On Simple-Layer Potentials for One Class of Pseudodifferential Equations
We construct single-layer potentials for a class of pseudodifferential equations connected with symmetric stable stochastic processes. An operator similar to the operator of gradient in the classical potential theory is selected and an analog of the classical theorem on the jump of (co)normal deriva...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2015
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2086 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508013792591872 |
|---|---|
| author | Osipchuk, M. M. Portenko, N. I. Осипчук, М. М. Портенко, М. І. |
| author_facet | Osipchuk, M. M. Portenko, N. I. Осипчук, М. М. Портенко, М. І. |
| author_sort | Osipchuk, M. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:50:14Z |
| description | We construct single-layer potentials for a class of pseudodifferential equations connected with symmetric stable stochastic processes. An operator similar to the operator of gradient in the classical potential theory is selected and an analog of the classical theorem on the jump of (co)normal derivative of single-layer potential is established. This result allows us to construct solutions of some initial-boundary-value problems for pseudodifferential equations of the indicated kind. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:18:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.2
М. М. Осипчук (Прикарпат. нац. ун-т iм. В. Стефаника, Iвано-Франкiвськ),
М. I. Портенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ПОТЕНЦIАЛИ ПРОСТОГО ШАРУ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
We consider single-layer potentials for a class of pseudodifferential equations connected with symmetric stable stochastic
processes. An operator similar to the operator of gradient in the classical potential theory is selected and an analog of the
classical theorem on the jump of (co)normal derivative of a single-layer potential is established. This result allows one to
construct a solution of some initial-boundary-value problems for pseudodifferential equations of the indicated kind.
Построены потенциалы простого слоя для класса псевдодифференциальных уравнений, связанных с симметричны-
ми устойчивыми случайными процессами. Выделен оператор, который является аналогом градиента в классической
теории, и доказана теорема, аналогичная классической теореме о скачке (ко-)нормальной производной потенциала
простого слоя. С помощью этой теоремы построены решения некоторых начально-краевых задач для псевдодиф-
ференциальных уравнений упомянутого класса.
Вступ. Протягом останнiх рокiв псевдодиференцiальнi рiвняння стали об’єктом численних
публiкацiй (див., наприклад, монографiю [1] i наведену там бiблiографiю). Для авторiв цiєї
статтi, як математикiв-ймовiрнiсникiв, найближчими є тi роботи (наприклад, тритомник [2]), якi
присвячено псевдодиференцiальним рiвнянням параболiчного типу, що вiдповiдають певним
класам випадкових процесiв. Серед таких найпростiшими є симетричнi стiйкi процеси. Їх роль
у вiдповiднiй теорiї потенцiалу є такою ж, яку вiдiграє вiнерiв процес у класичнiй теорiї.
Однiєю з найкрасивiших в класичнiй теорiї є теорема про стрибок (ко-)нормальної похiдної
потенцiалу простого шару. Саме вона дає змогу будувати розв’язки початково-крайових задач
типу задачi Неймана або третьої крайової задачi (див., наприклад, [3, 4]).
Мета цiєї роботи — побудувати щось подiбне для псевдодиференцiальних рiвнянь, породже-
них багатовимiрними симетричними стiйкими процесами. Генератор таких процесiв вiдiграє
роль лапласiана у класичнiй теорiї. Ми вказуємо оператор, роль якого в новiй теорiї подiб-
на до ролi градiєнта у класицi. Потiм формулюємо i доводимо аналог теореми про стрибок
(ко-)нормальної похiдної потенцiалу простого шару, а з його допомогою будуємо розв’язки
деяких початково-крайових задач для вiдповiдних псевдодиференцiальних рiвнянь.
1. Багатовимiрнi симетричнi стiйкi процеси. 1.1. Оператор A. Зафiксуємо пара-
метри c > 0, α ∈ (1, 2) та цiле число d ≥ 1. Визначимо оператор A його символом:
(−c|ξ|α)ξ∈Rd (через Rd позначається d-вимiрний евклiдiв простiр). Це означає, що A дiє
на функцiю (ϕ(x))x∈Rd , яка є перетворенням Фур’є деякої функцiї (Φ(ξ))ξ∈Rd , за прави-
лом Aϕ(x) = −c
∫
Rd
|ξ|α exp{i(x, ξ)}Φ(ξ) dξ, x ∈ Rd, за умови, що iнтеграл у цiй форму-
лi є визначеним. Iнше зображення дiї оператора A на функцiю (ϕ(x))x∈Rd дається форму-
лою Aϕ(x) =
c
κ
∫
Rd
ϕ(x+ y)− ϕ(x)− (∇ϕ(x), y)
|y|d+α
dy, x ∈ Rd, за припущення, що функцiя
ϕ(x) є достатньо гладкою i обмеженою разом зi своїми похiдними. В цiй формулi стала
κ = −2π
d−1
2 Γ(2− α)Γ((α+ 1)/2) cos(πα/2)
α(α− 1)Γ((d+ α)/2)
залежить лише вiд α ∈ (1, 2) i розмiрностi прос-
тору d.
c© М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО, 2015
1512 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ПРО ПОТЕНЦIАЛИ ПРОСТОГО ШАРУ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1513
1.2. Щiльнiсть ймовiрностi переходу. Для t > 0, x ∈ Rd та y ∈ Rd покладемо
g(t, x, y) =
1
(2π)d
∫
Rd
exp{i(x− y, ξ)− ct|ξ|α} dξ. (1)
Нескладно перевiрити, що функцiя g є неперервною за сукупнiстю змiнних, а також задо-
вольняє такi умови:
(а) g(s+ t, x, y) =
∫
Rd
g(s, x, z)g(t, z, y) dz, s > 0, t > 0, x ∈ Rd, y ∈ Rd;
(б)
∫
Rd
g(t, x, y) dy ≡ 1, t > 0, x ∈ Rd;
(в) g(t, x, y) > 0, t > 0, x ∈ Rd, y ∈ Rd.
Отже, iснує процес Маркова в Rd, для якого g є щiльнiстю (вiдносно лебегової мiри в
Rd) ймовiрностi переходу. Бiльше того, цей процес можна вибрати так, щоб його траєкторiї
були неперервними справа i не мали розривiв другого роду. Саме цей процес i називатимемо
симетричним стiйким процесом в Rd (з параметрами c та α).
1.3. Задача Кошi. Для неперервної обмеженої функцiї (ϕ(x))x∈Rd з дiйсними значеннями
покладемо
u(t, x, ϕ) =
∫
Rd
g(t, x, y)ϕ(y) dy, t > 0, x ∈ Rd. (2)
Легко перевiряється, що ця функцiя є розв’язком задачi Кошi
∂u(t, x)
∂t
= Au(t, x), t > 0, x ∈ Rd, (3)
lim
t→0+
u(t, x) = ϕ(x), x ∈ Rd. (4)
Будемо позначати через Cb(Rd) банахiв простiр усiх обмежених неперервних функцiй
(ϕ(x))x∈Rd зi значеннями в R1, для яких ‖ϕ‖ = supx∈Rd |ϕ(x)|. Через C0(Rd) позначатиме-
мо пiдпростiр Cb(Rd), складений iз тих функцiй ϕ ∈ Cb(Rd), для яких при довiльному ε > 0
множина {x ∈ Rd : |ϕ(x)| ≥ ε} є компактом в Rd.
Неважко зрозумiти, що при всiх t > 0 функцiя u(t, ·, ϕ), визначена iнтегралом (2), є функ-
цiєю з C0(Rd), якщо такою є функцiя ϕ.
З принципу максимуму для рiвняння (3) (див., наприклад, [1], лема 4.7) випливає, що
розв’язок задачi Кошi (3), (4) єдиний у класi C0(Rd).
1.4. Деякi властивостi симетричних стiйких розподiлiв. Для цiлих d ≥ 1 та x ∈ Rd
покладемо hd(x) = (2π)−d
∫
Rd
exp{−i(x, ξ) − c|ξ|α} dξ. Функцiя g, визначена формулою (1),
виражається через hd рiвнiстю g(t, x, y) = t−d/αhd((y − x)t−1/α), t > 0, x ∈ Rd, y ∈ Rd.
Наступне зображення функцiї hd є вiдомим (див., наприклад, [5]):
hd(x) = (2π)−d/2|x|−d/2+1
+∞∫
0
ρd/2e−cρ
α
Jd/2−1(ρ|x|) dρ, x ∈ Rd, (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1514 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
де Jµ означає бесселеву функцiю, тобто Jµ(z) =
(z/2)µ√
πΓ(µ+ 1/2)
∫ 1
−1
(1 − u2)µ−1/2 cos(zu) du
при Reµ > −1/2 та J−1/2(z) =
√
2
πz
cos z.
Формула (5) має своїм наслiдком наступне твердження, що характеризує поведiнку hd при
великих |x| (див. [5]):
lim
|x|→+∞
|x|d+αhd(x) = α c 2α−1π−d/2−1 sin
πα
2
Γ
(
d+ α
2
)
Γ
(α
2
)
. (6)
З цього твердження легко вивести iснування такої сталоїN,що hd(x) ≤ N 1
(1 + |x|)d+α
, x ∈ Rd,
звiдки випливає нерiвнiсть для функцiї g
g(t, x, y) ≤ N t
(t1/α + |x− y|)d+α
, (7)
що справджується при всiх t > 0, x ∈ Rd та y ∈ Rd. Цю нерiвнiсть, як i деякi бiльш за-
гальнi, включаючи нерiвностi для (дробових) похiдних вiд g, можна знайти в [1]. Нижче ми
використаємо подiбнi оцiнки.
Наступне твердження є майже очевидним, однак ми наведемо його аналiтичне доведення.
Лема 1. Нехай d ≥ 2, ν — фiксований орт в Rd, а x̃ — довiльний вектор в Rd, ортогональ-
ний до ν. Тодi для довiльного ξ ∈ R1 виконується рiвнiсть∫
R1
eiλξhd(λν + x̃) dλ = (2π)−
d−1
2 |x̃|−
d−3
2
+∞∫
0
exp{−c(ξ2 + ρ2)α/2}ρ
d−1
2 J d−3
2
(ρ|x̃|) dρ. (8)
Доведення. Позначимо iнтеграл у лiвiй частинi (8) через I. З формули (5) випливає рiвнiсть
I =
2
(2π)d/2
+∞∫
0
ρd/2e−cρ
α
dρ
+∞∫
0
Jd/2−1(ρ
√
λ2 + b2)(λ2 + b2)−
d−2
4 cos(λξ) dλ,
де b = |x̃|. Внутрiшнiй iнтеграл у цiй формулi обчислюється (див. [6], гл. III, § 16), а саме
+∞∫
0
Jd/2−1(ρ
√
λ2 + b2)(λ2 + b2)−
d−2
4 cos(λξ) dλ =
=
0, якщо |ξ| > ρ,√
π
2
ρ−
d−2
2 J d−3
2
(
b
√
ρ2 − ξ2
)(√
ρ2−ξ2
b
) d−3
2
, якщо |ξ| < ρ.
Тому
I = (2π)−
d−1
2 b−
d−3
2
+∞∫
|ξ|
e−cρ
α
ρ J d−3
2
(
b
√
ρ2 − ξ2
)(√
ρ2 − ξ2
) d−3
2
dρ.
Виконуючи тут пiдстановку ρ′ =
√
ρ2 − ξ2, отримуємо формулу (8).
Лему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ПРО ПОТЕНЦIАЛИ ПРОСТОГО ШАРУ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1515
Наслiдок 1. Нехай L — пiдпростiр Rd, dimL = k, 1 ≤ k < d. Для довiльних ξ ∈ L та
x̃ ∈ L⊥ справджується рiвнiсть∫
L
ei(x,ξ)hd(x+ x̃) dx = (2π)−
d−k
2 |x̃|−
d−k−2
2
+∞∫
0
ρ
d−k
2 exp
{
−c(|ξ|2 + ρ2)α/2
}
J d−k−2
2
(ρ|x̃|) dρ.
Зокрема, якщо ν — фiксований орт в Rd, S =
{
x ∈ Rd : (x, ν) = 0
}
, то для ξ ∈ S та λ ∈ R1
справедливим є спiввiдношення∫
S
ei(x,ξ)hd(x+ λν) dx =
1
π
+∞∫
0
e−c(|ξ|
2+ρ2)α/2 cos(ρλ) dρ. (9)
2. Потенцiали простого шару. 2.1. Поверхнi класу H1+γ . Нехай задано деяку обмежену
замкнену поверхню S, яка роздiляє множину Rd \S на двi вiдкритi пiдмножини: внутрiшню D
та зовнiшню Rd\D̄ (через Γ̄ позначається замикання множини Γ ⊂ Rd). Будемо припускати, що
в кожнiй точцi x ∈ S iснує дотична до S гiперплощина. Через ν(x) позначатимемо одиничний
вектор зовнiшньої нормалi до S у точцi x ∈ S. Локальною системою координат у точцi x ∈ S
називається така ортогональна система координат (y1, y2, . . . , yd) з початком у точцi x, що
yd = (ν(x), y). Припускатиметься, що iснує таке r0 > 0, що для будь-якої точки x ∈ S частина
поверхнi Sr0(x) = S ∩ Br0(x) (тут i далi через Bδ(z) позначено замкнену кулю в Rd радiуса
δ > 0 з центром у точцi z ∈ Rd) може бути заданою в локальнiй системi координат (з початком
у точцi x) рiвнянням yd = F (y1, y2, . . . , yd−1), де F — деяка однозначна функцiя. Нагадаємо
(див., наприклад, [4], глава IV, § 4), що S називається поверхнею класу H1+γ для деякого
γ ∈ (0, 1), якщо для кожного x ∈ S вiдповiдна функцiя F в областi
∑d−1
k=1
(yk)2 ≤ r2
0/4 має
неперервнi частиннi похiднi
∂F
∂yk
, k = 1, 2, . . . , d − 1, якi задовольняють у цiй областi умову
Гельдера з показником γ i сталою, що не залежить вiд x. Далi будемо припускати, що поверхня
S є саме такою.
Елементарно доводиться, що для замкненої поверхнi S класу H1+γ виконується нерiвнiсть∫
S
dσy
(t1/α + |y − x|)d+α
≤ K̃ t−1−1/α при всiх t > 0 та x ∈ Rd з деякою сталою K̃ > 0. Ця
нерiвнiсть разом з (7) приводить до оцiнки∫
S
g(t, x, y) dσy ≤ Kt−1/α, (10)
що справджується при всiх t > 0 та x ∈ Rd з деякою сталою K > 0.
2.2. Потенцiал простого шару. Нехай на множинi (0,+∞)× S задано неперервну функ-
цiю v, яка задовольняє нерiвнiсть |v(t, x)| ≤ C t−β при всiх (t, x) ∈ (0,+∞) × S iз деякими
сталими C > 0 та β < 1. Розглянемо функцiю U змiнних t > 0 та x ∈ Rd, що визначається
рiвнiстю U(t, x) =
∫ t
0
dτ
∫
S
g(t−τ, x, y)v(τ, y) dσy. Неважко бачити, що це неперервна функцiя
за сукупнiстю змiнних в областi (t, x) ∈ (0,+∞) × Rd, яка задовольняє нерiвнiсть |U(t, x)| ≤
≤ C K Γ(1− β)Γ(1− 1/α)
Γ(2− β − 1/α)
t1−β−1/α, деK — стала з (10). Ця функцiя i називається потенцiалом
простого шару (з густиною v „маси”, розподiленою по поверхнi S).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1516 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
Покажемо, що функцiя U задовольняє рiвняння (3) в областi (t, x) ∈ (0,+∞) × (Rd \ S).
З цiєю метою оцiнимо значення функцiї Ag(t, ·, y)(x) (далi це будемо записувати коротше
Axg(t, x, y)) в областi t > 0, x /∈ S. Використовуючи означення оператора A, можемо записати
Axg(t, x, y) = − c
(2π)d
∫
Rd
|ξ|α exp{i(x− y, ξ)− ct|ξ|α} dξ =
= − c
(2π)d
t−(d+α)/α
∫
Rd
|ξ|α exp
{
i
(
x− y
t1/α
, ξ
)
− c|ξ|α
}
dξ.
Згiдно з лемою 4.2 в [1], iснує така стала N > 0, що при t > 0, x /∈ S та y ∈ S
|Axg(t, x, y)| ≤ N
(t1/α + |x− y|)d+α
≤ N
(t1/α + d(x, S))d+α
,
де через d(x, S) позначено вiдстань вiд x до S. Тому
t∫
0
dτ
∫
S
|Axg(t− τ, x, y)||v(τ, y)| dσy ≤ C N |S|
t∫
0
dτ
τβ((t− τ)1/α + d(x, S))d+α
,
де |S| — площа поверхнi S. Iнтеграл у правiй частинi цiєї нерiвностi скiнченний при t > 0.
Така ж нерiвнiсть виконується i у випадку, якщо замiсть Axg(t − τ, x, y) у лiвiй частинi буде
∂g(t− τ, x, y)
∂t
, оскiльки g(t−τ, x, y), як функцiя аргументiв (t, x) ∈ (τ,+∞)×Rd, задовольняє
рiвняння (3) при фiксованих τ > 0 та y ∈ Rd. Отже, залишилося довести, що при фiксованих
x /∈ S та t > 0 limε→0+
∫
S
g(ε, x, y)v(t, y) dσy = 0. Але це випливає з нерiвностi (7):∫
S
g(ε, x, y)|v(t, y)| dσy ≤ C N |S| t−β
ε
(ε1/α + d(x, S))d+α
.
Таким чином,
∂U
∂t
= AU в областi (t, x) ∈ (0,+∞)× (Rd \ S).
Цей результат узгоджується з вiдповiдним класичним результатом: поза поверхнею-носiєм
потенцiалу простого шару вiн є розв’язком вiдповiдного параболiчного рiвняння (див. [4],
гл. V).
2.3. Оператор B. Позначимо через B оператор, символом якого є векторна функцiя
(2ic|ξ|α−2ξ)ξ∈Rd (тут i — уявна одиниця). Це означає, що дiя оператора B на функцiю ϕ(x) =
=
∫
Rd
ei(x,ξ)Φ(ξ) dξ, x ∈ Rd, визначається рiвнiстю Bϕ(x) = 2ic
∫
Rd
ξ|ξ|α−2ei(x,ξ)Φ(ξ) dξ,
x ∈ Rd, за припущення, що цей iнтеграл є визначеним.
Iнша формула для результату дiї оператора B на досить гладку функцiю (ψ(x))x∈Rd має
вигляд Bψ(x) =
2c
ακ
∫
Rd
ψ(x+ y)− ψ(x)
|y|d+α
y dy, x ∈ Rd, де κ — стала, визначена вище (див.
пп. 1.1).
Оператор B буде вiдiгравати роль, подiбну до ролi градiєнта у класичнiй теорiї. Зауважимо,
що A =
1
2
divB.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ПРО ПОТЕНЦIАЛИ ПРОСТОГО ШАРУ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1517
Для фiксованого орта ν ∈ Rd через Bν позначаємо оператор, що визначається символом
(2ic|ξ|α−2(ξ, ν))ξ∈Rd . Цей оператор є аналогом оператора диференцiювання у напрямку ν.
Позначимо через gν(t, x, y) результат дiї оператора Bν на функцiю g, як функцiю середнього
аргументу gν(t, x, y) = Bνg(t, ·, y)(x), t > 0, x ∈ Rd, y ∈ Rd. З формули (1) випливає рiвнiсть
gν(t, x, y) =
2ic
(2π)d
∫
Rd
exp{i(x − y, ξ) − ct|ξ|α}|ξ|α−2(ξ, ν) dξ, що справджується при t > 0,
x ∈ Rd та y ∈ Rd. Iнтегрування частинами тут приводить до формули
gν(t, x, y) =
2
α
(y − x, ν)
t
g(t, x, y). (11)
Ця формула цiлком подiбна до похiдної в напрямку ν щiльностi ймовiрностi переходу вiнеро-
вого процесу.
Нехай тепер S, як i вище, є заданою обмеженою замкненою поверхнею в Rd, що на-
лежить класу H1+γ . Зафiксуємо точку x0 ∈ S i покажемо, що при 0 < τ < t iснує iнтеграл∫
S
gν(x0)(t−τ, x0, y)v(τ, y) dσy, де v — функцiя на (0,+∞)×S, яка задовольняє умови з пп. 2.2.
Позначивши цей iнтеграл через I i врахувавши (11), можемо записати
I =
2
α(t− τ)
∫
S
(y − x0, ν(x0))g(t− τ, x0, y)v(τ, y) dσy = I ′ + I ′′,
де I ′ вiдповiдає iнтегралу по Sr0/2(x0), а I ′′ — по S \ Sr0/2(x0).
Для y ∈ Sr0/2(x0), використовуючи локальну систему координат (див. пп. 2.1), будемо
мати |(y, ν(x0))| ≤ const |y|1+γ (тут const не залежить вiд x0). Оцiнка (7) дозволяє тепер
стверджувати, що
|I ′| ≤ const τ−β
∫
Sr0/2(x0)
|y|1+γ dσy
((t− τ)1/α + |y|)d+α
≤ const τ−β(t− τ)−1+γ/α.
Далi, iснують додатне число δ0 i скiнченна кiлькiсть точок x1, x2, . . . , xm на поверхнi S таких,
що S \ Sr0/2(x0) ⊆
⋃m0
k=1 Sr0/2(xk) i при цьому infy∈Sr0/2(xk) |y − x0| ≥ δ0 при всiх k =
= 1, 2, . . . ,m0. Але тодi |I ′′| ≤ const τ−β((t− τ)1/α + δ0)−d−α.
З нерiвностей для I ′ та I ′′ випливає таке твердження.
Лема 2. Якщо S — замкнена обмежена поверхня класу H1+γ , що роздiляє множину Rd \S
на двi вiдкритi пiдмножини, а (v(t, x))t>0,x∈S — неперервна функцiя, що задовольняє умову
|v(t, x)| ≤ C t−β, t > 0, x ∈ S, з деякими сталими C > 0 та β < 1, то для будь-якого T > 0
iснує така стала CT > 0, що при (t, x) ∈ (0, T ]× S справджується оцiнка∣∣∣∣∣∣
t∫
0
dτ
∫
S
gν(x)(t− τ, x, y)v(τ, y) dσy
∣∣∣∣∣∣ ≤ CT t−β+γ/α. (12)
Iнтеграл у лiвiй частинi (12) називається прямим значенням дiї оператора Bν(x), x ∈ S, на
потенцiал простого шару. Лема 2 у класичнiй теорiї формулюється так: пряме значення (ко-)
нормальної похiдної простого шару iснує.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1518 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
Зауваження 1. Мiркування, подiбнi до тих, що доводять лему 1 iз § 3 глави I книги [4],
дозволяють стверджувати, що лiва частина нерiвностi (12) є неперервною функцiєю аргументiв
(t, x) ∈ (0,+∞)× S.
2.4. Основний результат. Нехай поверхня S та функцiя v на (0,+∞)× S задовольняють
умови леми 2. Знову зафiксуємо точку x0 ∈ S i для t > 0 та x /∈ S розглянемо iнтеграл
t∫
0
dτ
∫
S
gν(x0)(t− τ, x, y)v(τ, y) dσy. (13)
Його iснування випливає з мiркувань, аналогiчних наведеним у пп. 2.2, а саме,∣∣∣∣∣∣
∫
S
gν(x0)(t− τ, x, y)v(τ, y) dσy
∣∣∣∣∣∣ ≤ 2
α
N C τ−β
∫
S
|y − x| dσy
((t− τ)1/α + |y − x|)d+α
≤
≤ 2
α
N C τ−β
∫
S
dσy
((t− τ)1/α + |y − x|)d+α−1
≤ 2
α
N C |S| τ−β((t− τ)1/α + d(x, S))−d−α+1,
звiдки
t∫
0
dτ
∫
S
|gν(x0)(t− τ, x, y)v(τ, y)| dσy ≤
2
α
N C |S|
t∫
0
τ−β((t− τ)1/α + d(x, S))−d−α+1 dτ,
i права частина тут є скiнченною при t > 0.
Iнтеграл (13) є результатом застосування оператора Bν(x0), x0 ∈ S, до потенцiалу простого
шару U(t, x) =
∫ t
0
dτ
∫
S
g(t− τ, x, y)v(τ, y) dσy у точцi (t, x) ∈ (0,+∞)× (Rd \S). Позначимо
iнтеграл (13) через Uν(x0)(t, x). Наше завдання тепер полягає в дослiдженнi поведiнки функцiї
Uν(x0)(t, x) при x → x0. Як i в класичнiй теорiї, функцiя Uν(x0) при переходi через поверхню
робить стрибок. Точнiше, справедливим є таке твердження.
Теорема 1. Якщо S — замкнена обмежена поверхня в Rd класу H1+γ , що роздiляє мно-
жину Rd \ S на двi вiдкритi пiдмножини, а (v(t, x))t>0,x∈S — неперервна функцiя з дiйсними
значеннями, що задовольняє умову |v(t, x)| ≤ C t−β з деякими сталими C > 0 та β < 1, то
при фiксованих t > 0 та x0 ∈ S справджується спiввiдношення
lim
x→x0±
t∫
0
dτ
∫
S
gν(x0)(t− τ, x, y)v(τ, y) dσy =
= ∓v(t, x0) +
t∫
0
dτ
∫
S
gν(x0)(t− τ, x0, y)v(τ, y) dσy, (14)
де x → x0+ (вiдповiдно x0−) означає, що x наближається до x0 вздовж довiльної кривої,
розташованої в деякому замкненому обмеженому конусiK в Rd з вершиною в точцi x0, такому,
що (див. позначення в пп. 2.1) K ⊂ (Rd \ D̄) ∪ {x0} (вiдповiдно K ⊂ D ∪ {x0}).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ПРО ПОТЕНЦIАЛИ ПРОСТОГО ШАРУ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1519
Доведення багато в чому повторює доведення класичного результату, хоча є i певнi вiд-
мiнностi. Тому ми наведемо короткий його виклад. Зокрема, досить розглянути лише випадок,
коли x наближається до x0 вздовж нормалi ν(x0), тобто x = x0 + δν(x0), де δ ∈ R1 i δ → 0.
Тодi
Uν(x0)(t, x) =
2
α
t∫
0
dτ
t− τ
∫
S
(y − x0, ν(x0))g(t− τ, x, y)v(τ, y) dσy−
− 2
α
δ
t∫
0
dτ
t− τ
∫
S
g(t− τ, x, y)v(τ, y) dσy = J1 + J2.
Позначимо iнтеграл у лiвiй частинi (12) через V (t, x), t > 0, x ∈ S. Доданок J1 у попереднiй
формулi можна записати так:
J1 = V (t, x0) +
2
α
t∫
0
dτ
t− τ
∫
S
(y − x0, ν(x0))v(τ, y)(g(t− τ, x, y)− g(t− τ, x0, y)) dσy =
= V (t, x0) + J ′1.
Доведемо, що limδ→0 J
′
1 = 0. Як видно з доведення леми 2 (див. оцiнки для I ′ та I ′′),∣∣∣∣∣∣
t∫
t−ρ
dτ
t− τ
∫
S
(y − x0ν(x0))g(t− τ, x0, y)v(τ, y) dσy
∣∣∣∣∣∣ ≤ const
(t− ρ)β
ρ
γ
α ,
i праву частину тут можна зробити як завгодно малою вибором досить малого ρ > 0 (t > 0 є
фiксованим).
Покажемо, що так само малим буде i iнтеграл
t∫
t−ρ
dτ
t− τ
∫
S
(y − x0, ν(x0))g(t− τ, x, y)v(τ, y) dσy, x = x0 + δν(x0),
який ми запишемо як суму двох доданкiв: перший iз них вiдповiдає внутрiшньому iнтегралу
по Sr0/2(x0), а другий — по S \ Sr0/2(x0). Позначимо цi доданки через Q1 та Q2 вiдповiдно.
Можемо записати |Q1| ≤ const
∫ t
t−ρ
dτ
τβ
∫
Sr0/2(x0)
|y − x0|1+γ dσy
((t− τ)1/α + |y − x|)d+α
.
Позначимо через ỹ ортогональну проекцiю y ∈ Sr0/2(x0) на площину, дотичну до S у точцi
x0. Очевидно, |y−x| ≥ |ỹ−x0|. З iншого боку, виконується нерiвнiсть 0 < const 1 ≤
|y − z|
|ỹ − z|
≤
≤ const 2 для y ∈ Sr0/2(x0) та z = x0 + ζν(x0) при ζ ∈ [−|δ|, |δ|] (це доведено в § 1 глави V
[4]). Тому, переходячи до локальних координат iз початком у точцi x0, отримуємо нерiвностi
(через ∆x0 позначено деяку область в Rd−1)
|Q1| ≤ const
t∫
t−ρ
dτ
τβ
∫
∆x0
|ỹ|1+γ dỹ
((t− τ)1/α + |ỹ|)d+α
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1520 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
≤ const
(t− ρ)β
t∫
t−ρ
dτ
∫
Rd−1
|ỹ|1+γ dỹ
((t− τ)1/α + |ỹ|)d+α
=
const
(t− ρ)β
ρ
γ
α .
Таким чином, Q1 стає малим при ρ→ 0 + . Доданок Q2 оцiнюється величиною, що також стає
малою при ρ → 0+, з допомогою мiркувань, подiбних до тих, що використанi при доведеннi
леми 2 (див. оцiнки для I ′′).
Тепер зафiксуємо таке ρ > 0, щоб сума |Q1| + |Q2| була досить малою, i розглянемо
iнтеграл
2
α
∫ t−ρ
0
dτ
t− τ
∫
S
(y − x0, ν(x0))v(τ, y)(g(t− τ, x, y)− g(t− τ, x0, y)) dσy. Позначивши
цей iнтеграл черезQ3, зауважимо, що функцiя g(t−τ, x, y) рiвномiрно неперервна на множинах
(τ, x, y) ∈ [0, t − ρ] × K1 × K2, де K1 та K2 — довiльнi компакти в Rd. Тому limδ→0Q3 = 0
(нагадаємо, що x = x0 + δν(x0)). Це завершує доведення спiввiдношення limδ→0 J
′
1 = 0. Отже,
lim
δ→0
J1 = V (t, x0). (15)
Залишилося дослiдити поведiнку J2 при δ → 0. Покладемо J2 =
∑4
k=1
J
(k)
2 , де
J
(1)
2 = −2δ
α
v(t, x0)
t∫
t−ρ
dτ
t− τ
∫
Sε(x0)
g(τ, x, y) dσy,
J
(2)
2 =
2δ
α
t∫
t−ρ
dτ
t− τ
∫
Sε(x0)
g(τ, x, y)(v(t, x0)− v(τ, y)) dσy,
J
(3)
2 = −2δ
α
t−ρ∫
0
dτ
t− τ
∫
Sε(x0)
g(τ, x, y)v(τ, y) dσy,
J
(4)
2 = −2δ
α
t∫
0
dτ
t− τ
∫
S\Sε(x0)
g(τ, x, y)v(τ, y) dσy.
Для оцiнки J
(4)
2 при фiксованому ε > 0 використаємо мiркування, подiбнi до тих, що
доводять лему 2 (див. оцiнювання там величини I ′′), а саме, iснують такi точки xk ∈ S \
Sε(x0), k = 1, 2, . . . , l0, та число p0 > 0, що S \ Sε(x0) ⊆
⋃l0
k=1 Sr0/2(xk), i при цьому
inf |ζ|≤|δ| infy∈Sr0/2(xk) |y−x0−ζν(x0)| ≥ p0 при всiх k = 1, 2, . . . , l0 (числа l0 та p0 залежать вiд
ε). Тому для фiксованого ε > 0 маємо |J (4)
2 | ≤
2
α
l0N C |δ|
∫ t
0
τ−β((t− τ)1/α + p0)−d−α dτ → 0
при δ → 0.
Далi, при фiксованому ρ > 0 маємо оцiнку |J (3)
2 | ≤
2
α(1− β)
N C |S| ρ−
d+α
α |δ| → 0 при
δ → 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ПРО ПОТЕНЦIАЛИ ПРОСТОГО ШАРУ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1521
Якщо тепер довести, що iснує limδ→0 J
(1)
2 при фiксованих ρ > 0 та ε > 0, то звiдси буде
випливати, що limδ→0|J
(2)
2 | можна зробити як завгодно малою вибором ρ та ε внаслiдок того,
що функцiя v неперервна в точцi (t, x0).
Позначимо через Πx0 гiперплощину в Rd, дотичну до S у точцi x0, i обчислимо границю iн-
теграла R =
2δ
α
∫ t
t−ρ
dτ
t− τ
∫
Πx0
g(t−τ, x0+δν(x0), y) dσy при δ → 0. Використовуючи формулу
(9), можемо записати R =
2δ
πα
∫ t
t−ρ
dτ
t− τ
∫ +∞
0
e−c(t−τ)rα cos(rδ) dr. Iнтегрування частинами у
внутрiшньому iнтегралi приводить до виразу R =
2c
π
∫ t
t−ρ
dτ
∫ +∞
0
e−c(t−τ)rαrα
sin(rδ)
r
dr. Так
звана друга теорема про середнє значення в iнтегральному численнi дозволяє тут змiнити по-
рядок iнтегрування (див., наприклад, [6]). Тому R = sign δ − 2
π
∫ +∞
0
e−cρr
α sin(rδ)
r
dr, звiдки
limδ→0±R = ±1.
Тепер неважко зрозумiти, що limδ→0± J
(1)
2 = ∓v(t, x0) + R1(ε, ρ), де R1(ε, ρ) стає як зав-
годно малим, якщо ε > 0 та ρ > 0 вибрано досить малими. Цим завершується доведення факту
limδ→0± J2 = ∓v(t, x0), який разом з (15) i завершує доведення теореми 1.
Зауваження 2. Нехай ν ∈ Rd — фiксований орт, а S = {x ∈ Rd : (x, ν) = 0} — гiперпло-
щина в Rd, ортогональна до ν. Формально теорему 1 не можна застосувати до гiперплощини,
проте доведення подiбного твердження в цьому випадку значно спрощується (див. [7]). Бiльше
того, в цьому випадку права частина формули (14) не буде мiстити другий доданок, оскiльки
gν(t− τ, x0, y) =
(y − x0, ν)
t− τ
g(t− τ, x0, y) = 0 при y ∈ S, x0 ∈ S. Отже, аналог теореми 1 для
гiперплощини S є таким:
lim
x→x0±
t∫
0
dτ
∫
S
gν(t− τ, x, y)v(τ, y) dσy = ∓v(t, x0).
3. Початково-крайова задача. 3.1. Постановка задачi. Нехай задано поверхню S в Rd,
яка задовольняє умови теореми 1, i неперервнi функцiї (ϕ(x))x∈Rd та (q(x))x∈S з дiйсними
значеннями, причому ϕ припускається обмеженою. Нагадаємо, що ‖ϕ‖ = supx∈Rd |ϕ(x)|, так
само ‖q‖ = maxx∈S |q(x)|.
Задача полягає в побудовi такої неперервної функцiї (u(t, x))t>0,x∈Rd , яка:
(А) задовольняє рiвняння
∂u
∂t
= Au в областi (t, x) ∈ (0,+∞)× (Rd \ S);
(Б) задовольняє початкову умову u(0+, x) = ϕ(x) при всiх x ∈ Rd;
(В) задовольняє граничну умову (1 + q(x))Bν(x)u(t, x+)− (1− q(x))Bν(x)u(t, x−) = 0 при
всiх t > 0, x ∈ S (тут Bν(x)u(t, x±) — недотичнi границi функцiї Bν(x)u(t, z) при z → x±,
див. теорему 1).
3.2. Розв’язок. Для t > 0 та x ∈ Rd покладемо
u(t, x) =
∫
Rd
g(t, x, y)ϕ(y) dy +
t∫
0
dτ
∫
S
g(t− τ, x, y)q(y)v(τ, y) dσy, (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1522 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
де (v(t, x))t>0,x∈Rd — невiдома функцiя. Наше завдання тепер — побудувати функцiю v так, щоб
для u виконувались умови (А) – (В).
З теореми 1 випливає рiвнiсть (для t > 0 та x ∈ S)
Bν(x)u(t, x±) =
∫
Rd
gν(x)(t, x, y)ϕ(y) dy ∓ q(x)v(t, x)+
+
t∫
0
dτ
∫
S
gν(x)(t− τ, x, y)q(y)v(τ, y) dσy, (17)
якщо тiльки функцiя v неперервна при (t, x) ∈ (0,+∞)× S.
Поклавши v(t, x) =
1
2
(Bν(x)u(t, x+) + Bν(x)u(t, x−)), t > 0, x ∈ S, дiстанемо iнтегральне
рiвняння для функцiї v:
v(t, x) =
∫
Rd
gν(x)(t, x, y)ϕ(y) dy +
t∫
0
dτ
∫
S
gν(x)(t− τ, x, y)q(y)v(τ, y) dσy, (18)
де t > 0, x ∈ S. Це рiвняння розв’язується методом послiдовних наближень, а саме, покладемо
v0(t, x) =
∫
Rd
gν(x)(t, x, y)ϕ(y) dy, t > 0, x ∈ S, а для n ≥ 1
vn(t, x) =
t∫
0
dτ
∫
S
gν(x)(t− τ, x, y)q(y)vn−1(τ, y) dσy, t > 0, x ∈ S.
Для v0 справджується оцiнка |v0(t, x)| ≤ L‖ϕ‖ t−1+1/α, t > 0, x ∈ S, де стала L визначається
рiвнiстю L =
2
α
∫
Rd
|z|hd(z) dz (цей iнтеграл обчислюється, але нас наразi його точне значення
не цiкавить). Зафiксуємо тепер довiльне T ∈ (0,+∞) i зауважимо, що з доведення леми 2
випливає нерiвнiсть
∫
S
|gν(x)(t − τ, x, y)| dσy ≤ KT (t − τ)−1+ γ
α , що виконується при всiх
(t, x) ∈ (0, T ]× S з деякою сталою KT > 0. Тепер iндукцiєю по n отримуємо оцiнки
|vn(t, x)| ≤ LΓ(1/α)‖ϕ‖ (KT ‖q‖Γ(γ/α))n
t−1+ 1
α
+nγ
α
Γ
(
1 + nγ
α
) , (19)
справедливi при всiх t ∈ (0, T ], x ∈ S та n = 0, 1, . . . . Очевидно, ряд
v(t, x) =
+∞∑
n=0
vn(t, x) (20)
збiгається i є неперервною функцiєю аргументiв (t, x) ∈ (0, T ] × S, яка задовольняє рiвняння
(18), а також умову |v(t, x)| ≤ NT t
−1+1/α, t ∈ (0, T ], x ∈ S, де NT > 0 — деяка стала, що,
можливо, залежить вiд T.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ПРО ПОТЕНЦIАЛИ ПРОСТОГО ШАРУ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1523
Пiдставляючи побудовану функцiю v у формулу (16), одержуємо функцiю u, яка задоволь-
няє умову (А), що випливає з результатiв пп. 1.3 та пп. 2.2. З (17) та (18) випливають рiвностi
Bν(x)u(t, x±) = (1 ∓ q(x))v(t, x), t > 0, x ∈ S, наслiдком яких є той факт, що функцiя u
задовольняє умову (В). Щоб довести, що функцiя u задовольняє також умову (Б), потрiбно
показати, що при кожному x ∈ Rd другий доданок у правiй частинi (16) прямує до нуля при
t→ 0 + . Це буде випливати з такого твердження.
Лема 3. Нехай ϕ ∈ Cb(Rd). Для кожного ε > 0 iснує таке t0 > 0, що при τ ∈ (0, t0)
виконується нерiвнiсть ∣∣∣∣∣∣
∫
Rd
gν(x)(τ, x, y)ϕ(y) dy
∣∣∣∣∣∣ ≤ ετ−1+1/α, x ∈ S. (21)
Доведення. Зауважимо, що
∫
Rd
gν(x)(τ, x, y) dy = 0 при всiх τ > 0 та x ∈ S. Тому
∫
Rd
gν(x)(τ, x, y)ϕ(y) dy =
∫
Rd
gν(x)(τ, x, y)(ϕ(y)− ϕ(x)) dy.
Нехай задано ε > 0. Виберемо r > 0 так, щоб supx∈S supy∈Br(x) |ϕ(y) − ϕ(x)| < ε
2L
, де
L — стала з нерiвностi для v0. Тодi∣∣∣∣∣∣∣
∫
Br(x)
gν(x)(τ, x, y)(ϕ(y)− ϕ(x)) dy
∣∣∣∣∣∣∣ <
ε
2
τ−1+1/α
при всiх τ > 0 та x ∈ S. Iнтеграл по Rd \Br(x) при фiксованому r > 0 оцiнимо так:∣∣∣∣∣∣∣
∫
Rd\Br(x)
gν(x)(τ, x, y)(ϕ(y)− ϕ(x)) dy
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
4
α
‖ϕ‖ τ−1
∫
Rd\Br(x)
|y − x|g(τ, x, y) dy ≤
≤ 4
α
‖ϕ‖ τ−1r−β0
∫
Rd
|y − x|1+β0g(τ, x, y) dy ≤ 4
αrβ0
‖ϕ‖ τ−1+(1+β0)/α
∫
Rd
|z|1+β0hd(z) dz,
де β0 ∈ (0, α− 1), так що останнiй iнтеграл є скiнченним. Звiдси видно, що при τ ∈ (0, t0) цей
вираз буде меншим, нiж
ε
2
τ−1+1/α, якщо тiльки t0 вибрати досить малим.
Лему доведено.
Тепер можемо сформулювати основне твердження цього пункту.
Теорема 2. Якщо S — поверхня в Rd, що задовольняє умови теореми 1, (q(x))x∈S — непе-
рервна функцiя з дiйсними значеннями, а ϕ ∈ Cb(Rd), то початково-крайова задача (А) – (В)
має такий розв’язок, який зображується формулою (16) з функцiєю v, визначеною з допомогою
ряду (20).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1524 М. М. ОСИПЧУК, М. I. ПОРТЕНКО
Доведення. Нехай задано ε > 0 i t0 вибрано так, що виконується (21). Тодi з оцiнок (19)
випливає, що сума ряду (20) буде задовольняти нерiвнiсть |v(τ, x)| ≤ ε ÑT τ
−1+1/α при τ ∈
∈ (0, t0), x ∈ S, де ÑT — деяка стала. Тепер, враховуючи нерiвнiсть (10), отримуємо таку
оцiнку для другого доданка у правiй частинi (16):∣∣∣∣∣∣
t∫
0
dτ
∫
S
g(t− τ, x, y)q(y)v(τ, y) dσy
∣∣∣∣∣∣ ≤ ε ÑT ‖q‖K
t∫
0
τ−1+1/α(t− τ)−1/α dτ =
= ε ÑT ‖q‖K Γ(1/α)Γ(1− 1/α),
якщо тiльки t ∈ (0, t0). Це завершує доведення теореми 2.
3.3. Випадок гiперплощини. Як вже зазначалось, гiперплощина S = {x ∈ Rd : (x, ν) = 0},
де ν ∈ Rd — фiксований орт, не пiдпадає пiд дiю теорем 1 та 2, однак вiдповiднi мiркува-
ння можуть бути проведенi i для неї (див. [7]). Бiльше того, розв’язок u задачi (А) – (В) для
гiперплощини S можна зобразити формулою u(t, x) =
∫
Rd
G(t, x, y)ϕ(y) dy, t > 0, x ∈ Rd,
ϕ ∈ Cb(Rd), де функцiя G визначається явно рiвнiстю
G(t, x, y) = g(t, x, y) +
t∫
0
dτ
∫
S
g(t− τ, x, z)gν(τ, z, y)q(z) dσz
при t > 0, x ∈ Rd та y /∈ S (у випадку гiперплощини вимагаємо додатково, щоб q була
обмеженою функцiєю). З теореми 1 (точнiше, з її аналога для гiперплощини), неважко вивести,
що G(t, x, y±) = (1 ± q(x))g(t, x, y) при t > 0, x ∈ Rd та y ∈ S. Та обставина, що функцiя
G задається тут явною формулою, є наслiдком спрощеного варiанту теореми 1 у випадку
гiперплощини (див. зауваження в пп. 2.4). Одновимiрний випадок розглянуто в роботi [8].
Автори статтi вдячнi А. Н. Кочубею за чiткi роз’яснення деяких деталей отриманих ним
результатiв.
1. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential
equations of parabolic type // Operator Theory: Adv. and Appl. – Basel etc.: Birkhäuser, 2004. – 152. – 387 p.
2. Jacob N. Pseudo-differential operators and Markov processes: In 3 vol. – London: Imperial College Press, 2001,
2002, 2005. – Vol. I. Fourier analysis and semigroups. – 2001. – 493 p.; Vol. II. Generators and their potential theory. –
2002. – 453 p.; Vol. III. Markov processes and applications. – 2005. – 474 p.
3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 c.
4. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 424 с.
5. Blumenthal R. M., Getoor R. K. Some theorems on stable processes // Trans. Amer. Math. Soc. – 1960. – 93, № 2. –
P. 263 – 273.
6. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. – М.: Физматиз, 1962. – 360 с.
7. Osypchuk M. M., Portenko M. I. One type of singular perturbations of a multidimensional stable process // Theory
Stochast. Process. – 2014. – 19(35), № 2. – P. 42 – 51.
8. Льобус Й.-У., Портенко М. I. Про один клас збурень стiйкого процесу // Теорiя ймовiрностей i мат. статистика. –
1995. – № 52. – C. 102 – 111.
Одержано 10.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2086 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:18:28Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d0/82caa332965e1191dd654c3266137bd0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-20862019-12-05T09:50:14Z On Simple-Layer Potentials for One Class of Pseudodifferential Equations Про потенціали простого шару для одного класу псевдодиференціальних рівнянь Osipchuk, M. M. Portenko, N. I. Осипчук, М. М. Портенко, М. І. We construct single-layer potentials for a class of pseudodifferential equations connected with symmetric stable stochastic processes. An operator similar to the operator of gradient in the classical potential theory is selected and an analog of the classical theorem on the jump of (co)normal derivative of single-layer potential is established. This result allows us to construct solutions of some initial-boundary-value problems for pseudodifferential equations of the indicated kind. Построены потенциалы простого слоя для класса псевдодифференциальных уравнений, связанных с симметричными устойчивыми случайными процессами. Выделен оператор, который является аналогом градиента в классической теории, и доказана теорема, аналогичная классической теореме о скачке (ко-)нормальной производной потенциала простого слоя. С помощью этой теоремы построены решения некоторых начально-краевых задач для псевдодифференциальных уравнений упомянутого класса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2015-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2086 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 67 No. 11 (2015); 1512-1524 Український математичний журнал; Том 67 № 11 (2015); 1512-1524 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2086/1187 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2086/1188 Copyright (c) 2015 Osipchuk M. M.; Portenko N. I. |
| spellingShingle | Osipchuk, M. M. Portenko, N. I. Осипчук, М. М. Портенко, М. І. On Simple-Layer Potentials for One Class of Pseudodifferential Equations |
| title | On Simple-Layer Potentials for One Class of Pseudodifferential Equations |
| title_alt | Про потенціали простого шару для одного класу псевдодиференціальних рівнянь |
| title_full | On Simple-Layer Potentials for One Class of Pseudodifferential Equations |
| title_fullStr | On Simple-Layer Potentials for One Class of Pseudodifferential Equations |
| title_full_unstemmed | On Simple-Layer Potentials for One Class of Pseudodifferential Equations |
| title_short | On Simple-Layer Potentials for One Class of Pseudodifferential Equations |
| title_sort | on simple-layer potentials for one class of pseudodifferential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2086 |
| work_keys_str_mv | AT osipchukmm onsimplelayerpotentialsforoneclassofpseudodifferentialequations AT portenkoni onsimplelayerpotentialsforoneclassofpseudodifferentialequations AT osipčukmm onsimplelayerpotentialsforoneclassofpseudodifferentialequations AT portenkomí onsimplelayerpotentialsforoneclassofpseudodifferentialequations AT osipchukmm propotencíaliprostogošarudlâodnogoklasupsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT portenkoni propotencíaliprostogošarudlâodnogoklasupsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT osipčukmm propotencíaliprostogošarudlâodnogoklasupsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT portenkomí propotencíaliprostogošarudlâodnogoklasupsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ |