Boundary Trace Operator in a Domain of Hilbert Space and the Characteristic Property of its Kernel
We prove an infinite-dimensional analog of the classical theorem on density of the set $C_0^1 (G)$ of finite smooth functions in the kernel of the boundary trace operator $γ: H_1(G) → L_2(∂G)$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2081 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508007075414016 |
|---|---|
| author | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. |
| author_facet | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. |
| author_sort | Bogdanskii, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:50:14Z |
| description | We prove an infinite-dimensional analog of the classical theorem on density of the set $C_0^1 (G)$ of finite smooth functions in the kernel of the boundary trace operator $γ: H_1(G) → L_2(∂G)$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98+517.954
Ю. В. Богданский (Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ”, Киев)
ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР СЛЕДА
В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ЕГО ЯДРА
We prove the infinite-dimensional analog of the classical theorem on density of the set C1
0 (G) of finite smooth functions
in the kernel of the boundary restriction operator γ : H1(G)→ L2(∂G).
Доведено нескiнченновимiрний аналог класичної теореми про щiльнiсть множини C1
0 (G) фiнiтних гладких функцiй
в ядрi граничного оператора слiду γ : H1(G)→ L2(∂G).
В работах [1, 2] предложена методика построения поверхностного интеграла на бесконечно-
мерных линейных пространствах и нелинейных многообразиях. Предложенный подход прин-
ципиально отличается от технически обременительной конструкции А. В. Угланова [3] и дает
надежду на перенос ряда классических результатов теории краевых задач математической физи-
ки на случай бесконечномерного пространства аргумента. Результат данной работы — очередная
ступенька в построении соответствующей теории.
1. Предварительные сведения. Постановка задачи. Пусть H — сепарабельное вещест-
венное гильбертово пространство (dimH ≤ ∞), µ — конечная неотрицательная борелевская
мера на H.
Обозначим через Cb = Cb(H) пространство всех непрерывных и ограниченных на H
функций f : H → R, через Cb(H;H) пространство всех непрерывных и ограниченных на H
векторных полей X : H → H, через C1
b = C1
b (H) (соответственно C1
b (H;H)) пространство
всех функций f ∈ Cb (соответственно, векторных полей X ∈ Cb(H;H)), дифференцируемых
по Фреше в каждой точке x ∈ H с ограниченной и непрерывной на H производной f ′(·)
(соответственно X′(·)).
Через Φt = ΦZ
t обозначим поток векторного поля Z ∈ C1
b (H; H). Сдвиги меры µ вдоль
векторного поля Z обозначим через µt (µt(A) = µ(ΦtA) для каждого A ∈ B(H), B(H) —
борелевская σ-алгебра вH). Напомним, что дифференцируемость меры µ вдоль поля Z в силь-
ном смысле (по Фомину) означает существование предела ϑ(A) = limt→0
1
t
(
µt(A)−µ(A)
)
для
каждого борелевского множества A. При этом ϑ = dZ µ (производная меры µ вдоль поля Z )
является борелевской (знакопеременной) мерой, абсолютно непрерывной относительно меры
µ. Соответствующую плотность
dϑ
dµ
принято называть логарифмической производной меры µ
вдоль поля Z или дивергенцией поля Z (относительно меры µ): div Z = div
µ
Z =
dϑ
dµ
.
Сильная дифференцируемость меры µ вдоль поля Z равносильна существованию функции
ρ = ρZ
µ ∈ L1(H, µ), которая для всех функций u ∈ C1
b (H) удовлетворяет равенству∫
H
u · ρ dµ = −
∫
H
(
gradu, Z
)
dµ.
При этом ρ = divµ Z .
c©Ю. В. БОГДАНСКИЙ, 2015
1450 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР СЛЕДА В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА . . . 1451
Пусть G — ограниченная область в H с границей S = ∂G. Через C1(G) обозначим семей-
ство всех функций на G, допускающих продолжение на H до функций класса C1
b ; через C1
0 (G)
— семейство функций из C1(G), которые равны нулю в некоторой ε-окрестности границы S.
Аналогично определяем C(G); C(G;H); C1(G;H).
Через L2(G) = L2(G,µ) обозначим пространство интегрируемых с квадратом измеримых
функций наG по отношению к мере µ|G. Аналогично через L2(G;H) = L2(G;H,µ) обозначим
пространство квадратично интегрируемых векторных полей на G. Норму в L2(G;H) задаем
формулой |||Z |||2 =
∫
G
‖Z (x)‖2 dµ (интегрируемость векторного поля понимаем в смысле
конструкции Бохнера).
Граница S области G предполагается гладким вложенным в H подмногообразием кораз-
мерности 1; поле единичной внешней нормали границы S предполагается продолжимым до
векторного поля n ∈ C1
b (H;H).
Дополнительно предполагаем также, что мера µ дифференцируема вдоль поля n . Сущест-
вование поля n с указанными выше свойствами постулируем и говорим о „согласованности S
(или G) с мерой µ” (см. [1]).
Для ε > 0 символом Sε обозначим ε-окрестность множества S. В работе [2] (формула (13))
доказано, что при согласовании S с мерой µ имеет место равенство µ(Sε) = O(ε) (ε → 0),
поэтому (см. [1], предложение 1) C1
0 (G) плотно в L2(G).
Согласованная с S мера µ индуцирует на S поверхностную меру [1, 2], которую обозначим
µS . Если u — ограниченная непрерывная функция на S и û — ее продолжение до непрерывной
ограниченной на H функции, постоянной на траекториях поля n , то поверхностная мера σ
корректно определяется следующей формулой, которая должна выполняться для всех ограни-
ченных непрерывных функций на S:∫
S
u dσ =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
û dµ =
∫
G
û · ρn
µ dµ (1)
(см. [1]). При этом для функций v ∈ Cb(H) имеет место равенство∫
S
v dσ =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
v dµ (2)
(см. лемму 4 ниже).
Если u ∈ C1
b (H), то имеет место следующая формула (см. [1], формула (14)):∫
S
u dσ =
∫
G
(
gradu, n
)
dµ+
∫
G
u · ρn
µ dµ. (3)
Из результатов работы [2] (модификация предложения 2) следует возможность определения
µS и в случае, когда мера µ дифференцируема не вдоль поля n , а вдоль поля Z ∈ C1
b (H;H),
строго трансверсального к поверхности S. Последнее условие в терминах скалярного произве-
дения означает, что
inf
{∣∣(Z (x), n (x)
)∣∣ ∣∣∣x ∈ S} > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1452 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
В этом случае равенство (3) для u ∈ C1
b (H) переходит в следующее:
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦZ
t G
u dµ =
∫
S
(
Z , n
)
u dσ =
∫
G
(
gradu, Z
)
dµ+
∫
G
u · ρZ
µ dµ. (4)
Рассмотрим оператор grad : L2(G) → L2(G;H) с естественной областью определения
C1(G) (C1(G) 3 u 7→ gradu ∈ C(G;H)). Для корректного задания этого оператора следует
проверить, что условия u, v ∈ C1(G), u = v(mod µ) влекут за собой равенство gradu =
= grad v(mod µ). Данное требование выполнено для тех мер µ, для которых неравенство
µ(U) > 0 имеет место для любого непустого открытого множества U ⊂ H. Последнее условие
выполнено для квазиинвариантной меры µ, т. е. такой меры, для которой множество квазиин-
вариантных сдвигов h
(
µh(A) := µ(A+ h); µh ∼ µ
)
содержит плотное в H линейное подмно-
гообразие. Примером такой меры является гауссова мера, ядерный корреляционный оператор
которой имеет плотный образ в H.
Дальнейшие построения предполагают выполнение следующих двух дополнительных усло-
вий на меру µ и область G:
а) оператор grad : L2(G) ⊃ C1(G) 3 u 7→ gradu ∈ L2(G;H) корректно определен и
допускает замыкание;
б) ρn
µ |G ∈ L∞(G).
Модельный пример меры, согласованной с поверхностью S, для которой выполняются
одновременно условия а) и б), предложен в работе [4]. Примером такой меры является мера
µϕ, определенная формулой
µϕ(A) =
∫
R
ϕ(t)µ
(
Φn
t A
)
dt,
где µ — гауссова мера с невырожденным ядерным корреляционным оператором, A ∈ B(H),
ϕ ∈ C1
b (R), ϕ ≥ 0,
∫
R
ϕ(t) dt < ∞; существует константа C, для которой при всех s ∈ R
выполнено неравенство
∣∣ϕ′(s)∣∣ ≤ C ϕ(s).
Совместное выполнение условий а) и б) позволяет корректно ввести оператор следа γ :
L2(G) → L2(S) = L2(S, µS) с областью определения D(grad ) (см. [1]). При этом для функ-
ций u ∈ C1(G) γ(u) = u|S ; в силу неравенства ‖u|S‖L2(S) ≤ C(‖u‖L2(G) + |||gradu|||) ([1],
формула (16)) оператор C1(G) 3 u 7→ u|S ∈ L2(S) корректно продолжим на D(grad ) до
оператора γ, который представляет собой ограниченный оператор из банахова в норме графика
пространства D(grad ) в L2(S).
Очевидно, C1
0 (G) ⊂ Ker γ. В классической конечномерной теории краевых задач известно
совпадение Ker γ с замыканием C1
0 (G) по норме графика оператора grad. Известные автору
доказательства этого факта основаны по существу на конечномерности пространства аргу-
мента (применение свойств компактов). В данной работе приводится обобщение указанного
классического результата на случай пространства H с dimH ≤ ∞.
2. Вспомогательные леммы. Всюду в дальнейшем S = ∂G согласована с мерой µ, а также
выполнены дополнительные условия а) и б) на меру µ. Также полагаем Φt = Φn
t .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР СЛЕДА В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА . . . 1453
Лемма 1. Пусть u ∈ D(grad ). Тогда для k = 1; 2 и t ≤ 0 существуют производные
d
dt
∫
ΦtG
uk dµ и выполнены равенства
d
dt
∣∣∣∣
0−0
∫
ΦtG
uk dµ =
∫
S
(
γ(u)
)k
dσ. (5)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай k = 1. Существует последовательность
функций um ∈ C1(G) такая, что um → u в L2(G), gradum → gradu в L2(G;H). Рассмот-
рим функции fm(t) =
∫
ΦtG
um dµ, t ∈ (−∞; 0]. Из неравенства
∣∣∣∣∫
ΦtG
um dµ−
∫
ΦtG
u dµ
∣∣∣∣ ≤
≤
∫
G
|um − u| dµ следует равномерная сходимость на (−∞; 0] последовательности функций
fm к функции f(t) =
∫
ΦtG
u dµ. При этом в силу (4) существует f ′m(t) и имеет место равен-
ство
f ′m(t) =
∫
ΦtG
(
gradum, n
)
dµ+
∫
ΦtG
um · ρn
µ dµ
(здесь можно сослаться и на предложение 2 из работы [1], которое справедливо и в случае,
если поле n не нормально к поверхности S).
Поэтому f ′m(·) непрерывны и равномерно на (−∞; 0] сходятся к функции∫
ΦtG
(
gradu, n
)
dµ+
∫
ΦtG
u · ρn
µ dµ.
Теперь, в силу классической теоремы анализа, существует
d
dt
∫
ΦtG
u dµ = limm→∞ f
′
m(t) и
имеют место равенства
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦtG
u dµ =
∫
S
γ(u) dσ =
∫
G
((
gradu, n
)
+ u · ρn
µ
)
dµ.
Далее рассмотрим случай k = 2. Пусть последовательность функций um ∈ C1(G) та же, что
и выше. Из неравенства
∫
G
|u2
m − u2| dµ ≤ ‖um − u‖L2(G) · ‖um + u‖L2(G) следует сходимость
u2
m → u2 в L1(G). Аналогично∫
G
∥∥um gradum − ugradu
∥∥ dµ ≤
≤
∫
G
∥∥(um − u)gradum
∥∥ dµ+
∫
G
∥∥ugradum − ugradu∥∥ dµ ≤
≤ ‖um − u‖L2(G)
∣∣∣∣∣∣gradum∣∣∣∣∣∣L2(G;H)
+ ‖u‖L2(G)
∣∣∣∣∣∣gradum − gradu
∣∣∣∣∣∣
L2(G;H)
,
откуда следует сходимость в L1(G;H):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1454 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
grad (u2
m)→ 2u · gradu ∈ L1(G;H). (6)
Обозначим gm(t) =
∫
ΦtG
u2
m dµ, g(t) =
∫
ΦtG
u2 dµ. Поскольку
∣∣gm(t) − g(t)
∣∣ ≤
≤
∫
G
∣∣u2
m dµ− u2
∣∣ dµ, то последовательность функций gm(·) равномерно на (−∞; 0] сходится
к функции g(·).
Поскольку ρn
µ ∈ L∞(G), то u2
mρ
n
µ → u2ρn
µ в L1(G). Учитывая (6), получаем, что по-
следовательность непрерывных функций g′m(·) равномерно на (−∞; 0] сходится к функции∫
ΦtG
(
(2ugradu, n ) + u2 · ρn
µ
)
dµ. И снова из классической теоремы анализа делаем вывод о
существовании
d
dt
∫
ΦtG
u2 dµ = limm→∞ g
′
m(t). При этом имеет место равенство
d
dt
∫
ΦtG
u2 dµ =
∫
ΦtG
((
2ugradu, n
)
+ u2 · ρn
µ
)
dµ.
Поскольку последовательность функций γ(um) = um|S в L2(S, σ) сходится к γ(u), то(
γ(um)
)2
= u2
m|S в L1(S, σ) сходится к
(
γ(u)
)2
. Заметив, что
∫
S
(
γ(um)
)2
dσ = g′m(0), получим∫
S
(
γ(u)
)2
dσ = limm→∞ g
′
m(0) =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦtG
u2 dµ.
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть ‖div n |G‖L∞(G) = C. Тогда µt|G ≺ µ|G для всех t ≤ 0 (здесь µt = µ◦Φt),
при этом
dµt
dµ
∈ L∞(G),
dµt
dµ
≤ e−C t (mod µ|G) и
∥∥∥∥dµtdµ
− 1
∥∥∥∥
L∞(G)
→ 0, t→ 0.
Доказательство. Для A ∈ B(G), t ≤ 0 имеет место равенство µt(A) − µ(A) =
=
∫ t
0
d
ds
µs(A) ds =
∫ t
0
ds
∫
ΦsA
div n dµ, откуда
∣∣µt(A) − µ(A)
∣∣ ≤ C
∫ 0
t
µs(A) ds. Полагая
h(−t) = µt(A), приходим к неравенству h(−t) ≤ h(0) +C
∫ −t
0
h(s) ds (здесь −t ≥ 0) и приме-
няем лемму Гронуолла. Получим µt(A) = h(−t) ≤ µ(A) · e−tC , откуда и следуют утверждения
леммы.
Замечание 1. При t < 0 для x ∈ ΦtG определено Φsx для s ∈ (−∞;−t]. По аналогии с
леммой 2 для s ∈ [t;−t] проверяется неравенство
∥∥∥∥dµsdµ − 1
∥∥∥∥
L2(ΦtG)
≤ eC|t| − 1.
Лемма 3. Пусть t ≤ 0, u ∈ D(grad ). Тогда u ◦ Φt ∈ D(grad ).
Доказательство. Пусть um ∈ C1(G) — последовательность функций, для которых um → u
в L2(G), gradum → gradu в L2(G;H). Прежде всего заметим, что um ◦ Φt ∈ C1(G) для
каждого m. Покажем, что um◦Φt → u◦Φt в L2(G). Действительно, в силу леммы 2 существует
число C̃ > 0, для которого выполнена оценка∫
G
(um − u)2 ◦ Φt dµ =
∫
ΦtG
(um − u)2 dµ−t =
∫
ΦtG
(um − u)2dµ−t
dµ
dµ ≤
≤ C̃‖um − u‖2L2(G) → 0, m→∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР СЛЕДА В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА . . . 1455
Далее, grad (um ◦ Φt) =
(
∂
∂x
Φtx
)∗
(gradum)(Φtx),
∥∥∥∥ ∂∂x(Φtx)
∥∥∥∥ ≤ e|t|C1 , где C1 =
= supH
∥∥n ′(·)∥∥ (см., например, [4]).
Поэтому ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣grad (um ◦ Φt)−
(
∂
∂x
Φtx
)∗
gradu(Φtx)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 =
=
∫
ΦtG
∥∥∥∥( ∂
∂x
Φtx
)∗ (
(gradum) ◦ Φt − (gradu) ◦ Φt
)∥∥∥∥2
dµ ≤
≤ e|t|C1 · C̃
∣∣∣∣∣∣gradum − gradu
∣∣∣∣∣∣2,
откуда следует утверждение леммы и формула
grad (u ◦ Φt) =
(
∂
∂x
(Φtx)
)∗ (
gradu
)
◦ Φt.
Поверхностная мера σ на
(
S,B(S)
)
может быть построена по следующему алгоритму.
Для каждого A ∈ B(S) положим W (A) =
{
Φtx
∣∣x ∈ A; t ∈ (−∞; 0]
}
∈ B(H); для
каждого t ∈ R получим меру wt на
(
S,B(S)
)
, определенную формулой wt(A) =
=
1
t
(
µ
(
Φt(W (A))
)
− µ
(
W (A)
))
, а в силу сильной дифференцируемости µ вдоль поля n
получим меру σ1 на
(
S,B(S)
)
, определенную формулой σ1(A) = limt→0wt(A). Тогда для
любой ограниченной борелевской функции f на S имеет место равенство∫
S
f dσ1 = lim
t→0
∫
S
f dwt = lim
t→0
1
t
∫
ΦtG
f̂ dµ−
∫
G
f̂ dµ
,
где f̂ — продолжение функции f на H, для которой f̂(Φtx) = f(x) при x ∈ S, t ∈ (−δ; δ) для
некоторого δ > 0. Потому меры σ и σ1 совпадают на
(
S,B(S)
)
.
Лемма 4. Пусть u ∈ Cb(H). Тогда существует
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦtG
u dµ, и при этом
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦtG
u dµ =
∫
S
u|Sdσ
=
∫
S
u dσ
.
Доказательство. Пусть S — полное сепарабельное метрическое пространство, поэтому
σ — радонова мера. Обозначим v = u|S . Для доказательства леммы достаточно проверить
равенство
lim
t→0
1
t
∫
ΦtG
(u− v̂) dµ = 0, (7)
в котором функция v̂ ∈ Cb(H), постоянна на траекториях поля n (в окрестности S) и совпадает
с v на S.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1456 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Положим C = supH |u|. Поскольку µ(ΦtG4 G) = O(t), то существуют δ1 > 0 и C1 > 0
такие, что µ(ΦtG4 G) ≤ C1 · |t| при |t| < δ1. Возьмем ε > 0 и пусть Kε — компакт в S, для
которого σ(S\Kε) < ε. Для каждой точки x ∈ Kε существует окрестность Ux точки x вида Ux =
=
{
Φtz
∣∣∣ z ∈ Vx ⊂ S; t ∈
(
−α(x);α(x)
)}
(здесь α(x) > 0, Vx — окрестность x в S) такая, что
для каждой точки y ∈ Ux выполнено неравенство |u(y)−u(x)| < ε, поэтому |u(y)− v̂(y)| < 2ε.
Пусть Vx1 , . . . , Vxm — конечное подпокрытие Kε и δ2 = min
{
α(x1), α(x2), . . . , α(xm)
}
. Тогда
для каждой точки x ∈ Kε и любого t ∈ (−δ2; δ2) выполнено неравенство
∣∣u(Φtx)− v̂(Φtx)
∣∣ =
=
∣∣u(Φtx)− u(x)
∣∣ < ε.
Положим Aε = S \Kε. Поскольку σ(Aε) =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
µ
(
Φt(W (Aε))
)
, то существует δ3 > 0
такое, что при каждом t ∈ (−δ3, δ3)
µ
(
Φt(W (Aε))4W (Aε)
)
< 2|t|σ(Aε) < 2ε |t|.
Положим δ = min(δ1, δ2, δ3). Тогда для t ∈ (−δ; δ) получим неравенства∣∣∣∣∣∣∣
∫
ΦtG4G
(u− v̂) dµ
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
∫
Φt(W (Kε))4W (Kε)
|u− v̂| dµ+
∫
Φt(W (Aε))4W (Aε)
(|u|+ |v̂|) dµ ≤
≤ 2ε · µ(ΦtG4G) + 2C · µ
(
Φt(W (Aε))4W (Aε)
)
≤
≤ 2ε · C1 · |t|+ 2C · 2ε |t| = (2C1 + 4C)ε |t|.
Тем самым доказано равенство (7), а вместе с ним и лемма 4.
Лемма 5. Пусть u ∈ D(grad ), γ(u) = 0. Тогда
∫
G\ΦtG
u2 dµ = o(t2), t ≤ 0.
Доказательство. В силу леммы 1 следующие преобразования обоснованны:
∫
G\ΦtG
u2 dµ =
0∫
t
ds
d
ds
∫
ΦsG
u2 dµ
=
0∫
t
ds
d
dτ
∣∣∣∣
τ=0
∫
Φs+τG
u2 dµ
=
=
0∫
t
ds
d
dτ
∣∣∣∣
τ=0
∫
ΦτG
(u2 ◦ Φs)dµs
. (8)
Пусть um ∈ C1(G) — последовательность функций, аппроксимирующая функцию u ∈
∈ D(grad ). Положим также
∣∣∣∣∣∣n (·)
∣∣∣∣∣∣
L∞(G;H)
= C2. Для x ∈ G имеем
um(Φtx)− um(x) =
t∫
0
(
gradum(Φsx), n (Φsx)
)
ds,
откуда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР СЛЕДА В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА . . . 1457
(
um(Φtx)− um(x)
)2 ≤ C2
2 |t|
0∫
t
∥∥(gradum)(Φsx)
∥∥2
ds,
∫
S
(um ◦ Φt − um)2 dσ ≤ |t|C2
2
∫
S
dσ
0∫
t
∥∥(gradum)(Φsx)
∥∥2
ds = [в силу леммы 4
и формулы (2)] = |t|C2
2
d
dτ
∣∣∣∣
τ=0
∫
ΦτG
dµ
0∫
t
∥∥(gradum)(Φsx)
∥∥2
ds =
= |t|C2
2
d
dτ
∣∣∣∣
τ=0
∫
G
0∫
t
∥∥(gradum)(Φs+τx)
∥∥2
ds
dµτ =
= |t|C2
2
d
dτ
∣∣∣∣
τ=0
0∫
t
ds
∫
G
∥∥gradum(Φs+τx)
∥∥2dµτ
dµ
dµ =
= |t|C2
2
d
dτ
∣∣∣∣
τ=0
τ∫
t+τ
ds
∫
G
∥∥gradum(Φsx)
∥∥2dµτ
dµ
dµ =
= |t|C2
2
∫
G
∥∥gradum∥∥2
dµ−
∫
G
∥∥gradum(Φtx)
∥∥2dµt
dµ
dµ +
+
0∫
t
ds
∫
G
∥∥gradum(Φsx)
∥∥2
div n dµ
.
Здесь использовано тождество
lim
τ→0
1
τ
∫
G
fdµτ −
∫
G
f dµ
=
∫
G
f · div n dµ,
справедливое для любой ограниченной борелевской функции на G.
Теперь на основании лемм 1 – 3 и теоремы Лебега предельным переходом m→∞ получим∫
S
(
γ(u ◦ Φt)− γ(u)
)2
dσ ≤ |t|C2
2
∫
G
∥∥gradu∥∥2
dµ −
−
∫
G
∥∥(gradu)(Φtx)
∥∥2dµt
dµ
dµ+
0∫
t
ds
∫
G
∥∥gradu(Φsx)
∥∥2
div n dµ
, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1458 Ю. В. БОГДАНСКИЙ∫
G
∥∥gradu∥∥2
dµ−
∫
G
∥∥(gradu) ◦ Φt
∥∥2dµt
dµ
dµ =
=
∫
G\ΦtG
∥∥gradu∥∥2
dµ+
∫
ΦtG
∥∥gradu∥∥2
(
1−
(
dµt
dµ
◦ Φ−t
)
dµ−t
dµ
)
dµ→ 0, t→ 0.
Здесь использована оценка∥∥∥∥(dµtdµ
◦ Φ−t
)
dµ−t
dµ
− 1
∥∥∥∥
L∞(ΦtG)
≤
(
eC |t| − 1
)2
,
полученная в лемме 2 и в замечании 1.
Поскольку последнее слагаемое в правой части неравенства (9) очевидным образом стре-
мится к 0 при t→ 0, то из (9) получим равенство∫
S
(
γ(u ◦ Φt)− γ(u)
)2
dσ = o(t), t→ 0.
Поскольку γ(u) = 0 в L2(S, σ), приходим к формуле∫
S
(
γ(u ◦ Φt)
)2
dσ = o(t), t→ 0.
Выберем ε > 0. Найдется δ > 0 такое, что при всех t ∈ (−δ; 0) имеет место неравенство∫
S
(
γ(u ◦ Φt)
)2
dσ ≤ ε|t|.
Поэтому в силу лемм 1 и 3 для каждого t ∈ (−δ; 0) существует такое α > 0, что для s ∈ (−α; 0)
имеет место неравенство ∫
G\ΦsG
u2 ◦ Φt dµ ≤ 2ε |t s|.
Без ограничения общности можно считать, что α = α(t) < δ.
В силу леммы 2 существует C3 > 0, для которого неравенство
∥∥∥∥dµtdµ
∥∥∥∥
L∞(G)
≤ C3 выполнено
для всех t ∈ (−δ; 0). Поэтому при всех t ∈ (−δ; 0) и s ∈ (−α(t); 0) имеет место неравенство∫
G\ΦsG
(
u2 ◦ Φt
)dµt
dµ
dµ ≤ 2C3ε |t s|.
Следовательно, при t ∈ (−δ; 0) получим оценку
d
ds
∣∣∣∣
s=0
∫
ΦsG
(
u2 ◦ Φt
)dµt
dµ
dµ ≤ 2C3ε |t|. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР СЛЕДА В ОБЛАСТИ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА . . . 1459
Напомним, что согласно лемме 1 производная
d
dt
∫
ΦtG
u2 dµ существует при всех t ∈
∈ (−δ; 0), но, как следует из равенств (8), она совпадает с левой частью неравенства (10).
Тем самым доказано, что
d
ds
∫
ΦsG
u2 dµ = o(s), s→ 0,
и осталось воспользоваться равенством (8).
Лемма доказана.
3. Основная теорема.
Теорема 1. Пусть G — ограниченная область в H, граница S которой согласована с
конечной борелевской мерой µ, выполнены дополнительные условия а) и б) на меру µ и область
G. Тогда C1
0 (G) плотно в Ker γ в норме графика оператора grad .
Доказательство. Пусть u ∈ Ker γ и ε > 0. В силу леммы 5 и абсолютной непрерывности
интеграла существует такое δ > 0, для которого одновременно выполняются неравенства ∫
G\Φ−δG
u2 dµ
1
2
< ε δ,
∫
G\Φ−δG
∥∥gradu∥∥2
dµ
1
2
< ε.
Далее подбираем функцию v ∈ C1(G), для которой одновременно выполнены условия
‖v − u‖L2(G) < ε δ,
∣∣∣∣∣∣grad v − gradu
∣∣∣∣∣∣ < ε. (11)
Тогда ∫
G\Φ−δG
v2 dµ
1
2
< 2ε δ,
∫
G\Φ−δG
∥∥grad v∥∥2
dµ
1
2
< 2ε. (12)
Существует функция ϕ ∈ C1
0 (G), для которой ϕ(x) = 1 для x ∈ Φ−δG, 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1
и
∥∥gradϕ(x)
∥∥ ≤ 4
δ
для всех x ∈ G. Функцию ϕ можно найти из следующих соображений.
Каждая точка x ∈ G \ Φ−δG определяет число t = t(x) по формуле x = Φ−ty, где y ∈ S,
0 ≤ t ≤ δ.Функция t(·) ∈ C1(G \Gδ) и grad t(x) = −
(
∂Φ
∂x
(t(x), x)
)∗
n
(
Φ(t(x), x)
)
(см. [1]).
Уменьшив, если необходимо, δ > 0, можно добиться выполнения неравенства ‖grad t(x)‖ < 2
для всех x ∈ G \ Φ−δG, поскольку ‖grad t(x)‖ ≡ 1 на S. Затем следует взять функцию
h ∈ C1([0; δ]), для которой при некотором α > 0 h
∣∣∣[0;α] = 0, h(t) ∈ [0; 1], |h′(t)| ≤ 2
δ
для
каждого t ∈ [0; δ], h(δ) = 1, h′(δ) = 0, положить ϕ = h ◦ t и доопределить в Φ−δG, положив
ϕ(x) = 1 для каждого x ∈ Φ−δG.
Теперь v · ϕ ∈ C1
0 (G) и (см. (12))
‖v − v · ϕ‖L2(G) =
∫
G\Φ−δG
v2 (1− ϕ)2 dµ
1
2
≤ 2ε δ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1460 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
|||grad v − grad (v · ϕ)||| ≤ |||(1− ϕ)grad v|||+ |||v · gradϕ||| <
<
∫
G\Φ−δG
‖grad v‖2 dµ
1
2
+
∫
G\Φ−δG
v2 ‖gradϕ‖2 dµ
1
2
≤
≤ 2ε+
4
δ
· 2εδ = 10ε.
Учитывая (11), получаем ‖u − v · ϕ‖L2(G) < 3εδ,
∣∣∣∣∣∣gradu − grad (v · ϕ)
∣∣∣∣∣∣ < 11ε, что и
доказывает теорему.
L2-версию оператора дивергенции на всем H зададим как оператор div : L2(H;H) →
→ L2(H), определенный равенством∫
H
(
div Z , u
)
dµ = −
∫
H
(
Z , gradu
)
dµ,
которое должно выполняться для всех u ∈ C1
b (H). Другими словами, div = −(grad )∗, где
grad : L2(H) ⊃ C1
b (H) 3 u 7→ gradu ∈ L2(H;H). Соответствующий оператор Лапласа
задаем формулой 4 = div ◦grad .
Формула (4) оправдывает задание оператора дивергенции divG : L2(G;H) → L2(G) в G
формулой divG = −
(
grad
∣∣∣Ker γ
)∗
. В силу доказанной теоремы оператор divG допускает и
эквивалентное альтернативное определение divG = −
(
grad
∣∣∣C1
0 (G)
)∗
, где оператор grad :
L2(G) ⊃ C1(G) → L2(G;H) совпадает с оператором из п. 1. Соответствующий оператор
Лапласа имеет вид 4G = divG ◦grad .
Из теоремы 1 получаем такое следствие.
Следствие 1. 1. Если Z ∈ D(div), то Z |G ∈ D(divG) и при этом
(
div Z
)
|G =
= divG
(
Z |G
)
.
2. Если u ∈ D(4), то u|G ∈ D(4G) и при этом (4u)|G = 4G(u|G).
1. Богданский Ю. В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона
в L2-версии // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1169 – 1178.
2. Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 10. – С. 1299 – 1313.
3. Uglanov A. V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
2000. – 262 p.
4. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве
// Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 6. – С. 733 – 739.
Получено 14.03.14,
после доработки — 10.07.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2081 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:21Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6b/a21e2116b3cf38ed5f15f29c62f2ef6b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20812019-12-05T09:50:14Z Boundary Trace Operator in a Domain of Hilbert Space and the Characteristic Property of its Kernel Граничный оператор следа в области гильбертова пространства и характеристическое свойство его ядра Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. We prove an infinite-dimensional analog of the classical theorem on density of the set $C_0^1 (G)$ of finite smooth functions in the kernel of the boundary trace operator $γ: H_1(G) → L_2(∂G)$. Доведено нєскінчєнновимірний аналог класичної теореми про щільність множини $C_0^1 (G)$ Фінітних гладких Функцій в ядрі граничного оператора сліду $γ: H_1(G) → L_2(∂G)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2081 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 11 (2015); 1450-1460 Український математичний журнал; Том 67 № 11 (2015); 1450-1460 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2081/1177 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2081/1178 Copyright (c) 2015 Bogdanskii Yu. V. |
| spellingShingle | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. Boundary Trace Operator in a Domain of Hilbert Space and the Characteristic Property of its Kernel |
| title | Boundary Trace Operator in a Domain of Hilbert Space and the Characteristic Property of its Kernel |
| title_alt | Граничный оператор следа в области гильбертова пространства и характеристическое свойство его ядра |
| title_full | Boundary Trace Operator in a Domain of Hilbert Space and the Characteristic Property of its Kernel |
| title_fullStr | Boundary Trace Operator in a Domain of Hilbert Space and the Characteristic Property of its Kernel |
| title_full_unstemmed | Boundary Trace Operator in a Domain of Hilbert Space and the Characteristic Property of its Kernel |
| title_short | Boundary Trace Operator in a Domain of Hilbert Space and the Characteristic Property of its Kernel |
| title_sort | boundary trace operator in a domain of hilbert space and the characteristic property of its kernel |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2081 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiyuv boundarytraceoperatorinadomainofhilbertspaceandthecharacteristicpropertyofitskernel AT bogdanskijûv boundarytraceoperatorinadomainofhilbertspaceandthecharacteristicpropertyofitskernel AT bogdanskijûv boundarytraceoperatorinadomainofhilbertspaceandthecharacteristicpropertyofitskernel AT bogdanskiiyuv graničnyjoperatorsledavoblastigilʹbertovaprostranstvaiharakterističeskoesvojstvoegoâdra AT bogdanskijûv graničnyjoperatorsledavoblastigilʹbertovaprostranstvaiharakterističeskoesvojstvoegoâdra AT bogdanskijûv graničnyjoperatorsledavoblastigilʹbertovaprostranstvaiharakterističeskoesvojstvoegoâdra |