Construction of Lyapunov Functions in the Theory of Regular Linear Extensions of Dynamical Systems on a Torus
Lyapunov functions are considered in the form of linear combinations of quadratic forms. We study the conditions under which the linear extensions of dynamic systems on a torus are regular.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2072 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507995328217088 |
|---|---|
| author | Kulik, V. L. Кулик, В. Л. |
| author_facet | Kulik, V. L. Кулик, В. Л. |
| author_sort | Kulik, V. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:57Z |
| description | Lyapunov functions are considered in the form of linear combinations of quadratic forms. We study the conditions under which the linear extensions of dynamic systems on a torus are regular. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В. Л. КУЛИК, 2015
1358 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
УДК 517.938
В. Л. Кулик (Сілез. техн. ун-т, Глівіце, Польща)
КОНСТРУКЦІЇ ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА В ТЕОРІЇ РЕГУЛЯРНИХ
ЛІНІЙНИХ РОЗШИРЕНЬ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ НА ТОРІ
Lyapunov functions are considered in the form of linear combinations of quadratic forms. The conditions under which the
linear extensions of dynamic systems on a torus are regular are investigated.
Рассматриваются функции Ляпунова в виде линейной комбинации квадратичных форм. Исследуются условия регу-
лярности линейных расширений динамических систем на торе.
Розглянемо систему диференціальних рівнянь
dφ
dt
= a φ( ) , dx
dt
= A φ( ) x , (1)
де φ = φ1, φ2, ..., φm( ) , x ∈Rn , функція a φ( ) неперервна і 2π-періодична по кожній змінній
φ j , j = 1,m . Ця функція може бути скалярною при m = 1 і векторною при m ≥ 2 . Матриця
A φ( ) є (n × n) -вимірною, елементи її — дійсні функції, неперервні за сукупністю всіх
змінних φ = φ1, φ2, ..., φm( ) і 2π-періодичні по кожній змінній φ j , j = 1,m . Відносно
функції a φ( ) додатково припускається, що задача Коші dφ/dt = a φ( ) , φ t=0 = φ0 має єди-
ний розв’язок при кожному фіксованому значенні φ0 = φ10, φ20,…, φm0( ) . Для цього, оче-
видно, досить припустити, що функція a φ( ) задовольняє умову Ліпшиця.
Одне з основних і важливих питань, яке виникає при дослідженні системи (1), — це пи-
тання існування функції Гріна – Самойленка G0 τ, φ( ). Цьому питанню присвячено низку
наукових досліджень (див., наприклад, 1− 6[ ]). Ефективним методом дослідження питання
існування як єдиної, так і неєдиної функції Гріна – Самойленка з експоненціальною оцінкою
G0 τ, φ( ) ≤ K exp −γ τ{ }, K , γ = const > 0 , виявився метод функцій Ляпунова. Відомо [4,
с. 125], що якщо існує квадратична форма V = S φ( ) x, x така, що її похідна в силу систе-
ми (1) є додатно визначеною:
!V = ∂S φ( )
∂φ j
a j φ( ) + S φ( ) A φ( ) + AT φ( ) S φ( )
j=1
m
∑
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
x, x ≥ x 2 (2)
і при цьому det S φ( ) ≠ 0 ∀φ ∈Tm , то система (1) є регулярною, тобто має єдину функцію
Гріна – Самойленка. Якщо ж det S φ0( ) = 0 при деякому значенні φ = φ0 , то система (1) не
має функції Гріна – Самойленка.
Якщо розглянути частинний випадок системи (1):
КОНСТРУКЦІЇ ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА В ТЕОРІЇ РЕГУЛЯРНИХ ЛІНІЙНИХ РОЗШИРЕНЬ … 1359
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
dφ
dt
= a φ( ), d
dt
x1
x2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
P φ( ) 0
I −PT φ( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
x1
x2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ,
то легко переконатися в тому, що при будь-якій матриці P φ( ) похідна в силу цієї системи
невиродженої квадратичної форми V = x1, x2 є невід’ємною: !V = x1
2 . Очевидно, наведе-
на система при P φ( ) = 0 не має функції Гріна – Самойленка, а при P φ( ) = I має єдину таку
функцію. Звідси випливає такий висновок: якщо похідна деякої невиродженої квадратичної
форми V = S1 φ( ) x, x в силу системи (1) задовольняє нерівності
∂S1 φ( )
∂φ j
a j φ( ) + S1 φ( ) A φ( ) + AT φ( ) S1 φ( )
j=1
m
∑
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
x, x ≥ 0 ,
то про існування функції Гріна – Самойленка системи (1) нічого сказати не можна.
В даній статті пропонується вибирати квадратичні форми у вигляді в’язки певних квадра-
тичних форм V = V0 + p1V1 + p2V2 . При цьому з'являється можливість так змінювати пара-
метри p1 , p2 , щоб похідна в силу системи (1) від квадратичної форми V була додатно визна-
ченою.
Ми доведемо дві теореми, які можуть бути початком нового напрямку використання функ-
цій Ляпунова у вигляді в’язок квадратичних форм при дослідженні тороїдальних многовидів.
Припустимо, що система диференціальних рівнянь (1) записується у вигляді
dx1
dt
= A11 φ( ) x1 + A12 φ( ) x2 + A13 φ( ) x3 ,
dφ
dt
= a φ( ) , dx2
dt
= A21 φ( ) x1 + A22 φ( ) x2 + A23 φ( ) x3 , (3)
dx3
dt
= A31 φ( ) x1 + A32 φ( ) x2 + A33 φ( ) x3 ,
де xi ∈Rni , n1 + n2 + n3 = n , і існує невироджена (n × n) -вимірна матриця S1 φ( ) ∈C1 Tm( ) ,
для якої виконується нерівність
∂S1 φ( )
∂φ j
a j φ( ) + S1 φ( ) A φ( ) + AT φ( ) S1 φ( )
j=1
m
∑
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
x, x ≥ x1
2 . (4)
Тепер позначимо
 φ( ) =
A22 φ( ) A23 φ( )
A32 φ( ) A33 φ( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
, x̂ =
x2
x3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
(5)
1360 В. Л. КУЛИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
і із системи (3) виділимо підсистему
dφ
dt
= a φ( ) , dx̂
dt
= Â φ( ) x̂ . (6)
Припустимо, що існує симетрична n2 + n3( ) × n2 + n3( )( )-вимірна матриця Ŝ φ( ) ∈C1 Tm( ) ,
яка задовольняє нерівнiсть
∂Ŝ φ( )
∂φ
a φ( ) + Ŝ φ( ) Â φ( ) + ÂT φ( ) Ŝ φ( )⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ x̂, x̂ ≥ x2
2 . (7)
Далі із системи (3) виділимо підсистему
dφ
dt
= a φ( ) , dx3
dt
= A33 φ( ) x3 (8)
і припустимо, що для неї існує квадратична форма V3 = S33 φ( ) x3, x3 з симетричною
(n3 × n3) -вимірною матрицею S33 φ( ) ∈C1 Tm( ) , похідна якої в силу системи (8) буде додат-
но визначеною:
∂S33 φ( )
∂φ
a φ( ) + S33 φ( ) A33 φ( ) + A33T φ( ) S33 φ( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
x3, x3 ≥ x3
2 . (9)
Виявилося, що при умовах (4), (7), (9) можна гарантувати регулярність системи (4). Має
місце таке твердження.
Теорема 1. Нехай існують симетричні матриці S1 φ( ) , Ŝ φ( ) , S33 φ( ) ∈C1 Tm( ) роз-
мірів n × n , n2 + n3( ) × n2 + n3( ) , n3 × n3 відповідно, які задовольняють умови (4), (7), (9)
і при цьому det S1 φ( ) ≠ 0 ∀φ ∈Tm . Тоді система (3) має єдину функцію Гріна – Самойлен-
ка, причому похідна в силу системи (3) невиродженої квадратичної форми
V x, φ; p1, p2( ) = p1 S1 φ( ) x, x + p2 Ŝ φ( ) x̂, x̂ + S33 φ( ) x3, x3 (10)
при достатньо великих значеннях параметрів p1 > p2 > 0 буде додатно визначеною.
Доведення. Запишемо квадратичну форму з одним параметром p2 у вигляді
V2 = p2 Ŝ φ( ) x̂, x̂ + S33 φ( ) x3, x3 =
= p2Ŝ φ( ) +
0 0
0 S33 φ( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
x̂, x̂ = S φ; p2( ) x̂, x̂ (11)
і покажемо, що її похідна в силу виділеної підсистеми (6) буде додатно визначеною при ви-
борі достатньо великих значень параметра p2 > 0 . Маємо
КОНСТРУКЦІЇ ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА В ТЕОРІЇ РЕГУЛЯРНИХ ЛІНІЙНИХ РОЗШИРЕНЬ … 1361
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
!V2 = p2
∂Ŝ φ( )
∂φ
a φ( ) x̂, x̂ + 2p2 Ŝ φ( ) x̂, Â φ( ) x̂ + ∂S33 φ( )
∂φ
a φ( ) x3, x3 +
+2 S33 φ( ) x3, A32 φ( ) x2 + A33 φ( ) x3 ≥ p2 x2
2 − 2 S33A32 0 x2 x3 + x3
2 .
Звідси видно, що якщо вибрати p2 > S33A32 0
2 = maxφ∈Tm S33 φ( ) A32 φ( ) 2 , то похідна
!V2
буде додатно визначенoю:
!V2 ≥
p2 − S33A32 0
2
p2 +1
x2
2 + x3
2( ) = γ p2( ) x̂ 2 . (12)
Тепер квадратичну форму (10) запишемо у вигляді
V = p1 S1 φ( ) x, x +V2 = p1 S1 φ( ) x, x + S φ; p2( ) x̂, x̂
і, врахувавши нерівності (4), (12), оцінимо її похідну в силу системи (3). Маємо
!V = p1
∂S1 φ( )
∂φ
a φ( ) x, x + 2p1 S1 φ( ) x, A φ( ) x +
+ ∂S φ; p1( )
∂φ
a φ( ) x̂, x̂ + 2 S φ; p2( ) x̂, Â21 φ( ) x1 + Â φ( ) x̂ ≥
≥ p1 x1
2 − 2 p2L2 + L3( ) x1 x̂ + γ p2( ) x̂ 2 , (13)
де
L2 = maxφ∈Tm
Ŝ φ( ) Â21 φ( ) , L3 = maxφ∈Tm
S33 φ( ) A31 φ( ) , Â21 φ( ) =
A21 φ( )
A31 φ( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
,
γ p2( ) = p2 − L12
p2 +1
, L1 = maxφ∈Tm
S33 φ( ) A32 φ( ) .
З нерівності (13) випливає
!V ≥ p1γ p2( ) − p2L2 + L3( )2
p1 + γ p2( ) x1
2 + x̂ 2( ) =
=
p1 p2 − L12( ) − p2 +1( ) p2L2 + L3( )2
p1 p2 +1( ) + p2 − L12
x 2 = γ p1, p2( ) x 2 .
1362 В. Л. КУЛИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
Оскільки lim p1→∞ γ p1, p2( ) = γ p2( ) > 0 , то при достатньо великих значеннях параметрів
p1 > p2 > 0 похідна невиродженої квадратичної форми (10) в силу системи (3) буде додатно
визначеною. Звідси випливає, що система (3) буде регулярною.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. Нерівності (4), (7), (9) записуються у вигляді
!S1 φ( ) + S1 φ( ) A φ( ) + AT φ( ) S1 φ( )⎡⎣ ⎤⎦ x, x ≥ C1x
2 ,
!S2 φ( ) + S2 φ( ) A φ( ) + AT φ( ) S2 φ( )⎡⎣ ⎤⎦ C2 + C3( ) x, C2 + C3( ) x ≥ C2x
2 ,
!S3 φ( ) + S3 φ( ) A φ( ) + AT φ( ) S3 φ( )⎡⎣ ⎤⎦C3x,C3x ≥ C3x
2 ,
де
C1 = diag In1 , 0, 0{ } , C2 = diag 0, In2 , 0{ } , C3 = diag 0, 0, In3{ } ,
S3 φ( ) = 0, 0, S33 φ( ){ } , S2 φ( ) = diag 0, Ŝ φ( ){ } .
Виникає питання: якщо в наведених нерівностях матриці Ci не є сталими, а матриці
S2 φ( ) , S3 φ( ) не обов’язково є блоково-діагональними, то чи буде звідси випливати існуван-
ня квадратичної форми S φ( ) x, x такої, щоб її похідна в силу системи (3) була додатно
визначеною? Відповідь на це питання дає наступне твердження.
Теорема 2. Нехай система (1) така, що існують три (n × n) -вимірні симетричні мат-
риці S j φ( ) ∈C1 Tm( ) , j = 1, 2, 3 , які задовольняють нерівностi
∂S1 φ( )
∂φ
a φ( ) + S1 φ( ) A φ( ) + AT φ( ) S1 φ( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
x, x ≥ C1 φ( ) x 2 , (14)
∂S2 φ( )
∂φ
a φ( ) + S2 φ( ) A φ( ) + AT φ( ) S2 φ( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
C2 φ( ) + C3 φ( )( ) x,
C2 φ( ) + C3 φ( )( ) x ≥ C2 φ( ) x 2 , (15)
∂S3 φ( )
∂φ
a φ( ) + S3 φ( ) A φ( ) + AT φ( ) S3 φ( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
C3 φ( ) x,C3 φ( ) x ≥ C3 φ( ) x 2 (16)
при деяких неперервних матрицях C1 φ( ) , C2 φ( ) , C3 φ( ) ∈C0 Tm( ) , сума яких C φ( ) =
= C1 φ( ) + C2 φ( ) + C3 φ( ) має такі властивості:
detC φ( ) ≠ 0 ∀φ ∈Tm , C φ( )C1 φ( ) ≡ C1 φ( )C φ( ) . (17)
КОНСТРУКЦІЇ ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА В ТЕОРІЇ РЕГУЛЯРНИХ ЛІНІЙНИХ РОЗШИРЕНЬ … 1363
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
Тоді похідна від квадратичної форми
V = p1 S1 φ( ) x, x + p2 S2 φ( ) x, x + p3 S3 φ( ) x, x (18)
в силу системи (1) при деяких дійсних значеннях параметрів p j , j = 1, 2, 3 , буде додатно
визначеною:
!V ≥ x 2 .
Доведення. Розглянемо матрицю з дійсним додатним параметром λ ∈R+ : S φ; λ( ) =
= λS2 φ( ) + S3 φ( ) і покажемо, що при достатньо великих значеннях параметра λ > 0 для неї
виконується нерівність
∂S φ; λ( )
∂φ
a φ( ) + S φ; λ( ) A φ( ) + AT φ( ) S φ; λ( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
C2 φ( ) + C3 φ( )( ) x ,
C2 φ( ) + C3 φ( )( ) x ≥ γ λ( ) C2 φ( ) + C3 φ( )( ) x 2 , (19)
де
γ λ( ) = λ − K3 − K32
2 λ − K3 +1( ) > 0 ,
K3 = maxφ∈Tm
∂S3 φ( )
∂φ
a φ( ) + S3 φ( ) A φ( ) + AT φ( ) S3 φ( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
.
Дійсно, врахувавши умови (15), (16), оцінимо знизу ліву частину нерівності (19). Позна-
чаючи
!S = ∂S φ( )
∂φ
a φ( ) = ∂S φ( )
∂φ j
a j φ( )
j=1
m
∑ ,
отримуємо
λ !S2 + S2A + ATS2⎡⎣ ⎤⎦ C2 + C3( ) x, C2 + C3( ) x +
+ !S3 + S3A + ATS3⎡⎣ ⎤⎦ C2 + C3( ) x, C2 + C3( ) x ≥
≥ λ C2x
2 − K3 C2x
2 − 2K3 C2x C3x + C3x
2 ≥ γ λ( ) C2 + C3( ) x 2 .
Далі розглянемо симетричну матрицю з двома параметрами
S φ; λ1, λ( ) = λ1S1 φ( ) + λS2 φ( ) + S3 φ( )
і покажемо, що похідна !V в силу системи (1) квадратичної форми
1364 В. Л. КУЛИК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
V = S φ; λ1, λ( ) x, x = λ1 S1 φ( ) x, x + S φ; λ( ) x, x
при виборі достатньо великих значень параметрів λ1 , λ буде додатно визначеною. Oцінимо
цю похідну. Позначаючи S φ; λ( ) = S λ( ) , з урахуванням умов (14) – (17) маємо
!V = λ1 !S1 + S1A + ATS1( ) x, x + !S λ( ) + S λ( ) A + ATS λ( )( ) x, x ≥
≥ λ1 C1x
2 + !S λ( ) + S λ( ) A + ATS λ( )( ) C1 + C2 + C3( )C−1x, C1 + C2 + C3( )C−1x =
= λ1 C1x
2 + !S λ( ) + S λ( ) A + ATS λ( )( )C1C−1x,C1C−1x +
+2 !S λ( ) + S λ( ) A + ATS λ( )( )C1C−1x, C2 + C3( )C−1x +
+ !S λ( ) + S λ( ) A + ATS λ( )( ) C2 + C3( )C−1x, C2 + C3( )C−1x ≥
≥ λ1 C1x
2 − K λ( ) C1x 2 − 2K λ( ) C1x C2 + C3( ) x + γ λ( ) C2 + C3( ) x 2 ,
де
K λ( ) = λK2 + K3 ,
Ki = maxφ∈Tm
C−1 φ( )( )T !Si φ( ) + Si φ( ) A φ( ) + AT φ( ) Si φ( )⎡⎣ ⎤⎦C
−1 φ( ) , i = 2, 3 .
Розглядаючи відповідну квадратичну форму
Φ t1, t2( ) = λ1 − K λ( )( ) t12 − 2K λ( ) t1t2 + γ λ( ) t22 ,
легко отримуємо нерівність
Φ t1, t2( ) ≥ λ1 − K λ( )( ) γ λ( ) − K 2 λ( )
λ1 − K λ( ) + γ λ( ) t12 + t22( ) = γ λ1, λ( ) t12 + t22( ) ,
λ1 > K λ( ) + 1
γ λ( ) K
2 λ( ) .
Звідси випливає, що для похідної !V при достатньо великих значеннях λ1 > 0 виконується
нерівність
!V ≥ γ λ1, λ( ) C1x
2 + C2 + C3( ) x 2( ). Враховуючи очевидні нерівності
КОНСТРУКЦІЇ ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА В ТЕОРІЇ РЕГУЛЯРНИХ ЛІНІЙНИХ РОЗШИРЕНЬ … 1365
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
C1x
2 + C2 + C3( ) x 2 ≥ 1
2
Cx 2 ≥ 1
2 C−1
0
2 x 2 ,
маємо
!V ≥ γ λ1, λ( )
2 C−1
0
2 x 2 = γ λ1, λ( ) x 2 .
Тепер в сумі матриць (18) вибираємо p1 =
λ1
γ λ1, λ( ) , p2 =
λ
γ λ1, λ( ) , p3 =
1
γ λ1, λ( ) і отри-
муємо
!V ≥ x 2 .
Теорему 2 доведено.
Зауваження 2. Якщо в умовах теореми 2 тотожність (17) не виконується, то, хоча і
справджуються умови (14) – (16), немає гарантії існування квадратичної форми, яка б мала
знаковизначену похідну в силу системи (1).
1. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. – М.: Наука, 1987. – 302 с.
2. Самойленко А. М. О некоторых проблемах теории возмущений гладких инвариантных торов динамических
систем // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 12. – С. 1665 – 1699.
3. Самойленко А. М. К вопросу существования единственной функции Грина линейного расширения динамиче-
ской системы на торе // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 4. – С. 513 – 521.
4. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных систем дифферен-
циальных уравнений с помощью функций Ляпунова. – Киев: Наук. думка, 1990. – 270 с.
5. Бойчук А. А. Условие существования единственной функции Грина – Самойленко задачи об инвариантном
торе // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 4. – С. 556 – 559.
6. Кулик В., Степаненко Н. Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на
торі // Укр. мат. журн. – 2007. – 46, № 4. – С. 488 – 500.
Одержано 01.10.13,
після доопрацювання — 15.07.15
|
| id | umjimathkievua-article-2072 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:10Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2d/ffbb8c165c2484ef42a99f774f52272d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20722019-12-05T09:49:57Z Construction of Lyapunov Functions in the Theory of Regular Linear Extensions of Dynamical Systems on a Torus Конструкції функцій Ляпунова в теорії регулярних лінійних розширень динамічних систем на торі Kulik, V. L. Кулик, В. Л. Lyapunov functions are considered in the form of linear combinations of quadratic forms. We study the conditions under which the linear extensions of dynamic systems on a torus are regular. Рассматриваются функции Ляпунова в виде линейной комбинации квадратичных форм. Исследуются условия регулярности линейных расширений динамических систем на торе. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2072 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 10 (2015); 1358-1365 Український математичний журнал; Том 67 № 10 (2015); 1358-1365 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2072/1159 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2072/1160 Copyright (c) 2015 Kulik V. L. |
| spellingShingle | Kulik, V. L. Кулик, В. Л. Construction of Lyapunov Functions in the Theory of Regular Linear Extensions of Dynamical Systems on a Torus |
| title | Construction of Lyapunov Functions in the Theory of Regular Linear Extensions of Dynamical Systems on a Torus |
| title_alt | Конструкції функцій Ляпунова в теорії регулярних лінійних розширень динамічних систем на торі |
| title_full | Construction of Lyapunov Functions in the Theory of Regular Linear Extensions of Dynamical Systems on a Torus |
| title_fullStr | Construction of Lyapunov Functions in the Theory of Regular Linear Extensions of Dynamical Systems on a Torus |
| title_full_unstemmed | Construction of Lyapunov Functions in the Theory of Regular Linear Extensions of Dynamical Systems on a Torus |
| title_short | Construction of Lyapunov Functions in the Theory of Regular Linear Extensions of Dynamical Systems on a Torus |
| title_sort | construction of lyapunov functions in the theory of regular linear extensions of dynamical systems on a torus |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2072 |
| work_keys_str_mv | AT kulikvl constructionoflyapunovfunctionsinthetheoryofregularlinearextensionsofdynamicalsystemsonatorus AT kulikvl constructionoflyapunovfunctionsinthetheoryofregularlinearextensionsofdynamicalsystemsonatorus AT kulikvl konstrukcíífunkcíjlâpunovavteorííregulârnihlíníjnihrozširenʹdinamíčnihsistemnatorí AT kulikvl konstrukcíífunkcíjlâpunovavteorííregulârnihlíníjnihrozširenʹdinamíčnihsistemnatorí |