Jacobian and the Darboux Property
We present a simple proof of the Darboux property for the Jacobian of a differentiable mapping.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2079 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508005708070912 |
|---|---|
| author | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. |
| author_facet | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. |
| author_sort | Trohimchuk, Yu. Yu |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:49:57Z |
| description | We present a simple proof of the Darboux property for the Jacobian of a differentiable mapping. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Ю. Ю. Трохимчук (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ЯКОБИАН И СВОЙСТВО ДАРБУ
We present a simple proof of the Darboux property for the Jacobian of a differentiable mapping.
Наведено просте доведення властивостi Дарбу якобiана диференцiйовного вiдображення.
Пусть задано непрерывное отображение f : D → Rn(y) ограниченной области D(x) ⊂ Rn
1 .
Назовем его изолированным в точке x0 ∈ D, если некоторая ее окрестность U(x0) содержит
единственную точку x0 прообраза f−1f(x0), и изолированным в область D, если это имеет
место в каждой ее точке.
Далее, для изолированного отображения f рассмотрим соответствующую окрестностьU(x0)
произвольной точки x0 ∈ D и в ней (открытую) полиэдральную окрестность Q. Коэффициент
зацепления w{f(∂Q), f(x0)} [1] назовем локальной степенью отображения f в точке x0 и
будем обозначать ее через
γ(x0, f) = γ(x0).
Оказывается, что эта степень не зависит от выбора полиэдральной окрестности Q.
Для компактной в D полиэдральной подобласти D0 аналогично определим глобальную
степень относительно некоторой точки y0 ∈ Rn как w(f(∂D0), y0). Она определена при усло-
вии, что ∂D0 ∩ f−1(y0) = ∅. Если прообраз f−1(y0) состоит из (конечного) числа точек
x1, x2, . . . , xp, то имеет место свойство аддитивности:
Γ(D0, y0) =
p∑
xk∈f−1(y0)
k=1
γ(xk).
Лемма. Если в некоторой точке x ∈ D степень γ(x) 6= 0, то f открыто в этой точке.
Доказательство. Предположим противное, тогда для некоторой шаровой окрестностиU(x),
U ⊂ D, точка y = f(x) является граничной для компакта V = f(U).
Поскольку точка y не принадлежит компакту f(∂U), найдется шар V0(y) такой, что V0 ∩
∩ f(∂V ) = ∅. Но y является граничной точкой компакта V , поэтому внутри V0(y) найдется
точка y1, внешняя для V . Первую точку пересечения отрезка y1y ⊂ V0 ⊂ V обозначим через
y0. Множество f−1(y0) конечно и из построения следует, что
Γ(V , y0) = w(∂V, y0) = 0.
Это индекс пересечения отрезка y1y0 ⊂ ∂V [1].
С другой стороны, значения w(∂V, y) для точек y и y0, принадлежащих одной компоненте
дополнения Rn \ f(∂V ), совпадают, но по условию леммы w(∂V, y) 6= 0. Полученное противо-
речие доказывает лемму.
Мы рассмотрим здесь непрерывное отображение f : D(x) → Rn(y), D ⊂ Rn
1 , n > 1,
дифференцируемое в каждой точке области D, без предположения непрерывной дифференци-
руемости.
Наша цель — доказать и в этих условиях следующее утверждение о свойстве якобиана
такого отображения: если в области D якобиан J(f) меняет знак, то в ней имеются точки, в
которых он обращается в нуль.
c© Ю. Ю. ТРОХИМЧУК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10 1439
1440 Ю. Ю. ТРОХИМЧУК
Отметим, что в одномерном случае из этого утверждения следовало свойство производной
f
′
(x) принимать все промежуточные значения на каждом интервале из области определения f,
т. е. то, что принято называть свойством Дарбу. В многомерном случае в полной мере это уже
не так; тем не менее, сформулированное свойство якобиана J(f) согласились для краткости
называть его свойством Дарбу [4, 5].
Основным инструментом при доказательстве этого свойства будет локальная степень отоб-
ражения.
Итак, пусть в области D ⊂ Rn
1 якобиан J(f) непрерывного и всюду дифференцируемого
отображения f : D → Rn меняет знак. Докажем, что в D существует точка, в которой J(f)
обращается в нуль.
Доказательство будет основано на цепочке некоторых простых утверждений.
1. Если в точке x0 ∈ D якобиан J(x0; f) 6= 0, то отображение f изолировано в этой точке,
в ней существует локальная степень γ(x0), причем γ(x0) = +1 при J > 0 и γ(x0) = −1 при
J < 0.
В самом деле, дифференциал df |x0 представляет невырожденное линейное отображение,
переводящее каждую сферу с центром x0 ∈ D в невырожденный эллипсоид с центром f(x0) ∈
∈ Rn, а первоначальное отображение f(x)−f(x0) представляет бесконечно малую деформацию
этого эллипсоида. Поэтому индексы пересечения их с любым лучом, выходящим из точки
f(x0), совпадают и равны ±1 (в зависимости от выбора ориентаций Rn
1 , Rn), а это и есть
коэффициент зацепления циклов f(∂U) (∂U — граничная сфера шара U(x0)) и точки f(x0),
т. е. локальная степень γ(x0).
Из доказанных выше свойств локальной степени следует, что в этом случае отображение f
открыто в точке x0, а также то, что если γ(x) = 0, то и J(x, f) = 0.
Возвращаясь к утверждению, предположим, что в его условиях якобиан не имеет нулей и
в некоторой точке x0 локальная степень γ(x0) > 0.
В этом случае отображение f : D → Rn будет изолированным и открытым для всей области
D. Известно [2, 3], что такое отображение имеет всюду плотное в D открытое множество
точек локального гомеоморфизма, а множество Bf точек ветвления f, т. е. точек, ни в какой
окрестности которых гомеоморфизма нет, имеет размерность dimBf ≤ n− 2.
Но из предыдущего легко видеть, что в каждой точке ветвления якобиан J(f) равен нулю.
Поэтому из нашего предположения следует, что Bf = ∅.
Следовательно, данное отображение всюду в D является локальным гомеоморфизмом, по-
этому во всех точках D локальная степень имеет один знак. Поскольку была выбрана точка с
γ(x0) > 0, то в результате получаем следующий вывод: если якобиан J(f) 6= 0 всюду в D, то
всюду в D локальная степень γ(x) = +1, т. е. сохраняет знак, но это (см. выше) означает, что
и якобиан сохраняет знак, что противоречит условию утверждения.
Этим основное утверждение о свойстве Дарбу, очевидно, доказано.
1. Александров П. С. Комбинаторная топология. – М.; Л., 1947. – С. 568 – 579.
2. Чернавский А. В. Конечнократные открытые отображения многообразий // Мат. сб. – 1964. – 65. – С. 357 – 369.
3. Väisälä G. Discrete open mappings on manifolds // Ann. Acad. Sci. Fenn., I. Math. – 1966. – 392. – P. 3 – 10.
4. Steffen K. Über den Zwischenwertsatz von Darboux und den Umkehrsatz für differenzierbare Functionen mehrerer
Veränderlicher // Elen. Math. – 1982. – 37, № 5. – S. 121 – 131.
5. Роднянский А. М. О дифференцируемых отображениях областей // Докл. АН СССР. – 1950. – 72. – С. 15 – 17.
Получено 05.06.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2079 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:20Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/01/7eda66d9ade92d57a6a6fedbda4c4b01.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20792019-12-05T09:49:57Z Jacobian and the Darboux Property Якобиан и свойство Дарбу Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. We present a simple proof of the Darboux property for the Jacobian of a differentiable mapping. Наведено просте доведення властивості Дарбу якобiана диференційовного відображення. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2079 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 10 (2015); 1439-1440 Український математичний журнал; Том 67 № 10 (2015); 1439-1440 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2079/1173 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2079/1174 Copyright (c) 2015 Trohimchuk Yu. Yu |
| spellingShingle | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. Jacobian and the Darboux Property |
| title | Jacobian and the Darboux Property |
| title_alt | Якобиан и свойство Дарбу |
| title_full | Jacobian and the Darboux Property |
| title_fullStr | Jacobian and the Darboux Property |
| title_full_unstemmed | Jacobian and the Darboux Property |
| title_short | Jacobian and the Darboux Property |
| title_sort | jacobian and the darboux property |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2079 |
| work_keys_str_mv | AT trohimchukyuyu jacobianandthedarbouxproperty AT trohimčukûû jacobianandthedarbouxproperty AT trohimčukûû jacobianandthedarbouxproperty AT trohimchukyuyu âkobianisvojstvodarbu AT trohimčukûû âkobianisvojstvodarbu AT trohimčukûû âkobianisvojstvodarbu |