Conditional Symmetry of a System of Nonlinear Reaction-Diffusion Equations
The conditional symmetry of a system of nonlinear reaction-diffusion equations is investigated. It is shown that the operators of conditional symmetry exist for the systems of nonlinear reaction-diffusion equations with an arbitrary number of independent variables. Moreover, these operators are foun...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2080 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508006865698816 |
|---|---|
| author | Barannyk, T. A. Баранник, Т. А. |
| author_facet | Barannyk, T. A. Баранник, Т. А. |
| author_sort | Barannyk, T. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:50:14Z |
| description | The conditional symmetry of a system of nonlinear reaction-diffusion equations is investigated. It is shown that the operators of conditional symmetry exist for the systems of nonlinear reaction-diffusion equations with an arbitrary number of independent variables. Moreover, these operators are found in the explicit form. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9:519.46
Т. А. Баранник (Полтав. нац. пед. ун-т iм. В. Г. Короленка)
УМОВНА СИМЕТРIЯ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ РЕАКЦIЇ-ДИФУЗIЇ
The conditional symmetry of the system of nonlinear reaction-diffusion equations is investigated. It is shown that the
operators of conditional symmetry exist for the systems of nonlinear reaction-diffusion equations with an arbitrary number
of independent variables. Moreover, these operators are found in the explicit form.
Исследована условная симметрия системы нелинейных уравнений реакции-диффузии. Установлено, что для систем
нелинейных уравнений реакции-диффузии с произвольным количеством независимых переменных существуют
операторы условной симметрии, причем эти операторы найдены в явном виде.
1. Вступ. У данiй роботi дослiджується умовна симетрiя системи нелiнiйних рiвнянь реакцiї-
дифузiї
∂u
∂t
−A∆mu = f(u), (1)
де u — стовпець (u1, u2, . . . , un), f — стовпець (f1, f2, . . . , fn), кожна з компонент вектора u
є функцiєю вiд змiнних t, x1, . . . , xm, f — вектор-функцiя вiд u, A — невироджена квадратна
матриця порядку n, ∆mu =
∑m
i=1
∂2u
∂x2i
.
Такi системи знаходять широке застосування в теорiї тепломасопереносу, а також в матема-
тичнiй бiологiї та хiмiї. Вiдмiтимо, що важливими частинними випадками системи (1) для n = 2
є комплексне рiвняння Ландау – Гiнзбурга i нелiнiйне рiвняння Шрьодiнгера в m-вимiрному
просторi, якi використовуються у нелiнiйнiй оптицi, а також нелiнiйнiй квантовiй механiцi. Тому
симетрiйний аналiз системи рiвнянь (1) має прикладне значення i може бути використаний,
наприклад, для побудови точних розв’язкiв широкого класу фiзичних i бiологiчних систем.
Перша спроба класифiкувати систему (1) у випадку n = 2 належить Ю. А. Данилову [1],
який обмежився випадком дiагональної матрицi A. Дослiдження лiєвських симетрiй системи
(1) для n = 2 з дiагональною матрицею A було проведено у роботах [2 – 4], а з матрицею
дифузiї A загального вигляду — у роботах [5, 6]. Завершеного вигляду ця класифiкацiя набрала
у роботi [7 – 9]. У роботах А. Г. Нiкiтiна i Р. Вiльтшире [5, 6] запропоновано ефективний пiдхiд
до дослiдження класичної i умовної симетрiй, який може бути застосований до рiвняння (1) з
довiльними n i m.
У роботi В. I. Фущича i М. I. Сєрова [10] було започатковано вивчення умовної симетрiї
одновимiрного рiвняння
∂u
∂t
− ∂2u
∂x2
= f(u), (2)
яке є частинним випадком рiвняння (1) i вiдповiдає значенням n = m = 1. Вони показали, що
у випадку f(u) = au3 + bu2 + c рiвняння (2) умовно iнварiантне вiдносно оператора
c© Т. А. БАРАННИК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11 1443
1444 Т. А. БАРАННИК
X =
∂
∂t
+
2
3
√
2au
∂
∂x
+
3
2
(au3 + bu+ c)
∂
∂u
.
Вичерпний аналiз умовних симетрiй рiвняння (2) був виконаний П. Кларксоном i Е. Манс-
фелд [11]. Вони встановили, що рiвняння (2) умовно iнварiантне вiдносно таких операторiв:
X1 =
∂
∂t
− 3
x
∂
∂x
− 3
x2
u
∂
∂u
, якщо f(u) = au3,
X2 =
∂
∂t
+ 3µ tan(µx)
∂
∂x
− 3µ2 sec2(µx)u
∂
∂u
, якщо f(u) = au3 − 2µ2u,
X3 =
∂
∂t
+ 3µ coth(µx)
∂
∂x
− 3µ2cosech2(µx)u
∂
∂u
, якщо f(u) = au3 + 2µ2u.
Цi симетрiї дозволяють побудувати точнi розв’язки рiвняння (2), якi виражаються через елiптич-
нi функцiї Якобi.
У роботi [12] вивчалась умовна симетрiя рiвняння (1) для n = 1 i довiльного m.
У данiй роботi ми узагальнюємо результати робiт [11, 12] на векторне рiвняння (1).
2. Система визначальних рiвнянь для знаходження операторiв умовної симетрiї. Для
довiльної функцiї f(u) рiвняння (1) зберiгає симетрiю вiдносно групи E(n), генератори якої
мають форму
P0 =
∂
∂t
, Pa =
∂
∂xa
, Jab = xa
∂
∂xb
− xb
∂
∂xa
, a 6= b, a, b = 1, 2, . . . , n. (3)
Беручи до уваги симетрiю рiвняння (1) вiдносно групи обертань O(n), генератори якої Jab
наведено у (3), доцiльно шукати розв’язок рiвняння (1) у виглядi
u = u(t, x), x = (x21 + . . .+ x2m)1/2.
У пiдсумку приходимо до редукованого рiвняння
ut −Auxx −A
m− 1
x
ux = f(u). (4)
Дослiдимо умовну симетрiю рiвняння (4). Головна iдея методу, запропонованого у [5, 6], полягає
в тому, що оператор симетрiї (лiєвської або умовної) шукається у виглядi
Q = η
∂
∂t
+ ξ
∂
∂x
− πa ∂
∂ua
,
де πa = πabub−ωa i функцiї πab, η i ξ залежать тiльки вiд t i x. Коефiцiєнти η, ξ, πa визначаються
з умови, що для оператора
L =
∂
∂t
−A ∂2
∂x2
− m− 1
x
A
∂
∂x
комутатор [Q,L] допускає зображення
[Q,L] = ΛL+ ϕ+ θQ, (5)
де Λ, ϕ i θ — квадратнi матрицi порядку n, елементи яких є функцiями вiд (t, x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
УМОВНА СИМЕТРIЯ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ РЕАКЦIЇ-ДИФУЗIЇ 1445
В результатi отримуємо таку систему рiвнянь:
2A
∂ξ
∂x
= −ΛA− [A, π],
−∂ξ
∂t
+ 2A
∂π
∂x
+ ξ
m− 1
x2
A+
m− 1
x
∂ξ
∂x
A+A
∂2ξ
∂x2
= θξ − m− 1
x
ΛA, (6)
ϕ+ θπ = A
∂2π
∂x2
+
m− 1
x
A
∂π
∂x
− ∂π
∂t
, Λ + θ = 0,
де π = (πab) — квадратна матриця порядку n.
Якщо Q є оператором умовної симетрiї, то в рiвностi (5) θ 6= 0.
Розв’язавши систему рiвнянь (6) i визначивши вiдповiднi матрицi Λ, π = (πab), ϕ, ми може-
мо знайти всi нелiнiйностi fk, розв’язавши систему диференцiальних рiвнянь першого порядку
(Λkb − πkb)f b + ϕkbub + Lωk + θkbωb = (−πabub + ωa)
∂fk
∂ua
. (7)
3. Умовна симетрiя одновимiрного векторного рiвняння (1). Ми узагальнюємо резуль-
тати роботи [11] на векторне рiвняння реакцiї-дифузiї. Буде показано, що оператори умовної
симетрiї iснують для будь-якої кiлькостi n залежних змiнних. Для визначення функцiї f(u)
рiвняння (1), що допускає оператор умовної симетрiї, буде суттєво використано систему визна-
чальних рiвнянь (6), (7).
Теорема 1. Рiвняння (4) для m = 1 i
A =
(
Il 0
0 3In−l
)
, Il — одинична матриця порядку l,
умовно iнварiантне вiдносно оператора
X1 =
∂
∂t
− 3
x
∂
∂x
− 3
x2
(
u1
∂
∂u1
+ . . .+ ul
∂
∂ul
)
, 1 ≤ l ≤ n,
тодi i тiльки тодi, коли
f i = u3iϕi, i = 1, . . . , l, f j = u21ϕj , j = l + 1, . . . , n,
де ϕ1, . . . , ϕn — довiльнi функцiї вiд змiнних
u2
u1
, . . . ,
ul
u1
, ul+1, . . . , un.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай X1 — оператор умовної симетрiї рiвняння (4) для m = 1.
У даному випадку
ξ = −3
x
, π =
3
x2
(
Il 0
0 On−l
)
,
On−l — нульова матриця порядку n − l, якщо n − l > 0, i π =
3
x2
In, якщо l = n. З першого
рiвняння системи (6) знаходимо Λ = − 6
x2
In. Iз третього i четвертого рiвнянь системи (6)
випливає, що ϕ = 0. Тому система рiвнянь для визначення функцiй f1, . . . , fn має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1446 Т. А. БАРАННИК
−3f i + u1
∂f i
∂u1
+ . . .+ ul
∂f i
∂ul
= 0, i = 1, . . . , l,
−2f j + u1
∂f j
∂u1
+ . . .+ ul
∂f j
∂ul
= 0, j = l + 1, . . . , n.
(8)
Введемо допомiжну змiнну τ :
∂ui
∂τ
= ui, i = 1, . . . , l,
∂uj
∂τ
= 0, j = l + 1, . . . , n.
(9)
Тодi з використанням змiнної τ система (8) набирає вигляду
−3f i +
∂f i
∂τ
= 0, i = 1, . . . , l,
−2f j +
∂f j
∂τ
= 0, j = l + 1, . . . , n.
Розв’язуючи її, знаходимо
f i = Cie
3τ , i = 1, . . . , l,
f j = Cje
2τ , j = l + 1, . . . , n,
де C1, . . . , Cn — довiльнi сталi.
Визначимо першi iнтеграли системи (9):
u2
u1
= C̄2, . . . ,
ul
u1
= C̄l, ul+1 = C̄l+1, . . . , un = C̄n.
Тому загальний розв’язок системи (8) має вигляд
f i = u3iϕi, i = 1, . . . , l, f j = u21ϕj , j = l + 1, . . . , n,
де ϕ1, . . . , ϕn — довiльнi функцiї вiд змiнних
u2
u1
, . . . ,
ul
u1
, ul+1, . . . , un. Необхiднiсть доведено.
Достатнiсть випливає з того, що функцiї ξ, π, Λ, ϕ = 0, θ = −Λ , а також функцiї
f1, . . . , fn, наведенi вище, задовольняють систему визначальних рiвнянь (6), (7).
Теорема 2. Рiвняння (4) для m = 1 i
A =
(
Il 0
0 3In−l
)
умовно iнварiантне вiдносно оператора
X2 =
∂
∂t
+ 3µ tan(µx)
∂
∂x
− 3µ2sec2(µx)
(
u1
∂
∂u1
+ . . .+ ul
∂
∂ul
)
, 1 ≤ l ≤ n,
тодi i тiльки тодi, коли
f i = u3iϕi − 2µ2ui, i = 1, . . . , l, f j = u21ϕj , j = l + 1, . . . , n,
де ϕ1, . . . , ϕn — довiльнi функцiї вiд змiнних
u2
u1
, . . . ,
ul
u1
, ul+1, . . . , un.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
УМОВНА СИМЕТРIЯ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ РЕАКЦIЇ-ДИФУЗIЇ 1447
Теорема 3. Рiвняння (4) для m = 1 i
A =
(
Il 0
0 3In−l
)
умовно iнварiантне вiдносно оператора
X3 =
∂
∂t
− 3µ coth(µx)
∂
∂x
− 3µ2cosech2(µx)
(
u1
∂
∂u1
+ . . .+ ul
∂
∂ul
)
, 1 ≤ l ≤ n,
тодi i тiльки тодi, коли
f i = u3iϕi + 2µ2ui, i = 1, . . . , l, f j = u21ϕj , j = l + 1, . . . , n,
де ϕ1, . . . , ϕn — довiльнi функцiї вiд змiнних
u2
u1
, . . . ,
ul
u1
, ul+1, . . . , un.
Теореми 2 i 3 доводяться за тiєю ж схемою, що i теорема 1.
4. Умовна симетрiя багатовимiрного векторного рiвняння (1). Ми узагальнюємо ре-
зультати робiт [11, 12] на багатовимiрне рiвняння реакцiї-дифузiї шляхом редукцiї його до
одновимiрного рiвняння (4).
Теорема 4. Рiвняння (4) для m 6= 2, m 6= 4 i
A =
Il 0
0 −m− 4
m
In−l
умовно iнварiантне вiдносно оператора
Y =
∂
∂t
+
m− 4
x
∂
∂x
− (m− 2)(m− 4)
x2
(
u1
∂
∂u1
+ . . .+ ul
∂
∂ul
)
, 1 ≤ l ≤ n,
тодi i тiльки тодi, коли
f i = u
m−4
m−2
i ϕi, i = 1, . . . , l, f j = u
− 2
m−2
1 ϕj , j = l + 1, . . . , n,
де ϕ1, . . . , ϕn — довiльнi функцiї вiд змiнних
u2
u1
, . . . ,
ul
u1
, ul+1, . . . , un.
Теорема 5. Рiвняння (4) для m = 3 i A = In умовно iнварiантне вiдносно оператора
Y =
∂
∂t
+
(
k − 1
x
)
∂
∂x
+
1
x2
(
u1
∂
∂u1
+ . . .+ un
∂
∂un
)
, k 6= 0,
тодi i тiльки тодi, коли
f i = u−1i ϕi, i = 1, . . . , n,
де ϕ1, . . . , ϕn — довiльнi функцiї вiд змiнних
u2
u1
, . . . ,
un
u1
.
Теореми 4 i 5 доводяться за тiєю ж схемою, що i теорема 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1448 Т. А. БАРАННИК
Теорема 6. Рiвняння (4) для m = 2 i A = aIn умовно iнварiантне вiдносно оператора
Y =
∂
∂t
− 2a
x
∂
∂x
+
1
x2
(
b1
∂
∂u1
+ . . .+ bn
∂
∂un
)
, bi 6= 0,
для i = 1, . . . , n тодi i тiльки тодi, коли
f i = exp
(
−4a
bi
ui
)
ϕi, i = 1, . . . , n,
де ϕ1, . . . , ϕn — довiльнi функцiї вiд змiнних b1u2 − b2u1, b1u3 − b3u1, . . . , b1un − bnu1.
Доведення. У даному випадку ξ = −2a
x
, π = 0. З першого рiвняння системи (6) знаходимо
Λ = −2
∂ξ
∂x
In = −4a
x2
In.
З третього i четвертого рiвнянь системи (6) випливає, що ϕ = 0, θ = −Λ =
4a
x2
In. Враховуючи,
що ωk =
bk
x2
для k = 1, . . . , n i
Lωk + θkkωk =
(
−a ∂
2
∂x2
− a
x
∂
∂x
)
bk
x2
+
4abk
x4
= 0,
отримуємо систему рiвнянь для визначення функцiй f1, . . . , fn :
−4afk = b1
∂fk
∂u1
+ . . .+ bn
∂fk
∂un
, k = 1, . . . , n. (10)
Введемо допомiжну змiнну τ :
∂ui
∂τ
= bi, i = 1, . . . , n. (11)
Тодi з використанням змiнної τ система (10) набирає вигляду
−4afk =
∂fk
∂τ
, k = 1, . . . , n.
Розв’язуючи її, знаходимо
fk = Ck exp(−4aτ), k = 1, . . . , n,
де C1, . . . , Cn — довiльнi сталi. Визначимо першi iнтеграли системи (11) :
b1ui − biu1 = C̄i, i = 1, . . . , n.
Тому загальний розв’язок системи (10) має вигляд
fk = exp
(
−4a
bk
uk
)
ϕk, k = 1, . . . , n,
де ϕ1, . . . , ϕn — довiльнi функцiї вiд змiнних b1ui − biu1, i = 1, . . . , n.
5. Висновки. Анзаци, що вiдповiдають умовним симетрiям рiвняння (1), редукують це
рiвняння до системи звичайних диференцiальних рiвнянь. Так, система рiвнянь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
УМОВНА СИМЕТРIЯ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ РЕАКЦIЇ-ДИФУЗIЇ 1449
∂u1
∂t
− ∂2u1
∂x2
= u31ϕ1,
∂u2
∂t
− ∂2u2
∂x2
= u32ϕ2, (12)
де ϕ1, ϕ2 — довiльнi функцiї вiд змiнних
u2
u1
, на пiдставi теореми 1 умовно iнварiантна вiдносно
оператора
X1 =
∂
∂t
− 3
x
∂
∂x
− 3
x2
(
u1
∂
∂u1
+ u2
∂
∂u2
)
.
Анзац, який вiдповiдає операторовi X1, має вигляд
u1 = 2xω1(z), u2 = 2xω2(z),
де z = 6t+ x2, i редукує (12) до системи звичайних диференцiальних рiвнянь
ω′′1 + ω3
1ϕ1 = 0, ω′′2 + ω3
2ϕ2 = 0, (13)
де ϕ1, ϕ2 — довiльнi функцiї вiд
ω2
ω1
. Для деяких функцiй ϕ1, ϕ2 ця система може бути проiнтег-
рована в квадратурах. Системи рiвнянь (12) i (13) детально розглянуто в [13].
1. Danilov Yu. A. Group analysis of the Turing systems and of its analogues. – (Preprint / Kurchatov Inst. Atom. Energy;
IAE 3287/1).
2. Cherniha R., King I. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I // J. Phys. A:
Math. and Gen. – 2000. – 33. – P. 267 – 282.
3. Cherniha R., King I. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I. Addendum // J.
Phys. A: Math. and Gen. – 2000. – 33. – P. 7839 – 7841.
4. Cherniha R., King I. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: II // J. Phys. A:
Math. and Gen. – 2002. – 36. – P. 405 – 425.
5. Nikitin A. G., Wiltshire R. Symmetries of systems of nonlinear reaction-diffusion equations // Proc. Inst. Math. Nat.
Acad. Sci. Ukraine. – 2000. – 30, Pt 1. – P. 47 – 59.
6. Nikitin A. G., Wiltshire R. J. Systems of reaction-diffusion equations and their symmetry properties // J. Math. Phys. –
2001. – 42, № 4. – P. 1667 – 1688.
7. Nikitin A. G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix.
I. Generalized Ginsburg – Landau equations // J. Math. Anal. and Appl. – 2006. – 324, № 1. – P. 615 – 628.
8. Nikitin A. G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix.
II. Generalized Turing systems // J. Math. Anal. and Appl. – 2007. – 332, № 1. – P. 666 – 690.
9. Nikitin A. G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with triangular diffusion
matrix // Ukr. Math. J. – 2007. – 59, № 3. – P. 395 – 441.
10. Фущич В. И., Серов Н. И. Условная инвариантность и редукция нелинейного уравнения теплопроводности //
Докл. АН УССР. – 1990. – № 7. – С. 24 – 28.
11. Clarkson P., Mansfield E. Symmetry reductions and exact solutions of a class of nonlinear heat equations // Physica
D. – 1993. – 70. – P. 250 – 288.
12. Баранник Т. А. Умовна симетрiя i точнi розв’язки багатовимiрного рiвняння реакцiї-дифузiї // Укр. мат. журн. –
2002. – 54, № 10. – С. 1416 – 1420.
13. Barannyk T. A., Nikitin A. G. Solitary wave solutions for heat equations // Proc. Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine. –
2004. – 50, Pt 1. – P. 34 – 39.
Одержано 12.02.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2080 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:21Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/80/ba84cf24b4a27b42ff7943157e7d6980.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20802019-12-05T09:50:14Z Conditional Symmetry of a System of Nonlinear Reaction-Diffusion Equations Умовна симетрія системи нелінійних рівнянь реакції-дифузії Barannyk, T. A. Баранник, Т. А. The conditional symmetry of a system of nonlinear reaction-diffusion equations is investigated. It is shown that the operators of conditional symmetry exist for the systems of nonlinear reaction-diffusion equations with an arbitrary number of independent variables. Moreover, these operators are found in the explicit form. Исследована условная симметрия системы нелинейных уравнений реакции-диффузии. Установлено, что для систем нелинейных уравнений реакции-диффузии с произвольным количеством независимых переменных существуют операторы условной симметрии, причем эти операторы найдены в явном виде. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2080 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 11 (2015); 1443-1449 Український математичний журнал; Том 67 № 11 (2015); 1443-1449 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2080/1175 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2080/1176 Copyright (c) 2015 Barannyk T. A. |
| spellingShingle | Barannyk, T. A. Баранник, Т. А. Conditional Symmetry of a System of Nonlinear Reaction-Diffusion Equations |
| title | Conditional Symmetry of a System of Nonlinear Reaction-Diffusion Equations |
| title_alt | Умовна симетрія системи нелінійних рівнянь реакції-дифузії |
| title_full | Conditional Symmetry of a System of Nonlinear Reaction-Diffusion Equations |
| title_fullStr | Conditional Symmetry of a System of Nonlinear Reaction-Diffusion Equations |
| title_full_unstemmed | Conditional Symmetry of a System of Nonlinear Reaction-Diffusion Equations |
| title_short | Conditional Symmetry of a System of Nonlinear Reaction-Diffusion Equations |
| title_sort | conditional symmetry of a system of nonlinear reaction-diffusion equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2080 |
| work_keys_str_mv | AT barannykta conditionalsymmetryofasystemofnonlinearreactiondiffusionequations AT barannikta conditionalsymmetryofasystemofnonlinearreactiondiffusionequations AT barannykta umovnasimetríâsisteminelíníjnihrívnânʹreakcíídifuzíí AT barannikta umovnasimetríâsisteminelíníjnihrívnânʹreakcíídifuzíí |