну базисну систему функцій $H^d = (h_n )_{n = 1}^{∞}$, що наділена основними властивостями відомого одновимірного базису Хаара $H$. Зокрема, доведено, що система $H^d$ є базисом Шаудера у просторах $L_p ([0, 1]^d ),\; 1 ≤ p Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2063 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 9 (2015); 1253–1264 Український математичний журнал; Том 67 № 9 (2015); 1253–1264 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2063/1142 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2063/1143 Copyright (c) 2015 Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Multiple Haar Basis and its Properties |
| title | Multiple Haar Basis and its Properties |
| title_alt | Кратный базис Хаара и его свойства |
| title_full | Multiple Haar Basis and its Properties |
| title_fullStr | Multiple Haar Basis and its Properties |
| title_full_unstemmed | Multiple Haar Basis and its Properties |
| title_short | Multiple Haar Basis and its Properties |
| title_sort | multiple haar basis and its properties |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2063 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukvs multiplehaarbasisanditsproperties AT romanûkvs multiplehaarbasisanditsproperties AT romanyukvs kratnyjbazishaaraiegosvojstva AT romanûkvs kratnyjbazishaaraiegosvojstva |